Los circuitos de corriente directaEstudiaremos el comportamiento de los circuitoseléctricos, que incluyen elementos como resistoresindividuales, baterías o alambres. Estudiaremos cir-cuitos de corriente directa (CD), donde la direcciónde la corriente no cambia con el tiempo.

La fuerza electromotrizPara que las cargas se muevan a través de un circui-to, se requiere de una fuente externa de energía, quemantenga la diferencia de potencial entre dos puntosdel circuito.

Figura 1:

A cualquier dispositivo que haga esta tarea se lellama fuente de fuerza electromotriz, o fem, E . La fi-gura 1, muestra una fuente de fuerza electromotriz,E , que puede ser una batería, y qu emantiene una di-

ferencia de potencial entre sus extremos; ésta puedehacer trabajo sobre los portadores de carga.

Cuando se ha establecido una corriente estable enel circuito, una carga dq pasa a través de cualquierparte en un tiempo dt. El trabajo W desarrollado porla batería sobre las cargas permite definir a la femcomo

E =dWdq

. (1)

cuya unidad de medida es el volt.

El cálculo de la corriente a través deuna sola mallaConsidere un circuito como el de la figura 1 supo-niendo que el dispositivo es un resistor de resisitenciaR. En un tiempo dt en el resistor aparece una ener-gía interna i2Rdt, en ese mismo tiempo, dentro de labatería se mueve una carga dq(= idt), y el trabajodesarrollado por la batería es

dW = E dq = E idt.

Del principio de conservación de la energía, el tra-bajo hecho por la fuente de fem debe ser igual a la

1

energía interna en el resistor, o

E idt = i2E dt.

Resolviendo para i, se obtiene

i = E /R. (2)

El potencial eléctrico en un punto debe ser cons-tante en todo momento, por lo que,

La suma algebraica de los cambios en el poten-cial que se encuentren en un recorrido completo delcircuito es cero.que se conoce como la segunda regla de Kischhoff, ola relgal de las mallas. Así, si Va es el potencial en elpunto a, entonces

Va − iR+E =Va.

De donde−iR+E = 0,

que es independiente del valor de Va.

La resistencia interna de una fuente de femLa figura 2 muestra un circuito de una sola malla, queenfatiza el hecho de que una fuente de fem tiene unaresistencia interna r intrínseca.

Figura 2:

Usando al regla de las mallas

Vb +E − ir− iR =Vb

oE − ir− iR = 0

En la figura 3 se muestran gráficamente los cambiosen el potencial.

Y, del resultado anterior

i =E

R+ r. (3)

Nótese que la resistencia interna reduce la corrientea través del circuito.

Las diferencias de potencialFrecuentemente se necesita conocer la diferencia de

2

Figura 3:

potencial entre dos puntos de un circuito. En la figu-ra 2, ¿de qué modo depende Vab(=Va −Vb) entre lospuntos a y b de E ,r y R? Usando la regla de las ma-llas se tiene que si Va y Vb son los potenciales en lospuntos a y b, respectivamente, entonces

Vb + iR =Va

así queVab =Va −Vb = iR,

y combinando este resultado con la ecuación (3) seobtiene

Vab = ER

R+ r. (4)

La diferencia de potencial es independiente de la tra-yectoria que se siga en el circuito para recorrerlo dea a b.

Y si se sigue la trayectoria alterna para ir de a a bse obtiene

Va + ir−E =Vb

oVab =Va −Vb = E − ir.

La combinación de este resultado con la ecuación (3)se obtiene la (4). Ejercicio 1. ¿Cuál es la corrienteen el circuito de la figura 4? Las fem y los ressitorestienen los valores siguientes

E1 = 2.1V, E2 = 4.4V,

r1 = 1.8 Ω, r2 = 2.3 Ω,R = 5.5 Ω.

Usando la regla de las mallas se tiene que

i =E2 −E1

R+ r1 + r2= 0.24 A.

Ejercicio 2. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencialentre los puntos a y b en la figura 4? ¿Cuál es la dife-rencia de potencial entre los puntos a y c en la figura4?

3

Figura 4:

(a) Nuevamente, usando la regla de las mallas setiene que

Va −Vb =−ir2 +E2 =+3.8 V.

(b) De modo semejante,

Va −Vc =−ir1 +E1 =+2.5 V.

Los resistores en serie y en paralelo

También se pueden hacer combinaciones en seriey en paralelo con los resistores, lo que da lugar auna resistencia equivalente, Req, que no altera elfuncionamiento del circuito.

Los resistores conectados en paraleloPara ir de un extremo a a b en la combinación de la

figura 5, se debe pasar a través de un sólo elemento(resistor) a la vez. La diferencia de potencial, V, a tra-vés de cada resistor es la misma que la de una bateríaconectada a sus extremos y el flujo de las cargas sereparte entre los dos resistores.

Figura 5:

La figura 5 muestra a dos resistores conectados enparalelo. Se determinará la resistencia equivalente. Sise conecta una batería con diferencia de potencial V ,la misma diferencia de potencial se establecerá a tra-vés de ambos resistores, entonces de la ecuación (29se tiene que

i1 =V/R1 and i2 =V/R2. (5)

ya que la carga total que pasa a través de a tambiénpasa a través de b, entonces

i = i1 + i2. (6)

4

Si la combinación en paralelo se reemplaza por unresistor con resistencia equivalente Req, debe pasar lamisma corriente a través del circuito, por lo que

i =V/Req. (7)

Sustituyendo las ecuaciones (5) y (7) en la (6) se ob-tiene

VReq

=VR1

+VR2

(8)

o1

Req=

1R1

+1

R2(9)

Si se tuvieran n resistores conectados en paralelo,entonces

1Req

=n

∑i=1

1Ri

(10)

En el caso especial de tener dos resistores conec-tados en paralelo se tiene que

Req =R1R2

R1 +R2(11)

Los resistores conectados en serieLa figura 6 muestra a dos resistores conectados enserie.

Figura 6:

Esta combinación se caracteriza por la sucesión selos resistores, uno a continuación de otro. Para pasardel extremo a al b necesariamente se pasa a través detodos y cada uno de los resistores en los cuales hayuna caída en el potencial correspondiente.

Si se aplica un adiferencia de potencial a los extre-mos a y b en la figura 6, se establece una corriente ia través de la combinación. Las diferencias de poten-cial correspondientes son

V1 = iR1 y V2 = iR2. (12)

La suma de estas diferencias de potencial debe serigual a la diferencia de potencial mantenida por labatería:

V =V1 +V2. (13)

Luego, reemplazando la combinacion por la resis-tencia equivalente, Req y considerando la conserva-cion de la carga (corriente constante):

iReq = iR1 + iR2,

5

oReq = R1 +R2. (14)

Extendiendo esta ecuación a cualquier número de re-sistores conectados en serie

Req = ∑n

Rn. (15)

Ejercicio 3. (a) Encuentre ka resistencia equiva-lente de la combinacion que se muestra en la figu-ra 7a, usando los valores R1 =4.6 Ω, R2 =3.5Ω yR3 =2.8Ω. (b) ¿Cuál es el valor de la corriente a tra-vés de R1 cuando se conecta una batería de 12.0 V alos extremos a y b?

Figura 7:

(a) Se determina la resistencia equivalente R12 dela combinación en paralelo de R1 y R2. Usando la

ecuación (10) se obtiene

R12 =R1R2

R1 +R2=

(4.6)Ω (3.5)Ω4,6Ω+3,5Ω

= 2.0 Ω.

ahora, R12 y R3 están combinadas en serie (figura 7by, usando la ecuacion (14) se encuentra la resistenciaequivalente R123:

R123 = R12 +R3 = 2.0 Ω+2.8 Ω = 4.8 Ω.

(b) Al conectar la batería a los extremos a y b enla figura 7c

i =V

R123=

12.0 V4.8 Ω

= 2.5 A.

Así, la diferencia de potencial a través R12 en la figura7b es

V12 = iR12 = (2.5 A)(2.0 Ω) = 5.0 V.

Los circuitos multimallasLa figura 8 muestra un circuito multimallas. Se ca-racteriza porque tiene nodos como los indicados porb y d, y ramas. En la figura se 8 tienen tres ramaso trayectorias que conectan a los nodos b y d, la ra-ma de la izquierda bad, la de la derecha bcd y la delcentro, bd.

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Figura 8:

El objetivo principal es determinar las corrientes através de las ramas que, a priori, se eligen con direc-ciones arbitrarias pero coherentes.

En el nodo d se tiene

i1 + i3 = i2. (16)

Que sugiere un principio general para la soluciónde circuitos multimalla:

En cualquier nodo la suma de las corrientes queabandonan al nodo es igual a la suma de las corrien-tes que entran al mismo.

A ésta se le conoce como la primera regla deKirchhoff, que establece simplemente la conserva-ción de la carga.

Partiendo y terminando un recorrido en el punto bse tiene

E1 − i1R1 + i3R3 = 0. (17)

y por otro lado

−i3R3 − i2R2 −E2 = 0. (18)

Así, resolviendo el sistema se tiene

i1 =E1(R2 +R3)−E2R3

R1R2 +R1R3 +R2R3, (19)

i2 =E1R3 −E2(R1 +R3)

R1R2 +R1R3 +R2R3, (20)

i3 =−E1R2 −E2R1

R1R2 +R1R3 +R2R3, (21)

Ejercicio 4. La figura 9 muestra un circuito cuyoselementos tienen los siguientes valores

E1 = 2.1 V, E2 = 6.3 V,

R1 = 1.7 Ω, R2 = 3.5 Ω.

Encuentre las corrientes en als tres ramas del circuito.

En el nodo ai1 + i2 = i3. (22)

7

Figura 9:

Si partimos desde el punto a, se obtiene

−i1R1 −E1 − i1R1 +E2 + i2R2 = 0

o2i1R1 − i2R2 = E2 −E1. (23)

Y, haciendo el recorrido en direccion opuesta

+i3R1 −E2 + i3R1 +E2 + i2R2 = 0

oi2R2 +2i3R1 = 0. (24)

Así que: i1 = 0.82 A, i2 =−0.40 A y i3 = 0.42 A.

Ejercicio 5. ¿Cuál es la diferencia de potencial en-tre los puntos a y b del circuito de la figura 9? Si sehace el recorrido desde a hasta b en la figura 9

Va − i2R2 −E2 =Vb,

o

Va −Vb = 6.3 V+(−0.40 A)(3.5 Ω) = +4.9 V.

Los instrumentos de mediciónCon los métodos ya estudiados es posible analizarvarios instrumentos para mediciones eléctricas.

El amperímetroEl amperímetro es el instrumento que se usa para me-dir la corriente eléctrica. Para hacer este tipo de me-diciones se requiere de cortar el alambre a través delcual se hará la medición, de modo que allí se inser-ta el amperímetro para que la corriente pase a travésde él, formando parte del circuito. La resistencia, RA,del amperímetro debe ser muy pequeña (idealmentecero) comparada con las resistencias del circuito, verla figura 10, es decir

RA r+R1 +R2.

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Figura 10:

Un amperímetro también puede usarse para mediruna resistencia desconocida.

El voltímetroEl voltímetro es el instrumento que se usa para medirla diferencia de potencial entre dos puntos de un cir-cuito. Para encontrar la diferencia de potencial entrecualesquiera dos puntos en el circuito, las termina-les del voltímetro se conectan directamente a dichospuntos, sin romper el circuito, ver la figura 10.

La resistencia, RV , de un voltímetro debe ser muygrande (idealmente infinita) comparada con cual-quier elemento del cricuito a través del cual se co-

necta. En la figura 11

RV R1.

El potenciómetroEl potenciómetro es el instrumento que se usa paramedir Ex desconocida, al comparala con una Es pa-trón conocida. La figura 11 muestra sus elementosbásicos. El resistor que va de a a e es de precisióny tiene un contacto móvil deslizable. En la figura, laresistencia R es la resistencia entre los puntos a y d.

Figura 11:

Cuando se usa el instrumento, primero se coloca Es

en la posicion de E y el contacto deslizante se ajustahasta que la corriente en el amperímetro sea cero. En-tonces se dice que el potenciómetro está balanceado,

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el valor de R en el balance es Rs. En esta condición debalance se tiene, considerando la trayectoria abcda,

Es = i0Rs. (25)

Debido a que i = 0 en la rama abcd, la resistenciainterna, r, de la fuente de fem no entra en juego.

A continuación se repite el proceso con Ex susti-tuida por Es, y el potenciómetro se balancea de nue-vo. La corriente i0 permanece sin alteraciones (por-que i = 0) y la nueva condicion de balanceo es

Ex = i0Rx. (26)

De las ecuaciones (25) y (26) se tiene que

Ex = E RxRs. (27)

Entonces la fem desconocida se detemina entérminos de la fem conocida.

Los circuitos RCLa inserción de un capacitor en un circuito con resis-tores hace que la corriente a través del circuito cam-bie con el tiempo.

Suponga que se carga al capacitor de la figura 12al pasar el interruptor S a la posición a. Aplicando el

Figura 12:

principio de conservación de la energía se determina-rá la corriente que circula a través del circuito.

En el tiempo dt se mueve una carga dq(= i dt) através del circuito. El trabajo (= E dq) desarrolla-do por la fuente de fem debe ser igual a la energía(= i2R dt)interna producida en el resistor durante eltiempo dt, más el incremento, dU , en la cantidad deenergía U (= q2/2C) almacenada en el capacitor, porlo que

E dq = i2R dt +d(

q2

2C

)o

E dq = i2R dt +qC

dq.

10

Dividiendo por dt se tiene

Edqdt

= i2R+qC

dqdt

.

Ya que i = dq/dt, entonces

E = iR+qC. (28)

La ecuacion (28) también se puede obtener usandoel teorema de las mallas.

Para resolver (28) se reemplaza a i por dq/dt, queresulta en

E = Rdqdt

+qC. (29)

Que se puede reescribir como

dqq−EC

=− dtRC

. (30)

Integrando en el caso de que inicialmente q= 0 cuan-do t = 0, se obtiene

q(t) =CE (1− e−t/RC). (31)

Se puede verificar que q(t) es, en efecto, una solu-ción de (29). Derivando (31) con respecto al tiempose tiene

i =dqdt

=E

Re−t/RC. (32)

Sustituyendo q (Ec. (31)) y dq/dt (Ec. (32)) en (29)se obtiene una identidad.

La cantidad RC en las ecuaciones (31) y(32) tienedimensiones de tiempo y se llama constante de tiem-po capacitiva, τC del circuito:

τC = RC. (33)

y es el tiempo en el que la carga del capacitor se haincrementado en un factor de 1− e−1(≈63%) de sucarga final CE .

Ejercicio 6. Un resistor R (=6.2 MΩ) y un capaci-tor C (=2.4 µF) están conectados en serie con una ba-tería de 12 V con resistencia desperciable. (a) ¿Cuáles la constante de tiempo capacitiva de este circuito?(b) ¿Cuánto tiempo transcurre, después de que se co-necta la batería, para que la diferencia de potencial através del capacitor sea de 5.6 V?

(a) De (33)

τC = RC = (6.2×106Ω)(2.4×10−6F) = 15s.

(b) De acurdo con (31)

VC =qC

= E (1− e−t/RC).

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Resolviendo para t se obtiene

t =−τC ln(

1− VC

E

)

t =−15 s ln(

1− 5.6 V12 V

)= 9.4 s.

La descarga del capacitorSuponga que en la figura 12, el interruptor S se man-tuvo por un tiempo mucho mayor que RC en la posi-ción a, para que el capacitor quedara completamentecargado. Ahora el interruptor S se lleva a la posiciónb, por lo que E = 0 en esta nueva malla, así que

iR+qC

= 0. (34)

Reemplazando i por dq/dt se obtiene

Rdqdt

+qC

= 0. (35)

La solución es

q(t) = q0e−t/RC, (36)

con q0 = EC, a partir del capacitor completamentecargado. Después de transcurrir un tiempo t = τC lacarga en el capacitor se reduce a q0e−1, que es apro-ximadamente el 37% de la carga inicial q0.

Derivando respecto al tiempo se tiene

i =dqdt

=− q0

RCe−t/τC . (37)

El signo negativo indica que la corriente tiene la di-rección opuesta a la indicada en la figura 12, ya que elcapacitor se está descargando. Ya que q0 = EC, (37)se puede escribir como

i =−E

Re−t/τC . (38)

Ejercicio 7. Un capacitor C se descarga a travésd eun resistor R. (a) ¿Después de cuántas constantesde tiempo su carga es la mitad de la carga inicial? (b¿Después de cuántas constantes de tiempo la energíaalmacenada es la mitad de su valor inicial?

(a) La carga en el capacitor cambia de acuerdo conla ecuacion (36),

q(t) = q0e−t/τC

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donde q0 es la carga incial. Ahora buscamos el tiem-po que debe transcurir para que se cumpla que q =12 q0, o

12

q0 = q0e−t/τC

Cancelando q0 y aplicando el logaritmo natural enambos lados de la ecuación anterior, se ecuentra que

−ln(2) =− tτC

ot = (ln(2))τC = 0.69τC.

La carga es la mitad de su valor inicial después de0.69 veces la constante de tiempo.

(b) La energía asociada al capacitor es

U =q2

2C=

q20

2Ce−2t/τC =U0e−2t/τC ,

donde U0 es la energía inicialmente almacenada. Entiempo en el cual U = 1

2U0 se encuentra a partir de

12

U0 =U0e−2t/τC ,

Cancelando U0 y aplicando el logaritmo natural a ca-da lado, se obtiene

−ln(2) =−2t/τC

o

t = τCln(2)

2= 0.35τC.

La energía almacenada es la mitad de su valor inicialdespués de que ha transcurrido 0.35 veces la cons-tante de tiempo. Esto es cierto sin importar cual es laenergía inicial almacenada. El tiempo (0.69τC) nece-sario para que la carga sea la mitad de su valor iniciales más grande que el tiempo (0.35τC) necesario paraque la energía sea la mitad de su valor inicial, ¿porqué?

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