TRABAJO COLABORATIVO 2 PROBABILIDAD

INTEGRANTES

DILIA SOFIA ZULETA – 49735059

SONIA OCHOA PAREDES – 1082945462

ELVIA GENEZ PADILLA – 1064107320

GRUPO 100402-9

TUTOR

OTTO EDGARDO OBANDO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

MAYO 24 de 2015

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de habilidades estadísticas es indispensable en múltiples disciplinas,

puesto que nos sirve como herramienta de trabajo, ya sea para realizar estudios

de tipo cuantitativo o para lograr la sistematización de información referente a

problemáticas sociales. En este segundo trabajo colaborativo hallaremos el

planteamiento de 8 problemas de probabilidad los cuales resolveremos por medio

de distintos métodos probabilísticos.

Estudiaremos los conceptos de variable aleatoria, distribución discreta y continua,

medidas de tendencia central, la distribución binomial y negativa, distribución

hipergeométrica y geométrica, la distribución de Poisson, la Distribución normal

estándar, entre otros. De acuerdo al problema planteado seleccionaremos el

método de distribución que creamos adecuado y le daremos su respectiva

solución.

OBJETIVOS

Identificar y comprender los conocimientos estudiados a lo largo de la

segunda unidad académica del curso.

Comprender los principios y aplicaciones que tiene la probabilidad en los

distintos campos del saber.

Contribuir al estudiante en el desarrollo de habilidades para el análisis de

eventos cuantificables, mediante el uso sistemático de conceptos,

fundamentos y métodos de la Probabilidad.

Proporcionar a los estudiantes criterios que les permitan comprender,

seleccionar y aplicar técnicas probabilísticas durante el análisis de

problemas específicos relacionados con su área de formación.

MAPA CONCEPTUAL VARIABLES ALEATORIAS Y DISCRETAS

ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO:El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de

una Variable Aleatoria X es una medida de posición para la distribución de X, es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma.

E(x) = µ = E xf (x)

VARIANZA:La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de esta. Es

un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado.

Varianza = E ( x - µ )² f ( x)

ESTUDIO DE CASO

Si usted fuera el jefe, ¿habría considerado la estatura como criterio en su selección del sucesor para su trabajo? Daniel Slegiman analizó en su columna de la revista “Fortuned” sus ideas acerca de la estatura como un factor en la decisión de DengXiaoping para elegir a HuYaobang como su sucesor en la presidencia del Partido Comunista Chino. Como afirma Slegiman, los hechos que rodean el caso despiertan sospechas al examinarlo a la luz de la estadística.

Deng, según parece solo medía 154 cm de alto, una estatura baja incluso en China. Por consiguiente al escoger a HyYaobang, que también tenía 154 cm de estatura, motivo algunos gestos de desaprobación porque como afirma Sleigman “las probabilidades en contra de una decisión ajena a la estatura que dan lugar a un presidente tan bajo como Deng son aproximadamente de 40 a 1”. En otras palabras, si tuviéramos la distribución de frecuencias relativas de las estaturas de todos los varones chinos, solo 1 en 40 es decir 2,5% tendrían menos 154 cm de estatura o menos.

Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china. Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final” y que en la China la longitud media de un niño al nacer era de 48 cm. De esto Seligman deduce que la estatura promedio de los varones adultos chinos es: 48 * 100 / 28.6 = 167,8 cm.

El periodista asume entonces que la distribución de las estaturas en China sigue una distribución normal “al igual que en países como estados Unidos” con una media de 167,8 cm y una desviación estándar de 6,8 cm.

1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que DengXiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.

Desarrollo:

1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que

la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154

cm.

Datos: µ = 167,8 cm ; σ = 6,8 cm ; x = 154 cm (valor a buscar) Utilizo la fórmula de la Distribución Normal:

= = -2,03 buscamos este valor en la

tabla Entonces, Z = -2,03 = 0,4788 = 47,88% R/ta. La probabilidad que la estatura de un solo varón escogido al azar sea ≤ 154 cm es de ~ 47,88% 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de

Seligman?

No concuerdan, están totalmente desfasados. 2,5% ≠ 47,88%

3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento?

Si hay errores, Seligman dedujo la estatura promedio de los chinos sin contar con los datos estadísticos pertinentes, es decir tomó la estatura promedio de los estadounidenses.

Con los datos estadísticos pertinentes, es decir la de los chinos, debió calcular la media sumando el producto de cada valor de x con su probabilidad correspondiente.

4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que DengXiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.

Considero que Deng no tomó en cuenta la estatura al elegir su sucesor, de acuerdo al porcentaje de hombres (47,88%) de su estatura (154 cm) es bastante alta su ocurrencia, es decir, no es raro encontrarlos en cualquier evento.

DESARROLLODE LOS EJERCICIOS

Unidad 2

Capítulo 4.

1. Un embarque de 8 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel

realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable

aleatoria discreta que representa el número de unidades defectuosas que

compra el hotel:

a. Encuentre la función de probabilidad f(x)

b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

solución: la función de probabilidad F(x) es: f(x)=(2¦x)(6¦(3-x))/((8¦3) ) x 0 1 2 F(x) 5/14 15/28 3/28 Valor esperado:

E(x)=∑_(i=0)^3〖(0∙5/14)+(1∙15/28)+(2∙3/28)¬〗

E(x)=3/4=0,75

Varianza(x)=∑_(i=0)^3〖(0^2∙5/14)+(1^2∙15/28)+(2^2∙3/28)¬〗-(3/4)^2

V(x)=45/112=0,401 Desviación estándar: S(x)=√(V(x) )=0,6338

2. Sea X una variable aleatoria con función densidad

a. Determine el valor de a, para que la función sea efectivamente una

función densidad de probabilidad. Lo primero es que a > 0, porque la función

Lo segundo que debe cumplir

Entonces

Por tanto la función de probabilidad queda de la forma

b. La probabilidad 1<P<1.5

3. Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias

recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que

éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta

variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad. Si se

escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa

máximo 2 errores? Cuál es la probabilidad de que cometa exactamente 2

errores?

X 0 1 2 3 4 5

F(x) 0.50 0.28 0.07 0.06 0.05 0.04

a) La probabilidad que cometa máximo 2 errores es:

f(0) + f(1) + f(2) = 0.50+0.28+0.07 = 0.85

b) La probabilidad de que cometa exactamente dos errores es:

f(2) = 0.07

4. Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:

a. Encuentre la función de probabilidad f(x)

La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribución de probabilidad es:

b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación

estándar S(x). El valor esperado esta definido por

La varianza V(x)

La desviación estándar

Sea X una variable aleatoria con función densidad

c. Determine el valor de a, para que la función sea efectivamente una

función densidad de probabilidad. Lo primero es que a > 0, porque la función

Lo segundo que debe cumplir

Entonces

Por tanto la función de probabilidad queda de la forma

d. La probabilidad 1<P<1.5

5. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la

que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo.

Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para

abrir el candado.

a.- Determine la función de probabilidad de X.

b.- ¿Cuál es el valor de P ( X ≤ 1)

Probabilidad De X

Intento 1 - tiene una probabilidad de que abra de 1/5

Intento 2 – probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda

abra 1/4

Intento 3 – probabilidad que la primera Bno abra 4/5 * probabilidad que la

segunda no abra 3/4 * probabilidad que abra la tercera 1/3

Intento 4 – probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda

no abra 3/4 * probabilidad que abra la tercera no abra 2/3 * probabilidad que abra

la cuarta 1/2

Intento5– probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda

no abra 3/4 * probabilidad que la tercera no abra 2/3 * probabilidad que no abra la

cuarta 1/2 * 1

Es decir, si llamamos X al número de intentos tenemos que la función de

probabilidad es

Intento1 = 1/5

Intento2 = 4/5 *1/4 = 1/5

Intento3 = 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5

Intento4 = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

Intento4 = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5

P(X=x) = 1/5

P(X=x) = Suma de 1 a x de P(X=x) = x/5

b.- ¿Cuál es el valor de P ( X ≤ 1)

P(X<=1) = F(1) = 1/5

6. Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado

en comprar una gargantilla de oro para la cual las

probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $

100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son:

respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cuál es la ganancia

esperada del comerciante?

Solución:

La variable X es 250, 100, 0, 150 La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.14

La ganancia esperada es de 70

7. Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La

compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras pérdidas parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de seguros para obtener una utilidad media de US $500? Solución:

El valor de la prima que la compañía debe carga cada año es de 4464.28

Capítulo 5

1. Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos

contra cierta enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de

que:

a.- ninguno contraiga la enfermedad

b.- menos de 2 contraigan la enfermedad

c.- más de 3 contraigan la enfermedad.

Desarrollo:

Utilizamos la Distribución Binomial:

B(x; n; P) = nCx .

Datos:

P = 75% = 0.75,

Q = 1-P = 1- 0.75 = 0.25

n = número de intentos = 6

X = la variable a buscar.

a) Que ninguno contraiga la enfermedad: x = 0

Reemplazando los valores en la fórmula:

B(0;6; 0.75) = 6C0 .

= 6C01 .

= 0.024%

b) menos de 2 contraigan la enfermedad, x = 1

B(1;6; 0.75) = 6C1 .

= 6C10.75 .

= 0.075 . 0.00976563

= 0.00732422 = 0.7324%

c) más de 3 contraigan la enfermedad, x = 4

B(4;6; 0.75) = 6C4 .

= 6C4 (0.31640625) . (0.0625)

= 0.019775391 = 1.977%

Para x = 5

B(5;6; 0.75) = 6C5 .

= 6C5 (0.237304688) . (0.25)

= 0.059326172 = 5.93%

2. Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos.

El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no

curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio,

de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

Solución: Aplicamos la distribución binomial.

x= 3, 4, 5

n=5

P=0.7

q=0.3

Utilizamos la formula:

Reemplazamos:

P x≥3=0.03087+0.36015+0.16807=0.83692

La probabilidad de que al menos 3 tengan esa opinión es de 83,6%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

x= 0, 1, 2, 3

n=5

p=0.7

q=0.3

Utilizamos la formula:

Reemplazamos:

P x≤3=0.00243+0.02835+0.1323+0.3087=0.47178

La probabilidad de que máximo 3 tengan esa opinión es de 47,1%.

c. De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

ʯx = E(X) = np

ʯx = np = 5 x 0,7 = 3,5

Se espera que 3.5 personas tengan esa opinión

3. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas

alcohólicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5

estudiantes de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad legal

para beber?

Solución. Se utiliza una distribución hipergeométrica

Número de éxitos de la población = 4 (k)

Total de la población = 9 (N)

Muestra = 5 (n)

x = 2

Utilizamos la formula:

Reemplazamos:

La probabilidad de que la mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos

menores es de 47%.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5

estudiantes del grupo de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga

la edad legal para beber?

Número de éxitos de la población = 4 (k)

Total de la población = 9 (N)

Muestra = 5 (n)

x = 0

Utilizamos la formula:

Reemplazamos:

La probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del

grupo de 9, no se encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad

legal para beber es de 0,79%.

4. Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor

acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. Cuál es la

probabilidad de que:

a. La sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo

Solución: Aplicamos la distribución binomial negativa

Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8

Probabilidad de que no se crea = 0.2

x= 6

(x,0.8 ,4) = (k-4, p -0.8)

Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la

cuarta en creerlo, es de 0.1638

b. La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo

Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8 (p)

Probabilidad de que no se crea = 0.2 (q)

x= 3

(x, 0.8 ,2) = (k-2, p -0.8)

Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la

cuarta en creerlo, es de 25,6%.

5. En el metro de la ciudad de Medellín, los trenes deben detenerse solo unos

cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a

menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de

que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20.

a. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez,

en la cuarta estación desde que un usuario lo abordó.

Probabilidad de que se detenga =0,20

Probabilidad de que no se detenga =0.80

La probabilidad de que se detenga en la cuarta estación

0.80 x 0.80 x 0.80 x 0.20 = 0,1024

Respuesta: 10,24%

b. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez

antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordó.

Probabilidad de que se detenga =0,20

Probabilidad de que no se detenga =0.80

La probabilidad de que se detenga antes de la segunda estación

0.80 x 0.20 = 0.16

La probabilidad de que se detenga antes de la tercera estación

0.80 x 0.80 x 0.20 = 0.128

La probabilidad de que se detenga antes de la cuarta estación

0.20 + 0.16 + 0.128 = 0,488

Respuesta: la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera

vez antes de la cuarta estación es de 48,8%

6. El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su

farmacia 100 personas cada hora.

a. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre

a la farmacia

Solución: Utilizamos la distribución de Poisson

λ=100 personas/hora

1 hora = 100 personas

60 minutos = 100 personas = 1,666666666666667 personas por minuto

3 minutos = 1,666666666666667 x 3 = 5 personas

λ=5

Utilizamos la formula:

P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x!

Reemplazamos:

La probabilidad de que no llegue ningún cliente en 3 minutos es de 0.67%

b. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más

de 5 personas a la farmacia.

P(x>5) = 1-P(x<5)

Utilizamos la formula:

P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x!

Reemplazamos:

P(x<5) = 0,616

1- 0,616 = 0,384

La probabilidad de que entren más de 5 clientes es de 38,4%

7. Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción

de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se

preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra

de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la

caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la

caja se embarca. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja

que contiene 3 defectuosos? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que una caja

que contiene solo 1 artículo defectuoso se regrese para su revisión?

Sea x = número de artículos defectuosos de la muestra

Si la caja contiene 3 artículos defectuosos, la distribución es:

N = 25 N1 = 3 N2 = 22; P = 3/25 Q = 22/25

P(X=0) = ((NP¦Xi) (Nq¦(n-Xi)))/((N¦n) ) = = ((3¦0) (22¦(3-0)))/((25¦3) ) = 0.6696

Hay una probabilidad del 67% de que se embarque la caja

La caja contiene solo un artículo defectuoso

N = 25; P = 1/25 ; Q = 24/25

8. Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es del 1,7% a. Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

b. Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones?

9. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el

examen de inglés en cualquier intento que haga. a. Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?

b. Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?

10. En promedio en cierto cruce ocurren dieciocho accidentes de transito al año. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce : a. ocurran exactamente 3 accidentes

Suponiendo que la probabilidad es la misma para cada mes, el numero de accidentes por mes es = 18/12 = 3/2=1.5

b. Ocurran menos de 3 accidentes

c. Ocurran por lo menos 3 accidentes Osea

11. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3

japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.

Solución: a) N = 12 estudiantes a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses c = 5 Italianos N-a-b-c = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado

b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianos a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses N-a-b = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado n-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado p(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana)

2. Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el

centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con

una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los

tiempos de viaje está distribuida normalmente

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?

b.- Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am

¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?

c.- Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00

am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café?

Datos:

µ = 24

σ = 3.8

x = valor a buscar

Utilizo la fórmula de la Distribución normal

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?

(buscamos en la tabla)

Entonces, P(X>30) = P(Z>1.58) = 0.0571

b) Si la oficina abre a las 9:00am y el sale diario de su casa a las 8:45 am ¿qué

porcentaje de las veces llegara tarde al trabajo?

Entonces, P(X>15) = P(Z>-2.37) = 0.9911, lo que quiere decir que el

99.11% llega tarde al trabajo.

c) Si sale de su casa a las 8:35 am, Cual es la probabilidad de que se pierda el

café?

Entonces, P(X>25) = P(Z>0.26) = 0.3974 = 39.74% de que se pierda el

café.

Capitulo 6

1. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?

P(X < 95) = [(95 – 115)/12]= [-1.67] = 0.0478

Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29

2. Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente

a. Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?

La probabilidad de que el viaje tome al menos 30 minutos

Usando la tabla de probabilidades

Por tanto la probabilidad de que se demore al menos 30 minutos

b. Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? Es la probabilidad de demorarse hasta 15 minutos

La probabilidad de demorarse mas de 15 minutos es

Y el porcentaje es igual a

de las veces llega tarde.

c. Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? La probabilidad de tardar más de 15 minutos es la misma que la anterior y es

Ahora calculemos la probabilidad de tardar menos de 25 minutos

La probabilidad de llegar a tiempo al café es

Por tanto la probabilidad de perder el café es

5. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho

un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha

observado que se distribuyen normalmente con una media de 34

años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores

hallar: a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años? b) ¿Cuantos de 55 años o más?

Solución:

µ = 34 y o = 6

a. profesores con edad menor o igual de 35 años

P(x € 35) = z2

=

x — µ

=

o

35 — 34

6

1

= = 0.16

6

P(z € 0.16) = 0.5636

Los profesores con edad menor o igual a 35 años son de 400 * 0.5636 = 225.44 aproximadamente 225 profesores.

b. profesores con 55 años o más.

P(x X 55) =

z2 =

x — µ

=

o

55 — 34

6

21

= = 3.5

6

P(z X 3.5) = 1 — P(z € 3.5) = 1 — 0.999767 = 0.000233

Los profesores con 55 años o más es de 400 * 0.000233 = 0.0932 profesores

7.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta población

normalmente distribuida, la temperatura media es de 37 ºC y desviación

estándar de 0,5ºC. Si se consideran 1000 de estas personas. ¿Cuantas

se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre 37 ºC y

37,6ºC?

Solución:

µ = 37ºC y o = 0.5ºC N = 1000

x — µ 37 — 37 0

z1 = o

=

= = 0

0.5 0.5

x — µ

37.6 — 37

0.6

z2 = o

=

= = 1.2

0.5 0.5

P(0 € z € 1.2) = P(z € 1.2) — P(z € 0) = 0.8849 — 0.5000 = 0.3849

El total de personas que se puede esperar es de 1000 * 0.3849 = 384.9 aproximadamente 385 personas tendrán temperaturas entre 37ºC y 37.6ºC

8.- Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos. ¿Qué porcentaje de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos?

Solución:

µ = 30 y o =

0.5 N = 40

x — µ 31 — 30 1

z1 = o

=

= = 2

0.5 0.5

P(z X 2) = 1 — P(z X 2) = 1 — 0.97725 = 0.0228

El porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de 40 * 0.0228 = 0.912 * 100 = 91.2%

8. Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen

una distribución normal con media 180 cm. y desviación típica 5

cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen una

distribución también normal, pero con media 180 cm. y

desviación típica 15 cm., contestar de manera justificada en cuál

de los dos países es más probable encontrar adultos con talla

superior a 195 cm. y donde es más probable encontrar adultos

con talla comprendida entre 175 y 185 cm.

Solución: a) A: µ = 180 cm y o = 5

cm B: µ = 180 cm y o = 15 cm

zÆ

=

x — µ

=

o

x —

µ

195 — 180 15

= = 3

5 5

195 — 180 15

zB = o

=

= = 1

15 15

P(z Ç 3) = 1 — P(z Ç 3) = 1 — 0.998650 = 0.00135

P(z Ç 1) = 1 — P(z Ç 1) = 1 — 0.8416 = 0.1584

Es más probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm en el país B ya que hay una probabilidad de 0.1584 con respecto al país A, que tiene una probabilidad de 0. 00135

b) país A:

x — µ 175 — 180 5

z1 = o

=

= — = —1

5 5

x — µ 185 — 180 5

z2 = o

=

= = 1

5 5

P(—1 Ç z Ç 1) = P(z Ç 1) — (1 — P(z Ç 1)) = 0.8416 — (1 — 0.8416)

= 0.8416 — 0.1584 = 0.6832

País B:

x — µ 175 — 180 5

z1 = o

=

= — = —0.33

15 15

x — µ 185 — 180 5

z2 = o

=

= = 0.33

15 15

P(—0.33 Ç z Ç 0.33) = P(z Ç 0.33) — (1 — P(z Ç 0.33))

= 0.6293 — (1 — 0.6293) = 0.6293 — 0.3707

= 0.259

Es más probable encontrar adultos con talla entre 175 cm y 185 cm en el país A ya que hay una probabilidad de 0.6832 con respecto al país B, que tiene una probabilidad de 0.259

CONCLUSIONES

Se logran identificar y comprender los conocimientos estudiados a lo

largo de la segunda unidad académica del curso.

Se comprenden los principios y aplicaciones que tiene la probabilidad en

los distintos campos disciplinares.

Se le proporciona el desarrollo de habilidades al estudiante para llevar a

cabo el análisis de eventos cuantificables, mediante el uso sistemático

de conceptos, fundamentos y métodos de la Probabilidad.

Se identifican, apropian y usan los distintos conceptos, fundamentos y

métodos de la Probabilidad en ejercicios prácticos enmarcados en

situaciones y fenómenos reales de acuerdo a la disciplina desarrollada.