hipÓtesis 6

> Pág. 30. Glifosato: ¿Riesgo humano?

Apuntes científicos uniandinos

I S S N 1 6 9 2 - 7 2 9 X > N o . 0 6 > D I C I E M B R E D E 2 0 0 5 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U L T A D D E C I E N C I A S

> Pág. 12. Análisis geoestadísticos para mejorar el aprovechamientode aguas subterráneas > Pág. 22. Los Procesos de oxidaciónavanzada > Pág. 30. Glifosato: ¿Riesgo humano?> Pág. 38. Vacunas de ADN > Pág. 46. El número e

Facultad de Ciencias

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> Pág. 03. Editorial

> Pág. 05. Bio-notas

> Pág. 08. Astro-notas

> Pág. 10. Problemas y rompecabezas

> Pág. 12. Análisis geoestadístico para mejorar el

aprovechamiento de aguas subterráneasMediante el uso de herramientas geoestadísticas, serealizó un diagnóstico del aprovechamiento de lasaguas subterráneas para el municipio de Chía,Cundinamarca, encontrándose caudales aprovechablesentre los 15 y los 50 m de profundidad.Orlando Riaño Melo / José Bánquez NietoHans Morales Bopp

> Pág. 22. Los Procesos de Oxidación AvanzadaEn los últimos años se han propuesto los Procesos deOxidación Avanzada como una alternativa para eltratamiento de aguas contaminadas con sustanciasdifícilmente biodegradables y para la eliminación debacterias en aguas destinadas al consumo humano.Víctor Manuel Sarria

> Pág. 30. Glifosato: ¿riesgo humano?El Laboratorio de Genética Humana de la Universidadde los Andes realiza un estudio con el fin decomprobar la eficacia de la ‘prueba del cometa’ comoherramienta para evaluar la citotoxicidad y lagenotoxicidad del glifosato.Helena Groot de Restrepo / Sandra Liliana Ortiz Cuarán

> Pág. 38. Vacunas de ADNEstas vacunas de tercera generación son actualmente laalternativa más promisoria para el control de una granvariedad de enfermedades, que no se limita a lasinfecciosas, sino que incluye otras de carácterhereditario y ciertos tipos de cáncer.Alberto Aparicio de Narváez / Juan Carlos García BetancurJorge Alejandro Rojas Flechas

> Pág. 46. El número e.En comparación a π, el número e es un recién llegado.Su primera aparición fue indirecta y casi accidental enlos logaritmos de John Napier (1614). Desde esemomento su sitio en las matemáticas ha sidopreponderante.Luz Myriam Echeverry

> Pág. 58. Facultad de Ciencias

> Pág. 60. Graduandos de maestría y doctorado

> hipótesisapuntes científicos uniandinosNo. 6, diciembre de 20053250 ejemplares

ISSN 1692-729XISSN ONLINE 1794-354X© Universidad de los Andes, 2005

Prohibida la reproducción totalo parcial de esta obrasin la autorización escrita de los editores

Director:

Hernando Echeverri Dávila

Profesor asociado,Departamento de Matemáticas

Comité Editorial:

José M. Rolando Roldán

Decano, Facultad de CienciasProfesor titular, Departamento de FísicaCarlos Jaramillo

Profesor titular, Departamento de Ciencias BiológicasDirector de Investigaciones y PosgradosFacultad de CienciasJaime Lesmes

Profesor titularDepartamento de MatemáticasLuis Quiroga Puello

Profesor titularDepartamento de FísicaAdolfo Amézquita Torres

Profesor asociadoDepartamento de Ciencias BiológicasEdgar Vargas

Profesor asistenteDepartamento de Química

Diseño gráfico y desarrollo editorialAlfonso F. Castañeda FelettiTeléfonos: (571) 481 1847 / 232 [email protected]ón de textos y corrección de estilo:Pedro LamaPreprensa:CTP Contextos GráficosImpresión:Contacto Gráfico

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Glifosato: ¿riesgo humano?Evaluación de daño en el ADN por medio del ensayo del cometa.

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> Editorial

En este número de Hipótesis ofrecemos dosartículos que tratan temas ecológicos. Poruna parte, “Análisis geoestadístico para en-contrar aguas subterráneas” nos explicacómo buscar el recurso hídrico –cada díamás escaso– con métodos estadísticos. Losinvestigadores utilizaron las técnicasKriging recurriendo a datos de exploracio-nes anteriores, pozos actuales y medicio-nes eléctricas, para proporcionar un mapaestadístico de una variable denominada ‘fa-vorabilidad litológica’, que mide la dispo-nibilidad de extracción del agua. El estudiose hizo en el municipio de Chía para dife-rentes niveles de profundidad.

Si de una parte se trata de encontrar el pre-cioso líquido, de otra buscamos preservarsu pureza. En “Los Procesos de OxidaciónAvanzada” se describen las técnicas, delmismo nombre, propuestas en los últimosaños para el tratamiento de aguas conta-minadas con sustancias difícilmente bio-degradables. Estos procesos utilizan el altopotencial de oxidación que tienen los radi-cales hidróxilo, mediante un catalizador se-miconductor activado por la luz. Losestudios del Departamento de Química dela Universidad de los Andes indagan cómocombinar esta técnica con un procedimien-to biológico.

Otros dos artículos explican el uso de téc-nicas de biología molecular en investiga-ciones que tienen que ver con nuestroorganismo. “Glifosato: ¿riesgo humano?”contrasta, de una manera imparcial, los re-sultados de estudios acerca de los efectosdel glifosato sobre el ser humano y propo-ne una técnica novedosa para sopesar losdaños que puede causar en los núcleos decélulas de tejidos humanos. Se trata de la‘prueba del cometa’ que, a través de laelectroforesis, visualiza los núcleos lesio-

nados como cabezas de cometas con co-las, cuyas longitudes dependen del dañoen el ADN. Este estudio valida este tipo deprueba para determinar la nocividad delproducto; aunque no es concluyente al res-pecto, por tratar con concentraciones mu-cho mayores a las utilizadas en el campo.

Muy actual en un mundo en vilo por la gri-pe aviaria, “Vacunas de ADN” explica cómofuncionan las vacunas en el complejísimosistema inmune de los mamíferos superio-res. Luego de las primeras producidas porLuis Pasteur contra la rabia, pasando porlas generadas por levaduras modificadasgenéticamente, estamos ahora a las puer-tas de la tercera generación de este inven-to que ha salvado decenas de millones devidas. Las vacunas próximas a salir permi-tirán inocular pequeños ciclos de ADN lla-mados plásmidos, que pondrán a nuestrascélulas a producir los antígenos que ac-cionan la memoria inmune y desencade-nan esa increíble cascada de preparativosde prevención contra la posibilidad de unaenfermedad específica.

Para terminar, “El número e” es un recuen-to de la historia de la “otra” constante. Encontraposición a π, no tiene relación direc-ta con la geometría ni se remonta a épocastan remotas, aunque comparte con ella lairracionalidad y la trascendencia. Hizo suaparición, al tiempo con el cálculo diferen-cial, de la mano de dos funciones descu-biertas en el siglo XVII: el logaritmo y laexponencial. Su relación íntima con el análi-sis, tanto real como complejo, la asocian conel gran matemático de la Ilustración, Leonar-do Euler. Últimamente, con el desarrollo delcomputador, ha recobrado su brillo en el afánde algunos grupos de investigación por en-contrar más y más cifras de su caprichosodesarrollo decimal infinito.

4 HIPÓTESIS / APUNTES CIENTÍFICOS UNIANDINOS No. 6 / diciembre 2005

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> Bio-notas

> Serpientes CoralesLina María Arenas ChavesEstudiante de pregrado de biología

Macho de Dendrobates truncatus con un renacuajo en su espalda; es una de las especies derenacuajos caníbales, utilizada en estudios en la Universidad de los Andes. Foto: Adolfo Amézquita.

Coral, Micrurus fulvius fulviushttp://www.csam.montclair.edu/ceterms/rainforest/RFC2002/RFC_02_11s.html

Las serpientes corales pertenecen a losgéneros Micrurus y Micruroides, de lamisma familia de las cobras, los Elapidae.Se caracterizan por sus cuerpos de colo-res brillantes: rojo, amarillo, e incluso ne-gro y blanco. Se encuentran distribuidasa lo largo del continente americano, des-de Estados Unidos hasta Argentina, y portanto tienen una gran variación en sus pa-trones de coloración. Las corales produ-cen venenos neurotóxicos, que actúandirectamente sobre el sistema nervioso desus víctimas, produciendo arritmias car-diacas, parálisis y adormecimiento de losmúsculos, entre otros síntomas. Son diur-nas y se alimentan principalmente de otrasserpientes, aunque se sabe que muchasespecies incluyen lagartijas, ranas e insec-tos en su dieta. No son muy agresivas ysus colmillos son pequeños; los acciden-tes con seres humanos usualmente ocu-rren cuando se intenta manipularlas o seintroducen manos en grietas o rendijas.

Dado que su veneno representa un peli-gro potencial para un depredador natu-ral, muchas especies que no son tóxicashan desarrollado coloraciones muy simi-lares a las de las corales para evitar serdevoradas. Este fenómeno de imitaciónse encuentra ampliamente distribuido enla naturaleza, y se conoce como ‘mime-tismo batesiano’. Una coral verdadera secaracteriza por tener ojos pequeños ycolmillos en la parte anterior de la boca.Además, su cuerpo tiene el mismo diá-metro que la cabeza, y las bandas colo-

readas de su cuerpo se ven incluso sobreel vientre. La evolución del mimetismobatesiano no siempre es tan clara. Un es-tudio hecho por Campbell y Lamar en1989, reveló una gran coincidencia entrela coloración de dos especies de serpien-tes que no habitan regiones aledañas: ¡latóxica se encontraba en Colombia, y la notóxica en Surinam!

Cuando pensamos en canibalismo, nosimaginamos tribus que celebran ritualesen los que se consumen órganos huma-nos, o recordamos películas como El si-lencio de los inocentes, cuyo personajecentral es el famoso Hannibal Lecter.Pero este fenómeno no es tan extrañoen la naturaleza; de hecho, ocurre enmuchos tipos de animales, como insec-tos, arañas, peces, salamandras, variasespecies de ranas e incluso en algunosmamíferos. Se considera que un indivi-duo es caníbal cuando se alimenta dehuevos, larvas u otros individuos de sumisma especie. En las ranas, este com-portamiento puede ser facultativo, cuan-do no dependen del canibalismo parasobrevivir, o estricto, cuando mueren sino consumen huevos o renacuajos de supropia especie. Algunas especies de ra-nas cambian la morfología de sus bocascuando se vuelven caníbales, para permi-tir un consumo más fácil de los individuos.

Existen diferentes tipos de canibalismo.El sexual se hace manifiesto en la mantisreligiosa y en la araña viuda negra: lahembra se alimenta de su pareja luegode la cópula, con el fin de obtener la pro-teína suficiente para criar a sus hijos. Porotra parte, algunas arañas se sacrificancuando se reproducen, al permitir quesus crías recién nacidas se alimenten deellas. Otro ejemplo de canibalismo comofuente de alimento es el de los renacua-jos de varias ranas venenosas, que sedevoran entre ellos cuando no hay co-mida suficiente para todos. Esto se debea que viven en cuerpos de agua muy pe-queños y pobres en nutrientes, que seencuentran en troncos y hojas.

> Viviendo con el enemigoLina María Arenas ChavesEstudiante de pregrado de biología

Mantis devorando al machofoto: F. Tomasinellihttp://www.isopoda.net/articoli/mantidi%20italiane/mantis%20cannibal2.html


En la mantis religiosa el canibalismosexual es siempre consumado por lahembra. Aunque el sacrificio del machono es completamente necesario para te-ner una cópula exitosa, las hembras quepractican el canibalismo ganan nutrien-tes que invierten en el incremento deltamaño y el número total de huevos dela puesta. Sin embargo, existen estudiosque muestran que el comportamientosexual del macho puede ser inducido porla decapitación, ya que ésta remueve lainhibición neurocefálica de los patronesde movimiento copulatorio. El macho bienpuede completar la cópula sin cabeza.

Algunas investigaciones indican que losmachos podrían no tener la intención desacrificarse. Su acercamiento a la hem-bra es tan sigiloso que puede durar ho-ras; según los autores, para disminuir elriesgo de detección. Después de la cópu-la, los machos tratan de pasar desaperci-bidos e irse rápidamente. Se ha observadotambién que el desmonte del macho esmás rápido en la naturaleza que en cauti-verio, debido a que la mayor cobertura ymovimiento de la vegetación distrae a lahembra mientras el macho se aleja.

Como en esta especie se han observadomúltiples cópulas en ambos sexos, al-gunos autores sugieren la existencia decompetencia espermática. Si un machocopula con una hembra inmediatamentedespués de que ella lo haya hecho conotro, esta re-cópula va a permitir que elsegundo macho desplace el espermató-

foro del anterior o que la hembra lo ex-pulse; no obstante, es fundamental queel nuevo apareamiento se produzca an-tes de la completa transmisión del esper-ma del primer macho. Por tanto, lapaternidad de una mayor proporción dehuevos se asegura con un mayor tiempode cópula, que aumentaría la transferen-cia espermática. La duración de la uniónsexual pareciera estar bajo el control delmacho cuando no hay canibalismo, y bajoel control de la hembra cuando lo hay. Lahembra podría usar el canibalismo paralimitar el éxito de los machos al disminuirla duración de la cópula o el intervalo en-tre una y otra, afectando el desplazamien-to del esperma de machos anteriores ola transferencia del esperma del último(Lawrence, 1992).

A lo largo de la historia, la vida sobre latierra ha sufrido cinco extinciones masi-vas, en las cuales un alto porcentaje dediferentes especies de plantas y anima-les sufrió un importante decrecimientode su población o desapareció por com-pleto. Actualmente, muchos científicosafirman que somos testigos de otra ex-tinción masiva, que a diferencia de lasanteriores, es producto de la acción delhombre que ha causado daños irrepara-bles en los ecosistemas. Científicos dediversas naciones aseguran que si lascondiciones actuales del mundo indus-trializado continúan destruyendo el hábi-tat, más de la mitad de todas las especiesdel planeta dejarán de existir en tan sólocien años.

El panorama más desalentador se podríaestar presentando entre los anfibios: ra-nas, salamandras y cecilias. Desde 1970,las poblaciones pertenecientes a este an-tiguo grupo se han visto radicalmentedisminuidas, y hasta la fecha se ha re-portado que el 23% de las 5.743 espe-cies conocidas ha desaparecido. Losfactores responsables de esta situaciónincluyen: a) la catastrófica destruccióndel hábitat de regiones húmedas queamenaza al 90% de los anfibios; b) loscambios radicales del clima en los últi-mos años producto de la polución, el ca-lentamiento global y el adelgazamientode la capa de ozono; c) la aparición de lachytridiomycosis, una enfermedad pro-ducida por un hongo fatal que se encar-ga de reducir las poblaciones de unamanera rápida y eficaz. Estos factorespueden incluso estar actuando simultá-neamente sobre una sola área, condu-ciendo a una extinción más rápida de estegrupo de vertebrados. Somos testigos deun acontecimiento que no puede pasardesapercibido, ya que si la población de

> Amante sin cabezaJuliana Castaño Isaza / Estudiante de pregrado de biología

Especie de Mantis delChocó colombiano enactitud de ataque.Foto: Adolfo Amézquita.

> Los anfibios caminoa la extinciónJuliana López AngaritaEstudiante de pregrado de biología

Atelopus elegans, el sapito elegante de Gorgona. Las ranas del género Atelopus son probablementelas más afectadas por el fenómeno de declinación y extinción en Centro y Sudamérica. Foto: Adolfo Amézquita.

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anfibios sigue disminuyendo, no habráforma de reemplazar las funciones vita-les que estos organismos cumplen en lacadena alimentaria, en el control de lasplagas de insectos y en la limpieza de lasaguas dulces. Bajo estas circunstancias,el equilibrio de los ecosistemas y, en últi-mas, el de la vida en el planeta, se veríanenormemente vulnerados. La amenazaque pesa sobre los anfibios nos invita ainvestigar, pues Colombia es uno de lospaíses con mayor diversidad de especies:735 registradas hasta la fecha.

Las ranas del género Eleutherodactyluspertenecen a la familia Leptodactylidae–dedos libres–, nombre designado porsu característica morfológica de no pre-sentar membranas entre los dedos. Esterasgo es indicativo de que son especiesque tienen hábitos predominantementeterrestres. La mayoría de las especies quecomponen este género son ranas andi-nas con actividad nocturna. Es el génerode vertebrados con más especies en elmundo: más de quinientas.

Estas ranas respiran por los pulmones ya través de la piel, que debe permanecersiempre húmeda. Su modo reproductivoes terrestre, depositan sus huevos uni-dos por una masa viscosa en el suelo delbosque, sobre la hojarasca o debajo dela tierra, en donde completan su desa-

rrollo embrionario hasta que el huevoeclosiona y salen las ranitas, morfológi-camente iguales a los individuos adultos,característica denominada ‘desarrollo di-recto’. No existe un renacuajo o estadolarval libre en el agua. Para completarsu desarrollo hasta la eclosión, los em-briones se alimentan reabsorbiendo elvitelo presente en el huevo, lo que loshace independientes de los cuerpos deagua. La fertilización es externa, exceptoen la Eleutherodactylus jasperi, que esuna especie vivípara.

Debido a la composición de su dieta, es-tas ranas son consideradas carnívoras ygeneralistas –se alimentan de todo tipode presa, sin discriminación alguna–. Engeneral, requieren hábitats muy especí-ficos, áreas con alta cobertura vegetal,gran cantidad de hojarasca, alta hume-dad y temperaturas bajas. Cuando estascondiciones óptimas son modificadaspor la fragmentación del bosque, se au-menta la probabilidad de extinción de lasespecies que lo habitan, aunque algunasse adaptan muy bien al desmonte. Lasinteracciones acústicas de estas ranasconstituyen uno de los principales fac-tores que determinan su distribución aescala microespacial.

Flower Garden Banks National MarineSanctuary se encuentra a 185 kilómetrosde las costas de Texas y Luisiana. Desig-

nado santuario marino en 1992, hoy díaes uno de los arrecifes coralinos más re-nombrados y estudiados del mundo. Ac-tualmente es administrado por la NationalOceanic and Atmospheric Administration,entidad encargada del monitoreo de lossantuarios marinos en EE.UU.

El santuario contiene la mayor concen-tración de arrecifes de coral en la plata-forma continental de Norte América, conuna gran variedad de hábitats marinos.Estos arrecifes son una rareza del Golfode México, dado que sus aguas son engeneral templadas y no óptimas para eldesarrollo de los mismos. Además, subasamento es producto de un vulcanis-mo de sal, ciertamente atípico para la for-mación de arrecifes, lo que lo convierteen un lugar interesante desde el puntode vista geológico. Por otra parte, losarrecifes se mantienen en excelentes con-diciones, a pesar de estar en una de laszonas de explotación petrolera más acti-vas del mundo. Flower Garden Banks secaracteriza por el gran colorido de susarrecifes coralinos, dominados por es-ponjas, corales de fuego y algas.

Un equipo del laboratorio BIOMAR de laUniversidad de los Andes participó enuna misión de inspección del arrecife,días después del paso del huracánKatrina y, afortunadamente, una semanaantes del huracán Rita. El laboratorio pre-tende hacer una comparación, por me-dio de sistemática molecular, de lasmuestras tomadas allí con las de arreci-fes del Caribe colombiano.

> Bio-notas

> Ranas sin renacuajosJesús Eduardo OrtegaEstudiante de postgrado de biología

> Santuario MarinoCarlos Umañaestudiante de pregrado de biologíay Juan Armando Sánchezprofesor asistente de ciencias biológicas

Rana coquí o Eleutherodactylus johnstonei, unaespecie de rana con desarrollo directo, en la cual elmacho cuida la puesta. Foto: Adolfo Amézquita.

Mapa de la ubicación de Flower Garden BanksNational Marine Sanctuary (NOAA).

Puesta de rana coquí. Foto: Adolfo Amézquita.


La mayoría de nosotros miramos lasestrellas más al anochecer que al ama-necer. En los anocheceres, todo estesemestre podremos disfrutar la compa-ñía de Marte y Saturno. En enero, Marteya está bien alto en el cielo, en Aries, ylentamente se irá corriendo hacia el oc-cidente, hacia el Sol ya oculto tras el ho-rizonte. Saturno, por su parte, en estemes se encuentra muy al oriente, opues-to al Sol; pero se mueve hacia el occi-dente mucho más veloz que Marte, tantoque lo alcanzará el 17 de junio. El encuen-tro será emocionante, porque los dosplanetas estarán separados por menosde un grado.

Recordemos aquí que, al hablar del movi-miento de los planetas hacia el occidente,no nos referimos al desplazamiento dia-rio. Todos los astros se mueven hacia eloccidente a razón de una vuelta por día,lo cual atribuimos a la rotación de la Tie-rra hacia el oriente. Pero hay, además,un movimiento anual que podemos de-tectar si nos detenemos a observar to-dos los días a la misma hora: el Sol estarásiempre en el mismo lugar –por ejem-plo, si miramos habitualmente alrededorde las 7 p.m., está siempre 15 gradosbajo el horizonte occidental–, y las es-trellas estarán cada día un grado máshacia el occidente.

> Astro-notas Para enero a junio 2006 Benjamín Oostra

Podemos apresurarnos a explicar que enrealidad las estrellas están quietas, y esel Sol el que se mueve hacia el oriente.Luego podemos decir que no es el Sol elque se desplaza, sino la Tierra la que lohace hacia el oriente, alrededor del Sol,a un grado por día, una vuelta por año.Pero lo que se ve, si miramos siempre ala misma hora, es que las estrellas semueven hacia el occidente, porque nues-tra “hora” está sincronizada con el Sol.

Este carrusel se complica si introducimoslos planetas. Así como la Tierra, los pla-netas se mueven hacia el oriente. Martecompleta una vuelta en dos años, mien-tras que Saturno necesita treinta para re-correr el Zodiaco. Saturno está casi fijocon respecto a las estrellas, y se deja lle-var hacia el occidente en el desfile side-ral; mientras que Marte se mueve conbastante rapidez hacia el oriente –conrespecto a las estrellas–, es decir que“nada contra la corriente”, y aunque estambién arrastrado por la procesión deestrellas hacia el occidente, su desplaza-miento en este sentido es mucho máslento que el de Saturno. Es por esto queeste último alcanzará a Marte en junio.

Si queremos ver a Venus, nos toca ma-drugar. Todo este semestre será LuceroMatutino. Venus es lo más brillante queadorna el cielo después del Sol y la Luna,y si está visible en un cielo despejado, esimposible no verlo; incluso, en ocasio-nes, se le puede percibir a mediodía. El13 de enero pasa entre la Tierra y el Sol,y, según se ve desde el globo terráqueo,

rápidamente se separa del Astro Rey parasalir antes que éste, y así anunciar lasauroras. La máxima elongación será el día25 de marzo, cuando estará a más de 46grados del Sol; es decir que saldrá a alre-dedor de las 3 a.m. Después, lentamente,se volverá a acercar al Sol.

Júpiter, durante este semestre, pasará dematutino a vespertino. En las madruga-das de enero ya se ve muy alto en elcielo. Es inconfundible, con su coloramarillento y su brillo mayor que el decualquier estrella. Poco a poco se irácorriendo hacia el occidente; pero al con-trario de lo que les sucede a los astrosvespertinos, al Júpiter matutino no leespera en el occidente un encuentro conel Sol –que lo haría desaparecer de nues-tra vista–, sino lo contrario, pues por lamadrugada el Sol se encuentra en eloriente, y Júpiter se aleja de él. El 4 demayo estará en oposición, es decir, a 180grados del Sol, y se verá más esplendo-roso que nunca. Después de esa fechaserá más fácil verlo por las noches.

Mercurio, el más veloz de todos, parecejugar al escondite. En febrero se asomapor el occidente, al anochecer, pero serádifícil verlo porque no se separará del Solsino 18 grados (el 23 de febrero). Estoquiere decir que se ocultará apenas unahora después de la puesta de Sol. A fi-nes de marzo se dejará ver al oriente,antes del amanecer, y ésa será una oca-sión muy propicia para observarlo, por-que se separará casi 28 grados del Sol(el 8 de abril), y será visible hasta co-

Marte: http://www.spacedaily.com/images/mars-water-newcolor1-desk.jpg

Este artículo no es para leerlo enla sala o en la oficina, suspirar“muy interesante”, y dejarlo ahí.El objetivo es motivar al lector asalir a mirar los astros.

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mienzos de mayo. ¿Por qué esa diferencia entre dos elonga-ciones máximas de Mercurio? Porque su órbita es muy excén-trica. En febrero, su máxima elongación coincide con su pasopor el perihelio, mientras que en abril lo vemos pasar por suafelio. Finalmente, en junio se asomará otra vez al occidente, alanochecer, llegando a una máxima elongación de 25 grados eldía 20 de ese mes. Podremos verlo durante todo junio.

Volvamos al tema del Sol. Nos queda difícil “ver” su movi-miento anual hacia el oriente, porque él es nuestra referenciapara muchas cosas. Nuestros relojes y nuestras costumbresestán sincronizados con el Sol, mucho más que con las estre-llas. Pero este astro lleva a cabo otro movimiento que sí pode-mos ver muy bien: el de sur a norte. Al principio del semestre,al mediodía, las sombras señalan hacia el norte, mostrandoque el Sol se encuentra en el sur. Al final del semestre sucede-rá lo contrario. El 20 de marzo el Sol cruzará el ecuador de sura norte, y el 22 de septiembre lo hará de nuevo, pero de nortea sur. Estas fechas son conocidas como equinoccios. El 21 dejunio el Sol llegará a su extremo norte, 23 grados al norte delecuador, y comenzará a devolverse para llegar a su extremosur (23 grados al sur del ecuador) el 21 de diciembre. Estasfechas se llaman solsticios.

Tratemos de imaginarnos estos dos movimientos del Sol: suvaivén periódico de norte a sur y su progreso anual hacia eloriente. Los dos juntos demarcan una línea en el cielo, un cír-culo máximo de la esfera celeste, que se llama Eclíptica y estáinclinada 23 grados con respecto al ecuador. La Eclíptica se-ñala el plano orbital de la Tierra, pero lo que se “ve” desde estaúltima es el Sol recorriendo este camino cada año. Cerca de laEclíptica se encuentran las famosas constelaciones del Zodia-co. Cada mes el Sol se encuentra frente a una constelación dis-tinta, la cual, obviamente, no se puede ver en esos días.

Este pacífico cuadro tiene, sin embargo, su complicación:los dos movimientos no duran exactamente lo mismo. El des-plazamiento hacia el oriente dura veinte minutos más que laoscilación norte-sur. Cuando el Sol vuelve a pasar por el ecua-dor después de haber recorrido el ciclo de las estaciones,todavía no ha completado una vuelta entera hacia el oriente,por lo cual cruza el ecuador cada vez un poco más al occi-dente. Esto se debe a la ‘precesión’, un lento movimiento deleje terrestre. ¿Qué son veinte minutos comparados con unaño? No mucho, pero año tras año el desfase se va acumu-lando. Hace dos mil años, en el equinoccio de marzo, el Solentraba a la constelación de Aries; ahora, en la misma fecha,se encuentra en los Peces. Actualmente, en los solsticios, elSol está en las constelaciones de los Gemelos y Sagitario;no en las de Cáncer y Capricornio, como sucedía hace tresmil años y como todavía lo recuerdan los nombres de losTrópicos. Así mismo, hace miles de años, el Polo Norte de laTierra apuntaba muy lejos de Polaris, la actual Estrella Polar.Durante trece milenios el Polo se ha estado acercando a di-cha estrella, y actualmente está a un grado de ella. Dentro decien años la distancia será de sólo medio grado, y la EstrellaPolar será más polar que nunca, pero jamás coincidirán exac-tamente: en el siglo XXII, el Polo se alejará sin haber tocadola estrella.

Saturno: http://solarsystem.nasa.gov/multimedia/gallery/saturn_occultation.jpg

> Astro-notas


Problema 2> Afirmaciones mentirosasLea las aserciones siguientes.1. Una de estas afirmaciones es falsa.2. Dos de estas afirmaciones son falsas.3. Tres de estas afirmaciones son falsas.4. Cuatro de estas afirmaciones son falsas.¿Cuántas y cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?

Ahora lea estas aserciones.1. Exactamente una de estas afirmaciones es falsa.2. Exactamente dos de estas afirmaciones son falsas.3. Exactamente tres de estas afirmaciones son falsas.4. Exactamente cuatro de estas afirmaciones son falsas.¿Cuántas y cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?

Generalice a n afirmaciones, donde la n-ésima dice:n. (Exactamente) n de estas afirmaciones son falsas [1].

Problema 3>Autómatas celularesLos autómatas celulares generan patrones complicados que surgen de reglassimples. En el siguiente patrón se parte de una primera línea dada de maneraarbitraria. Las líneas siguientes se generan, una a la vez, siguiendo unas reglasque se dan respecto a la posición y el color de las fichas de la fila anterior. Descu-bra las reglas que producen el patrón de la figura y dibuje algunos reglones más.

Explore este proceso respondiendo si, partiendo de la fila inicial dada,es posible generar:1. Una fila con todas las fichas negras.2. Una fila con todas las fichas anaranjadas.3. Una fila con una sola ficha negra.4. Dos líneas idénticas.

Experimente cambiando la primera fila por otra de su antojo [2, 3].

En esta ocasión, volvemos a tener un proble-ma relacionado con monedas, pero esta vezno es geométrico. También incluimos un pro-blema de lógica y, como novedad, uno de au-tómatas celulares. Pueden hacernos llegar sussoluciones a [email protected] oenviar otros problemas. Más adelante se en-cuentran las respuestas a los problemas delnúmero anterior.

Problema 1> Más monedasSe ponen cuatro monedas sobre una pequeñamesa cuadrada giratoria –una en cada esqui-na–, de modo que no todas muestren la mis-ma cara. Sentado frente a la mesa con los ojosvendados, usted puede voltear las monedasque quiera. Apenas lo haga, otra persona girala mesa de forma arbitraria, sin que usted sepacómo, después de lo cual usted tendrá otroturno para voltear las monedas. El juego con-tinúa de esta manera hasta que la otra personale diga que todas las monedas tienen la mismacara visible –cuatro sellos o cuatro caras–.¿Qué estrategia debe usted usar para que eljuego siempre termine pronto? En el peor delos casos, ¿cuál es el mínimo número de tur-nos que necesitaría? Autor desconocido.

> Problemas yrompecabezasCarlos MontenegroProfesor asociado del Departamento de Matemáticas

Problema 3

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> Referencias

[1] Stan Gibilisco. More Puzzles, Paradoxes andBrain Teasers. (Tab Books Inc., 1990).

[2] Brian Bolt. Mathematical Funfair. (CambridgeUniversity Press, 1989).

[3] Stephen Wolfram. A New Kind of Science.(Wolfram Media Inc., 2002).

> Solución a los problemas del número anterior Soluciones a los problemas del número anterior

Problema 3Cinco matrimonios en los que los maridos son celosos deseancruzar un río en un bote que sólo resiste a tres personas. Nin-guno de estos maridos permite que su esposa se quede en elbote o en alguna de las orillas con otros hombres si él no estápresente. ¿Cuál es el mínimo número de viajes que debe ha-cerse para poder pasar a las cinco parejas al otro lado del río?

> SoluciónDeben hacerse mínimo once viajes. Designamos a los hom-bres con las letras minúsculas a, b, c, d, e, y a las mujeres conlas mayúsculas A, B, C, D, E. Una pareja se representa con lamisma letra, así: Aa. La dirección del cruce se muestra conuna flecha.

Problema 2Tres pasteles del mismo grosor, cuyos diámetros midencinco, cuatro y tres unidades, deben repartirse entre cuatroniños, de tal forma que todos reciban la misma cantidad depastel. ¿Cuál es el mínimo número de pedazos con el que sepuede hacer la repartición?

> SoluciónCinco pedazos que resultan de sólo dos cortes.Como los diámetros de los pasteles miden 5, 4 y 3 unida-des, y 52 = 42 + 32, entonces el área del pastel más grande esigual a la suma de las áreas de los otros dos, porqueπ(5/2)2 = π(4/2)2 + π(3/2)2. El primer corte se hace paradividir el pastel grande en dos pedazos iguales. El segundoconsiste en recortar media arandela del mediano de talmanera que tenga el radio interior igual al del pequeño.Dos niños reciben mitad del pastel más grande, otro recibecasi todo el mediano –menos la media arandela que se lequitó–, y el último recibe el pequeño y la media arandela delmediano, como lo muestra la figura.

Problema 1¿Cómo podría formarse un

cuadrado con los pedazos de lacruz que resulten de hacerle sólo

dos cortes de tijera?

1 2

3 4

13

> Análisis geoestadístico para mejorar elaprovechamiento de aguas subterráneasOrlando Riaño Melo / José Bánquez Nieto / Hans Morales Bopp


> Análisis geoestadístico para mejorar elaprovechamiento de aguas subterráneasOrlando Riaño Melo / José Bánquez Nieto / Hans Morales Bopp

Composición en falso color de la zona aledaña al municipio de Chía. Los colores rojo, ladrillo yverde corresponden a vegetación baja; marrón o verde oscuro a bosques; azul oscuro a cascosurbanos. Subescena de la imagen satelital LANDSAT TM P8 R56 2003, composición de color.

Debido al crecimiento de la población, el municipio deChía, Cundinamarca, ha visto incrementarse la demandade sus recursos hídricos, los cuales en el ámbito super-ficial han disminuido su calidad y sus caudales, inclusohasta el punto de que algunas quebradas han desapare-cido definitivamente. Este trabajo realizó, mediante el usode herramientas geoestadísticas, un diagnóstico del apro-vechamiento de las aguas subterráneas. Se encontró queexisten caudales aprovechables en la zona de estudio, cuyointervalo de profundidad está entre los 15 y los 50 m.

El municipio de Chía está situado a 20 km al norte de laciudad de Bogotá, República de Colombia. Se encuentraubicado entre las cordilleras El Zaque, al oriente, y la deLos Monos, donde se localiza el cerro de La Valvanera,al occidente. Su valle está regado por los ríos Frío y Bo-gotá. El casco urbano está localizado a 2.562 msnm, ysu temperatura promedio es de 13ºC.

La mayor parte de su territorio es plano y corresponde alaltiplano cundiboyacense. Sin embargo, hacia el occi-dente y oriente hay algunas elevaciones, entre las que se

destacan los cerros de La Cruz y El Santuario, y las cor-dilleras del Zanjón y el Zaque. El municipio tiene una ex-tensión territorial de 79,23 km2 [3].

El crecimiento de la población y el desarrollo de diferen-tes industrias –del turismo, la construcción, artesanal yagroindustrial (principalmente de las flores, la cual se hafortalecido a partir de la década del setenta)–, han gene-rado un aumento en la demanda de los recursos hídri-cos, lo cual ha llevado a que, en el ámbito superficial,éstos se hayan ido agotando y en muchos casos deterio-rando en calidad.

Es así como desapareció la fuente Tíquiza, quebrada sa-grada para los antiguos muiscas. Esta fuente proveía deagua al municipio por medio de un acueducto, que fueinaugurado en el año de 1892. De igual manera desapa-recieron los nacimientos de El Codito y gran cantidad dequebradas del cerro de Yerbabuena.

En la actualidad sólo quedan la Quebrada Honda en Yer-babuena, la cual surte al acueducto de este sector; la que-

15

Foto 1. Vista general de la zona de estudio. Al fondo los cerros de Yerbabuena.

brada de Las Manas, y los ríos Bogotá, al oriente, y Frío, aloccidente del casco urbano. Estos dos afluentes se en-cuentran altamente contaminados debido a las activida-des agrícolas e industriales desarrolladas en sus cuencas.Por lo tanto, el agua que consumen los habitantes de Chíaprocede de la planta de Tibitó, y es transportada hasta laestación de La Caro mediante la línea de conducción ma-triz del acueducto de Bogotá, que posteriormente se co-necta a la red general de distribución del municipio.

Debido a lo anterior, en 2002 el municipio de Chía com-pró al acueducto de Bogotá 5.766.845 m3 de agua, cuan-do el costo por metro cúbico era de $607; sólo se facturóel 65,59% de lo comprado, perdiéndose el 34,41% debi-do a fugas y contrabandos. Esto se constituye en unajustificación económica para explorar nuevas fuentes delrecurso hídrico [3].

Surge entonces la necesidad de encontrar una soluciónal problema de la disponibilidad del agua en Chía. Estose puede hacer aprovechando las aguas subterráneas deacuíferos no muy profundos para suplir la demanda delos riegos y las diferentes industrias, y destinando el aguaaportada por el acueducto de Bogotá exclusivamente alconsumo doméstico.

Es así como se estudiaron los acuíferos superficiales,pertenecientes a los depósitos de Terraza Alta, y los de-pósitos aluviales (fotografía 1), con las variables dispo-nibles en los pozos inventariados por la CorporaciónAutónoma Regional –CAR– y el Instituto Colombiano deGeología y Minería –Ingeominas–. Se utilizaron técnicasde interpolación geoestadística y herramientas de Siste-mas de Información Geográfica, para realizar un diag-nóstico del aprovechamiento de las aguas subterráneasque pueda ayudar a resolver el problema de la disponibi-lidad de agua en el municipio mencionado.

> Generalidades de la geoestadísticaEl padre de la geoestadística, Matheron, definió esta cien-cia como la aplicación del formalismo de las funcionesaleatorias, al reconocimiento y estimación de fenóme-nos naturales. Lo característico de las funciones aleato-rias es que cada realización se puede concebir como lasuma de una componente estructurada a otra aparente-mente errática. La componente estructurada es la que per-mite asegurar que si nos encontramos en una zona en quese han realizado varias medidas por encima de lo normal,lo más probable es que las medidas adicionales tambiénsean altas. La componente aleatoria es la que impide pre-decir con exactitud el valor de dichas medidas hipotéticas.

Al enfrentar el problema de predecir el valor de una va-riable en una localización del espacio no muestreado,debemos ajustarlo a un modelo. Este modelo puede serdeterminístico, como el usado para predecir la posiciónde la tierra cuando gira alrededor del sol a un tiempofuturo; o puede ser estocástico, como la probabilidad delos resultados cara o sello al arrojar al aire una moneda.

La piedra angular de la geoestadística es el variograma,que modela el grado de correlación espacial de la varia-ble, y se define como la mitad de la media cuadrada de ladiferencia de todos los pares de datos que están separa-dos por una distancia h. Su expresión es:

Generalmente, el variograma (γ) es una función monóto-na no decreciente de h. El variograma alcanza un valorlímite constante. La distancia donde se alcanza este va-lor se denomina ‘rango’ o ‘alcance’ y marca la zona deinfluencia en torno a un punto, más allá del cual la auto-correlación es nula. Con frecuencia el variograma es dis-continuo en el origen, con un salto finito que se denomina‘efecto pepita’, el cual se produce por no poder medir enel espacio inmediato.

La técnica del kriging proporciona una estimación linealcomo una función de los valores de la variable en laslocalizaciones cercanas. Esta técnica de estimación tie-ne dos ventajas con respecto a otros estimadores linea-les: a) los pesos usados son determinados como unafunción entre la localización a ser estimada y la distanciaestructural de cualquier otro par de datos, y b) la estima-ción se acompaña de una cuantificación de incertidum-bre, es decir, la varianza del kriging [6].

> MetodologíaLa zona seleccionada comprende un área aproximada de65 km2, dentro de la cual se encuentran parte de las cuen-cas de los ríos Frío y Bogotá, y la zona urbana del muni-cipio de Chía.


La región está constituida por rocasde diferentes edades, que van desdelas cretácicas hasta los depósitoscuaternarios (fotografía 2). Estos úl-timos son de especial interés para elpresente trabajo, debido a los bajoscostos que representaría su explota-ción. Los depósitos cuaternarios dela zona son:

> Los depósitos de Terraza Alta (Qta)Fueron definidos para la Sabana deBogotá por Julivert (1963), quien losrelaciona con la formación Tilatá. Sinembargo, Van Der Hammen (1973) e

Ingeominas (1991) relacionan los de-pósitos de Terraza Alta con la Forma-ción Sabana. Están constituidosprincipalmente por arcillas con inter-calaciones lenticulares de arenas ygravas. Su espesor máximo es de 200m y su morfología corresponde a lassuperficies planas con leves ondula-ciones del relleno lacustre de la Sa-bana de Bogotá. El ambiente esfluvio-lacustre.

> Depósitos aluviales (Qal)Están constituidos por sedimentosarenosos y arcillosos, con presencia

de cantos redondeados de diferentetamaño provenientes de las rocas cir-cundantes. Desde una perspectivamorfológica, generan una topografíasuave con algunos relieves importan-tes en el valle del río Frío.

> Depósitos coluviales (Qc)Están constituidos por gravas, blo-ques, guijarros y guijos provenientesde las rocas vecinas de edades ter-ciarias y cretácicas.

Constituyen los flancos de la zona deestudio, las rocas de edad cretácicasituadas al oeste y las rocas de eda-des terciarias y cretácicas del este, ba-zando hacia el valle. De esta manerase configura una estructura sinclinal.

Los datos utilizados en esta investi-gación fueron obtenidos del inventa-rio de pozos realizado por la CAR eIngeominas en 1991, el cual georre-ferencia dichos pozos y mide su pro-fundidad, caudal y nivel estático.Existen también datos de sondeoseléctricos hechos en la zona, en loscuales se midieron los valores de re-sistividad a diferentes profundidades,con la finalidad de determinar mate-riales litológicos. Estos datos com-prenden 142 pozos o registros y docesondeos eléctricos distribuidos irre-gularmente (figura 1).

Teniendo en cuenta la continuidadespacial que presentan los datos ob-tenidos en el inventario de pozos ysondeos eléctricos, se consideraronlas siguientes variables para nuestroestudio: la profundidad y el nivel es-tático medidos en metros, el caudalmedido en litros por segundo (lps) yla resistividad medida en ohmios-metro a distintas profundidades.

El presente estudio empleó la herra-mienta informática Arc Gis 8.3, quecontiene un módulo completo de aná-lisis geoestadístico. Su aplicación si-gue las cuatro etapas fundamentalesde este análisis. Éstas son:

Estadístico

Valor Mínimo

Valor Máximo

Media

Desviación Estándar Muestral

Nivel (m)

0,5

32,19

12,48

8,98

Tabla 2. Estadísticos para las variables profundidad, nivel estático y caudal.

Profundidad (m)

3

170

59,73

28,43

Caudal (lps)

0,1

12

1,75

1,81

Tipo de Sedimento y Características

Arcillas con agua dulce

Limos con agua dulce

Arenas arcillosas con agua dulce

Arenas con agua dulce

Gravas con agua dulce

Arcillas secas

Arenas secas

Resistividad (Ohm-m)

10 - 20

20 - 30

20 - 50

30 -80

100 - 350

50 -150

1000 - 10000

‘Tabla 1. Rangos de valores de resistividad más frecuentes y característicosde sedimentos sin consolidar en la Sabana de Bogotá, (Ingeominas, 1991).

Fotografía 2.Contraste geomorfológico entre las unidades cuaternarias (relieve

plano) y las unidades cretácicas y terciarias (relieve colinado).

17

1. Estudio exploratorio de datos. Sehizo un primer acercamiento a los da-tos mediante el cálculo de medidasde localización y variabilidad, y la uti-lización de herramientas gráficascomo los histogramas y diagramasde dispersión. Dentro de los objeti-vos de esta etapa se encuentran: de-terminar tendencias y detectar losdatos extremos para establecer si sonerróneos o adecuados [4].

2. Análisis estructural. Se obtuvieronsemivariogramas experimentales, alos cuales se ajustaron modelos ma-temáticos con el fin de entender, deesta forma, la estructura espacial decada variable. El ajuste del modelo acada semivariograma consiste enprobar diferentes modelos, teniendocomo criterios objetivos de evalua-ción los estadísticos obtenidos en lavalidación cruzada de cada modelo.Dentro de éstos tenemos la raíz cua-drática media del error (RMC), el pro-medio del error estándar (PES), lamedia estandarizada del error (ME),y la raíz media cuadrática estandari-zada del error (RMCS).

3. Interpolación. A las variables pro-fundidad, nivel estático y caudal, seaplicó la interpolación empleandotécnicas kriging –simple para caudaly profundidad, y universal para nivel

estático–, para generar superficies depredicción a partir de los valoresmedidos de dichas variables, y asícartografiar la distribución espacialde cada una. Para los valores de re-sistividad, se realizó la aplicación delkriging indicador, basándose en losvalores que muestra la tabla 1 de re-sistividades.

En la tabla se observa que los valo-res de resistividad entre 30 y 350ohmios-m corresponden a un inter-

Indicador a 100 m

Estadístico del modelo

Favorabilidad Hidrogeológica

Tabla 3. Parámetros de los modelos ajustados para las diferentes variables, y estadísticos resultado de la validación cruzada hecha a los modelos.

Nivel

7.25

8.41

-0.01

0.81

Profundidad

26.85

27.64

-0.004

0.97

Caudal

1.80

1.47

-0.004

1.19

Indicador a 2 m

0.47

0.49

-0.004

0.96

Indicador a 15 m

0.52

0.51

-0.08

1.02

Indicador a 30 m

0.30

0.29

0.03

1.03

Indicador a 50 m

0.43

0.36

0.08

1.15

Parámetros

del Modelo

RMC

PES

ME

RMCS

Modelo

Pepita

Meseta

Rango (m)

Isotropía

Exponencial

45

10

7000

Si

Efecto Agujero

700

125

3000

Si

Exponencial

1.5

2.5

5500

Si

Esférico

0.015

0.2

2000

Si

Esférico

0.13

0.17

6430

Si

Esférico

0.064

0.022

8825

Si

Esférico

0.067

0.110

8825

Si

Pepita

0.03

0

0

No Aplica

Figura 1.Mapa de localizaciónde la zona de estudio ydistribución de losdatos utilizados.

valo de gran interés hidrogeológico,en el cual se relacionan arenas y gra-vas con agua dulce. Esto indica fa-vorabilidad hidrogeológica para elalmacenamiento y tránsito de aguassubterráneas.

Se define la favorabilidad hidrogeoló-gica como la combinación de la pre-sencia de agua y de las característicasfísicas de las rocas que permiten elalmacenamiento y tránsito de aguassubterráneas. De esta manera, se re-

rios

sondeos

casco urbano

pozos

Municipio de Chia

Río Bogotá

Cerro laValvanera

Cerros de Yerbabauena

Río Frío


lacionan el tipo de sedimento y las características con va-lores de resistividad frecuentes para la Sabana de Bogotá.

Se establecieron datos binarios en los cuales uno (1) in-dica la pertenencia al intervalo y cero (0) la falta de per-tenencia al mismo. Las interpolaciones realizadas conestas variables binarias se encuentran entre cero y uno,lo cual se interpreta como la probabilidad de pertenenciaal intervalo en una determinada profundidad. Ellas fue-ron hechas con los modelos de semivariogramas ajusta-dos, en diferentes profundidades, con el fin de determinarla posible existencia del material litológico de interés enlas profundidades mencionadas.

4. Análisis de los resultados. Se realizó mediante la apli-cación de técnicas geoestadísticas.

> Resultados y discusiónEl análisis exploratorio de datos se realizó para las tresvariables medidas en los pozos. La tabla 2 resume lasmedidas de localización y variabilidad en los resultadosde esta etapa.

El nivel estático presenta una tendencia de segundo or-den, por lo que se utilizó el kriging universal en las inter-polaciones de esta variable. Los modelos finales ajustadospara los semivariogramas experimentales de las varia-bles se observan en la tabla 3.

En el análisis estructural del indicador de la favorabilidadhidrogeológica a 100 m, el modelo obtenido para el se-mivariograma es un modelo pepita, que está indicandofalta de autocorrelación espacial en la variable. Esto sepuede explicar por la poca confiabilidad de los datosobtenidos para esta profundidad, debido a limitacionesen la calidad de las herramientas para la realización desondeos eléctricos verticales.

> CaudalEn la zona de estudio se presenta con valores que vandesde 0,1 hasta 12 lps (figura 2). Los valores inferiores–de 0,47 a 0,82 lps– se encuentran en la región suroestede la zona de estudio. Esto se puede explicar por el apro-vechamiento de los acuíferos superiores de los depósi-tos cuaternarios (figura 3) para el riego de cultivospequeños, lo cual se complementa con la utilización delas aguas del río Frío. Estos caudales bajos cumplen conestas expectativas y además resultan más baratos. Loscaudales en la región del río Bogotá oscilan entre 1,4 y12 lps, lo que significa que los pozos en esta zona sonmás profundos y están capturando mayor cantidad deacuíferos; pero no significa que las rocas de esta regiónno sean favorables para la presencia de acuíferos. Lospozos se perforan a mayor profundidad para evitar losacuíferos más superficiales, los cuales son más vulnera-bles a la contaminación.

> ProfundidadLa profundidad a la cual fueron perforados los pozos decaptación de aguas subterráneas implica aspectos como:la disponibilidad presupuestal para la construcción delpozo, el caudal necesitado y el uso de las aguas.

Los valores de profundidad mínima corresponden a po-zos localizados en cercanías del río Frío, que se puedenexplicar por el uso de sus aguas para el riego de cultivosde flores. Adicionalmente, esto significa que los acuífe-ros aprovechados pueden ser locales y encontrarse enlos depósitos aluviales de dicho río.

Al noroeste de la zona de estudio se presenta un áreacon valores de profundidad que van desde los 62 hastalos 88 m. En ésta se sitúan algunos cultivos de floresque utilizan grandes cantidades de agua, como se obser-va en la figura 3.

Figura 2. Mapa de caudales en el área de estudio. Figura 3. Mapa de profundidades de pozos en el área de estudio.

Caudal

río

casco urbano

pozoProfundidad

río

casco urbano

pozo

Municipiode Chia

Río Bogotá

Cerrola Valvanera

Cerros deYerbabauena

Río Frío

19

> Nivel estáticoEsta variable hace referencia al nivel en el que las aguas se locali-zan en profundidad, y se corresponde con la topografía. Esto seevidencia en la figura 4, en la cual los valores para los niveles está-ticos más superficiales están en la parte plana del municipio y losvalores de niveles más profundos en las zonas que presentan ele-vaciones. El nivel estático se hace más superficial en las zonasaledañas a los ríos.

En el caso del río Frío, este fenómeno es muy claro por la disponibi-lidad de datos suficientes. En el río Bogotá, por otra parte, no semuestra hacia el noreste debido a la carencia de datos, mientras quehacia el sur del casco urbano es claro el aumento del nivel estáticoen sus cercanías. Esta variable es muy útil para determinar las zonasde mayor vulnerabilidad de contaminación de los acuíferos.

> Favorabilidad hidrogeológicaA continuación se muestran los resultados del estudio estadístico dela favorabilidad hidrogeológica para las diferentes profundidades.

> A dos metros de profundidadEsta medida fue muy útil debido a que mostró la eficiencia del méto-do aplicado al registrar depósitos y geoformas que son evidentes ensuperficie. Es así como se observan los depósitos de los valles delos ríos Frío y Bogotá, las colinas arcillosas en la región de Guayma-ral cerca al cruce de estos dos ríos, y las unidades terciarias en lascolinas de piedemonte, al este de la vereda Yerbabuena (figura 5).

> A 15 metros de profundidadEn este mapa (figura 6) se muestran unos depósitos conformadospor materiales impermeables y finos, que demuestran el carácterlacustre o de aguas tranquilas de algunos de ellos. Desde el puntode vista hidrogeológico, éste es un nivel que actúa como sello de losacuíferos de los depósitos cuaternarios más profundos, lo que im-plica una zona de protección contra la contaminación superficial.

> A 30 metros de profundidadEn la figura 7 se muestran los niveles de favorabilidad hidrogeológi-ca, que pueden estar constituidos de arenas y gravas que posible-mente contienen aguas subterráneas a una profundidad de 30 m.

El resultado observado en la interpolación evidencia que a una pro-fundidad de 30 m se tiene mayor favorabilidad hidrogeológica,aumentando la probabilidad de encontrar agua. Debido al sello delnivel anteriormente mencionado, el agua se puede presentar librede contaminantes superficiales.

> A 50 metros de profundidadEn los resultados de la interpolación evidenciados en la figura 8, seobserva que a esta profundidad hay posibilidades de encontrarmateriales favorables y agua. Así mismo, de acuerdo con los resul-tados obtenidos en el intervalo anterior, se puede suponer que sepresenta agua libre de contaminantes superficiales.

río

casco urbano

pozo

Figura 4. Mapa de nivel estático (nótese que lasvariaciones de nivel coinciden con la topografía).

Figura 5. Mapa de favorabilidad hidrogeológica a 2 m de profundidad.


ríos

sondeos

casco urbano

Nivel estático

ríos

sondeos

casco urbano


De esta manera, se tiene un espesor de al menos20 m de materiales, que presenta buena favorabi-lidad hidrogeológica para configurarse en zona deinterés exploratorio de aguas subterráneas.

> A 100 metros de profundidadLos resultados obtenidos para esta profundidadno resultaron consistentes, debido al comporta-miento de los sondeos eléctricos verticales. Entérminos generales, muestran una zona de mate-riales impermeables y poca posibilidad de presen-cia de aguas subterráneas. Se define así un intervalopara recomendar estudios más detallados y loca-les entre los 15 y los 100 m. Es de anotar que,debido a la falta de autocorrelación espacial men-cionada anteriormente, la interpretación de esta pro-fundidad se debe a algunos sondeos eléctricos, yno a las interpolaciones geoestadísticas.

> Conclusiones y recomendaciones> Los mapas de favorabilidad hidrogeológicamuestran que en el intervalo entre los 15 y los100 m los pozos perforados tienen buen caudal.Sin embargo, entre los 30 y los 50 m se presentamayor protección contra la contaminación que enlos niveles más superficiales y los costos de ex-plotación son más bajos.

> A 15 m de profundidad se encuentra una capaimpermeable, que actúa como sello y es eviden-cia de los ambientes que predominaron en la de-positación de las unidades estudiadas. Estosambientes de depositación antiguos eran predo-minantemente lagunares.

> Existen caudales aprovechables en casi toda lazona de estudio. Se recomienda hacer investiga-ciones más detalladas sobre éstos y sobre el com-portamiento de los niveles estáticos en losperíodos secos y de lluvia.

> Las zonas de recarga, es decir, aquellas en lasque las aguas lluvia y de escorrentía ingresan alsistema subterráneo, se encuentran en las ele-vaciones que rodean el área de estudio, en lasrocas de edad cretácica, por esto se recomiendasu protección.

> La curva del nivel estático coincide con la topo-grafía y, en promedio, la encontramos a 12,5 m,aspecto que debe tenerse en cuenta para la pla-neación de la exploración y las perforaciones.


Figura 8. Mapa de Favorabilidad hidrogeológica a 50 m de profundidad.

río

casco urbano

sondeos

río

casco urbano

sondeos

21

> Referencias

[1] M. Oyola y O. Pulido González. Estudio hidrogeológico en la periferia de Santafé de Bogotá y enalgunas poblaciones cercanas para abastecimiento de agua-Evaluación hidrogeológica,municipio de Chía-Prefactibilidad (Ingeominas, Bogotá, 1996).

[2] G. I. Hincapié Vélez, E. Robles Burbano, C. Martínez R. y J.A. Álvarez Osejo.Estudio hidrogeológico cuantitativo de la Sabana de Bogotá-Hidrogeología del sector Tibitó-Saltodel Tequendama y oriente Bogotano, Sabana de Bogotá (Ingeominas, Bogotá, 1991).

[3] V.M. Beltrán Rodríguez. Chía: nuestro compromiso con la historia(Alcaldía Popular de Chía, Chía, 2003).

[4] F. Samper, y J. Ramírez. Geoestadística: aplicaciones a la hidrogeología subterráea(Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, Barcelona, 1990).

[5] R. Giraldo. Geoestadística aplicada a estudios ambientales(Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Matemáticas y Estadística,Unidad de Extensión y Asesoría, Bogotá, 1999).

[6] C. Tannure y S. Mazza. Geoestadística: una apreciación global.(Universidad Nacional del Nordeste, Comunicaciones Científicas y Tecnológicas,Corrientes, Argentina, 2003).

[7] G. Matheron. Principles of Geostatistics. Economic Geology 58, 1246–1266 (1963).

> Reseña de los autores

Orlando Riaño [email protected]@udistrital.edu.co

Profesor del departamento de matemáticas de la Universidad de los Andes. Profesor de la Facultad delMedio Ambiente y Recursos Naturales de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Matemá-tico de la Universidad Nacional de Colombia (1983). Especialista en sistemas de información geográ-fica y procesamiento digital de imágenes del convenio UD-IGAC (1998). Candidato a M. Sc. en Geomáticade la Universidad Nacional de Colombia.

Hans Morales [email protected]

Geólogo Consultor. Geólogo de la Universidad Nacional de Colombia (1997). Candidato a M. Sc. enGeomática de la Universidad Nacional de Colombia.

José Bánquez [email protected]

Profesor de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. IngenieroCatastral de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas (2001). Candidato a M. Sc. en Geomáti-ca de la Universidad Nacional de Colombia.

23

> Los Procesos deOxidación AvanzadaVíctor Manuel Sarria


> El problema: el agua, un recurso vital en peligroDe la cantidad total de agua existente en la tierra –de losocéanos, lagos, ríos, regiones polares, glaciares y sub-terráneas, así como de la biosfera y la atmósfera– tansólo el 1% es potable. Por otra parte, problemas sanita-rios y enfermedades asociadas al agua afectan a comu-nidades enteras: el 80% de las enfermedades que azotana los países en vía de desarrollo es ocasionado por unabastecimiento de agua deficiente. A pesar de la limita-ción para obtenerla con una calidad aceptable, el agua esel elemento central de todos los procesos vitales, socia-les y económicos, los cuales forman parte de un ciclocerrado (figura 1).

Este creciente problema exige un control riguroso de lacontaminación y una legislación cada vez más exigente.Como respuesta a ello y dada la incapacidad de los mé-todos convencionales para remover efectivamente mu-chos de los contaminantes existentes, en los últimos añosse ha presentado una intensa búsqueda de nuevas y efi-cientes tecnologías de tratamiento de aguas. Es así comolos Procesos de Oxidación Avanzada (POA) han sido pro-puestos como una alternativa para el tratamiento de aguasresiduales, subterráneas y superficiales que contengansustancias difícilmente biodegradables [1], al igual quepara eliminar bacterias nocivas contenidas en el aguadestinada al consumo humano[2].

Los Procesos de Oxidación Avanzada Víctor Manuel Sarria

El desarrollo de tecnologías apropiadas de tratamiento de aguas es cada vezmás urgente, y la presión para que se haga un uso más racional del recursohídrico es cada vez mayor. Debido a ello, en los últimos años se han propuestolos Procesos de Oxidación Avanzada como una alternativa para el tratamientode aguas contaminadas con sustancias difícilmente biodegradables y para laeliminación de bacterias en aguas destinadas al consumo humano.

>

25

> ¿Qué son los Procesos de Oxidación Avanzada?Los POA pueden definirse como procesos que implicanla formación de especies químicas llamadas radicaleshidróxilo (•OH), que tienen un alto potencial de oxida-ción. Son más fuertes que otros oxidantes tradiciona-les, como el ozono, el agua oxigenada, el dióxido decloro y el cloro. Estos radicales son capaces de oxidar,o degradar, casi la totalidad de compuestos orgánicosexistentes [3 y 4]. En el caso de los microorganismos,estos radicales atacan la doble capa bilipídica que con-forma la pared externa de la célula, generando reaccio-nes de peroxidación lipídica que son letales para ellos.

Dentro de los POA se encuentran procesos como: ozono/luz UV, H2O2/luz UV, ultrasonido, fotocatálisis heterogé-nea y homogénea, y los tratamientos electroquímicos. Unade las razones que han hecho que los POA sean objetode un interés cada vez mayor, es la posibilidad de utilizarenergía solar como fuente de fotones, con el consiguienteahorro energético y las ventajas medioambientales queello supone.

> ¿Cómo funcionan los POA?Uno de los POA más estudiados es la fotocatálisis hete-rogénea sobre dióxido de titanio. Se basa en la utiliza-ción de un material semiconductor como catalizador, elcual es activado por la luz para generar reacciones quepueden modificar químicamente los contaminantes, con-virtiéndolos en sustancias más biodegradables o, enmuchos casos, logrando la completa mineralización delos mismos.

Figura 1. Fragmento simplificado del ciclo del agua.

Figura 2. Procesos de Oxidación Avanzada.

Figura 3. Vista de dos tipos de fotorreactores usados en los Procesos deOxidación Avanzada. a) Colectores tipo Helioman (plataforma solar de Almería,España), y b) colectores parabólicos compuestos (Escuela Politécnica Federalde Lausanne, Suiza).


El semiconductor más utilizado es la forma cristalina ana-tasa* del dióxido de titanio (TiO2), ya que, además de serel más activo para la fotocatálisis, es un material econó-mico, inerte y resistente a la fotocorrosión.

El modo de acción más aceptado para explicar la destruc-ción de contaminantes orgánicos en soluciones acuosases representado en la figura 4. Allí se puede notar que aliluminar el TiO2 con luz ultravioleta, un electrón de la ban-da de valencia (BV) es promovido hacia la banda de con-ducción (BC), dejando un “hueco” positivo en la primera.Este hueco reacciona con agua o iones hidróxido, produ-ciendo el radical •OH que se encarga de oxidar la materiaorgánica (R) o las bacterias presentes en el agua.

Figura 5. Diseño esquemático del reactor acoplado fotoquímico-biológico.

Figura 4. Esquema delproceso fotocatalíticosobre una partículasemiconductora de TiO2.

*Anatasa se refiere a una de las formas cristalinas del TiO2. Es lamás útil en las aplicaciones de fotocatálisis ambiental. Véasehttp://www.univalle.edu.co/~gaox/que_son_los_PAO's.html.

> Acople de los POA y los sistemas biológicosUna importante desventaja que presentan los POA esque sus costos operacionales son relativamente altoscomparados con los de los tratamientos biológicos con-vencionales. Sin embargo, su utilización como etapa depretratamiento para el aumento de la biodegradabili-dad de las aguas residuales que contienen compuestosrecalcitrantes, puede ser justificada si los productos in-termediarios resultantes son fácilmente degradados pormicroorganismos en un tratamiento biológico. Por lo tan-

POA, Proceso de oxidación avanzada Proceso biológico

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to, la combinación de un POA, comotratamiento preliminar, con un proce-so biológico, resulta muy prometedoradesde el punto de vista económico.

Nuestro objetivo principal es combi-nar los POA con procesos biológicospara tratar diferentes tipos de aguasresiduales, principalmente aquellasque provienen de la producción desaborizantes, colorantes, fármacos opesticidas, ya que éstas se caracteri-zan por su dificultad para ser trata-das por métodos biológicos [5].

> Procesos de OxidaciónAvanzada en UniandesEn el Departamento de Química de laUniversidad de los Andes, se estádesarrollando un prototipo de reac-tor fotoquímico para el tratamientode aguas*. Un esquema de este reac-tor es presentado en la figura 6, y unafoto del dispositivo en la figura 7.

Este reactor consiste en una lámparaque emite luz ultravioleta (UV), unachaqueta en Pyrex (transparente a losUV) por donde se hace recircular alagua contaminada y el catalizador, unabomba de recirculación y un reactorde recirculación con su agitador.

Figura 6. Esquema simplificado del reactor fotoquímico parael tratamiento de aguas (Departamento de Química, Uniandes).

Figura 7. Foto del reactor fotoquímico para el tratamiento de aguas(Departamento de Química, Uniandes).

Figura 8. Estructura química de los pesticidas DDT y glifosato.

DDT glifosato

* En colaboración con el Profesor Manuel Rodríguezdel Departamento de Ingeniería Cívil y Ambiental.


En presencia de la radiación UV y delcatalizador, se da la formación de losradicales (•OH), tal como se mencio-nó anteriormente. Éstos serán losresponsables de la degradación de lamolécula tóxica o recalcitrante, for-mando intermediarios inocuos parael medio ambiente.

Actualmente se trabaja sobre la de-gradación de compuestos orgánicostóxicos y persistentes. Entre ellos noshemos interesado en los pesticidasDDT y glifosato (ver estructuras enla figura 8).

Estos pesticidas representan un pro-blema importante para el medio am-biente colombiano, especialmentepara los cuerpos de agua. Por ejem-plo, en la actualidad existen depósi-tos significativos del pesticida DDTque no han sido utilizados, debido ala ley que prohibió su uso en los añosnoventa. El Ministerio de la ProtecciónSocial se encuentra ahora a la búsque-da de una alternativa para eliminarlos.Una de las técnicas propuestas fue laincineración, la cual se descartó debi-do a los altos costos y a los riesgosambientales que generan los interme-

Figura 9. Cinéticas de degradación delDDT comparando la eficiencia de tresProcesos de Oxidación Avanzada.

diarios de la combustión de estas sus-tancias. Por lo tanto, los Procesos deOxidación Avanzada aparecen hoy endía como una alternativa viable, tantodesde el punto de vista económicocomo del ambiental, para la soluciónde problemas de este tipo.

El grupo de investigación Procesosde Oxidación Avanzada para la Reme-diación Ambiental (Proxar) ha inicia-do, en la Universidad de los Andes,un estudio preliminar en el que com-para tres POA para la degradación delpesticida DDT.

La figura 9 presenta las cinéticas dedegradación del DDT, comparandolos sistemas: Fenton (Fe3+/H2O2),foto-Fenton (Fe3+/H2O2/luz ultraviole-ta), y H2O2/luz ultravioleta.

Es posible observar en la figura 9 queel sistema más eficiente es el foto-Fenton. Con este sistema se puede re-mover el 100% de la concentracióninicial del DDT (38 mg/l) en 120 minu-tos. En ese sentido, el estudio deberáser completado con el seguimiento deotros parámetros importantes –talescomo: el carbono orgánico disuelto, la

evolución de los iones y diversas prue-bas de biodegradabilidad–, para saberen qué momento se podrá detener elproceso de oxidación y pasar las aguasa un sistema biológico convencionalpara el tratamiento de aguas.

> ConclusionesEste artículo presentó, de manera ge-neral, los Procesos de OxidaciónAvanzada, sus límites y potencialida-des, y la necesidad de acoplar estosprocesos con los sistemas biológi-cos para el tratamiento de aguas quecontienen contaminantes tóxicos y/o biorrecalcitrantes. Actualmente seviene desarrollado, en el Departa-mento de Química de la Universidadde los Andes, una línea de investiga-ción en este tipo de sistemas.

Estudios preliminares efectuadossobre el pesticida DDT, en los que secomparan tres POA, muestran que elproceso foto-Fenton es el más efi-ciente. Sin embargo, el estudio de-berá completarse con el seguimientode otros parámetros importantes: elcarbono orgánico disuelto, la evolu-ción de iones y las pruebas de bio-degradabilidad.

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> Referencias[1] D. Ollis y H. Al-Ekabi. Photocatalytic

Purification and Treatment of Waterand Air (Elsevier, Amsterdam, 1983).

[2] A.G. Rincón y C. Pulgarin.Photocatalytical Inactivation of E.coli:effect of (Continuous–Intermittent)Light Intensity and of (Suspended-Fixed) TiO2 Concentration. AppliedCatalysis B 44, 263–284 (2003).

[3] V. Sarria, P. Péringer y C. Pulgarin.Degradation of a Biorecalcitrant DyePrecursor Present in IndustrialWastewaters by a New IntegratedIron(III) Photoassisted-B iologicalTreatment. Applied Catalysis B 40,231–246 (2003).

[4] V. Sarria, S. Parra, M. Invernizzi, P.Péringer y C. Pulgarin.Photochemical-Biological Treatmentof a Real Industrial BiorecalcitrantWastewater Containing 5-Amino-6-Methyl-2-Benzimidazolone. WaterScience and Technology 44,93–101 (2001).

[5] V. Sarria, S. Kenfack, O. Guillod y C.Pulgarin. An Innovative CoupledSolar-Biological System at Field PilotScale for the Treatment ofBiorecalcitrant Pollutant. J.Photochem and Photobiol:A 159, 89–99 (2003).

> Reseña del autorVíctor Manuel [email protected]

Químico de la Universidaddel Valle y doctor en cienciasambientales, Escuela PolitécnicaFederal de Lausana (EPFL), Suiza.Actualmente ejerce como profesorasistente del Departamento deQuímica de la Universidad de losAndes. Sus áreas de interés son losProcesos de Oxidación Avanzaday el análisis químico decontaminantes ambientales.

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> Glifosato:

Los cultivos de coca y amapola han sido obje-to de programas de control y erradicación conglifosato durante los últimos quince años enColombia. Actualmente, el programa de erra-dicación está a cargo de la Dirección Nacionalde Estupefacientes (DNE) y se lleva a cabo, encolaboración con otros países de Norteaméri-ca y Europa, principalmente en los departamen-tos de Meta, Caquetá, Boyacá, Tolima, Norte deSantander, Putumayo y Nariño. Por otra parte,en Colombia se utiliza el glifosato en el produc-to Roundup, como herbicida en cultivos de cañade azúcar y para el control de malezas en lasplantaciones de árboles frutales, plátano, bana-no y palma africana [1]. ¿Cuál es el riesgo parala salud humana? Los estudios al respecto soncontradictorios.

¿riesgo humano?Helena Groot de Restrepo / Sandra Liliana Ortiz Cuarán


> Glifosato: ¿riesgo humano?

Figura 1. Estructura química del glifosato [2].

Helena Groot de Restrepo / Sandra Liliana Ortiz Cuarán

En el año 2000 se publicó un informe en el que se hizouna revisión muy extensa de varios trabajos para estu-diar diversos aspectos del glifosato, su producto de des-composición, el AMPA y las formulaciones de aspersión.Los resultados de estos estudios demostraron que es-tos compuestos no tienen consecuencias negativas parala reproducción o el desarrollo del embrión [2]. Cincoaños después, la OEA encargó una investigación sobrelos efectos contaminantes del glifosato y sus mezclascon los surfactantes usados en aspersiones. Se cita acontinuación una de sus principales conclusiones:

No obstante estas conclusiones aparentemente definiti-vas, el tema sigue siendo controversial, pues hay dudaspor parte de muchos acerca de la independencia de losautores que han estudiado este asunto hasta el momen-to. Existe además un artículo reciente sobre estudiosadelantados en la República de Ecuador [4], que sugierela posibilidad de daños genotóxicos2 ocasionados porestos compuestos. Por estas razones, el Laboratorio deGenética Humana de la Universidad de los Andes ha que-rido adelantar un estudio independiente y objetivo queresponda a la necesidad de esclarecer los efectos geno-tóxicos de dichos compuestos.

Con base en toda la evidencia y la informaciónantes presentada, el panel concluyó que los ries-gos para las personas y para la salud humanadel uso de glifosato y Cosmo-Flux®1 en la erra-dicación de coca y amapola en Colombia eranmínimos. La toxicidad aguda del producto for-mulado y Cosmo-Flux® para los animales de ex-perimentación era muy baja, las probablesexposiciones eran bajas y la frecuencia de expo-siciones era baja [3].

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> Mecanismo de acción del herbicida

El glifosato es un ácido orgánico dé-bil, soluble en agua, que está forma-do por una fracción de glicina y unradical aminofosfato (figura 1). Sunombre químico es sal isopropilami-na de N-(fosfonometil) glicina (oIPA). Es un herbicida sistémico –afec-ta todos los órganos de la planta–,no selectivo y de amplio espectro,que se aplica sobre el follaje en la eta-pa de postemergencia [3].

El mecanismo de acción sobre lasplantas consiste en la inhibición dela enzima 5-enolpiruvil shikimato-3-P sintetasa –o EPSP– involucrada enla vía metabólica del ácido shikímico.La inhibición de esta vía, exclusiva delas plantas, hace que se bloquee la

síntesis del corismato, el cual es unintermediario de aminoácidos aro-máticos indispensables para la for-mación de proteínas implicadas enel crecimiento y la supervivencia3

[2]. Así mismo, el glifosato puedeinhibir la síntesis del ácido indolacé-tico –hormona involucrada en el cre-cimiento celular–, la clorofila y lasproteínas involucradas en la síntesisde azúcares y en la desintoxicaciónde la planta. Como resultado, se pre-senta un lento proceso de muerte dela planta, que se inicia con una sus-pensión del crecimiento, seguida declorosis4 y finalmente necrosis5 de lostejidos [3].

Como ingrediente de aplicación, serequiere mezclar el glifosato con unsurfactante, para aumentar la pene-tración del ingrediente activo en eltejido foliar de la planta. Existen dosmezclas utilizadas en la práctica: ladenominada Roundup, usada princi-palmente en los cultivos de caña deazúcar, la cual utiliza poliexiletil ami-na (POEA) como agente surfactante;y la que utiliza el compuesto Cosmo-Flux® como agente surfactante, quese usa principalmente en la aspersión

1 Ingrediente que se añade al glifosato paraaumentar su distribución, absorción eincorporación en la planta.2 Efectos tales como interferencias en procesoscelulares normales y daños en el ADN, queoriginan cambios o mutaciones que pueden llevaral desarrollo de un cáncer.3 Compuestos orgánicos que contienen cadenasaromáticas laterales y conforman las proteínas.Están constituidos por un grupo amino-NH2 y ungrupo carboxilo-OH.4 Enfermedad de las plantas que hace que susflores se tornen verdes o que sus hojas pierdan elcolor verde normal.5 Daño del tejido, resultado de la muerte celular.

de cultivos ilícitos (tablas 1 y 2). ElCosmo-Flux® está compuesto deuna mezcla de surfactantes especia-lizados y aceite mineral, que le damayor peso a la gota de glifosatocon el fin de disminuir el ‘efecto de-riva’ –la desviación de la aspersióncomo consecuencia del viento– [5]. Laaplicación de la mezcla sobre estos cul-tivos se hace por medio de aspersiónaérea, desde aeronaves de ala fija, conuna frecuencia que oscila entre los seisy los doce meses (figura 2, tabla 3) [3].

> Efecto ambientalLa experiencia muestra que cerca del45% de la formulación aplicada esabsorbida por las hojas de las plan-tas tratadas y transmitida al resto delas mismas. Lo demás debe asimi-larlo el entorno. En el ambiente, elglifosato es ligeramente móvil en elsuelo y soluble en agua. Su disipa-ción –que varía de 3 a 174 días encampo– se da por la formación decomplejos con iones de Ca2+ y Mg2+,unión a sedimentos, fotodegradaciónen agua o degradación microbiológi-

Figura 2. Aviones utilizados en laerradicación de cultivos ilícitos.Tomado de: http://ecologicos.galeon.com/


ca; también, de manera limitada, pue-de ser degradado por las plantas[2,6]. Adicionalmente se ha observa-do que, en condiciones naturales, lafotodegradación en agua ocurre convalores de tiempo de degradación(TD50)

6 menores a 28 días [6].

No obstante, aunque estos mecanis-mos de degradación evitan la acumu-lación eventual del glifosato en elambiente, existen otros factores deriesgo asociados al proceso de apli-

cación de la formulación. En primerlugar, en el caso de la aspersión aé-rea, desde el punto de vista ambientalpuede darse una imprecisión del áreaobjetivo [3]. Adicionalmente puedepresentarse deriva en la aspersión,principalmente a causa del viento,haciendo que ésta afecte también or-ganismos que no son blanco de fu-migación. Es así como, de acuerdocon datos de la Defensoría del Puebloy de la Dirección Nacional de Estupe-facientes (DNE), se han reportado cer-

6 Tiempo en el que se degrada elcompuesto en un 50%.

ca de 8.000 quejas, de las cuales el 87%corresponde a daños en la vegetación[7]. Las otras, referentes a problemasde salud humana y animal atribuidospor sus denunciantes a la aplicación delglifosato, requieren una justificacióncientífica que aún no se tiene.

> Citotoxicidad y genotoxicidadLa genética toxicológica estudiacómo algunas sustancias, denomina-das agentes genotóxicos –bien seanquímicos, físicos o biológicos– inter-fieren en los procesos celulares nor-males o dañan el ADN. Cuando unacélula es agredida por un genotóxico,su ADN puede sufrir cambios o muta-ciones que son heredables si la muta-ción ocurre en células germinales;mientras que si ocurre en las célulassomáticas –células del cuerpo–, lamutación puede ser uno de los pasosiniciales para producir un cáncer (fi-gura 3) [3].

Figura 3.Esquema que indica el efectode un agente genotóxico.

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Existen diversas pruebas con bacte-rias, hongos, cultivos celulares y ani-males, para identificar y clasificar lagenotoxicidad de una sustancia. Es-tas pruebas permiten medir su capa-cidad de producir mutaciones ytumores. Una vez comprobado esto,se hace la clasificación de la sustan-cia en función de su facultad de cau-sar cáncer en el hombre.

De acuerdo con la Agencia de Pro-tección Ambiental de Estados Unidos(EPA, según sus siglas en inglés), elglifosato se encuentra clasificado enel grupo D, es decir que “no es con-

siderado un carcinógeno para el hom-bre” [8]. Es así como, según los re-sultados obtenidos en varios ensayosde mutación en bacterias in vitro, elglifosato técnico no es mutagénico.Igualmente, se ha probado que enensayos realizados in vivo en célulasde médula ósea, no existen eventosgenotóxicos cuando éstas se exponenal glifosato [2].

Sin embargo, investigaciones adelan-tadas por Bolognesi [9] y Lioi [10]indican que tanto el glifosato comolas formulaciones que lo contienenpueden causar alteraciones citogené-

ticas –cambios en las células o suscromosomas–. Es así como se havisto un aumento en los niveles dedaño del ADN y un incremento enlas alteraciones cromosómicas encélulas de ratón, al exponerlo a di-ferentes concentraciones de glifosa-to y de la formulación Roundup [9].Adicionalmente, trabajos realizados enlinfocitos de origen animal dan eviden-cia de un aumento en el porcentaje decélulas aberrantes, así como en la fre-cuencia de rupturas en los cromoso-mas, después de la exposición alcompuesto [10].

Figura 4. Evaluación de daño en el ADN por medio del ensayo del cometa. a) Ausencia dedaño en el ADN, b) daño bajo, c) daño medio, d) daño alto y e) daño total [12].

c

a

d

e

b

* p < 0,001 ** p < 0,05


> Investigación sobre el glifosatoen la Universidad de los AndesMotivado por el creciente interés sobre los posibles efectos dela exposición a glifosato en la salud humana, el Laboratorio deGenética Humana de la Universidad de los Andes realizó unestudio con el fin de comprobar la eficacia de la ‘prueba delcometa’ como herramienta para evaluar la citotoxicidad7 y lagenotoxicidad del glifosato puro en cultivos de células huma-nas. Esta prueba se utiliza para evaluar el potencial genotóxicode los agentes químicos. Es una técnica que detecta rompi-mientos en el ADN de cadena sencilla y en sitios de reparacióndel ADN por escisión de bases. Los resultados de este ensayomostraron correlación con los de otras pruebas citogenéticas,como la de micronúcleos y la de intercambio de cromátidashermanas [11].

En dicho estudio, la metodología consistió en realizar unaelectroforesis8 alcalina de las células humanas expuestas a di-ferentes concentraciones de glifosato. Este procedimiento per-mitió la visualización de la migración de los fragmentos del ADNdañado a causa de la exposición al compuesto. Los núcleosque no sufren rompimientos en el ADN, al ser sometidos a uncampo eléctrico, migran en forma íntegra; mientras que los quehan sufrido rompimientos tienen fragmentos más pequeños quemigran más rápidamente. Se observa entonces en los núcleosdañados una figura parecida a un cometa –una cabeza con unacola, cuya longitud es proporcional al daño en el ADN–. Losnúcleos no dañados tienen forma circular. Al medir la propor-ción existente entre cometas y núcleos circulares se puede apre-ciar la dimensión del daño, que depende de la concentración deglifosato a la que fueron expuestas las células (tabla 4).

Los resultados obtenidos comprobaron las hipótesis de traba-jo. Confirmaron que el glifosato, en altas concentraciones, puedealterar la estructura del ADN en diferentes tipos de células hu-manas en cultivos in vitro, y que este efecto puede observarsemediante la prueba del cometa (figura 4) [12]. Esto nos pro-porciona una herramienta confiable para posteriores análisissobre poblaciones humanas expuestas a fumigaciones con esteproducto. Es de anotar que las concentraciones de glifosatoutilizadas en el trabajo de validación de la prueba del cometa nose dan en la utilización comercial, pues producirían intoxica-ciones mortales mucho antes de causar efectos genotóxicos.

El Laboratorio de Genética Humana de la Universidad de losAndes, en colaboración con el Instituto Nacional de Salud y laUniversidad El Bosque, se encuentra trabajando actualmenteen un proyecto que busca evaluar, mediante la prueba del co-meta, la genotoxicidad de la formulación Roundup en pobla-ciones humanas expuestas a fumigación con este producto encultivos de caña de azúcar.

7 Capacidad de causar intoxicación en la célula.8 Técnica usada para separar moléculas en un campo eléctrico.

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[1] Policía Nacional de Colombia, Dirección Antinarcóticos.Qué es el Glifosato?, http://www.policia.gov.co/inicio/portal/unidades/diran.nsf/paginas/glifosato_dano_a_la_salud (octubre 2005).

[2] G.M. Williams, R. Kroes e I.C. Munro. Safety Evaluationand Risk Assessment of the Herbicide Roundup and ItsActive Ingredient, Glyphosate, for Humans. RegulatoryToxicology and Pharmacology 31, 117–165 (2000).

[3] K.R. Solomon, K.A. Anadón, A. Cerdeira, J. Marshall yL.H. Sanín. Estudio de los efectos del Programa deErradicación de Cultivos Ilícitos mediante la aspersiónaérea con el herbicida Glifosato (PECIG) y de los cultivosilícitos en la salud humana y en el medio ambiente(Comisión Interamericana para el Control del Abuso deDrogas (CICAD), División de la Organización de losEstados Americanos (OEA), Washington D.C.,31 de marzo de 2005).

[4] C. Paz y Miño, M.E. Sánchez, M Arévalo y P. Leone.Evaluation of Chromosomal and DNA Damage Related toGlyphosate Exposure in Ecuatorian Population(en revisión).

[5] Comunicación personal de M. Varona, Coordinadora deInvestigación, Laboratorio de Salud Ambiental, InstitutoNacional de Salud, Bogotá, Colombia.

[6] International Programme on Chemichal Safety, WorldHealth Organization. Environmental Health Criteria No.159 Glyphosate (1994). http://www.inchem.org/documents/ehc/ehc/ehc159.htm (agosto de 2005).

[7] T. León, J. Burgos, C. Toro, C. Luengas, C Ruiz y C.Romero. Observaciones al ‘Estudio de los efectos delPrograma de Erradicación de Cultivos Ilícitos mediante laaspersión aérea con el herbicida Glifosato (PECIG) y delos cultivos ilícitos en la salud humana y en el medioambiente’ http://www.idea.unal.edu.co/public/docs/Observ_IDEA_a_doc_CICAD.pdf (Bogotá,11 de mayo de 2005).

[8] U.S. Environmental Protection Agency. Glyphosate. EPA-Integration Risk Information System http://www.epa.gov/iris/subst/0057.htm (septiembre de 2005).

[9] C. Bolognesi, S. Bonatti, P. Degan, E. Gallerani, M.Peluso, R. Rabboni, P Roggieri y A. Abbondandolo.Genotoxic Activity of Glyphosate and its TechnicalFormulation Roundup. Journal of Agriculture and FoodChemistry 45, 1957–1962 (1997).

[10] M.B. Lioi, M.R. Scarfı, A. Santoro, R. Barbieri, O. Zeni,D. Di Berardino y M.V. Ursini. Genotoxicity and OxidativeStress Induced by Pesticide Exposure in BovineLymphocyte Cultures In Vitro. Mutation Research 403,13–20 (1998).

[11] F. Faust, F. Kassie, S. Knasmuller, R.H. Boedecker, M.Mann y V. Mersch-Sundermann. The Use of the AlkalineComet Assay with Lymphocytes in Human BiomonitoringStudies. Mutation Research 566(3), 209–229 (2004).

[12] C. Moroy, A. Cortés, D. Sicard, H. Groot. Citotoxicidad ygenotoxicidad en células humanas expuestas in vitro aglifosato. Biomédica, Bogotá 25, 335–345 (2005).

[13] United States Department of Agriculture (USDA), ForestService Pacific Northwest Region. Glyphosate: HerbicideIinformation Profile (febrero de 1997)http://www.fs.fed.us/r6/nr/fid/pubsweb/gly.pdf.

Helena Groot de [email protected]

Profesora titular, Departamento de Ciencias Biológicas,Universidad de los Andes. Directora del Laboratorio deGenética Humana desde 1984. Sus principales líneas deinvestigación son: genética de poblaciones humanas,genética toxicológica, mutagénesis ambiental yepidemiología molecular del cáncer. Ha realizadoproyectos de investigación para estudiar la exposiciónhumana y ambiental a varios compuestos (pesticidas,metales, solventes orgánicos). Por su trabajo en estasáreas, la Academia Nacional de Medicina la ha hechomerecedora del premio a los Mejores Proyectos deInvestigación del XI Concurso Aventis en el año 2000 ydel XVI premio Grupo Sanofi-Aventis en el año 2005. Espresidenta de la Asociación Latinoamericana deMutagénesis, Carcinogénesis y TeratogénesisAmbiental (Alamcta).

Sandra Liliana Ortiz Cuará[email protected]

Estudiante de doble programade biología y microbiología.

> Referencias

> Reseña de los autores

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> Vacunas de ADNAlberto Aparicio de Narváez / Juan Carlos GarcíaBetancur / Jorge Alejandro Rojas Flechas

Las vacunas han sido la intervención de salud pública conmás impacto para la prevención de un gran número deenfermedades. Estimaciones de la Organización Mundialde la Salud sugieren que las vacunas salvan cerca de treintamil vidas diariamente y más de diez millones cada año [3],lo que demuestra el éxito que ha tenido esta estrategia.Los mecanismos de vacunación han brindado excelentesresultados, como en el caso de la viruela, que ha sido e-rradicada del planeta. Sin embargo, las enfermedades in-fecciosas siguen cobrando cerca de 45.000 vidas por día–diecisiete millones por año– [3], y queda muy claro queel hombre, como todos los animales, representa un am-biente ecológico abierto a una infinidad de microorganis-mos. Por estas razones, el desarrollo de nuevasherramientas para minimizar el impacto de las enferme-dades infecciosas en la salud humana, sigue representan-do un desafío.

Imagen: Célula T cooperadora infectada por VIH (puntos azules).http://www.aids-info.ch/bilder/schule_aids/jpg_bilder/koch12.jpg


Una vacuna prepara y potencia el sis-tema inmune para que cuando un pa-tógeno ingrese al organismo seareconocido y eliminado rápidamen-te. Dicho sistema se ha dividido endos líneas de acción debido a sus ca-racterísticas funcionales y para faci-litar su estudio: el ‘sistema inmuneinnato’, que consta de mecanismos

que ejercen una defensa permanentey continua contra la intrusión de cual-quier cuerpo extraño1, y el ‘sistemainmune adquirido’, que se adaptapara proteger el organismo de una in-fección o enfermedad que ya ha su-frido en un momento de su vida. Lasvacunas están enfocadas a este se-gundo componente del sistema in-

Figura 1. Esquema de la generación de poblaciones celulares del sistema inmune. Células progenitorascrean dos linajes: el linfoide y el mieloide. El progenitor linfoide da origen a la población celular involucradaen la generación y preservación de la memoria inmune mediada por anticuerpos: los linfocitos B.http://www.dundee.ac.uk/biocentre/Images/Research/DIV2/prcfig2.jpg

mune, buscando la inmunización delorganismo sin que se haya presen-tado enfermedad previa [12].

El sistema inmune adquirido se de-sarrolló en los vertebrados con la cla-se de los Chondrichthyes o pecescartilaginosos –como el tiburón–, yen los mamíferos superiores es unode los mecanismos más especializa-dos y eficaces de defensa contra en-fermedades. Todas las células delsistema inmune provienen de célu-las madre o stem cells. La médulaósea genera dos líneas fundamenta-les de diferenciación: el linaje mieloi-de y el linfoide (véase figura 1). Alprimero pertenecen, por ejemplo, lascélulas dendríticas2 y los macrófa-gos3, que aunque conciernen princi-palmente al sistema inmune innato,tienen funciones en el inmune adqui-rido. Al linaje linfoide pertenecen los

> Vacunas de ADNAlberto Aparicio de Narváez / Juan Carlos García Betancur / Jorge Alejandro Rojas Flechas

1 El sistema inmune innato lo constituyen elemen-tos como las barreras físicas de la piel y la mucosa,más células fagocíticas y proteínas antimicrobialesde respuesta temprana.2 Las células dendríticas forman parte del sistemainmune de los mamíferos. Están presentes en lostejidos que se encuentran en contacto con el entor-no –la piel y las mucosas–, y cuando se activanmigran al tejido linfático, donde interactúan con cé-lulas T y B.3 Los macrófagos –palabra que proviene del griego,y significa grandes comelones–, son células encar-gadas de comerse patógenos, otras células muertasy sus residuos –proceso llamado fagocitosis–. És-tas interactúan con las células B y T.

Louis Pasteur

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linfocitos o células blancas, como loslinfocitos T y los B. Estas células vana reaccionar, en conjunto con otros fac-tores, frente a los antígenos o fragmen-tos de proteínas de los patógenos.

Las células B son las encargadas dela producción de anticuerpos o inmu-noglobulinas, proteínas que se unena antígenos específicos para neutra-lizar los patógenos que los portan.Esta producción de anticuerpos esconocida como el ‘sistema inmunehumoral’, y las células B son las res-

ponsables de la memoria inmunoló-gica del organismo [9]. Recién gene-rada, cuando aún se dice “virgen”,debido a una infección o una vacuna,la célula B se programa para crear an-ticuerpos que han de combatir el pa-tógeno en cuestión. En adelante, eselinfocito B sólo servirá en la produc-ción de ese tipo de anticuerpos, apro-piados para acoplarse a un solo tipode antígeno presente en el patógeno.En esa célula B quedará el “recuer-do” del patógeno, y si hay una reinci-dencia de la misma infección, podrá

generar ‘células plasma’, que produ-cirán el anticuerpo en una reacciónrápida y a gran escala para contra-rrestar la enfermedad.

Las células T, llamadas así porque ter-minan de desarrollarse en el timo, sonlas protagonistas del sistema inmunecelular. Se presentan en tres tipos:• Citotóxicas (Tc), que destruyen lascélulas que se encuentren infectadas.• Cooperadoras (Th), que al ser exci-tadas por antígenos incrementan y ac-tivan las células B que se requieren

Figura 2. Funcionamiento del sistema inmune adquirido celular (mediado por linfocitos T) y humoral(mediado por linfocitos B). En la respuesta inmune humoral, las células B interactúan con el antígeno,y posteriormente se diferencian para generar células de plasma secretoras de anticuerpos específicos.Este anticuerpo específico se une a su contraparte antigénica, facilitando la detección del patógenoy su eliminación del cuerpo.


para producir anticuerpos contra el patógeno, y detienenla respuesta inmune cuando se ha eliminado el antíge-no4. La interacción entre los linfocitos es tal, que las cé-lulas B no se activan sin el llamado de las T cooperadoras.• Reguladoras o supresoras, que inhiben la activación delsistema inmune5.

Cuando el cuerpo reacciona contra una infección real, lascélulas T del sistema inmune dan origen a una increíblecascada de reacciones dirigidas a la potenciación de lareacción celular y a la generación de la respuesta humoralmediada por anticuerpos [2, 9]. Las células B terminanguardando la información sobre los antígenos de la sus-tancia foránea para poder producir anticuerpos en su con-tra. Si el mismo patógeno vuelve a amenazar, estas célulasB, excitadas por las T, reactivarán la producción de anti-cuerpos de una manera más acelerada.

En la respuesta inmune celular, varias subpoblacionesde células T reconocen el antígeno “presentado” por lascélulas presentadoras de antígenos o por células no es-pecializadas. Los linfocitos Th responden produciendosustancias químicas inflamatorias, conocidas como ci-tocinas, que aceleran la respuesta inmune. Los linfoci-tos Tc se activan y se transforman en linfocitos Tcitotóxicos, células que median en la destrucción de lascélulas infectadas alteradas[9].

> El desarrollo de las vacunasPor más de cien años las proteínas han sido usadas comoantígenos para inmunizar contra enfermedades de ori-gen microbiológico. Al ser introducidas en el cuerpo, elsistema inmune reacciona como si fuera un patógenoreal, y la información para la producción de anticuerposcontra estos antígenos quedará almacenada en células Bque reaccionarán con más celeridad y eficacia cuandoataque el patógeno real. Las vacunas de primera genera-ción se componen de patógenos muertos o de microor-ganismos atenuados, que han perdido su capacidad decausar enfermedad debido a múltiples inoculaciones ypasos por animales de laboratorio, o mediante su inacti-

vación química o física –con calor o rayos ultravioleta–.La inactivación física fue la técnica que el francés LouisPasteur aplicó en 1885 al inmunizar de manera eficaz aljoven Joseph Meister, que había sido mordido catorceveces por un animal doméstico infectado con el virus dela rabia [3, 8]. Utilizó virus, de la médula de perros muer-tos por rabia, debilitados por deshidratación6.

La inoculación con patógenos muertos se utiliza contrael cólera y la hepatitis A. Las vacunas son fáciles de ma-nipular porque no requieren refrigeración, pero suscitanuna respuesta inmune débil que requiere varias dosis, loque constituye un problema en regiones apartadas. Lasvacunas con microorganismos vivos debilitados exigenuna manipulación más compleja y requisitos especialespara su almacenamiento; además, existe la posibilidadde que el patógeno mute recobrando su virulencia. Sinembargo, se han utilizado exitosamente en la vacuna oralcontra el polio, y en las inyectadas contra paperas, sa-rampión, rubéola y fiebre amarilla. También se usan toxi-nas desactivadas para generar vacunas, como en el casodel tétano y la difteria [13].

Hoy se sabe que sólo se requieren pequeños fragmen-tos de proteína –o epítopes– de los antígenos para in-munizar un organismo. Este conocimiento llevó aldesarrollo de las vacunas de segunda generación. Enlugar del microorganismo atenuado o inactivado, seintroducen en el cuerpo fragmentos antigénicos, evi-tando los riesgos –que se presentan con vacunas de laprimera generación– de una reactivación de la virulen-cia del patógeno o de reacciones alérgicas contra losmúltiples antígenos del microorganismo. Existe una va-cuna para el virus de la hepatitis B producida por levadu-ras a las que se les recombinó material genético paraque secreten los antígenos al medio de cultivo. Estosantígenos recombinantes son uno de los más grandesavances de la biología moderna: una vez se conoce lasecuencia del gen para el antígeno, se inserta su ADN enuna bacteria, levadura o cultivo celular, que dará origen agran cantidad del mismo. Éste se recupera del medio decultivo, se purifica y se combina con un adyuvante, unasustancia que estimula el sistema inmune, y se almace-na para ser administrado como vacuna [13].

Figura 3. En 1885,Joseph Meister, un niñoalsaciano, fue la primerapersona protegida con lavacuna de Louis Pasteur.Grabado en madera deRoger Viollet, siglo XIX.Cortesía de la BibliotecaNacional de Medicina delos Estados Unidos.

4 Estas células son atacadas por el VIH.5 Una falla en estas células puede producir enfermedadesautoinmunes, en que el sistema ataca células sanas.6 La vacuna de la viruela fue descubierta casi cien añosantes por Edward Jenner al observar que las ordeñado-ras que contraían la viruela bovina, un virus emparenta-do pero mucho menos nocivo, no se contagiaban con laviruela humana. La vacuna consistió del virus bovino vivo,por lo que la palabra vacuna proviene de vaca.

43

A pesar de la afirmación acerca de la efectividad de lavacunación, su éxito sigue siendo limitado en relación ala diversidad de patógenos que atacan al hombre, llá-mense priones, virus, bacterias, hongos o parásitos, yhasta de sus propias células en forma de cáncer. Mu-chos patógenos han desarrollado estrategias de escapey mecanismos de resistencia a la actividad de los anti-cuerpos, y han frustrado los esfuerzos de desarrollo devacunas por métodos tradicionales. Otros poseen estra-tegias de mimetismo molecular que los hace pasar des-apercibidos en el sistema inmune de su hospedero hastaque alcanzan su órgano blanco y se multiplican en él; allípueden ser fatales. La eliminación de estos superpatóge-nos requiere la activación de poblaciones específicas delinfocitos T, y las vacunas de ADN representan una de lasestrategias novedosas para lograr la activación de dicharespuesta inmune celular. Estas vacunas de tercera gene-ración son actualmente la alternativa más promisoria parael control de una gran variedad de enfermedades, que nose limita a las infecciosas, sino que incluye otras de carác-ter hereditario y ciertos tipos de cáncer [1].

El principio de las vacunas de ADN es parecido al utiliza-do en la producción de las de segunda generación. Setrata ahora de alterar las células del organismo vacuna-do mediante la inserción de información genética, paraque sean ellas las productoras del antígeno.

> De la teoría a la prácticaEn los años cincuenta y sesenta se descubrió que la in-troducción de ADN en las células de un animal podía des-encadenar una síntesis de proteínas codificadas por elmaterial genético insertado. La síntesis generaba un re-pertorio de anticuerpos dirigidos contra esas proteínas.A principios de los noventa, una serie de laboratorios seinteresó por explorar el fenómeno, para comprobar silas respuestas inmunes a los productos de genes forá-neos dentro de células del organismo podían ser usadas

para la vacunación. Así, en 1992, varios grupos inde-pendientes demostraron, mediante experiencias en ani-males, que el concepto de vacuna de ADN era acertado.En los años siguientes se reveló que las vacunas de ADNaplicadas a células, en roedores y primates, generabanrespuesta inmune, celular y humoral frente a infeccionesposteriores por patógenos y frente a algunos tipos decáncer [4, 13].

Durante esas décadas también se comprobó que secuen-cias específicas de ADN o ARN bacteriano funcionancomo sustancias adyuvantes, que activan la proliferaciónde la población de linfocitos B. Con este descubrimientose comenzó a experimentar con plásmidos de ADN –pe-queños anillos de ADN de cadena doble– como vectores,vehículos para introducir en las células los genes quecodifican para el antígeno en cuestión. Estos plásmidos,inyectados intramuscularmente son, per se, adyuvantesen la inmunización. Así no codifiquen para un antígeno,el plásmido puede ser detectado por células de respues-ta temprana como los macrófagos7, que secretan las mo-léculas mensajeras que reclutan células de defensaespecializadas, como los linfocitos T y B [4, 13]8.

Los plásmidos se extraen de bacterias incapaces de pro-ducir infección, y se alteran para llevar genes específicosa una o varias proteínas antigénicas inocuas, provenien-tes del patógeno seleccionado. Adicionalmente, se puedenincluir en los plásmidos otras secuencias de genes que co-difiquen para citocinas –moléculas mensajeras que estimu-lan la actividad de las células asesinas naturales–, así comopolimorfonucleados y células T cooperadoras –de tipo Th1–que estimulan la respuesta celular [2].

Figura 4. Esquema general delmecanismo de vacunación deADN. Éste es inyectado demanera directa o por medio devectores virales para que entreal núcleo de la célula blanco ysea traducido. La proteínaantigénica es presentada por elcomplejo MHC (véase figura 2)a los linfocitos T del sistemainmune [14].

7 Células inmunes que cumplen el papel de centinelas.8 Este fenómeno es atribuido, en parte, a la elevada fre-cuencia de los nucleótidos guanina y citosina no metilados,los cuales son reconocidos como ADN foráneo por las cé-lulas que generan una alarma general del sistema inmune.


Su introducción en el organismo es tan sencilla como laaplicación de una vacuna tradicional, vía intradérmicausando agujas9. Tras una inyección directa a células mus-culares, algunos plásmidos logran entrar en las célulaspresentadoras de antígeno10 y en las dendríticas. Estascélulas especializadas del sistema inmune expresan losantígenos generados por el ADN inyectado y los “pre-sentan” a los linfocitos T citotóxicos; además, segreganmoléculas estimuladoras como quimiocinas y citocinas,según las instrucciones de los genes adicionales inclui-dos en el plásmido [2].

> ADN vacunal: la generación promisoriaLas vacunas de ADN ofrecen una nueva oportunidad paralograr la inmunización efectiva de poblaciones enteras,al proporcionar un mejor control sobre el proceso. Segarantiza el tipo de antígeno específico, los coestimulan-tes utilizados y el órgano o células blanco de la actividadinmune. Este control puede evitar los efectos alérgicosque a veces acompañan a las vacunas actuales. Adicional-mente, como las secuencias de ADN plasmídico perma-necen activas durante periodos relativamente cortos, fueradel cromosoma, se puede controlar la duración de la res-puesta utilizando diversos mecanismos de aplicación [10].

Estas vacunas también permiten un sondeo rápido delADN adecuado, según el tipo de antígeno, su lugar y for-ma de expresión11, el tipo de célula blanco y la clase derespuesta diferencial que se quiera obtener. Se puedengenerar, de manera fácil y efectiva, mejores antígenos,diseñados de forma racional para prever la aparición demutaciones que confieran resistencia a la actividad de

Figura 6. Un plásmido es un anillo de ADN. Se construye con: secuencias deADN para iniciar, promover y aumentar la producción de proteína antigénica(promotor); la secuencia de ADN específico para la producción del antígenoque va a servir como vacuna; secuencias para otro tipo de moléculas comocitocinas y otros coestimuladores o adyuvantes; y finalmente, una secuenciaque marca la terminación del proceso de transcripción y traducción delplásmido de ADN [14].

los anticuerpos; caso que ocurre con gran frecuencia envirus como el de la gripe. Este tipo de vacuna brinda unaventaja asombrosa, dado que al modificar el ADN, se pue-den generar diferentes antígenos con distintos epítopes,sobrellevando por anticipado los problemas de evasiónde la defensa que algunos microorganismos generan almutar sus sitios antigénicos o de reconocimiento [3, 13].

Aunque la introducción de ADN asegura una tasa relati-vamente baja de células infectadas, la cantidad de pro-teína que se produce y la gran activación del sistemainmune por el ADN foráneo cubren las necesidades deuna vacuna, e incluso superan las expectativas genera-das por ella. Mejor aún, evitan tener que incorporar ad-yuvantes, sustancias antigénicas orgánicas de diversoorigen –la mayoría de veces químicos sintéticos– cau-santes de respuestas hiperinmunes como las alergias [6].

Existen numerosas pruebas contra microorganismoscomo bacterias y virus –como el de la Inmunodeficien-cia Humana (VIH)–, que resaltan las ventajas de estasvacunas. En primer lugar, son más fáciles de manufactu-rar que las de primera y segunda generación. A partir deun mecanismo idéntico se pueden preparar diferentesvectores con distintos antígenos. Por lo demás, desdeuna perspectiva industrial, se puede ensamblar rápida-mente el ADN que da origen al antígeno en vectores es-tándar y, junto con éste, genes humanos para la generaciónde adyuvantes y estimuladores en un proceso genérico debajo costo. Finalmente, el ADN es mucho menos sensibleque las proteínas a temperaturas elevadas, lo que facilitasu almacenamiento y distribución, especialmente en paí-ses tropicales y subdesarrollados [6, 13].

Aunque en la actualidad estas vacunas no se encuentran enel mercado, los estudios clínicos para su producción estánen fases experimentales avanzadas, los vectores involucra-dos se perfeccionan constantemente y el mecanismo mo-lecular exacto está casi descrito. Así, se espera que dentrode unos pocos años vacunas contra enfermedades como elVIH, la toxoplasmosis, la malaria, el dengue hemorrágico yvarios tipos de cáncer puedan ser distribuidas de maneralibre y segura a la población mundial.

9 También puede ser enviada con técnicas especiales -según el tipo decélula blanco- como ADN cubierto con partículas de oro o mediantevectores virales “suicidas” -virus que ingresan a la célula, liberan elplásmido de ADN vacunal y, debido a modificaciones genéticas previas,pierden su capacidad de replicación, y por ende son inocuos oavirulentos-.10 Véase “¿Cómo reconoce el sistema inmune a los invasores? ” por Car-los Jaramillo et al., en Hipótesis, Nº 5, Bogotá, pp. 32-37 (junio de 2005).11 Si se desea que el antígeno sea secretado en endosomas, anclado amembrana, de forma nativa o con preprocesamiento intracelular.

45

[1] H.L. Davis, B.A. Demeneix, B. Quantin, J. Coulombey G.R. Whalen. Plasmid ADN is Superior to ViralVectors for Direct Gene Transfer in Adult MouseSkeletal Muscle. Human Gene Ther. 4,733–740 (1993).

[2] H.L. Davis, R. Schirmbeck, J. Reimann y R.G.Whalen. ADN-Mediated Immunization inMice Induces a Potent MHC Class I-RestrictedCytotoxic T Lymphocyte Response to theHepatitis B Envelope Protein. Human Gene Ther, 6,1447–1456 (1995).

[3] H.L. Davis y R.G. Whalen. ADN Vaccination.Molecular and Cell Biology of Human GeneTherapeutics (Chapman and Hall, Londres, 1995).

[4] J.J. Donnelly, M.A. Liu y J.B. Ulmer. AntigenPresentation and ADN Vaccines. AmericanJournal of Respiratory and Critical Care Medicine162, 190–194 (2000).

[5] M.A. Kutzler y D.B. Weiner. Developing ADNVaccines that Call to Dendritic Cells.Journal of Clinical Investigation 114(9), 1241–1244 (2004).

[6] B. Wang, K.E. Ugen, V. Srikantin, M.G. Agadjanyan,K. Dang, Y. Refaeli, A.I. Sato, J. Boyer, W.V.Williams y D.B. Weiner. Gene InoculationGenerates Immune Responses against HumanImmunodeficiency Virus Type I. Proc. Natl. Acad.Sci. USA 90, 4156–4160 (1993).

[7] D.B. Weiner y R.C. Kennedy. Institute of HumanGene Therapy at the University of Pennsylvania(University of Oklahoma Health Sciences Centre,Kennedy, s.f.)

[8] Z.Q. Xiang, S. Spitalnik, M. Tran, W.H. Wunner, J.Cheng y H.C. Ertl. Vaccination with a PlasmidVector Carrying the Rabies Virus GlycoproteinGene Induces Protective Immunity against RabiesVirus. Virology,199(1), 132–140 (1994).

[9] R.A. Goldsby, T.J. Kindt, B.A. Osborne y J.Kuby. Immunology, 5a ed., (W.H. Freeman,Nueva York, 2002).

[10] Nature Technology Corporation. DNA-Vaccines:Rapid Development and DeploymentProgram http://www.natx.com/DNAVACS.html (noviembre 2005).

[11] Immune System. Wikipedia,http://en.wikipedia.org/wiki/Immune_response(noviembre 2005).

[12] Different Types of Vaccines. Immune Central,http://www.immunecentral.com/infotemplate.cfm-1702-72-1 (noviembre 2005).

[13] M.A. Liu. DNA Vaccines: A Review. Journal ofInternal Medicine 253, 402–410 (2003).

DNAvaccine.com. http://www.ADNvaccine.com

Alberto Aparicio De Narváez

[email protected]

Estudiante de último semestre de microbiología,Universidad de los Andes.Asistente del Laboratorio de Genética Humana,Universidad de los Andes.

Juan Carlos García Betancur

[email protected]

Estudiante de último semestre de microbiología conopción en química y de la maestría en cienciasbiológicas de la Universidad de los Andes.Asistente del Laboratorio de Genética Humana,Universidad de los Andes, y del Instituto de Virología,Universidad El Bosque.

Jorge Alejandro Rojas Flechas

[email protected]

Microbiólogo con opción en química y estudiante demaestría en ciencias biológicas,Universidad de los Andes. Asistente del Laboratorio deMicología y Fitopatología Uniandes (LAMFU).

> Referencias

> Enlace recomendado

> Reseña de los Autores


El número eLuz Myriam Echeverry


La constante universal π es muy conocida y de antigua

procedencia. Se define de una manera geométrica muy

elegante, como el cociente de la circunferencia de cual-

quier círculo por su diámetro. Aproximaciones a esta

constante aparecen en tabletas babilonias, papiros egip-

cios y textos griegos. En comparación, el número e es

un recién llegado; aunque algunos arqueólogos han tra-

tado de mostrar de manera artificial que se encuentra en

la Gran Pirámide egipcia como el cociente del doble del

ángulo que forma una arista con la plomada, por el án-

gulo del ápice de la pirámide. Sin embargo, aparece muy

frecuentemente en las matemáticas y sus aplicaciones

desde el siglo XVII.

Su primera aparición fue indirecta y casi accidental. Para

fabricar la tabla de logaritmos, en su obra Una descrip-

ción de la admirable tabla de logaritmos (Mirifici

logarithmorum canonis descriptio) [8], publicada en

1614, John Napier construyó una lista de números que ini-

ciaba en 107 e iba disminuyendo por un factor de 1-1/107

entre uno y otro; la entrada número 10.000.000 sería

3678794, una excelente aproximación de 1/e por 107. El

factor de 107 lo usó para evitar los decimales que no

eran muy aceptados en ese momento. Los “logaritmos”

de los números de esta lista eran simplemente los nú-

meros de 1 a 10.000.000 en orden ascendente, y la tabla

> El número e. Luz Myriam Echeverry

Tabla de Logaritmos que apareció como anexo en la publicación de John Napier 1614.http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/milestone.pdf.

49

John Napier. Inventor de los logaritmos, nacióy vivió en Escocia entre 1550 y 1617.En la literatura, su apellido aparece conortografías diferentes: Napeir, Nepair, Nepeir,Neper, Napare, Naper, Naipper. En su época,su nombre se escribía, más comúnmente,Jhone Neper. [5]


resultante correspondía aproximadamente a la función,

y = -107 ln(x/107) que, si nos olvidamos de los térmi-

nos 107, viene a estar muy cerca del logaritmo natural

actual1, de base e, llamado también logaritmo neperiano

en honor a su inventor.

Napier, barón de Merchiston, explicaba que su trabajo

facilitaría la multiplicación y división de números muy

grandes o muy pequeños al convertir estas operaciones

en sumas y restas; al igual que las potencias y raíces,

que se transformaban en productos y cocientes. La ayu-

da a los astrónomos fue inmensa, ya que ellos utilizaban

funciones trigonométricas que generaban números con

muchas cifras significativas. Napier también incluía en

su tabla los logaritmos del seno de varios ángulos y de

sus fracciones. Sin embargo, no hay ninguna referencia

en su obra al número e ni a la base de sus logaritmos,

pues por algún tiempo éstos no fueron calculados con

una base en mente.

En 1661 Christiaan Huygens relacionó el número e con

la hipérbola rectangular. Ya se venía sospechando que el

área debajo de la curva y = 1/x estaba relacionada con

los logaritmos. El problema que propuso Huygens fue

encontrar la abscisa x = a, tal que el área entre la hipér-

bola y = 1/x, el eje x y las rectas x=1 y x= a sea

exactamente uno. Este número a es precisamente e, que

Leibniz estimó, al parecer, reemplazando la hipérbola por

una parábola de la cual conocía el área bajo la curva.

El número e siguió apareciendo de manera indirecta a

través de los logaritmos. En 1668, en un trabajo del as-

trónomo Nicolaus Mercator, titulado Logarithmotechnia,

se encuentra la serie para calcular logaritmos naturales2,

que en notación moderna corresponde a:

.

En este trabajo se usa por primera vez el término ‘loga-

ritmo natural’ para referirse a los logaritmos con base e,

pero el número como tal no aparece.

Por fin, en 1683, apareció una definición precisa del nú-

mero e en un trabajo de Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-

1705) sobre interés compuesto. La presentación moderna

de este problema es la siguiente. Se invierte una suma B

a interés compuesto con una tasa de interés del 100%,

por un cierto período –un año, por ejemplo–. Al dividir el

período en n intervalos iguales, la tasa de interés para

cada período es (100%)/n ó 1/n. Al final del primer in-

tervalo de tiempo la cantidad de dinero que se tiene es

B + (1/n) B = (1 + 1/n)B, el monto inicial más el inte-

rés. Al final del segundo período, se repite el cálculo, pero

con (1 + 1/n)B en lugar de B y se obtiene (1 + 1/n)2 B;

continuando el proceso, al cabo de n períodos, se tiene

1 Por el signo negativo en la fórmula, se aproxima más al logaritmo en

base 1/e.2 La serie fue descubierta independientemente por él y por Isaac Newton

en 1665, pero la primera publicación fue de Nicolaus Mercator en 1668.3 Por ejemplo, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 ≥ 2 • 2 • • 2 • 2 = 24.4 Es posible que una suma de un número infinito de términos positivos

crezca sin límite, pero también puede tender a un número dado, como en

el ejemplo clásico de la siguiente serie geométrica que tiende a uno [3],

.

Este tipo de detalles aún no se comprendía en la época de Bernoulli.Figura 1. Si el área sombreada debajo de la curva y = 1/x es uno, laabscisa que marca la segunda línea vertical es la constante e.

51

Gottfried Leibniz(1646-1716). Filósofo y matemático nacidoen Leipzig (ahora Alemania). Inventor, juntocon Newton, del cálculo infinitesimal.http://www.hab.de/museum/images/leibniz.jpg

(1 + 1/n)n B, esto es, (1 + 1/n)n veces la inversión

original. Si se calcula el interés en intervalos cada vez más

cortos, es decir, con n cada vez más grande, llegamos al

‘interés compuesto continuo’. Por esta razón, Bernoulli

trató de calcular el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a

infinito, notado,

(1).

Este límite es la definición del número e, y ésta fue la pri-

mera vez que se definió un número mediante un límite.

Bernoulli mostró, además, utilizando el teorema del bino-

mio, que este límite tiene un valor entre 2 y 3. La demostra-

ción es como sigue. Por la fórmula del binomio, se tiene que:

(2).

O sea:

.

Por otra parte, como, la cola de la expansión binomial (2),

donde

3

,

vemos que

Se tiene entonces que

, cualquiera que sea n.

Luego, el límite de (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito,

también está entre dos y tres4.

Parece que la conexión entre la función exponencial y el

logaritmo también fue descubierta por Jacobo Bernoulli

en 1684, aun cuando es posible que James Gregory (Es-

cocia, 1638-1675) la haya notado antes.

Quien propuso usar la letra e para este número5 fue el

gran matemático suizo Leonhard Euler, en el manuscrito

titulado “Meditaciones sobre los experimentos recientes

en el encendido del cañón” (“Meditatio in experimenta

explosione tormentorum nuper instituta”), escrito entre

1727 y 1728, e impreso por primera vez en 1862 en San

Petersburgo, como parte de un compendio de la obra de

Euler denominado Opera postuma mathematica et physica.

En el manuscrito, e aparece dieciséis veces.

Euler encontró varias propiedades del número e, pero sólo

en 1748, en su obra Introductio in analysis infinitorum,

recopiló estos conocimientos. Allí definió la función

exponencial y el logaritmo natural de manera simétrica:

.

5 Leibniz utilizó la letra b para el mismo número; otros la han llamado

b ó c. De las varias conjeturas sobre el nombre e, la más popular esque Euler usó la primera letra de la palabra exponencial.


y .

Adicionalmente, utilizó la serie de la función exponencial

(3).

para demostrar propiedades de esta función y su rela-

ción con las funciones trigonométricas de seno y cose-

no. Aunque no dice cómo las calculó, Euler dio dieciocho

cifras decimales exactas para el número e:

e = 2.718281828459045235.

Las dieciocho cifras decimales se obtienen tomando vein-

te términos de la serie (3), con x = 1.

> Apariciones de e

> Fórmula famosa

La fórmula más impactante en la que aparece el número

e es eπi+1 = 0 . Felix Kline (1809-1925) la resumió di-

ciendo: “allí esta todo el análisis”. La ecuación relaciona

las cinco constantes más importantes de las matemáti-

cas: π, e, i = y 0. También usa tres operaciones

importantes: adición, producto y exponenciación; por

último, presenta el concepto central de igualdad. La base

de este resultado es la fórmula de Euler para números

complejos: eiθ = cosθ + isenθ.

> Crecimiento y decrecimiento

En el ejemplo del interés compuesto aparece el creci-

miento de un capital. El ejemplo de una población de bac-

terias, en el que se supone que el crecimiento poblacional

es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, es

similar al del interés compuesto continuamente. La masa

de un material radioactivo que se descompone lleva a

un modelo similar, pero en decrecimiento en lugar de

crecimiento. Ambos fenómenos obedecen la fórmula

x(t) = x0eκt, donde x(t) es la cantidad de bacterias o

material en el tiempo t siendo x0 la cantidad inicial y κ

es una constante propia del modelo, positiva en el caso

de crecimiento y negativa si hay decrecimiento. Aun

cuando este modelo para poblaciones parezca muy sim-

plista, en general, en todos los modelos poblacionales,

aun en los más elaborados, interviene el número e.

El modelo de estos dos ejemplos obedece a una ecua-

ción diferencial, con condición inicial, muy simple:

En ésta se indica que la razón de cambio, o derivada, dx / dt,

de una cantidad que varía con el tiempo, x (t), es propor-

cional al monto de esa misma cantidad. La constante de

proporcionalidad es κ, y la condición estipula que en el ins-

tante t = 0, la cantidad es x0. En la solución de esta ecua-

ción interviene el número e, porque las únicas funciones

que la satisfacen son de la forma x(t) = A eκt, donde A

es una constante. Las aplicaciones de e en ecuaciones

diferenciales son múltiples en modelos matemáticos de

física, en estadística, en teoría de números, y en el campo

del análisis complejo.

> Propiedades de e

El número e es irracional, lo que significa que no se pue-

de representar como el cociente de dos números ente-

ros, p/q, y que por lo tanto, su expansión decimal no esJacob Bernoulli (Suiza,1654-1705). Fue el mayor de una numerosafamilia de matemáticos. http://www.ppsw.rug.nl/~boomsma/waar.htm

53

periódica y no termina nunca. Esto fue

demostrado por Euler. Es más, e es

un número trascendente, es decir, no

es raíz de una ecuación polinomial con

coeficientes enteros. En contraposi-

ción, , que se sabe que es irracio-

nal desde la Antigua Grecia, no es

trascendente, pues es la raíz de la

ecuación x2 - 2 = 0; se dice por lo tanto

que es algebraico. Todos los núme-

ros racionales son algebraicos, por-

que son raíces de ecuaciones de la

forma qx - p = 0. Además, todos los

trascendentes son irracionales.

Liouville probó la existencia de núme-

ros trascendentes en 1844, y luego

Cantor mostró que hay más trascen-

dentes que algebraicos, aun cuando ha

sido difícil determinar qué números

son trascendentes. En 1873 Charles

Hermite (Francia, 1822-1901) demostró

la trascendencia de e, nueve años antes

de que Ferdinand von Lindemann de-

mostrara la de π. Existen otros resulta-

dos más generales. Por ejemplo, Johann

H. Lambert (Alemania, 1728-1777) ha-

bía establecido que e p/q es irracional

si p y q son enteros no nulos; así, e2

también es irracional. El teorema de

Gelfond y Schneider, demostrado de

manera independiente por cada uno

de ellos en 1934, dice que ab es tras-

cendente si a es algebraico diferente

de cero y de uno, y b es irracional y

algebraico. Entonces, la constante de

Gelfond, eπ, es trascendente y por lo

tanto irracional, puesto que

.

El séptimo problema de Hilbert, enun-

ciado en 1900, pregunta si ab es tras-

cendente, siendo a algebraico diferente

de cero y de uno, y b irracional. El teo-

rema de Gelfond y Schneider lo resuel-

ve parcialmente, pero aún no se sabe

nada acerca de 2e, por ejemplo, ni si-

quiera si es irracional.

En 1956 Niven demostró que er es tras-

cendente para todo racional r. En 1996

Nesterenko demostró que eπ + π es

irracional. No se sabe si la suma π + e

y el cociente π/e son irracionales o tras-

cendentes. Tampoco se ha estableci-

do la irracionalidad de números como

, o de la constante de Euler,

γ, definida como

.

> Cálculo computacional de e

Hay varios métodos para calcular e, que

utilizan series, límites o fracciones con-

tinuadas. Otros más elaborados usan

productos infinitos o aproximaciones de

Pade [7].

> Series

Ya se presentó, con la serie de poten-

cias (3), una manera de calcular el nú-

mero e como lo pudo haber hecho Euler.

La misma serie y el límite (1) son la base

de las aproximaciones siguientes.

Resulta siempre importante estimar

cómo se comporta el error de las es-

Leonhard Euler. Nacido en Basilea en 1707, viviófuera de Suiza desde muy temprana edad. Trabajóprimero en la Academia de Berlín, contratado porFederico el Grande y, luego, por invitación deCatalina la Grande, fue presidente de la Academia deSan Petersburgo, hasta su muerte en 1783.


timaciones para poder comparar la rapidez con que con-

vergen a e. Por ejemplo, al aproximar el límite

con (1+1/105)105

, usando n = 105, el error

que se comete es

e - (1+1/105)105

.

¿Cuál sería un buen estimativo de este error? Tratare-

mos de encontrarlo a continuación.

Comenzamos con la serie de Mercator:

Ésta es válida para -1 < x ≤ 1. Reemplazando primero x

por 1/x y, multiplicando después por x, obtenemos:

(4).

Luego,

Como , se tiene que7

...

.

Por lo tanto,

.

El error buscado es:

.

Teniendo en cuenta que si x es grande 1/x es mucho

mayor que 1/xn para n ≥ 2, podemos decir que el error

es del orden de e/2x. Esto implica que al aproximar e

con x = 105, se comete un error del orden de

. En efecto,

,

mientras que e ≈ 2.7182818285, y la diferencia entre

estos dos números es aproximadamente 0.00001.

La aproximación se puede mejorar sustancialmente par-

tiendo de la fórmula (4), remplazando x por 2x. Con un

poco de álgebra tenemos:

Y al reemplazar x por –x:

Al sumar, usando las propiedades de los logaritmos,

se obtiene:

,

que, al cancelar el factor de dos, y siguiendo el mismo

proceso del ejemplo anterior, resulta en:

.

Esto significa que al aproximar , el error es

del orden de e /12x2. En otras palabras, al usar el mismo

.

55

x = 105 del ejemplo anterior, el error apenas será del orden

de e / 12 • 1010 ≈ 2 • 10-11. Basados en esta idea los autores

H. Brothers y J. Knox [1] presentan una excelente aproxi-

mación dada por:

,

cuyo error es del orden de .

> Fracciones continuadas

La técnica de fracciones continuadas se usa para aproxi-

mar números reales. Si el número es racional, la frac-

ción continuada es finita; si es irracional, no es finita.

Por ejemplo, la fracción 45/16 se escribe como 2+13/16,

es decir,

.

En cambio, si es 16/45 se escribe como ó

.

En general, un número P/Q se escribe como

,

con a0, a

1, a

2… enteros positivos, aunque el caso ne-

gativo también se puede tratar. La fracción continuada

se llama simple si los numeradores de todas las fraccio-

nes son uno. Esta fracción continuada simple se puede

escribir de manera abreviada como [a0; a

1, a

2, a

3, ...],

donde la parte entera es separada por un punto y coma

de la parte fraccionaria.

Euler descubrió que e se puede escribir como

.

Al ir sumando las fracciones:

se obtiene la sucesión:

Charles Hermite (Francia,1822-1901). Hizo importantescontribuciones al álgebra, la teoría de números y el análisis.


kque converge a e. Aun cuando Euler no mostró cómo la

obtuvo, por el simple hecho de que la fracción continua-

da no termina, quedaba demostrado que e es irracional.

Euler encontró otras fracciones continuadas relaciona-

das con el número e, como la siguiente:

.

En la forma abreviada, [a0; a

1, a

2, a

3, ...], esta fracción

se puede escribir como

,

donde se evidencia el patrón, puesto que a partir del 6,

los ai aumentan en cuatro unidades. Con esta notación

es fácil dar un algoritmo para encontrar la sucesión de

fracciones de una fracción continuada simple.

En general, si x es la fracción continuada simple repre-

sentada por [a0; a

1, a

2,... a

k, ...] y pk / qk es la k-ésima

fracción de la sucesión, los numeradores y denominado-

res de estas fracciones están relacionados como sigue:

y luego,

.

Se puede demostrar que en cualquier fracción continua-

da simple, si , la aproximación , con

un k dado, tiene un error del orden de [11]. Así, en el

ejemplo anterior, si utilizamos k = 7,

p7 = 8927353

q7 = 10391023

y el error será del orden de 1/q 2 ≈ 10-14

= 0.00000000000001. Lo que significa que

y

2.7182818284585140462108495,

donde se puede tener certeza de las primeras trece ci-

fras decimales. Con k = 1500 se tienen 10.000 cifras

decimales correctas y con k = 12000 se llega a 100.000

cifras. Aun cuando para utilizar este algoritmo en un com-

putador hay que ser cuidadoso en el manejo de un nú-

mero grande de cifras significativas, se ve que este

método de aproximación es muy eficiente.

Euler también experimentó aproximaciones con fraccio-

nes continuas generales como la siguiente, donde la re-

gularidad del patrón es asombrosa:

.

Con los computadores actuales se tiene una buena herra-

mienta para calcular las constantes famosas, y en internet

se encuentran muchas páginas con esta información. Va-

rios equipos de investigadores están calculando dígitos

de e, entre los cuales se destaca el de Shigeru Kondo, que

reportó en octubre de 2003 la cantidad de 50.100´000.000

dígitos calculados correctamente. El cálculo computacional

del número e y sus propiedades no tienen aplicación in-

mediata en la solución de problemas concretos. Sin em-

bargo, su estudio sigue avanzando y cada día hay nuevos

resultados interesantes desde el punto de vista teórico. Lo

que todos los matemáticos tienen por cierto es que por

más potentes que sean los computadores, nunca será po-

sible calcular todas las cifras decimales de e. Sin embar-

go, e existe como número real… en el mundo de las ideas.

57

> Referencias[1] H.J. Brothers y J.A. Knox. New Closed-Form Approximations to the Logarithmic

Constant e. The Mathematical Intelligencer 20(4) (1998).

[2] W. Rudin. Real and Complex Analysis, 2a ed., (McGraw-Hill,New York, 1974).

[3] J. Steward. Calculus Early Transcendentals, 4 a ed.,(Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1999).

[4] J.J. O’Connor y E.F. Robertson. The Number e.The MacTutor History of Mathematics Archive,http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html(septiembre 2001).

[5] J.J. O’Connor y E.F. Robertson eds.The MacTutor History of Mathematics Archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history (agosto 2005).

[6] R.D. Knott. Other numbers with patterns in their CFs.An Introduction to the Continued Fraction,http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#intro (Julio 2005).

[7] X. Gourdon y P. Sebah. The Constant e and its Computation.Numbers, constants and computation,http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html (diciembre, 2001).

[8] E.W. Weisstein. e Approximations. MathWorld—A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html (noviembre 2005).

[9] J. Napier. A Description of the Admirable Table of Logarithms (traducción deEdward Wright (1616) del originalMirifici logarithmorum canonis descriptio publicado en 1614)http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm (2002).

[10] E.W. Weisstein. Irrational Number.MathWorld—A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html (noviembre 2005).

[11] D.M. Burton. Elementary Number Theory, 5 a ed.,(McGraw-Hill, New York, 2002).

> Reseña del autorLuz Myriam [email protected]

Matemática de la Universidad de los Andes con doctorado de tercerciclo de la Universidad Pierre y Marie Curie, Paris VI. Profesor asociadodel Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes.Su área de especialización es el análisis numérico.


DEPARTAMENTODE CIENCIAS BIOLÓGICASBiología molecular marina.Bioquímica.Bioquímica de parásitos.Botánica y sistemática.Diagnóstico molecular y bioinformática.Ecología animal y primatología.Ecofisiología del comportamiento yherpetología.Fisiología vegetal.Fitopatología y micología médica.Genética humana.Genética de poblaciones.Microbiología y alimentos.Microbiología molecular ambiental.Parasitología tropical.Zoología y ecología acuática.

DEPARTAMENTO DE FÍSICAFísica de la materia condensada.Física de altas energías.Astrofísica.Mecánica cuántica y física de lainformación.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASÁlgebra, lógica, combinatoria ycomputación teóricaEcuaciones diferenciales, análisisfuncional y análisis numérico.Geometría diferencial y su aplicacióna la física teórica.Topología.Metodología de la enseñanza dematemáticas.Probabilidad, procesos estocásticos,estadística, optimización y control.

DEPARTAMENTO DE QUÍMICACiencias agroalimentarias,fitoquímica y aromas.Electroquímica y materiales poliméricos.Fluidos supercríticos.Hidrología y química del medio ambiente.Nuevos materiales.Procesos de oxidación avanzada.Química bio-orgánica.Química de la interfase inorgánica-orgánica.Reología de polímeros.Sólidos porosos y calorimetría.Termodinámica de soluciones.

> DecanaturaDurante los días 28, 29 y 30 de septiem-bre de 2005 se realizó el V Foro para laPresentación de Resultados de Proyec-tos Semilla. En esta ocasión dieciochoestudiantes de la facultad mostraron losresultados de sus investigaciones. El pre-mio al mejor trabajo correspondió a “Es-tandarización de la técnica RCP para ladiferenciación de Trypanosoma cruzi enlos grupos TC I y TC II, aislados a partirde vectores, reservorios y humanos dediferentes zonas de Colombia”, presen-tado por la estudiante doctoral ClaudiaHerrera Bernal del Departamento de Cien-cias Biológicas. El proyecto fue avaladopor el doctor Felipe Guhl.

En el marco de las conferencias divulga-tivas de la Facultad de Ciencias, se hanpresentado las siguientes charlas duranteel segundo semestre de 2005:

• ¿Por qué están muriendo los corales?Blanqueamiento coralino: Zooxantelas yestrategias de conservación. Conferencis-ta: Juan Armando Sánchez, Ph.D., profe-sor asistente del Departamento de CienciasBiológicas, 25 de agosto de 2005.

• Biominerales: cerámicas de la natura-leza viviente como modelo para la sínte-sis de nuevos materiales. Conferencista:Dr. rer. nat. Andreas Reiber, profesor asis-tente del Departamento de Química, 22de septiembre de 2005.

• Métodos y aplicaciones en optimizaciónno lineal. Conferencista: René Meziat, Ph.D.,profesor asistente del Departamento deMatemáticas, 3 de noviembre de 2005.

• La membrana celular: más allá de unasimple barrera. Conferencista: Chad Leidy,Ph.D., profesor asistente del Departamen-to de Física, 10 de noviembre de 2005.

> Facultad de Ciencias

> Actividades> Áreas de Investigación

• El origen de las moléculas de la vida.Conferencista: Alonso Ricardo, Ph.D.,profesor asistente del Departamento deQuímica, 17 de noviembre de 2005.

La Facultad de Ciencias participó en la IXExpociencia Expotecnología 2005 realiza-da en Corferias del 11 al 22 de octubre de2005. Los departamentos de ciencias bio-lógicas, física, matemáticas y química rea-lizaron diversas actividades y charlas dedivulgación científica dirigidas por profe-sores y alumnos de la facultad, así comopor conferencistas invitados.

Juan Manuel Pedraza, Ph.D., egresado delas carreras de física (1999) y de mate-máticas (2000) de la Universidad de losAndes, recibió del Instituto Tecnológico deMassachussets, MIT, el premio MartinDeutsch 2005 a la Excelencia en Física Ex-perimental, por sus estudios en la cons-trucción de cascadas de genes sintéticosy el desarrollo de modelos teóricos parapredecir las propiedades estocásticas deestos sistemas. Estos resultados, plasma-dos en su tesis doctoral en biofísica, fue-ron publicados en la revista Science(Pedraza y Van Oudenaarden, Science307, 1965 [2005]).

> Departamento de Ciencias BiológicasLa profesora Helena Groot de Restrepofue nombrada miembro numerario delconsejo directivo de la Universidad de losAndes el 8 de junio. Así mismo, la docto-ra Silvia Restrepo fue nombrada profeso-ra de planta para el área de micología, y ladoctora Adriana Bernal como profesorSilla Sanford.

Laboratorio de Genética HumanaEl premio XVI Grupo Sanofi Aventis-Aca-demia Nacional de Medicina al Mejor Pro-yecto de Investigación Médica, fueotorgado el 1 de noviembre al estudio“Determinación de la exposición a glifo-

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sato y otros plaguicidas y evaluación deldaño en el ADN en trabajadores de culti-vos de caña de azúcar en el Valle del Cau-ca” de Helena Groot, Marcela Varona,Rosa Isabel Patiño, Carlos Torres, del La-boratorio de Genética Humana.

Por otra parte, la directora del Laboratorio,Helena Groot de Restrepo, fue nombradapresidenta de la Asociación Latinoameri-cana de Mutagénesis, Carcinogénesis y Te-ratogénesis Ambiental, Alamcta, el 3 denoviembre en Mendoza, Argentina.

Cimpat: Centro de Investigaciones enMicrobiología y Parasitología TropicalEl doctor Álvaro Moncayo Medina, inves-tigador asociado, fue elegido MiembroHonorario Extranjero de la Academia Na-cional de Medicina del Brasil, en Río deJaneiro, el 3 de noviembre.

Adicionalmente, la junta directiva de laSociedad Colombiana de Entomología,Socolen, nominó a los premios ErnestoOsorno Mesa y Francisco Luis Gallego,versión 2006, tres trabajos del centro:“Morfometría geométrica de Rhodniusprolixus (Stal) capturados en dos comu-nidades de la Sierra Nevada de SantaMarta” por Germán Aguilera, Ludwin An-drés Cuervo, María Teresa Mojica, NéstorPinto y Felipe Guhl; “Estudio de la diná-mica poblacional de Triatoma maculata(Erichson) mediante la amplificación deADN ribosomal”, por Luwdin AndrésCuervo, María Teresa Mojica, GermánAguilera, Néstor Pinto, Carlos Jaramillo,y Felipe Guhl; y “Aplicación de la morfo-metría geométrica en el estudio de la di-námica poblacional de Triatoma maculata(Erichson)”, por María Teresa Mojica,Ludwin Andrés Cuervo, Germán Aguile-ra, Néstor Pinto y Felipe Guhl.

LDMB: Laboratorio de Diagnóstico Mo-lecular y Bioinformática.Darío Echeverri, Natalia Guzmán, LorenaBuitrago, Pilar Delgado, Félix Montes,Javier Maldonado, Juan Pablo Umaña yCarlos Jaramillo recibieron el 1 de no-viembre una mención honorífica por eltrabajo: “La presencia de Chlamydiapneumoniae es altamente frecuente enenfermedades de aorta ascendente: ¿po-dría tener implicaciones patológicas?”,presentado al concurso para el premioXVI Grupo Sanofi Aventis-Academia Na-cional de Medicina a la InvestigaciónMédica en el Área de Ciencias Básicas yExperimentales.

> Departamento de MatemáticasEn junio, julio y agosto de 2005 el De-partamento de Matemáticas participó ac-tivamente en la organización y ejecuciónde la Escuela de Verano en Villa de Leyva,la Escuela de Investigación de Operacio-nes, el III Encuentro de Teoría de Mode-los y el XV Congreso Nacional deMatemáticas, realizado en Bogotá.

En la clausura del congreso, el profesorXavier Caicedo recibió el Premio Nacionalde Matemáticas, otorgado por la SociedadColombiana de Matemáticas. El doctorCaicedo también fue nombrado profesoremérito de la Universidad de los Andes.

Por otra parte, el profesor Andrei Ginia-toulline publicó el libro An Introduction toSpectral Theory. El profesor Luis Fernán-dez participó con charlas en el Coloquiode Matemáticas de la Universidad deLeeds y en el 57th British MathematicalColloquium de la Universidad de Liverpool.Por lo demás, la planta profesoral del de-partamento se vio fortalecida con el nom-bramiento de los doctores Eric Backeliny Alexander Cardona.

Entre los estudiantes, se otorgó la dis-tinción de Tesis Laureada de Maestría ala disertación “Modelamiento estocásti-co de la pérdida de secuencias teloméri-

cas“, de Ricardo Restrepo, dirigida porel profesor Viswanathan Arunachalam.Por otra parte, Edgar Rincón, Juan Igna-cio Restrepo y Juan Manuel Hernándezfueron seleccionados para representar aColombia y a la Universidad de los An-des en la XII Competencia Internacionalde Matemáticas para Estudiantes Univer-sitarios, la cual se realizó en Blagoevgrad(Bulgaria) del 22 al 28 de julio de 2005.Edgar Rincón obtuvo una medalla de oro.

> Departamento de FísicaEl profesor titular Bernardo Gómez More-no, director del Departamento de Física,recibió el premio Sociedad Colombiana deFísica que otorgó esa institución, en elmarco de la celebración de los cincuentaaños de la Sociedad y del XXI CongresoNacional de Física, que se realizó enBarranquilla del 24 al 28 de octubre delpresente año.

En el último semestre fueron nombradosprofesores de planta los doctores ChadLeidy y Andrés Fernando Reyes Lega.

> Departamento de QuímicaEl Departamento de Química inicia la ca-rrera de química a partir del primer se-mestre de 2006 al admitir a veintisieteestudiantes. La carrera de Química fueaprobada mediante Resolución 3303 del6 de octubre de 2004, con el registro ca-lificado por el término de siete años.

El Departamento de Química cuenta conconvenios y la colaboración de prestigio-sas universidades internacionales y delpaís, como son la Universidad de Alican-te, la Universidad de Mainz, la Universi-dad de Brown, la Escuela PolitécnicaFederal de Lausana y la Universidad Na-cional de Colombia. Adicionalmente,ofrece una beca completa a sus mejoresegresados para cursar estudios doctora-les en el Laboratorio de Materiales Avan-zados de la Universidad de Alicante. Enel último semestre fue nombrado profe-sor de planta el doctor Alonso Ricardo.

IX Expociencia Expotecnología 2005

GRADUANDO TESIS DIRECTOR TÍTULO

María de la Merced Torres Carvajal La variabilidad genética, una herramienta útil en el estudio de poblaciones humanas Helena Groot, M.Sc. Doctora en Ciencias Biología

Tesis laureada

Carlos Francisco Arias Mejía Evidencias moleculares de especiación en Helyconius erato (H. erato chestertonii y H.erato venus)

Mauricio Linares, Ph.D. Magíster en Ciencias Biológicas Área Biología

María Carolina Carrero CamargoPCR en tiempo real como herramienta de verificación de la

presencia de Salmonella en un sistema HACCP implementado en cárnicos

Consuelo Vanegas, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas Área Microbiología

Juliana Chacón Pinilla Patrones filogenéticos en el género Manihot: biogeografía y ecología comparada de las especies mesoamericanas y suramericanas Santiago Madriñán, Ph.D. Magíster en Ciencias Biológicas

Área Biología

Yira Rosalba Díaz Toro Determinación de los factores de transcripción T-bet y GATA-3 en pacientes con leishmaniasis cutánea americana

Nancy Gore Saravia, Ph.D. Directora Científica CIDEIM

Adriana Marcela Higuera Gelves Diagnóstico de Trypanosoma cruzi en muestras de sangre y suero por métodos serológicos y moleculares Felipe Guhl, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas

Área Microbiología

Diana Carolina López Farfán Estudio de la variabilidad genética y estructura poblacional de Rhodnius prolixus en diferentes regiones geográficas de Colombia Felipe Guhl, M.Sc.

Magíster en Ciencias Biológicas Área Microbiología

Tesis laureada

Leyder Elena Lozano Calderón

Estudio biológico y molecular de tres cepas de Trypanosoma rangeli Tejeira, 1920; Tdr P19 perteneciente a la subpoblación Kp1

(+) y Trs P53 y Gal 57 pertenecientes a la subpoblación Kp1(-) en el hospedero vertebrado e invertebrado

Gustavo Vallejo, Ph.D. Director Laboratorio de Parasitología,

Universidad del Tolima.

Carolina Eugenia Pardo Buitrago Determinación del nivel de mestizaje en dos poblaciones del nororiente colombiano María de la Merced Torres, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas

Área Biología

Alejandro Reyes MuñozEfecto de la hipertermia en la expresión diferencial de genes del

Penaeus vannamei infectado con el virus del Síndrome de la Mancha Blanca (WSSV)

Clarisssa Granja, Ph.D. Investigador Principal de Corpogen.

Karol Dayana Rojas GuerraAmplificación de los oncogenes ErbB-1 y ErbB-2 en cáncer de seno, su asociación con variables clínicas y evidencias de heterogeneidad

intratumoral mediante hibridación in situ Helena Groot, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas

Área Biología

Catalina Salgado SalazarHongos endófitos en Rosa hybrida: aislamiento, identificación y evaluación de la capacidad antagonista in vitro contra hongos

fitopatógenos María Caridad Cepero, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas

Área Biología

Adriana Sánchez Andrade Filogenética molecular de los Espeletiinae , una radiación adaptativa andina

Jason Rauscher, Ph.D. Profesor Asistente Universidad de Puerto Rico-

Rio Piedras

Brenda Carolina Turriago Gómez

Factores asociados a la presencia de Triatoma dimidiata en viviendas infestadas; evaluación de (k-othrine WP 50 ®)

como una alternativa en el control en una región endémica de Boyacá - Colombia

Felipe Guhl, M.Sc. Magíster en Ciencias Biológicas Área Microbiología

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BIOLÓGICAS

Graduandos de maestría y doctorado


segundo semestre de 2005

> Pág. 30. Glifosato: ¿Riesgo humano?

Apuntes científicos uniandinos

I S S N 1 6 9 2 - 7 2 9 X > N o . 0 6 > D I C I E M B R E D E 2 0 0 5 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U L T A D D E C I E N C I A S

> Pág. 12. Análisis geoestadísticos para mejorar el aprovechamientode aguas subterráneas > Pág. 22. Los Procesos de oxidaciónavanzada > Pág. 30. Glifosato: ¿Riesgo humano?> Pág. 38. Vacunas de ADN > Pág. 46. El número e


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hipÓtesis 6

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