Capítulo 4: Modelado matemático

de los sistemas dinámicos

carlos.platero@upm.es (C-305)

Modelado matemático de los sistemas dinámicos

Simuladores:

Modelos matemáticos de los sistemas y de las señales que les

atacan

Una mayor sofisticación de los modelos supondrá que se

aproxime más verazmente al comportamiento físico

Modelos

Eléctricos

Mecánicos

Térmicos

4.1 Sistemas eléctricos y electrónicos

Leyes de Kirchhoff

Adaptación de impedancias

RCs

sAV

1

1

sCRsCR

sAsAsA VVV

2211

211

1

1

1

1

1

222111

2

2211

sCRCRCRsCRCRsAV

Amplificadores operacionales

Las características de un AO ideal son:

La impedancia de entrada diferencial y la de cada canal respecto a masa

son infinitas.

Ganancia de tensión diferencial infinita, Ado.

Ancho de banda infinito.

Tensión de desviación de continua nula

Ausencia de desviación de las anteriores características con la

temperatura.

Tdc

Tdddo

Tdc

s

d

VuV

VuuA

VuV

u

uuu

. 3

2

74

6

1

5+

-

V+

V-

OUT

OS1

OS2ue

us

uuVu Td

Aplicaciones de los AO

Seguidor de tensión

Adaptador de señal de mando

Amplificador inversor

. 3

2

74

6

1

5+

-

V+

V-

OUT

OS1

OS2ue

us

tutu es

VCC

3

2

74

6

1

5+

-

V+

V-

OUT

OS1

OS2

umR

R

10

1

CCCCm V

RR

RVtu

1

2

21 R

R

tu

tu

R

tu

R

tui

e

sse

Aplicaciones de los AO

Amplificador no inversor

Amplificador diferencial

-

-

3

2

74

6

1

5+

-

V+

V-

OUT

OS1

OS2

R1

R1

R2

R2

uA

uB

uS

1

2

21

1R

R

tu

tu

R

tutu

R

tui

e

sese

ABs

ABs

uuR

Ru

R

RA

R

R

RR

R

R

RA

uAuAu

1

2

1

2

1

2

21

2

1

21

2

1

21

Problema de la práctica del laboratorio

Alimentando los AOs con 12V y utilizando una excitación de señal cuadrada de 1V de amplitud y frecuencia 100 Hz, con un nivel de continua nulo, experimentar con los circuitos de las figuras:

1. Para el circuito de la figura izquierda y con la excitación mencionada, obtener las formas de ondas tanto de ue como de us. Utilizar los valores de R=100k, C=10 nF, R1=33k y R2=33k

2. Lo mismo que en 1) pero con R2 = 68k

3. Realizando el montaje de la figura derecha y con la excitación de señal cuadrada, representar la señal de salida, us, con R2 = 33k y R2=68k. Valores de R3=33k y R4=68k.

Problema de la práctica del laboratorio

ScopePulse

Generator

2

1e-3s+1

Av2

2

1e-3s+1

Av1

2

A.D.

Examen final de julio 2016

Dibujar el diagrama a bloques y demostrar que la ganancia

de la cadena abierta es:

3

3

2 10

1 10GH

s s

Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key

Determinar la ganancia de tensión del filtro con AO ideal, y

habiendo definido como C el valor de C3 y C4.

>> C3=1e-8;

>> C4=C3;

>> r7=33e3;

>> r8=680e3;

>> av=tf([C3*C4*r7*r8 0 0],[C3*C4*r7*r8 C3*r7+C4*r7 1])

>>bode(av)

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

101

102

103

104

0

45

90

135

180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key

4.2 Sistemas mecánicos

Leyes de Newton

Todo cuerpo persevera en su estado de

reposo o movimiento uniforme y rectilíneo

a no ser que sea obligado a cambiar su

estado por fuerzas impresas sobre él.

El cambio de movimiento es proporcional a

la fuerza motriz impresa y ocurre según la

línea recta a lo largo de la cual aquella

fuerza se imprime.

Con toda acción ocurre siempre una

reacción igual y contraria: o sea, las

acciones mutuas de dos cuerpos siempre

son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

4.2 Sistemas mecánicos

Movimiento de traslación

Masa

Resorte lineal

Fricción (mov.traslación) Mf(t)

y(t)

tyMtf..

)(

f1

f2

Ma

f(t)

y(t)

tkytf )(

y

f(t) = B y

tyBtf )(

Movimiento de traslación

Sistemas de unidades

Sistemas análogos

Magnitud Física S.I.

Fuerza

Masa

k

B

N

kg

N/m

Ns/m

movimiento de traslación sistema eléctrico

fuerza corriente

desplazamiento potencial

Ejemplo 4.1

Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a

la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste.

La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento

entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento

B. Considere condiciones iniciales nulas.

B

K

X(t)

f (t)

)()()()(...

txBtKxtxMtF

KBsMssF

sXsG

2

1

)(

)()(

Ejemplo 4.2

El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica.

Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse

comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp.

Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la

prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del

tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de

constante k. Se pide:

1. Ecuaciones físicas del sistemas

2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.

3. Diagrama a bloques

4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo.

M

AP Rozamiento viscoso

B

yk

kk

k

k P

Masa despreciablex

Ejemplo 4.2

1. Ecuaciones físicas del sistemas

2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0.

M

AP Rozamiento viscoso

B

yk

kk

k

k P

Masa despreciablex

000 4kyyxKMg p

kkMgy

k

Mgx

k

Mgy

pp 4

11;

4000

tytxktxBtxMMgtAp P

tkytytxk p 4)(

tztxktzk

tzktxBtxMtpA

p

p

4

Ejemplo 4.2

3. Diagrama a bloques

4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión

del cuerpo.

M

AP Rozamiento viscoso

B

yk

kk

k

k P

Masa despreciablex

Dz(s)Dp(s)

4*k

kp+4*k

kp

A1

M.s +B.s2

sxkk

ksz

sxBsMsszkspA

p

p

4

4

)(2

pp kkkkBsMs

kA

sp

sz

44

42

Problema 3: Dinámica de un micrófono

El funcionamiento de un micrófono dinámico se basa en el desplazamiento espacial producido por una bobina dentro de un campo magnético. Hay un diafragma que se desplaza con la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras. Este desplazamiento se transmite a la ferrita de la bobina. La fuerza electromotriz generada en la bobina es proporcional a la inducción de campo, B, al número de espiras, n, a la longitud de espiras, l, y al desplazamiento relativo de la bobina:

Se considera el modelo simplificado unidimensional de fuerzas adjuntado, donde Md es la masa del diafragma y Mb la masa de la bobina. En el desplazamiento horizontal del diafragma hacia la bobina, se conjetura un rozamiento viscoso, B1 y un amortiguamiento, k1. La bobina está separada de la estructura a través de un amortiguador, k2. Se pide: 1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema.

2. Diagrama de bloques.

3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida.

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentes

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentes

dt

tydlnBte 2

Problema 3: Dinámica de un micrófono

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica

del sistema.

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentes

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentesf(t)

B1

x(t) y(t)

k2

Bobina

MbDiafragma

Md

k1

f(t)

B1

x(t) y(t)

k2

Bobina

MbDiafragma

Md

k1

tytxBtyGxktxMtf d

..

11

..

tyktyMtytxBtytxk b 2

....

11

tyktyBnlte..

2

Problema 3: Dinámica de un micrófono

2. Diagrama de bloques.

3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida.

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentes

N

S

Diafragma

Md

Bobina

Mb

k1 k2

B1

f(t)

x(t)

y(t)

e(t)

Imanes permanentes

tyktyMtytxBtytxk b 2

....

11

tyktyBnlte..

2

f(s) e(s)

B1*s+k1

B1.s+k1

Mb.s +B1.s+k1+k22 k*s1

Md.s +B1.s+k12

2121

2

21

3

1

4

11

*

.kkskBsMkMMksMMBsMM

ksBsk

sf

se

dbdbdbd

tytxBtytxktxMtf d

..

11

..

Problema 5: Sistema de suspensión

En la figura derecha se muestra un modelo de suspensión de vehículos de tracción. Haciendo suposiciones de simplificación y de reparto del peso del coche sobre las cuatro ruedas, se ha obtenido un segundo modelo. Se pide:

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado.

2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s).

Datos

El peso del vehículo es de una tonelada y

las características del amortiguador están

dadas por B = 500 Ns/m y K = 1000 N/m.

Mx

y

Mx

y

Problema 5: Sistema de suspensión

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica del modelo simplificado.

2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s).

Mx

y

Mx

y

n

Mg Mx t K x t y t B x t y t

f t K x t y t B x t y t

22 25.05.01

5.01

ss

s

KBsMs

BsK

sy

sx

Problema 5: Sistema de suspensión

Mx

y

Mx

y

22 25.05.01

5.01

ss

s

KBsMs

BsK

sy

sx

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Control de depósitos (I)

Para la dinámica de los tanques de agua se considera los caudales (Qi), la sección de los depósitos

(Ai) y de las tuberías de escape (Si), junto los niveles de altura (Hi):

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que defina la dinámica del sistema.

2. Linealización del modelo alrededor de un punto de reposo.

3. Determinar la relación que se establece entre las alturas de los depósitos (Hi) y la secciones de

las tuberías de escape (Si)

4. Modelo incremental que relacione la variación del caudal de entrada con el caudal de salida.

5. Diagrama a bloques del modelo incremental.

Control de depósitos (II) Primer parcial 15/16

Movimientos de rotación

Momento de inercia

Resorte torsional

Fricción viscosa (mov. rotacional)

M

T

B

T

tBtBtT.

tktT

cilindro inercia de Momento2

1 2

2..

MrJ

rmJtJtJtJtTi

ii

Movimientos de rotación

Sistemas de unidades

Analogías

Mag.Física SI

T

J

k

B

Nm

kg m2

Nm/rad

Nm s/rad

movimiento de rotación sistema eléctrico

Par mecánico corriente

Desplazamiento angular potencial

Ejemplo

Obtener el periodo de oscilación de un péndulo simple (puede apoyarse en la

excitación de un pulso de fuerza dado a un péndulo en reposo).

M

l

Conversión entre movimientos de traslación y de rotación

Cinta transportadora

Cremalleras

M

M

r

M

M

r

tMrtT..

2

Conversión entre movimientos y trenes

Husillos

Trenes de engranajes

Adecuar el par y la velocidad angular a la carga

M

rL 2

M

..

2

2t

LMtT

Trenes de engranajes

El número de dientes sobre la superficie de los engranajes, N1 y N2, es proporcional a

los radios r1 y r2:

La distancia recorrida por la periferia de cada engranaje es la misma. Igualando las

circunferencias de ambas según el desplazamiento angular dado para un tiempo

determinado:

La potencia transmitida en la entrada en un engranaje es igual al que se da en la salida,

ya que se supone que no hay pérdidas:

1 2

1 2

r r

N N

2211 rtrt

tTttTt 2211

Modelo del tren de engranajes

Transformador mecánico

JC

B2

mT

1B

1T 2T

21

Modelo del tren de engranajes

Transformador mecánico

JC

B2

mT

1B

1T 2T

21

tJeqtBeqtT

N

NJJeq

N

NBBBeq

m

C

112

2

1

2

2

121

tt

N

N

r

r

t

t

tT

tT

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

Cadenas mecánicas

Las cadenas permiten transmitir la energía mecánica a mayor distancia que los

trenes de engranajes.

Sin embargo, son menos precisas en su transmisión y tienen mayores pérdidas.

1,1 T 2,2 T

1r2r

ttTttT 2211

2211 rtrt

Palancas

Los sistemas de palanca transmiten movimientos de traslación

aproximadamente.

x1

f1l1

l2

f2

x2

1

2

1

2

2

1

l

l

tx

tx

tf

tf

txtftxtf 2211

2211 ltfltf

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”

Arquímedes (287 a. C. – c. 212 a. C)

Problema 4: Dinámica de un telégrafo

La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulso eléctrico se produce una fuerza magnética proporcional a la corriente de su bobina, originando un desplazamiento en la palanca que provoca el movimiento de la masa del martillo, el cual choca contra una campana, produciendo una onda sonora. Se pide:

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinámica del telégrafo.

2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, x2(s), y la causa, e(s).

l1 l2

M1

B1

R, L

M2

K2 B2

x1x2

e(t)

l1 l2

M1

B1

R, L

M2

K2 B2

x1x2

e(t)

Problema 4: Dinámica de un telégrafo

1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que

modele la dinámica del telégrafo.

2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el

efecto, x2(s), y la causa, e(s).

l1 l2

M1

B1

R, L

M2

K2 B2

x1x2

e(t)

l1 l2

M1

B1

R, L

M2

K2 B2

x1x2

e(t)

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

;

;

;

p

r

r

r r

e t Ri t Li t f t k i t

f t M g M x t B x t f t

f t M g M x t B x t k x t

x t x tf t l f t l

l l

2

21 2 1 2 21 2 1 2 2

2 1 2 1 1

pkx s

e s l l l l lR sL M M s B B s k

l l l l l

Problema 6: Control sobre un péndulo

La siguiente figura representa un péndulo controlado por medio de un electroimán. Un complejo sistema electromecánico permite ejercer una fuera horizontal sobre la barra del péndulo en el punto P proporcional a la intensidad que recorre la bobina:

El ángulo girado por el péndulo respecto de la vertical es medido por medio del potenciómetro lineal mostrado en la figura, de tal forma que cuando el ángulo es de 90º la medida es de 10 V y cuando es de -90º la medida es de -10 v. El montaje del potenciómetro introduce un rozamiento de constante B= .El sistema electrónico contiene el amplificador de error y un driver de potencia, de forma que la tensión de salida es amplificada k veces de la tensión de error. Teniendo en cuenta los datos suministrados en la figura, se pide:

1. Ecuaciones físicas del sistema.

2. Linealizar el sistema respecto del punto .Justificar

que:

3. Considérese para este apartado y el siguiente que el valor

de K es 10. Diagrama a bloques y función de transferencia

4. ¿Cómo evoluciona el ángulo si se introduce una tensión de

referencia de +4 Voltios como valor absoluto?.

º300

547.113

173.02

sssF

s

)(2)( titF LAN

radian

smN 3

Problema 6: Control sobre un péndulo

1. Ecuaciones físicas del sistema

2. Linealizar el sistema respecto del punto . º300

)(20

)( ttV

)(()( VVKtV refe

)()(

)( tRidt

tdiLtV L

Le

)(2)( titF Ldt

tdBsenMgl

dt

tdMlltF

)()(cos)( 12

22

12

Potenciómetro:

Electroimán: Péndulo:

Control:

.47,3

44.1

43,14

87,28

.33,3

0

0

0

VV

vV

Ai

NF

VV

ref

e

Lo

o

Fss

lsenFlF

iF

Vs

i

VVV

V

L

eL

refe

547,113

173,0

330cos103030cos

2

1,0

1

)(10

33.6

2

202

Problema 6: Control sobre un péndulo

Problema 10: Robot limpiador

El robot limpiador de fachadas mostrado en la figura, se compone de dos grandes elementos: por un lado un carrier comercial en lo alto de la fachada, y por otro el sistema de limpieza robótico, propiamente dicho, que sustituye a la canasta en la que habitualmente se sitúan los limpiadores. Se desea disminuir las oscilaciones que en el robot provocan los desplazamientos a lo largo del eje X del carrier. Para ello se ha supuesto el conocimiento de la longitud del cable L y de la masa del robot M, ambos datos fácilmente obtenibles por medio de sensores. Analizando la dinámica del sistema y siguiendo el sistema de referencias mostrado en el esquema de la figura, se ha llegado a la siguiente relación:

)()()(sin2

2

tXdt

dBtX

dt

dMtMg RR

y

x

z

y

x

z

Mg

Xc(t)

Xr(t)

L

)(t

Origen de X

Demostrar que la función de

transferencia que relaciona el

movimiento en abscisas del robot con el

movimiento en abscisas del carrier es:

Datos:

mNs

s

m BKgMmLg 3540025.38.9 2

01.30875.0

01.3

)(

)()(

2

sssX

sXsG

C

R

Sistemas electromecánicos

Dínamo tacométricas

Encoders

M

DT

m

+

tktu mDTDT

900 900

Rotación SMR Rotación SCMR

A

B

Fundamento del motor de continua

Fuerza en una espira (Ley de Lorentz)

Par del conjunto de espiras

Fuerza contraelectromotriz (Ley de Lenz)

aim ikrFT 1

mb kdt

dNe

2

Modelo de motor de continua de imán permanente

Perdidas y conversión de energía eléctrica en energía mecánica

Par mecánico proporcional a la corriente de armadura

Movimiento de rotación

Realimentación del motor

M

i a L a R a

e b

J m , B m

u e

)()(

)()( tedt

tdiLtiRtu b

a

aaae

( ) ( )m p aT t k i t

dt

dB

dt

dJT m

m

m

mm

2

2

)()( tkte mbb

Modelo de motor de continua de imán permanente

Relación entre kp y kb

M

i a L a R a

e b

J m , B m

u e

mmbam TeiP ..

. . . . . . .a b p a m a b m p a mi e k i i k k i

. / . /p bk k N m A V s rad

Problema 9: Modelado de una cinta transportadora

Para la traslación horizontal de una cámara de vídeo pan-tilt se ha utilizado una cinta transportadora. En el control se ha utilizado un motor de continua y una reductora. Se pide:

1. Diagrama de bloques del sistema

2. FDT entre el desplazamiento de la cámara y la tensión en el motor.

Datos:

Motor: Resistencia de armadura = 7.94 , Inductancia

equivalente del flujo disperso = 1.54 mH,

Constante del par motor = 39.3 mNm/A., Constante de

la fuerza contralectromotriz => 243 rpm/V, Momento de

inercia del rotor= 26.6 gr cm2

Tren de engranajes: relación de transmisión = 1:198

Cinta transportadora: Radio de las poleas = 25 mm,

Peso de la cámara= 1200 gr. Rozamiento viscoso

equivalente de las poleas = 10-1 N.m.s/rad

Problema 9: Modelado de una cinta transportadora

Diagrama a bloques

M

1:197

cJJM

1

2BC

ia LaRa

17.755082

33.1211

1056.11011.21096.4

1096.43529

6

sssssu

sx

m

Examen del primer parcial (curso14/15)

Examen del primer parcial

Examen (julio 2017)

Los parámetros asociados al sistema son los siguientes:

𝑅 = 1Ω Resistencia del inducido del motor

𝐾𝑝 = 0.15 𝑁𝑚 𝐴 Cte. de par del motor

𝐾𝑒 = 0.15 𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔−1 Cte. eléctrica del motor

𝐽 = 0.01 𝐾𝑔 𝑚2 Inercia del motor

𝑓 = 0.05 𝑁𝑚 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔−1 Fricción viscosa del eje del motor

𝑛 = 100 Relación de reducción

𝑟 = 0.08𝑚 Radio de enrollamiento de la polea

𝑚 = 100𝐾𝑔 Masa a elevar

𝜇 = 0.4 Coef. De fricción seca entre la masa m y la superficie

𝛼 = 300 Angulo de inclinación de la rampa

Se dispone de una dinamo tacométrica acoplada al eje del motor de ganancia 𝐾𝑤 = 0.08𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔−1

Sistemas térmicos

Resistencia térmica

Capacitancia térmica

Magnitudes Analogías

dq

dT

calordeflujoelencambio

atemperaturdediferencialaencambioRTH

THR

Tq

.

TCq TH mcCTH atemperaturlaencambio

almacenadocalorelencambioCTH

K

kcalo

K

JulioKWs

/

Magnitudes físicas Sistema Internacional

q

T K

c kcal/kg K

RTH K/W

CTH

kW

s

kJulioo

s

kcal

Sistema térmico Sistema eléctrico

Flujo de calor Corriente

Temperaturas Potencial

Resistencia térmica Resistencia eléctrica

Inercia térmica Capacidad eléctrica

Ejemplo 4.4

Modelar el comportamiento dinámico de un calentador de agua caliente. Obtener la

FDT entre la potencia entregada al calentador y la diferencia de temperatura entre

el agua caliente y la fría.

Si el cauda y la temperatura exterior son constantes

fce

TH

aTTTentragada TTcQ

R

TTTcmq

.

cQR

sCsq

sT

e

TH

TH

entregado

c

1

1

TT

Ta

Tf

Tc

QeQs

TT

Ta

Tf

Tc

QeQs

Examen enero 2016

El esquema de la figura representa un calentador de agua. Siendo uTc la tensión del

sensor de temperatura del agua caliente y uQg la tensión que se aplica a la

electroválvula que regula el caudal de gas que le llega al quemador. Se pide:

1. Determinar el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales del calentador.

Considérese proporcionales las relaciones entre las tensiones y los sensores o

actuadores. La potencia del quemador es proporcional al caudal del gas.

2. Obtener el diagrama a bloque del calentador, indicando la variable de entrada, de

salida y las perturbaciones.

Examen enero 2016

Problema 3.4 La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de una habitación por medio de un

radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios situada en un

baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente

global de transmisión Uc hacia el aire.

El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La

temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de

transmisión UP.

La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por lo

que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una

referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador.

2

1) 0.95 0.05

2) 3) 0.24 /

4)

5)

m h c

r m

c

c c c c h

h

h c c c h p p h e

T T T

V k T T q V R

dTM q U S T T

dt

dTM U S T T U S T T

dt

CcalMCcalM

CscalSUCscalSUCVkR

hc

ppcc

/º3000/º1000

º/33º/5.12/º5020

Control de temperatura de la habitación

2

1) 0.95 0.05

2) 3) 0.24 /

4)

5)

m h c

r m

c

c c c c h

h

h c c c h p p h e

T T T

V k T T q V R

dTM q U S T T

dt

dTM U S T T U S T T

dt

CTCTCTscalqVV

TTSUTTSUTTSUq

RVqTTkVTTT

chm

ehpphoccchccc

mrchm

º8.56º5.19º21/480200

0)50)4

/24.0)3)205.095.0)1

0,0,0,00

0,0,0,,0

2

000,0,0,0,0.

tTtTSUtTtTSUtTM

tTtTSUtqtTMtVRVtq

tTtTktVtTtTtT

ehpphccchh

hccccc

mrchm

)5

)4/224.0)3

)205.095.0)1

0

I. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5ºC, Tr,0 =25ºC.

II. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio.

Control de temperatura de la habitación

Las células Peltier

El efecto Peltier

sRC

R

sp

sT

R

T

dt

TdCtp

THf

TH

eTH

fe

1

)()(0

tiTtP pce

El equipo Peltier

Célula

Peltier

Acondicionamiento

K

V

20

10Amplificador Transconductivo

mS100

sucp sip

sT suAcond