Hiperestaticos ejemplos

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 - RESOLUCIÓN ESTÁTICA DEVIGAS

Efectuar la resolución estática de las vigas de la de la planta tipo (s/PB ys/1º).

Como ejemplo se realizará la resolución estática de vigas de la planta s/2º(de azotea) y s/azotea.

Planta s/2º y s/ azotea

En el trabajo práctico anterior (TP Nº 4) se llevó a cabo el análisis de cargasde las vigas. Dicho análisis de cargas consiste en determinar el valor de lascargas distribuidas y solamente indicar la presencia de cargas concentradasprovocadas por las descargas de otras vigas sobre la viga analizada.

Como para la determinación de las descargas de las vigas es necesarioresolver previamente otras vigas, el orden de resolución no es el que se llevóadelante, por ejemplo, en la resoluciónd e losas. En efecto, no se comienzaresolviendo la viga 1, luego la viga 2 y así sucesivamente. Es necesariocomenzar por las vigas de resolución inmediata, es decir aquellas que noreciben descargas de otras vigas. Esta inevitable falta de orden, por otraparte, brinda mayor libertad para elegir con qué viga comenzar y, por talmotivo, comenzaremos resolviendo las vigas isostática para resolver lasvigas hiperestáticas en segundo término.

VIGAS SOBRE 2°

VIGA 203

Esquema :

q203bq203a

la lb

q203a 1645kgfm

:=

q203b 969kgfm

:=

la 1.00m:=

lb 1.00m:=

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Qa203q203a la⋅

la2

lb+

⋅ q203blb2

2⋅+

la lb+:=

Qa203 1476kgf=

Qb203 q203a− la⋅ q203b lb⋅− Qa203+:=

Qb203 1138− kgf=

Para determinar el momento máximo de tramo es preciso determinar el puntoen que se anula el corte:

Qa203 q203a x⋅− 0=

x 0.90m:=

Mtr Qa203 x⋅ q203ax2

2⋅−:=

Mtr 662kgf m⋅=

A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte ymomento flexor.

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VIGA 216

Esquema :

q216bq216a

la lb

P=Qa203 q216a 1727kgfm

:=

q216b 1335kgfm

:=

P 1476kgf:=

la 1.20m:=

lb 3.70m:=

Qa216q216a la⋅

la2

la+

⋅ P lb⋅+ q216blb2

2⋅+

la lb+:=

Qa216 3741kgf=

Qb216 q216a− la⋅ q216b lb⋅− P− Qa216+:=

Qb216 4747− kgf=

En este caso el momento tiene lugar cuando el corte cambia de signo poracción de la fuerza concentrada P. En este caso hay que tomar ese puntocomo el de momento máximo.

x 1.20m:=

Mtr Qa216 x⋅ q216ax2

2⋅−:=

Mtr 3245kgf m⋅=


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VE (Viga de escalera)

Se trata de la viga de escalera que se encuentra a mitad de la altura sostenidpor la columna C3 y el tensor TE.

Esquema :

qE

qE 2031kgfm

:=

lE 2.00m:=

Se trata de una viga simplemente apoyada con una carga distribuida por laresolución surge de la siguiente fórmula:

QaE qElE2

⋅:= QbE QaE−:=

QaE 2031kgf= QbE 2031− kgf=

Mtr qElE2

8⋅:=

Mtr 1016kgf m⋅=

Con la resolución estática de la viga de escalera quedan resueltas todas lasvigas isostáticas de la planta sobre 2° piso. A partir de aquí las vigas sonhiperestáticas.

A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte y

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g g g ymomento flexor.

VIGA 201-202

En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas sondistintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlaspor el método de las deformaciones.

Esquema :

q201 q202a q202b

P

l201 l202a l202b

l201 4.00m:=q201 1518

kgfm

:=

l202a 2.00m:=q202a 979kgfm

:=

l202b 2.00m:=q202b 1465kgfm

:=

l202 l202a l202b+:=

La carga del tensor es igual a la reacción a de la viga de escalera más el pespropio del tensor que posee una sección rectangular de 20x12 cm y una alturde 1.40m

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peha 2400kgf

m3:= b 0.12m:= d 0.20m:= h 1.40m:=

TE QaE peha b⋅ d⋅ h⋅+:= TE 2112kgf=

P202 Qb216− TE+:=

P202 6859kgf=

Para resolver el hiperestático mediante el método de las deformaciones elprimer paso determinar el fundamental que se obtiene empotrando cada unode los nudos intermedios.

q201 q202a q202b

P

M21

1 3

2

o

M23

o

l201 l202a l202b

A continuación se obtienen los momentos en los empotramientos delfundamental afectado con las cargas del sistema hiperestático. Las fórmulasque permiten calcular estos momentos se encuentran en tabla anexa.

M021q201 l2012⋅

8:=

M0239−

128q202a⋅ l2022⋅

7128

q202b⋅ l2022⋅−3 P202⋅ l202⋅

16−:=

M021 3036kgf m⋅= M023 7527− kgf m⋅=

Cálculo de rigideces

A continuación se obtienen las rigideces angulares para lo cual se impone ungiro unitario y positivo al nudo intermedio y se utilizan las fórmulas que seagregan en la parte teórica y que dependen del material (E), el momento deinercia de la sección (J) y las condiciones de sustentación (articuladoempotrado).

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Dado que en el presente caso los materiales y las secciones son iguales, sepuede a los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Estofacilita los cálculos, pero hay que tomar en cuenta que los giros que se van aobtener no son los reales.

E 1kgf

m2:= J 1m4:=

µ213 E⋅ J⋅l201

:= µ233 E⋅ J⋅l202

:=

µ21 0.75kgf m⋅= µ23 0.75kgf m⋅=

A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2.

M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ⋅+ 0=

θM021 M023+( )−

µ21 µ23+:= θ 2994=

Con el valor del giro que como señalamos, no corresponde al giro real, sepueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para ello cual hayque sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el sistemafundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se calculanambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque con signoopuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ⋅+:= Mh21 5282kgf m⋅=

Mh23 M023 µ23 θ⋅+:= Mh23 5282− kgf m⋅= momento flexor( )

Con la obtención del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático,ahora hay que obtener los diagramas de corte. Para ello se considera cadabarra en forma aislada y se aplica superposición de esfuerzos.

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Viga 201

q201

M21

1

2

h

l201

q201

1

2l201

M21

1

2

h

l201

=

+

Q12q201 l201⋅

2Mh21l201

−:= Q12 1716kgf=

Q21q201− l201⋅

2Mh21l201

−:= Q21 4356− kgf=

Viga 202

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q202a q202b

P202

3

2M23

h

l202a l202b

l202

q202a q202b

P202

3

2l202a l202b

l202

+

3

2M23

h

l202

=

Q23q202a l202a⋅

l202a2

l202b+

⋅

l202q202b l202b2⋅

2 l202⋅+

P202 l202b⋅l202

+Mh23−l202

+:=

Q23 6951kgf=

Q32q202a− l202a2⋅

2 l202⋅

q202b l202b⋅l202b

2l202a+

⋅

l202−

P202 l202a⋅l202

−Mh23−l202

+:=

Q32 4796− kgf=

Por último, se obtienen los momentos de tramo de cada viga.

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Viga 201

En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximomomento flexor en el tramo.

x201Q12q201

:= x201 1.13 m=

M201 Q12 x201⋅q201 x2012⋅

2−:= M201 969kgf m⋅=

Viga 202

Para este tramo donde no existe corte nulo, se obtiene el momento flexor,tomando momentos en la coordenada donde se encuentra la cargaconcentrada.

M202 Q23 l202a⋅q202a l202a2⋅

2− Mh23+:=

M202 6662kgf m⋅=

A continuación se representan los diagramas de esfuerzos de corte y momentoflexor.

VIGA 204-205

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q204 q205a q205b

P205

l204 l205a l205b

l204 4.00m:=q204 2248

kgfm

:=

l205a 2.00m:=q205a 507kgfm

:=

l205b 2.00m:=q205b 1721kgfm

:=

l205 l205a l205b+:=

P205 Qa216:= P205 3741kgf=

Obtención de momentos iniciales

q204 q205a q205b

P205

M21

1 3

2

o

M23

o

l204 l205a l205b

M021q204 l2042⋅

8:=

12/28

M0239−

128q205a⋅ l2052⋅

7128

q205b⋅ l2052⋅−3 P205⋅ l205⋅

16−:=

M021 4496kgf m⋅= M023 4882− kgf m⋅=



E 1kgf

m2:= J 1m4:=

µ213 E⋅ J⋅l204

:= µ233 E⋅ J⋅l205

:=

µ21 0.75kgf m⋅= µ23 0.75kgf m⋅=


M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ⋅+ 0=

θM021 M023+( )−

µ21 µ23+:= θ 257=

Con el valor del giro que como señalamos, no corresponde al giro real, sepueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para ello hay quesumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el sistemafundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se calculanambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque con signoopuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ⋅+:= Mh21 4689kgf m⋅=


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Viga 204

q204

M21

1

2

h

l204

q204

1

2l204

M21

1

2

h

l204

=

+

Q12q204 l204⋅

2Mh21l204

−:= Q12 3324kgf=

Q21q204− l204⋅

2Mh21l204

−:= Q21 5668− kgf=

Viga 205

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q205a q205b

P205

3

2M23

h

l205a l205b

l205

q205a q205b

P205

3

2l205a l205b

l205

+

3

2M23

h

l205

=

Q23q205a l205a⋅

l205a2

l205b+

⋅

l205q205b l205b2⋅

2 l205⋅+

P205 l205b⋅l205

+Mh23−l205

+:=

Q23 4664kgf=

Q32q205a− l205a2⋅

2 l205⋅

q205b l205b⋅l205b

2l205a+

⋅

l205−

P205 l205a⋅l205

−Mh23−l205

+:=

Q32 3533− kgf=


Viga 204

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x204Q12q204

:= x204 1.48 m=

M204 Q12 x204⋅q204 x2042⋅

2−:= M204 2457kgf m⋅=

Viga 205

Para este tramo donde no existe corte nulo, se obtiene el momento flexor,tomando momentos en la coordenada donde se encuentra la cargaconcentrada.

M205 Q23 l205a⋅q205a l205a2⋅

2− Mh23+:=

M205 3624kgf m⋅=


VIGA 206-207


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Esquema :

q206 q207

l206 l207

l206 4.00m:=q206 2018

kgfm

:=

l207 4.00m:=q207 2329kgfm

:=


q206 q207

M21

1 3

2

o

M23

o

l206 l207

M021q206 l2062⋅

8:=

M023q207− l2072⋅

8:=

M021 4036kgf m⋅= M023 4658− kgf m⋅=


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E 1kgf

m2:= J 1m4:=

µ213 E⋅ J⋅l206

:= µ233 E⋅ J⋅l207

:=

µ21 0.75kgf m⋅= µ23 0.75kgf m⋅=


M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ⋅+ 0=

θM021 M023+( )−

µ21 µ23+:= θ 415=

Con el valor del giro que como señalamos, no corresponde al giro real, sepueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para ello hay quesumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el sistemafundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se calculanambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque con signoopuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ⋅+:= Mh21 4347kgf m⋅=



Viga 206

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q206

M21

1

2

h

l206

q206

1

2l206

M21

1

2

h

l206

=

+

Q12q206 l206⋅

2Mh21l206

−:= Q12 2949kgf=

Q21q206− l206⋅

2Mh21l206

−:= Q21 5123− kgf=

Viga 205

19/28

q207

3

2M23

h

l207

+

3

2M23

h

l207

=

q207

3

2M23

h

l207

Q23q207 l207⋅

2Mh23−l207

+:=

Q23 5745kgf=

Q32q207− l207⋅

2Mh23−l207

+:=

Q32 3571− kgf=


Viga 206

En cada tramo, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximo

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pmomento flexor en el tramo.

x206Q12q206

:= x206 1.46 m=

M206 Q12 x206⋅q206 x2062⋅

2−:= M206 2155kgf m⋅=

Viga 207

x207Q23q207

:= x207 2.47 m=

M207 Q23 x207⋅q207 x2072⋅

2− Mh23+:=

M207 2738kgf m⋅=


VIGA 208-209

En este caso se trata de dos vigas con luces iguales y cargas iguales por locual es posible resolvelos con el auxilio de la tabla 51.

Esquema :

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q208 q209

l208 l209

l208 4.00m:=q208 1518

kgfm

:=

l209 4.00m:=q209 1518kgfm

:=

En este caso se trata de un sistema hiperestático por lo cual no tieneresolución con las ecuaciones de la estática. A los fines prácticos, se haincluido una tabla donde se indican coeficientes que permiten resolver estoscasos y que se agrega en anexo.

Tomando en cuenta que el esquema observado es equivalente estáticamenteal de dos vigas continuas con luces y cargas iguales, se adopta el primer casode la tabla T51, agregada en anexo.

Para utilizar esta tabla es necesario en primer lugar determinar la relación queexiste entre cargas permanente y totales (permanentes + sobrecargas) porqueconsidera que las sobrecargas se aplican o bien en uno de los tramos o en latotalidad de los tramos. Esto se debe a que de esa manera se obtienen loscasos más desfavorables para los momentos de tramo, apoyo y esfuerzos decorte. Sin embargo, no es necesario realizar una determinación precisa ya quelas diferencias son pequeñas y por tal motivo, se establece que las cargaspermanentes son el 70% de las cargas totales.

De la tabla T51 se obtienen los siguientes valores:

m1 12.90:= (coeficiente del momento de tramo)

mB 9.41−:= (coeficiente del momento de apoyo)

q1A 2.54:= (coeficiente del esfuerzo de corte en apoyo articulado)

q1B 1.65−:= (coeficiente del esfuerzo de corte en apoyo empotrado)

Como se trata de un esquema simétrico, los valores de tramo de ambas vigasson iguales, así como antimétricos los valores de los esfuerzos de corte.

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M208q208 l2082⋅

m1:= M208 1883kgf m⋅=

Map208_209q208 l2082⋅

mB:= Map208_209 2581− kgf m⋅=

M209 M208:= M209 1883kgf m⋅=

Q12q208 l208⋅

q1A:= Q12 2391kgf=

Q21q208 l208⋅

q1B:= Q21 3680− kgf=

Q23 Q21−:=Q23 3680kgf=

Q32 Q12−:=

Q32 2391− kgf=


VIGA 210-211-212

En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas. En

23/28

g geste caso, la única diferencia es una mayor complejidad matemática para laresolución del sistema de ecuaciones.

Dimensiones vigaEsquema :

q210 q211

l210 l211

q212

l212

l210 3.90m:=q210 2520

kgfm

:=

l211 3.90m:=q211 863kgfm

:=

l212 3.90m:=q212 2585kgfm

:=


q210 q211

M21

1

2

o

M23

o

l210 l211

M32

4

3

o

M34

o

l212

q212

M021q210 l2102⋅

8:= M032

q211 l2112⋅12

:=

M023q211− l2112⋅

12:= M034

q212− l2122⋅8

:=

M021 4791kgf m⋅= M023 1094− kgf m⋅=

M032 1094kgf m⋅= M034 4915− kgf m⋅=


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Por lo indicado anteriormente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, porlo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos.

Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3manteniendo el resto en las mismas condiciones (empotrado). Hay que tomaren cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por elgiro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra m.

E 1kgf

m2:= J 1m4:=

Se impone un giro unitario en el nudo 2.

µ213 E⋅ J⋅l210

:= µ234 E⋅ J⋅l211

:=

m322 E⋅ J⋅l211

:=

µ21 0.77kgf m⋅= µ23 1.03kgf m⋅=

m32 0.51kgf m⋅=


µ324 E⋅ J⋅l211

:= µ343 E⋅ J⋅l212

:=

m232 E⋅ J⋅l211

:=

µ32 1.03kgf m⋅= µ34 0.77kgf m⋅=

m23 0.51kgf m⋅=

25/28

A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2y otra diferente en el nudo 3.

Nudo 2

M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ2⋅+ m23 θ3⋅+ 0=

Nudo 3

M032 M034+ m32 θ2⋅+ µ32 µ34+( ) θ3⋅+ 0=

Operamos, reemplazamos los lugares por números y pasamos los términosindependientes al segundo miembro de la igualdad. En este caso tenemos unsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual hay que buscar algúmétodo de resolución. Por su simplicidad, utilizaremos la regla de Cramerconsistente en la resolución mediante el cociente de dos determinantes. Enanexo matemático, se explica este método.

Nudo 2

1.80 θ2⋅ 0.51 θ3⋅+ 3697−=

Nudo 3

0.51 θ2⋅ 1.80 θ3⋅+ 3821=

Para la resolución del sistema de ecuaciones según el método propuesto sedebe obtener el determinante de los coeficientes ∆ que es aquel cuyos lugaresen la tabla son los valores que multiplican a las incógnitas (θ2 y θ3):

∆ =1.80

0.51

0.51

1.80

La resolución es:

∆ 1.80 1.80⋅ 0.51 0.51⋅−:= ∆ 2.98=

Seguidamente se obtienen los valores de los determinantes ∆2 y ∆3. Estosdeterminantes se obtienen reeemplazando los valores de la columna de cadaincógnita por los términos que aparecen en el segundo miembro de la ecuació

∆2 =3697−

3821

0.51

1.80

∆3 =1.80

0.51

3697−

3821

26/28

∆2 3697− 1.80⋅ 3821 0.51⋅−:= ∆3 1.80 3821⋅ 0.51 3697⋅+:=

∆2 8603−= ∆3 8763=

Finalmente los giros se obtienen por los siguientes cocientes:

θ3∆3∆

:=θ2∆2∆

:=

θ2 2887−= θ3 2941=

Con el valor de los giros que, como señalamos, no corresponden a los girosreales, se pueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para elhay que sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en elsistema fundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Secalculan ambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque cosigno opuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ2⋅+:= Mh21 2570kgf m⋅=

Mh23 M023 µ23 θ2⋅+ m23 θ3⋅+:= Mh23 2547− kgf m⋅= momento flexor( )

Mh32 M032 m32 θ2⋅+ µ32 θ3⋅+:= Mh32 2629kgf m⋅=

Mh34 M034 µ34 θ3⋅+:= Mh34 2653− kgf m⋅= momento flexor( )

Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtencióndel momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático, ahora hay queobtener los diagramas de corte. Para ello se considera cada barra en formaaislada y se aplica superposición de esfuerzos.

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Viga 210

q210

M21

1

2

h

l210

q210

1

2l210

M21

1

2

h

l210

=

+

Q12q210 l210⋅

2Mh21l210

−:= Q12 4255kgf=

Q21q210− l210⋅

2Mh21l210

−:= Q21 5573− kgf=

Viga 211

28/28

q211

M32

2

3

h

l211

q211

l211

l211

=

+

M23

h

2

3

2

3M32

h

M23

h

Q23q211 l211⋅

2Mh23 Mh32+

l211−:= Q23 1662kgf=

Q32q211− l211⋅

2Mh32 Mh23+

l211−:= Q32 1704− kgf=

Viga 212

29/28

q212

3

4l212

q212

l212

l212

=

+

M34

h

3

4M34

h

3

4

Q34q212 l212⋅

2Mh34l212

−:= Q34 5721kgf=

Q43q212− l212⋅

2Mh34l212

−:= Q43 4361− kgf=


Viga 210


x210Q12q210

:= x210 1.69 m=

M210 Q12 x210⋅q210 x2102⋅

2−:= M210 3592kgf m⋅=

Viga 211


x211Q23q211

:= x211 1.93 m=

30/28

M211 Mh23 Q23 x211⋅+q211 x2112⋅

2−:= M211 947− kgf m⋅=

En los casos en que de momento negativo en el tramo, para calcular esnecesario considerar un momento positivo mínimo igual al que resulta decalcular un tramo de viga con ambos apoyos empotrados cuya fórmula se indica continuación:

M211calcq211 l2112⋅

24:= M211calc 547kgf m⋅=

Viga 212


x212Q34q212

:= x212 2.21 m=

M212 Mh34 Q34 x212⋅+q212 x2122⋅

2−:= M212 3678kgf m⋅=


VIGA 213-214-215

En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas.

Esquema :

31/28

q213 q214

l213 l214

q215

l215

l213 3.90m:=q213 2144

kgfm

:=

l214 3.90m:=q214 1972kgfm

:=

l215 3.90m:=q215 1454kgfm

:=


q213 q214

M21

1

2

o

M23

o

l213 l214

M32

4

3

o

M34

o

l215

q215

M021q213 l2132⋅

8:= M032

q214 l2142⋅12

:=

M023q214− l2142⋅

12:= M034

q215− l2152⋅8

:=

M021 4076kgf m⋅= M023 2500− kgf m⋅=

M032 2500kgf m⋅= M034 2764− kgf m⋅=



Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3manteniendo el resto en las mismas condiciones (empotrado). Hay que tomar

32/28

( p ) y qen cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por elgiro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra m.

E 1kgf

m2:= J 1m4:=


µ213 E⋅ J⋅l210

:= µ234 E⋅ J⋅l211

:=

m322 E⋅ J⋅l211

:=

µ21 0.77kgf m⋅= µ23 1.03kgf m⋅=

m32 0.51kgf m⋅=


µ324 E⋅ J⋅l211

:= µ343 E⋅ J⋅l212

:=

m232 E⋅ J⋅l211

:=

µ32 1.03kgf m⋅= µ34 0.77kgf m⋅=

m23 0.51kgf m⋅=


33/28

Nudo 2

M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ2⋅+ m23 θ3⋅+ 0=

Nudo 3

M032 M034+ m32 θ2⋅+ µ32 µ34+( ) θ3⋅+ 0=


Nudo 2

1.80 θ2⋅ 0.51 θ3⋅+ 1576−=

Nudo 3

0.51 θ2⋅ 1.80 θ3⋅+ 264=


∆ =1.80

0.51

0.51

1.80

La resolución es:

∆ 1.80 1.80⋅ 0.51 0.51⋅−:= ∆ 2.98=


∆2 =1576−

264

0.51

1.80

∆3 =1.80

0.51

1576−

264

∆2 1576− 1.80⋅ 264 0.51⋅−:= ∆3 1.80 264⋅ 0.51 1576⋅+:=

∆2 2971−= ∆3 1279=

34/28


θ3∆3∆

:=θ2∆2∆

:=

θ2 997−= θ3 429=


Mh21 M021 µ21 θ2⋅+:= Mh21 3309kgf m⋅=


Mh32 M032 m32 θ2⋅+ µ32 θ3⋅+:= Mh32 2428kgf m⋅=



Viga 213

35/28

q213

M21

1

2

h

l213

q213

1

2l213

M21

1

2

h

l213

=

+

Q12q213 l213⋅

2Mh21l213

−:= Q12 3332kgf=

Q21q213− l213⋅

2Mh21l213

−:= Q21 5029− kgf=

Viga 214

36/28

q214

M32

2

3

h

l214

q214

l214

l214

=

+

M23

h

2

3

2

3M32

h

M23

h

Q23q214 l214⋅

2Mh23 Mh32+

l214−:= Q23 4069kgf=

Q32q214− l214⋅

2Mh32 Mh23+

l214−:= Q32 3621− kgf=

Viga 215

37/28

q215

3

4l215

q215

l215

l215

=

+

M34

h

3

4M34

h

3

4

Q34q215 l215⋅

2Mh34l215

−:= Q34 3459kgf=

Q43q215− l215⋅

2Mh34l215

−:= Q43 2211− kgf=


Viga 213


x213Q12q213

:= x213 1.55 m=

M213 Q12 x213⋅q213 x2132⋅

2−:= M213 2590kgf m⋅=

Viga 214


38/28

x214Q23q214

:= x214 2.06 m=

M214 Mh23 Q23 x214⋅+q214 x2142⋅

2−:= M214 897kgf m⋅=

Viga 215


x215Q34q215

:= x215 2.38 m=

M215 Mh34 Q34 x215⋅+q215 x2152⋅

2−:= M215 1681kgf m⋅=


VIGA 217-218-219

En este caso se trata de tres vigas continuas, dos con cargas distribuidas yuna tercera con cargas distribuidas parciales y una concentrada.

Esquema :

39/28

q217 q218

l217 l218

q219a q219b

l219a l219b

P219

l217 3.90m:=q217 1479

kgfm

:=

l218 3.90m:=q218 1047kgfm

:=

l219a 1.30m:=q219a 906kgfm

:=

l219b 2.60m:=q219b 763kgfm

:=

P219 Qb203−:= l219 l219a l219b+:=

l219 3.90 m=P219 1138kgf=


En el tercer tramo se resuelve por separado cada una de las cargas con ayudade la tabla de hiperestáticos de un tramo resueltos.

M21

1

2

o

M23

o

M32

4

3

o

M34

o

q219a q219b

l219a l219b

P219

l217 l218

q217 q218

M021q217 l2172⋅

8:= M032

q218 l2182⋅12

:=

40/28

M023q218− l2182⋅

12:=

M034aq219a− l219a2⋅ 2

l219al219

−

2⋅

8:= M034b

q219b− l219b2⋅ 2l219b2

l2192−

⋅

8:=

M034cP219− l219a⋅ l219b⋅ l219 l219b+( )⋅

2 l2192⋅:=

M034 M034a M034b+ M034c+:=

M021 2812kgf m⋅= M023 1327− kgf m⋅=

M032 1327kgf m⋅= M034 2356− kgf m⋅=



Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3manteniendo el resto en las mismas condiciones (empotrado). Hay que tomaren cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por elgiro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra m.

E 1kgf

m2:= J 1m4:=


µ213 E⋅ J⋅l210

:= µ234 E⋅ J⋅l211

:=

m322 E⋅ J⋅l211

:=

41/28

µ21 0.77kgf m⋅= µ23 1.03kgf m⋅=

m32 0.51kgf m⋅=


µ324 E⋅ J⋅l211

:= µ343 E⋅ J⋅l212

:=

m232 E⋅ J⋅l211

:=

µ32 1.03kgf m⋅= µ34 0.77kgf m⋅=

m23 0.51kgf m⋅=


Nudo 2

M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ2⋅+ m23 θ3⋅+ 0=

Nudo 3

M032 M034+ m32 θ2⋅+ µ32 µ34+( ) θ3⋅+ 0=


Nudo 2

1.80 θ2⋅ 0.51 θ3⋅+ 1485−=

Nudo 3

0.51 θ2⋅ 1.80 θ3⋅+ 1029=

42/28


∆ =1.80

0.51

0.51

1.80

La resolución es:

∆ 1.80 1.80⋅ 0.51 0.51⋅−:= ∆ 2.98=


∆2 =1485−

1029

0.51

1.80

∆3 =1.80

0.51

1485−

1029

∆2 1485− 1.80⋅ 0.51 1029⋅−:= ∆3 1.80 1029⋅ 0.51 1485⋅+:=

∆2 3198−= ∆3 2610=


θ3∆3∆

:=θ2∆2∆

:=

θ2 1073−= θ3 876=


Mh21 M021 µ21 θ2⋅+:= Mh21 1986kgf m⋅=


Mh32 M032 m32 θ2⋅+ µ32 θ3⋅+:= Mh32 1675kgf m⋅=

43/28



Viga 217

q217

M21

1

2

h

l217

q217

1

2l217

M21

1

2

h

l217

=

+

Q12q217 l217⋅

2Mh21l217

−:= Q12 2375kgf=

Q21q217− l217⋅

2Mh21l217

−:= Q21 3393− kgf=

Viga 218

44/28

q218

M32

2

3

h

l218

q218

l218

l218

=

+

M23

h

2

3

2

3M32

h

M23

h

Q23q218 l218⋅

2Mh23 Mh32+

l218−:= Q23 2120kgf=

Q32q218− l218⋅

2Mh32 Mh23+

l218−:= Q32 1964− kgf=

Viga 219

45/28

=

+

4

3M34

o

q219a q219b

l219a l219b

P219

4

3M34

o

q219a q219b

l219a l219b

P219

4

3M34

o

l219

Q34q219a l219a⋅

l219a2

l219b+

⋅q219b l219b2⋅

2+

l219Mh21l219

+:=

Q43q219b− l219b⋅

l219b2

l219a+

⋅q219a l219a2⋅

2+

l219Mh21−l219

+:=

Q34 2152kgf= Q43 1636− kgf=


Viga 217


46/28

x217Q12q217

:= x217 1.61 m=

M217 Q12 x217⋅q217 x2172⋅

2−:= M217 1906kgf m⋅=

Viga 218


x218Q23q218

:= x218 2.02 m=

M218 Mh23 Q23 x218⋅+q218 x2182⋅

2−:= M218 167kgf m⋅=

Viga 219

Aunque hay una carga concentrada, igualmente es necesario obtener el puntode corte nulo ya que la misma no llega a provocar un cambio de signo delmomento de corte. Por comodidad en este caso, se tomarán momentos a laderecha pero cambiándoles el signo

x219Q43−

q219b:= x219 2.14 m=

M219 Q43− x219⋅q219b x2192⋅

2−:= M219 1753kgf m⋅=


47/52

Vigas sobre Azotea

Para resolver las vigas 301 y 302 es necesario conocer previamente el valor dlas reacciones de la viga 304 por lo cual se dejará el cálculo de estas vigaspara el final.

VIGA 303

Esta viga no recibe reacciones de losa ni un muro de cierre. Solamentesoporta dos cargas concentradas correspondiente a las columnas del tanque.

Esquema :

q303

P P

l303

lP lP

l303 3.90m:=

q303 86kgfm

:=

La viga recibe dos cargas concentradas (P) que corresponden a la carga dedos columnas del tanque (cuyo peso cargado se estima en un valor igual aldoble de la carga de agua, es decir, 12000 Kgf).

P12000kgf

4:= P 3000kgf=

lP 1.00m:=

Qa303 P q303l303

2⋅+:= Qb303 Qa303−:=

Qa303 3168kgf= Qb303 3168− kgf=

48/52

M303 Qa303l303

2⋅ P

l3032

lP2

−

⋅−q303 l3032⋅

8−:=

M303 1664kgf m⋅=


VIGA 304

Esquema :

q304

P P

l304

lP lP

l304 3.90m:=

q304 1882kgfm

:=

La viga recibe dos cargas concentradas (P) que corresponden a la carga dedos columnas del tanque (cuyo peso cargado se estima en un valor igual aldoble de la carga de agua, es decir, 12000 Kgf).

P12000kgf

4:= P 3000kgf=

lP 1.00m:=

Qa304 P q304l304

2⋅+:= Qb304 Qa304−:=

49/52

Qa304 6670kgf= Qb304 6670− kgf=

M304 Qa304l304

2⋅ P

l3042

lP−

⋅−q304 l3042⋅

8−:=

M304 6578kgf m⋅=


VIGA 305

Esquema :

q305

l305

l305 3.90m:=

q305 1882kgfm

:=

Se trata de una viga simplemente apoyada con una carga distribuida por laresolución surge de la siguiente fórmula:

Qa305 q305l305

2⋅:= Qb305 Qa305−:=

Qa305 3670kgf= Qb305 3670− kgf=

50/52

M305 q305l3052

8⋅:=

M305 3578kgf m⋅=


VIGA 301

Esquema : l301 4.00m:=

q301bq301a

P

l301

l301/2

q301a 86kgfm

:=

q301b 1972kgfm

:=

P Qb304−:= P 6670kgf=

Qa301q301a l301⋅

2q301b l301⋅

4+

P2

+:=

51/52

Qb301q301b− l301⋅

2q301a− l301⋅

4+

P−2

+:=

Qa301 5479kgf= Qb301 7365− kgf=

M301Qa301 l301⋅

2

q301al301

2

2⋅

2−:=

M301 10786 kgf m⋅=


VIGA 302

Esquema : l302 4.00m:=

q302bq302a

P

l302

l302/2

q302a 86kgfm

:=

q302b 1405kgfm

:=

P Qa304:= P 6670kgf=

52/52

Qa302q302a l302⋅

2q302b l302⋅

4+

P2

+:=

Qb302q302b− l302⋅

2q302a− l302⋅

4+

P−2

+:=

Qa302 4912kgf= Qb302 6231− kgf=

M302Qa302 l302⋅

2

q302al302

2

2⋅

2−:=

M302 9652kgf m⋅=


ANEXO MATEMÁTICO Para la resolución de los sistemas de ecuaciones que suelen aparecer en el método de las deformaciones, se puede aplicar cualquier método, tales como sustituciones, sumas y restas y muchos más. Sin embargo, por su simplicidad, se utilizó el llamado Método de Cramer consistente en el cociente de dos determinantes y, por tal motivo, se hará una breve reseña de este método, no en cuanto a su fundamentación, sino a su procedimiento. En primer lugar, se recordará que los determinantes son números que se obtienen a partir de tablas o matrices cuadradas que asignan un valor numérico en cada posición. El determinante se obtiene de la suma de un número de factores iguales al grado del determinante. Por ejemplo, si la matriz posee dos filas y dos columnas, los términos de cada determinante poseen dos factores, si consta de tres filas y tres columnas, se sumarán tres factores. En particular, se indicará como se obtienen los valores de los determinantes de 2x2 que son los necesarios para la resolución del hiperestático

∆ = a11xa22 –a21xa12

Ahora bien, dado un sistema de ecuaciones del tipo siguiente:

La regla de Cramer establece que la solución del sistema se obtiene del cociente de los siguientes determinantes.

Donde:

a11

a21

a12

a22

∆

a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2

x∆1∆

:= y∆2∆

:=

∆ a11

a21

a12

a22

b1

b2

a12

a22

∆1

∆2 a11

a21

b1

b2

Hiperestaticos ejemplos

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