2.1 CONJUNTOS Y TECNICA DE CONTEO

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS.

Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.

Al iniciar este trabajo con conjuntos establezcamos que la idea conjunto es un concepto primitivo. No se da una definición de conjunto. Nos basta, inicialmente, con cualquier idea intuitiva que tengamos. Respecto al la concepción primitiva de conjuntos aceptamos la relación de pertenencia, para un conjunto cualquiera y un objeto indistinto: El objeto pertenece al conjunto o el objeto no pertenece al conjunto.

Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.

Notación: b ∈ A ; b es un elemento de A

Axioma: Todo conjunto debe estar bien definido

El axioma anterior establece que si un supuesto conjunto no esta bien definido, no es conjunto.

Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.

Forma enumerativa o por extensión del conjunto:

Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el conjunto.

p.e.: U = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; A = 1,2,3,5,7 ; B = 0,2,4,6,8

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

A = x | x es una vocal

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∉.

A = 1, 2, 3

2 ∈ A; 5 ∉ A

El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas

modernas;

Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos

de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor

(1845 – 1918).

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos

con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

La colección de elementos debe estar bien definida.

Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos

elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.

El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

NOTACIÓN

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con

letras

minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números

en el lanzamiento de un dado.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en

conjuntos finitos e infinitos.

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados

por su longitud o cantidad.

El conjunto de días de la semana

INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.

El conjunto de los números reales

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular

de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.

A = a, e, i, o, u

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.

A = x | x es una vocal

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de

pertenencia o es elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∉.

A = 1, 2, 3

2 ∈ A; 5 ∉ A

TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o .

A = x2 + 1 = 0 | x ∈ R

El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1

= 0

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una

población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación,

denotado por U o Ω.

Según su cardinalidad, un conjunto puede clasificarse en finito o infinito

Un conjunto A es finito si su cardinalidad

Formalmente, el conjunto A, de cardinalidad k, es finito, si sus elementos se pueden poner

en correspondencia uno a uno con los elementos del conjunto .

En caso contrario se dice que el conjunto es infinito.

Los conjuntos también pueden clasificarse en numerables (o contables) y no numerables.

Se dice que un conjunto A es contable si sus elementos se pueden poner en

correspondencia uno a uno con los números naturales o con cualquier subconjunto de él. En

caso contrario el conjunto A es no numerable.

De acuerdo a esta definición, todo conjunto finito es numerable y todo conjunto no numerable

es, necesariamente, infinito. Pero un conjunto infinito también puede ser numerable, como

por ejemplo, Z, el conjunto de los números enteros.

Ejemplo:

Si se consideran los conjuntos:

es una variedad de palta que se produce en Chile

es un pez en el Océano Pacífico

es el tiempo de vida útil de las ampolletas

Entonces A es finito y, por lo tanto, contable. B es infinito, pero numerable, mientras

que C es infinito no numerable.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Definición: Sean A y B conjuntos, una relación entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A x B, entonces existen 2 n posibles relaciones entre A y B, donde n es el número de parejas ordenadas en A x B.

Si A = a,b y B = 1,2 entonces A x B = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2) por lo que el numero de relaciones es 24 = 16 que corresponde al conjunto potencia de A x B

⇒ pot ( A x B ) = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (a,1),(a,2), (a,1),(b,1), (a,1),( b,2 ), (a,2),(b,1), (a,2),(b,2),

⇒ (b,1),(b,2), (a,1),(a,2),(b,1), (a,1),(a,2),(b,2), (a,2),(b,1),(b,2), (a,1),(b,1),(b,2), ,

⇒ (a,1),(a,2),(b,1),(b,2)

1) Sea A = ∅, B arbitrario, entonces A x B = ∅ y por lo tanto la única relación posible entre A y B es la vacía. Análogamente si B =

∅.

2) Si A = a y B = b entonces A x B = (a,b) , existen dos relaciones entre A y B, la vacía y la total.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.

SUBCONJUNTO

A = B

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂.

A ⊂ B o B ⊃

SUBCONJUNTOS PROPIOS

Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por ⊆.

A ⊆ B o B ⊇ A

CONJUNTO POTENCIA

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.

A = 1, 2

El total de subconjuntos es:

22 = 4

1,2, 1, 2,

CONJUNTOS DISJUNTOS

Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que

pertenezcan a ambos.

F = 1, 2, 3, 4, 5, 6

G = a, b, c, d, e, f

PARTICIÓN

Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le denomina partición.

OPERACIONES DE CONJUNTOS

Unión.Intersección. Diferencia.Complemento.Producto cartesiano.

UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A ∪ B = x | x ∈ A o x ∈ B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:

A ∩ B = x | x ∈ A y x ∈ B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

A - B = x | x ∈ A, x ∉ B Nota: A - B ≠ B - A

COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o Ac.

A’ = x | x ∈ U, x ∉ A Nota: A’ = U - A

PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.

A x B = (a, b) | a ∈A y b ∈ B

LEYES DE CONJUNTOS

DE IDEMPOTENCIA

A ∪ A = A A ∩ A = A

ASOCIATIVA

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

CONMUTATIVA

A ∪B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

DISTRIBUTIVA

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) DE IDENTIDAD

A ∪ U = U A ∩ U = A A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅DE INVOLUCIÓN (A’)’ = A

DE COMPLEMENTO

A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅U’= ∅ ∅’= U

D’MORGAN

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’= A’ ∪ B’

PRINCIPIO DE CONTEO

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) A ∩ B = ∅n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) A ∩ B ≠ ∅

DIAGRAMA DE VEEN

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los

Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento

de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.

De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un

estudiante al estudiar esta teoría, pues se empieza sin ninguna definición válida.

El concepto de conjunto se acepta sin definición.

La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría

de Conjuntos es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a

dudas es muy importante ya que influirá en otras teorías matemáticas. Pues bien,

los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos

matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante

realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección, etc. Podríamos

decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante,

son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de

Conjuntos.

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los

Diagramas de Veen.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.

En teoría la intersección de dos

conjuntos podemos definirla como la

parte común que tienen dos conjuntos, si

es que existe(Ejemplo de inexistencia: la

intersección de los números pares con

los impares) . Pues el diagrama que

viene a continuación representa dicha

situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la

parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay

ningún elemento común)

En efecto, se observa que ambos conjuntos

no tienen ninguna parte común. Esto se le

llama en Matemáticas conjunto vacío y se

representa: Ø.

Diagrama de la unión de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos

podemos definirla como una “suma” de un

conjunto con otro. Pues el diagrama que se

muestra a continuación representa la

situación descrita anteriormente.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han

sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complementario de un conjunto.

En teoría el complementario de un conjunto

se hace en referencia a un conjunto

universal y se define como los elementos

que no pertenecen al conjunto. Tan raro se

entiende mejor con el siguiente diagrama.

El conjunto U es el universal(parte amarilla y

blanca) y el complementario de A es solo la

parte amarilla del dibujo. El complementario

de un conjunto se representa Ac.

Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia B - A es la parte de B que no

está en A.

La diferencia de conjuntos en matemáticas

se expresa B\A, para este caso.

Diagrama de la inclusión de conjuntos.

En el diagrama se puede observar como el

conjunto B esta contenido (o incluido) en el

conjunto A. Esto matemáticamente se

expresa BÌA.

Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones

con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se

obtienen las demás.

Notas biográficas

Jhon Venn nació el 4 de agosto de 1833 en Hull (Inglaterra) y murió el 4 de abril

de 1923 en Cambridge (Inglaterra).Este científico nace en una familia acomodada

y evangélica y cristiana. Fue profesor en la Universidad de Cambridge, impartía

clases de lógica y probabilidad, estaba interesado en las teorías de De Morgan y

Boole. Con relación a este último se encargó de ampliar su teoría acerca de la

lógica matemática con lo que elabora los diagramas que hemos visto antes. Entre

sus libros cabe destacar Symbolic Logic (Lógica Simbólica) en 1881 y The

Principles of Empirical Logic (Los Principios de la Lógica Empírica ) en 1889.

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para

contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o

entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para

enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro

evento Bpuede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas

diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual

a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas,

suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden

recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas

para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer

premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de

tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial

de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros

positivos de 1 a n; es decir, sea

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es

relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por

ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número

de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las

posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas,

2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

La técnica de la multiplicación

La técnica aditiva

La técnica de la suma o Adición

La técnica de la permutación

La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso

de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el

segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,

entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo

implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno

tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2

puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el

cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras

distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a

producto.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1.

¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a

C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser

realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M

maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas

..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,

entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que

puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando

acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta

en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede

ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se

presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y

puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta

en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo

hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una

lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General

Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda

operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en

el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un

condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como

modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas

diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA PLAYAS

Económico Residencial

Condominio Californiano

Provenzal

m=2 n=3

2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el

numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos.

Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo

de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son

permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de

permutaciones distintas es:

FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso,

donde existen 15 participantes?

Aplicando la formula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!

11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial,

producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en

numerador y denominador. !

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es

diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos

resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo

de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C).

Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los

resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones

definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los

resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n

objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para

identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3

colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga

una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores

para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes

del producto.