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7/25/2019 Ayuda 1_Nmeros Reales.pdf

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Mg. John Cubas Snchez

CLCULO VECTORIAL

Mdulo: 1 Unidad: 1

Semana: 1


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NMEROS REALES

Mg. John Cubas Snchez 2


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ORIENTACIONES

Para la presente unidad se recomienda.

Al finalizar la unidad realice un Mapa mental queresuma los contenidos aprendidos.

Identifique en que situaciones se puede aplicar lasdiferentes categoras de nmeros.



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CONTENIDOS TEMTICOS

Sistemas Numricos Igualdades y desigualdades numricas

Intervalos

Propiedades de los nmeros reales Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

Ejercicios de aplicacin



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Los nmeros naturales son los que nossirven para contar:

N

= {0, 1, 2, 3, 4, ......., 100, 101, 102, ......}

Al conjunto de los nmeros naturales lo designaremos:

Es un conjunto perfectamente ordenado, es decir, elegidos dos nmerosnaturales cualesquiera, siempre uno es menor, mayor o igual que el otro.

Pueden representarse sobre una recta de la siguiente manera:

0 1 2 3 4 5 6 ...

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Three_apples.svg


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A veces para contar se requieren tambin nmerosnegativos: el saldo de una cuenta podra ser -234 euros,los pulsadores de un ascensor pueden contener botonesque marquen -1 -2 indicando 1 o 2 stano, ...

Los nmeros enteros negativos junto con los nmerosnaturales forman el conjunto de los nmeros enteros,que designaremos por:

Se pueden representar tambin sobre una recta del siguiente modo:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenacin:

Los naturales (enteros positivos) ya estaban ordenadosTodo entero positivo es mayor que uno negativoSi un n natural a es menor que otro b, entonces -a es mayor que -b



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Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y

nmeros decimales, por ejemplo cuando decimos que noscorresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta2,35 euros; es decir, nos permite repartir.Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta,peridica pura o peridica mixta) y viceversa.

stas forman los nmeros racionales, conjunto querepresentaremos por:

Si en una fraccin el numerador es mltiplo del denominador,dicha fraccin es un nmero entero, por tanto:

Tambin los nmero racionales pueden todos ser representados sobre una recta:

An cuando representsemos todos los nmeros racionales sobre la recta, quedaranpuntos de la recta sin cubrir, dicho de manera coloquial quedaranagujeros.

-5,9 -10/3 -3/2 2,2 6,7



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La expresin decimal es peridica mixta:

La expresin decimal es exacta: 25,249

La expresin decimal es peridica pura: ...666,13

5

...83333,26

17

Cuidado: algunas calculadoras

redondean

1. Nmeros racionales: paso de fraccin a decimal

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EJEMPLOS

Pasar a decimal 3/4 Pasar a decimal 14/11 Pasar a decimal 13/6

0,75Decimal exacto

1,2727...Decimal peridico puro 2,166...

Decimal peridico mixto

3, 0 4

20 0,75

0

34 = 0,75



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artes de un nmero decimal peridico mixto

Perodo:cuartobloque.

Perodo:primerbloque.

AnteperodoParte entera

Notacin: reducimos la escritura.

x= 2 4 78 78 78 78 .

Todo nmero decimal peridico (por ejemplo 2,478787878 = 2,478) tiene tres

partes:

x = 2,47878.... = 2,478

Observa que los nmeros decimales exactos y los nmeros enteros se puedenconsiderar peridicos sin ms que agregar ceros a la derecha.0,75 = 0,75000000... 3 = 3,000000...

Todo nmero racional se puede expresar siempre en forma decimalperidica.



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El decimal peridico 1,25000 = 1,25 es tambinun decimal exacto. Para pasarlo a fraccinmultiplicamos por 100 la igualdadx =1,25, esdecir, 100x =125,

x = = 54

125100

Cul es la forma fraccionaria de x =1,333 [1]?

1. Se multiplica en [1] por 10: 10x =13,333

2. Se escribe el valor dex: x =1,333

3. Se restan las dos igualdades: 10x x =13,333 1,3339x =131

4. Se despejax:

Decimal peridico puro

Decimal exacto

x = = =129

1319

43

1. Nmeros racionales: paso de decimal a fraccin



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Todo nmero decimal peridico se puede expresar siempre en formafraccionaria.

Decimal peridico mixtoCul es la forma fraccionaria de x =1,31818 [2]?

1. Se multiplica en [2] por 1.000: 1000x =1318,1818 [3]

2. Se multiplica en [2] por 10para obtener otro nmero con

la misma parte decimal: 10x =13,1818 [4]3. Se restan las dosigualdades [3] [4]:

1000x 10x =1318,1818 13,1818

990x =1318 13

de donde x = = = 2922131813990 1305990



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Hay nmeros decimales que no son exactos, ni peridicos puros niperidicos mixtos. Por ejemplo, si con la calculadora calculamos:

Observamos que sus cifras decimales son infinitas y no siguen ninguna

periodicidad, no es por tanto un nmero racional.

Los nmeros con esa expresin decimal son los nmerosirracionales, conjunto que representaremos por:

Todas las races no exactas son irracionales.El nmero = 3,14159265358... es irracional.Existen otros muchos nmeros irracionales entre los que destaca el nmerode Oro o nmero Areo:


I

..., 7414213562312

2

51


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LA RAZ CUADRADA DE 2

La raz cuadrada de 3, 5, 7, 11, .. , tambin son nmeros irracionales.



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EL NMERO p



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nmero de Euler e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135....

C = c ert

En matemtica financiera seutiliza para calcular el

inters continuo

Habais imaginado alguna vezque vuestros ahorros y vuestras

hipotecas estaban bajo el controldel nmero e?

Algunas frmulas en lasque aparece el nmero e

EL NMERO e



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El Partenn, mostrando losrectngulos ureos usadosposiblemente en su

construccin.

Rectngulo cuyos lados estnen proporcin urea.

Espiral de oro con unrectngulo ureo

Con su conocido dibujo delhombre de Vitrubio,Leonardo da Vinci ilustr el

libro "La Divina Proporcin"del matemtico Luca Pacioli,editado en 1509.

EL NMERO UREO,

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:ParthenonGoldenRatio.png


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Ahora si representsemos los irracionales sobre la misma recta que

habamos representado los racionales, ya quedaran cubiertos todos lospuntos de la misma.

A cada punto de la recta le corresponde un nmero real y viceversa, cadanmero real tiene su punto. Por esto diremos que los Nos reales son unconjunto completo.

R

Al conjunto formado por los racionales junto con los irracionaleslo llamaremos conjunto de los nmeros Reales y lodenotaremos:

R Q I

N ZQR

I

R


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EL ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS DE NMEROS QUECONOCEMOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA:

50

121

125 .....

-3

-14

-6-18

-1 .....


I2

3

61

,

5

1

7

16

253,6312

,

2

p

e

3 5


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- 9 2,34 + 1 - 3

N

Z

Q

I

R

Complete la siguiente tabla

3 8


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Nmerosenteros (Z)

Nmeros

Reales (R)

Nmerosirracionales (Q= I)

NmerosEnteros

negativosZ-

Cero (0)

NmerosEnteros

positivosZ+

= N0

Diagrama de los Conjuntos Numricos

Nmerosracionales (Q)

0,nnm


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Identifique e indique cul de los siguientes nmeros es

Q o I

6887729357320508075,13

8979323841415926535,3

3,0...33333,031

0,754

3

p

Si el nmero es racionalentonces su parte decimalcorrespondiente esfinitao se repite peridicamente.

Si es Irracionaltiene unaexpresin decimal infinitay no peridica.

Ejercicio:


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Siempre entre dos nmeros reales hay otro nmeroreal; de ah que se asocie al conjunto de losnmeros reales con una recta. La recta estformada por infinitos puntos y cada puntorepresentara un nmero real, de ah que a dicha

recta suela llamrsele recta real o eje real.

La recta numrica real (R)

- -3 -2 -1 0 1 2 3

3 p

2


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Orden de los nmeros realesSean ay bcuales quiera dos nmeros reales.

Smbolo Definicin Se lee

a > b a - bes positivo. a es mayor que b

a < b a - bes negativo. a es menor que b

a b a - bes positivo o cero. a es mayor o igual b

a b a - bes negativo o cero. a es menor o igual b

Los smbolos >,


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Propiedad de tricotoma

Sean a y bcualesquiera dos nmerosreales. Slo una de las siguientesexpresiones es verdadera.

bababa o,,



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Es un subconjunto de nmeros realessin huecosen su interior.

Intervalos acotados de nmeros reales:

Sean a y bnmeros reales con a < b.

Notacin deintervalo

Tipo deintervalo

Notacin dedesigualdades

Grfica

Los nmeros ay bson extremos de cada intervalo.

ba, Cerrado bxa

a b

ba; Abierto bxa

a b

ba;

abiertoSemi bxa a b

ba; abiertoSemi bxa a b


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Intervalos NO acotados de nmeros reales:

Sean a y bnmeros reales.Notacin de

intervaloTipo de

intervaloNotacin de

desigualdadesGrfica

Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, ao b.

;a Cerrado ax

;a Abierto

Cerrado bx b;

Abierto bx

a

b;

ax a

b

b


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El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos

comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2.

El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntoscomprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2.

El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda[0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y2, incluido el 0 y excluido el 2.

El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha(0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y

2, incluido el 2 y excluido el 0.

Intervalo cerrado [0,2]

Intervalo abierto (0,2)

Intervalo abierto a la derechay cerrado a la izquierda [0,2)

Intervalo abierto a la izquierday cerrado a la derecha (0,2]

EJEMPLOS



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Los nmeros reales se utilizan para contar los elementos de un

conjunto (nmero cardinal). O para expresar la posicin u orden que

ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES



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32/69

Ejercicios

1.-

2.-

5.-

4.-

3.-



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ECUACIONES

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresionesalgebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen

valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas,

relacionados mediante operaciones matemticas. Los

valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o

constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya

establecido como resultado de otras operaciones.



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Ejemplo 1

Cul es la masa de una ficha de domin?


Si quitamos de cada lado de la balanza lo mismo,la igualdad de peso debera mantenerse

Otra forma es representando lo que hay de cada lado

4 D + 3 = 1 D + 6


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Ejemplo 2

Cul es la masa de cada candado?



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Ejemplo 3

Cunto vale una lupa?



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OBSERVACIONES Una ecuacin es una igualdad en la cual part ic ipan

algunas cantidades desconocidas, en general

designadas por letras.

Las cantidades desconocidas se denominan

incgnitas. La palabra ecuacin proviene de aequare que en

latn significa igualar.



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Ejemplo 4

Den tro de un ao la edad de Mar iana ser el dob le de laedad que tena un ao at rs. Cuntos aos tien e

Mariana?

X es la edad actual de Mariana

(X-1) es la edad que tena el ao pasado (X+1) es la edad que tendr dentro de un ao


2(X-1) = X+1


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Solucin de una ecuacin

Volviendo a la ecuacin de la edad de Mariana

vemos que reemplazando X por 3 se obtiene laigualdad 4 = 4


2(X-1) = X+1

En este caso se dice que 3 es

solucin de la ecuacin


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ECUACIONES

Las ecuaciones reciben d ist into nombre segn lasoperacion es que afectan a las in cgn itas.

Tipos de ecuaciones Algebraicas Trascendentes

La incgnita est afectada por relacionestrigonomtricas, logartmicas, etc.



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ECUACIONES

Ecuacin Algebraica

Racional Irracional

Entera Fraccionaria



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Ecuaciones Algebraicas

Si tiene una sola cantidad desconocida diremos quees una ecuacin con una incgnita.

Si la incgnita est afectada por las operaciones desuma, resta, producto, potencia o cociente se llamaecuacin algebraica racional

Mg. John Cubas Snchez42


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Ecuacin algebraica racional

Una ecuacin algeb raica racional es entera

s i la in cgn ita no est en n ingn

denominador

Ejemplos:0)1)(15( xx

32

13 x

x



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Ecuacin algebraica racional

Una ecuacin algebraica racional esfraccionaria si la incgnita est en algndenominador.

Ejemplo 31

132

x

x



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Ecuacin algebraica irracional

Si la incgnita aparece en un radicando se diceque es una ecuacin algebraica irracional

Ejemplo 51 x



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Una solucin de una ecuacin algebraica con unaincgnita x es un nmero x0 tal que, al reemplazar xpor x0 en la ecuacin, sta se transforma en unaidentidad numrica.

Reso lver una ecuacin s ignif ica determ inar si t ieneso lucin y en tal caso hal lar todas las solu cion es.



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Ejemplos:a) 3x-9 = 0 tiene solucin x0=3

b) 2x + 1 = 2x no tiene solucin

c) (x-1)(x+1) = 0 tiene solucin,

son x1= 1 y x2= -1



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Resolucin de una ecuacin

Ejemplo


nica solucin

Tratemos degeneralizar el mtodopara aplicarlo a otras

ecuaciones


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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si admiten lasmismas soluciones.

Cmo se obtienen dos ecuaciones equivalentes?

Sumando o restando a ambos lados de la ecuacin la misma

expresin.

Mult ip l icando ambos m iembros de la ecuacin po r un nmero

dist into de cero



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Ejemplo: Resolver 2x+4 = 12

Restar 4 a ambos lados de la igualdad2 X + 4 - 4 = 124

2 X = 8

Multiplicar ambos miembros por 1/2

4

82

1

22

1

x

)x(



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Ejercicios

Resolver utilizando ecuaciones equivalentes:

a) 3 x2= 5 x2+ 6 x

b) x3- 4 x2= 66 x2+ x3



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Ecuaciones lineales con una incgnita

Dados dos nmeros a y b, una ecuacin con unaincgnita se dice l inealsi es de la forma:

a x + b = 0

La solucin se obtiene sumando aambos ladosb y multiplicando aambos lados por 1/a (si a

0)

x = -b/a



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Cuntas soluciones tiene unaecuacin lineal?



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Ejercicios

a) 103x = x - 2

b) ax = 3 ( xa )

c)x + 3 = - 2 x + x + 7

d)



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Ejercicios



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1.- Una modista desea cortar una cinta de 213 cm de longitud en trestramos. Si cada tramo debe tener 2 cm ms que el anterior, cmo

debe hacer los cortes?

2.- Un cable que mide 60 cm se corta en 4 tramos, y cada tramo sucesivotiene el doble de longitud que el anterior. Hallar la longitud del tramo

ms largo.


EJERCICIOS


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3.- Asfaltar una calle cost $33.000.000. Los vecinos pagaron el doble delo que aport la Municipalidad, mientras que la Provincia contribuy

con las dos terceras partes del aporte Municipal. Cunto dineropusieron los vecinos?



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4.-Se quieren separar 77 gramos de oro en dos partes de tal manera que lamayor tenga 19,5 gramos ms que la menor Cuntos gramos debecontener cada parte?

5.-Hallar un nmero sabiendo que si a su triplo se le resta uno se obtiene lomismo que si a su tercera parte se le suma uno.

6.-Cul es el nmero cuyo doble supera en 15 a su mitad?



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7.-Cinco amigos quieren compartir por igual el costo de un proyecto. Una vez quecalculan cunto tiene que poner cada uno , dos amigos ms se ofrecen aparticipar , con lo que el costo por persona se redujo a 8 mil soles. Cul es

el costo del proyecto?

8.- Se compran 25 metros de tela por cierta cantidad de dinero . Si el metrohubiera costado 16 soles menos, se habra podido comprar 8 metros ms.

Cul es el precio de un metro de tela ?



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9.- Martn sali a recorrer, en forma sucesiva, varios negocios de su barrio yle fue proponiendo a sus dueos lo siguiente:

En una librera propuso: Prsteme tanto dinero como el que tengo ahoraen mi billetera y gastar 100$.

En una perfumera y en un restaurante propone lo mismo. Al volver a sucasa comenta: Me qued sin un centavo!

Cunto dinero tena Martn al entrar a la librera?



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< menor que 2x 1 < 7

menor o igual que 2x 1 7

> mayor que 2x 1 > 7

mayor o igual que 2x 1 7


INECUACIONES

Una inecuacin es un a desigualdad algebraicaen la que sus dos

miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

La solucinde una inecuacin es el conjun to de valores de la var iable que

verif ic a la inecuacin.


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Podemos exp resar la solucin de la inecuacin

mediante:

1. Una representacin grfica.

2. Un intervalo.


a) 2x 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-, 4)

b 2x 1 72x 8x 4

[4, )


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c) 2x 1 > 72x > 8

x > 4

(4, )

d) 2x 1 7

2x 8x 4

(-, 4]



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Si a los dos m iembros de una inecuacin se les suma o se les

resta un m ismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la

dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 4 < 5 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica odivide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es

equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o

divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultantecambia de sentido y es equivalente a la dada.

x < 5 (x) (1) > 5 (1) x > 5



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INECUACIONES DE PRIMER GRADO


Consideramos la siguiente ecuacin :

1 Quitar corchetes.

2 Quitar parntesis.

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

MCM (2, 3, 12) = 12


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3 Quitar denominadores.

4 Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y lostrminos independientes en el otro.

5 Efectuar las operaciones

6 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, porlo que cambiar el sentido de la desigualdad.

7 Despejamos la incgnita.

De forma grfica:Como un intervalo:

[3, +)



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Resolver las inecuaciones de primer grado

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-



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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DEINVESTIGACIN SUGERIDAS

- Todo nmero racional puede ser expresado enforma fraccionaria.

- Ningn nmero irracional puede ser expresado enforma fraccionaria.

- Los nmeros reales comprende un conjunto infinitode nmeros.

- No todos los infinitos son iguales.



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GRACIAS

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