8/17/2019 Ecua Ultima Practica

1/7

17.- Resuelva la siguiente ecuación integro diferencial:

 y ´ (t )+ y (t )+4∫0

t 

 z (u )+10=0  

 y ´ (t )+ z ´ ( t )+ z (t )=0  

 z ´ (0 )=−6 ; y ´ (t )=12  

Resolución:

 L[ y ´ ( t )+ y ( t )+4∫0

t 

 z (u )+10]s= L [0 ]s  

sy ( s)− y (0 )+ y ( s)+4 z (s )

s  +

10

s =0

 …1

 L [ y ´ (t )+ z ´ (t )+ z (t ) ]= L [0 ]  

sy ( s)− y (0 )+sz (s )− z (0 )+ z ( s)=0 … ..2  

Para t=0

¿ y ´ (0 )+ y (0 )+4∫0

t 

 z (u )+10=0  

12+ y (0 )+10=0  

 y (0 )=−22  

¿ y ´  (0 )+ z ´  (0 )+ z (0 )=0  

12−6+ z (0)=0  

 z (0 )=−6  

Luego se tiene el sistema

(s+1 ) y ( s)+(4

s

 ) z (s )=−22−

10

s   … . α   

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

2/7

sy ( s )+( s+1 ) z ( s )=30…β  

Hallamos la determinante

 Δ=

|s+1

  4

s

s s+1|=( s+2)2−4

 

 Δ=s2+2 s−3 ; Δ ≠0  

Regla de cramer

¿ y ( s )=|−22−

10

s

4

s

−30   s+1

| Δ   =(−22−

10

s ) (s+1 )+

120

s

 Δ

 

 y (s )=−32s  +

  12

s−1  

 L−1 [ y (s ) ]=−32+12e t   

¿ z ( s)=|s+1   −22−10s

s   −30 | Δ

  =−30 (s+1 )+22 s+10

 Δ

 

 z ( s)= −8s−1  

 z ( t )=−8et   

18.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

 y (t)+2y ´(t)+y(t)=sen(4t)+t {e} ^ {-t} + {t} ^ {2} {e} ^ {t} +8 {δ} rsub {2π} (t) 

 y (0 )=2  

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

3/7

 y ´  (0)=1  

Resolución:

s2

 y ( s)−sy (0 )+2 sy ( s)−2 (2 )+ y (s )=  4

s2+16+

  1

s+1 +  1

( s−1)2+8e2πs

 

s2 y ( s)−2 s+2 sy ( s)−4+ y ( s)=

  4

s2+16

+  1

s+1+

  1

( s−1 )2+8 e−2πs

 

 y (s ) ( s2+2 s+1 )=2s+5+   4s2+16

+  1

s+1+

  1

(s−1 )2+8e2πs

 

 y (s )=   2 s(s+1 )2

+   s(s+1 )2

+  4

( s2+42 ) ( s+1 )2+

  1

( s2+4 ) ( s+1 )2+

  1

( s2+4 ) ( s−1 )2+8e−2 πs

( s+1 )2  

 y (s )=2 ( s+1 )

(s+1 )2 −

  2

(s+1 )2+

  5

(s+1 )2+

  4

(s2+4 ) (s+1 )2+

  1

(s2+4 ) ( s+1 )2+

  1

(s−1 )2 (s+1 )2+8e

−2πs

(s+1)2  

 y (s )= 2(s+1 )

−3

( s+1 )2+

4

( s2+4) ( s+1 )2+

1

(s+1)3+

1

( s−1 )2 ( s+1 )2+

8 e−2 πs

(s+1 )2  

 y (s )=   2(s+1 )

+  3

(s+1 )2−

  50

51 (s2+16 )+

  145

867 (s+1 )+

  41

17 (s+1 )2+

  1

(s+1 )3+

  1

(s−1)2 ( s+1 )2+8e

−2πs

(s+1 )2  

Reduciendo:

 y (s )=0.8616  1

(s+1)+304852

  1

( s+1 )2+8e

−2πs

(s+1 )2+0.1944

  1

( s−1 )+0.25(

  1

( s−1 ))2

50

51 ( s2+16 )+1

2(  2

s+1)3

ntonces:

 y (s )=0.8616 e−t +304852 t e−t +0.1944 e t +0.25 e t +0.2450 sen4 t +0.5et t 2+8 (t −2 π ) et −2π ; t >2π 

!

 y (s )=0.8616 e−t +304852 t e−t +0.1944 e t +0.25 e t +0.2450 sen4 t +0.5et t 2+; t 

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

4/7

1".-  y ´ (t )=!s4 t −2∫0

t 

 y (θ ) !s2 (θ−t )dθ; y (0=2)  

Resolución

sy ( s)− y (0 )=  s

s2+16

−2 y (s)  s

s2+4  

sy ( s)−2=  s

s2+16

− y (s)  2s

s2+4  

sy ( s)+ y (s )   2 s

s2+4

=  s

s2+16

+2 

 y (s )(s+   2ss2+4 )=  s

s2+16

+2 

 y (s )=

s

s2+16

s3+6 s

s2+4

+  2

s3+6 s

s2+4

 

 y (s )=  s

2+4(s2+16 )(s2+6)

+2(s2+4)

s(s2+6)  

 y (s )=  3

10.

  1

( s2+16 )+  7

15.  1

(s2+6)+4

3. 1

s  

ntonces:

 y (t )=  3

10sen4 t +

  7

15√ 6sen√ 6 t +

4

3

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

#0$ Resuelva el P%&:

' 8

0 0

0 1

 X t X t X t F t 

 X 

 X 

′′ ′+ + =

=

′   =

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

5/7

4224

2π 4π 6 π 8π 10π t

(onde ) es la función *eriódica est+ dada en la siguiente figura:

),t$

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

6/7

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( )

( )

#

#

# #

:

*licamos L al P%&:

' 8

, $ ,0$ ,0$ ' , $ ,0$ 8 , $ , $

, $ ' 8 , $ 1

, $ 1, $

' 8 ' 8

Pero:

, $

# , # $ , $

 st 

Solucion

 L X t L X t L X t L F t 

 s x s sx x sx s x x s f s

 x s s s f s

  f s x s

 s s s s

  f s L F t 

e t dt   F t F t L F t π  

−

′′ ′+ + = ′− − + − + =

+ + = +

= ++ + + +

=  

+ = ⇒ = #

#

0

# #

# # # # #

0

#

#0

## # # , 1$

#0 0

##

#

,1 $

' # #, $

,1 $ ,1 $ ,1 $

/e sae ue:

1

1

11

si 2acemos n n-11

1

 s

 s s

 s s s

n

n

 sn

 sn

 s sn s s n

 sn n

 s s

 s

e

e e  f s

e s e s e s

qq

ee

ee e e

e

ee

e

π  

π  

π π  

π π π  

π  

π  

π  

π π π  

π  

π  

π  

π  

π  

π π  

−

− −

− − −

+∞

=

+∞−

−=

−   +∞ +∞− − − +

−= =

−−

−

−

−= − +

− − −

=−

=−

= = ⇒−

=−

∫ 

∑

∑

∑ ∑

1

# # #

# #1 1 0

# # #

# # #1 1 1

#

#1

#

#1

Reem*la3ando:

# #, $ '

# # 1, $ '

#, $ '

2ora:

#, $ '

, ' 8$

n

n

 sn sn sn

n n n

 sn sn sn

n n n

 sn

n

 sn

n

e e e  f s

 s s s

e e e  f s

 s s s s

e  f s  s s

e x s

 s s s

π π π  

π π π  

π  

π  

π π  

π π  

π  

+∞

=

− − −+∞ +∞ +∞

= = =

− − −+∞ +∞ +∞

= = =

−+∞

=

−+∞

=

= − − +

 = − − + + ÷

 

= − +

= − ++ +

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

[ ]

# # #

# # #

#1

1 # # #

0

1 # #

# 0 0

1.........., $

, ' 8$ ' 8

Hacemos:

1 1, $

' 8 , #$ #

#, $

#

, $ # # # 1

# 8 8 8

, $ # # 1

# 14 14 8

*

t 

t    u t t 

u t t t 

 s s s s s

r s s s s

e Sen t   L r s

r s e Sen u du e Sen t e Cos t   L

 s

r s e Sen u du e Cos t t   L

 s

α 

π  

−−

−   − − −

−   − −

++ + + +

= =+ + + +

⇒ =

⇒ = = − − +

⇒ = = − +

∫ 

∫ ∫ 

[ ] [ ]

1

#11 1 1

#1

# #1

#

1   , # $

#

licamos L , $ 5 reem*la3ando :

, $ # , $, $ ' , $

, $ # # 1 #, $ ' , $ , $

14 14 8 #

)inalmente:

, $

 sn

n

t t 

n

n   t n

n

a

e r s r s L x s L L L r s

 s s

r s e Cos t t e Sen t   X t U t L

 s

 X t U 

π  

π  

π  

π  

α 

π  

π  

−

−+∞−− − −

=

− −+∞−

=   −

  = − + +  

= − + − + +

=

∑

∑

#, # $ #, # $ # #

1

#, # $ #, # $ 1 1 # 1 #, $, $ , $

# # # 8 8 ' #

t n t n t t  

n

e Sen t n e Cos t n e Cos t t e Sen t  t 

π π  

π π  

π  

− − − − − −+∞

=

− −+ − + − + +∑

8/17/2019 Ecua Ultima Practica

7/7