DAEZEGO

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ELECTROTECNIAELECTROTECNIAELECTROTECNIAELECTROTECNIA

APUNTE APUNTE APUNTE APUNTE ---- UNIDAD 1UNIDAD 1UNIDAD 1UNIDAD 1

2012201220122012

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos distribuidos de tal manera de que permite la circulación de

una corriente eléctrica. A este conjunto de elementos lo podemos dividir en tres partes fundamentales:

1- La fuente encargada de proveer energía eléctrica que puede estar formada por un generador o varios de

ellos. Dicha fuente de energía se llama central eléctrica.

2- Un grupo de elementos que se encargan de transformar la energía eléctrica en otro tipo según se requiera.

Se lo conoce generalmente como carga.

3- Un grupo de conductores que se encargan de transmitir la energía eléctrica desde la central eléctrica

hacia la carga. Se conoce como línea de transmisión.

El generador es una máquina que se encarga de transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. El

generador es el encargado de darles energía a las cargas eléctricas para que puedan desplazarse por el circuito

eléctrico. Esta propiedad es conocida como fuerza electromotriz (fem) y se indica con la letra E. El generador

real posee una resistencia interna, la cual es propia de la máquina, mientras que el generador ideal es aquel que

no posee resistencia interna, es una idealización. La representación general de un generador se hace indicando

con un círculo la fem incluyendo su magnitud y polaridad. Además debemos incluir la resistencia interna del

generador como se muestra en la figura. Ambos elementos se dibujan separados, pero en realidad son uno solo.

Considerando el circuito eléctrico cerrado del esquema, en el cual no incluimos la línea de

transmisión, los puntos A y B son los bornes del generador los que nos permiten conectar

el generador con la carga Rc que representa a todo el consumo y no necesariamente es del

tipo resistiva pura. Por convención la corriente sale del borne positivo hacia el negativo,

ya que siempre parte de una zona de alto potencial hacia una zona de bajo potencial.

Observando el esquema anterior se puede notar que sobre la carga hay una tensión que podríamos llamar

VAB, cuyo valor no es E sino uno inferior ya se produce una caída dentro del generador debida a la resistencia

interna. Para verificar esto aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff a la malla (única) del circuito:

− ∙ − ∙ =

La segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión en una malla cerrada es igual a cero

Ri

E

Rc

GENERADOR

I

A

B

+

Ri

E

RcI

+

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Según la ley de Ohm = , entonces tenemos:

∙ ∙

Así vemos que la tensión en bornes del generador real es U= VAB que, efectivamente es menor que E y

además que es función de la corriente de carga.

Podemos graficar este comportamiento bajo las condiciones de E constante y Ri constante. De esta manera

obtenemos un gráfico de U como función de la corriente de carga I. Notamos que para Rc tendiendo a infinito la

I=0 resultando que U=E que es la forma de trabajo a vacío del generador y nos permite determinar el valor de la

fem con sólo medir la tensión en bornes. El otro extremo es cuando Rc=0, esta

forma de trabajo se conoce como cortocircuito y con ella obtenemos el valor de

corriente máxima que puede suministrar nuestro generador:

;

Por lo general se trata de que los generadores operen dentro de un determinado límite, lejano a Icc, donde el

valor de U permanece constante.

Tengamos en cuenta ahora la caída de tensión que se produce en

la línea de transmisión. Para ello consideremos el circuito

eléctrico de la figura y que nuestra línea de transmisión está

compuesta por dos conductores de longitud L, sección S y

resistividad δ. Podemos considerar a cada conductor como un resistor, así en cada uno de ellos se produce una

caída de tensión cuya expresión viene dada por:

∙ ∙ ∙ ; ó

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito y teniendo en cuenta que a la salida de la central tenemos

una tensión UG y en la carga una tensión U obtenemos:

! " " " ∙

! ∙ ! Vemos que la tensión del generador no aparece totalmente en la carga sino que una parte se pierde en la línea

de transmisión la cual se conoce generalmente por caída de tensión en la línea y se representa con Ul. Dicha

caída de tensión incluye a todos los conductores que forman la línea de transmisión.

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TRANSFORMACIÓN DE ESQUEMAS ELÉCTRICOS POR AGRUPACIÓ N DE RESISTORES

Muchas veces al buscar la solución de un circuito debemos realizar simplificaciones para tratar de obtener un

circuito más sencillo que el original. Para lograr esto se analiza cómo están conectados los resistores en el

circuito y se reemplazan algunos grupos de éstos por otros más simples o de mayor conveniencia. Veremos que

cada agrupación recibe su nombre en base a la conexión en que se encuentran los resistores, así tenemos la

conexión en serie, en paralelo, en estrella y en triángulo. Cabe aclarar que estás configuraciones y

transformaciones se aplican para impedancias, es decir el análisis con resistores representa un caso particular

pero los resultados que obtendremos son totalmente análogos al análisis con impedancias.

Conexión serie

Este tipo de agrupamiento es uno de los más comunes. Dicho conexión se indica en la figura:

Para hallar la resistencia equivalente, que llamaremos RS, planteamos la segunda ley de Kirchhoff para la

malla obteniendo que:

U I ∙ R& + I ∙ R' + I ∙ R( = I ∙ )R& + R' + R(* = I ∙ R+

Así vemos que el valor que toma la resistencia equivalente del conjunto se obtiene, para el caso de tener n

cantidad de resistores conectados en serie, con la siguiente expresión:

= ,-.

Conexión paralelo

Es el segundo tipo de conexión más conocido y se muestra en la siguiente figura:

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Para hallar la resistencia equivalente, RP, aplicamos la primera ley de Kirchhoff obteniendo que:

La primera ley de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de las

corrientes que salen del mismo

I UR& "UR' "

UR( U ∙ / 1R& + 1R' + 1R(1 = U ∙ 2 11R& + 1R' + 1R(3

Vemos que la resistencia equivalente no resulta ser la suma como sucedió en el caso anterior sino que el

cálculo es más complejo. La expresión general para hallar la resistencia equivalente de n cantidad de resistores en

paralelo es la siguiente:

4 = .∑ 6 .7-.

Conexión estrella y triángulo

La conexión estrella, que se conoce también como conexión “T”, la vemos en la siguiente figura:

Mientras que la conexión triángulo, que también suele llamarse “π”, resulta ser:

Dichas conexiones se aplican por lo general en circuitos complejos donde no podemos hallar una resistencia

equivalente mediante agrupaciones en serie o paralelo. Estas configuraciones nos ayudan a transformar el

circuito de manera que podamos obtener agrupaciones en serie o paralelo y finalmente obtener la resistencia

equivalente de todo el circuito vista desde los bornes que necesitemos. Es común que el proceso deba reiterarse

varias veces y además alternar entre los tipos de transformaciones que usamos.

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Teorema de Kenelly ó transformación estrella-triángulo

Para pasar de un circuito estrella a uno triángulo debemos reemplazar los resistores RA, RB y RC que están

conectadas en estrella por los resistores R1, R2 y R3 que se encuentran en triángulo, de manera tal de que entre los

puntos 1-2, 2-3 y 3-1 la resistencia que presenten ambas conexiones sea la misma. Para ayudarnos hemos

dibujado ambas conexiones superpuestas.

Dicho esto podemos ver que para la conexión en estrella tenemos las siguientes resistencias equivalentes

(suma en serie de los resistores comprendidos entre los puntos de interés):

⅄9&:' 9; " 9<

⅄9':( 9< " 9=

⅄9&:' 9= " 9;

Mientras que para la conexión en triángulo resulta que (suma en serie y luego suma en paralelo de los

resistores entre los puntos de interés):

9&:' 9( ∙ )9& + 9'*9& + 9' + 9(

9':( = 9& ∙ )9' + 9(*9& + 9' + 9(

9(:& = 9' ∙ )9( + 9&*9& + 9' + 9(

Para realizar la transformación de un tipo de conexión sin alterar nada del exterior debemos cumplir con la

condición de que entre los puntos 1-2, 2-3 y 3-1 la resistencia que presenten ambas conexiones sea la misma. Es

decir que podemos obtener las siguientes igualdades:

9; + 9< = 9( ∙ )9& + 9'*9& + 9' + 9(

9< + 9= = 9& ∙ )9' + 9(*9& + 9' + 9(

9= + 9; = 9' ∙ )9( + 9&*9& + 9' + 9(

Las ecuaciones anteriores representan un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que dependiendo del tipo

de conexión que conozcamos nos dará los siguientes resultados:

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De estrella a triángulo

. " "

" "

? " "

La ley de transformación puede expresarse como: la resistencia equivalente del triángulo resulta ser la

suma de los productos dobles de las resistencias de la estrella, divida por la resistencia de la estrella opuesta a

la que se desea calcular del triángulo.

De triángulo a estrella

?. " " ?

.?. " " ?

.?. " " ?

La ley de transformación puede expresarse como: la resistencia equivalente de la estrella resulta ser el

producto de las resistencias del triángulo que concurren al mismo nodo, dividido por la suma de todas las

resistencias del triángulo.

A modo de ejemplo hallemos el equivalente en triángulo del circuito en estrella que se observa en la figura.

Nuestros datos son los resistores de la estrella, por lo tanto para hallar los resistores del triángulo equivalente

aplicamos las ecuaciones que hallamos anteriormente:

. @@ ?∙A@A∙@∙?? = ?.?

= @@ = ?∙A@A∙@∙?A = ?.A

? = @@ = ?∙A@A∙@∙? = ?.

Vemos que la transformación de una conexión a otra resulta sencilla dado que es simplemente recordar la ley

de transformación para cada caso y aplicar las fórmulas.

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RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MEDIANTE LAS LEYES DE KIRCH HOFF

Resolver cualquier circuito implica determinar todas las corrientes que existen por el mismo. Para

determinar dichas incógnitas hay que plantear tantas ecuaciones como incógnitas tengamos. Este método se usa

cuando los circuitos no pueden ser resueltos con las leyes de ohm y las configuraciones y transformaciones que

vimos anteriormente. Por lo general el método consiste en determinar las corrientes en las ramas de un circuito

conociendo las fems y las resistencias.

Primero debemos determinar el número de incógnitas que

coincide con el número de ramas del circuito. Una rama es un

tramo el circuito que existe entre 2 nodos y que no tiene

derivaciones. El nodo es el lugar físico donde concurren 3 o

más ramas. Por comodidad llamaremos Ra al número de

ramas, entonces:

B°óDE = E = úGEGE Dependiendo del número de incógnitas debemos determinar la cantidad de ecuaciones independientes para

resolver nuestro circuito. Para encontrar dichas ecuaciones es necesario seleccionar previamente la cantidad

de nodos ó mallas independientes. Entonces llamaremos N al número de nodos y M al número de mallas, así:

Ni = nodosindependientes = N − 1

Mi = mallasindependientes = Ra − Ni Entonces podemos trabajar con Ni ó Mi ecuaciones independientes según nos convenga. El hecho de definir

la cantidad de mallas ó nodos independientes radica en que dicha cantidad nos determina el número de

ecuaciones independientes del circuito considerado.

Vamos a detallar los pasos necesarios para resolver un circuito empleando lo que vimos hasta ahora.

1- Para cualquier circuito que analicemos con este método primero elegimos un sentido positivo de

circulación con el fin de poder determinar los signos de las fems y las caídas de tensión en los

elementos. Por convención se usa el sentido de circulación horario e indicarlo con una flecha curva.

2- Luego elegimos en forma arbitraria sentidos para las corrientes en cada rama, teniendo en cuenta que

dichos sentidos elegidos no contradigan la primera ley de Kirchhoff en ningún nodo (la suma de las

corrientes que entran al nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen. No pueden entrar ó

salir todas a la vez).

3- Se determina Ni y también Mi. Luego se procede a resolver el sistema de ecuaciones formado por Ni

ecuaciones de nodos y Mi ecuaciones de mallas. Después se determinan los valores de las corrientes.

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4- Finalmente se verifican los sentidos de las corrientes que habíamos elegido para cada rama. Si el signo es

positivo entonces el sentido supuesto es correcto. En el caso de que fuese negativo nos indica que

debemos cambiarle el sentido y listo.

En la figura se muestra un circuito donde se

indica el planteo inicial para resolverlo. Se

observan los 4 sentidos de circulación positivos

y las 7 corrientes incógnitas cuyos sentidos

hemos elegido al azar. Sólo resta plantear las

ecuaciones, 3 de nodos y 4 de mallas, y calcular

las incógnitas. Por últimos, si el signo de la incógnita resulta positivo significa que el sentido que supusimos es

correcto mientras que si el signo resulta negativo sólo debemos invertir el sentido manteniendo el valor hallado.

Este es el caso general de aplicación de las leyes de Kirchhoff para la resolución de circuitos ya que se

emplean en conjunto ecuaciones de mallas y de nodos y se necesita resolver tantas ecuaciones como incógnitas

tengamos. Ahora veremos dos casos particulares donde uno de ellos emplea únicamente ecuaciones de mallas y

el otro sólo ecuaciones de nodos.

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MEDIANTE EL MÉTODO DE CORRI ENTES DE MALLAS

El método consiste en suponer que en cada malla circula una corriente ficticia conocida como corriente de

malla, la cual es independiente de los efectos de las otras corrientes de mallas. El número de ecuaciones

independientes a plantear coincide con Mi. Una vez calculadas las corrientes de mallas es fácil determinar el

valor de las corrientes incógnitas del circuito ya que se obtienen por simples cálculos algebraicos.

Analicemos el ejemplo de la figura donde hemos

llamado a las corrientes de mallas IA, IB e IC

respectivamente. Luego hemos supuesto el sentido

de la corriente en cada rama. Seguidamente se

indica el sentido de las caídas en cada resistor

referido a la corriente de malla correspondiente,

señalando el lado positivo. En el caso de que por

un mismo resistor pasen 2 corrientes de mallas

debemos indicar ambos lados positivos

correspondientes a cada corriente de malla. Una vez hecho esto procedemos a plantear la ecuación para cada

malla basándonos en la segunda ley de Kirchhoff.

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Malla 1231

E' R&IV " RW)IV IX* " R')IV IY* Malla 2432

EZ RZIX " R[)I< I=* " RW)IX IV* Malla 1341

E' E( R(IY " R')IY IV* " R[)IY IX* Distribuyendo y ordenando resulta:

E' IV). " " \* IX\ IY

EZ IV\ " IX)\ " A " ]* IY]

E' E( IV IX] " I^) " ? " ]* Llamaremos resistencias propias o de malla a las siguientes:

. " " \

\ " A " ]

" ? " ]

Mientras que llamaremos resistencias mutuas o compartidas a las siguientes:

\

]

En base a lo anterior podemos escribir nuestras ecuaciones así:

E' IV IX IY

EZ IV " IX IY

E' E( IV IX " IY

Escribiendo de manera más compacta obtenemos:

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_EVEXEY` _ ` _IVIXIY`

Cabe aclarar que se han considerado sólo 3 ecuaciones, pero el sistema puede construirse en forma matricial

para la cantidad de ecuaciones que tengamos y la forma general considerando impedancias en lugar de

resistencias es:

ab acb ∙ ab Ahora sólo resta hallar las corrientes de mallas mediante

el método de Cramer o por Gauss-Jordan. Conociendo sus

valores podemos determinar cuánto valen las corrientes en

cada rama del circuito mediante sumas algebraicas, de las

corrientes de mallas, las cuales se obtienen simplemente

mirando el circuito. Para nuestro ejemplo considerando los

sentidos de las corrientes en cada rama, las mismas tienen

por expresión:

I& = IV ; I' = IY − IV ; I( = IY ; IW = IX − IV ; IZ = IX ; I[ = IY − IX

En el caso de que alguna de las corrientes sea negativa debemos cambiar el sentido que supusimos.

Trataremos de hallar una expresión similar a la que obtuvimos,ab = acb ∙ ab, pero en la que intervengan

admitancias en lugar de impedancias para el caso más general que es considerar a las magnitudes como vectores.

Entonces vamos a considerar un circuito de 3 mallas, para hacer más corto el análisis, donde supondremos que

existe sólo una fuente en cada malla, así tenemos la siguiente expresión según el desarrollo que hicimos:

Edde& = IeVcde + IeXcde + IeYcde

Edde' = IeVcde + IeXcde + IeYcde

E( = IeVcde + IeXcde + IeYcde

Resolviendo por determinantes el sistema anterior obtenemos que:

IeV =fEdde& cde cde Edde' cde cdeEdde( cde cdeffcde cde cde cde cde cdecde cde cdef

= Edde& ∙ )±MdddeVV*∇ddei + Edde' ∙ )±MdddeXV*∇ddei + Edde( ∙ )±MdddeYV*∇ddei

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Donde hemos indicado los menores complementarios con la letra M, mientras que los determinantes con la

letra ∇. Notar que tanto M como ∇ son números complejos y por ello se los expresa como magnitudes

vectoriales. Por último recordemos que el signo de M se obtiene como )1*j@k donde i representa la fila y j la

columna. En nuestro caso hemos usado letras en lugar de números para identificar las filas y columnas, pero de

todas maneras lo que se utiliza es la posición de cada letra, así la A será 1, la B será 2 y la C será 3.

Si definimos como:

ydejk Mdddekj∇ddei ∙ )−1*j@k la cual representa una admitancia ficticia que en realidad no existe físicamente y por ello la representamos

con letra minúscula podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

IeV = Edde& ∙ )±MdddeVV*∇ddei + Edde' ∙ )±MdddeVX*∇ddei + Edde( ∙ )±MdddeVY*∇ddei = Edde& ∙ ydeVV + Edde' ∙ ydeVX + Edde( ∙ ydeVY

IeX = Edde& ∙ )±MdddeXV*∇ddei + Edde' ∙ )±MdddeXX*∇ddei + Edde( ∙ )±MdddeXY*∇ddei = Edde& ∙ ydeXV + Edde' ∙ ydeXX + Edde( ∙ ydeXY

IeY = Edde& ∙ )±MdddeYV*∇ddei + Edde' ∙ )±MdddeYX*∇ddei + Edde( ∙ )±MdddeYY*∇ddei = Edde& ∙ ydeYV + Edde' ∙ ydeYX + Edde( ∙ ydeYY

De forma matricial el sistema quedaría expresado como:

mIeVIeXIeYn = ope pe pe pe pe pepe pe peq mEdde&Edde'Edde(n

Así hemos llegado a una expresión similar a la que hallamos anteriormente y en la que aparecen las

admitancias ficticias. En este caso las admitancias con los dos subíndices iguales se llaman admitancias

impulsoras, mientras que las que tienen subíndices diferentes son admitancias de transferencia. La matriz que

hemos encontrado también es simétrica. Nuevamente aclaramos que hemos hecho el desarrollo para 3 mallas

pero se puede extender a un circuito de n mallas.

Como conclusión es importante destacar que en la resolución de circuitos mediante el método de corrientes de mallas se supone un número de corrientes ficticias o de mallas igual al número de Mi que tengamos. Dichas corrientes de mallas son independientes entre sí y conviene suponer sus sentidos de circulación todos iguales para poder formar la expresión matricial que hemos obtenido anteriormente con dichos signos. Llamamos resistencia propia o de malla a aquella que pertenece sólo a la malla en cuestión, mientras que la resistencia mutua o compartida es la que comparten dos ramas.

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RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS MEDIANTE EL MÉTODO DE POTEN CIALES DE NODOS

Consiste en darle a los distintos nodos de un circuito un determinado potencial, y determinar dicho valor.

Conociendo los potenciales de nodos se pueden calcular fácilmente las tensiones en cada rama y por ende las

corrientes de las mismas, ya que como dijimos en un principio resolver un circuito implica hallar todas las

corrientes. En este caso debemos plantear Ni ecuaciones independientes.

En este método se asigna a cada nodo en estudio un potencial

arbitrario que por comodidad siempre es positivo. Además por

simplificación a uno de los nodos se le asigna potencial nulo y se lo

toma como nodo de referencia, dicha asignación es al azar. Luego se

analiza cada nodo restante, aplicando la primera ley de Kirchhoff,

considerando sólo las ramas que concurren al nodo en estudio.

Consideremos el mismo circuito que vimos anteriormente, sólo que ahora lo resolveremos empleando el

método de potenciales de nodos. Entonces, en nuestro caso tomaremos como nodo de referencia el 3 al cual le

asignaremos un potencial nulo.

Lo primero que hay que hacer una vez que ya decidimos el nodo de referencia es plantear la primera ley de

Kirchhoff en el nodo que estemos analizando. Como dijimos antes, el nodo en estudio lo consideramos positivo

por lo que las corrientes son todas salientes al mismo.

Comenzamos analizando el nodo 1 por lo que sólo incluiremos las

ramas que al él concurren y obtendremos la ecuación de dicho nodo tras

analizar cada rama. En la figura se han indicados las corrientes, todas

salientes, de cada rama. Procederemos al análisis de cada una de ellas.

Rama 1-2

La corriente se calcula como el cociente entre la diferencia de potencial en la rama dividida la resistencia de

dicha rama. Tener en cuenta que la corriente siempre parte de las zonas con alto potencial hacia los de bajo

potencial, por eso es el potencial en 1 menos el potencial en 2. Esto es obvio ya que hemos supuesto que 1 posee

un potencial positivo y nada nos limita en suponer que además es el más positivo de todos. Entonces:

I& ∆UR& U& U'R& )U& U'* ∙ G&

Para este método resulta más cómodo trabajar con conductancias (G) en lugar de resistencias (R), las cuales

son inversas.

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Rama 1-3

En esta rama hay una f.e.m. cuyo efecto (caída de tensión) está a favor de la corriente supuesta. Además en

este caso el potencial del punto 3 es nulo dado que es nuestro nodo de referencia. Entonces tenemos:

I' U& " E'R' U&G' " E'G'

Rama 1-4

La corriente en esta rama puede hallarse como:

I( U& UW " E(R( )U& UW* ∙ G( + E(G(

De esta manera la ecuación del nodo 1 será:

I& + I' + I( = 0

)U& − U'* ∙ G& + U&G' + E'G' + )U& − UW* ∙ G( + E(G( = 0

Distribuyendo y ordenando queda:

U& ∙ )G& + G' + G(* − U'G& − UWG( = −E'G' − E(G(

Con el mismo razonamiento determinamos las ecuaciones de los nodos restantes. Tener en cuenta que

siempre le asignamos un potencial positivo al nodo en estudio y que es el más positivo de todos.

Nodo 2

La ecuación del nodo es:

I& + IW + IZ = 0 )U' − U&* ∙ G& + U'GW + )U' − UW* ∙ GZ − EZGZ = 0

U' ∙ )G& + GW + GZ* − U&G& − UWGZ = EZGZ

Nodo 4

La ecuación del nodo es:

I( + IZ + I[ = 0

)UW − U&* ∙ G( − E(G( + )UW − U'* ∙ GZ + EZGZ + UWG[ = 0

UW ∙ )G( + GZ + G[* − U&G( − U'GZ = E(G( − EZGZ

I6

I3

I5

41 R6

2

R3

R5

3

+

E5+

E3

Nodo de referencia

U3 = 0

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En este caso llamaremos conductancias propias o de nodo a las siguientes:

!.. !. " ! " !?

! !. " !\ " !A

!\\ !? " !A " !]

Mientras que llamaremos conductancias mutuas o de conexión a las siguientes:

!. !. !.

!.\ !? !\.

!\ !A !\

En base a lo anterior y ordenando podemos escribir nuestras ecuaciones así:

E'G' E(G( U&!.. " U'!. " UW!.\

EZGZ U&!. " U'! " UW!\

E(G( EZGZ U&!\. " U'!\ " UW!\\

El sistema anterior lo podemos escribir de manera genérica y en forma matricial como:

_I&I'IW` _!.. !. !.\!. ! !\!\. !\ !\\` _U&U'UW

` Como los productos de las fems por las conductancias son corrientes hemos escrito en la forma matricial

directamente las corrientes correspondientes a cada nodo, dichas corrientes pueden ingresar o salir del nodo lo

cual va a depender del circuito que analicemos. Además cabe aclarar que se han considerado sólo 3 ecuaciones,

pero el sistema puede construirse en forma matricial para la cantidad de ecuaciones que tengamos.

Para finalizar debemos determinar los potenciales de nodos mediante Cramer o Gauss-Jordan y lo siguiente

es calcular los potenciales de cada rama para luego hallar nuestras verdaderas incógnitas que son las corrientes.

En el caso de nuestro circuito y suponiendo que ya determinamos los potenciales de nodos, la tensión en

cada rama tiene por expresión:

U&:' U& U'; U&:( = U& − U(

U&:W = U& − UW; U':( = U' − U(

U':W = U' − UW; UW:( = UW − U(

Conociendo las tensiones en cada rama y los valores de resistencia podemos calcular las corrientes de cada rama.

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Como conclusión es importante recordar que en este método debemos plantear Ni ecuaciones independientes. El nodo de referencia es arbitrario, único para todo el análisis y de potencial nulo. Al estudiar un nodo sólo se toman las ramas que a él concurren y le asignamos un potencial positivo siempre. Por último aquí trabajamos con conductancias propias o de nodo y conductancias mutuas o de conexión.

PRINCIPIOS Y TEOREMAS

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Si en un determinado circuito tenemos dos ó más fuentes actuando simultáneamente, es posible calcular el

efecto total que produce dicho conjunto de fuentes en una determinada parte del circuito calculando los efectos

individuales de cada fuente mientras se pasivan las demás para luego sumar todos los efectos. Este principio es

aplicable a circuitos del tipo pasivos, es decir que sólo poseen elementos (impedancias) que permanecen

constantes ante cualquier estado de excitación. No es aplicable para el cálculo de potencias, ya que no es una

función lineal ni de la excitación U ni de la excitación I. Tampoco al cálculo de rendimientos.

Pasivar una fuente es hacer que la misma no actúe o deje de producir su efecto. Una fuente estará pasivada si

la misma está reemplaza “por algo” en el circuito que hace que la parte ideal de dicha fuente no actúe. Para las

fuentes reales de tensión esto sería reemplazar la fuente ideal por un cortocircuito, mientras que en el caso de las

fuentes reales de corriente debemos quitar la fuente ideal o lo que es lo mismo colocar un circuito abierto.

Consideremos el circuito de la figura compuesto por 4 ramas y 3

fuentes. Podemos resolver el circuito aplicando este teorema y calcular las

corrientes que impone cada fuente por separado y luego sumar las

correspondientes a cada rama respetando los signos impuestos por los

sentidos de las mismas. Es decir que:

Así hemos determinado los efectos de cada fuente. Para hallar el efecto total, por ejemplo el valor de la

corriente I2 sólo debemos sumar con sus respectivos signos todas las corrientes con igual subíndice, es decir:

u " uu " uuu

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PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN

Este principio dice que: Se puede reemplazar una rama de un circuito por otra cualquiera siempre y

cuando que, al realizar el cambio por la nueva rama siga circulando la misma corriente y exista la misma

tensión que habría si estuviera la rama original. Es decir, se reemplaza una rama por otra de manera que no se

altere la corriente ni la tensión al realizar la sustitución. Es importante tener presente que la nueva rama que

deseamos colocar puede estar compuesta por elementos pasivos, activos o combinación de ambos tipos de

elementos.

La demostración resulta sencilla y para ello vamos a considerar un circuito complejo el cual no sabemos

cómo está compuesto y que llamamos dipolo activo (D.A). Sólo conocemos una rama del circuito tal como se

observa en la figura. Luego hemos colocado para realizar la demostración dos fuentes enfrentadas cuya tensión

en bornes coincide con la tensión original de la rama.

De esta manera se “cancelan” la tensión en el resistor con la de la fuente opuesta a ésta, quedando así la otra

fuente con la polaridad correcta e igual tensión que la rama original.

Entonces podemos reemplazar por diferentes ramas siempre y cuando por éstas circulen la misma corriente y

exista la misma tensión que existía en la rama original. Esto se aprecia a continuación:

Este teorema es muy utilizado y se emplea generalmente para sustituir una impedancia de un circuito por una

fuente. Esta aplicación toma sentido a la hora de trabajar con circuitos complejos en los cuales una impedancia

pueda estar formada por muchos elementos y resulta más cómodo reemplazarla por una fuente ó puede darse el

caso en que se destruye una determinada impedancia y la reparación más rápida que podemos emplear, es

reemplazarla por una fuente, que por supuesto satisfaga las condiciones que impone este teorema.

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TEOREMA DE RECIPROCIDAD

Este teorema se aplica entre tensiones y corrientes, es decir entre una tensión y una corriente ó viceversa. El

teorema se cumple sólo con circuitos lineales por lo que nos sirve para determinar la linealidad de los mismos.

Podemos enunciarlo así: Una tensión aplicada E1 en una rama 1 de un circuito de n ramas va a

producir una determinada corriente In en la rama n de manera que si colocamos la fuente E1 en la rama n

se producirá una corriente I1 en la rama 1 que será igual a la In.

La demostración se deduce con la ayuda de la figura anterior. Al estar la fuente E1 en la rama 1 se produce

en la rama n una corriente In que tiene por expresión según el método de corrientes de mallas:

Iv yv& ∙ E&

Luego, cuando cambiamos la fuente E1 a la rama n, donde se ha colocado la fuente de manera que acompañe

la circulación de la corriente en ambos casos, en la rama 1 se produce una corriente I1 la cual tiene por expresión:

I& = y&v ∙ E&

De esta manera como no hemos modificado la posición de los elementos pasivos del circuito (resistores)

debe ser que yn1 = y1n ya que son admitancias de transferencia y como hemos visto anteriormente las mismas

son iguales. De esta manera será necesario que se verifique la igualdad entre las corrientes ya que las fuentes son

las mismas, es decir:

p. = p. → . =

El enunciado dual sería: Una corriente aplicada un nodo produce cierta tensión en un segundo nodo de

manera que si en este segundo nodo se aplicase la misma corriente, aparecerá en el primero la misma

tensión que se originó en el segundo nodo en el caso anterior.

Como hemos dicho al principio este teorema encuentra su utilidad para determinar si un circuito es lineal o

no, dado que su verificación implica la linealidad del mismo.

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TEOREMA DE THEVENIN

Se aplica a sistemas lineales. No puede usarse este teorema para el cálculo de rendimiento o potencia al

menos que al estar el D.A. abierto no haya disipación de potencia en el mismo.

Se puede enunciar así: Todo dipolo activo puede ser reemplazado por una única fuente de tensión en

serie con una sola impedancia, de manera que la tensión de dicha fuente sea igual a la tensión que se mide

en el dipolo a circuito abierto y que la impedancia en serie sea igual a la que se calcula o se mide entre los

bornes del dipolo pasivando todas las fuentes del mismo.

Demostración

Consideremos un dipolo activo constituido por elementos lineales el cual tiene conectado a sus bornes una

carga arbitraria llamada Zc.

Si abrimos el circuito en el punto B deja de circular corriente a través de la carga. Por eso se verifica que las

diferencias de potencial VACO son iguales VCBO, esto se ve mejor en la figura. Les agregamos a los subíndices de

las tensiones el 0 para indicar que son valores medidos a circuito abierto.

Podemos aplicar el teorema de sustitución y reemplazar la VCBO = VACO por una fuente de tensión ideal de

igual valor y sentido. Así el circuito permanece sin alteraciones dado que la corriente sigue siendo nula.

Procedemos a agregar otra fuente ideal igual y opuesta a VCBO y así volvemos al estado inicial del cual

partimos, es decir existe una corriente I y la VCB = 0.

DAEZEGO

20

Ahora aplicamos el teorema de superposición. Suponemos que en el primer caso pasivamos la fuente 2 y

dejamos activo el dipolo y la primer fuente, de esta manera nos encontramos con que la corriente I’ es nula por

lo visto anteriormente. Lo que sigue es dejar activa la fuente 2, pasivar el dipolo y la primer fuente situación en la

que sí circulará una corriente I’’ por la carga proveniente de esta segunda fuente. Necesariamente dicha corriente

I’’ es igual a la corriente I que circula al estar conectado el circuito original. Esquemáticamente la aplicación del

teorema de superposición nos muestra:

De esta manera hemos reemplazo nuestro circuito original (D.A.) lo hemos reemplazo por una fuente en

serie con una impedancia. La fuente se denomina generalmente fuente de Thevenin y la impedancia como

impedancia de Thevenin. Dicha impedancia se determina, como puede verse en el esquema anterior, pasivando el

dipolo y midiéndola ó calculándola entre los bornes A y B del mismo. En el caso de que el D.A. esté constituido

únicamente por resistores, en el equivalente de Thevenin la resistencia recibe el nombre de resistencia de

Thevenin. Como hemos empleado el teorema de superposición no podemos emplear este teorema para calcular

potencias y rendimientos, salvo que al estar el D.A. abierto no haya disipación de potencia en el mismo.

TEOREMA DE NORTON

Es el dual del teorema de Thevenin y valen las mismas restricciones. Por ser duales los teoremas veremos

que podemos definir una relación entre sus elementos.

Se puede enunciar así: Todo dipolo activo puede ser reemplazado por una única fuente de corriente en

paralelo con una única admitancia, de manera que la corriente de dicha fuente sea igual a la corriente que

se mide en el dipolo en cortocircuito, y que la admitancia en paralelo sea igual a la que se calcula o se mide

entre los bornes del dipolo pasivando todas las fuentes del mismo.

D.A.

A

ZC

B

I’= 0

+VCB0

D.A.

A

ZC

B

VAB

I

+ +VAB0 VAB0

+ D.P.

A

ZC

B

I’’

+VCB0

DAEZEGO

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Demostración

Consideremos un dipolo activo formado por elementos lineales el cual está conectado a una carga arbitraria

que llamaremos Zc.

Cortocircuitamos la carga como se muestra en la figura. De esta manera no circula corriente por la carga y la

diferencia de potencial es nula. Además circulará la corriente de cortocircuito Icc.

Aplicamos sustitución y reemplazamos el cortocircuito por una fuente de corriente 1 cuyo valor y sentido

coinciden con el de Icc. Las condiciones no se alteran al realizar la sustitución.

Ahora colocamos en paralelo una fuente 2 de igual valor pero sentido opuesto con lo que volvemos a la

condición que teníamos al principio de la demostración.

Empleando el principio de superposición es válido considerar los efectos parciales como se observa en la

figura. Al pasivar la fuente 2 se observa que el efecto del D.A. junto con la primer fuente es nulo, por lo que toda

la corriente I es entregada por la fuente 2 que se halla en paralelo con la impedancia del dipolo pasivado. Esto es:

De esta manera hemos demostrado el teorema de Norton. Como hemos empleado el teorema de

superposición no podemos emplear este teorema para calcular potencias y rendimientos, salvo que al estar el

D.A. cortocircuitado no haya disipación de potencia en el mismo. Es importante resaltar que las fuentes de

Thevenin y de Norton son equivalentes pero no se comportan energéticamente de igual manera ya que no iguales.

Esto se ve fácil analizando ambas fuentes a vacío, es decir sin carga, ya que la fuente de Thevenin no disipa

energía mientras que la de Norton si lo hace ya que circula corriente por la RN. Por este motivo decimos que no

se comportan energéticamente de manera equivalente.

DAEZEGO

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TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Este teorema nos dice que la potencia transferida por una fuente a una carga es máxima si la impedancia de

la carga es la conjugada de la impedancia de la fuente. Para el caso particular en que trabajemos únicamente con

resistores la máxima transferencia se da cuando la resistencia de carga coincide con la resistencia interna de la

fuente, lo cual coincide con lo dicho inicialmente ya que si las impedancias son conjugadas tienen igual parte real

y la parte real de la impedancia es la resistencia, mientras que la parte imaginaria se corresponde con la

reactancia.

Demostración

Consideremos el circuito de la figura, donde tenemos un generador cuya

impedancia interna es Zi que alimenta una carga Z. Dicha carga está formada por

una parte real R y una parte imaginaria X que puede ser positiva (inductiva) ó

negativa (capacitiva). Nosotros consideraremos que es positiva sólo por

simplificación.

Sabemos que la potencia disipada en la carga, potencia activa, vale P I'R , donde I es la corriente que

atraviesa la carga. El módulo de dicha corriente lo determinamos con la siguiente ecuación:

y z||~ " || Reemplazamos la anterior en la expresión de la potencia y queda

P P I'R / z||~ " ||1' R

Nos resta reemplazar las impedancias por sus componentes real e imaginaria, así obtenemos

P E'R)Rj " R*' " )Xj " X*'

Vemos que la expresión anterior tiene un valor máximo para un determinado valor de R cuando se cumple

que X X~, es decir cuando la reactancia de la carga es igual y opuesta a la de la fuente. Suponiendo esto la

expresión de la potencia nos queda en función únicamente de la R, es decir

P E'R)Rj " R*'

Para hallar el valor de R que maximiza la función potencia debemos derivar la expresión respecto de R e

luego igualarla a cero para despejar el valor de R, es decir:

DAEZEGO

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dPdR^ E' ∙ )Rj + R*' − 2E' ∙ )Rj + R*)Rj + R*W = 0

Trabajando algebraicamente nos queda

E'Rj' − E'R' = 0

Y así llegamos a que

= Así hemos llegado a que si se cumple que = − y además que se satisface la igualdad

= diremos que habrá máxima transferencia de potencia. Podemos unir en una sola expresión ambas

condiciones diciendo que las impedancias deben ser conjugadas:

Z = Zj∗

Bajo esta condición podemos calcular la máxima potencia transferida como

Pá = E'R)Rj + R*' = E'Rj

)2Rj*' = E'4Rj

Veamos que sucede con el rendimiento del circuito cuando se da la máxima transferencia de potencia a la

carga. Recordemos que el rendimiento se define como la relación entre la potencia activa disipada en la carga y

la potencia activa entregada por el generador:

η = PPj

= I'RI')R + Rj* = R

R + Rj

Podemos destacar que mientras que la potencia es función de las impedancias de generador y carga, el

rendimiento es sólo función de las partes reales o resistivas de las mismas.

Así para el caso de máxima transferencia de potencia, es decir que = , el rendimiento es

ηá = RjRj + Rj

= 12 = 50%

Supongamos que no podemos lograr que se cumpla X~ = −X entonces las ecuaciones anteriores no son

válidas. Para poder encontrar el valor de R que maximiza la transferencia de potencia en este caso debemos

recurrir a un proceso de derivación mucho más laborioso. Realizando dicha derivación obtenemos el valor de R

que hace máxima la potencia en la carga:

R = Rj' + )Xj + X*'

DAEZEGO

24

Por último agregamos las curvas de potencia en la carga y rendimiento, ambas funciones de la resistencia de

carga:

Cuando se transfieren grandes cantidades de energía se evita maximizar la función potencia ya que ello

implica sacrificar el 50% de dicha energía. Lo que se hace en estos casos es aumentar R de manera que el

rendimiento se aproxime a la unidad, de esta manera casi toda la energía se transmite a la carga aunque la

potencia sea menor.

Por el contrario, este teorema encuentra mayor aplicación en circuitos de control y comunicaciones, ya que

en estos tipos de circuitos lo que predomina es la transferencia de potencia y no el rendimiento. Esto se debe a

que se requiere la máxima potencia en la carga para evitar la colocación de numerosas etapas de amplificación.

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS GRÁFICA. RECTA DE CARGA

Como hemos visto un circuito está formado por elementos activos y pasivos, donde los activos son las

fuentes ya que son las encargadas de producir el movimiento de los electrones a través del circuito. Por otra parte

los elementos pasivos vienen a ser los conductores y las cargas como resistores, etc.

Anteriormente vimos métodos analíticos para resolver un circuito eléctrico como el método de las corrientes

de mallas o el de potenciales de nodos. Ahora veremos un método que nos permitirá resolver los circuitos de

manera gráfica el cual se denomina recta de carga. Es importante destacar que por tratarse de un método gráfico

el mismo nos da un resultado aproximado, pero al margen de eso nos da una idea del comportamiento del circuito

ya sea para cargas lineales fijas o lineales variables.

Comenzaremos por ver cómo representar una fuente real en nuestro gráfico de recta

de carga. Tomaremos el circuito de la figura. Sabemos que la tensión VAB se

corresponde con la tensión sobre la carga así como con la tensión en bornes de la fuente

real.

Considerando del lado de la fuente la tensión VAB tiene por expresión: VVX E RjI

Mientras que si consideramos del lado de la carga vale: VVX R^I

DAEZEGO

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Analicemos la expresión que obtuvimos considerando el lado de la fuente. Dicha expresión representa una

recta ya que graficamos tensión en función de la corriente. Entonces ordenando para que sea más evidente

tenemos que el valor de la fuente ideal se corresponde con la ordenada al origen, la

corriente con la variable independiente, la resistencia con la pendiente y la tensión en

bornes con la variable dependiente.

Ahora podemos determinar los cortes a los ejes de nuestra recta perteneciente a la fuente real y para ello nos valemos de la ecuación .

En la figura 1 hemos indicado los cortes a los ejes ya que conociendo dichos puntos podemos trazar la recta de carga correspondiente a nuestra fuente real representada por la recta de color verde. Como se observa en el eje de ordenadas colocamos las tensiones y en el eje de abscisas colocamos las corrientes. También es importante recordar que las líneas paralelas al eje horizontal representan líneas de tensión constante mientras que las líneas paralelas al eje vertical son líneas de corriente constante. Señalamos también dos valores posibles de corrientes, I1 e I2, con sus correspondientes tensiones VAB1 y VAB2.

En la figura 2 presentamos el caso de que nos interese conocer la tensión aplicada sobre la resistencia interna de la fuente cuando por el circuito circula una determinada corriente. Se observa que dichas caídas están representadas por el segmento faltante desde la recta de carga hasta el valor de la fuente ideal, lo cual concuerda con la segunda ley de Kirchhoff ya que la suma de la VAB con la caída en la Ri debe darnos la fem de la fuente.

Antes de seguir es IMPORTANTÍSIMO tener presente la elección de una escala adecuada para las tensiones así como para las corrientes pues todos los resultados que necesitemos debemos medirlos del gráfico. En las figuras no definimos ninguna escala ya que es un gráfico explicativo.

Pasemos a ver cómo se comporta nuestra carga y para ello recurrimos a la expresión . De nuevo se trata de una recta pero que no posee ordenada al origen y además tiene pendiente positiva. Graficamos la recta perteneciente a la carga junto con la de la fuente. Veremos que hay un punto donde se cortan, dicho punto se denomina punto de funcionamiento (P.F) y es nuestra solución. Esto se observa en la primer figura, mientras que en la otra se indican los valores de tensión y de corriente correspondientes a la solución del circuito propuesto.

DAEZEGO

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Este método se puede aplicar si los valores de resistencia son constantes en el circuito así como también deben ser constantes las fems (fuentes ideales), es decir que el requisito para poder aplicar el método es que trabajemos con elementos lineales. Si esto no se cumpliera dejaríamos de tener rectas y tendríamos curvas debidas a la no linealidad de los elementos.

Ahora veremos un ejemplo de circuito con varias cargas y varias fuentes. El motivo de esto es que se puedan apreciar el razonamiento y los conceptos para resolver los circuitos por el método de recta de carga. Por último es importante tener presente las siguientes cuestiones:

- Si las fuentes tienen igual resistencia interna entonces las pendientes de las rectas son iguales. Lo mismo para las cargas.

- Las fuentes siempre tienen pendientes negativas mientras que las cargas siempre positivas. - Las fuentes se suman únicamente entre ellas y lo mismo para las cargas. No se pueden sumar en ningún

caso rectas de fuentes con rectas de cargas. - Si la corriente ingresa por el borne positivo de la fuente, ésta actúa como carga, si este es el caso la

pendiente de dicha fuente será positiva y si se podrá sumar con las cargas. - Si las cargas están en serie se suman las tensiones a corriente constante. Gráficamente sería sumar las

rectas de los distintos elementos que componen la carga para obtener la recta equivalente de todos los elementos. Para ello elegimos un valor de corriente cualquiera y sumamos las tensiones en cada elemento para dicha corriente, esto lo hacemos dos veces porque necesitamos dos puntos para trazar la recta equivalente. Lo mismo se aplica para las fuentes.

- Si las cargas están en paralelo se suman las corrientes a tensión constante. Gráficamente sería sumar las rectas de los diferentes elementos que componen la carga para obtener la recta equivalente de todos ellos. En este caso elegimos una tensión cualquiera y sumamos las corrientes que circulan por cada elemento a ese valor de tensión. Ídem para las fuentes.

- Encontrado el punto de funcionamiento y si la cargas están en serie la corriente de funcionamiento es única o constante en las cargas lo que motiva a moverse en la gráfica por dicho valor de corriente para hallar su intersección con las rectas correspondientes a cada elemento para conocer las tensiones de los mismos.

- Encontrado el punto de funcionamiento y si las cargas están en paralelo la tensión de funcionamiento es única o constante en las cargas, lo que motiva a moverse en la gráfica por dicho valor de tensión para determinar su intersección con las rectas correspondientes a cada rama y así conocer sus respectivas corrientes.

- En la mayoría de los ejercicios lo que se pide calcular son las fuentes y resistencias. En estas situaciones hay que tener bien presente cuáles son los datos que nos brinda el enunciado y graficarlos correctamente y, junto con los razonamientos de los ítems anteriores podremos resolver el circuito.

DAEZEGO

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Ejemplo: Resolver el circuito eléctrico por el método de recta de carga e indicar todos los valores de corrientes y tensiones.

Vemos que en el circuito ya nos han indicado el sentido de las corrientes y como podemos notar las fuentes trabajan como fuentes ya que las corrientes salen del borne positivo de las mismas.

Lo primero que debemos hacer es escribir las ecuaciones de VAB para cada caso y la primera ley de Kirchhoff. Diremos que la fuente 1 será la de 4V y la fuente 2 será la otra De forma similar la carga 1 será la de 1Ω y la otra será la carga 2.

Fuente1:VVX 4V 1Ω ∙ I& Carga1:VVX 1Ω ∙ I(

Fuente2:VVX 6V 2Ω ∙ I' Carga2:VVX 4Ω ∙ IW

I& " I' I( " IW I

Conociendo las ecuaciones podemos comenzar a dibujar las rectas. Recordemos que se construye una única gráfica, aquí usaremos varias para mostrar como se va construyendo. Se recomienda usar escala 1:1 para las tensiones y las corrientes para este ejemplo.

En la primer figura hemos graficado las rectas correspondientes a las dos fuentes e indicamos de qué corriente es función cada recta. Para el caso de la fuente 1 la tensión VAB es función de la corriente I1, mientras que en el caso de la otra fuente la VAB es función de I2. Por otra parte, en la otra figura incluimos las rectas correspondientes a cada carga con sus correspondientes indicaciones. Estas indicaciones nos ayudarán a resolver el circuito junto la ecuación de la primera ley de Kirchhoff que planteamos al principio, ya que la idea es siempre reducir el circuito a una única fuente con una única carga.

Si reducimos el circuito a una única fuente equivalente y una única carga equivalente, por dicho circuito circulará la corriente total IT. Es decir que tanto por la fuente equivalente como por la carga equivalente debe circular la corriente total para encontrar el punto de funcionamiento (P.F) en la gráfica. Recordemos que las fuentes están conectadas en paralelo por lo que vamos a sumar corrientes a tensión constante. Podemos usar como primer valor una tensión nula donde sumaremos una corriente de 3A con otra de 4A para obtener nuestro primer punto que será 7A. Luego hallamos cualquier otro punto para poder trazar la recta de la fuente equivalente. Para encontrar la recta de la carga equivalente el razonamiento es el mismo, sólo que necesitamos calcular un punto, ya que la equivalente debe pasar por el origen. El gráfico quedaría entonces:

DAEZEGO

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Primero hemos trazado la recta de la fuente equivalente que como podemos ver es función de la corriente total ya que para construir dicha recta hemos sumado los valores de I1 e I2. En la segunda figura se ha añadido la recta de la carga equivalente, la cual también es función de la corriente total. Por lo tanto la intersección de estas rectas nos determina el punto de funcionamiento P.F. Sólo nos queda medir los valores de corrientes y tensiones que es lo que nos pide el enunciado. Para ello completaremos la gráfica:

Primero se ha indicado los valores de VAB e IT. Luego determinamos las corrientes de cada rama dado que conocemos el valor de tensión en las mismas que es VAB. Las proyecciones de las intersecciones de VAB con las rectas de cada rama nos determinan las respectivas corrientes. Para verificar nuestro resultado sabemos que

I& " I' I( " IW I

En esta otra gráfica hemos indicado las tensiones que existen sobre la resistencia interna de cada fuente. Recordemos que para encontrar dicha tensión debemos medir el segmento formado entre la intersección de VAB con la recta de la fuente y la recta del valor de fem de dicha fuente.

Sólo nos falta determinar las tensiones en los resistores de la última rama, por la que circula I4, ya que hemos determinado la tensión en la rama completa. Para hacer esto

debemos graficar las rectas de cada una por separado, es decir sin unirlas y como conocemos el valor de I4 podemos obtener la tensión en cada resistor. Como las resistencias son iguales las rectas son coincidentes. Al estar en serie la corriente I4 es común a ambos elementos por lo que la intersección de con la recta de cada elemento nos dará el valor de tensión en los mismo.

Los resultados que debemos obtener aproximadamente son:

VVX 2,6V I 3,2A I& 1,4A I' 1,7A I( 2,6A

IW 0,6A V j¡¢£v¤£& 1,5V V j¡¢£v¤£' 3,4V V'Ω 1,2V