TRABAJO COLABORATIVO 2PROBABILIDAD

CINDY JOHANNA SUAREZ SERRANO CODIGO: 1096202957

RONALD ADRINA AYASO ESTRADA CDIGO: 1140829967

CRIS ALLEN CADENA AGUDELOCODIGO: 1096195416

JEAN PAUL BEARDCDIGO: 1121847498

GRUPO: 100404A_220

TUTORELKIN ORLANDO VELEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)TUNJA2015

Tabla de contenidoPg.1.Introduccin 32.Objetivos 43.Cuadro sinptico 54.Resumen y experimentos aleatorios 65.Estudio caso 176.Informe10 7.Ejercicios Ronald Adrin178.Ejercicios Cindy Johanna199.Ejercicios Cris Allen2110.Ejercicios Jean Paul2311.Conclusiones 2512.Referencias bibliogrficas 26

INTRODUCCINLa probabilidad es una disciplina terico practica que ha estado presente durante muchos aos, esto no es ajeno a toda las actividades que realizamos en nuestro diario vivir pues en muchos casos hemos hecho uso de la probabilidad para predecir ciertos acontecimientos, de ah la importancia del estudio de este curso que nos lleva a conocer sin nmero de situaciones y a realizar ejercicios prcticos relacionados con la probabilidad.Por medio de esta actividad realizaremos un recorrido por ejemplos prcticos que aplican las temticas estudiadas en la primera unidad del mdulo. Por lo anterior, los conocimientos y competencias que desarrollaremos al final del curso, nos permitirn profundizar, afianzar y complementar conceptos de la Probabilidad, para aplicar en el futuro inmediato en el desarrollo de la vida laboral de nuestra profesin.Este trabajo es tambin nuestra primera experiencia colaborativa y demuestra lo enriquecedor que puede llegar a ser el trabajar en esta modalidad; nos permite ver, que a pesar de estar separados por grandes distancias, es posible intercambiar ideas y posturas similares o contrarias pero al final constructivas para todo el grupo de trabajo.

OBJETIVOS Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar la frmula adecuada. Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos. Entender mediante ejercicios prcticos claramente los temas estudiados en las unidades de estudio. Comprender la temtica propuesta en el presente curso encausndola hacia las competencias que debemos desarrollar. Afianzar el manejo de las herramientas utilizadas en la educacin a distancia. Introducir los conceptos a estudiar en el contexto de nuestra vida laboral.

CUADRO SINPTICO UNIDAD 2VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADVariables aleatorias Tipos de variables Esperanza matemtica y varianza de una variable aleatoriaUna FuncinAsigna un nmero real a cada resultadoDenotan con una letra mayscula X DiscretaEl nmero de valores que puede tomar es finito Medida de posicin para la distribucin de X Variable aleatoria discreta xContinuaValores contenidos en un intervaloDistribucin: f(x): funcin de densidad de probabilidadDistribucin uniforme discreta Toma solo un nmero finito de valores posibles n Variable aleatoria discreta uniforme Teorema de Chbyshev Permite determinar los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas

APORTES JEAN PAUL

Estudio de caso INFORME A PRESENTAR:Prepare un informe en el que como mnimo, incluya:1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varn adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm2. Los resultados de la pregunta 1, concuerdan con las probabilidades de Seligman?3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman Hay algn error bsico en su razonamiento?4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesoSOLUCIN:1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varn adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm.

2. Los resultados de la pregunta 1, concuerdan con las probabilidades de Seligman?La probabilidad dad por Seligman es de 1/40 es decir de 0,025.La probabilidad terica segn la distribucin normal es de 0,0212.Un valor muy cercano que concuerda con la premisa de Seligman.

3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman Hay algn error bsico en su razonamiento?Existe un error en el razonamiento de Seligman. Relacionar las probabilidades de una decisin (a favor o contra) con las probabilidades de ser ms alto o ms bajo de un umbral de estatura.

4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.No se considera un criterio terico utilizado en el razonamiento de Deng Xiaping, desde el punto de vista estadstico.Esta estimacin (medicin) obedece a un criterio netamente emprico; aunque los resultados coinciden en parte con la teora, Deng Xiaping no tomo en cuenta la estatura para elegir a sus sucesor.

Captulo 4 ejercicio 4Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o despus de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:a. Encuentre la funcin de probabilidad f(x)La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribucin de probabilidad es:

b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x).El valor esperado est definido por:

La varianza V(x)

La desviacin estndar (x)

Captulo 5 ejercicio 4Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. Cul es la probabilidad de que:a. la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo?b. la tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo?

a. P= 0,8 x-1 N=6 g(x,0,0,8) g(x,p)= q .p X=4 3 P( x=4)=g(4;0,0,8) = 0,2 . 0,8 = 0,0064b. P= 0,8X=2 1P(x=2) =g(2;0,0,8)=0,2 .0,8= 0,16

Captulo 6 ejercicio 6En una panadera se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribucin normal de media 100 g y desviacin tpica 9. Cul es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media? = 100 y = 9

La probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80 g y 100 g es de 0.48679

APORTES DE RONALD ADRINA AYASO ESTRADA

CAPITULO 4: VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una funcin que asigna un nmero real a cada uno de los resultados del espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotancon una letra mayscula, como X.se define a X como una funcin porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numricas reales.

EJEMPLO: si lanzamos una moneda el espacio muestral de este experimento nos da dos resultados; cara y sello.Pero si asignamos valores a (cara)X=0 y (sello)X=1 transformamos los dos posibles resultados en cantidades numricos.

-VARIABLE ALEATORIA DISCRETAUna variable aleatoria X es discreta si el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripcindel conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cadauno de estos valores. Esta distribucin bien puede ser una grfica, una tabla o unaecuacin que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se Considera como el resumen ms til de un experimento aleatorio.Toda distribucin de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitosSiguientes:

-VARIABLE ALEATORIA CONTINUASe dice que una variable aleatoria X es continua si el nmero de valores quepuede tomar estn contenidos en un intervalo (finito o infinito) de nmeros realesDichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de maneraque no haya huecos o interrupciones.En algunos casos la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, entonces es ms conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

El valor esperado (tambin llamado media o esperanza matemtica) de unavariable aleatoria discreta X es una medida de posicin para la distribucin de X.Se simboliza con y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con suprobabilidad correspondiente. La media o valor esperado de unavariable aleatoria discreta X es:

EJEMPLO 1.6.Tenemos la siguiente distribucin de una variable aleatoria X.

Varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de probabilidad de sta. Se calcula ponderando el cuadrado de cadadesviacin con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviacin.la varianza de una variable aleatoria discreta X con media X y funcin de probabilidad f(x), es:

-TEOREMA DE CHBYSHEV

Para demostrar cmo la desviacin estndar es indicadora de la dispersin de ladistribucin de una variable aleatoria, el matemtico ruso Pafnuty LvovichChbyshev desarroll un teorema en el que ofrece una garanta mnima acerca dela probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de kdesviaciones estndar alrededor de la media.Para cualquier variable aleatoria X con media y desviacin estndar , la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estndar de lamedia, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos

Simblicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:La desigualdad de Chbyshev es muy importante, ya que permite determinar los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no ms de k desviaciones estndar, es menor o igual a 1/k2 para algn valor de k >1.Aunque la garanta no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de probabilidad, ya sea discreta o continua.CAPITULO 41.- Un embarque de 8 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable aleatoria discreta que representa el nmero de unidades defectuosas que compra el hotel:

a.- Encuentre la funcin de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x)

SOLUCIN LITERAL A:X12345678

F(x)0,250,250,250,250,250,250,250,25

Para que una distribucin de probabilidad sea denominada funcin de probabilidad debe satisfacer las siguientes propiedades:

Entonces podemos observar que todos los valores de f(x) son positivos, esto es 0. Adems se cumple el segundo requisito:

Por lo tanto, la funcin f(x) es una funcin de probabilidad.

SOLUCIN LITERAL B:

-Para encontrar el valor esperado E(x) debemos usar la formula

Entonces para nuestro caso tenemos lo siguiente:

-Para encontrar la varianza debemos usar la frmula:

Entonces tenemos para nuestro caso:==202

-para medir la desviacin estndar debemos hallar la raz cuadrada de la varianza, para nuestro caso entonces seria:

=14,21

CAPITULO 5 3) a- Cul es la probabilidad de que una mesera se rehus a servir bebidas alcohlicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes entre 9 estudiantes ,de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber?. Solucin: se utiliza una distribucin hipergeometricaDatos: Total de poblacin N= 9; Muestra. 5=n; k= 4; x=2

Remplazamos los datos:

RTA: La probabilidad de que la mesera se rese a servir las bebidas alcohlicas es de 47.61%.b.-Culeslaprobabilidaddequealrevisarlasidentificacionesdelos5estudiantesdelgrupode9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?Solucin: se utiliza una distribucin hipergeometricaDatos: Total de poblacin N= 9; Muestra. 5=n; k= 4; x=0

Remplazamos los datos:

RTA la probabilidad de que no tenga la edad para beber es de 70%CAPITULO 6 6.- En una panadera se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribucin normal de media 100 g y desviacin tpica 9. Cul es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media?SOLUCIN.Sea X la variable aleatoria continua que representa el peso de cada panecillo. Esta variable sigue una distribucin normal N (100 g, 9 g). el porcentaje de panecillos con peso entre 80 y 100 gramos implica calcular la probabilidad P(80 X 100). =100 y =9p (80 < x < 100)= y = p (80 < x < 100)= y = p (-2.22< y < 0)= p (y < 0) - [-1 p (y > -2.22) ]= 0.5 (1 0.98679) = 0.50 0.01321 = 0.48679La probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80g y 100g es de 48.67%

APORTES DE CINDY JOHANNA SUAREZ RESUMEN DEL CAPITULO 6DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Una distribucin de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medicin. Ejemplos de variables aleatorias continuas son: La estatura de un grupo de personas El tiempo dedicado a estudiar La temperatura en una ciudad

Ejemplos:xVariable que nos define el nmero de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado.x0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., etc. burbujas por envasexVariable que nos define el nmero de productos defectuosos en un lote de 25 productos.x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lotexVariable que nos define el nmero de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos.x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidadDISTRIBUCIN EXPONENCIALLa distribucin de Poisson calcula el nmero de eventos sobre alguna rea de oportunidad (intervalo de tiempo o espacio), la distribucin exponencial mide el paso del tiempo entre tales eventos. Si el nmero de eventos tiene una distribucin de Poisson, el lapso entre los eventos estar distribuido exponencialmente.La probabilidad de que el lapso de tiempo sea menor que o igual a cierta cantidad x es:

t= Lapso de tiempoe= Base del logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718281828= Tasa promedio de ocurrencia DISTRIBUCIN UNIFORMEEs una distribucin en el intervalo [a, b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mnimo de a hasta el mximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribucin uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.Funcin de densidad de una distribucin uniforme (altura de cada rectngulo en la grfica anterior) es:

a= Mnimo valor de la distribucin b = Mximo valor de la distribucin b - a = Rango de la distribucinLa media, valor medio esperado o esperanza matemtica de una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

La varianza de una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

La probabilidad de que una observacin caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera:

CAPITULO 47.- Un piloto privado desea asegurar su avin por 50.000 dlares. La compaa de seguros estima que puede ocurrir una prdida total con probabilidad de 0.002, una prdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras prdidas parciales, que prima debe cargar cada ao la compaa de seguros para obtener una utilidad media de US $5000

El valor de la prima de la compaa debe cada ao 446.28CAPITULO 52.- Un estudio examin las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio revel que 70% cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, slo disfrazan el problema real. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar: a.- Cul es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinin?Solucin: Aplicamos la distribucin binominal

n= 5p= 0.7q= 0.3Utilizamos la frmula:

Reemplazamos

La probabilidad de que al menos 3 tenga esa opinin es de 83.6%

b.- Cul e la probabilidad de que mximo 3 tengan esta opinin? X= 0,1, 2, 3n= 5p= 0.7q= 0.3Se utiliza la frmula:

Reemplazamos: ).

La probabilidad mximo 3 tenga esa opinin es de 4701% c.- De cuantas personas se esperara que tuvieran esta opinin.Ux = E(x) = npUx = np = 5x 0.7 = 3.5Se espera que 3.5 personas tengan esa opinin CAPITULO 65.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribucin de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 27 aos y una desviacin tpica de 2,5 aos. De un total de 400 profesores hallar: a) Cuntos profesores hay con edad menor o igual a 30 aos?

Por lo tanto hay 0.8849 (400) profesores con edad menor o igual a 30aos # de profesores = 354 b) Cuntos de 40 aos o ms?

# de profesores de 40 o ms aos son 0.0013(400) = 1

APORTES DE CRIS ALLEN CADENA CAPITULO 4

3.- Una empresa ha medido el nmero de errores que cometen las secretarias recin contratadas a lo largo de los ltimos tres aos (X), encontrando que stas cometen hasta cinco errores en una pgina de 20 lneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente funcin de probabilidad. Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa mximo 2 errores? Cul es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores?

X 0 1 2 3 4 5

f X) 0,50 0,28 0,07 0,06 0,05 0,04

La probabilidad de que comenta mximo 2 errores es de F: (0) + (2)= 0.5+0.28+0,07= 0,85La probabilidad de que comenta exactamente 2 errores es de F: (2)= 0.07

CAPITULO 5 5.- En el metro de la ciudad de Medelln, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estacin, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estacin ms de tres minutos es de 0,20.

a.- Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez, en la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo?

Probabilidad que se detenga = 0.20Probabilidad que no se detenga= 0.80La probabilidad de que se detenga en la cuarta estacin.0.80x0.80x0.80x0.20= 0.1024Rta: 10,24%

b.- Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo?Probabilidad que se detenga = 0.20Probabilidad que no se detenga= 0.80Probabilidad que se detenga antes de la segunda estacin es de. 0.80x0.20=0.16La probabilidad de que se detenga antes de la tercera estacin 0.20+0,16+0.128=0.488Rta: la probabilidad que se detenga ms de 3 minutos por primera vez antes de la cuarta estacin es de 48.8%

CAPITULO 61.- Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviacin estndar de 12. Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95.

a.- cuntos de estos estudiantes sern rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?

Z = Reemplazamos Z= = 1.6666= O.0485P (X95)= 1-0.0485P (X95)= 0.9515= 95.15%P (X95)= 4.85%= 600= 2.910Sern rechazados 29 personas

b.- si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superior cuntos de estos estudiantes tendran un coeficiente intelectual muy superior al del grupoDesviacin de estndar: 12Media de consciente intelectual: 115Formula: Z = Se reemplazaZ= = - 0,833= 0,2033P(X125) = 1-0.2033P(X125) =0.7967= 79.67%P(X125)= 20.33% * 600= 121.98

Sern aproximadamente 122 personas que tiene un cociente intelectual superior.

CONCLUSIONESEntendimos mediante ejercicios prcticos claramente los temas estudiados en las unidades de estudio. De igual forma comprendimos algunas relevancias de la temtica propuesta en el presente curso encausndola hacia las competencias que debemos desarrollar.Comprendimos que el uso de herramientas en lnea nos permiten comunicarnos con nuestros compaeros de manera fcil y hacer un trabajo en donde todos aportemos un aporte significativo para poder realizar un anlisis, depuracin y consolidado de trabajo.El desarrollo del trabajo, permiti medir los conocimientos adquiridos frente a la solucin de problemas.Consideramos que la aplicacin de las Probabilidades puede ser de uso cotidiano y va a permitir la medicin de riesgos y ventajas que se pueden presentar en diversas situaciones.Gracias al desarrollo de este taller me he dado cuenta que las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya que dando un buen uso de las frmulas que estas nos ofrecen podemos dar solucin rpida a problemas que se nos pueden presentar en cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigacin o en la vida cotidiana.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Robayo.Adriana.2007.Modulo de probabilidad. UNAD. Bogot. D.C.Canavos. George 1988. Probabilidad y estadstica. McGraw Hill. Mxico.

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