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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, página 2
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García e Inés
Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel
Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,
Luis Rico y Xavier Vilella.
Portada. Fotografía premiada en el concurso Fotografía y Matemáticas.
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Alfredo Monereo Muñoz
(Secretario General), Guacimara Pérez Cartaya (Tesorera), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de actas),
Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), José Felipe
Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán (Tenerife), Carmen Sonia Fernández Valdivia
(Lanzarote), Purificación Jurado Antúnez (El Hierro).
NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 3-4
Índice
Editorial 5
Artículos
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en
Secundaria: los efectos de una intervención didáctica basada en estrategias de
comprensión textual. 7
R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de
secuencias didácticas. 29
S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con
Geogebra 45
O. J. Falcón Ganfornina
¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cincos tesis sobre la
dificultad que la Matemática opone a los estudiantes. 55
O. Malet
Secciones
Experiencias de aula
Matemáticas en el Proyecto CLIL 69
R. Almeida García
Mundo Geogebra
Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores
con GeoGebra 79
I. V. Sánchez N., J. L. Prieto G.
Problemas
Siguen los problemas pero resolvemos algunos. (Problemas Comentados
XLVII) 103
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Índice (continuación)
4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 96 noviembre de 2017
5
Juegos
Dominós orientales y otras variantes didácticas 119
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Leer Matemáticas
La engañosa sencillez de los triángulos. Manuel de León y Ágata A. Timón 135
Reseña: María Elena Segade Pampín
Informaciones 139
Normas para los autores 143
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 5-6
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Sergio Darias, Coordinador de la Sección Experiencias de Aula de NNúúmmeerrooss
Los profesores de matemáticas, como en el resto de disciplinas, estamos solos en el
aula, nuestro alumnado y nosotros. Desde que comienza nuestra carrera profesional hasta el
momento de la jubilación no existe una retroalimentación síncrona y directa que nos indique
que lo que hacemos está bien o mal.
¿Está bien lo que hacemos?
En los últimos años, ha aparecido la figura de la pareja pedagógica que ayuda a que
exista este intercambio real entre colegas, pero se produce lamentablemente de forma aislada.
¿Estamos tan seguros de lo que debemos hacer que no nos hace falta la interacción con los
compañeros/as?
Hace algunos años formamos el Club de la silla vacía. Sus miembros se comprometen a
dejar la puerta del aula abierta y una silla vacía, invitando así a compañeros y compañeras.
http://cort.as/--HHG (Club de la silla vacía)
Por otro lado, y en la línea de conocer lo que hace el resto de docentes, los encuentros,
seminarios y jornadas de nuestra Sociedad (SCPM Isaac Newton) fomentan de alguna manera
este flujo de experiencias que son más que necesarias para enriquecer nuestra labor.
La sección de Experiencias de aula de la revista Números que he tenido el honor de
coordinar durante los últimos tres años, con el apoyo incondicional de mi director Israel
García, ha pretendido ser una ventana al aula de los y las profesoras de matemáticas que no
solo siguen buscando nuevas aproximaciones al alumnado sino que además, en un acto de
generosidad, lo comparten en esta revista con lectores de toda Hispanoamérica.
Desde el convencimiento de que compartir y abrir la puerta del aula es crecer, les animo
a seguir participando en nuestra revista.
Editorial S. Darias
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En este número de Números.
El presente volumen contiene una variada oferta de ideas para desarrollar en el aula en forma de
innovación educativa, partiendo de la investigación relacionada con la mejora de la enseñanza y el
aprendizaje de nuestros estudiantes:
Iglecias, Hernández y Slisko abren este volumen con la resolución de problemas trigonométricos y su relación con la comprensión verbal de estos problemas. Se presentan diferentes
estrategias para desarrollar en el aula que favorezcan un nivel de aprendizaje adecuado a su nivel de
formación.
Baccelli, Aznar, Distéfano, Figueroa y Moler presentan un taller para docentes denominado “diseño de secuencias didácticas de matemática en el contexto de la ecuaciones”. Y el objetivo del
taller es buscar la mejora del proceso de enseñanza partiendo del análisis, diseño y valoración de la
práctica docente.
A continuación, Falcón nos ofrece un trabajo con diversas Applets de GeoGebra con los que
trabajar diferentes contenidos matemáticos. Propondrá razonamientos guiados y actividades resueltas.
Cerramos esta parte de artículos con Malet, en el que nos ofrece un esquema-resumen que nos trata de explicar las cinco tesis sobre la dificultad que la Matemática ofrece a los estudiantes. Una vez
conocidas podemos actuar sobre ellas para mejorar este proceso.
También contamos con nuestras secciones fijas:
Experiencias de aula nos propone “Matemáticas en el Proyecto CLIL”. Son muchos los centros
que se embarcan en este proyecto de innovación, y no pocos los profesores que se ven que deben
realizar una enseñanza en lengua inglesa de las Matemáticas. Almeida nos ofrece algunas estrategias y
enlaces que, desde la experiencias, entiende que puede ayudar en el desarrollo de este proyecto.
Mediante Geogebra se elabora un mecanismo perteneciente a una máquina de vapor por parte de
un estudiante de secundaria, un estudiante para profesor y un profesor en ejercicio. Interesante trabajo
que le animamos a que lo lea.
Seguidamente contamos con los desafíos propuestos en las secciones de Problemas y Juegos,
para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.
Esperamos disfruten este nuevo volumen.
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ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 7-28
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en
secundaria: Los efectos de una intervención didáctica basada en estrategias
de comprensión textual
Reynaldo Iglecias Antonio, Lidia Aurora Hernández Rebollar, Josip Slisko Ignjatov
(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México)
Fecha de recepción: 13 de marzo de 2017
Fecha de aceptación: 24 de septiembre de 2017
Resumen En este trabajo mostramos los resultados de una intervención didáctica diseñada para
favorecer la comprensión de problemas verbales de trigonometría, a través de la
construcción de un modelo situacional congruente con el texto de algunos problemas
seleccionados. La intervención se implementó con estudiantes de tercer grado de
secundaria de una escuela pública y consistió de tres sesiones. Para el diseño didáctico,
se usaron estrategias de Polya (1965), van Dijk y Kintsch (1983) y Elosúa y García
(1993). Los resultados obtenidos muestran que, después de realizar la intervención, la
mayoría de estos estudiantes lograron construir un modelo de la situación congruente.
Palabras clave Comprensión de problemas de trigonometría, estrategia, modelo situacional, texto base.
Title The construction of the situational model of mathematics problems in secondary
school: the effects of a didactic intervention based on strategies of textual
comprehension.
Abstract In this work, we show the results of a didactic intervention designed to improve
understanding of trigonometry word problems through an improvement in the
construction of a situation model congruent with the text of the problem. The three-
session intervention was implemented with third-grade students of a public junior high
school. For didactic design, strategies of Polya (1965), van Dijk and Kintsch (1983) and
Elosúa and García (1993) were used. The results show that, after intervention
implementation, most of these students were able to build a congruent model of the
situation.
Keywords Comprehension of trigonometry problems, strategy, situational model, base text.
1. Introducción
Desde hace mucho tiempo, se ha reportado que la comprensión textual es una dificultad
importante que el estudiante enfrenta antes de llegar a la solución correcta de un problema verbal de matemáticas. La comprensión de textos va más allá de ser una tarea lingüística de decodificación de
signos escritos (Ferro y Eduardo, 2007) y, en el caso de enunciados matemáticos, esta tarea se complica
aún más. El uso de estrategias de comprensión hace que los lectores sean autónomos, además de ser
capaces de enfrentarse a distintos tipos de textos (Solé, 1992).
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
8 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
En la resolución de problemas verbales de matemáticas los estudiantes se enfrentan a la tarea de
comprensión textual, previa a la matematización y a la aplicación de algún algoritmo. Prediger y Krägeloh (2015) han presentado una revisión amplia de investigaciones sobre dificultades estudiantiles
con problemas matemáticos y diferentes estrategias didácticas de andamiaje diseñadas para ayudarles a
superarlas.
El modelo situacional de un texto es una construcción mental necesaria para la comprensión del mismo. En investigaciones previas se ha constatado que, en la resolución de problemas de matemáticas,
la construcción de un modelo situacional, congruente con la situación planteada, es una tarea necesaria
pero compleja para el estudiante (Juárez, Ignjatov, Hernández y Monroy, 2015).
En este trabajo se estudian los modelos situacionales que construyeron estudiantes de secundaria,
antes, durante y después de la implementación de algunas estrategias de comprensión textual para la resolución de unos problemas de trigonometría seleccionados. Se presenta tanto un análisis del
desempeño grupal, como los logros de algunos estudiantes particulares.
Para el análisis de los modelos situacionales, se observaron los dibujos que los estudiantes
realizaron inmediatamente después de leer el enunciado de un problema verbal de matemáticas
previamente seleccionado.
Los dibujos que realizaron los estudiantes, antes de la implementación de las estrategias de comprensión (sesión de diagnóstico), dejaron ver que la mayoría de ellos intentó resolver el problema
planteado sin comprender la situación del mismo. Lo anterior impidió que dichos estudiantes obtuvieran
la solución correcta. En la sesión de evaluación, después de haber trabajado con ellos las estrategias de comprensión textual, los resultados mostraron una mejora en aquellos alumnos que no pudieron
construir un dibujo congruente en la sesión de diagnóstico. Estos estudiantes también se desempeñaron
mejor en la resolución del problema.
2. Marco conceptual
Los problemas verbales de matemáticas presentan una doble dificultad, la comprensión textual y
la modelación. Polya (1965) planteó una estrategia general para la resolución problemas matemáticos,
la cual resume en cuatro pasos: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar
la solución obtenida.
En este trabajo se consideró como prioridad el primer paso, “comprender el problema”, dado que
nos concentramos en los problemas verbales de matemáticas. Polya (1965) menciona que “es tonto el
contestar a una pregunta que no se comprende. Es deplorable trabajar para un fin que no se desea”
(p.28). Él sostiene que el enunciado del problema debe ser comprendido, a pesar del nivel de dificultad o la falta de interés. Indica que la forma de verificar si el alumno ha comprendido el problema es que él
repita el enunciado sin titubeos, que separe las principales partes del problema, como la incógnita, los
datos y la condición.
En la resolución de un problema, este investigador recomienda que las partes principales deben ser consideradas atentamente por el alumno, varias veces y bajo diversos ángulos. En el caso que haya
alguna figura relacionada con el problema, el alumno debe dibujar la figura y destacar en ella la incógnita
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
y los datos. Luego, es necesario dar nombres a dichos elementos, introducir una notación adecuada,
poniendo cuidado en la elección apropiada de los signos.
La etapa de nuestro interés, comprender el problema, Polya la divide en dos: (1) familiarizarse con el problema y (2) trabajar para una mejor comprensión. En la segunda etapa, considera tres preguntas
básicas: ¿Por dónde debo empezar?; ¿Qué puedo hacer?; ¿Qué gano haciendo esto?
La comprensión lectora es una compleja actividad cognitiva del procesamiento de información,
cuyo objetivo es la comprensión del mensaje escrito (Elosúa y García, 1993). En el desarrollo de la
habilidad de compresión intervienen herramientas cognitivas. Sin embargo, muchas veces los estudiantes carecen de estas herramientas. Según la psicología cognitiva, los mecanismos de
almacenamiento de la información y su recuperación de la memoria, el uso de estrategias que son
activadas ante la lectura y el dinamismo de las representaciones mentales son cuestiones centrales que
deben conocerse (Leon, 1996).
El lector debe ser capaz de interrogarse acerca de su propia comprensión, estableciendo relaciones
entre lo que lee y lo que forma parte de su acervo personal, cuestionando su conocimiento y
modificándolo, estableciendo generalizaciones que permitan transferir lo aprendido a otros contextos distintos (Solé, 1998). Para comprender un texto, se debe reconocer la realidad a la cual el texto se
refiera.
En una investigación realizada por Bustos (2010) se presentan algunas dificultades típicas de los
alumnos en el proceso de comprensión:
• No saben leer flexible ni estratégicamente, según los propósitos de la lectura.
• Carecen de conocimientos previos sobre el tema de que trata el texto, carencia reflejada
probablemente en un vocabulario pobre.
• Son incapaces de activar sus conocimientos previos.
• No captan el propósito o la intención predominante del autor.
• No diferencian la importancia de los enunciados del texto.
En la comprensión de un texto el lector es quien va construyendo el significado del texto, es quien
aporta sus conocimientos previos, sus capacidades de razonamiento, es quien debe definir sus objetivos de lectura, para así aplicar determinadas estrategias de comprensión y finalmente elaborar una
interpretación coherente del texto (Peronard, 1997; Echavarría, 2006).
La tarea del lector consiste en crear y reconstruir informaciones con el fin de recrear en la mente
el significado del texto. Cada vez que un lector se expone a dicho proceso, construye una representación
mental del contenido (Elosúa y García, 1993; Ferro y Eduardo, 2007; Abusamra, Cartoceti, Raiter y
Ferreres, 2008; Miranda-Casas, Fernández, Robledo y García-Castellar, 2010).
Kintsch (1986) refiere que el problema de comprensión no se encuentra específicamente en las
palabras y frases, ni siquiera en la estructura general del texto. El problema radica en la comprensión de
la situación descrita por el texto. De hecho, debemos saber distinguir entre dos tipos de representaciones
mentales que se forman durante la lectura de un texto: el texto base y un modelo de la situación (MS).
• Texto base: es la representación mental del texto que el lector o el oyente construye en el proceso de comprensión. Esta representación se construye a partir de proposiciones y expresa
el contenido semántico del texto, tanto a un nivel local y global.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
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• MS: es una representación mental de la situación descrita por el texto.
Este investigador afirma que el texto base refleja las relaciones de coherencia que existen entre
las proposiciones de un texto y su organización, mientras que el MS puede ser un mapa mental del país
descrito por el texto, una estructura aritmética derivada del texto, o un procedimiento operativo construido a partir de la información dada en el texto. La forma en que el texto sea representado tendrá
que ver con cómo es interpretada la situación.
El texto base y el MS son representaciones mentales que no son independientes entre sí, pero sí
cada una tiene sus propias características, y presentan diferentes factores importantes para su
construcción. En el texto base, los elementos son proposiciones que se organizan en una adecuada micro
y macro estructura.
Van Dijk y Kintsch (1983) consideran que los MS son esenciales para la comprensión y arguyen
que son la base para la interpretación textual. Tijero (2009) resume los argumentos que estos autores
ofrecen para asegurar que este constructo contiene todo el conocimiento que se deja implícito en el texto.
• Los MS reducen las posibilidades de distorsionar las relaciones de coherencia local
(microestructura) del texto.
• Permiten recordar y organizar la información generada a partir de un texto-base desorganizado.
• Los MS permiten que cada comprendedor genere una interpretación particular del texto, la
cual está sujeta a la experiencia de cada individuo.
• Los MS, además de integrar el texto base con el conocimiento previo del lector, constituyen
el fundamento para el aprendizaje.
Investigadores, como Elosúa y García (1993) y Solé (1998), refieren que el uso de estrategias en
la comprensión textual es de gran ayuda para que el lector tenga un mejor panorama de lo que el texto quiere dar a conocer. Los primeros afirman que la lectura es una actividad “estratégica”. Un buen lector
pone en juego procedimientos o estrategias para obtener un resultado. Los factores que condicionan la
comprensión son los procesos cognitivos y metacognitivos que el lector realiza al leer. Tales procesos requieren distinto grado de conciencia, atención, planificación y control por parte del sujeto. Las
siguientes estrategias, mencionadas por estos autores, son estrategias cognitivas que realiza la persona
que lee durante el procesamiento de información del texto escrito con el objetivo de comprender su
significado.
• De focalización. Mediante estas estrategias el lector concentra su atención en las informaciones del texto que estima más relevante.
• De organización. El lector puede reestructurar de forma distinta el texto a fin de hacerlo más
significativo y comprensible.
• De resolución de problemas. Procedimientos para resolver los problemas que encuentra
durante la lectura, por ejemplo, dificultad para comprender palabras, oraciones, relación entre
oraciones, esquema de texto.
• De elaboración. Permiten integrar la información del texto con los conocimientos previos del
lector, a fin de comprender con más profundidad el significado.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
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Solé (1998) menciona que es necesario enseñar estrategias de comprensión porque queremos
hacer lectores autónomos, capaces de enfrentarse de manera inteligente a textos de muy distinta índole,
la mayoría de las veces distintos de los que se usan cuando se instruye.
A todo ello cabría añadir que las estrategias deben ayudar al lector a escoger otros caminos cuando
se encuentre con problemas en la lectura. Las estrategias que se mencionan son algunas de las posibles,
ya que no todas resultan positivamente en todos los sujetos y en todas las circunstancias. Siempre hay que tener muy presente que entrenar al lector en estrategias cognitivas constituye un medio para lograr
mejores niveles de comprensión lectora y nunca es un fin en sí mismo.
van Dijk y Kintsch (1983) también proponen algunas estrategias para la comprensión de textos:
• De lenguaje. Si no sabemos el significado de una palabra, se puede aplicar esta estrategia pidiendo a alguien la consulta de un diccionario, o adivinar el significado de la palabra a partir
del contexto, y si una estructura de la oración es particularmente compleja, es posible
comenzar a leer de nuevo.
• Gramaticales. Utilizamos las estrategias gramaticales, o estrategias de oraciones, estrategias cognitivas que se utilizan para producir o entender las estructuras que están especificadas por
las reglas de la gramática.
• Culturales. Son aquellas estrategias que se refieren a la selección eficaz de información
cultural que es relevante para la comprensión del discurso. Estas estrategias pueden ser orador u oyente orientado.
• Sociales. Estas estrategias implican información sobre la estructura social general de un grupo,
sobre las instituciones, roles o funciones de los participantes, géneros del discurso de las
instituciones, las diferencias relacionadas con el estilo de la estructura social, ocasión, o
miembros sociales.
Del conjunto de estrategias que se han revisado para la comprensión textual, se han seleccionado
algunas de ellas que se consideraron útiles para la compresión de problemas verbales de matemáticas.
3. Metodología
Esta investigación constó de tres sesiones: diagnóstico (SD), intervención (SI) y evaluación (SE).
En la sesión SD se aplicó un problema de trigonometría en el que tenían que encontrar la altura
de un pino, con la intención de evaluar la comprensión de este tipo de problemas y la resolución de los mismos. Los dibujos elaborados por los alumnos, después de leer el problema, se clasificaron de acuerdo
al nivel de congruencia con la situación planteada y se consideró que dichos niveles de congruencia nos
reflejaban un cierto nivel de comprensión.
En la sesión SI se planteó una situación problemática en la que los alumnos tenían que decidir si una casa debía ser desalojada o no durante el incendio de una fábrica. El trabajo de los estudiantes en
esta sesión se dividió en tres momentos: trabajo individual, trabajo colaborativo en equipos pequeños y
trabajo grupal. Durante los tres momentos de esta sesión, el papel del instructor (el primer coautor de
este artículo) consistió en guiar el trabajo de los estudiantes hacia la construcción del MS del problema planteado, con la ayuda de las estrategias sugeridas por Polya (1965) y Elosúa y García (1993), dirigidas
a favorecer la comprensión textual y la resolución de problemas matemáticos verbales.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
12 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
Debido a que la comprensión de textos requiere de la construcción de una imagen mental de la
situación (van Dijk y Kintsch, 1983), se decidió pedir a los estudiantes que, después de leer el problema, realizaran un dibujo. Dicho dibujo fue considerado como una representación del MS. Se utilizaron dos
tipos de estrategias, para el docente y para el alumno.
Estrategias para el Docente:
• De lenguaje. El docente debe seleccionar adecuadamente el texto del problema. En el caso de
que el texto contenga palabras que pudieran no ser familiares para los alumnos sustituirlas por
otras que si lo sean. Tener presente los conceptos involucrados, esto con la finalidad de poder
explicarlos en su momento. Revisar nivel, vocabulario y contexto.
• Gramaticales. Verificar que el texto no contenga errores de gramática, esto con la intención de ayudar al estudiante a entender el contexto adecuado y no uno diferente al que presenta el
texto.
• Culturales. Seleccionar problemas de acuerdo a la cultura de los estudiantes, con la finalidad
de que el texto les sea familiar. Esto podría ayudar a los estudiantes a activar sus conocimientos previos.
• Sociales. Este tipo de estrategia, el docente podría aplicarlas al momento de querer trabajar el
problema en equipos, pensando antes como organizarlos, de acuerdo a la capacidad de cada
uno de los estudiantes para trabajar.
Estrategias para el alumno:
• De focalización: Leer el problema; Identificar los datos, la incógnita, palabras importantes.
• De resolución de problemas: Identificar los conceptos que se presentan, de no conocer alguno
buscar y/o preguntar su definición.
• De organización: Releer el problema, en este caso relacionar los conceptos que no se tenían claros al momento de la primera lectura; Identificar el objetivo del problema; Reformular el
problema en caso de ser necesario; Identificar los datos y la incógnita
• De elaboración: Realizar una tercera lectura, verificando claramente cuál es el objetivo del
problema; Relacionar el problema con alguno ya visto anteriormente; ¿Puedo resolver el
problema con estos datos?
Luego de aplicar las estrategias de compresión textual, pasamos a las orientaciones propuestas por Polya (1965) dirigidas a la resolución de problemas de matemáticas. A continuación, se presentan
algunas de ellas:
• Hacer un dibujo del problema.
• Ubicar los datos y la incógnita en el dibujo.
• Verificar si el dibujo (MS) construido representa fielmente al problema.
• Extraer lo más esencial del problema, representándolo en un dibujo abstracto.
• Resolver el problema usando algún procedimiento matemático.
• Compartir con sus compañeros la solución justificando el procedimiento.
• Analizar las soluciones de sus compañeros.
• Compartir con el grupo las conclusiones tomadas en equipo.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
13 Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
La sesión SE se llevó a cabo un día después de la intervención y consistió en la aplicación de un
instrumento que contenía otro problema de trigonometría. En esta sesión, los estudiantes tenían que determinar la altura de un cierto poste y la longitud de un cable de tensión que estaba sostenido de la
parte superior al suelo. En la sección 4.3 se presenta un análisis del desempeño de los estudiantes en
esta sesión, tanto en la construcción del MS como en la resolución del problema.
3.1. Participantes
Participaron 22 alumnos de una escuela secundaria de la ciudad de Puebla (México) que cursaban
el tercer grado en el mes de mayo de 2015. El tema que se trabajó con ellos fue el de trigonometría, el cual ya habían visto con su profesor 2 semanas antes. Dado lo anterior, se esperaba que tuvieran los
conocimientos previos necesarios. Todas las sesiones se desarrollaron durante sus horas de clases de
matemáticas.
3.2. Instrumento de investigación
En cada de una de las sesiones mencionadas anteriormente se aplicó un problema contextualizado de trigonometría y se solicitó un dibujo de la situación, la resolución del problema y el resultado. En la
sesión de evaluación (SE) también se solicitó una representación matemática del problema. En la Tabla
1 se pueden ver los problemas utilizados y las consignas para los alumnos en cada una de las sesiones.
Sesión Problema Consignas para el
alumno
SD
P1: Un pino a cierta hora del día proyecta una sombra de 45 m.
Si el ángulo de elevación de la sombra es de 50°, ¿cuál será la
altura del pino? (Hernández, Solano y Jiménez, 2014, p. 204). • Dibujo
• Resolución
• Resultado
SI
P2: Debido a un incendio en una fábrica se tuvo que desalojar a
las personas que estaban cerca dentro de un radio de 500 m del
siniestro. Una familia tiene una casa a 400 m al este y a 350 m al sur de la fábrica. Se desea saber si será desalojada de su vivienda,
(Valiente, S. y Valiente, S. I, 2009, p. 178).
SE
P3: Un poste se sostiene con un cable sujeto en la parte superior
y en el piso a 12 m de la base. Si su ángulo de elevación es de 70°, ¿cuál es la medida del poste y del cable que lo sostiene?
(Hernández, Solano y Jiménez, 2014, p. 205).
• Dibujo de la situación
• Representación
Matemática
• Resolución
• Resultado
Tabla 1. Actividades aplicadas en cada sesión.
Para comodidad de la lectura, se ha estado usando las siglas MS para denotar al modelo de la situación. A partir de ahora, usaremos también RM para la representación matemática que se solicitó en
la sesión de evaluación, RP para la resolución del problema y la letra E seguida de un número (por
ejemplo, E8) para denotar a alguno de los estudiantes participantes.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
14 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
A continuación, se presenta el análisis de los resultados de las tres sesiones. En todas se
clasificaron los dibujos en congruentes (DC) o no congruentes (DNC) con la situación planteada en el problema. Se consideró que un dibujo congruente con la situación es aquel que se corresponde fielmente
con la misma y que la representa adecuadamente. En la sección 4.1 se definen estas categorías. También
se revisó la resolución de los problemas de cada sesión y se definieron categorías. Además, en cada sesión se analizó si existía una relación entre la congruencia de los dibujos con la situación y las
respuestas correctas. En las secciones 4.2 y 4.3 se detalla la forma en la que se analizaron las
producciones de los alumnos de las sesiones correspondientes.
4. Resultados
4.1. Sesión de diagnóstico
En esta sesión se aplicó el problema P1 que se muestra en la Tabla 1: Un pino a cierta hora del
día proyecta una sombra de 45 m. Si el ángulo de elevación de la sombra es de 50°, ¿cuál será la altura
del pino?
A todos los estudiantes se les solicitó un dibujo que representara la situación del problema (MS),
así como la resolución del mismo. Al analizar cada una de las respuestas dadas por parte de los alumnos
se obtuvieron las siguientes observaciones.
En la primera consigna, que fue hacer un dibujo, se obtuvieron tres categorías, que corresponden
a niveles de congruencia entre el dibujo y la situación: dibujo congruente (DC, 10 alumnos), dibujo no
congruente (DNC, 10 alumnos) y representación del texto base (TB, 2 alumnos). Estos dibujos y sus categorías se consideran como representaciones del MS construido por cada estudiante y como
indicadores de niveles de comprensión.
Categoría DC: en esta categoría se encuentran aquellos dibujos que representan adecuadamente
la situación planteada en el problema. Es decir, tiene todos los elementos y todos los datos ubicados
correctamente (pino, sombra, ángulo y longitud de la sombra). Dos ejemplos de este tipo de dibujo se
pueden ver en las Figuras 1 y 2.
Figura 1. MS del E8 del problema P1. Figura 2. MS del E4 del problema P1.
Categoría DNC: en esta categoría tenemos dos subcategorías, DNC1 (7 alumnos) y DNC2 (3
alumnos). Ambas incluyen dibujos no congruentes con la situación.
• DNC1: los dibujos de esta subcategoría tienen las siguientes características, no aparecen todos
los elementos matemáticos (4 alumnos), ver Figura 3 (falta la longitud de la sombra), o tienen
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algún dato ubicado incorrectamente (3 alumnos), ver Figura 4 (el ángulo de 500 está ubicado
sobre la hipotenusa).
Figura 3. MS del E15 del problema P1. Figura 4. MS del E19 del problema P1.
• DNC2: Los dibujos de esta subcategoría tienen un elemento realista que no está representado
correctamente. Tres alumnos representaron la proyección de la sombra a la misma altura que
las ramas del pino, ver Figura 5.
Figura 5. MS del E5 del problema P1.
Categoría TB: En esta subcategoría se incluyen los dibujos de estudiantes que no concluyeron la
construcción del texto base, es decir, contienen los elementos realistas (pino y sombra) y los elementos matemáticos (ángulo y longitud de la sombra) pero no están relacionados correctamente entre sí. Estos
dibujos reflejan que estos alumnos construyeron la micro, pero no la macro estructura del texto base y,
por tanto, que lograron un nivel muy bajo de comprensión. Por ejemplo, un alumno dibujó el pino, su
sombra y un ángulo que no corresponde a la situación, ver Figura 6. Otro sólo dibujó un pino y colocó
los datos del problema, pero fuera de contexto, ver Figura 7.
Figura 6. MS del E3 del problema P1. Figura 7. MS del E20 del problema P1.
La resolución del problema P1
Ningún estudiante resolvió correctamente el problema P1. Las respuestas erróneas que dieron los
estudiantes se clasificaron en tres categorías:
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• Utilización de la razón trigonométrica tangente.
• Manipulación de los datos con operaciones básicas.
• Respuesta numérica sin procedimiento.
Al analizar los procedimientos que siguieron estos estudiantes, al intentar resolver el problema,
notamos que la mayoría de los que lograron un MS congruente con la situación (Categoría DC)
identificaron que debían usar la razón trigonométrica tangente (60% de ellos). Sin embargo, por errores algebraicos, generalmente un mal despeje, no llegaron a la solución. Sólo algunos de los estudiantes en
esta categoría recurrieron a sumas o productos de los datos para resolver el problema (20%) o dieron
una respuesta sin mostrar el procedimiento (20%).
En contraste con lo anterior, tenemos que la mayoría de los estudiantes que no lograron construir
un MS adecuado (80%), subcategorías DNC1, DNC2 y categoría TB, sólo tomaron los datos e hicieron operaciones básicas. Además, cuando se les preguntó qué dificultades tuvieron para resolver el
problema, algunos dijeron que no habían entendido o que les faltó recordar fórmulas.
4.2. Sesión de intervención
En esta sesión se aplicaron las estrategias que fueron tomadas de Polya (1965), van Dijk y Kintsch (1983) y Elosúa y García (1993), con el fin de guiar a los estudiantes hacia la construcción del MS. Se
planteó a los alumnos el problema P2 de la Tabla 1: Debido a un incendio en una fábrica se tuvo que
desalojar a las personas que estaban cerca dentro de un radio de 500 m del siniestro. Una familia tiene
una casa a 400 m al este y a 350 m al sur de la fábrica. Se desea saber si será desalojada de su vivienda.
En esta sesión el trabajo consistió de tres momentos: trabajo individual, trabajo colaborativo en
equipos pequeños y trabajo grupal.
Trabajo individual
En esta etapa se dieron las primeras orientaciones para que los estudiantes comprendieran el texto.
Se les invitó a leer detenidamente el problema y a que identificaran las palabras o conceptos que
desconocieran, con la intención de que construyeran mentalmente el texto base y luego pudieran relacionarlas sin ninguna dificultad para construir el MS. Así mismo, se les pidió que reconocieran todos
los datos que se les presentaba en el problema. La mayoría de ellos dijeron no tener ninguna duda con
lo que se les había pedido. Después, se les sugirió que identificaran cuál era la problemática que se les
presentaba y ellos contestaron que tenían que determinar si la vivienda tenía que ser desalojada o no.
Al momento de preguntarles si habían comprendido la situación del problema, la mayoría respondió que sí. Sin embargo, cuando se les solicitó que hicieran una representación de la situación se
observó que ninguno hizo un dibujo congruente con la misma. El hecho de que ningún estudiante lograra
la construcción de un MS congruente con el problema, dejó ver que faltó comprensión por parte de los alumnos. Incluso, hubo alumnos que solo representaron parte del texto base (ver más adelante, Figuras
12 y 13).
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En esta parte de la sesión ninguno de los estudiantes logró la construcción del MS y, por tanto,
tampoco resolvieron el problema.
Los dibujos que hicieron los estudiantes de manera individual se analizaron posteriormente. En
seguida se muestran algunos ejemplos:
• Los que intercambiaron la ubicación de los puntos cardinales Este y Oeste (ver Figura 8).
Figura 8. MS del E4 del problema P2.
• No midieron las coordenadas a partir del origen (Figuras 9 y 10).
Figura 9. MS del E2 del problema P2. Figura 10. MS del E11 del problema P2.
• Estudiantes que dieron una ubicación de la casa, pero no se sabe si midieron correctamente los
metros como se indica en el problema (Figura 11).
Figura 11. MS del E18 del problema P2.
• Los que dibujan algunos de los elementos que se mencionan en el texto (la casa, la fábrica, la
circunferencia, etc.) pero no la relación que hay entre ellos como lo indica el problema. Tales MS reflejan que estos alumnos construyeron la micro, pero no la macro estructura del texto
base (Figuras 12 y 13).
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Figura 12. MS del E7 del problema P2. Figura 13. MS del E15 del problema P2.
En la consigna sobre la resolución se les preguntó si con los datos que se les presentaban podían
resolverlo, y solo algunos respondieron que sí. Las respuestas que dieron los estudiantes no fueron
correctas y se clasificaron en tres categorías:
• Manipularon los datos con operaciones básicas.
• Argumentaron que la casa tenía que ser desalojada sin ningún procedimiento matemático.
• Escribieron algún dato sin operar o no escribieron nada.
Trabajo en equipo
En el segundo momento de esta sesión se pidió a los estudiantes que compartieran sus reflexiones
sobre este problema con sus compañeros, formando 4 equipos de 4 estudiantes y 2 de 3 estudiantes.
En esta actividad se pidió a los equipos que volvieran a leer el texto, pero ahora más
detalladamente. Al igual que en la primera sesión, se les dijo que identificaran todo aquello que no
conocieran o que les causara algún impedimento para comprender el problema. Uno de los equipos planteó la duda sobre la ubicación correcta de los puntos cardinales, la cual se aclaró. Lo anterior ayudó
a este equipo a tener una estructura más clara del texto. Después de esto, el equipo pudo hacer una
representación adecuada, lo cual indicó que estos estudiantes ya habían entendido el problema. Estos
estudiantes pudieron pasar de la micro a la macro estructura del texto base, para finalmente lograr un MS adecuado. Otro equipo tuvo el error de medir los 400 m hacia el oeste, los integrantes aún no tenían
clara la ubicación de los puntos cardinales, por lo que ellos no pudieron hacer una representación
correcta. A la mayoría de los equipos les faltó pasar de la micro a la macro estructura en el texto base,
para luego poder construir un MS adecuado.
Solo 2 de los 6 equipos lograron resolver correctamente el problema aplicando el teorema de
Pitágoras. El resto de los equipos procedió de la siguiente manera: dos equipos sumaron los datos (400
m y 350 m) y compararon esta suma con el área que cubría el siniestro. Uno comparó los datos con el
radio del siniestro y dijo, “la casa está cerca del incendio porque el radio mide 500 m y sí puede llegar a la casa”. El otro equipo intentó aplicar el teorema de Pitágoras. A pesar de que ellos escribieron: “no
quedó dentro del área de peligro”, es decir, la casa no tiene que ser desalojada, su procedimiento fue
incorrecto debido a un mal despeje.
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Trabajo grupal
En el tercer y último momento de esta sesión, dos alumnos decidieron compartir con todo el grupo
el procedimiento acordado con su equipo. El primero procedió a leer el enunciado del problema, a pesar de que ya todos lo habían leído varias veces, él no omitió ninguna de las palabras o frases. Se le preguntó
una vez más al grupo si tenían dudas respecto a las palabras o frases del texto. Los integrantes de los
equipos que ya habían respondido correctamente dijeron que no, los demás equipos prefirieron quedarse callados a pesar de que se les decía que expresaran todas las dudas que tuvieran. Luego se les preguntó
a los alumnos si lo habían comprendido. De nuevo los integrantes de los equipos que pudieron resolverlo
dijeron que si, pero los alumnos, que no habían podido hacer su representación correcta, decidieron
hablar y preguntaron por qué seguían estando mal en su dibujo de la situación y en su respuesta. Uno de los errores que ellos seguían cometiendo era la ubicación de los puntos cardinales, habían invertido Este
y Oeste, por lo que se les corrigió.
Luego, el segundo alumno pasó a la pizarra a realizar un dibujo del problema, y, como ya había
entendido la problemática que se presentó, pudo hacer una representación correcta (este alumno en su dibujo supuso que la casa estaba fuera del radio del siniestro). Después, en la resolución del problema,
se les preguntó si ya habían entendido cual era el objetivo. Un alumno de otro equipo dijo que sí, por lo
que compartió su idea con sus compañeros. Él argumentó que, con los datos que se daban, se trazaba un
triángulo rectángulo y el lado que se desconocía era la hipotenusa. Aplicó adecuadamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la hipotenusa. Una vez que encontró el dato faltante lo comparó
con la longitud del radio del siniestro y dijo: la casa no tiene que ser desalojada.
4.3. Sesión de evaluación
En esta sesión se aplicó el problema P3 de la Tabla 1: Un poste se sostiene con un cable sujeto en
la parte superior y en el piso a 12 m de la base. Si su ángulo de elevación es de 70°, ¿cuál es la medida
del poste y del cable que lo sostiene?
Para esta sesión se agregó la solicitud de que los estudiantes, además de un dibujo de la situación, también hicieran una RM. La solicitud anterior se debe a que para realizar una RM se necesita de la
abstracción del MS lo cual puede resultar complejo para algunos estudiantes. Así la intención fue
observar si había un progreso en la abstracción de la situación. Esta sesión fue de evaluación, por lo que
el instructor no intervino.
En la primera consigna el 100% de los estudiantes realizó un dibujo para representar la situación
del problema.
Para el análisis de esta sesión, primero se observó cómo los estudiantes construyeron el MS y la
RM del problema planteado, luego se comparó el desempeño alcanzado en la construcción del MS de
esta sesión SE con el desempeño que mostraron en la sesión SD (de diagnóstico). Para ello, como antes,
se hicieron dos categorías, dibujo congruente (DCP3) y dibujo no congruente (DNCP3).
Categoría DCP3: es un dibujo que contiene todos los datos, ubicados correctamente y que
representa la situación de una manera adecuada, como podemos ver en las Figuras 14 y 15.
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Figura 14. MS del E16 del problema P3. Figura 15. RM del E16 del problema P3.
Categoría DNCP3: es un dibujo que contiene un triángulo, pero con dos tipos de errores.
• Ubicación incorrecta de algún dato (ver Figura 16)
• Faltó ubicar algún dato (ver Figura 17)
Figura 16. MS del E11 del problema P3.
Figura 17. RM del E11 del problema P3.
Al comparar el desempeño de los estudiantes en las sesiones SD y SE observamos que todos los de las categorías DC y DNC2, de la sesión SD, realizaron un dibujo congruente con la situación del
problema de la sesión SE, a unos pocos les faltó colocar alguna unidad de medida. La mayoría de los
estudiantes de la subcategoría DNC1 (71.4%), de la sesión SD, hizo un dibujo congruente con la situación de la sesión SE. También se observó que los alumnos que en la sesión SD sólo representaron
parte del texto base (categoría TB), en esta sesión SE lograron dar el paso a la construcción del MS.
Acerca de la RM, el 60% de los estudiantes de la categoría DC y de la DNC1 de la sesión SD
hicieron una representación congruente con la situación. Asimismo, hubo algunos alumnos a los que les faltó ubicar algunas unidades de medida. Un alumno de cada una de las categorías anteriores no hizo la
RM. El 71.4% de la categoría DNC2 también hizo una RM congruente con la situación de la sesión SE.
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En este problema, la mayoría de los alumnos pudo responder correctamente a las preguntas
planteadas, y, a partir de eso, se hicieron las tres categorías siguientes:
• Los que responden correctamente a las dos preguntas.
• Los que responden correctamente a la primera pregunta.
• Aquellos que no responden.
Observando los procedimientos de los estudiantes para resolver el problema, se tiene que, en la
categoría DC, el 80% respondió a las dos preguntas. De la categoría TB los dos estudiantes también
respondieron a ambas preguntas.
En oposición con lo anterior, la mayoría de los estudiantes que no lograron construir un MS
adecuado en la sesión de evaluación, pero que en ésta sí pudieron hacer una representación congruente
con la situación, subcategorías DNC1 y DNC2, respondieron al menos a la primera pregunta.
Un solo estudiante de la subcategoría DNC1 no respondió al problema y su dibujo en esta sesión
también fue no congruente con la situación.
4.4. Casos particulares
En esta sección se presentan los casos de tres estudiantes que participaron en la investigación y que se seleccionaron para ilustrar el progreso que se logró con este grupo en la construcción del MS y
en la resolución de los problemas.
Estudiante 1
Problema P1. El dibujo que hizo este estudiante contiene casi todos los elementos del problema
(el pino y la distancia que proyecta), faltando la ubicación del ángulo de elevación. Esto se pudo deber
a que el estudiante no tiene claro qué es el ángulo de elevación o que lo omitió en la lectura del texto. Al ubicar la longitud de la sombra que proyecta el pino, cambió las unidades de medida de metros a
centímetros (ver Figura 18, parte izquierda). Su dibujo se clasificó como no congruente con la situación.
Al resolver el problema, solo multiplicó los dos datos, que son la longitud de la sombra y el ángulo
de elevación. Como resultado escribe 2250 y luego 11, lo cual es incorrecto.
Figura 18. MS y RP del E1 del problema P1.
Problema P2. En este segundo problema, el estudiante 1 dibujó la silueta de una fábrica, y a partir
de ella midió los 400 m al este y los 350 m al sur, sin dar una ubicación aproximada de la vivienda que se deseaba desalojar (ver Figura 19, parte izquierda). En la resolución del problema operó los datos
mediante una suma, dando un resultado incorrecto al problema, y sin concluir si la casa tenía que ser
desalojada o no, lo cual era lo que pedía el problema.
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Figura 19. MS y RP del E1 del problema P2.
Problema P3. En este tercer problema, el estudiante 1 representó correctamente la situación del problema, tanto en el MS como en la RM (ver Figura 20). En ambas representaciones ubicó todos los
datos correctamente. Ambas fueron consideradas como congruentes con la situación. En la resolución
del problema, respondió correctamente la primera pregunta, para lo cual aplicó la razón trigonométrica
tangente (como se puede en la Figura 21) aunque con algunos errores de redacción. La segunda pregunta
no la respondió.
Figura 20. MS y RM del E1 del problema P3.
Figura 21. RP del E1 del problema P3.
Estudiante 3
Problema P1. El dibujo de este estudiante se consideró como un dibujo no congruente con la
situación. Esto se debe a que en su representación dibujó el pino, su sombra y un ángulo que no corresponde con la descripción del problema (ver Figura 22, parte izquierda). Se puede ver, además, que
no ubica ningún dato, solo representa los elementos que indica el texto. El estudiante no concluye la
construcción del texto base, es decir aparecen los elementos del texto, pero no puede hacer una relación correcta entre ellos. Como hemos dicho anteriormente, este tipo de MS refleja que el estudiante
construyó la micro, pero no la macro estructura del texto base.
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Al resolver el problema, escribió dos ecuaciones de primer grado con los datos del problema
(45+x=50 y 50+45=x), luego sumó incorrectamente los datos, dando como respuesta la suma 1250 y como resultado 22.5. Como su representación de la situación no fue adecuada, se esperaba que su
respuesta tampoco lo fuera, lo cual sucedió.
Figura 22. MS y RP del E3 del problema P1.
Problema P2. En este problema, el estudiante 3 volvió hacer un dibujo no congruente con la situación. Representó una fábrica en llamas, los datos los ubicó a un lado de ella (ver Figura 23).
Nuevamente, como en el primer problema, el MS del estudiante refleja que construyó la micro, pero no
la macro estructura del texto base. En la resolución del problema decidió no escribir nada.
Figura 23. MS del E3 del problema P2.
Problema P3. El estudiante 3, en este problema, representó adecuadamente la situación, tanto en
el dibujo de la situación como en la RM (ver Figura 24). En ambos esquemas, le faltó poner las unidades de medida a los datos. En la resolución del problema, a pesar de que respondió correctamente a las dos
preguntas, su segunda respuesta fue considerada nula porque el procedimiento fue incorrecto y su
respuesta pudo haberla copiado. Primero usó la razón trigonométrica tangente y luego intentó usar el teorema de Pitágoras (ver Figura 25). A pesar de lo anterior, este estudiante mejoró la representación de
la situación, y esto le pudo haber ayudado a responder al menos a la primera pregunta del problema.
Notamos que, en este problema, logró una abstracción tal que el dibujo del MS tiene una gran similitud
con la RM.
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Figura 24. MS y RM del E3 del problema P3.
Figura 25. RP del E3 del problema P3.
Estudiante 20
Problema P1. En su dibujo, este estudiante representó el pino y colocó los datos del problema, pero fuera de contexto (ver Figura 26, parte izquierda). Su dibujo se consideró no congruente con la
situación. Al igual que el estudiante 3, en el dibujo de este estudiante, se considera que su MS refleja la
micro, pero no la macro estructura del texto base. Confunde un ángulo de elevación con una distancia.
Al resolver el problema, escribió el producto 45𝑥50 y como resultado dice que la altura del pino mide
2250 m, lo cual es incorrecto.
Figura 26. MS y RP del E20 del problema P1.
Problema P2. En este problema, en el dibujo de la situación, el estudiante 20 hizo una
circunferencia, sin indicar el radio de 500 m. Fuera de la circunferencia dibujó un segmento de recta de
500 m, lo cual hace suponer que confundió el radio con el diámetro. Al igual que el estudiante 11, él empezó a medir los 400 y 350 metros al este y al sur respectivamente, pero a partir del contorno de la
circunferencia. En su esquema no indicó donde está la fábrica ni la casa (ver Figura 27). En la resolución
del problema decidió no escribir nada.
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Figura 27. MS del E20 del problema P2.
Problema P3. El estudiante 20 representó adecuadamente la situación del problema 3, tanto en el
MS como en la RM (ver Figura 28). En ambos ubicó los datos correctamente. En la resolución respondió
solo la primera pregunta, utilizando la razón trigonométrica tangente y dando una respuesta correcta (ver Figura 29). Comparando sus dibujos de la situación de las tres sesiones, se puede observar que
tuvo una mejora en esta última. En la sesión SD, él solo representó una parte del texto base, en la sesión
SI, intentó hacer una presentación, pero no logró un dibujo adecuado y en la sesión SE ya logró mejorar
su representación de la situación.
Figura 28. MS y RM del E20 del problema P3.
Figura 29. RP del E20 del problema P3.
5. Conclusiones
Los resultados de la sesión SD (diagnóstico) mostraron que la mayoría de los estudiantes
intentaron resolver el problema sin comprenderlo. Lo anterior se deduce porque sus dibujos no eran
congruentes con la situación del problema. Incluso, hubo estudiantes que construyeron la micro, pero
no la macro estructura del texto base, lo cual refleja un nivel muy bajo en el proceso de comprensión textual. Además, ninguno pudo dar una respuesta correcta al problema. Es notable que los estudiantes
que no comprendieron la estructura matemática de los problemas, intentaron “resolverlos” usando solo
operaciones básicas (suma o multiplicación) de los datos que figuran en el texto. Este en un ejemplo de contrato didáctico; como comenta D´Amore (2009), los estudiantes “con tal de producir cálculos
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escriben operaciones sin sentido, desligadas de los requerimientos del problema, pero que tienen como
operadores los datos numéricos presentes en el texto” (p.116).
La mayor parte de los estudiantes que sí hicieron un dibujo congruente con la situación obtuvieron el modelo matemático y se acercaron más a dar una respuesta correcta al problema. Sin embargo, no lo
resolvieron debido a errores algebraicos. De esta forma, concluimos que los estudiantes que
construyeron un MS congruente con la situación tuvieron más oportunidad de resolver correctamente el
problema que los que no.
En la sesión SE (evaluación), después de haber trabajado con ellos las estrategias de comprensión textual (Polya, 1965; van Dijk y Kintsch, 1983; Elosúa y García, 1993), los resultados mostraron una
mejora en aquellos alumnos que no pudieron construir un dibujo congruente en la sesión de diagnóstico.
Además, en la resolución del problema, estos estudiantes pudieron contestar correctamente al menos a
la primera pregunta, y solo un estudiante dejó el espacio en blanco.
Se observó, también, que los estudiantes, que se quedaban en la construcción de la micro y no
pasaban a la macro estructura del texto base, pudieron pasar ahora a la construcción del MS y
respondieron correctamente, al menos a la primera pregunta.
La mayoría de los estudiantes de la categoría DC, de la sesión SE, volvieron a hacer un dibujo
congruente (categoría DCP3). Posteriormente, respondieron a las dos preguntas que se les presentó en
ese problema.
Podemos decir que, en la sesión SE, con la ayuda de las estrategias de los autores mencionados
anteriormente, se orientaron a los estudiantes hacia una mejor comprensión, por lo que realizaron un
mejor MS del problema y, consecuentemente, llegaron a la solución correcta del problema.
En el análisis de los casos particulares, se pudo ver el progreso de algunos estudiantes durante las tres sesiones, mostrando un mejor desempeño en la sesión de evaluación, tanto en la construcción del
MS como en la resolución del problema.
Con los resultados de esta investigación piloto de corta duración (tres sesiones) se comprueba que
es posible implementar estrategias de comprensión textual (Polya, 1965; van Dijk y Kintsch, 1983;
Elosúa y García, 1993) que ayuden a los estudiantes a representar adecuadamente la situación de problemas matemáticos y a resolverlos correctamente, evitando así la búsqueda ciega de la solución
mediante operaciones básicas con los datos explícitos del problema. Además, los dibujos de los
estudiantes son una actividad de aprendizaje que el profesor debe diseñar, implementar y evaluar, tanto para introducir a los estudiantes al proceso mental de comprensión textual, como para observar cómo
ellos están comprendiendo y guiarlos en su mejora.
Especialmente es importante introducir características básicas de los MS y las representaciones
matemáticas y discutir sus diferencias, pues en muchos libros de texto de matemáticas estos dos modos
de comprensión de problema vienen mezclados. Los alumnos que son capaces de construir una adecuada representación matemática del problema llegan, con mayor probabilidad, a la solución correcta de los
problemas de aritmética (Hegarty y Kozhevnikov, 1999) o de modelación (Rellensmann, Schukajlow y
Leopold, 2016).
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Bibliografía
Abusamra, V., Cartoceti, R., Raiter, A. y Ferreres, A. (2008). Una perspectiva cognitiva en el estudio de la comprensión de textos. Psico, 39(3), 352-361.
Bustos, E.M. (2010). Dificultades de la comprensión lectora. Innovación y experiencias educativas [en
línea], 37. Recuperado el 10 de febrero de 2015, de http://www.csi-csif.es/andalucia/mod_ense-
csifrevistad.html D’Amore, B. (2009). Didáctica de la Matemática. Bogotá, DC. Colombia: Magisterio.
Echevarría, M. Á. (2006). ¿Enseñar a leer en la Universidad? Una intervención para mejorar la
comprensión de textos complejos al comienzo de la educación superior. Revista de Psicodidáctica. (pp. 169-188).
Elosúa, M. R. y García, E. (1993). Estrategias para enseñar y aprender a pensar. Narcea.
Ferro, M. y Eduardo, G. (2007). Psicología de la comprensión textual y control de la comprensión.
Folios [en línea], (26), 39-48. Recuperado el 25 de febrero de 2015, de http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S0123-48702007000200004
Hegarty, M. y Kozhevnikov, M. (1999). Types of visual–spatial representations and mathematical
problem solving. Journal of educational psychology, 91(4), 684-689. Hernández, J. M., Solano, H. y Jiménez, L. (2014). Matemáticas 3. Estrategias del pensamiento.
México: Grupo Editorial Patria.
Juárez, J. A., Ignjatov, J. S., Hernández, L. A. y Monroy, M. (2015). Differences in the situation model construction for a textbook problem: The broken tree or the broken bamboo? In CERME 9-Ninth
Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, 897-903.
Kintsch, W. (1986). Learning from text. Cognition and instruction, 3(2), 87-108.
Leon, J. (1996). La psicología cognitiva a través de la comprensión de textos. Revista de psicología general y aplicada, 49(1), 13-25.
Miranda-Casas, A., Fernández, M. I., Robledo, P. y García-Castellar, R. (2010). Comprensión de textos
de estudiantes con trastorno por déficit de atención/hiperactividad: ¿qué papel desempeñan las funciones ejecutivas? Revista de neurología, 50(3), 135-142.
Peronard, M. (1997). Comprensión de textos escritos: de la teoría a la sala de clases. Andrés Bello.
Prediger, S. y Krägeloh, N. (2015). Low achieving eighth graders learn to crack word problems: a design research project for aligning a strategic scaffolding tool to students’ mental processes. ZDM, 47(6),
947-962.
Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México. Trillas
Rellensmann, J., Schukajlow, S. y Leopold, C. (2016). Make a drawing. Effects of strategic knowledge, drawing accuracy, and type of drawing on students’ mathematical modelling performance.
Educational Studies in Mathematics, 1-26. doi:10.1007/s10649-016-9736-1
Solé, I. (1992). Estrategias de comprensión de la lectura. Cuadernos de pedagogía, 216, 25-27. Solé, I. (1998). Estrategias de lectura. Materiales para la innovación de la lectura. Barcelona. España:
Grao.
Tijero, T. (2009). Representaciones mentales: discusión crítica del modelo de situación de Kintsch.
Onomázein: Revista de lingüística, filología y traducción de la Pontificia Universidad Católica de Chile, (19), 111-138.España: Grao.
Valiente, S. y Valiente, S. I. (2009). Matemáticas. Estudio y enseñanza. México: Noriega.
Van Dijk, T. A. y Kintsch, W. (1983). Strategies of discourse comprehension. New York: Academic Press.
La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos
de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov
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Reynaldo Iglecias Antonio. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México. Licenciado
en Matemáticas Aplicadas. Actualmente estudiante de la Maestría en Educación Matemática, BUAP,
México.
Email: [email protected]
Lidia Aurora Hernández Rebollar. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México.
Profesor-Investigador del Sistema Nacional de Investigadores, México, Nivel 1, en el área de Humanidades.
Doctora en Matemáticas y docente en la Maestría en Educación Matemática, BUAP, México.
Email: [email protected]
Josip Slisko Ignjatov. Profesor-investigador en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla,
México. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores, México, Nivel 2, en el área de Humanidades.
Doctor en Ciencias Filosóficas. Docente en la Licenciatura en física y en la Maestría en Educación
Matemática
Email: [email protected]
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 29-43
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de
secuencias didácticas
Sandra Graciela Baccelli, María Andrea Aznar, María Laura Distéfano,
Stella Maris Figueroa y Emilce Moler
(Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina)
Fecha de recepción: 24 de septiembre de 2016
Fecha de aceptación: 10 de octubre de 2017
Resumen En este trabajo se presenta la descripción y los resultados de un taller situado en el
contexto de un proyecto de articulación entre escuela secundaria y universidad, en la
ciudad de Mar del Plata, Argentina. El mismo trató sobre el diseño y valoración de
secuencias didácticas en torno al tema ecuaciones y estuvo sustentado bajo el marco
teórico del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática. Se
exponen los significados relativos a ecuaciones, acordados entre los docentes participantes en el taller, para el diseño de las secuencias y para la valoración de su
idoneidad epistémica. Se detallan pasos posibles en el diseño de secuencias didácticas,
los cuales incluyen el análisis de idoneidad que permite su mejora.
Palabras clave Significados de ecuaciones – secuencias didácticas – idoneidad didáctica – articulación
secundaria/universidad – enfoque ontosemiótico
Title Reaching of the meanings of the equations: a workshop for designing didactic
sequences
Abstract In this paper the description and results of a workshop are described. This workshop was
developed in the context of a joint project between secondary school and university, in
the city of Mar del Plata, Argentina. It was based on the design of didactic sequences and
its assessment, concerning to equations, and it was sustained under the theoretical
framework of the Ontosemiotic Approach of the Knowledge and the Mathematical
Instruction. Meanings relating to equations are exposed, which were agreed among the
participating teachers, for designing sequences and for assessing their epistemic
suitability. Possible steps are detailed in the design of didactic sequences, which include
the suitability analysis that allows its improvement.
Keywords equations meanings - didactic sequences - didactic suitability - joint project secondary school/university - ontosemiotic approach
1. Introducción
Las problemáticas de enseñanza de la matemática en el contexto de un mundo cambiante y la necesidad de articular abordajes didácticos entre la escuela secundaria y la universidad favorecen el
objetivo de generar espacios de aprendizaje compartido entre los docentes de ambos niveles.
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Durante el año 2015 se desarrolló un taller, para docentes de nivel medio, denominado “Diseño
de secuencias didácticas de matemática en el contexto de las ecuaciones”, como parte de las
actividades del eje de acompañamiento pedagógico de un proyecto denominado Pro-articulación Ciencia y Tecnología: competencias y vocaciones. Universidad Nacional de Mar del Plata y Escuelas
Secundarias de la UNMdP1, que involucra la participación conjunta del nivel secundario y de la
universidad.
El taller fue gestionado por el Grupo de Investigación Enseñanza de la Matemática en carreras
de Ingeniería (GIEMI), radicado en el Departamento de Matemática, de la Facultad de Ingeniería.
La motivación del taller surgió a partir de la detección de dificultades, en alumnos ingresantes a la universidad, en lo referido a la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas como trascendentes.
Dichas dificultades están relacionadas con diversos aspectos, tales como la manipulación algebraica, la
validación de soluciones, la interpretación de las mismas en distintos lenguajes y formas de representación, entre otros (Aznar, Baccelli, Prieto, Figueroa, Distéfano y Moler, 2012). Esta
situación, sumada a la importancia del tema debido a su transversalidad y cantidad de aplicaciones, lo
convierte en una temática de interés para abordar con los docentes. Esta transversalidad es tanto horizontal, en relación con asignaturas de otras ciencias, como vertical, por estar presente en los
contenidos curriculares de distintos años de la educación secundaria.
Buscando realizar un aporte a favor de la resolución de esta problemática, tanto en la escuela
como en la universidad, se propuso este taller como un espacio colaborativo de participación e
intercambio de los docentes de ambos niveles para valorar, diseñar y analizar sus propias prácticas.
Algunos de los resultados de la experiencia fueron presentados en eventos científicos. Tal es el caso del análisis y mejora sobre secuencias didácticas de ecuaciones trigonométricas (Agüero, Pennisi,
Moler y Baccelli, 2016), como también la utilización de los distintos criterios de idoneidad didáctica
para la valoración de las secuencias didácticas que se presentaron en el taller (Baccelli y Moler,
2017).
Existen investigaciones que dan cuenta de las diferentes concepciones del significado, un
elemento central en este artículo. En Serrano Gómez (2005) se caracteriza el significado de un objeto
en educación matemática, en particular, aquellos relacionados con la actividad matemática en el
contexto del aula, caracterizando los aspectos que influyen en dicha significación. Relativo a la significación de expresiones simbólicas en nivel superior las investigaciones realizadas por Distéfano,
Aznar y Pochulu (2016), muestran los conflictos de significado que derivan del uso de símbolos por
parte de los estudiantes.
El marco teórico de la Didáctica de la Matemática que sustentó lo trabajado en el taller fue el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS) de Godino, Batanero y
Font (Godino, Batanero, Font, 2009).
En este artículo se pretende dar difusión de los distintos aspectos de esta experiencia.
Resaltando en particular, los significados encontrados para la enseñanza de las ecuaciones y la
adaptación de los descriptores de la idoneidad epistémica, para evaluar secuencias didácticas asociadas
al objeto matemático ecuaciones
1 El proyecto forma parte del Proyecto de mejora de la formación en ciencias exactas y naturales en la escuela
secundaria impulsado por el Ministerio de Educación de la Nación, en el marco de los Proyectos de Desarrollo
Tecnológico y Social. PCTI – 121 http://pdts.mincyt.gob.ar/proyectos/
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2. Marco teórico utilizado en el taller
El Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS), como línea de
investigación en Didáctica de la Matemática viene desarrollándose en España desde 1994 por Juan Díaz Godino y colaboradores. Desde este enfoque la Matemática es considerada en tres aspectos:
como actividad de resolución de problemas socialmente compartida, como lenguaje simbólico, y como
sistema conceptual lógicamente organizado. En este contexto se destacan dos conceptos
fundamentales: el de práctica matemática y el de significado.
El EOS entiende por práctica matemática a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validar la
solución y generalizarla a otros contextos y problemas (Godino, Batanero, Font, 2009). Siguiendo este
concepto llama significado de un objeto matemático al sistema de prácticas operativas y discursivas utilizadas resolver un cierto tipo de problemas. Si estas prácticas corresponden a un determinado
individuo se habla de significado personal de un objeto matemático, y si son compartidas en el interior
de una institución, se las concibe como conformando el significado institucional. En este contexto, el
aprendizaje entendido como el acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales
en una clase (Godino Batanero y Font, 2009).
El EOS considera que la Didáctica de la Matemática debe orientar y promover la mejora de los
procesos de enseñanza y aprendizaje de esta ciencia. Para ello desarrolló teorías de índole
instruccional. Define así la noción de idoneidad didáctica de un proceso de instrucción como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino, Bencomo, Font,
Wilhelmi, 2007):
La idoneidad epistémica se refiere al grado de representatividad de los significados
institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.
La idoneidad cognitiva expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados
están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados
personales logrados a los significados pretendidos/ implementados.
La idoneidad interaccional está vinculada a las formas de comunicación entre docentes y
alumnos a lo largo de una trayectoria didáctica. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor
idoneidad desde el punto de vista interaccional si las formas de interacción entre los actores de la clase permiten tanto identificar como resolver los conflictos de significado que tuvieran lugar durante dicho
proceso. Es particularmente esencial a esta dimensión, la habilidad docente, tanto para anticipar
posibles errores de los alumnos ante determinadas actividades, como para conducir al estudiante a
potenciar su propio razonamiento para develar contradicciones o validar conjeturas.
La idoneidad mediacional representa el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
La idoneidad afectiva se vincula al grado de implicación (interés, motivación, …) del alumnado
en el proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que dependen de la
institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa.
La idoneidad ecológica se asocia al grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se
desarrolla.
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La idoneidad didáctica, en las seis dimensiones mencionadas, se presenta al docente como una
herramienta de orientación, tanto para el diseño como para la evaluación y mejora de las trayectorias
didácticas, en la búsqueda de lograr un trabajo efectivo en el aula.
El EOS proporciona, para cada una de las idoneidades, una serie de indicadores a contemplar para su evaluación. Dichos indicadores, basados en los que propone Godino, Bencomo, Font y
WilHelmi (2007), permiten operativizar cada una de las mencionadas idoneidades, poniendo en detalle
cuáles son los aspectos que deben ser foco del análisis. A modo de ejemplo, se presentan, en la Tabla 1
los indicadores de la idoneidad epistémica
Componentes Indicadores
Situaciones-problemas
1-Selección de una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación.
2-Propuesta de situaciones de generación de problemas (problematización).
Lenguajes
3-Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismos.
4-Nivel del lenguaje adecuado a los niños a que se dirige.
5-Propuesta de situaciones de expresión matemática e interpretación.
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
6-Definiciones y procedimientos clara y correctamente enunciados, adaptados
al nivel educativo al que se dirigen.
7-Presentación de los enunciados y procedimientos fundamentales del tema
según el significado de referencia y el nivel educativo
8-Propuesta de situaciones para la generación y negociación de definiciones, proposiciones o procedimientos.
Argumentos
9-Adecuación de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones
adecuadas al nivel educativo a que se dirigen.
10-Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar.
Relaciones
11-Relación y articulación significativa de los objetos matemáticos puestos en
juego (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) y las distintas
configuraciones en que organizan.
Tabla 1. Indicadores de la identidad epistémica.
3. Descripción de la experiencia
El taller se desarrolló a lo largo de siete encuentros de 3 horas cada uno, distribuidos
mensualmente durante el año 2015. Los docentes participantes del taller conformaron un grupo
heterogéneo con diferentes trayectos de formación académica. Por otra parte, en su gran mayoría, todos con alta carga horaria de trabajo en escuelas secundarias con distintas realidades
socioeconómicas.
3.1. Primer encuentro
Durante el primer encuentro se realizó una presentación del curso y entregó material de lectura consistente en un resumen del EOS (Pochulu, 2012) y un artículo sobre Idoneidad Didáctica desde el
mismo marco teórico (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007). Posteriormente se realizaron
actividades de diagnóstico. Las mismas se concretaron en dos etapas: en la primera los docentes participantes resolvieron problemas que involucran distintas prácticas matemáticas asociadas a
ecuaciones; en la segunda se realizó una puesta en común en la cual se registraron las dificultades que
sus estudiantes manifestarían, observadas por los docentes en su experiencia de aula, respecto de los
problemas propuestos. Estas observaciones fueron la base de trabajo de los encuentros posteriores.
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3.2. Segundo encuentro
Se realizó una exposición introductoria de conceptos fundamentales del Enfoque Ontosemiótico
del Conocimiento y la Instrucción matemática (EOS) necesarios para las propuestas del taller. En
particular se hizo hincapié en la noción de significados de objetos matemáticos e idoneidad didáctica
matemática.
Posteriormente se propuso a los docentes explorar, mediante una lluvia de ideas, cuáles
significados asociados a ecuaciones, en el sentido que propone el EOS, son los utilizados en la
resolución de las actividades trabajadas desde el primer encuentro.
Surgieron cuatro significados fundamentales que se describen a continuación:
Significado 1.
El significado vinculado a las prácticas de manipulación algebraica para encontrar los valores
solución de una ecuación, como las necesarias para resolver la actividad de la Figura 2:
Figura 2: ejemplo de actividad sobre ecuaciones para señalar prácticas algorítmicas.
En general está asociado a la aplicación de ciertas reglas y algoritmos por lo que se lo llamó
significado de la ecuación como práctica algorítmica.
Significado 2.
Muchas situaciones problemas están modelizadas a partir de una relación expresada como una ecuación. Para encontrar solución a algunas preguntas del problema es necesario plantear y resolver
ecuaciones. Así, en el problema que se muestra en la Figura 3, la relación entre la cantidad de días (x)
y la altura del globo (h(x)) está expresada mediante la relación 60471216
18)( 23 xxxxh
y, por ejemplo, para resolver la pregunta del inciso c) se debe interpretar la relación expuesta, y
plantear y resolver la ecuación 60471216
188 23 xxx .
Figura 3: ejemplo de actividad con una ecuación que modeliza una situación problema.
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En casos como el anterior, la ecuación expresa situaciones del problema y, el cambio en valores
de las variables, tiene significado en la misma; por eso se acordó que se trata de un significado de la
ecuación como un modelo matemático asociado a un problema intra o extra matemático.
Significado 3.
Si se quiere resolver la situación expresada en el siguiente enunciado “La altura de un triángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm2. ¿Cuáles son las medidas de la base y de la altura de
dicho triángulo?”, es necesario hacer una operación cognitiva de traducción de expresiones del
lenguaje coloquial a expresiones simbólicas que formarán parte de una ecuación, como se muestra en
la Tabla 2:
Lenguaje coloquial Expresiones simbólicas
longitud de la base del triángulo x
longitud de la altura del triángulo es 2 cm menor que la base x-2
el área es de 684 cm2 x.(x-2)/2=684
Tabla 2. Representaciones en los registros coloquial y simbólico asociados a una situación problema.
Por otra parte, para resolver el problema de la Figura 4, es necesario traducir la relación gráfica de pertenecer tanto a la curva sinusoidal como a la recta horizontal a la relación algebraica de
satisfacer tanto la igualdad y=seno(x) como la igualdad y=0,5; por otra parte, del conjunto solución
hay que seleccionar sólo los valores entre 2 y 3.
Figura 4: Ejemplo de actividad con una situación representada en el registro gráfico que puede
representarse mediante ecuaciones.
En ambos ejemplos la ecuación traduce, en una igualdad de símbolos, una relación expresada en
lenguaje coloquial o representada en un registro gráfico. Al considerar el rol de la ecuación en este tipo de prácticas convenimos en llamarlo significado de la ecuación como expresión de una relación
entre variables representada en distintos registros (gráfico, coloquial o simbólico).
Significado 4.
Desde un punto de vista lógico, una ecuación puede ser considerada como la expresión de una
relación de igualdad que, de acuerdo al valor con el que se sustituya a la o las variables, puede resultar
una afirmación verdadera o falsa.
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Así, para la ecuación 2x+5=y-3 si se sustiye x por 0 e y por 1 la expresión es falsa ya que
2.0+51-3. En cambio, si se sustituye x por 0 e y por 8 resulta verdadera ya que 2.0+5=8-3.
A este rol elemental y lógico de la ecuación es al que llamaremos significado proposicional de
la ecuación, esto es como una relación de igualdad entre expresiones que contienen una o más
incógnitas, que al ser reemplazadas por valores puedan resultar verdadera o falsa.
Como tarea final del encuentro presencial, se proporcionó un material con ejercicios de
ecuaciones de diferentes unidades temáticas para los cuales los cursantes debían identificar el
significado predominante y, de ser posible, los significados secundarios.
Se propuso una tarea domiciliaria para el tercer encuentro:
Elegir un tipo de ecuación de las que trabaja actualmente y luego:
a) Para cada uno de los significados definidos, diseñar una actividad en la que ese significado
sea predominante.
b) Describir las dificultades y/o errores más frecuentes de los estudiantes al abordar las
actividades planteadas en el inciso anterior.
3.3. Tercer encuentro
Se retomó, en una exposición dialógica, el concepto de idoneidad didáctica y sus distintas
dimensiones (epistémica, cognitiva, mediacional, interaccional, afectiva y ecológica).
Dado que uno de los objetivos del taller fue el de usar las idoneidades como instrumentos de
autoevaluación, se consideró apropiado realizar una adaptación en la descripción de cada una de ellas. Dicha adaptación consiste básicamente en expresar la idea a la que está orientada cada una de las
idoneidades, en forma de pregunta. De este modo, la formulación que se presentó es la siguiente:
Idoneidad epistémica: las prácticas que se implementan en clase, ¿forman una muestra
representativa de las prácticas consideradas fundamentales respecto de ese objeto matemático?
Idoneidad cognitiva: las prácticas que se pretende que los estudiantes hagan propias, ¿están en
la zona de desarrollo potencial de los alumnos? ¿Los aprendizajes logrados se acercan a lo que se
pretendía?
Idoneidad mediacional: los recursos materiales y temporales otorgados a esta secuencia
didáctica, ¿son adecuados?
Idoneidad interaccional: las formas de interacción, ¿permiten identificar y resolver conflictos de
significado?, ¿favorecen la autonomía en el aprendizaje y el desarrollo de competencias
comunicativas?
Idoneidad afectiva: ¿se favorece el interés y la motivación en los alumnos?
Idoneidad ecológica: en la secuencia didáctica, ¿se contemplan el proyecto educativo de la
escuela, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social y profesional?
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Bajo la idea de considerar un sistema de autoevaluación de las propias prácticas docentes se
propuso el estudio de los indicadores de cada dimensión, en particular los de la idoneidad epistémica.
Uno de los indicadores de dicha dimensión impone la necesidad de evaluar si una secuencia didáctica posee una muestra representativa y articulada de situaciones de contextualización, ejercitación,
aplicación y problematización. Para considerar ese indicador se formuló a los cursantes una pregunta
disparadora: las prácticas que se implementan en clase, ¿forman una muestra representativa de las prácticas consideradas fundamentales respecto de las ecuaciones? En un trayecto de búsqueda de
respuestas a ese interrogante, se hizo una puesta en común de lo realizado en la tarea domiciliaria
propuesta en la clase anterior. Para fomentar un debate enriquecedor se plantearon los siguientes
interrogantes a lo largo de la puesta: ¿Qué criterios utilizaron para elegir las actividades asociadas a cada significado? ¿Cuáles son los significados habitualmente más trabajados? ¿Qué significados
ofrecieron más dificultad para el diseño de actividades?
Posteriormente se destinó un tiempo de este encuentro a la reflexión sobre la tarea de búsqueda
de material para el diseño de actividades de una secuencia didáctica; específicamente se consideró el análisis de recursos ofrecidos en sitios educativos de Internet. Se mostró a los docentes cursantes una
serie de sitios educativos, en idioma español, cuyos materiales vinculados al tema ecuaciones
previamente habían sido evaluados de acuerdo a algunos criterios tales como: la existencia de
situaciones de ecuaciones aplicadas a dominio extra-matemático, la exposición de desarrollos teóricos, la presencia de ejercicios resueltos, el uso de tecnologías de información y comunicación
(presentaciones de diapositivas, videos, applets, etc.), el destinatario de los materiales (docente o
alumno), tipo de actividades propuestas en el material (contextualización, ejercitación, aplicación o problematización), momentos de la secuencia didáctica para los que serían apropiados los materiales
del sitio. La categorización fue expuesta a los docentes cursantes mediante presentación de
diapositivas y fue recibida y valorada positivamente.
Se proporcionó a los docentes material de lectura domiciliaria sobre los indicadores de
idoneidad epistémica (Godino, 2011).
3.4. Cuarto encuentro
Este encuentro se segmentó en dos momentos. Un primer momento destinado a profundizar en
el estudio de la idoneidad epistémica; un segundo momento para propiciar la metacognición respecto
de la tarea docente de diseño de secuencias didácticas.
Se inició la jornada retomando la noción de idoneidad didáctica. También se evocaron, de manera general, los indicadores que permiten evaluar la adecuación y pertinencia de cada una de las
dimensiones que componen la idoneidad didáctica.
Cada uno de los indicadores dio lugar al intercambio y discusión con los cursantes, en relación a
la forma de ponerlos en práctica a la hora de diseñar y construir materiales didácticos para trabajar con
los alumnos, y también para evaluar materiales ya elaborados. En particular se focalizó la atención sobre algunos de los indicadores de idoneidad epistémica (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007);
los mismos figuran a continuación:
• Selección de una muestra representativa y articulada de situaciones de contextualización,
ejercitación, aplicación y problematización.
• Uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...), traducciones y
conversiones entre los mismos con el nivel del lenguaje adecuado para los estudiantes.
• Propuesta de situaciones de expresión e interpretación
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
• Definiciones, enunciados y procedimientos clara y correctamente expresados, según el significado de referencia, adaptados al nivel educativo al que se dirigen
• Propuesta de situaciones para la generación y negociación de las reglas.
• Adecuación de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel educativo a que se
dirigen.
• Se promueven momentos de validación.
Posteriormente se realizó con los docentes una primera actividad de evaluación de idoneidad. Se
les proporcionó una guía de trabajos prácticos extraída de un sitio de Internet referida al tema ecuaciones exponenciales y logarítmicas; se les propuso a los cursantes que, por grupos, consideraran
los indicadores para evaluar la idoneidad epistémica de la guía proporcionada. Posteriormente se
realizó una puesta en común.
Al finalizar se destinó un tiempo para discutir en grupos cuáles serían los posibles pasos para
construir una secuencia didáctica buscando que tenga un buen nivel de idoneidad. Se hizo una puesta
en común.
3.5. Quinto encuentro
Este encuentro tuvo como objetivo el inicio del trabajo final enmarcado en los criterios de
idoneidad estudiados en encuentros anteriores, en particular de idoneidad epistémica. Dicho trabajo implicaba el diseño de una secuencia didáctica, a ser realizado por uno o dos docentes. La misma
abordaría un tema relativo a ecuaciones destinado a estudiantes de alguno de los docentes autores del
trabajo y debería reflejar los pasos acordados incluyendo objetivos, actividades, recursos y evaluación. Se les pidió enviar, en un mes, una primera versión digital del trabajo por correo electrónico. Sobre esa
versión se hicieron observaciones para ir mejorándolo.
3.6. Sexto encuentro
Se desarrolló una charla sobre el tema: “Analizando nuestras secuencias didácticas: ¿Cómo
prevenimos y abordamos los errores de los estudiantes?”. La misma estuvo a cargo del Doctor Marcel Pochulu, investigador de renombre nacional e internacional de la Universidad Nacional de Villa
María. El Doctor Pochulu desarrolló la charla abordando el tema de diferentes estilos de
intervenciones docentes cuando los estudiantes formulan conjeturas erróneas en la clase. En ese aspecto, se centró en la valoración de algunas cuestiones de la idoneidad interaccional pues hay
diferentes maneras de "resolver un conflicto", en el sentido de asignación de diferentes significados de
objetos matemáticos, en una clase.
3.7. Séptimo encuentro
Para este encuentro se les solicitó a los docentes participantes traer una versión impresa y una
digital del trabajo final mejorado. Las actividades se dividieron en dos etapas.
En la etapa inicial, cada uno de los grupos presentó su trabajo mediante un cañón de
proyección. La consigna fue mostrar una actividad asociada a cada uno de los significados de
ecuaciones y la evaluación final de la secuencia. Esta puesta en común permitió, no solamente que cada grupo conociera el trabajo de sus compañeros, sino también el intercambio enriquecedor entre los
docentes.
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En la segunda etapa, se repartieron versiones impresas de los trabajos de manera tal, que cada
equipo pudiera evaluar la idoneidad didáctica de la secuencia diseñada por otro mediante una grilla de
co-evaluación (Figura 3). En dicha grilla, se proponen tres niveles de valoración: muy satisfactorio, satisfactorio y poco satisfactorio, con la finalidad de evaluar el grado de cumplimiento de los distintos
indicadores de cada idoneidad. Así también se anexó una columna destinada a sugerencias y pareceres.
Idoneidad Indicador
Mu
y
sati
sfacto
rio
Sati
sfacto
rio
P
oco
sati
sfacto
rio
Su
geren
cia
s
epistémica
Utiliza una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación, aplicación y problematización,
En las tareas y actividades, aparecen los distintos significados de
ecuaciones.
Utiliza diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...),
traducciones y conversiones entre los mismos, con el nivel del
lenguaje adecuado para los estudiantes.
Las definiciones, los enunciados y los procedimientos están clara y
correctamente expresados, de acuerdo al nivel educativo al que se
dirigen
Se planifican momentos de validación.
cognitiva
Se prevén instancias de evaluación de los conocimientos previos
necesarios para el estudio del tema
Los significados pretendidos se pueden alcanzar (tienen una
dificultad manejable).
afectiva
Se proponen tareas de interés o situaciones que permitan valorar la
utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
mediacional
Se prevé el uso de materiales manipulativos y/o informáticos que
permitan introducir situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al significado pretendido.
El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la
secuencia planteada.
Las actividades son acordes a los horarios de la clase y a los espacios
disponibles.
Los significados pretendidos /implementados son acordes al tiempo
previsto (presencial y no presencial)
La distribución del tiempo prioriza los contenidos más importantes o
nucleares del tema o los que presentan más dificultad de
comprensión.
ecológica
Los significados, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares.
Se integran nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)
en la secuencia propuesta.
Los significados contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes.
Los significados se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
interaccional Se describen actividades docentes y discentes en las que se propicia
el diálogo y comunicación.
Tabla 3. Planilla de evaluación de las secuencias didácticas. Fuente: Baccelli et al, 2017.
Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de secuencias didácticas S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler
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En el cierre de este último encuentro, con el objetivo de que los docentes participantes
evaluaran el curso, se les entregó una tabla para completar con observaciones de aspectos que
consideraran positivos, negativos y/o interesantes.
El proceso de evaluación y mejora de los trabajos continuó, vía mail, con el aporte de los
docentes que impartieron el curso y la co-evaluación realizada por los pares.
3.8. Ejemplo de uno de los trabajos presentados por los participantes del taller
En este apartado se pretende mostrar, a modo de ejemplo, uno de los trabajos presentados en el
que se aplicaron los significados que emergieron del taller y la aplicación de los descriptores de la
idoneidad epistémica, para el análisis de una actividad didáctica, y su posterior mejora. Dicha actividad corresponde al tema ecuaciones trigonométricas, para ser implementadas en el último año de
la Escuela Media.
Se exponen dos versiones de la misma actividad. La primera versión (Figura 5) fue entregada,
por los docentes en el séptimo encuentro y tuvo la co-evaluación de todo el grupo, buscando analizar el cumplimiento de los descriptores de la idoneidad epistémica (Tabla 1), procurando con ello abordar
la mayor cantidad de significados acordados. La segunda de las versiones (Figura 6) es la mejorada
con las modificaciones realizadas.
Figura 5. Primera versión de la actividad
Al analizar los descriptores de idoneidad epistémica (Tabla 1), los docentes, pudieron apreciar que se proponen situaciones de interpretación y se utilizan diferentes modos de expresión (descriptores
3 y 5). Sin embargo, observaron ciertas falencias que evidencian el no cumplimiento de algunos
descriptores, que se describen a continuación:
• Los incisos a) y e) no están contextualizados. La actividad no está correctamente articulada
(descriptor 1).
• Cuenta con escasas propuestas de situaciones para analizar frente a un problema del que se
puede sacar más provecho (descriptor 7).
• Al ejercicio le faltan datos a tener en cuenta (descriptor 6).
• No tiene propuestas para la generación y negociación de las reglas (descriptor 8).
• No se promueven momentos de validación (descriptor 10).
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De acuerdo a las observaciones realizadas, los docentes, efectuaron las modificaciones
pertinentes para mejorar la idoneidad epistémica de la actividad (Figura 6). Las mejoras presentadas se
argumentaron de la siguiente manera:
• Se modificaron los incisos a) y e) (este último pasó a ser el c) en la última versión) para
contextualizar los mismos en relación al problema planteado.
• Se modificó el orden de los incisos para lograr correcta secuenciación de la actividad.
• Se adicionó el f) y se completaron los incisos a) y d) (que pasó a ser el e) en la versión modificada) para lograr el significado de la ecuación como práctica algorítmica, como un
modelo matemático y como una expresión de una relación entre variables representada en
distintos registros.
• Se incluyeron los ítems e) y f) para encontrar las infinitas soluciones a partir de una forma
general.
Figura 6. Versión mejorada de la actividad
4. Resultados
La posibilidad que brindó el taller de compartir las experiencias docentes en torno a la
enseñanza de ecuaciones en el aula representó uno de los principales logros vivenciados.
Además, emergieron acuerdos importantes a partir del análisis conjunto realizado durante los
encuentros. Tal es el caso de la categorización de significados asociados a ecuaciones. Como se
detalló en la descripción de la experiencia, surgieron cuatro significados fundamentales:
• Como práctica algorítmica
• Como expresión de un modelo matemático asociado a un problema intra o extra matemático
• Como expresión de una relación entre variables representada en distintos registros (gráfico, coloquial o simbólico)
• Como relación de igualdad entre expresiones que contienen una o más incógnitas
(proposicional)
Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de secuencias didácticas S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler
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Otro resultado, derivado del trabajo conjunto con los docentes, fue la enumeración de los
posibles pasos para construir una secuencia didáctica buscando que tenga un buen nivel de idoneidad.
De la puesta en común se consensuó e institucionalizó el siguiente listado de pasos:
• Responder a la pregunta: ¿Qué se quiere enseñar?
• Diagnosticar conocimientos previos
• Definir recursos materiales y temporales disponibles
• Plantear objetivos dentro del eje que se está tratando
• Diseñar actividades
• Evaluar las idoneidades a priori y a posteriori de la implementación de la secuencia en el
aula como retroalimentación para su mejora.
El último paso señalado en el párrafo anterior, manifiesta otro resultado importante: haber puesto en práctica una herramienta teórico-metodológica como es el conjunto de indicadores de
idoneidad didáctica para evaluar, al menos parcialmente, una secuencia didáctica diseñada. En los
últimos encuentros se utilizaron estos indicadores tanto para evaluar la propia secuencia diseñada
como para evaluar la secuencia elaborada por colegas en las instancias de co-evaluación.
La mejora de la actividad que se muestra en esta publicación, representa un ejemplo y un resultado de lo trabajado con los participantes del taller. Asímismo, el uso que ellos realizaron, tanto
de los significados asignados a ecuaciones, como de los descriptores de la idoneidad didáctica,
constituyen un aporte orientado a la mejora en el proceso de enseñanza y aprendizaje de ecuaciones.
Finalmente, los docentes participantes del taller expresaron sus opiniones, en forma individual y escrita, sobre los aspectos Positivos, Negativos e Interesantes (PNI) con el objetivo de realizar una
evaluación sintética del curso que también sirvió de devolución para quienes diseñaron, impartieron y
evaluaron el taller.
Los aspectos señalados como Positivos se pueden sintetizar en las siguientes frases expresadas
por los docentes participantes del taller: los temas innovadores, las “buenas enseñanzas”, la interacción con los pares, los diferentes aspectos para el abordaje de las ecuaciones (significados), el
compromiso de quienes asumieron el dictado del taller, el enfoque (EOS) como
novedoso/ameno/didácticamente presentado, la posibilidad de realizar una mirada sobre las propias
prácticas a partir de las idoneidades, el taller dictado por el especialista Pochulu.
Los aspectos Negativos se refirieron a cuestiones operativas tales como: tardanza en entrega de
certificados, el no reconocimiento de la inasistencia a los colegios de parte de algunas autoridades, el
poco interés de algunos docentes que abandonaron el curso.
Los aspectos Interesantes giraron en torno a la posibilidad de participar del Taller brindado por
el Dr. Marcel Pochulu y al buen material entregado durante el curso.
5. Reflexiones finales
La dinámica cambiante de la sociedad y la educación como fenómeno inherente a ella plantea
constatemente problemáticas. Las instituciones educativas en los distintos niveles deben adaptarse a esa dinámica y coordinar saberes, puntos de vista y abordajes. Por otra parte, desde el campo de la
investigación educativa surgen elementos y herramientas cuya aplicación en las aulas no se traslada
fácilmente.
Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de secuencias didácticas S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler
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La idea del taller surgió como primer intento de articulación entre escuela secundaria y nivel
universitario para abordar distintas problemáticas de los estudiantes en relación a las ecuaciones. Su
implementación brindó la enriquecedora oportunidad de compartir experiencias docentes de los dos
niveles antes mencionados.
Al mismo tiempo el taller fue un escenario de difusión y aplicación de algunas herramientas
didácticas proporcionadas por el EOS para trabajar en dicho abordaje. El taller se focalizó en los
conceptos de significado de objetos matemáticos e idoneidad didáctica. La determinación de los significados, de los objetos matemáticos que se pretenden abordar en una secuencia didáctica, es el
paso inicial imprescindible para su diseño. En este sentido es de destacar el surgimiento, a partir del
acuerdo entre los docentes participantes del taller, de cuatro significados fundamentales asociados a
ecuaciones.
Por otra parte, los indicadores de idoneidad didáctica aplicados, orientaron tanto la evaluación como la co-evaluación de las secuencias diseñadas, al mismo tiempo que guiaron su mejora. Esto
brindó un espacio de reflexión sobre la propia práctica docente a fin de tener una actitud crítica y
valorar esta evaluación como una instancia de producción de nuevos conocimientos didácticos.
Queda pendiente la propuesta de completar esta experiencia abarcando el análisis de otras dimensiones de la idoneidad didáctica que sólo podrían abordarse a partir de secuencias
implementadas en el aula.
Bibliografía
Agüero, M. F.; Pennisi, E.; Baccelli, S.; Moler, E. (2016) Análisis y mejora de una secuencia didáctica sobre ecuaciones trigonométricas. 2do. Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la
Matemática – 3er.Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (2 CIECyM - 3 ENEM)
Tandil. Argentina.
Aznar, A.; Baccelli, S.; Prieto, G.; Figueroa, S.; Distéfano, M. L. y Moler, E. (2012) Habilidades matemáticas en ingresantes a carreras de ingeniería: un análisis de las dificultades desde el enfoque
ontosemiótico. Actas del Foro Mundial de Educación en Ingeniería World Engineering Education
Forum (WEEF 2012) Buenos Aires. Recuperado el 1 de agosto del 2016 de, http://weef2012.edu.ar/archivos/papers/WEEF2012.pdf
Baccelli, S. G. y Moler, E. (2017). Significados e idoneidad de secuencias didácticas en un taller de
capacitación sobre ecuaciones. En J. M. Contreras, P. Arteaga, G. R. Cañadas, M.M. Gea, B. Giacomone y M. M. López-Martín (Eds.), Congreso International Virtual sobre el Enfoque
Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (CIVEOS). Recuperado el 30 de
agosto de 2017 de, enfoqueontosemiotico.ugr.es/civeos.html
Distéfano, M.L., Aznar, M., Pochulu, M. (2016). Prácticas matemáticas y funciones semióticas en la significación de representaciones simbólicas de la matemática superior. Revista Electrónica de
Investigación en Educación en Ciencias, 11(2), 1-16.
Godino, J., Batanero, C., Font, V. (2009). Un enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática. Recuperado el 1 de agosto del 2016 de, http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-
semioticas/sintesis_eos_10marzo08.pdf
Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. & Wilhelmi, M. R. (2007). Pauta de análisis y valoración de la
idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Recuperado el 1 de agosto del 2016 de, http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-
semioticas/pauta_valoracion_idoneidad_5enero07.pdf
Godino, J. (2011) Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Recuperado el 1 de agosto del 2016 de,
http://www.ugr.es/~jgodino/eos/jdgodino_indicadores_idoneidad.pdf
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
Serrano Gómez, Wladimir. (2005). El significado de objetos en el aula de matemáticas. Revista de
Pedagogía, 26(75), 131-166.
Recuperado en 14 de septiembre de 2017 de, http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0798-
97922005000100006&lng=es&tlng=es
Sandra Graciela Baccelli. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.
Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Prof. Universitaria en Matemática,
Especialista en Investigación Educativa por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT). Docente-
investigadora en la Facultad de Ingeniería y profesora en el nivel medio, miembro del Grupo de
Investigación en Enseñanza de la Matemática en Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]
María Andrea Aznar. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.
Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora Universitaria en Matemática,
Especialista en Investigación Educativa y Magister en Enseñanza de la Matemática en el nivel superior por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT). Docente-investigadora en la Facultad de Ingeniería y en
el nivel medio, miembro del Grupo de Investigación en Enseñanza de la Matemática en Ingeniería
(GIEMI). E-mail: [email protected]
María Laura Distéfano. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.
Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora en Matemática, Magíster en
Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT).
Docente-investigadora en la Facultad de Ingeniería de la UNMDP. Integrante del Grupo de Investigación
en Enseñanza de la Matemática en carreras de Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]
Stella Maris Figueroa. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Dirección Postal:
Juan B. Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora en Matemática,
Magíster en Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior por la Universidad Nacional de Tucumán
(UNT). Profesora Adjunta con dedicación exclusiva en la asignatura Estadística Básica de la Facultad de
Ingeniería de la UNMDP. Integrante del Grupo de Investigación en Enseñanza de la Matemática en
carreras de Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]
Emilce Moler. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Dirección Postal: Juan B.
Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Doctora en Bioingeniería, especialista en
Procesamiento Digital de Imágenes, Mg en Epistemología y Metodología de la Ciencia y Profesora
Universitaria en Matemática. Docente-investigadora de la UNMdP, Directora del grupo de
investigación Grupo de Investigación de Enseñanza de la Matemática en Carreras de Ingeniería (GIEMI).
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 45-54
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores
aleatorios con GeoGebra
Óscar Jesús Falcón Ganfornina (Instituto de Enseñanza Secundaria San Pablo. España)
Fecha de recepción: 14 de junio de 2017
Fecha de aceptación: 24 de octubre de 2017
Resumen La web Matematicaula nos ofrece una serie de applets de GeoGebra con los que trabajar,
desde el aula, diferentes contenidos matemáticos mediante razonamientos guiados o
actividades resueltas. Estas dos dinámicas permiten que el alumnado estructure sus
razonamientos y saque conclusiones. Los valores aleatorios que se generan con
GeoGebra proporcionan infinidad de ejemplos y actividades.
Palabras clave Razonamientos, guiados, actividades, resueltas, valores, aleatorios, GeoGebra.
Title Guided reasoning and resolved activities using random values with GeoGebra
Abstract Matematicaula website offers some GeoGebra applets with different mathematical
contents through guided reasoning or solved activities. These two dynamics allow
students to structure their minds. Random values that can be generated with GeoGebra
provide us infinite examples and activities.
Keywords Reasoning, Guided, Activities, Resolved, Values, Random, GeoGebra
1. Introducción
En el año 2008, cuando aún no había finalizado mi licenciatura de Matemáticas, empecé a diseñar
la web Matematicaula (http://matematicaula.com.es). Mi objetivo era empezar a recopilar material didáctico que pudiese ser utilizado en mis futuras clases. Con el paso de los años, se han ido añadiendo
poco a poco todo tipo de contenidos para trabajar en el aula, en su mayoría de creación propia. A día de
hoy, Matematicaula es un portal que dispone de applets de GeoGebra para Educación Primaria,
Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. Algunas secciones de la web incluyen contenidos que no requieren el uso de GeoGebra: hojas de trabajo, juegos matemáticos (Falcón, 2012), material de
papiroflexia, decoraciones para el aula, así como webquests, videos, galerías de imágenes matemáticas,
etc.
Las posibilidades del programa GeoGebra me han permitido generar distintas dinámicas de trabajo, de modo que, en este artículo, voy a destacar dos de ellas: los razonamientos guiados y las
actividades resueltas. Estas dos dinámicas buscan avanzar en el modelo tradicional de la enseñanza
matemática, que se centra en tres pasos: se enfrenta al alumnado con los conceptos, se pasa a realizar algunos ejemplos resueltos, y se inicia la resolución de un listado repetitivo de ejercicios similares. Este
modelo ha sido cuestionado por distintas teorías pedagógicas (Godino, 1991), las cuales observan cómo
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parte del alumnado se bloquea, cómo no se favorece el aprendizaje matemático o cómo se aleja los
contenidos de la realidad cotidiana.
Las dos dinámicas mencionadas intentan que los alumnos estructuren sus pensamientos, así como
que saquen sus propias conclusiones. Una clave para ello estará en el uso de valores aleatorios (Falcón y Ríos, 2014) que se utilizan para generar las actividades. Con un único clic podemos generar en el
momento un nuevo ejemplo resuelto que nos permita aclarar dudas, informar de casos particulares, o
evitar crear falsas propiedades fruto del azar numérico. Es más, estos applets facilitan al alumnado infinidad de ejemplos y actividades para trabajar desde casa, todos resueltos e incluso explicados en su
mayoría.
2. Razonamientos guiados
Una tarea que tenemos los docentes, y no solo en la asignatura de Matemáticas, es conseguir que el alumnado exprese con palabras escritas qué está haciendo o qué pasos está dando. Salvo excepciones
puntuales, todos mis alumnos que no estaban habituados a explicar sus razonamientos, poseían
cuadernos ineficaces y elaboraban exámenes caóticos.
• Sus cuadernos se componían de un cúmulo de números y operaciones, sin un orden adecuado.
Con suerte y si hemos insistido, el alumno tendrá copiados los enunciados de las actividades
y podrá saber el origen de los mismos. El problema principal es que toda esa información del cuaderno será difícil de descifrar pasadas unas horas. Tendrá que invertir tiempo cada vez
que decidiese repasar el trabajo realizado, para recordar en qué consiste lo escrito en él.
• Los exámenes son extensiones de sus cuadernos. Para muchos alumnos, el objetivo es el de
rellenar el espacio en blanco del folio con números y operaciones, hasta que se tenga la sensación de haber finalizado la actividad. A la hora de corregirles los exámenes, somos
nosotros los que intentamos buscar el guion seguido por el alumno. Pero deben ser ellos los
que comprendan que esa no es tarea nuestra, sino que es su obligación el demostrar que saben
qué han hecho y por qué.
Estas situaciones no son exclusivas de mi alumnado. La dificultad de los estudiantes a la hora de explicar los razonamientos ha sido objeto de estudio en multitud de textos especializados de Didáctica
de las Matemáticas (Goizueta y Planas, 2011; Orrantia, 2006).
El objetivo de los razonamientos guiados es marcar al alumnado unas pautas a seguir, y mostrarles
una posible forma de detallar con palabras los razonamientos seguidos. No se deben tratar los razonamientos guiados como una imposición memorística en el modo de resolver un problema, ni una
automatización de ninguno de los procedimientos matemáticos. En tal caso, los alumnos estudiarán de
memoria los textos que aparecen en los applets de GeoGebra, sin entenderlos y sin saber aplicarlos. Se deben entender estos razonamientos como el punto de partida de los argumentos a seguir, la forma en
que pueden aparecer escritos en sus cuadernos, e inspiración para futuros textos explicativos que ellos
deberán expresar con sus propias palabras y que necesiten a lo largo del curso.
Una vez que podemos confirmar que los conceptos básicos han sido comprendidos, uno de los
beneficios de los razonamientos guiados es que permite dar respuesta a una de las preguntas que los estudiantes suelen formular: ¿qué tengo que hacer? En el momento en que el alumno afirme no saber
cómo continuar, la referencia a los razonamientos guiados hará que él mismo sea consciente de no haber
trabajado o estudiado lo suficiente. Si no fuese el caso, habría que analizar la razón de dicho bloqueo y conseguir que el alumno sea capaz de expresar qué paso exactamente. Al evitar la frase hecha “no he
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entendido nada” y señalar el paso exacto, conseguimos ahorrar tiempo y animar al alumno en la
comprensión de los pasos anteriores.
En la estructura de los applets de GeoGebra nos encontraremos, al menos, con un deslizador
(vertical u horizontal). Este deslizador permitirá al alumno descubrir los sucesivos pasos que debe llevar a cabo. Cada uno de los pasos debe tener una etiqueta que los identifique. Además, según se avance con
el deslizador, es conveniente que aparezca un pequeño texto que aclare en qué consiste dicho paso.
A continuación, veremos algunos ejemplos de razonamientos guiados:
2.1. Regla de tres directa (para 1º de ESO)
Nos podemos encontrar distintos problemas de reglas de tres, con datos aleatorios, en la página:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=regladetresdirecta
Los pasos del razonamiento guiado en este applet son: indicar las magnitudes, colocar los datos,
pasar a fracciones y resolver el problema.
Cada vez que se actualiza el applet, no sólo variarán los datos numéricos, sino que hay una
pequeña base de problemas de texto que irán apareciendo poco a poco.
Figura 1. Ejemplo de problema en applet de GeoGebra
2.2. Identidades notables (para 2º de ESO)
Las identidades notables las podemos trabajar entrando en la página:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=identidadesnotables
En este applet aparecerán tres pasos de desarrollo: identificar las variables, sustituir y desarrollar. Al actualizar el applet, los sumandos de la identidad notable cambiarán aleatoriamente. Esto nos
permitirá identificar mejor cómo obtener el desarrollo de dicha identidad. Finalmente, para poder
trabajar los tres tipos de identidades notables, aparece un segundo deslizador en la parte superior.
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48 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
Figura 2. Ejemplo de identidad notable desarrollada en applet de GeoGebra.
2.3. Extracción de factores en los radicales (para 3º de ESO)
Para entender cómo se extraen factores en un radical entramos en:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=extraccionfactoresradical
Tras cuatro pasos explicados con texto y con ejemplos numéricos, el alumno puede mover el
deslizador superior, y trabajar con un listado de actividades generadas con valores aleatorios.
Figura 3. Ejemplo de razonamiento guiado con radicales en applet de GeoGebra
2.4. Simplificación de fracciones algebraicas (para 4º de ESO)
Una mezcla de razonamiento guiado con actividad resuelta (que se tratará en el siguiente
apartado) la podemos encontrar en la simplificación de fracciones algebraicas:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=simpfracalgebraicas4
Los pasos del desarrollo son: factorizar y simplificar.
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Hay que tener en cuenta que, al trabajar con GeoGebra en modo HTML, puede que ciertas
operaciones tarden en cargar (especialmente si se utilizan ordenadores con unos años de antigüedad).
Figura 4. Ejemplo de simplificación siguiendo los dos pasos (factoriza-simplifica) en applet de GeoGebra
2.5. Intervalos de confianza (para 2º de Bachillerato)
Las actividades con razonamientos guiados no solo son útiles en cursos de la ESO. En este applet:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=bac-intervalosconfianzamedias
Figura 5. Ejemplo de resolución de problema de Selectividad en applet de GeoGebra
podemos ver desarrollado la resolución de un problema de intervalos de confianza para la media. Esta
actividad está destinada para alumnos de 2º de Bachillerato que cursan la opción de Matemáticas
Aplicadas a las Ciencias Sociales. El applet tiene un banco de problemas y los valores que aparecen son
aleatorios. Este applet nos permite a nosotros proyectar en la clase la resolución de una actividad que aparece en las pruebas de acceso a la Universidad, únicamente moviendo un deslizador. Y a nuestro
alumnado le permite comprender que dicha resolución sigue siempre los mismos pasos. La única
dificultad de cada problema es distinguir los datos proporcionados.
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina
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3. Actividades resueltas
La segunda categoría de applets de GeoGebra de las que haremos referencia son las actividades
resueltas. A diferencia de los razonamientos guiados, en ellos aparecen baterías de ejercicios para resolver. No suelen traer explicaciones ni pasos intermedios. Encontraremos las operaciones o
enunciados a resolver y sus soluciones ocultas. Estas se harán visibles cuando cliquemos en la casilla de
control.
Resultan interesantes por distintos motivos:
• Permiten al alumnado sacar conclusiones a partir de distintos ejemplos. Tal como se
comentó en el apartado introductorio, el hecho de que al pulsar el botón se generen nuevos ejemplos conlleva aclarar dudas que un único ejemplo no aparecerían, informar
de casos particulares que a nosotros no se nos hubiese ocurrido, o evitar crear falsas
propiedades fruto del azar numérico.
• Consiguen que pierdan el miedo a equivocarse. El alumno pierde la excusa de no poder trabajar por no saber el resultado y no saber si lo está haciendo bien. Si se ha equivocado,
no pasará nada, lo corregirá, buscará el fallo y aprenderá de los errores.
Algunos ejemplos que nos podemos encontrar en la web son:
3.1. Operaciones con decimales (para 1º de ESO)
Para generar operaciones con números decimales, tanto sumas, restas, productos o divisiones,
podemos utilizar el siguiente applet:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesdecimales1
Figura 6. Ejemplo de operaciones con decimales resueltas en applet de GeoGebra.
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina
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3.2. Operaciones con fracciones (para 3º de ESO)
Podemos conseguir generar infinidad de operaciones con fracciones. Este applet tiene como
inconveniente que la estructura de estas operaciones son siempre las mismas. Es decir, únicamente
cambian los números que aparecen, pero no el orden de las operaciones. El regenerarlas permite que nuestros alumnos asimilen la jerarquía de operaciones y observen el comportamiento de estas si
repetimos su resolución en clase hasta obtener el resultado indicado. La dirección del applet es:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesfracciones3
Figura 7. Ejemplo de operaciones con fracciones resueltas en applet de GeoGebra
3.3. Razones trigonométricas respecto a una dada (para 4º de ESO)
Finalizamos esta sección con un applet de GeoGebra que genera ángulos en la circunferencia
goniométrica, de forma que, visualmente, podemos obtener las razones trigonométricas de distintos
ángulos. Lo encontraremos en la siguiente dirección:
http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=razonestrigonometricasrespectounadada
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina
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Figura 8. Ejemplo de obtención de razones en applet de GeoGebra
4. Ejemplos de exámenes resueltos por alumnos
Esta forma de proceder en nuestra aula se ve reflejada tanto en los cuadernos de los alumnos como
en los exámenes. Una vez superada la fase inicial de rechazo ante el trabajo extra, cuando un alumno se
da cuenta que realmente le resulta más sencilla la resolución de actividades, y que esto se refleja en la
nota, este te empieza a exigir que les detallemos el razonamiento.
Se van a mostrar ejemplos visuales de parte de exámenes resueltos por alumnos con los que se ha trabajado ambas dinámicas. Comenzamos con la resolución de una ecuación lineal con denominadores.
Observamos en la imagen la resolución de forma vertical en el lado izquierdo, y la descripción de los
pasos que sigue el alumno, en este caso de 2º de ESO, en el lado derecho.
Figura 9. Ecuación resuelta por alumna de 2º de ESO
Del mismo modo, una de mis alumnas de 4º de ESO, de la opción de Matemáticas Aplicadas (el
curso anterior cursó el Programa de Mejora del Aprendizaje y Rendimiento, PMAR, y llegó a este curso
con dificultades con las matemáticas), resuelve también una de estas ecuaciones siguiendo el mismo
procedimiento.
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina
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Figura 10. Ecuación resuelta por alumna de 4º de ESO
Finalizamos con un ejercicio de programación lineal resuelto por una alumna de 2º de
Bachillerato. Es interesante observar como al disponer toda la información ordenada, es más fácil para nosotros realizar la corrección, y nos permite comprobar que el alumnado está entendiendo los pasos
que ha seguido.
Figura 11. Problema resuelto por alumna de 2º de Bachillerato
5. Conclusiones
Cuando se han llevado estos applets al aula, la dinámica de clase ha permitido descubrir nuevas
dudas en el alumnado, así como nuevas formas de presentar y ordenar los pasos para una mejor comprensión. Como se ha comentado a lo largo del artículo, he notado en mis alumnos mayor facilidad
para entender muchos de los conceptos, han trabajado desde casa contenidos que de otra manera no lo
hubiesen hecho, y han mejorado la presentación y la argumentación en el cuaderno y en exámenes.
Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina
54 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
Todos los applets que podremos encontrar son siempre mejorables, pero siempre serán un buen
punto de partida para llevar GeoGebra al aula de una forma distinta.
No cabe duda de que el uso de los applets de razonamientos guiados o actividades resueltas va a
facilitar el trabajo del alumnado a la hora de hacerles enfrentarse a los contenidos matemáticos.
Bibliografía
Falcón, O.J. (2012). Juegos con la web Matematicaula. Números, 80. pp. 169-175.
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Enlared_01.pdf
Falcón, R. M., Ríos, R. (2014). AleatorioEntre[m,M]. I Encuentro en Andalucía de GeoGebra en el Aula. https://www.researchgate.net/publication/260157618_AleatorioEntremM
Goizueta, M., Planas, N. (2011). Interpretaciones sobre la argumentación en el aula de matemáticas de
secundaria por parte de un grupo de profesores. Departamento de didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales. Universidad autónoma de Barcelona.
Godino, J. (1991). Hacia una teoría de la Didáctica de la Matemática. Ed. A Gutiérrez.
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/viewFile/426/424
Orrantia, J (2006). Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas: una perspectiva evolutiva. Rev. Psicopedagogia; 23(71): 158-80.
Óscar Jesús Falcón Ganfornina. Nací en Sevilla el 20 de diciembre de 1986. Licenciado en Matemáticas
por la Universidad de Sevilla y Doctorado en la misma universidad. Profesor de Educación Secundaria en
el IES San Pablo en el curso 2016-17. Autor de la web Matematicaula.
Email: [email protected]
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 55-67
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cinco tesis sobre la
dificultad que la Matemática opone a los estudiantes
Omar Malet (Universidad Nacional de Tres de Febrero. Argentina)
Fecha de recepción: 30 de mayo de 2017
Fecha de aceptación: 25 de octubre de 2017
Resumen ¿Por qué la Matemática suele oponerles a los estudiantes una dificultad mayor que otras
materias? ¿Por qué esa dificultad persiste aun en experiencias que se construyen a partir de revisar críticamente las estrategias de enseñanza y evaluación, y de ensayar estrategias
alternativas? En este trabajo proponemos cinco tesis que pueden contribuir a explicar el
fenómeno, atendiendo a otras tantas dimensiones: el componente afectivo, la lengua
matemática, el tipo de conocimiento implicado al enseñar y aprender Matemática, el
proceso de estudio y los errores en pruebas y exámenes.
Palabras clave Dificultades en Matemática, Afectividad, Lengua, Conocimiento, Proceso de estudio,
Errores
Title Beyond teaching and assessment strategies? Five theses on the difficulty that
Mathematics opposes students
Abstract Why Mathematics often opposes students a greater difficulty than other subjects? Why
does this difficulty persist even in experiences that are constructed from critically
reviewing teaching and assessment strategies and testing alternative strategies? In this
paper we propose five theses that can contribute to explain the phenomenon, taking into
account so many dimensions: the affective component, the mathematical language, the
type of knowledge involved when teaching and learning Mathematics, the study process
and the errors in tests and exams.
Keywords Difficulties in Mathematics, Affectivity, Language, Knowledge, Study process, Errors
Se puede definir una red de dos maneras, según sea el punto de vista que se
adopte. Normalmente, cualquier persona diría que es un instrumento de malla
que sirve para atrapar peces. Pero, sin perjudicar excesivamente la lógica,
también podría invertirse la imagen y definir la red como hizo en una ocasión un
jocoso lexicógrafo: dijo que era una colección de agujeros atados con un hilo.
Julian Barnes. El loro de Flaubert
1. Introducción: el origen de una preocupación
Desde 2010, en la cátedra de Matemática y Metodología para su Estudio, del Ingreso a los
Estudios Universitarios de una universidad del área metropolitana de la Ciudad de Buenos Aires, República Argentina, intentamos ofrecerles a quienes aspiran a ingresar a la Universidad una
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experiencia alternativa para el estudio de la Matemática.
Algunas de las marcas de identidad de esa experiencia son:
1. El modo de entender las relaciones entre la Matemática y la “realidad”: en el marco de la
experiencia a la que nos referimos, los entes matemáticos no son presentados como entes abstractos, descontextualizados, sino como modelos matemáticos de situaciones de contexto
real. Esta opción de índole epistemológica supone reconocer a la realidad, y a los
fenómenos y procesos que en ella tienen lugar, como la fuente de la cual emergen aquellos
entes. Desde esta perspectiva, la génesis de los entes matemáticos hunde sus raíces en la realidad misma, y expresa el intento humano de describir, comprender, explicar y
transformar la realidad, resolviendo los problemas que ella plantea (en este sentido, la
génesis explica la ulterior aplicabilidad de dichos entes en el abordaje de problemas reales). 2. La redefinición de prioridades en el campo ontológico, es decir, en el campo de los objetos
matemáticos a movilizar, a enseñar, a evaluar: se resigna el tradicional predominio de los
objetos procedimentales, y, en particular, de los procedimientos estandarizados o algorítmicos, para incluir también como objetos de enseñanza, aprendizaje y evaluación a
las situaciones problemáticas (especialmente, a las situaciones contextualizadas, o de
contexto real), al lenguaje (en sus distintos códigos y registros, revalorizando, por ejemplo,
el lenguaje coloquial y el lenguaje gráfico o visual), a los argumentos, a los conceptos, a las propiedades y a los procedimientos de carácter heurístico o no algorítmico.
3. La modificación de la dinámica usual de las clases; en un registro didáctico, el cambio
propugna el trabajo autónomo de los estudiantes, sostenido por un material de estudio diseñado ad hoc, y acompañado por el docente. Esta dinámica supone renunciar al orden
explicador (Rancière, 2003), en el marco del cual el docente transmite el saber por la vía de
la explicación, en la creencia de que enseñar es narrar (Finkel, 2008), y de que los alumnos aprenden bebiendo la palabra profesoral (Perrenoud, 2012). Ahora bien: cuando los
alumnos trabajan en grupo, los de nivel más alto/ritmo más rápido tienden a liderar el
proceso de aprendizaje, asumiendo, ellos, el rol de explicadores del cual fue desplazado el
docente. Para minimizar ese riesgo, el criterio por el cual se les agrupa es el de una relativa
homogeneidad en cuanto a saberes previos y ritmos de aprendizaje de la materia.
La propuesta procura incidir en algunos de los rasgos estructurales más duros y cuestionados
de entre aquellos sobre los cuales descansan las clases tradicionales, y hasta procura “subvertirlos” en
clave de mejora. Por ello, es valorada positivamente por el equipo docente a cargo de su desarrollo (conformado por unos 30 profesores), por las autoridades de la Universidad y por muy buena parte de
los estudiantes.
Aun así, cuando se la evalúa en función del porcentaje de alumnos aprobados, su efectividad
puede quedar en entredicho, ya que ese porcentaje no difiere en la medida que quisiéramos del que se
obtiene por caminos más ortodoxos1.
Hemos dialogado con colegas de equipos docentes que promueven y sostienen proyectos de enseñanza de la Matemática que, desde el punto de vista de su condición de alternativas al statu quo
que suele prevalecer en las aulas (y que desde hace años viene recibiendo cuestionamientos
epistémicos, ontológicos y didácticos), son afines al que describimos. El diálogo pone de manifiesto
1 Aunque la legitimidad de la comparación es técnicamente problemática, ya que le subyace una lectura lineal de
resultados, que no toma en consideración ni qué se evalúa en un caso y en el otro, ni a través de qué
instrumentos.
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una preocupación compartida: aunque se la enseñe intentando atender a los cuestionamientos
mencionados, y aun haciéndonos cargo de las seguras limitaciones de tales intentos, la Matemática parece oponer al estudiantado una dificultad que no oponen otras materias, y que cabe sospechar que
le es consustancial.
En lo que sigue enunciamos cinco tesis que a nuestro criterio pueden contribuir a explicar ese
plus irreductible de dificultad de la Matemática, o, al menos, a abrir la discusión en torno a un fenómeno que a veces nos desanima a quienes defendemos el derecho de todos a aprender Matemática
y estamos genuinamente convencidos de que pueden hacerlo.
Primera tesis: el componente afectivo
A lo largo de sus trayectorias educativas, muchos estudiantes desarrollan creencias, actitudes y
emociones poco favorables hacia la Matemática y su aprendizaje: una visión meramente algorítmica de la Matemática, poca confianza en las propias posibilidades para aprenderla, miedo o aversión
hacia la materia. Esas formaciones afectivas se potencian, además, y paradójicamente, por la
importancia que social y académicamente se le concede a la Matemática. Si bien tales formaciones
suelen tener origen en modalidades de enseñanza y evaluación inadecuadas, una vez instaladas se presentan como muy resistentes, aun ante modalidades alternativas orientadas a no provocarlas, o a
desactivarlas, y hasta se manifiestan bajo la forma de cuestionamientos a estas modalidades.
Hace ya más de dos décadas que los trabajos pioneros de McLeod (1992) llamaron la atención
sobre el hecho de que las variables afectivas y emocionales juegan un papel sustantivo en la enseñanza
y el aprendizaje de la Matemática.
En aquellos trabajos, McLeod se refiere al dominio afectivo como ese ancho rango de creencias,
sentimientos y estados de ánimo que, como generalmente se admite, va más allá del dominio de la
cognición. Para McLeod, los componentes o descriptores básicos de aquel dominio son las creencias,
las actitudes y las emociones.
Los tres componentes difieren en la estabilidad de las respuestas afectivas que representan, en la intensidad de los afectos que describen, en el grado en que la cognición está implicada en la respuesta
afectiva y en el tiempo que demanda su aparición y desarrollo: creencias, actitudes y emociones, en
ese orden, presentan grados decrecientes de estabilidad de la respuesta, niveles crecientes de implicación afectiva y de intensidad de la respuesta, niveles decrecientes de implicación cognitiva, y
períodos de aparición y desarrollo de duración decreciente.
Las creencias y las actitudes tienden a ser más estables que las emociones, que pueden cambiar
muy rápidamente (es lo que sucede cuando a la frustración que experimentamos al intentar resolver un
problema que se resiste le sigue la alegría de haberlo podido resolver); la intensidad afectiva de una creencia sobre la Matemática (“la Matemática es una colección de fórmulas y reglas”, por ejemplo)
suele ser menor que la de una actitud (afición o aversión hacia la materia, por ejemplo), que a su vez
es menor que la de una reacción emocional (ante un problema que no podemos resolver, por ejemplo); las creencias son en buena medida de naturaleza cognitiva, y en las actitudes se reconoce, también, un
factor cognitivo, mientras que en una emoción la carga cognitiva es más reducida; una creencia o una
actitud requieren para su desarrollo de un lapso relativamente largo, en tanto que las emociones
pueden aparecer y desaparecer repentinamente.
Weiner (1985) propone un punto de vista atributivo sobre los procesos afectivos, a partir de indagar en las atribuciones de causalidad por medio de las cuales intentamos explicarnos nuestros
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éxitos o nuestros fracasos.
Según el autor, tras el resultado de un evento experimentamos una emoción primitiva, una
reacción general de tono positivo (felicidad) o negativo (frustración), basada en una evaluación primaria: la percepción de éxito o fracaso de ese resultado, respectivamente. Esa emoción depende del
resultado, pero no, de la atribución causal.
Ahora bien, la evaluación primaria y la inmediata reacción afectiva concomitante, dan paso a la
búsqueda de una atribución causal, esto es, a una auto interrogación respecto de las causas del
resultado alcanzado.
Según que el resultado sea positivo o no, y que dichas causas sean percibidas como internas o externas a uno mismo (dimensión locus), como controlables o no (dimensión controlabilidad), como
estables o no (dimensión estabilidad), se generarán afectos o emociones diferentes, dependientes, esta
vez, de la atribución causal. Weiner identifica siete estados afectivos frecuentes: la ira (cuando un resultado negativo es atribuido a causas no controlables por parte de uno mismo y a una conducta
arbitraria del otro); la culpa (cuando un resultado negativo es atribuido a causas controlables y a la
falta de esfuerzo propio); la vergüenza (cuando un resultado negativo es atribuido a causas incontrolables y a una falta de capacidad); la desesperanza (cuando un resultado negativo es atribuido
a causas estables o persistentes); el orgullo y la autoestima (autoestima positiva, cuando un resultado
positivo es atribuido a causas internas, al mérito propio; autoestima negativa, cuando un resultado
negativo es atribuido a causas internas); la compasión (cuando un resultado negativo es atribuido a causas no controlables); la gratitud (cuando un resultado positivo es atribuido a la voluntad de alguien
que con su accionar quiso beneficiarnos).
Sin duda, como señala Blanco (2012), entre el aprendizaje de la Matemática y los afectos se
establece una relación cíclica: las experiencias por las que transitan los alumnos en las aulas de Matemática les provocan reacciones afectivas y emocionales que van sedimentando progresivamente
en creencias y actitudes, las que, recursivamente, imprimen cierta tonalidad emocional a las nuevas
experiencias de aprendizaje, y condicionan la performance de los estudiantes en estas nuevas
situaciones.
Cuando las creencias, las actitudes y las emociones relativas a la Matemática son prevalentemente negativas, y se estabilizan conforme el alumno recorre los distintos tramos del
sistema educativo formal, se producen tres fenómenos paradójicos. Por un lado, esa negatividad parece
potenciarse en contraste con la valoración positiva que de la Matemática hacen la sociedad y el propio sistema educativo, en la medida en que el alumno se siente ajeno a unos dominios en los que quisiera
habitar, o en los que sabe por sí y por los demás que es importante habitar. Por otro lado, aunque se le
ofrezcan encuadres de estudio de la Matemática más favorables para el desarrollo de un sistema de
creencias, actitudes y emociones de otro signo, se hace muy difícil desplazar al sistema anterior, que muchas veces, como un fantasma, invade el nuevo escenario e impide reconocerlo en lo que tiene de
más amigable. Pero además hasta suele suceder que en una suerte de compulsión a la repetición el
estudiante evalúa el encuadre alternativo, potencialmente capaz de mejorar sus posibilidades de aprendizaje, con nostalgia de aquellos encuadres que justamente lo condujeron a la posición
vulnerable en la que se encuentra, y demanda, en consecuencia, el retorno a dichos encuadres (el
encuadre que se le propone es percibido como deficitario respecto de los anteriores, porque en él están
ausentes muchos de los rasgos definitorios de aquellos encuadres).
No es descabellado hipotetizar que esas formaciones afectivas poco favorables para/hacia el
estudio de la Matemática participan en grados variables de la matriz explicativa de las dificultades de
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los estudiantes con y en la Matemática, particularmente en los cursos y niveles más avanzados del
sistema educativo.
Segunda tesis: la lengua matemática
Al igual que otras lenguas disciplinares (las de las ciencias naturales, por ejemplo), la lengua matemática, tanto en su vertiente coloquial o natural, como en su vertiente simbólica, es una lengua
estandarizada, económica en el modo de condensar información y de alta densidad conceptual; pero
la lengua simbólica, que es central en los quehaceres matemáticos, tiene una opacidad mayor que las lenguas simbólicas de otras disciplinas. La enseñanza de la Matemática puede y debe asumir la
responsabilidad de enseñar a leer y escribir en esa lengua específica, diseñando secuencias por las
que progresivamente los estudiantes se aproximen a su complejidad. Aun así, más temprano que tarde, el uso de la lengua matemática en las aulas es insoslayable, a riesgo de renunciar a enseñar y
aprender Matemática, o de sustituirla por una versión “desmatematizada” de sí misma.
Detengámonos en esa lengua simbólica, por lo que tiene de necesaria en el trabajo matemático.
En efecto, en términos de Duval (2007), esa lengua es uno de los registros de representación
semiótica que nos permiten exteriorizar nuestras representaciones mentales de los objetos de estudio, hacerlas visibles y accesibles para nosotros mismos y para los demás, y efectuar tratamientos
(cálculos, operaciones, razonamientos, transformaciones) sobre los objetos representados, que, a
diferencia de lo que ocurre en otros dominios, no son accesibles ni perceptiva ni instrumentalmente.
Cauty (2001), quien ha dicho que el matemático es un especialista que hace malabares con las
representaciones, proporciona una caracterización de la lengua matemática, en estos términos:
1. Los matemáticos utilizan una lengua específica, un sistema de palabras y símbolos,
incomprensible (e impronunciable) para el profano, como se pone de manifiesto en la
siguiente expresión:
sen x = k 2k 1
k 0
( 1) . x
(2k 1)!
2. Esa lengua es fundamentalmente una escritura, es decir, un sistema visual de representación simbólica, susceptible de ser leído idénticamente por todos, y sujeto a reglas formales
estrictas.
3. El núcleo de la escritura matemática es un sistema semiótico de tipo ideográfico
específicamente construido para la representación de términos (1, f, etc.), expresiones (a + 2, f(x), etc.), jerarquías (como las que indican los juegos de paréntesis, corchetes y
llaves: {[()]}), relaciones (<, =, , etc.), etc.
4. Como cualquier lengua, la escritura matemática se distribuye en numerosos registros que
corresponden a prácticas especializadas: la aritmética, el álgebra, la geometría, el cálculo de
probabilidades, etc.; al igual que cualquier otra comunidad lingüística, los matemáticos han creado un cierto número de géneros: el teorema, la definición, la demostración, la
enunciación de problemas.
5. La lengua matemática se presenta siempre como una mezcla; en un mismo enunciado
pueden estar presentes los recursos de todos los registros disponibles, pero también los recursos más generales, como los de la tipografía, la representación gráfica y la lengua
natural, de los que ningún texto matemático puede prescindir; por ejemplo, para escribir
simbólicamente la secuencia de cálculos “multiplicar 3 por 5 y sumarle 2 al producto”, y sus
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resultados, se hace indispensable recurrir a un separador que evite el uso abusivo y erróneo
del signo igual en el que incurriríamos si escribiéramos 3 x 5 = 15 + 2 = 17; una opción es
escribir 3 x 5 = 15 ; 15 + 2 = 17; otra opción es distribuir la escritura en dos renglones:
3 x 5 = 15
15 + 2 = 17
En ambos casos estamos apelando a recursos externos a la lengua matemática: el punto y
coma en el primer caso, la distribución espacial en el segundo.
6. De lo anterior resulta que el dialecto de los matemáticos está siempre ligado a una lengua
natural, que generalmente es la lengua materna del matemático; las constricciones que
impone ese uso hacen evolucionar la lengua natural hacia una jerga más o menos especializada.
7. El desarrollo de la escritura matemática y el de la Matemática como ciencia son solidarios,
se catalizan mutua y dialécticamente. 8. En el aprendizaje, al igual que toda lengua, la lengua matemática cumple la función de
acompañar y ayudar al pensamiento en el trabajo de identificación de los objetos y sus
relaciones, de clasificación, tratamiento y transformación de informaciones, y de
programación y control de las acciones.
La apropiación de esta lengua tan compleja y sofisticada por parte de los estudiantes implica en la práctica un proceso de alfabetización en una segunda lengua, que, además, y a diferencia de nuestra
lengua natural, no es alfabética o fonética sino ideográfica (sus símbolos no representan sonidos, sino
ideas).
Cierto es que cuando se enseña Matemática ese proceso tiende a ignorarse, borrando las dificultades que supone, como si la adquisición de la lengua matemática fuera de suyo. Pero aun
cuando como docentes estemos dispuestos a hacernos cargo de enseñarles a nuestros alumnos a
escribir en lengua matemática, y a leerla, aun cuando diseñemos progresiones y secuencias para
materializar esa voluntad, hemos de ser conscientes de que esa lengua es per se un factor de dificultad, y que lo es en mayor medida porque –por las razones antedichas– para manipular los entes
matemáticos no se puede prescindir de ella. Esto es, no hay posibilidades de hacer Matemática por
fuera de la lengua matemática.
Tercera tesis: el tipo de conocimiento
Desde el punto de vista de la distinción piagetiana entre conocimiento físico (o conocimiento de las propiedades de los objetos de la realidad externa), conocimiento lógico-matemático (o
construcción de relaciones) y conocimiento social (o conocimiento de las convenciones), aprender
Matemática supone principalmente –aunque no, exclusivamente– actos de conocimiento lógico-matemático, es decir, construcción de relaciones, construcción en la que no hay modo de sustituir el
protagonismo del estudiante por prácticas explicativas, narrativas, transmisivas, a cargo del docente.
Tomándonos, tal vez, ciertas libertades interpretativas, identifiquemos las nociones piagetianas
de conocimiento físico, conocimiento lógico-matemático y conocimiento social (Kamii, 1988) en una
situación del orden de lo real cotidiano.
Acompáñenos el lector en la suposición de que queremos tratar la superficie de una pared que
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tenemos a la vista con una base importada, de origen sajón; la base se vende a granel, y se fracciona en
latas de 1/2 litro; según el folleto que nos dieron en la tienda de pinturas, son necesarias 25 onzas
líquidas cada 100 pies cuadrados. ¿Cuántas latas deberíamos comprar?
Parece claro que, por un lado, necesitamos calcular el área de la superficie a tratar; ese cálculo
requiere de un trabajo empírico sobre la propia pared, ya que el área es una propiedad física de la
pared (como lo son, también, su textura, el material del que está hecha, etc.). Conocer el área de la pared, “arrancarle” a la pared esa información acerca de sí misma, supone un acto de conocimiento
físico.
En términos piagetianos, el conocimiento físico es el conocimiento de las cualidades o
propiedades de los objetos de la realidad externa, y el proceso por el cual se adquiere es el de
abstracción simple o empírica; este proceso consiste en centrar empíricamente nuestra atención en una propiedad del objeto de que se trate, poniendo entre paréntesis las demás propiedades: en el ejemplo,
nos centramos en el área, y prescindimos (al menos por un momento) de la textura de la pared, del
material con el que fue construida, etc.
En Matemática, a las nociones de perímetro, área y volumen, en tanto propiedades de objetos físicos, se accede por la vía del conocimiento físico. Por la propia índole de la disciplina, que tiende a
abandonar tempranamente los referentes físicos tangibles, el lugar del conocimiento físico en las
clases de Matemática es muy modesto.
Volvamos al tratamiento de la pared: para poder decidir cuántas latas de base deberíamos
comprar, casi seguramente se hará necesario traducir la información que nos brinda el folleto, de unidades del sistema imperial a unidades del sistema métrico decimal, más usual por estas latitudes, ya
que muy probablemente habremos medido las dimensiones lineales de la pared en centímetros o en
metros, y obtenido su área en centímetros cuadrados o metros cuadrados, y porque el contenido de cada lata nos viene dado en litros. Para hacer la traducción requeriremos de un agente informante (una
persona que conozca las equivalencias entre las unidades de ambos sistemas, una tabla de
conversiones en soporte papel, o, más frecuentemente, una página de internet). Ese agente informante
funciona como transmisor de unas equivalencias que descansan simultáneamente sobre la arbitrariedad de la definición del pie, o el metro, o la onza, o el litro, y sobre los consensos o las convenciones que
llevaron a optar por una de las definiciones posibles para cada unidad, y a atenerse a ella.
El conocimiento de los aspectos de la realidad que –como la definición de una unidad de
medida– son arbitrarios y convencionales es conocimiento social, y se adquiere mediante la
transmisión.
En las aulas de Matemática, la ya mencionada adopción de una unidad de medida por parte de
una comunidad, las nomenclaturas (¿Cómo se llama el polígono de cinco lados?, por ejemplo), las
notaciones (“logaritmo natural” se nota “ln”, por ejemplo), se conocen a través de actos de
conocimiento social.
Si retornamos a la situación propuesta, una vez conocidas el área de la pared y las equivalencias entre los dos sistemas de unidades de medida involucrados, para determinar la cantidad de latas de
base necesarias se requiere establecer un entramado de relaciones de proporcionalidad. Ese entramado
relacional es de índole lógico-matemática, y así como en el caso del conocimiento físico y el conocimiento social la fuente que provee la información es exterior al sujeto, en este caso es interna:
es el sujeto mismo, somos cada uno de nosotros, quienes establecemos las relaciones de
proporcionalidad mencionadas.
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El conocimiento lógico-matemático consiste, justamente, en construir, crear, establecer, fabricar
relaciones. Y el proceso constructivo por el cual se obtiene el conocimiento lógico-matemático es la
abstracción reflexiva o constructiva.
Si por la naturaleza de la Matemática el conocimiento físico no tiene mayor presencia, y si el
conocimiento social solo interviene cuando se trata de enseñar y aprender convenciones, queda clara la
centralidad del conocimiento lógico-matemático en el estudio de la Matemática.
Queda clara, también, otra raíz de la dificultad que encuentran los alumnos cuando estudian
Matemática: lo sustancial del saber matemático es inaccesible por la vía de la manipulación de objetos, y también lo es por la vía de la transmisión, ya que esas vías son propias del conocimiento físico y el
conocimiento social, respectivamente.
Aprender Matemática implica construir relaciones, y en esa construcción no hay modo de
sustituir el rol constructivo del propio aprendiz: un par o un profesor que explique, aunque lo haga con meridiana claridad, no hace sino describir las relaciones que ha conseguido establecer; escuchar esa
descripción no le garantiza a quien la escucha el poder reestablecerla; para que esto último suceda, es
condición sine qua non que se ponga en marcha el proceso de abstracción reflexiva.
Pero hay algo más: si las primeras relaciones matemáticas son relaciones entre objetos (por
ejemplo: un rectángulo tiene un lado más que un triángulo), las relaciones subsiguientes son relaciones entre relaciones (por ejemplo, lo es la transitividad: relacionando la relación a > b con la relación b >
c, se concluye que a > c). De ahí, cierto carácter acumulativo del aprendizaje de la Matemática, en el
sentido de que en cada plano o nivel son demandadas las relaciones entabladas en los planos o niveles precedentes; cuando estas relaciones no están disponibles, las posibilidades de aprendizaje se ven
obturadas, de la misma manera que cuando hay un diente fuera de lugar en la cremallera de un cierre,
el cierre no puede subir, o lo hace forzadamente, sesgadamente. Es por ello que las dificultades de los estudiantes para aprender Matemática (y las de los profesores para enseñarla) se agravan y potencian a
medida que se avanza en el sistema educativo, a menos que se logre reponer las relaciones faltantes o
deficitariamente establecidas.
Cuarta tesis: el proceso de estudio
El proceso de estudio que la Matemática requiere se parece más al que requiere, por ejemplo, aprender a tocar un instrumento musical que al que requieren otras materias de corte más
“discursivo”, que se pueden aprender (hasta cierto y limitado punto, al menos) leyendo y recordando.
Para aprender Matemática, para aprender a tocar la guitarra, se necesita de un tiempo más o menos
dilatado de haceres y quehaceres que la enseñanza puede promover y acompañar, pero que están ineludiblemente a cargo del estudiante, cuya disposición a someterse a esa disciplina2 es, entonces,
determinante.
Esta tesis tiene relación directa con la tesis anterior: el componente lógico-matemático del
conocimiento matemático, su prevalencia sobre los otros componentes y, en particular, sobre el componente social, torna inadecuadas, o insuficientes, las estrategias de lectura y memorización para
aprender Matemática.
2 Usamos aquí el sustantivo disciplina en el sentido de conjunto de normas o reglas cuya observancia de manera
constante conduce a cierto resultado, y no en el sentido de campo o rama del saber.
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Por otra parte, como afirma Chevallard (1997), en el caso de las asignaturas escolares existe
cierta propensión a confundir la actividad de estudio con la enseñanza o, al menos, a considerar únicamente como importantes aquellos momentos del estudio en los que el alumno está en clase con
un profesor.
Se olvida entonces que el aprendizaje, entendido como el efecto perseguido por el estudio, no se
produce solo cuando hay enseñanza, ni se produce únicamente durante la enseñanza, y que esta no es
sino un medio para el estudio.
El mismo Chevallard dice:
La situación parece más clara si, en lugar de las matemáticas, pensamos en
otro objeto de estudio como, por ejemplo, la música. Una persona que estudia
un instrumento (el piano, la guitarra o el saxo) suele ir a clase cada semana
con un profesor, pero la mayor parte del tiempo practica sola con su instrumento, además de escuchar discos, tocar con más gente e ir a
conciertos. Todas estas acciones son medios para el estudio, aunque sólo en
el primer caso podemos hablar, propiamente, de enseñanza. (Chevallard,
1997, p. 58).
Estudiar un instrumento implica ir a clase, sí, pero también implica, irrenunciablemente, esas
otras acciones que Chevallard enumera. Sin ellas, quien pretenda aprender a tocar el instrumento no lo
logrará.
En otras palabras, estudiar un instrumento implica la aceptación de una disciplina:
Entrar en una obra3 es someterse a su disciplina. Cuando hacemos
matemáticas o música rock o cuando jugamos a fútbol, la obra en la que
entramos se manifiesta al imponernos una serie de exigencias disciplinarias.
Si no aceptamos esta disciplina, por poco que sea, entonces nos quedaremos
en la superficie de la obra. Por ejemplo, nos limitaremos a escuchar pasivamente la clase de matemáticas o a oír (ni siquiera a escuchar) la música
rock, o a mirar a los futbolistas. (Chevallard, 1997, p. 112).
Seguramente no es azaroso el paralelismo que el texto de Chevallard traza entre el estudio de la
Matemática y el de la música (o la práctica del fútbol).
Salvo que la propuesta de enseñanza demande sustancialmente reproducir o repetir definiciones,
propiedades, procedimientos, demostraciones, etc., es imposible aprender Matemática solo leyendo un
texto, u observando cómo otros actores han resuelto o resuelven ejercicios y problemas, del mismo modo que lo es aprender a tocar la guitarra solo leyendo libros de técnica musical y mirando a un
ejecutante, por caso.
Entrar en una obra, como la Matemática, o la música, supone reconocer la disciplina propia de
la obra y someterse a ella. Chevallard advierte que se observa actualmente una fuerte resistencia de muchos jóvenes a entrar en la mayoría de las obras propuestas por la escuela. Es como si la vida
escolar, a partir de cierto nivel educativo, se caracterizara por una marcada tendencia de los alumnos a
3 Para Chevallard, una obra es una construcción humana que surge como respuesta a una pregunta o cuestión
problemática, o a un conjunto de ellas.
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ser solo espectadores de dichas obras y a no llegar nunca a ser actores de las mismas.
Lejos de responsabilizar al alumno, Chevallard propone dos explicaciones para ese fenómeno;
una primera explicación se basa en que en la escuela los jóvenes se encuentran de golpe con lo más duro de la disciplina de una obra, y que es esa dureza la que les impide entrar en la obra; pero una
segunda explicación, que el autor considera más verosímil, hace pie en la hipótesis contraria: la
resistencia de los jóvenes podría ser consecuencia del laxismo de la escuela que, al intentar mitigar por todos los medios el rigor de las disciplinas de las distintas obras (entre ellas, Matemática), impediría
que los alumnos pudiesen conocerlas y asumirlas.
Sea cual fuere su causa, en Matemática esa resistencia adquiere un status verdaderamente
dramático por la particular naturaleza de la materia, y si el estudiante no acepta las exigencias que su
estudio presenta, sus dificultades serán cada vez mayores, porque desafortunadamente se condenará a
sí mismo a permanecer en la superficie de los saberes matemáticos.
Quinta tesis: los errores en las evaluaciones
Los errores que cometen los estudiantes en las evaluaciones de Matemática suelen tener un
carácter más categórico, menos relativo por parte de quien las valora, que en otras disciplinas.
Suelen ser menos interpretables, o, en algún sentido, más objetivos.
Cuando los profesores de Matemática valoramos pruebas o exámenes, a menudo nos encontramos con errores cometidos por nuestros alumnos que no dejan margen para mejorar sus
calificaciones, aun cuando esté en juego, por pocas décimas de punto, la aprobación de la materia.
Ciertos errores parecen tener una contundencia que no podemos relativizar, y terminan por
arrastrar las calificaciones hacia abajo, como si de lastres se tratara.
La conversación con colegas de otras áreas sugiere que el fenómeno no se presenta en todas
ellas con la misma intensidad.
Se hace difícil hundir el estilete de la reflexión en un asunto en el que convergen, sin ninguna duda, desde tradiciones disciplinares hasta estilos, deformaciones y vicios profesionales, y también
prejuicios de unos campos disciplinares respecto de otros.
Intentaremos hacerlo con mucha prudencia, y con vacilaciones. Sospechamos (apenas
sospechamos) que en esa percepción diferenciada acerca de los errores en unas materias y en otras, en esa distinta valoración, hay algo más que tradiciones, estilos y prejuicios: hay, también, y en un grado
que no alcanzamos a precisar porque no es sencillo hacerlo, una especificidad disciplinar, una
particularidad de la Matemática, que condiciona objetivamente el juicio.
Procuremos captar esa especificidad por medio de algunos ejemplos, a riesgo de que sean
caricaturescos, y con la certeza de que son polémicos.
Tal vez en ciertos niveles de enseñanza de la Geografía, se pueda admitir que un alumno confunda un golfo con una bahía o con una ensenada, sin considerarlo de una gravedad excesiva: más
allá de sus diferencias, los tres accidentes tienen características comunes. La admisión, desde ya, no va
en desmedro del rigor científico de la Geografía, ni lo compromete.
En cambio, en Matemática, si un alumno afirma que el producto de matrices es conmutativo, es
¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cinco tesis sobre la dificultad que la
Matemática opone a los estudiantes O. Malet
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inadmisible relativizar el error a partir de considerar que el alumno proveyó numerosos ejemplos en
los que se verifica esa condición; del mismo modo, si un alumno afirma que 23
17 es un número
irracional porque al efectuar la división con una calculadora que muestra hasta 16 decimales no se
advierte su periodicidad, habrá cometido un error que el hecho de que el número en cuestión tenga un
período de 16 cifras no atenúa.
Es decir, algunos errores en Matemática inhabilitan la posibilidad de abrir el juego
hermenéutico que sí permiten ciertos errores en otras áreas, como en el ejemplo (quizá torpe) que
tomamos de la Geografía.
Ciertos errores matemáticos se recortan en negro sobre blanco, adquieren relieve, y salvo por
una operación del orden del autoengaño, sus aristas no se pueden difuminar.
Si nuestra hipótesis fuera acertada, si lo que creemos ver en cuanto a los errores en Matemática expresara un rasgo constitutivo del área, estaríamos ante una variable más que si no explica por qué a
los alumnos les cuesta aprender Matemática, sí explica –parcialmente, desde ya– por qué les cuesta
aprobar exámenes y pruebas, en mayor medida que en otras materias.
A modo de cierre
Afectos de tono negativo hacia la Matemática, una lengua hermética, el predominio de un tipo
de conocimiento al que solo se accede construyendo tramas relacionales, la disciplina y el compromiso
personal que exige el proceso de estudio, la crudeza con que se presentan los errores que cometen los
estudiantes en las evaluaciones…
Cinco razones que pueden explicar las dificultades de los alumnos en Matemática, cinco
factores cuya incidencia negativa pueden promover y agravar las malas estrategias de enseñanza y
evaluación, cinco variables sobre las que no siempre las buenas estrategias pueden operar; al menos,
no sobre todas ellas, o no en plazos cortos.
Tal vez sea ingenuo creer que la mejora de las estrategias puede reducir, hasta anularla, cierta
dificultad que a la Matemática parece serle constitutiva. Metafóricamente, la provocación de Barnes
en la cita inicial nos invita, en todo caso, a desplazar la mirada desde los hilos de la malla (las
estrategias; su reformulación; la posibilidad de que a fuerza de buenas estrategias lo difícil, lo consustancialmente difícil, se vuelva fácil) a los agujeros (esa dificultad irreductible ante la cual las
estrategias, las buenas estrategias, las más nobles, operan como manos tendidas, como gestos
hospitalarios).
Para no perder la brújula en la búsqueda y la construcción de alternativas en educación matemática, tan necesarias como urgentes, para no evaluarlas despiadadamente –que es como decir
injustamente–, quizás haya que torcer el rumbo de la discusión: no se trata de conseguir que lo que es
difícil deje de serlo, sino de que los estudiantes no queden solos ante la dificultad, y que esta tenga
sentido y valga la pena.
Es que, a condición de acompañar y sostener al alumno para que las venza, algunas de las
dificultades que identificamos son las contracaras de logros de altísimo valor académico y vital.
Veamos…
¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cinco tesis sobre la dificultad que la
Matemática opone a los estudiantes O. Malet
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Quien acceda a la lengua matemática se habrá hecho de una herramienta poderosa para
interpretar el mundo, o, como dice Paulo Freire, para leerlo. Pero ese acceso debe ser inscripto en un proceso más amplio de alfabetización académica que reconozca que no se lee ni se escribe igual en
todas las disciplinas, ni en todos los niveles del sistema educativo, y que sea asumido como una
responsabilidad (pedagógica, pero también ética y política) por cada colectivo de enseñantes. Así entendida, la alfabetización académica es la mediación a través de la cual los estudiantes, que son
forasteros, extranjeros, inmigrantes en relación con la cultura disciplinar y su lengua, pueden
establecerse o instalarse en ella (Graziano, 2012).
Quien acepte el reto que construir relaciones por sí mismo supone, será más creativo. Pero para
que nuestros estudiantes acepten ese reto, es necesario que nosotros los desafiamos, y que les demos ocasión de hacer suyo el desafío, y tiempo para desplegar sus construcciones personales. Por otra
parte, advirtamos que sería un error reducir el calificativo de creativo a sus dimensiones de
imaginativo, o ingenioso, o novedoso. Saturnino de la Torre (s.f.) reivindica la creatividad como bien social, esto es, reivindica el carácter alocéntrico (su orientación a la mejora en beneficio de los
demás), ético y constructivo de la creatividad; reivindica, también, su carácter poliédrico o
interdisciplinar, su carácter problemático (“Dadme un problema y os daré un motivo para crear”, dice)
y su carácter incómodo y paradójico (la creatividad se justifica en la necesidad de buscar nuevos
caminos cuando se pierden los conocidos, esto es, cuando se sale de las zonas de confort).
Quien se avenga a la disciplina del proceso de estudio de la Matemática, comprenderá mejor en
qué consiste el oficio de estudiante, y estará en mejor posición para ejercerlo. Sin embargo, como
señala Casco (2009, p. 257), “La metáfora oficio de estudiante resalta el carácter no natural ni espontáneo del nuevo estatus que deberá alcanzar el ingresante. El aprendizaje de ese métier se realiza
en el terreno y es progresivo en el tiempo …”. No se trata, por tanto, de dejar al estudiante librado a su
propio esfuerzo, sino de intervenir mediante acciones específicas, enseñando las reglas del oficio. Una de esas reglas, que la disciplina del estudio de la Matemática puede contribuir particularmente a
enseñar, es la de alcanzar y demostrar autonomía, o sea, aprender a aprender, a hacer funcionar los
conocimientos propios, a hacerlos evolucionar y a adquirir otros, sin necesidad de ser andamiado o
asistido a perpetuidad. Reparemos en la imagen del andamio, que tanto da cuenta de su necesariedad en ciertos estadios de la construcción de una obra, como de su destino, que es el de ser paulatinamente
retirado.
Quien advierta la irrebatibilidad de ciertos errores podrá alejar de sí las tentaciones de la
autocompasión, del relativismo a ultranza y de la demagogia. Como sostiene Brousseau (1991), el de la Matemática es el primer dominio en el que podemos aprender los rudimentos de la gestión
individual y social de la verdad, las reglas sociales del debate y de la toma de buenas decisiones: cómo
convencer respetando a nuestro interlocutor; cómo dejarnos convencer contra nuestro deseo o interés;
cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común. “La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni
de la lógica ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.”
(Brousseau, 1991, p. 20).
Bibliografía
Blanco, L. (2012). Influencias del dominio afectivo en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. En N. Planas (coord.). Teoría, crítica y práctica de la educación matemática, 171-
185. Barcelona: Graó. Brousseau, G. (1991). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de
las matemáticas? (Segunda parte). Enseñanza de las Ciencias, 9(1), 10-21.
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
Casco, M. (2009). Afiliación intelectual y prácticas comunicativas de los ingresantes a la universidad.
Co-herencia, 6(11), 233-260. Cauty, A. (2001). Matemática y lenguajes. ¿Cómo seguir siendo amerindio y aprender la matemática
de la que se tiene y se tendrá necesidad en la vida? En A. Lizarzaburu y G. Zapata Soto (comps.).
Pluriculturalidad y aprendizaje de la matemática en América Latina. Experiencias y desafíos 49-87. Madrid: Morata, Cochabamba: PROEIB-Andes, Bonn: DSE.
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre
enseñanza y aprendizaje. Barcelona: ICE/Horsori.
de la Torre, S. (s.f.). La creatividad es social. [en línea]. Recuperado el 19 de mayo de 2017, de http://www.ub.edu/sentipensar/pdf/saturnino/creatividad_social.pdf
Duval, R. (2007). La conversion des représentations: un des deux processus fondamentaux de la
pensée. En: J. Baillé. De mot au concept. Conversion. Grenoble: Presses Universitaires de Grenoble [en línea]. Recuperado el 19 de mayo de 2017, de www.pug.fr/extract/show/515
Finkel, D. (2008). Dar clase con la boca cerrada. Valencia: Publicaciones Universitat de València.
Graziano, N. (2012). La alfabetización académica como responsabilidad enseñante, entre la hostilidad y la hospitalidad al estudiante-inmigrante. Revista Argentina de Educación Superior, 4(5), 266-
283.
Kamii, C. (1988). El niño reinventa la aritmética. Implicaciones de la teoría de Piaget. Madrid:
Aprendizaje Visor. Mcleod, D. (1992). Research on affect in mathematics education: A reconceptualization. En D.
Grouws (ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning, 575-596. New York:
McMillan. Perrenoud, P. (2012). Cuando la escuela pretende preparar para la vida. ¿Desarrollar competencias
o enseñar otros saberes? Barcelona: Graó.
Rancière, J. (2003). El maestro ignorante. Barcelona: Laertes.
Weiner, B. (1985). An Attributional Theory of Achievement Motivation and Emotion. Psychological Review, 92(4), 548-573.
Omar Malet. Universidad Nacional de Tres de Febrero, Caseros, República Argentina.
Profesor Nacional en Matemáticas, Física y Cosmografía por la Escuela Nacional Normal Superior de
Pergamino; Magíster en Enseñanza de la Matemática por la Universidad Nacional de Cuyo. Coordinador
de la cátedra de Matemática y Metodología para su Estudio, en el Ingreso a los Estudios Universitarios de
la Universidad Nacional de Tres de Febrero.
Email: [email protected]
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 69-77
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Matemáticas en el Proyecto CLIL
Rayco Almeida García (Instituto de Enseñanza Secundaria Playa de Arinaga, España)
Resumen Las materias enmarcadas en el Proyecto CLIL deben suponer un complemento más para
que el alumnado pierda el miedo a hablar en inglés, propiciando contextos donde se
genere la comunicación de forma natural en este idioma. En este artículo se comenta de
forma muy práctica cómo llevar a cabo diferentes experiencias de aula en la enseñanza
de las Matemáticas, de manera bilingüe, experiencias que han sido probadas con éxito en
los últimos cursos. Se enumeran diferentes actividades donde el principal fin es que el
alumnado se comunique en inglés, actividades que, si bien están enfocadas a las
Matemáticas, son perfectamente extrapolables en su mayoría a cualquier otra materia de
Ciencias.
Palabras clave AICLE, Ciencias, Secundaria, comunicación oral, en parejas, de manera bilingüe.
Abstract Subjects following a CLIL approach should serve as a complement for students to
overcome their fear of speaking English, promoting contexts in which communication in
the target language is naturally triggered. This article provides a practical focus on how
to carry out different learning experiences in the teaching of Mathematics in a bilingual context, experiences which have been successfully put into practice in the past years. It
also presents activities whose primary goal is to get students communicate using the
English language. Even though such activities are designed for Mathematics, most of
them can be easily adapted to any scientific subject.
Keywords CLIL, Science, Secondary, speaking communication, in pairs, bilingually.
1. Introducción
Las siglas CLIL en inglés, “Content and Language Integrated Learning” o AICLE, en español,
“Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lenguas Extranjeras”, quieren decir que se aprende el
contenido de una materia que no es lengua extranjera, utilizando la lengua extranjera como medio de comunicación. En el caso que nos ocupa en este artículo el inglés será el medio en el que se comuniquen
profesorado y alumnado aprendiendo y afianzando conocimientos de la materia de Matemáticas.
El Proyecto CLIL/AICLE desde sus inicios ha estado rodeado de un debate relativo a la selección
del alumnado que en algunos casos era puramente académica. En mi opinión, ello va en contradicción
al desarrollo del primer objetivo de la Educación Secundaria Obligatoria en la LOMCE, “… ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre hombres
y mujeres, como valores comunes de una sociedad plural…” (extracto del BOE-A-2015-37 Artículo 11,
apartado a).
Además, la Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa, a través del PILE (Plan de Impulso a las Lenguas Extranjeras), dicta en las orientaciones metodológicas de la
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resolución de dicho plan que, “los centros adecuarán su actuación a sus circunstancias concretas y a las
características de su alumnado con el objetivo de conseguir el mayor éxito escolar desde una perspectiva
inclusiva”.
Siguiendo esta premisa, bajo mi punto de vista, el Proyecto CLIL/AICLE funciona mejor si todo el alumnado del centro es CLIL. Lógicamente habrá alumnos que tendrán más materias clil que otros,
dependiendo de los profesores que les toque, pero ello no es tan importante. De este modo se “apellida”
a las materias y no a los grupos. En cualquier caso, dada la diversidad de alumnado que nos encontramos en las aulas, las explicaciones de un contenido que se trabaja por primera vez normalmente las hago en
castellano, de forma que a continuación realizo sesiones puramente en inglés, con actividades muy
comunicativas y lúdicas, con el fin de refrescar, revisar o afianzar los contenidos. Creo que esta es
una buena manera de llegar con eficacia al mayor número de alumnado posible evitando que algunos se
pierdan por el camino a causa del idioma.
Lo verdaderamente importante es que todo el alumnado reciba un complemento en inglés, fuera
de la propia materia de lengua extranjera, y si se hace de forma comunicativa, eminentemente hablada,
pues este será muy efectivo. Precisamente lo que más le cuesta a los adolescentes es el “Speaking”, y si desde otras materias se contribuye a que el alumnado pierda ese miedo o vergüenza a hablarlo, el
proyecto será bienvenido y bien aceptado por parte de alumnado y familias.
El profesor D. Salvador Vidal, propone un sistema lúdico para enseñar Matemáticas, esta materia
con fama de ser un hueso para los estudiantes, y afirma que “deben enseñarse a través de las emociones”.
En este artículo se muestran diferentes experiencias de aula que han tenido éxito con la aceptación del alumnado en estos últimos cursos académicos. En algunas de ellas el alumnado se emociona al completar
la actividad o durante el desarrollo de la misma, ya que tienen un carácter lúdico.
En el artículo se muestran diversas estrategias metodológicas, que si bien pueden resultar
conocidas entre los profesores de idiomas, no son tan conocidas ni utilizadas por profesores de otras materias, por ejemplo, de Ciencias. Estas experiencias potencian la comunicación, la mayoría de ellas
en pareja, pero todas han sido planteadas con el fin de que el alumnado se comunique en inglés, y ese
es el principal fin de todas ellas.
La intención de esta lectura es facilitar al profesorado de Ciencias CLIL/AICLE, tanto a los que
ya han trabajado en el proyecto, como a los que se incorporan este curso por primera vez al mismo, experiencias que han funcionado en la enseñanza de las Matemáticas en Secundaria y que son, en su
mayoría, extrapolables a cualquier otra materia y temática.
2. Experiencias de aula
2.1. Doing a survey (Realización de una encuesta)
Una de las experiencias más útiles a la hora de trabajar en Estadística es la realización de una
encuesta. Si bien se suelen hacer dentro de los propios centros escolares, es tremendamente productivo
realizar alguna encuesta fuera del centro, en una primera fase de este trabajo. Es recomendable elegir una zona turística no muy lejana, para que el alumnado realice la encuesta en inglés. La temática es lo
de menos, lo importante es que la encuesta esté bien diseñada, para que no dé lugar a demasiadas
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confusiones con los encuestados. Éstos serán extranjeros que van a pasar sus vacaciones a estas zonas
turísticas, así que la encuesta debe ser breve para molestar al turista el menor tiempo posible.
Una vez realizado el trabajo de campo, el alumnado trabajará en el centro la segunda fase. Ésta
consta de la organización de la información recabada y el estudio de los datos. Es importante que tenga tanto variables cualitativas como cuantitativas, para poder calcular los principales parámetros
estadísticos. Se debe contar con la hoja de cálculo para la realización de esta segunda fase, donde tras
haber organizado y estudiado los datos podrán extraer algunas conclusiones.
Finalmente el alumnado debería exponer sus datos y conclusiones al resto de la clase en una
presentación oral en inglés, ayudándose de cualquier herramienta para presentaciones.
Lo más importante al comienzo de esta actividad es que el alumnado interactúe con los encuestados en inglés, haciéndose entender. No es tan importante que el alumnado hable un inglés
perfecto, puesto que en cualquier país de habla inglesa se cometen errores gramaticales en el idioma
informal, “slang language”1, de hecho esto ocurre en cualquier idioma. Por tanto durante esta situación, lo que evaluará el profesor es la parte matemática de la misma, tanto los cálculos como el correcto uso
del vocabulario estadístico. Como idea extra, se puede realizar un video de las presentaciones en inglés
para que el profesor o profesora de inglés las evalúe.
Figura 1. Alumno de 1º ESO exponiendo su trabajo de Estadística en inglés. Curso 2015-2016.
2.2. What do you call…? (¿Cómo llamas tú a…?)
Esta actividad y la que sigue, potenciarán que el alumnado se comunique por parejas. Esto se
consigue aportando al alumnado unas fichas de trabajo en las que, en cada pareja de estudiantes, el
“Estudiante A” necesita completar su información con la información que posee el “Estudiante B” y
viceversa. Ello hará que tengan que comunicarse forzosamente para realizar la actividad. En esta las
preguntas empiezan siempre con un “What do you call…something?” (¿Cómo llamas tú a tal cosa?).
Habrá que describir el objeto utilizando el inglés como vía de comunicación. A medida que un
estudiante vaya describiendo ese objeto, el compañero adivinará la palabra de la que está hablando, ya
que él la tiene en su ficha de trabajo. De este modo se completan las fichas de trabajo: el “Estudiante A” adivina las palabras que le faltan y que tiene el “Estudiante B” y al contrario. La actividad finaliza
cuando ambos estudiantes completan su ficha de trabajo.
1 Slang language: lenguaje bastante informal usado más normalmente en el lenguaje hablado que en el escrito.
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Antes de que el alumnado comience a interactuar es importante dotarlo de cierto vocabulario para
completar la actividad, el vocabulario necesario para comunicarse en el contexto propio de la
actividad que se haya planificado. Por ejemplo, si se van a trabajar los tipos de ángulos, el alumnado
tendrá que tener en la recámara vocabulario del tipo more/less than, 90 degrees, etc.
2.3. Communicative crossword (Crucigrama comunicativo)
En esta actividad la metodología es muy similar a la de la actividad anterior, ya que un estudiante necesita la información que tiene el otro estudiante. Se puede realizar un crucigrama con cualquier
temática, por ejemplo sobre vocabulario relacionado con Funciones y Gráficas, o con Geometría plana
o del espacio.
Verdaderamente es una actividad que ayuda a consolidar conocimientos y es muy motivadora,
puesto que completar el crucigrama supondrá un reto para cada pareja de estudiantes. Por ello, es importante que se haya realizado otra actividad previamente donde se haya visto y puesto en uso el
vocabulario necesario para completar el crucigrama.
Se puede facilitar el crucigrama a medio hacer, es decir incompleto, de tal manera que las palabras
que ya tiene el Estudiante A son las que le faltan al Estudiante B, y las que tiene B son las que le faltan
a A. De este modo la comunicación será fundamental para completar el crucigrama.
El proceder en esta actividad sería el siguiente:
• Por turnos, cada estudiante pregunta por la definición de una palabra que le falta: por ejemplo,
“number 3 across”, o “number 4 down” (siendo “across” horizontal y “down” vertical).
• El Estudiante B tiene definición y palabra, y deberá hacer todo lo posible para que el Estudiante A la adivine, excepto leerle la propia palabra. Podrá definirla con sus propias
palabras y si fuera necesario ayudarse mediante la realización de un dibujo.
• En el siguiente turno se intercambian los roles: B pregunta para adivinar una palabra y A define
la palabra buscada por B.
• El roll del docente en este tipo de actividades está en guiar al alumnado para que no se estanque
y comprobar que ninguno hace trampas.
También se puede hacer la actividad de tal manera que todas las palabras horizontales las tenga
un estudiante y todas las verticales el otro estudiante, procurando que tengan el mismo número de
palabras cada uno, y sin darles la definición de las palabras. Dependerá del nivel de dificultad que se
desee y del vocabulario que se vaya a utilizar.
Una página recomendable para la elaboración de crucigramas es https://www.educima.com/crosswordgenerator/spa/, y una aplicación de escritorio es
“EclipseCrossword”, aunque existen numerosas aplicaciones para hacer crucigramas en internet.
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Figura 2. Ejemplo de crucigrama elaborado en:
https://www.educima.com/crosswordgenerator/spa/
2.4. Find someone who knows… (Encuentra a alguien que sepa…)
Esta es una actividad para hacer una revisión del vocabulario adquirido durante sesiones previas
o para activar conocimientos previos de cursos anteriores. Cada estudiante tiene una tarjeta con diferentes preguntas, que pueden ser sobre temas cubiertos recientemente en clase o vistos en cursos
anteriores. El estudiante debe encontrar a diferentes personas en el aula que sepan responderle a sus
preguntas. Pero debe encontrar a una persona diferente por cada pregunta y anotar el nombre de ese
compañero o compañera en la tarjeta. Por ejemplo, si su tarjeta tiene cinco preguntas, debe encontrar a
cinco estudiantes, uno por pregunta.
Esta dinámica genera cierto “jaleo” en el aula, ya que todos los estudiantes estarán de pie y
caminando por el aula, hasta conseguir encontrar a quiénes respondan a sus preguntas.
Al final de la dinámica, cuando estén todos sentados, se puede hacer una puesta en común de
varias formas: por ejemplo, pasamos una ronda de preguntas por toda la clase, una por estudiante, para que cada uno vaya diciendo quién le respondió a esa pregunta y qué fue lo que le contestó, así
comprobaremos si es correcta esa respuesta o no. Se puede hacer la ronda intentando cubrir la totalidad
de preguntas que hay en las tarjetas. El alumnado debe recordar qué le contestó cada compañero y si no
lo recuerda se lo preguntará al mismo.
Es una dinámica que da mucho juego y se produce mucha interacción entre los estudiantes, por lo que es ideal además para principios de curso, donde quizá haya estudiantes que aún no conocen al
resto y puede servir para ayudar a su integración en el grupo, sobre todo si ya viene cohesionado de años
anteriores.
Esta actividad suele ser llamada “Find someone who knows…” o “Find someone who can…”.
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2.5. Our geometric picture (Nuestro cuadro geométrico)
Esta actividad se puede realizar por grupos, 2 o 3 estudiantes, más de 3 no sería muy eficiente, ya
que debemos evitar el “escaqueo”. Consiste en la realización de un cuadro con elementos geométricos.
El alumnado puede previamente hacer un boceto, uno cada miembro del grupo, y luego o bien decidir
con qué boceto se queda el grupo o si hacen un mix de varios con ideas que haya tenido cada uno.
El cuadro final de cada grupo puede hacerse a mano o a ordenador, con ayuda del GeoGebra, este
aspecto debe ser decidido por el docente. Una vez realizado el cuadro la parte CLIL será su exposición:
el grupo deberá exponer al grupo clase el cuadro que ha elaborado, indicando qué elementos geométricos
contiene. También se puede grabar un vídeo con dicha explicación, señalando los elementos en el
cuadro.
El vocabulario necesario para la exposición de este trabajo puede ser visto previamente mediante
la realización de actividades tipo “What do you call…”, “Communicative crosswords”, “Find someone
who knows…” o cualquier otra. Lo importante es ver este vocabulario antes de llegar al momento de la
exposición.
Figura 3. Ejemplos de cuadros geométricos. El de la izquierda elaborado a mano
y el de la derecha en GeoGebra por alumnado de 1º y 2º de ESO, respectivamente.
2.6. Contests Kahoot! (Concursos en Kahoot!)
La realización de concursos en el aula, suele ser una gran actividad por su carácter lúdico, al
alumnado le encanta ir viendo en qué posición se encuentra su grupo. Con Kahoot! esto es posible, ya
que cada vez que pasamos una pregunta, se ve cómo va la clasificación de todos los grupos con sus
puntuaciones.
La descripción tomada de Wikipedia de Kahoot! es: “aplicación móvil gratuita que permite la
creación de cuestionarios de evaluación. Es una herramienta por la que el profesor crea concursos en el
aula donde los alumnos son los concursantes. Los alumnos se crean su avatar y contestan a una serie de
preguntas por medio de un dispositivo móvil. Finalmente gana quien obtiene más puntuación”.
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Como miembro de la web, además de poder crear sus propios kahoots, podrá compartirlos
haciéndolos públicos, y podrá acceder a miles de kahoots que son públicos. Incluso se puede acceder a
un Kahoot! público y modificar sus preguntas, creando así otro a su gusto, que encaje más con el perfil de alumnado que tiene. A continuación muestro dos enlaces en los que se puede acceder a Kahoots que
he elaborado el curso pasado para revisar conceptos de Geometría en los primeros cursos de secundaria:
• https://play.kahoot.it/#/?quizId=760a1248-6175-4252-acfc-abdbcc0e2384
• https://play.kahoot.it/#/?quizId=1178e639-b37a-4aa8-85ff-144e558dc089
Crear un cuestionario en Kahoot! es muy sencillo, podrá ver cómo registrarse en la web y cómo
crear un cuestionario en Kahoot! en cualquiera de los siguientes enlaces:
• http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/tutorial-crear-un-kahoot-para-
clase/40146.html
• http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/kahoot-primeros-pasos-tutorial/37533.html
• https://www.youtube.com/watch?v=cP60LQpAYCM
¿Cómo jugar? Se proyecta el Kahoot!, el programa facilitará un código numérico de acceso a
dicho Kahoot! en ese momento. El alumnado puede acceder desde su móvil a través de la web
www.kahoot.it poniendo el código numérico proyectado, y el programa le pedirá un “nick name”. Cuando todos los alumnos (o grupos de alumnos) estén dentro comenzará el juego. El creador del
Kahoot decide cuántas preguntas poner, cuánto tiempo dar para responder a cada pregunta, cuál es la
respuesta correcta, etc.
Si se encuentra con dificultades de acceso por parte del alumnado al Kahoot! a través de sus teléfonos móviles (problemas de conectividad), otra posibilidad es hacer esa sesión en el aula de
informática. De este modo se evita el hecho de que el alumnado no tenga acceso a internet en su
dispositivo móvil en ese momento.
Figura 4. Ejemplos de preguntas en un Kahoot! de Geometría.
2.7. Describing graphs (describiendo gráficas)
Describiendo gráficas es otra actividad que se realiza también por parejas. La dinámica es
parecida al “What do you call…” o al “Communicative crosswords”, ya que un estudiante tiene la
información que al otro estudiante le falta.
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En este caso, el Estudiante A posee en su ficha de trabajo los dibujos de unas gráficas y el
Estudiante B los de otras, de tal manera que B ha de dictarle sus gráficas al compañero A para que éste
las dibuje y luego al contrario. Al final de la actividad ambos han de acabar con todas las gráficas
dibujadas en sus fichas de trabajo.
No es tan importante que las gráficas que ha obtenido cada estudiante se parezcan con más o
menos exactitud a las gráficas de su pareja. Lo más importante es que durante la sesión el alumnado
haya utilizado el vocabulario adecuado de gráficas en inglés. Este vocabulario hay que proporcionarlo al alumnado antes de realizar la dinámica. Ejemplo de vocabulario necesario: “increase, rise, go up,
decrease, fall, go down, drop, peak, reach a maximum or minimum, the highest point, lowest point,
remain stable, constant, to stay at the same level, fluctuate, stabilise, expand, decline, grow, etc”.
Además de conocer adverbios como: “gradually, slowly, deeply, rapidly, suddenly, exponentially,
sharply, etc”.
Figura 5. Ficha de trabajo “Describing graphs: information gap. Student B”.
Tomado de CLIL Maths and Science Materials. Graham Workman (2014)
3. Conclusión
Como hemos visto no es complicado llevar a cabo la enseñanza de las Matemáticas en el
Proyecto CLIL, sólo hay que tener un poco de ingenio para diseñar tareas que resulten más o menos
atractivas. Lógicamente no todas las actividades le van a gustar a todo el alumnado, pero si conseguimos que la mayoría de ellos se enganchen a este tipo de tareas, el resto acabará interesándose también. Poco
a poco más alumnado querrá participar activamente porque, además de aprender, se divertirá durante su
desarrollo.
Espero que las ideas comentadas en este artículo le sirvan de ayuda e inspiración al lector para desarrollar sus propias actividades, ya sean CLIL o no, y que consiga aumentar el carácter lúdico en la
Las Matemáticas en el Proyecto CLIL. Experiencias de aula. R. Almeida García.
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enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas logrando enganchar así al mayor número de alumnos y
alumnas posible.
Bibliografía
Definición de Kahoot. Recuperado el 15 de agosto de 2017, de: https://es.wikipedia.org/wiki/Kahoot
Resolución de la Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa por la que se
dictan instrucciones para el desarrollo del Plan de Impulso de Lenguas Extranjeras (PILE) y de la
modalidad de Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lenguas Extranjeras (AICLE) en centros públicos
que imparten enseñanza de régimen general en la Comunidad Autónoma de Canarias para el curso 2017-2018. Anexo I, de http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/web/programas-redes-
educativas/programas-educativos/hablar-otra-lengua/programa-aicle/instrucciones-programa-
pile_aicle.html
Vidal, S. (2017). Las matemáticas se enseñan a través de las emociones. ElPeriódico [en línea], 69. Actualizado el 19 de julio de 2017, de http://www.elperiodico.com/es/entre-todos/20170717/las-
matematicas-se-ensenan-a-traves-de-las-emociones-
6174343?utm_source=facebook&utm_medium=social&utm_campaign=cm
Workman, G. (2014). CLIL Maths and Science Materials. England: Gem Publishing.
Rayco Almeida García. IES Playa de Arinaga, natural de Telde, aunque vive actualmente en el municipio
de Ingenio, nacido el 15 de febrero de 1983 en Las Palmas de Gran Canaria, Licenciado en Economía por
la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria desde 2007, Profesor de Matemáticas de Secundaria y
Bachillerato desde 2011, Máster en Educación y TIC (e-learning) por la Universitat Oberta de Catalunya
desde 2014 y Nivel C1 de Inglés por la Escuela Oficial de Idiomas desde 2014. Ha realizado varias estancias
en el extranjero, la última para la realización del curso: “CLIL Methodology and Language for Teachers
who teach Science or Maths or Technical subjects “bilingually” in English at secondary level”.
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 79-101
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Características de las prácticas matemáticas
en la elaboración de simuladores con GeoGebra
Irene V. Sánchez N. (E.T.C. Hermágoras Chávez, Grupo TEM, Venezuela)
Juan Luis Prieto G. (Universidad del Zulia, Grupo TEM, Venezuela)
Fecha de recepción: 9 de Abril de 2017
Fecha de aceptación: 4 de Julio de 2017
Resumen Este trabajo describe las prácticas matemáticas que han ocurrido durante la elaboración
de un simulador con GeoGebra de una locomotora a vapor, en la que participan una
alumna de enseñanza secundaria (16 años), un estudiante para profesor de Matemática y
Física, y una profesora de Matemática. La experiencia se desarrolló en torno a un
proyecto de servicio comunitario, denominado Club GeoGebra para la Diversidad. Para
la descripción de las prácticas, se analizan los discursos orales y escritos de los tres
sujetos antes mencionados, asumiendo una perspectiva antropológica y didáctica de las prácticas matemáticas. Los resultados dan cuenta de aspectos inherentes a la declaración
de las tareas, las técnicas y las justificaciones tecnológicas que subyacen en los discursos;
todo esto en relación al conocimiento matemático e instrumental del que se hace uso.
Palabras clave Práctica matemática, geometría, simulación computacional, GeoGebra, Club GeoGebra.
Title Characteristics of mathematical practices in the construction of simulators with
GeoGebra
Abstract This paper describes the mathematical practices that have taken place in a simulation
experience with GeoGebra of a steam engine, which involved a high school student (16
years old), a prospective mathematics and physics teacher and a mathematics professor.
The experience was developed in the framework of a community project, called Club
GeoGebra for the Diversity. To describe these practices, oral and written discourses of
the individuals mentioned above were analyzed, supporting the ideas from an
anthropological and didactic perspective, specifically the notion of mathematical praxeology. The results show aspects inherent in the statement of the task, the techniques
used and the technological justifications underlying the discourses; all this in relation to
the mathematical and instrumental knowledge which is used.
Keywords Mathematical practice, geometry, computational simulation, GeoGebra, GeoGebra Club
1. Introducción
A pesar del creciente número de estudios que se emprenden en el campo de la Educación Matemática,
los procesos de enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos siguen viéndose afectados por múltiples problemas, tales como, el fomento de vínculos “artificiales” entre el mundo real y la
matemática, la ausencia de tecnologías digitales como medios para el aprendizaje matemático y la
poca autonomía de los alumnos en el desarrollo de las actividades dentro y fuera del aula (Artigue,
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2014; 2012). Estos problemas se ponen de manifiesto en el desarrollo de las prácticas matemáticas que
los profesores promueven en sus clases y que suelen caracterizarse por un tratamiento del contenido
bajo un enfoque de transmisión de información (teorías como objetos acabados, técnicas algorítmicas
y notaciones) que luego debe ser reproducida por los alumnos, generalmente en entornos de lápiz y papel (Álvarez, 2005; Gascón, 1998). En muchos casos, este tipo de prácticas produce resistencia,
desinterés, rechazo, apatía y poco compromiso de los alumnos con su propio aprendizaje (Chevallard,
Bosch y Gascón, 1997; Clark, Nelson, Sengupta & D'Angelo, 2009).
Frente a esta realidad, una alternativa es la apertura y apoyo de las instituciones educativas al
emprendimiento de actividades de aprendizaje no convencionales, con un carácter creativo, innovador
y no rutinario, que posibiliten el establecimiento de conexiones entre la matemática y la realidad, y
tengan implicaciones directas sobre las prácticas matemáticas escolares. Hoy en día las tecnologías digitales constituyen medios propicios para apoyar el desarrollo de actividades con estas
características, de manera que los alumnos puedan sentirse confiados de sus propios aportes y asuman
el compromiso de aprender desde su experiencia. Sin embargo, la integración de las tecnologías digitales en la enseñanza de la matemática ha sido por demás lenta y compleja, en especial, debido a la
resistencia a reconocerlas como herramientas “legítimas” para hacer matemáticas (Acosta, 2005). A
pesar de ello, en la actualidad muchos investigadores siguen confiando en las bondades de las tecnologías digitales, al punto de sugerir el uso de simuladores y juegos de video como nuevos
escenarios de aprendizaje de la matemática y las ciencias naturales (González, Molina y Sánchez,
2014; Hilton & Honey, 2011).
Las investigaciones situadas en estos escenarios se han dedicado al análisis de las implicaciones del
uso de simuladores y juegos de video en el aula, dejando a un lado las experiencias de elaboración de
estos recursos como contextos potenciales en los que emergen prácticas matemáticas interesantes.
Desde un punto de vista investigativo, la elaboración de simuladores puede favorecer la legitimación de las nuevas tareas, procedimientos y discursos matemáticos que emergen en este contexto. La
experiencia acumulada por el Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática en la elaboración
de simuladores computacionales, con el fin de promover aprendizaje matemático en alumnos, futuros profesores y profesores en servicio, da cuenta de las bondades de GeoGebra como un entorno
dinámico práctico y versátil para la construcción de una diversidad de modelos representativos de
fenómenos de la realidad, como se ha reseñado en trabajos anteriores (Cervantes, Rubio y Prieto,
2015; Prieto y Gutiérrez, 2015, 2016; Reyes y Prieto, 2016; Rubio, Prieto y Ortiz, 2016).
Aunque la elaboración de simuladores con GeoGebra es un campo fértil para la emergencia de nuevas
prácticas matemáticas, su integración al currículo escolar requiere de una reflexión profunda sobre las
condiciones de la actividad que se produce en su seno, lo que implica conocer en qué términos se manifiestan estas prácticas, qué aspectos la constituyen y de qué manera ocurren cuando los sujetos
interaccionan con el medio tecnológico y la teoría matemática subyacente. Con este fin describimos en
el presente trabajo las prácticas matemáticas que tienen lugar en una experiencia de simulación con
GeoGebra que involucra dos partes del mecanismo de una máquina de vapor, en la que participan una alumna de 5to año de Educación Media, un estudiante para profesor de Matemática y Física y una
profesora de Matemática en servicio.
2. Elaboración de simuladores con GeoGebra y prácticas matemáticas
En el ámbito educativo, un simulador computacional es el producto de la representación de un
proceso o fenómeno (natural o artificial), por medio de modelos computacionales elaborado con la
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ayuda de determinadas herramientas tecnológicas (Rodríguez y Roggero, 2014). Al usar el simulador, los sujetos interaccionan con el proceso o fenómeno estudiado a través del control de los parámetros
representados en el modelo computacional, propiciando cierta comprensión del sistema (Clark,
Nelson, Sengupta & D´Angelo, 2009; Hilton & Honey, 2011). Desde esta perspectiva, la elaboración
de simuladores con GeoGebra es un simulador computacional cuyo modelo asociado se elabora en la vista gráfica del software, mediante las herramientas y funcionalidades dinámicas que esta tecnología
ofrece a los usuarios (Rubio, Prieto y Ortiz, 2016). Es importante destacar que la elaboración del
modelo de un simulador con GeoGebra, como cualquier actividad humana, es realizada por unos sujetos en el seno de una institución que hemos denominado “Club GeoGebra”. Por institución se
entiende a toda organización social estable en la que unos sujetos realizan determinadas actividades,
empleando para ello los recursos materiales e intelectuales que la propia organización pone a su disposición, bajo ciertas restricciones (Romo, 2014; Castela, 2009). En el caso de un Club GeoGebra,
la actividad principal es la elaboración de simuladores que los alumnos realizan en la vista gráfica del
GeoGebra, bajo la dirección de un profesor o estudiante para profesor de Matemática, quien actúa
como promotor de los aprendizajes.
En relación a esta actividad, es importante precisar qué se entiende por fenómeno y modelo
computacional asociado. En cuanto al fenómeno, en la elaboración de simuladores con GeoGebra, los
alumnos suelen construir modelos de mecanismos, vistos como sistemas “no matemáticos”, que son seleccionados en base a la propia experiencia con el funcionamiento real de éstos o a través de un
conocimiento más experto. Un ejemplo de esta clase de fenómenos lo constituye un motor de cuatro
tiempos, cuyo movimiento del pistón puede ser interpretado como un cambio de posición de la sujeción de la biela y la sujeción al émbolo en el tiempo. Otros ejemplos de esta clase de fenómenos
pueden ser consultados en Prieto y Gutiérrez (2015; 2016). La selección de un fenómeno se acompaña
de la consulta de información sobre éste en diversas fuentes (especialmente de Internet), y de la
recolección de imágenes con movimiento que se convierten en las principales referencias que se tienen al momento de emprender la actividad. De la recolección se obtiene una imagen estática que muestra
una perspectiva del fenómeno, de sus partes o elementos.
En cuanto al modelo computacional, este se elabora a partir de las partes o elementos que
componen al fenómeno, según el punto de vista de los sujetos pertenecientes a la institución, dando
paso a una serie de tareas de simulación que organizan la actividad en una secuencia (Rubio, Prieto y
Ortiz, 2016). Es importante destacar que las tareas de simulación son el producto de una toma de
decisiones condicionada por el conocimiento del fenómeno que poseen los sujetos. Por lo tanto, son resueltas tantas tareas de simulación como partes del fenómeno sean capaces de identificar los
alumnos. Resolver cada tarea de simulación implica construir dibujos dinámicos, es decir, dibujos
creados en un entorno de Geometría Dinámica (en nuestro caso el GeoGebra) y que conservan las
relaciones geométricas declaradas en su construcción (Acosta, 2010; Laborde, 1997).
Con relación a los dibujos dinámicos, vale la pena destacar tres cuestiones. En primer lugar,
cada dibujo dinámico está compuesto de uno o varios objetos geométricos que le otorgan sentido. El número de objetos depende de las capacidades de visualización geométrica de los sujetos involucrados
en la actividad. En segundo lugar, cada objeto geométrico que compone a un dibujo dinámico es
construido con el GeoGebra sobre la base de las propiedades espaciales del dibujo, reconocidas en un
boceto de elaboración previa (creado en un medio de lápiz y papel) o en alguna otra imagen de referencia, que luego son traducidas en propiedades geométricas (Laborde, 1997). En tercer lugar, un
dibujo dinámico es una respuesta parcial a la actividad de elaborar el simulador, por ende, el conjunto
de dibujos dinámicos que responden a las tareas de una misma simulación constituye el modelo
computacional del mecanismo seleccionado.
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La elaboración de un dibujo dinámico con GeoGebra demanda la construcción de cada objeto
geométrico que lo compone, dando lugar a una nueva serie de tareas más puntuales, que denominamos
tareas de construcción. Estas tareas tienen una naturaleza geométrica, ya que son resueltas a través de
procedimientos de construcción mediados por herramientas del software que encapsulan conocimiento geométrico (contenidos y forma de proceder) (Acosta, 2007). Estos procedimientos son el resultado de
decisiones comunicadas al programa y validadas tanto por el grado de fidelidad del dibujo obtenido
con respecto al funcionamiento real del fenómeno, como por la consistencia de la construcción. La consistencia de una construcción realizada en la vista gráfica del GeoGebra es hecha por medio de la
prueba del arrastre, una acción que consiste en desplazar el dibujo por alguno de sus elementos libres
con el fin de detectar posibles inconsistencias en la construcción (Acosta, 2007; Arzarello, Olivero,
Paola, & Robutti, 2002; Laborde, 2007). Las razones que justifican las formas de proceder ante una tarea de construcción se ponen de manifiesto en los discursos (orales o escritos) que los alumnos y
promotores elaboran durante las reuniones de trabajo. Estos discursos revelan las conexiones que los
sujetos son capaces de establecer entre los procedimientos y los saberes subyacentes, en especial, los
saberes matemáticos y los derivados del uso del GeoGebra al construir cada figura geométrica.
Desde una perspectiva antropológica, estos aspectos de la elaboración de simuladores con
GeoGebra ponen de manifiesto prácticas mediadas por tecnologías digitales muy particulares, que nos enfrentan a formas no convencionales de modelación de la realidad y que pueden ser caracterizadas a
través de la noción de praxeología. A pesar de la emergencia de diferentes praxeologías (ligadas al
fenómeno real o al modelo geométrico que lo representa) durante la actividad. En este trabajo
interesan especialmente las praxeologías matemáticas, por considerar su análisis como el paso previo
para la comprensión de esta actividad institucionalizada a mayor profundidad.
3. Prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores como praxeologías
Según Chevallard (1999), toda actividad humana regularmente realizada puede describirse en términos de praxeologías. La noción de praxeología ha resultado ser una herramienta eficaz para el
análisis de prácticas matemáticas poco exploradas, como es el caso de aquellas que involucran el uso
de algún software de geometría dinámica (Acosta, 2007). Esta noción tiene su origen en la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (TAD), un marco teórico de la Didáctica de las Matemáticas que asume como su objeto primario de investigación a la actividad matemática y los saberes que de ella emergen,
en el conjunto de las actividades humanas que se dan en determinadas instituciones sociales (Bosch,
2003; Chevallard, 1999). En la noción de praxeología se considera que:
(…) en última instancia, toda actividad humana consiste en resolver una tarea
(t) de un cierto tipo (T), por medio de alguna técnica (τ), justificada por una
tecnología (θ), que permite tanto pensarla como producirla, y que a su vez es
justificable por una teoría (Θ). En resumen, toda actividad humana pone en
obra una organización que se denota [T, τ, θ, Θ] y se denomina praxeología u
organización praxeológica. La palabra praxeología hace hincapié en la estructura de la organización [T, τ, θ, Θ]: la praxis, que significa “práctica”,
se refiere al bloque práctico-técnico (o praxis) [T, τ], y el logos, que significa
“razón”, “discurso razonado”, remite al bloque tecnológico-teórico [θ, Θ].
(Chevallard, 2002, p. 1).
A continuación, se describe más detalladamente el funcionamiento de esta herramienta como
referente teórico que permite caracterizar las prácticas matemáticas que ocurren en la actividad de
elaboración de simuladores con GeoGebra.
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El tipo de tarea (T) se refiere a cada clase de tareas problemáticas que enfrentan los miembros de una determinada institución. En el caso de las instituciones escolares, por lo general, las tareas a las
que nos referimos son de naturaleza matemática. En la elaboración de simuladores con GeoGebra, las
tareas t de un tipo T son las conocidas tareas de construcción y, por lo tanto, se refieren a la
construcción de las formas que componen a un dibujo dinámico. Estas tareas de construcción se caracterizan por responder a ciertas condiciones geométricas y pertenecer a clases de tareas más
amplias, tales como, construir un triángulo, una circunferencia u otra forma geométrica. En la figura
1a, se muestra un boceto de la biela que compone a un motor de cuatro tiempos (trazo en color negro). Para su representación en la interfaz del GeoGebra, esta biela puede ser interpretada geométricamente
como un “segmento”, el cual se construye a partir de objetos geométricos existentes en la vista gráfica
del programa. La tarea de construcción correspondiente a esta situación sería: construir un segmento a partir de un punto exterior. Esta tarea pertenece a un tipo de tarea T que incluye todos los casos de
construcción de segmentos posibles.
Figura 1. Imagen estática de un motor a cuatro tiempos y construcciones geométricas asociadas. Tomado, de
Montiel y Castillo (2015)
El siguiente elemento de la praxeología es la técnica (τ), referida al conjunto de procedimientos
que permiten tratar algunas tareas del tipo T con la mediación de ciertas herramientas. En particular,
para la simulación con GeoGebra, una técnica τ corresponde al proceso seguido para atender a una tarea de construcción en el software. Continuando con el ejemplo anterior, en la tabla 1 se resume el
proceso de construcción seguido por un alumno de Educación Media (16-17 años) y su promotor (un
estudiante para profesor de Matemática y Física) para resolver la tarea antes descrita (ver Figura 1b).
(Nota: La unidad mencionada en la tabla se conoce como medida patrón, esto es, una medida de distancia o longitud seleccionada por los alumnos y asociada a algún objeto geométrico sobre la
imagen estática.)
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No.
paso Descripción del paso
Herramienta del
GeoGebra
Observaciones del
investigador
1 Trazar una circunferencia 𝑒 de centro en el
punto 𝐴 (extremo del segmento 𝑑) y de radio 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
2,02
Circunferencia
(centro, punto)
Estos pasos se realizan
para localizar el primer
extremo del segmento
(una de las condiciones
necesarias para dibujar el
segmento requerido por la
tarea)
2 Determinar el punto de intersección 𝐶 entre
la circunferencia 𝑒 y el segmento 𝑑
Intersección
3 Trazar por el punto 𝐶 una recta
perpendicular 𝑏 al segmento 𝑑
Perpendicular
4 Trazar una circunferencia 𝑓 de centro en el
punto 𝐶 y radio unidad
2,15
Circunferencia
(centro, radio)
5 Determinar el punto de intersección 𝐷 entre
la circunferencia 𝑓 y la recta 𝑏
Intersección
6 Trazar una circunferencia 𝑔 de centro en
punto 𝐷 y radio unidad
6,69
Circunferencia
(centro, radio)
7 Marcar un punto 𝐸 sobre la circunferencia 𝑔 Punto
8 Crear un deslizador de tipo ángulo 𝛼 con
intervalo [0,360]
Deslizador
9 Rotar al Punto 𝐸, con respecto al punto 𝐷 y
valor del ángulo 𝛼, para obtener el punto 𝐸’ Rotación
10 Trazar una circunferencia ℎ de centro 𝐸´ y
radio unidad
2,1
Circunferencia
(centro, radio)
Estos pasos se realizan
para localizar el segundo
extremo del segmento
(otra de las condiciones
para representar el
segmento)
11 Determinar el punto de intersección 𝑓 entre
la circunferencia ℎ y la recta 𝑏
Intersección
12 Trazar el segmento 𝐹 𝐸´̅̅ ̅̅ ̅̅ Segmento Este paso se realiza para
dibujar el segmento
demandado en la tarea
Tabla 1. Técnica de construcción un segmento a partir de un punto externo. Fuente: Adaptación realizada por
los autores a partir del trabajo de Montiel y Castillo (2015)
La tecnología (θ) se refiere al discurso elaborado para justificar y hacer inteligible una técnica τ.
Respecto a la tecnología, Castela (2009) afirma que un discurso tecnológico θ permite que una técnica
τ emerja, se trasmita y legitime como una forma válida de resolver tareas del tipo T. En la simulación con GeoGebra, una tecnología θ incluye los diversos registros verbales, escritos o gestuales de los que
se valen los sujetos para hacer que otros comprendan la técnica τ empleada. En la figura 2 se muestra
parte de un discurso escrito que responde a la tarea mencionada en el ejemplo anterior,
específicamente para explicar los pasos 1, 2 y 3 de la técnica resumida en la tabla 1.
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Figura 2. Ejemplo de un discurso tecnológico en la simulación con GeoGebra. Tomado, de Montiel y Castillo
(2015)
Por último, la teoría (Θ) hace mención al discurso racional que apoya o valida a una tecnología θ, el cual está soportado en saberes provenientes de una teoría sólidamente constituida o de la
experiencia socialmente aceptada y compartida por los miembros de la institución (Covián y Romo,
2014). En la elaboración de simuladores con GeoGebra, un discurso teórico Θ, vinculado a una praxeología matemática de construcción de modelos geométricos, abarca todo conocimiento de
propiedades, definiciones, teoremas, postulados y demás elementos de la geometría euclidiana, que es
usado para validar una cierta tecnología θ asociada. Este punto de vista no niega la posibilidad de que
la teoría se apoye en otros saberes más pragmáticos, ya que la misma actividad de simulación implica la modelación de situaciones no matemáticas. Sobre esta componente, vale destacar que la
intervención del promotor es clave en el momento de producirse un discurso teórico que valide un
discurso tecnológico, ya que este sujeto cuenta con los referentes geométricos antes señalados, a diferencia de los alumnos quienes pueden conocerlos parcialmente o desconocerlos totalmente al
momento de la simulación. Para ilustrar estas ideas, en la figura 3 se muestra un discurso teórico
(dentro del recuadro rojo) que puede justificar una forma de proceder asociada al paso 11 de la técnica
de la tabla 1.
Figura 3. Ejemplo del discurso teórico en la simulación con GeoGebra. Tomado, de Montiel y Castillo (2015)
Considerando los referentes teóricos anteriores y la necesidad que se tiene de comprender la
praxis y logos asociados a la elaboración de los modelos geométricos en la elaboración de simuladores
con GeoGebra, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Qué características tienen las praxeologías matemáticas que emergen en la construcción de modelos geométricos que responden a
tareas de simulación con GeoGebra? Para tratar de responder a esta pregunta, seguidamente se analiza
una experiencia concreta de elaboración de un simulador con GeoGebra, con el fin de identificar y describir las componentes de las praxeologías matemáticas que han tenido lugar al momento de
responder a dos de las tareas de la simulación de una locomotora a vapor.
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4. Metodología
4.1. Contexto y participantes
La experiencia analizada en este trabajo tuvo lugar en una institución oficial de Educación
Media Técnica de la ciudad de Cabimas, en Venezuela, durante el año escolar 2014-2015. En esta institución funciona un Club GeoGebra, bajo la responsabilidad del Grupo TEM: Tecnologías en la
Educación Matemática con la aprobación de la directiva del plantel. Para el periodo antes
mencionado, en el club participaban nueve alumnos de 5to año (16-18 años) de las especialidades de
Contabilidad, Informática y Mercadeo, quienes de forma libre y voluntaria asistían a reuniones de trabajo los miércoles, por un tiempo de dos horas bajo la dirección de un estudiante para profesor de
Matemática y Física de la Universidad del Zulia, el cual toma parte en la experiencia como el
promotor de aprendizajes y responsable de este club. Ocasionalmente, la profesora de matemática (coautora de este trabajo) se involucraba en las actividades de simulación de este club, brindando
asesoría a aquellos alumnos que lo requerían.
Este Club GeoGebra contaba con cinco proyectos de simulación, cuyos fenómenos estaban
asociados al funcionamiento de una trompeta, máquinas de vapor, bomba reciprocante y locomotora a vapor. Ninguno de los participantes se consideraba conocedor de la mecánica concreta de estos
fenómenos al momento de iniciar la construcción de su simulador. En cada reunión de trabajo se
trataba alguno de los proyectos, procurando una discusión con todos los presentes sobre las formas de
proceder para atender a las tareas de construcción del momento. Quienes tenían alguna responsabilidad sobre el proyecto abordado, tomaban apuntes sobre el trabajo llevado a cabo con el fin
de sistematizar la experiencia y socializarla con los integrantes de los otros clubes de la región en un
evento regional realizado anualmente (Prieto y Gutiérrez, 2015; 2016).
En la investigación se describen las prácticas matemáticas que emergen en el desarrollo del proyecto “Locomotora a vapor”, particularmente en lo que respecta a las dos primeras tareas de la
simulación, referidas a la representación de la manivela y la rueda conductora de este mecanismo. A
manera de soporte, la imagen que se muestra en la figura 4 fue insertada en la vista grafica del
GeoGebra como una referencia al momento de realizar las construcciones.
Las tareas fueron atendidas por los tres participantes (la alumna, el estudiante para profesor de Matemática y Física, y la profesora de Matemática de la alumna) durante siete reuniones. La figura 4
muestra la imagen estática del mecanismo correspondiente a este proyecto.
Figura 4. Locomotora a vapor y sus partes. Tomado, de Benitez y Sánchez (2015)
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4.2. Datos de la investigación
Durante la resolución de las tareas de simulación, la alumna tomó apuntes sobre la dinámica de resolución de cada tarea de construcción realizada. Estos apuntes sirvieron de soporte para la
sistematización de la experiencia por parte de los participantes en el proyecto. El producto de la
sistematización asociada a la primera tarea de simulación (representar la manivela) se expone en el
trabajo de Benítez y Sánchez (2015). Antes de su publicación, este trabajo fue sometido a un proceso de arbitraje llevado por un especialista en Didáctica de las Matemáticas de nivel universitario, quien
hizo sugerencias para mejorar el discurso que luego fueron incorporadas al texto. Este proceso,
conllevo a perfeccionar el discurso de la alumna en reiteradas ocasiones, hasta lograr un producto aceptable para las exigencias del arbitraje. En cuanto a la segunda tarea de la simulación (representar
la rueda conductora), para el momento de la investigación la alumna solo disponía de algunos apuntes
escritos sobre la resolución de las tareas de construcción asociadas.
Los datos de esta investigación provienen tanto del trabajo de sistematización de la primera
tarea de simulación, como de los apuntes de la segunda. Para complementar esta información, el discurso escrito es contrastado con el protocolo de construcción de cada pieza, incorporado al archivo
GeoGebra correspondiente. El protocolo es una tabla interactiva que ofrece el software, en la que se
exponen todos los pasos de construcción.
4.3. Análisis de los datos
Para responder a la pregunta de investigación, el análisis de los datos se centró en la descripción
de las tareas, técnicas, tecnologías y teorías que tuvieron lugar en la resolución de las tareas de
simulación antes mencionadas. Dicho análisis fue llevado a cabo por etapas. En la primera etapa se identificaron la(s) tarea(s) de construcción asociada(s) a cada tarea de simulación. En la segunda etapa
se organizaron las técnicas correspondientes a las tareas de construcción, estableciendo para cada
técnica: (i) la secuencia de pasos, (ii) la descripción de cada paso, y (iii) la herramienta del GeoGebra
utilizada. Para la tercera etapa, se extrajeron aquellos fragmentos del discurso tecnológico que dan cuenta de las razones por las cuales se han realizado determinados pasos de construcción. Además,
partiendo de una adaptación de las funciones del discurso tecnológico de Covián y Romo (2014), en
esta etapa se identificaron evidencias que mostraban el tipo de función práctica que la tecnología
cumple en el discurso tecnológico de los participantes (ver tabla 2).
Función del discurso Descripción
Describir la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción tiene una
función descriptiva si este detalla cada paso de la construcción, acompañado
o no de la herramienta del GeoGebra utilizadas para acometer la tarea
Validar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción tiene una
función de validación cuando en los pasos de construcción realizados total o
parcialmente son justificados mediante referentes geométricos
Motivar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción se considera
que motiva la técnica, si uno o un conjunto de pasos, son justificados por los fines esperados, es decir, por el conocimiento/funcionamiento del fenómeno
en la realidad
Explicar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción cumple con una
función explicativa si éste detalla cómo los diferentes pasos que la componen
permiten alcanzar los resultados esperados
Tabla 2. Funciones de discurso tecnológico al resolver tareas de construcción con GeoGebra. Adaptación
hecha por los autores a partir de la propuesta de Covián y Romo (2014)
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En la cuarta etapa se identificaron los fragmentos del discurso tecnológico (seleccionados en la
etapa anterior) que hacen mención de algún referente teórico de la geometría que permita justificar la
técnica. Para organizar la información del análisis se elaboró una tabla que permitiera establecer una
secuencia de los registros en cada etapa (ver tabla 3).
Tarea:
Técnica
Tecnología Función de la
tecnología Paso Descripción del paso Herramienta del
GeoGebra
Tabla 3. Instrumento de análisis de los datos
Una vez organizada la información, los investigadores se reunieron para analizar la información
de la tabla 3, discutir las características de cada componente de la actividad matemática presente en la
resolución de las tareas de construcción y establecer acuerdos sobre la manera de presentar los
resultados.
5. Resultados
Los resultados de esta investigación se presentan en dos apartados que se corresponden con las
tareas de simulación atendidas. En cada apartado se describen las praxeologías matemáticas asociadas
a las tareas de construcción que han emergido durante la simulación.
5.1. Simulación de la manivela
La construcción de la manivela que forma parte de la locomotora comenzó por la identificación
de los objetos geométricos que, a criterio de los involucrados, representaban mejor la forma de esta
pieza en la vista gráfica del GeoGebra. En este sentido, los datos muestran que el segmento constituyó para los participantes un objeto geométrico “idóneo” para iniciar la simulación, como se señala en el
siguiente diálogo, extraído de la sistematización del proceso de representación de la manivela. En este
caso se considera al segmento como un modelo singular para la situación.
Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un
objeto geométrico que mejor represente la pieza. Posterior a una observación de la escena, se
identifica al segmento como el objeto idóneo para representar la manivela.
El establecimiento del modelo geométrico dio lugar a la declaración de una tarea de
construcción en los siguientes términos: determinar los extremos del segmento. Vale destacar que la
ausencia de ciertos elementos en la declaración de la tarea (p.e., los elementos con los que se cuenta para construir el segmento) hace de ésta una descripción típica de un tipo de tarea y no de una tarea de
determinado tipo. Esto no impide la resolución de la situación por parte de la alumna y el promotor,
quienes de forma implícita asumen a los extremos como los elementos fundamentales para la
construcción del segmento. Posteriormente, estos sujetos realizan la construcción de la figura empleando una técnica compuesta por seis pasos, la cual se detalla en la tabla 4. Los pasos que
componen a la técnica fueron elaborados con los siguientes propósitos: el paso 1 corresponde al
establecimiento de un extremo; los pasos del 2 al 5 se realizaron para ubicar el otro extremo; el paso 6
se empleó para construir el segmento.
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Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Situar un punto libre denominado C Punto
2 Trazar una circunferencia 𝑐 con centro en 𝐶 y de radio 2
3. 𝑝 Circunferencia (centro, radio)
3 Colocar un punto 𝐷 sobre la circunferencia 𝑐 Punto
4 Crear un deslizador de tipo ángulo 𝛼 con intervalo [0°,360°]
(repetición creciente)
Deslizador
5 Rotar a 𝐷, con respecto a 𝐶 y ángulo 𝛼, para obtener D’ Rotación
6 Trazar el segmento 𝐶𝐷´̅̅ ̅̅ ̅ Segmento
Tabla 4. Técnica de construcción del segmento. Fuente: Benítez y Sánchez (2015).
(Nota: 𝑝 representa la medida patrón seleccionada por la alumna.)
En la figura 5 se muestra las construcciones geométricas que se exponen en la tabla 4 (ver
Figura 5a) asociadas a la primera tarea de simulación y su resultado (ver Figura 5b).
Figura 5. Representación de la manivela
Así mismo, los datos muestran las justificaciones tecnológicas de la construcción realizada y ponen de manifiesto su naturaleza práctica. Tales justificaciones provienen de un conocimiento del
fenómeno, esto es, de las características del movimiento de la pieza que fueron identificadas en la
imagen GIF (animada) correspondiente. Por ejemplo, la justificación dada por los sujetos al identificar
los movimientos asociados a los extremos del segmento (un extremo permanece fijo y el otro describe una trayectoria circular) revela que esta cualidad del objeto fue determinada por las propiedades
espaciales presentes del mecanismo en la imagen de referencia, como se muestra a continuación:
Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un
objeto geométrico que mejor represente la pieza. […]. Ya conocido el objeto, se tiene en cuenta el movimiento que describe la pieza –movimiento circular– […]. Atendiendo a las
características de este movimiento, se precisa que uno de los extremos del segmento debe
permanecer fijo (estático) y el otro en movimiento (dinámico).
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Como consecuencia de lo anterior, la función motivación tiene una presencia que predomina en
las justificaciones, ya que éstas se basan más en el conocimiento del fenómeno que en la matemática
misma. Otra función presente es la descriptiva, ya que los involucrados tienden a describir cada paso
de la técnica realizada, como se observa en dos de los pasos en los que se señala la herramienta del
GeoGebra empleada. El siguiente discurso escrito es evidencia de esto último:
Para el extremo fijo, se observa en la imagen de referencia que éste se encuentra en el centro
de la rueda, por lo tanto, para representarlo se utiliza la herramienta Punto y se construye esta
figura en el lugar antes descrito, estableciéndose así un punto 𝐶 que representa al extremo[...]
Con respecto a la teoría, vale resaltar que en los datos correspondientes a esta tarea de
simulación no se encuentran evidencias de este nivel de justificación durante el proceso de
construcción.
5.2. Simulación de la rueda conductora
Para construir la rueda conductora, la alumna y su profesora inician el trabajo de simulación
reconociendo que esta pieza está compuesta por el cubo y la corona (ver Figura 6a). Estas partes de la
rueda conductora organizan el accionar de las participantes, dando lugar a dos sub-tareas de simulación. A continuación, se describen las praxeologías que emergen en la resolución de cada una
de estas sub-tareas.
Figura 6. Partes de la rueda conductora.
Construcción del Cubo
Los datos muestran que, para representar el cubo, las participantes (alumna y profesora) comienzan identificando ciertas estructuras que componen al cubo: una rueda gris claro maciza “con
hendiduras” y una rueda gris oscuro, más pequeña que la anterior (ver Figura 6b). Aunque las formas
antes mencionadas no se corresponden directamente con algunos objetos geométricos definidos por la
teoría, éstas constituyen una manera de traducir la situación en propiedades espaciales que luego
pasarían a ser interpretadas en términos geométricos.
Luego de establecer las formas que componen al cubo, las involucradas inician la
representación de esta parte por lo que han denominado “rueda con hendiduras” (rueda gris claro con
hendiduras). Para ello, las participantes se disponen a construir por separado la rueda y las hendiduras, lo que indica que su representación responde a un modelo compuesto. En relación a la rueda, se
comienza reconociendo la circunferencia como el objeto geométrico adecuado para su representación
con el GeoGebra, sin hacer mención a la región interna. Seguidamente, realizan un análisis de este
objeto con el fin de reconocer los elementos necesarios para su construcción (centro y radio).
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Posteriormente se hace mención del elemento presente en la vista gráfica del GeoGebra (centro) para luego atender al desconocido (radio). Los datos no muestran evidencias explicitas de la declaración de
la tarea de construcción por parte de la alumna y su profesora; ellas solo hacen referencia a ciertos
elementos que permiten la construcción del objeto, como se muestra en el siguiente discurso:
[…] lo primero que se hizo fue determinar la circunferencia como objeto que permite
representarla, para construir esta circunferencia es necesario conocer la ubicación del centro y la longitud de su radio […] se considera su extremo fijo como el centro de la circunferencia
(punto C), y para el radio posterior a una estimación […]
Para realizar la construcción de la circunferencia, las participantes emplean una técnica
compuesta de dos pasos (ver tabla v), con las siguientes finalidades: el primer paso se realiza para construir la circunferencia y el segundo paso corresponde a la asignación de la opacidad de este
objeto. Con este último se pone de manifiesto la emergencia de la noción de círculo para la
construcción.
Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Trazar una circunferencia 𝑒 de centro 𝐶 y radio 11
10. 𝑝 Circunferencia (centro, radio)
2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedad del objeto
Tabla 5. Técnica de construcción de una circunferencia
Similar a la tarea de construcción anterior, las justificaciones tecnológicas presentes en el discurso escrito de las participantes tienen una naturaleza más práctica, esto es, basada en el
conocimiento del fenómeno. Prueba de ello se tiene cuando las participantes relacionan el centro de la
circunferencia con la parte del mecanismo que conecta la manivela y la rueda conductora. Sumado a
esto, el uso de las propiedades del dibujo dinámico que le otorga el programa les permite dar un
aspecto a la figura más semejante con lo mostrado en la imagen de referencia.
[…] como la rueda está conectada a la manivela, se considera su extremo fijo como el centro
de la circunferencia (punto C) [...] una vez construido se le asigna opacidad 100 para generar
esa apariencia maciza.
Con respecto a la naturaleza de las justificaciones, la motivación de la técnica en el fenómeno tiene mayor presencia en la representación de la rueda que las propias cuestiones matemáticas. A su
vez, el discurso tiene una función descriptiva ya que se detalla cada paso de la técnica, como se puede
ver en los diálogos anteriores. Con respecto a los referentes teóricos, no se tiene evidencia de su
presencia a lo largo del discurso escrito.
Luego de atender a la representación de la rueda, se procedió a hacer lo propio con las hendiduras. Esta construcción se inició con la identificación de ciertas características espaciales de la
forma de las hendiduras que facilitaron la emergencia de un modelo geométrico apropiado para estas.
Tales características fueron enunciadas en los siguientes términos: “las hendiduras están formadas por dos lados rectos y dos arqueados” (ver Figura 7). Es así como las participantes deciden representar las
hendiduras en el GeoGebra por medio de un modelo compuesto por un cuadrilátero y dos arcos de
circunferencia, logrando con ello la apariencia deseada. Luego, se procede a declarar la tarea de
construcción: determinar los vértices del cuadrilátero que a su vez serán vértices de los arcos de circunferencia. Esta forma de declarar la tarea tiene en cuenta los elementos comunes de ambos
objetos, obviando alguna referencia hacia un análisis más independiente, aunque no jerárquico.
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Adicionalmente, en la declaración no se menciona la existencia de algún elemento en la vista grafica
para la construcción del cuadrilátero y arcos de circunferencia, lo que hace de la tarea una forma
discursiva propia de un tipo de tarea.
Figura 7. Hendidura de una parte de la rueda conductora
Para la construcción de estos objetos se empleó una técnica compuesta por 24 pasos, la cual se detalla en la tabla 6. Estos pasos tuvieron los siguientes propósitos: determinar los vértices/extremos
(pasos del 1 al 9); construir el cuadrilátero (paso 10); construir los arcos de circunferencia (pasos 11 y
12); rotar la figura formada por el cuadrilátero y los arcos de circunferencia (pasos 13 al 24). Vale precisar que la asignación de la propiedad opacidad a las figuras no se evidencia en los registros a
pesar de ser empleada, como se pudo observar en el archivo de la construcción. Cabe mencionar aquí
que las construcciones geométricas realizadas en cada nueva etapa se apoyan en construcciones
correspondientes a tareas previas.
Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Colocar un punto 𝐸 sobre la circunferencia 𝑒 Punto
2 Crear un deslizador de tipo ángulo de rotulo 𝛽 con intervalo
[0°,360°] (repetición creciente) Deslizador
3 Rotar a 𝐸, con respecto a 𝐶 y ángulo 𝛽 (homologo 𝐸´) Rotación
4 Trazar una recta 𝑓, que pase 𝐶 y 𝐸´ Recta
5 Determinar el punto de intersección entre 𝑐 y 𝑓 (punto 𝐹) Intersección
6 Rotar a 𝐹, con respecto 𝐶 y ángulo 43° (antihorario)
(homologo 𝐹´) Rotación
7 Trazar una circunferencia 𝑔 de centro en 𝐹 y radio 8
20. 𝑝 Circunferencia (centro, radio)
8 Determinar el punto de intersección entre 𝑔 y 𝑓 (punto 𝐺) Intersección
9 Rotar a 𝐺, con respecto 𝐶 y ángulo 43° (antihorario)
(homologo 𝐺´) Rotación
10 Trazar el polígono 𝐹´, 𝐺´, 𝐹 y 𝐺 (polígono 1) Polígono
11 Trazar el arco de circunferencia 𝐶, 𝐹´, 𝐹 Arco de Circunferencia
12 Trazar el arco de circunferencia 𝐶, 𝐺´, 𝐺 Arco de Circunferencia
13 Rotar el polígono 1, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
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14 Rotar el polígono 1´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
15 Rotar el polígono 1´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
16 Rotar el polígono 1´´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
17 Rotar el arco k, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
18 Rotar el arco k´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
19 Rotar el arco k´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
20 Rotar el arco k´´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
21 Rotar el arco h, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
22 Rotar el arco h´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
23 Rotar el arco h1´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
24 Rotar el arco r, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación
Tabla 6. Técnica de construcción de un cuadrilátero y dos arcos de circunferencia
Las justificaciones tecnológicas presentes en el discurso escrito, relacionadas con la
construcción de los objetos geométricos antes mencionados, tienden hacia razones más matemáticas
para algunos de los pasos de la técnica. Para ilustrar este resultado, cuando las participantes se plantean “determinar el centro de rotación para rotar las figuras”, sus acciones son producidas por las
propiedades y/o relaciones geométricas entre los objetos construidos en la interfaz del software, como
se evidencia a continuación:
Como centro de rotación, se determina el punto C ya que los objetos a rotar están determinados
por una circunferencia de centro C […]
Al mismo tiempo, el discurso cumple una función descriptiva, ya que se describen la mayoría
de los pasos de la técnica. En los primeros nueve pasos, orientados hacia la localización de los
vértices/extremos, solo se describe el objeto a construir y su resultado. Por su parte, los siguientes
pasos, además de cumplir con lo anterior, se incluye una mención a la herramienta de construcción y a
los elementos requeridos para su uso.
Seguidamente se realiza una circunferencia g con centro F y radio estimado 8/20p con la cual
se obtiene el punto G […] determinado los vértices del cuadrilátero a través de la herramienta
polígono se realiza la construcción de éste seleccionando los puntos F´, G´, F y G; […] para hacer uso de la herramienta se debe seleccionar el objeto a rotar, el centro de rotación y
asignar el valor del ángulo
A pesar de que en el discurso escrito se intenta justificar desde un punto de vista matemático, no
se presentan sustento teórico en las construcciones.
Para culminar la representación del cubo, las participantes representaron la “rueda gris oscuro
más pequeña” (ver Figura 6b). Para ello las involucradas consideran al círculo como un objeto geométrico acorde para la situación, remitiéndose a un modelo singular. A pesar que se designa al
círculo como modelo de la situación, en los datos no se manifiesta tarea de construcción alguna
relacionada con éste objeto. Para su construcción, solo se reconoce a uno de los elementos requeridos
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(centro) de entre los objetos presentes en la vista gráfica del software. Luego se “fija” un valor para el
radio, sin hacer mención de cómo ha sido establecido.
[…] se precisa al círculo para su representación, al igual que en los casos anteriores el punto
C representa el centro y su radio queda fijado por un valor de 1/6p.
Para la construcción del círculo se empleó una técnica conformada por dos pasos (ver tabla 7).
Cada paso se elaboró con los siguientes propósitos: el paso 1 se realiza para construir la circunferencia
y el paso 2 para asignar la opacidad.
Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en 𝐶 y radio 1
6. 𝑝 Circunferencia (centro, punto)
2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedades del objeto
Tabla 7. Técnica de construcción de un círculo
Para la representación del cubo, la alumna junto a su promotora realizaron varias construcciones
que les permitieron encontrar la representación deseada. Los procesos utilizados por las involucradas
se presentan en las tablas 5, 6, y 7. En la figura 8a muestras tales construcciones y el resultado se
puede visualizar en la figura 8b
Figura 8. Representación del cubo
En el registro escrito es escasa la información que justifique esta técnica. Sin embargo, desde un
punto de vista práctico, se presenta la intención de mantener cierta similitud entre la apariencia del
círculo y el cubo, especialmente cuando se proponen “generar esa apariencia maciza”. Esto a su vez motiva la técnica, ya que se hace alusión al fenómeno. Otro aspecto que vale la pena mencionar es la
determinación del centro del círculo a partir de un reconocimiento de este objeto en la vista gráfica del
software, como se muestra en el diálogo anterior. Con respecto a los referentes teóricos, no hay
evidencias de una presencia de éstos en el discurso.
Construcción de la Corona
La simulación de la corona se inicia con la identificación en la imagen de referencia de cierta
“uniformidad” en esta parte de la pieza, lo cual condujo a la definición de los “dientes” como esas
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partes uniformes (ver Figura 5a). Mediante una observación directa a estos dientes se concluyó que tales partes eran iguales en tamaño y forma. Además, una indagación sobre la pieza llevó al
reconocimiento de un valor mínimo en el número de dientes (8 dientes), aunque al final se optó por
considerar la representación de 10 dientes.
[…] observando la imagen referencial es posible determinar que los dientes no tienen
uniformidad en el tamaño; indagando un poco sobre este tipo de superficie, encontré que estos deben tener tamaño y forma uniforme y como mínimo en una rueda debe poseer ocho dientes,
por lo cual determinan 10 dientes.
Una vez establecido el número de dientes, las participantes declaran las formas geométricas que,
a su criterio, mejor representan la corona en los términos siguientes: “se identifican, para los dientes, triángulos y un círculo que rellene el espacio”, dejando de manifiesto un modelo geométrico
compuesto. Posteriormente, se dio paso a la formulación de la tarea de construcción: determinar el
radio de la circunferencia y los vértices del triángulo. Es importante resaltar que esta forma de
enunciar la tarea abarca a dos figuras geométricas, las cuales no se vinculan en la declaración y cuyos análisis asociados se hacen de forma incompleta. Tal es el caso de la circunferencia, de la cual solo se
menciona la determinación del radio sin hacen referencia a su centro. En este caso, la tarea declarada
es propia de un tipo de tarea.
Además, los datos reflejan poca claridad en cuanto al manejo de la noción de círculo en la construcción, ya que al inicio se declara a este objeto geométrico en la tarea, pero luego la atención se
centra en la circunferencia que le bordea, sin evidencias de vinculación entre estas figuras. Otro
aspecto a resaltar es la cantidad de triángulos a ser construidos, cuyo número fijado (10 unidades) no se considera a lo largo de la simulación. A pesar que se establecen las tareas de forma simultánea, las
construcciones son realizadas por separado, atendiendo primero a la circunferencia y luego a los
triángulos.
La técnica para construir la circunferencia es similar a las empleadas en otras tareas previas,
referidas al mismo objeto geométrico. Esta se compone de dos pasos (ver tabla 8), con los siguientes propósitos: el primer paso corresponde a la elaboración de la circunferencia y el segundo paso a la
asignación de la opacidad.
Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en punto 𝐶 y radio 5
4. 𝑝 Circunferencia (centro, punto
radio)
2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedades del objeto
Tabla 8. Técnica de construcción de la circunferencia
La justificación tecnológica para este objeto, al igual que en otros casos, responde al interés por “dar ese acabado macizo de la pieza”, motivando la técnica en este sentido. También se presenta la
función descriptiva ya que señala cómo fue realizada la construcción, como se muestra en el siguiente
dialogo.
Para la circunferencia […]en relación al centro se toma al punto C y el radio luego de algunas
estimaciones se define como 5/4p, una vez […]
En las justificaciones de la tarea de construcción no se describen referentes teóricos asociados.
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Para construir los triángulos, las involucradas emplean una técnica que se compone de 18 pasos
(ver tabla 9). Estos pasos tienen como propósito: ubicar los vértices de un triángulo (1 al 7), elaborar el
triángulo (paso 8), asignar opacidad al triángulo (paso 9), rotar el triángulo (10 al 16).
Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra
1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en punto 𝐶 y radio 6
4.p Circunferencia (centro, radio)
2 Determinar el punto de intersección entre la 𝑡 y 𝑓 (Punto 𝑁) Intersección
3 Rotar 𝑁, con respecto a 𝐶, y ángulo 18° (antihorario) Rotación
4 Trazar una recta 𝑚, que pasa por 𝑁´ y 𝐶 Recta
6 Determinar el punto de intersección entre la circunferencia
𝑐1 y 𝑚 (punto 𝑞) Intersección
7 Rotar a 𝑁´, con respecto a 𝐶, y ángulo 18° (antihorario) Rotación
8 Trazar el triángulo polígono 𝑁, 𝑄, 𝑁´´ (polígono 3) Polígono
9 Asignar la opacidad a 100 al triangulo polígono 3 Propiedades del objeto
10 Rotar el polígono 3, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación
11 Rotar el polígono 3´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación
12 Rotar el polígono 3´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo
36° Rotación
13 Rotar el polígono 3´´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo
36° Rotación
14 Rotar el polígono 4, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación
15 Rotar el polígono 4´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación
16 Rotar el polígono 4´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo
36° Rotación
17 Rotar el polígono 4´´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo
36° Rotación
18 Rotar el polígono 5, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación
Tabla 9. Técnica de construcción de los triángulos
Para culminar la representación de la rueda la participante y su promotora emplean las construcciones geométricas que se presentan en las tablas 8 y 9. Una ilustración de éstas se muestra en
la figura 9a y el resultado obtenido tras haber finalizado las representaciones se puede observar en la
figura 9b.
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Figura 9. Representación de la corona
Los datos muestran que las justificaciones tecnológicas tienen una naturaleza más práctica, es decir, relacionada con el conocimiento del fenómeno. En este orden de ideas, previo a la construcción,
la alumna y su profesora deciden el número de triángulos que representarán la corona según la
información consultada con respecto al fenómeno, cuestión que motiva la técnica. Otra función
presente es la descriptiva ya que en el discurso escrito se detallan las construcciones realizadas, en particular para el paso 8 (en donde se enfatiza la herramienta empleada) y otros los pasos del 3 al 7 (en
donde se deja claro cómo fueron deducidas ciertas medidas). Un ejemplo de lo anterior, es el caso de
la determinación de dos vértices del triángulo sobre una circunferencia.
[…] el borde de la corona debe contener la cantidad de triángulos establecidas (diez); una circunferencia tiene 360° quiere decir que el lado del triángulo que está sobre la corona debe
tener una amplitud angular de 36°.
Al igual que en los casos anteriores, esta construcción no presenta referentes teóricos en el
discurso. Al término de las construcciones, los involucrados afirman que “se concluye la construcción
de la rueda conductora”.
6. Discusión y conclusiones
La investigación realizada permitió reconocer algunas características de las prácticas
matemáticas que tienen lugar en la actividad de elaboración de simuladores con GeoGebra.
Para esto se analizaron los discursos escritos por una alumna, su promotor (un estudiante para
profesor de Matemática y Física) y profesora de Matemática, que dan cuenta del proceso de
elaboración y resolución de un conjunto de tareas de construcción de modelos geométricos,
relacionadas con representación de dos piezas que forman parte del mecanismo de una
máquina de vapor. A partir de la noción de praxeología de Chevallard (1999), en los
resultados de este trabajo se ponen de manifiesto tres de los cuatro elementos que componen a
esta organización, a saber, el tipo de tarea (T), la técnica (τ) y la tecnología (θ).
En relación al tipo de tarea (T), los resultados muestran que la formulación de cada
tarea de construcción es un proceso basado en las formas geométricas y movimientos
identificados en el boceto de la pieza que se intenta simular, dando cabida a la emergencia de
un modelo geométrico que sirve de soporte para la toma de decisiones sobre qué hacer y
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cómo proceder. Los modelos generados en el estudio fueron de dos tipos: singular (referido a
la construcción de un mismo tipo de objeto geométrico) y compuesto (asociado a la
representación de objetos geométricos distintos). En lo que respecta a la forma de enunciar las
tareas, por lo general, los participantes se apoyaron en los elementos requeridos por cada
herramienta del GeoGebra empleada en la construcción del modelo computacional. A pesar
de esta ayuda, en la mayoría de los casos, sólo se declaró el tipo de tarea, y no la tarea
concreta de este tipo. De acuerdo con el estudio realizado por Bosh, Fonseca y Gascón
(2004), este tipo de situaciones problemáticas pueden considerarse como “tareas matemáticas
abiertas” en el sentido de no ser prescritas por la actividad, siendo los participantes los
responsables de decidir la pertinencia de los datos de la situación, para formularlas y
resolverlas.
Sobre esta componente consideramos que una forma que pudiera permitir que los
participantes lleguen a enunciar el tipo de tarea (t) y no solo la Tarea (T), es mediante una
secuencia en la cual, atenderían primero a la Tarea y luego al tipo de tarea. En el caso de la
Tarea identificar el objeto geométrico a construir p.,e. “construir un triángulo” y luego
realizar una evaluación y descarte tanto de las herramientas del software que posibilitan la
construcción del objeto geométrico como de los elementos disponibles en la interfaz del
GeoGebra que servirán de apoyo para su elaboración, puntualizando con una tarea (t) con una
estructura similar a “construir un triángulo a partir de uno de sus lados”
Con respecto a la técnica (τ), éstas son producidas en relación a las propiedades
geométricas de los objetos matemáticos que intentan ser dibujados con el software, de tal
manera que las construcciones alcancen la consistencia matemática requerida, según lo
sugiere Laborde (1997). Este tipo de técnicas, apoyadas en el uso de un Software de
Geometría Dinámica, no son únicas, como bien lo señala Acosta, Mejía y Rodríguez (2013),
en una investigación previa, es decir, el software GeoGebra pone a disposición de los usuarios
una variedad de herramientas de construcción, de las cuales algunas coinciden en el objeto
geométrico. Una de estas, es la que posibilita la construcción de circunferencia designando
tres herramientas para ello, a saber, circunferencia (centro, radio); circunferencia (centro,
punto) y circunferencia tres puntos. Además, otros factores que intervienen en la
determinación de la técnica son, por un lado, la correspondencia entre las construcciones
obtenidas y las propiedades espaciales de fenómeno que tales construcciones intentan
modelar, y por otro lado, tiene que ver con los elementos necesarios para representar un
objeto geométrico en el software y las herramientas del GeoGebra que faciliten su
construcción. Por ejemplo, los elementos disponibles al momento de construir los
cuadriláteros y arcos de circunferencia (ver Tabla vi), dejaban entrever que la transformación
en el plano, específicamente la rotación, era una opción viable debido que ya se contaba con
el centro de rotación y los objetos debían elaborarse en el interior de un círculo.
En cuanto a las tecnologías (θ), los resultados muestran que las justificaciones asociadas
a las técnicas de construcción se basan más en los aspectos del fenómeno que en la propia
matemática empleada, muy a pesar de que en algunos momentos la tecnología deja entrever
algunos elementos teóricos. Esta tendencia hacia la explicación de los procedimientos en
función de los fenómenos concuerda con la investigación de Covián y Romo (2014), en la
cual las justificaciones prácticas cumplen un rol fundamental en las praxeologías, de acuerdo
al contexto de la actividad analizada. Por otro lado, se observó que la mayoría de los discursos
Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores con GeoGebra I. V. Sánchez N. y J. L. Prieto G.
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tecnológicos cumplen una función descriptiva, la cual puede ser atribuida a la cultura escolar.
Esto, en concordancia con Sierra, Bosch y Gascón (2013), puede ser atribuido a que el
discurso argumentativo y/o explicativo no suele formar parte de las prácticas matemáticas
escolares, lo que puede ser indicio de la falta de una presencia de la componente teórica en la
actividad. Finalmente, a diferencia del planteamiento de Bosch, Fonseca y Gascón (2004),
este tipo de actividad alcanza el nivel tecnológico en la institución de referencia, pero no el
nivel teórico ya que esta componente no es abordada.
Aun cuando las justificaciones por la naturaleza de la actividad tiendan a sustentarse en
el funcionamiento del fenómeno de interés, debe involucrarse al discurso justificativo
aspectos matemáticos debido a que la construcción de dibujos dinámicos involucra
conocimiento teórico, el cual respalda las propiedades geométricas que este debe cumplir. De
tal manera que las técnicas empleadas puedan vislumbrar la relación entre la matemática
abordada y la realidad modelada.
A partir del análisis de los datos ha sido posible evidenciar la emergencia de prácticas
matemáticas mediadas por el GeoGebra, que ponen de relieve formas de construcción del
conocimiento matemático en el seno de una actividad no convencional, caracterizada por la
resolución de tareas de construcción cuyas técnicas son justificadas y validadas
institucionalmente. A pesar de los avances, es necesario seguir desarrollando estudios
centrados en este tipo de prácticas, de manera que nos permita comprender otros aspectos de
la actividad de simulación con GeoGebra, tales como la naturaleza social de la formulación de
una tarea de construcción, las técnicas empleadas, el cuestionamiento de los discursos
tecnológicos y el uso de componentes teóricos (Θ) para explicar las tecnologías surgidas. La
intención es seguir haciendo aportes a este proyecto, en miras de su integración plena al
currículo escolar.
Reconocimiento
Este trabajo se ha realizado al amparo del proyecto de investigación No. CH-0510-15,
adscrito al Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y financiado por el Consejo
de Desarrollo Científico, Humanístico y Tecnológico (CONDES) de la Universidad del Zulia,
Venezuela.
Bibliografía
Acosta, M. (2005). Geometría experimental con Cabri: una nueva praxeología matemática. Educación
Matemática, 17(3), 121-140.
Acosta, M. (2007) La teoría antropológica de lo didáctico y las nuevas tecnologías. En L. Higueras, A. Castro, y F. García. (Eds.). Sociedad, escuela y matemáticas: aportaciones de la teoría
antropológica de lo didáctico, 85-100. Jaén, España: Servicio de Publicaciones de la Universidad
de Jaén.
Acosta, M. (2010). Dificultades de los profesores para integrar el uso de Cabri en clase de geometría. Experiencias de un curso de formación docente. Tecné, episteme y didaxis: Revista de la Facultad
de Ciencia y Tecnología, 28(1), 57-72.
Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores con GeoGebra I. V. Sánchez N. y J. L. Prieto G.
100 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
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U
N
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G
E
O
G
E
B
R
A
Acosta, M., Mejía, C. y Rodríguez, C. (2013). Lugares geométricos en la solución de un problema de
construcción: presentación de una posible técnica de una praxeología de geometría dinámica.
Educación matemática, 25(2), 141-160.
Álvarez, Y. (2005). ¡Auxilio! No puedo con la matemática. Revista Iberoamericana de Enseñanza de la Matemática Equisángulo, 2(1), 1-6.
Artigue, M. (2014, febrero). ¿Qué pilares fundamentales deberían orientar la educación científica en
primaria y secundaria? En G. Caetano (Pres.), Formar Ciudadanos del Conocimiento: El Desafío
de una Educación Científica para Todos. Seminario – Taller realizado en Motenvideo, Uruguay.
Artigue, M. (2012). Challenges in basic mathematics education. Paris: UNESCO [en línea].
Recuperado el 6 de mayo de 2016, de http://unesdoc.unesco.org/images/0019/001917/191776e.pdf
Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O. (2002). A cognitive analysis of dragging practises
in Cabri environments. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(3),. 66-72.
Benítez y Sánchez (2015). La locomotora a Vapor. En J.L. Prieto y R.E. Gutiérrez (Eds.), Memorias
del I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia, 121-126. Maracaibo, Venezuela: A.C.
Aprender en Red.
Bosch, M., Fonseca, C., y Gascón., J. (2004). Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales en las instituciones escolares. Recherches en Didactique des Mathématiques, 24(2-3), 205-250.
Bosch, M., (2003). Un punto de vista antropológico: la evolución de los "elementos de representación"
en la actividad matemática. En N. En Climent; L.C, Contreras y J. Carrillo (Eds.) Cuarto simposio de la sociedad española de investigación en educación matemática, 15-28. Huelva, España:
Servicio de Publicaciones Universidad de Huelva.
Castela, C. (2009). La noción de praxeología: un instrumento de la teoría antropológica de lo didáctico
posible útil para la socioepistemología. En P. Lestón (Ed.) Acta Latinoamericana de Educación Matemática Vol. 22, 1195-1205. México, D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa
A.C.
Cervantes, A., Rubio, L., y Prieto, J.L. (2015). Una propuesta para el abordaje de la refracción y
reflexión total interna utilizando el GeoGebra. Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, 4(1), 18-28.
Covian, O., y Romo, A. (2014). Modelo Praxeológico extendido una herramienta para analizar las
matemáticas en la práctica: el caso de la vivienda Maya y levantamiento y trazo topográfico. Boletim de Educação Matemática, 28(48), 128-148.
Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), 221-266.
Chevallard, Y. (2002). Organiser l'étude 1. Structures et functions. En J. Dorier, M. Artaud, M. Artigue, R. Berthelot et R. Floris (Eds.), Actes de la 11e École d'Été de didactique des
mathématiques, 3-22. Grenoble: La Pensée Sauvage.
Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997) Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la
enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE-Horsori.
Clark, D., Nelson, B., Sengupta, P., & D’Angelo, C. (2009). Rethinking science learning through
digital games and simulations: Genres, examples, and evidence. Presentado en el Learning
science: Computer games, simulations, and education workshop sponsored by the National
Academy of Sciences, septiembre, Washington, D.C.
Gascón, J. (1998). Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Recherches
en Didactique des Mathématiques, 18(1), 7-34.
González A., Molina, J. y Sánchez, M. (2014). La matemática nunca deja de ser un juego: investigaciones sobre los efectos del uso de juegos en la enseñanza de las matemáticas. Educación
Matemática, 26(3), 109-133.
Hilton, M. & Honey, M.A. (2011). Learning science through computer games and simulations.
Washington, DC: The National Academies Press.
Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores con GeoGebra I. V. Sánchez N. y J. L. Prieto G.
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
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Laborde, C. (1997). Cabri-geómetra o una nueva relación con la geometría. En L. Puig. (Ed.), Investigar y Enseñar. Variedades de la Educación Matemática, 33-48. México: Grupo Editorial
Iberoamérica.
Montiel, Y. y Castillo, L.A. (2015). El motor de cuatro tiempos. En J.L. Prieto y R.E. Gutiérrez (Eds.),
Memorias del I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia, 56-62. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red.
Prieto, J.L., y Gutiérrez, R.E., (Comps.). (2015). Memorias del I Encuentro de Clubes GeoGebra del
Estado Zulia. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red.
Prieto, J.L., y Gutiérrez, R.E., (Comps.). (2016). Memorias del II Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red.
Reyes, J., y Prieto, J.L. (2016). Interpretaciones de la fracción en una experiencia de simulación con
GeoGebra. Revista Educación y Humanismo, 18(30), 42-56.
Rodríguez, L. y Roggero, P. (2014). La modelación y simulación computacional como metodología de investigación social. POLIS. Revista Latinoamericana, 39, 1-16.
Romo, A. (2014). La modelización matemática en la formación de ingenieros. Educación Matemática,
25(E), 314-338.
Rubio, L., Prieto, J. y Ortiz, J. (2016). La matemática en la simulación con GeoGebra. Una experiencia con el movimiento en caída libre. IJERI: International Journal of Educational
Research and Innovation, (5), 90-111.
Irene V. Sánchez N. E. T. C. Hermágoras Chávez, Cabimas, Venezuela. Licenciada en Educación
Mención Matemática y Física (LUZ, Venezuela). Magister en Matemática Mención Docencia (LUZ, Venezuela). Investigadora PEII Nivel A-1. Coordinadora de Investigación de la A. C. Aprender en Red y
miembro del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Facilitadora del P.N.F. de
Profesores de Educación Media - Micromisión Simón Rodríguez. Delegada Región Zuliana de la
Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT). E-mail: [email protected]
Juan Luis Prieto G. Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela. Licenciado en Educación Mención
Matemáticas y Física (LUZ). Máster en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la Educación (IUP, España).
DEA en Didáctica de la Matemática (UA, España). Investigador PEII Nivel B. Coordinador General de la
A. C. Aprender en Red y del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Facilitador del
P.N.F. de Profesores de Educación Media - Micromisión Simón Rodríguez. Tesorero de la Asociación
Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT). E-mail: [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 103-117
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Siguen los problemas, pero resolvemos algunos. (Problemas Comentados XLVII)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Enunciados y soluciones de problemas propuestos en los Torneos para Primaria y
Secundaria organizados por la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de
Matemáticas, siguiendo las fases de comprender, pensar, ejecutar y responder
(analizando, comprobando y respondiendo) y usando distintos métodos de resolución:
organizando la información en tablas de doble entrada, por modelización, usando ensayo
y error, algebraicamente o geométricamente. Planteamos nuevos ejercicios en la misma
línea.
Palabras clave Resolución de problemas. Fases en la resolución de problemas. Métodos de resolución de
problemas. Torneos (Olimpiadas) para Primaria y Secundaria.
Abstract Statements and solutions to problems proposed in the Primary and Secondary
Tournaments organized by the Canary Island Society "Isaac Newton" of Mathematics
Teachers, following the phases of understanding, thinking, executing and responding
(analyzing, checking and responding) and using different methods of resolution:
organizing the information in double entry tables, by modeling, using trial and error,
algebraically or geometrically. We propose new exercises in the same line.
Keywords Problem resolution. Phases in problem solving. Methods of solving problems.
Tournaments (Olympics) for Primary and Secondary.
Como siempre, comenzamos nuestro artículo resolviendo los problemas
propuestos en el anterior. Recordarán que los primeros procedían de los Torneos
de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton”
de Profesores de Matemáticas. El primero se corresponde con el Torneo de
Primaria y los dos siguientes con el Torneo de Secundaria.
Estos son nuestros comentarios sobre los mismos.
VIAJE POR ITALIA
Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50
kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la distancia recorrida
1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así
sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3 de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a
Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
Problemas Comentados XLVII
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RESOLUCIÓN.
Fase I. Comprender
Datos: A y B organizan un viaje; B recorre 50 km por día; A recorre 50 km en el primer día y aumenta 1 km cada día (es decir, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero,
y así sucesivamente); Bruno parte el 1 de abril, Alfredo parte el 3 de abril.
Objetivo: ¿En qué día Alfredo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)
Relación: A viaja más rápido que Bruno y lo alcanzará.
Diagrama: Una tabla o dos diagramas rectilíneos paralelos.
Fase II. Pensar
Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN
Fase III. Ejecutar
Podemos hacer una búsqueda exhaustiva. Para ello diseñamos la tabla.
kilómetros
A Total de A B Total de B Día
0 0 50 50 1 de abril
0 0 50 100 2 de abril
50 50 50 150 3 de abril
51 101 50 200 4 de abril
52 152 … … …
Y la completamos.
kilómetros
A Total de A B Total de B Día
0 0 50 50 1 de abril
0 0 50 100 2 de abril
50 50 50 150 3 de abril
51 101 50 200 4 de abril
52 152 50 250 5 de abril
53 205 50 300 6 de abril
54 259 50 350 7 de abril
55 314 50 400 8 de abril
56 370 50 450 9 de abril
57 427 50 500 10 de abril
58 485 50 550 11 de abril
59 544 50 600 12 de abril
60 604 50 650 13 de abril
61 665 50 700 14 de abril
62 727 50 750 15 de abril
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63 790 50 800 16 de abril
64 854 50 850 17 de abril
En este momento la distancia recorrida por Alfredo, que al principio del día era inferior, resulta
mayor que la de Bruno. Lo habrá alcanzado en algún momento del día 17 de abril.
Otra manera es la de representar los valores de los kilómetros recorridos por cada uno, día a día,
y comprobar cuando se cruzan los caminos.
También podemos realizar un cálculo aritmético y usar la prueba y error.
Cuando parte A, B ha recorrido ya 100 km, el equivalente a dos días. A partir de este momento A va avanzando cada vez más rápido, sumando kilómetros de la manera indicada en el problema. O
sea:
1 + 2 + 3 + 4 +… = 100
Faltará por determinar cuántos sumando son necesarios para igualar o superar esos 100 km de
diferencia. Para averiguar ese número podemos proceder mediante un cálculo exhaustivo o por Ensayo
y Error.
Supongamos que elegimos 10 para ese número.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 +10) x 5 = 11 x 5 = 55
Nos quedamos cortos. Podemos hacer una segunda prueba para 16.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = (1 +16) x 8 = 17 x 8 = 136
Nos pasamos. Haremos un tercer ensayo para 15.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = (1 +15) x 7 + 8 = 16 x 7 + 8 = 112 + 8 = 120
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1 d
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2 d
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3 d
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4 d
e ab
ril
5 d
e ab
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6 d
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7 d
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ril
8 d
e ab
ril
9 d
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ril
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kiló
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Viaje por Italia
A
Total de A
B
Total de B
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Seguimos pasando. Ensayamos para el 14.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = (1 +14) x 7 = 15 x 7 = 105
En este momento lo acaba de pasar. Si probáramos con 13 la distancia recorrida no sería
suficiente.
(1 + 13) x 6 + 7 = 14 x 6 + 7 = 84 + 7 = 91.
Así que después de 14 días de salir Alfredo habrá alcanzado a Bruno. Es decir, el día 17 de
abril.
O podemos realizar un cálculo algebraico. Para ello habremos de basarnos en una pequeña
investigación sobre la suma de los términos de la sucesión 1 + 2 + 3 + 4 + …
Para un número par de términos: 1 + 2 + 3 + 4 +… + n = (n + 1) n / 2
Como ese resultado ha de ser igual o superior a 100, y el primer valor de n es 0, planteamos la
desigualdad:
(n - 1) n / 2 ≥ 100 n2 – n ≥ 200 n ≥ 14.65,
que al sumar los dos primeros días ya recorridos por Bruno, nos conduce al 17 de abril, en un
momento de ese día que equivale a 0.65 de las 24 horas, o sea, sobre las tres y diez de la tarde del 17
de abril.
También podemos plantear un sistema de ecuaciones:
Llamamos Ka a los kilómetros recorridos por Aldo en n días desde el 1 de abril y Kb a los
recorridos por Bruno. Entonces:
Ka = 50n + (n-1)n/2, y Kb = 100 + 50n, e igualando:
50n + n2/2 – n/2 = 100 + 50 n n2 – n = 200, y resolviendo la ecuación de 2º grado,
obtenemos n = 14.65.
Evidentemente, estamos en unas maneras de resolver el problema adecuadas a los alumnos de 3º
o 4º de E.S.O. para diferentes momentos del currículo. Así que es un problema con posibilidades.
Solución: Lo alcanzará el 17 de abril.
Fase IV. Responder
Comprobación: El trabajo cuidadoso con la tabla o la gráfica, nos permite comprobar la
corrección de la respuesta.
Análisis: Solución única. Es interesante hacer observar a los alumnos que, en la mayoría de los problemas de este tipo en la vida real, el alcance no se realiza de manera exacta sino que se produce en
algún momento de un intervalo determinado.
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Respuesta: Alfredo alcanzará a Bruno el 17 de abril.
JARDÍN MATEMÁTICO
En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas.
La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro
cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 m2 y es la zona
que está plantada ya de rosales.
El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie que ocuparán todos los rosales cuando
esté acabado el jardín.
Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde irán los
rosales.
Razona tu respuesta.
COMENTARIO:
Los datos no son solamente las medidas (5 m2 del triángulo coloreado) sino también los
elementos de las figuras mencionadas. Cuadrado dividido en cuatro cuadrados más pequeños mediante
las líneas paralelas a los lados que unen sus puntos medios. Triángulo isósceles ABC formado por un vértice y los dos puntos medios de los lados no incidentes en ese vértice. El triángulo coloreado de
rojo, parte del ABC, con vértices en el superior de ese triángulo, vértice opuesto del cuadrado pequeño
y punto medio del lado opuesto.
Para que los alumnos trabajen adecuadamente y sean capaces de apreciar todas las propiedades
que tienen cada figura y cada uno de sus elementos, se deberá trabajar mediante una modelización adecuada: representación sobre un geoplano y construcción en papel (para poder recortar los
triángulos más pequeños) de las figuras.
Están claros los dos objetivos: superficie del cuadrado original y del triángulo ABC.
Las relaciones vendrán dadas en función del cálculo de esas áreas, es decir, figuras que están en
el diagrama y las medidas de sus superficies en función de las relaciones entre sus lados.
La estrategia serán la MODELIZACIÓN y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera
conjunta.
El alumno deberá darse cuenta que los cuatro triángulos que se forman en el cuadrado pequeño de la parte superior izquierda tienen un
vértice común, el A, y sus bases son la mitad de la medida de los lados de
ese cuadrado; además puede apreciar que las alturas de los cuatro triángulos son los lados del mismo cuadrado pequeño. Eso nos indica que los cuatro
triángulos tienen la misma área, 5 m2 cada uno de ellos. También se puede
hacer un cálculo directo del área del triángulo coloreado en función de los lados del cuadrado pequeño; se puede ver así que, como es un triángulo que
tiene la altura total del cuadrado y de base la mitad del lado, su área es
S = 1/2 (lado) x (1/2 lado) = 1/4 (lado)2, o sea, una cuarta parte del área del cuadrado pequeño.
Problemas Comentados XLVII
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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El área del cuadrado pequeño es cuatro veces 5 m2, es decir, 20 m2. Y el área del cuadrado
grande es cuatro veces la del cuadrado pequeño, es decir, 4 x 20 = 80 m2.
Para trabajar con el triángulo ABC, convendría ahora
prolongar el lado del triángulo rojo situado sobre la diagonal. Así,
cuando llegue al lado desigual del isósceles ABC, tendremos abajo dos triángulos iguales, siendo seis los triángulos pequeños
en que está dividido el ABC.
Esos seis triángulos tienen la misma área que el rojo,
aunque tengan formas diferentes. Se puede llegar a esa conclusión de diversas formas, basadas siempre en la manera de
calcular sus áreas en función de la base y la altura de cada uno, o
bien, de su relación con respecto al área de un cuadrado pequeño.
En conclusión, a partir de esa constatación de que los seis
triángulos tienen la misma área, siendo uno de ellos el rojo, podremos concluir que el área que
ocuparán al final los rosales (triángulo ABC) es de 5 x 6 = 30 m2.
Otra manera posible de ver el valor de la superficie del triángulo ABC consiste en apreciar en la
figura que si quitamos dicho triángulo del cuadrado grande, nos quedan tres triángulos, dos de ellos
(situados a los lados) iguales entre sí y con área igual (cada uno de ellos) a la de un cuadrado pequeño. Mientras que el tercer triángulo, situado bajo la base del triángulo, mide la mitad del área de un
cuadrado pequeño. Es decir, su superficie es 2,5 x 20 = 50 m2. Y restando del valor total del cuadrado
grande: 80 – 50 = 30 m2, que coincide con lo calculado anteriormente.
NUMB3RS
Cuando paseaban por la ciudad tres amigos, observaron que el conductor de un automóvil
infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de cuatro cifras) de la matrícula, pero como al menos uno de los tres era matemático, cada uno de ellos advirtió alguna
particularidad de dicho número.
Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras.
Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto.
¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estos
datos?
Explica detalladamente tu razonamiento.
COMENTARIO:
Los alumnos llegan rápidamente a la conclusión de que el número ha de ser del tipo aabb.
A partir de ahí, la tercera condición o relación la utilizan para encontrar por ENSAYO Y
ERROR el valor de la matrícula. No es un método eficaz ni rápido pero, si se dispone de tiempo y
comienzan de mayor a menor, son capaces de encontrar la solución. Algunos utilizan un ENSAYO Y ERROR DIRIGIDO, mediante el uso de propiedades de las potencias que recuerdan o deducen. Eso
les da la solución con más rapidez que en el caso anterior.
Pocos son los que razonan utilizando la divisibilidad.
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Si expresamos como descomposición decimal el número aabb, tendremos:
1000 a + 100 a + 10 b + b = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b)
Como consecuencia observamos que este número es divisible por 11.
Aplicando criterios de divisibilidad por 11, ya tenemos más datos del número aabb. El más importante consiste en darse cuenta de que al ser un cuadrado exacto y contener el factor 11, deberá
contener también el factor 112. Es decir, si el número es 11 (100 a + b), también el factor (100 a + b)
es divisible por 11.
Como a y b son valores de una cifra (inferiores a 10), deducimos que a + b = 11, para que se
cumpla el criterio de divisibilidad por 11.
Buscamos cifras que sumadas den 11. Con el 0 y el 1 no podemos encontrar un valor menor que
10 para la segunda. Obtenemos pues,
2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 11
Los números cuadrados sólo pueden tener como última cifra los valores 0, 1, 4, 5, 6, 9, únicos
posibles al elevar al cuadrado la última cifra del número de partida:
(02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81).
Como ya hemos descartado los valores de 0 y 1, quedan estos posibles valores:
a = 7 b = 4 7744 │a = 6 b = 5 6655 │a = 5 b = 6 5566 a = 2 b = 9 2299
Hemos reducido las posibilidades a sólo cuatro. Cuatro multiplicaciones que nos darán
rápidamente la solución del problema.
O razonar, a partir de sus descomposiciones en factores primos, si contienen los mismos
elevados al cuadrado en su totalidad.
El número 6655 es divisible por 5, pero no por segunda vez (6655 : 5 = 1331).
El número 5566 es divisible por 2, pero no por segunda vez (5566 : 2 = 2783).
El número 2299 = 12 x 19 = 22 x 3 x 19 no se puede dividir de nuevo ni por 3 ni por 19.
Solamente nos queda 7744 = 26 x 112 = 82 x 112 = 882 , que es la solución del problema.
Habíamos propuesto también dos problemas del Rally Matemático Transalpino (ya saben lo que nos gustan sus problemas) y les pedíamos que pensaran, de manera especial, en una forma de
resolverlos por MODELIZACIÓN.
CAMELLOS Y DROMEDARIOS
Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha
hecho 23 jorobas y 68 patas. Cleopatra sabe que los camellos
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tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una. Luego dibujó un hombre en la grupa de
cada camello.
¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total?
Explica cómo encontraste tu respuesta.
Datos
Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha
hecho 23 jorobas y 68 patas.
Un hombre en la grupa de cada camello.
Objetivo
Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en
total.
Relación
Camellos y dromedarios son animales de cuatro patas.
Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una.
Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.
Diagrama
Modelo. Tabla. Partes/Todo.
Estrategia
MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN
Por modelización:
Utilizaremos un modelo consistente en representar los animales con tarjetas de visita (más de
30) o cartas de baraja, las patas con pinzas de tender (68) y las jorobas con peones de juego (23).
Colocaremos las trabas de 4 en 4 sujetas a las tarjetas hasta agotar las trabas. Esos son los
animales que hay: 17.
Tomaremos las 23 jorobas y colocaremos 1 en cada animal (todos tienen, al menos, una joroba).
Nos sobran 6 jorobas que corresponderán a los 6 camellos existentes. El resto se queda con una sola,
son los 11 dromedarios que hay.
Por ensayo y error:
¿Dromedary o Camel?
Viñeta de Alberto Montt, que
une puzles con camelus
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Daremos como dato oculto el que al saber el número de patas podremos saber la cantidad de
animales. 68/4 = 17 animales.
Utilizaremos la siguiente tabla:
Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión
Haremos un ensayo para los camellos:
Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión
10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error
Y continuaremos haciendo ensayos, disminuyendo el número de camellos:
Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión
10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error
8 17 17 – 8 = 9 8 x 2 + 9 x 1 = 25 25 > 23 error
6 17 17 – 6 = 11 6 x 2 + 11 x 1 = 23 23 = 23 acierto
La solución es, pues, 6 camellos y 11 dromedarios.
Mediante organización de la información:
Representaremos mediante álgebra la situación. Llamamos x al número de camellos e y al
número de dromedarios.
Planteamos las ecuaciones siguientes:
2 x + y = 23
4 x + 4 y = 68
Y resolvemos el sistema que es equivalente al siguiente:
2 x + y = 23
x + y = 17
De donde: x = 23 – 17 = 6; y = 17 – 6 = 11.
Solución
6 camellos y 11 dromedarios
Comprobación
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6 + 11 = 17; 17 x 4 = 68; 6 x 2 = 12; 11 x 1 = 11; 12 + 11 = 23
Análisis
Solución única. Los hombres se dibujan sobre los camellos. Por tanto, hay tantos hombres como
camellos.
Respuesta
Cleopatra ha dibujado 6 hombres
CONCURSO DE PESCA
Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso descubren
que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas
por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo.
¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos?
Explica tu razonamiento.
Datos
Tres pescadores: Alfredo, Carlos y Blas.
Objetivo
Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos.
Relación
Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo.
Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas.
Carlos ha pescado el triple de las pescadas por Alfredo.
Diagrama
Modelo. Tabla Partes/Todo
Estrategia
MODELIZACIÓN. ENSAYO Y ERROR. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN (mediante
aritmética o mediante álgebra)
Mediante modelización
Tomamos como modelo tres cartulinas que representarán a cada uno de los tres pescadores. Para
Carlos necesitaremos una más. Varias tarjetas iguales que representarán cada una de ellas la cantidad
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(desconocida) de peces pescados por Alfredo. Fichas en cantidad indeterminada para representar con
cada una de ellas una trucha.
En la primera cartulina (Alfredo) colocaremos una tarjeta que representa la cantidad de truchas
que pesca.
En la segunda cartulina (Blas) colocaremos una tarjeta igual y siete fichas.
A Carlos lo representaremos dos veces, con dos cartulinas, ya que tenemos dos relaciones
diferentes que lo conectan con Blas y con Alfredo.
En la tercera cartulina colocaremos el doble de lo que tiene Blas, es decir, dos tarjetas y 14
fichas.
En la cuarta cartulina colocaremos el triple de lo que tiene Alfredo, es decir, tres tarjetas.
Como ambas representaciones deben ser equivalentes, cancelaremos lo que tienen de igual (dos
tarjetas) y compararemos lo que nos queda: una tarjeta y 14 fichas. Esto quiere decir que esa tarjeta
vale 14 fichas. O sea, Alfredo pescó 14 truchas.
A partir de esa solución averiguamos las truchas pescadas por Blas (21) y por Carlos (42).
Mediante ensayo y error
Elaboramos una tabla simple que represente la situación de los tres pescadores:
Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión
Hacemos un ensayo a partir de los peces pescados por Alfredo. Por ejemplo:
Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión
10 10+ 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error
Continuamos haciendo ensayos hasta encontrar la solución, el momento en que ambas
expresiones para Carlos sean iguales.
Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión
10 17 + 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error
20 20 + 7 = 27 2 x 27 = 54 3 x 20 = 60 54 < 60 error
15 15 + 7 = 22 2 x 22 = 44 3 x 15 = 45 44 < 45 error
14 14 + 7 = 21 2 x 21 = 42 3 x 14 = 42 42 = 42 acierto
Tendremos así que la solución es: 14, 21 y 42 truchas, respectivamente.
Mediante organizar la información
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Utilizando razonamiento aritmético
Observamos que las relaciones de Carlos con Blas y con Alfredo indican la existencia de dobles
y triples.
Solución de un alumno
Lo que hice fue coger múltiplos (comunes) de 3 y de 2.
6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36 – 42 – 48 – 54 – 60 – 66 – 72 - …
A continuación, los dividí entre 2 y 3 hasta ver si la diferencia de ambos números es 7.
30/2 = 15; 30/3 = 10; 15 – 10 = 5.
Hasta este valor, la diferencia entre los cocientes es inferior a 7.
Sigo probando:
36/2 = 18; 36/3 = 12; 18 – 12 = 6; 42/2 = 21; 42/3 = 14; 21 – 14 = 7.
42 es la solución y corresponde a lo pescado por Carlos; 21 y 14 son la pesca de Blas y
Alfredo, respectivamente.
Utilizando codificación algebraica
Representaremos con x la cantidad de truchas pescadas por Alfredo.
Entonces la cantidad pescada por Blas es x + 7.
Y la cantidad de truchas pescadas por Carlos será, según cada una de las dos relaciones que
tenemos:
2 (x +7) y 3 x
Como ambas expresiones han de representar la misma cantidad, igualamos: 2 (x + 7) = 3 x
Obtenemos así la ecuación, que resuelta nos da: 2 x + 14 = 3x x = 14
A partir de este resultado podemos obtener los tres valores de la solución:
14; 14 + 7 = 21; 3 x 14 = 42
Solución
14, 21 y 42 truchas, respectivamente
Comprobación
14 + 7 = 21; 14 x 3 = 42; 21 x 2 = 42
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Análisis
Solución única.
Respuesta
Alfredo ha pescado 14 truchas, Blas ha pescado 21 truchas y Carlos ha pescado 42 truchas.
Finalmente añadíamos un par de problemas más, uno geométrico (tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y numéricos de Geometría; Madrid 1964) y el otro basado en un problema
publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia.
ÁREA DE UN ROMBO
La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el
radio de la circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la
superficie del rombo.
Consideraremos dos maneras de abordar el problema: algebraico y geométrico, aunque en ambos
casos necesitamos conocimientos geométricos básicos.
Extraemos de la figura del enunciado el triángulo
ABC de la imagen, en azul. El área total del rombo es:
At = 20·2𝑦
2 = 20 y usando la fórmula de A =
D·d
2 , siendo D la diagonal mayor y d la diagonal
menor.
En el triangulo azul de la figura, la longitud del segmento AC, aplicando Pitágoras es de 8 cm. Siendo el área del triángulo ABD
AABD = 1
4 At
El área del triángulo ABC es: AABC= 8·6
2 = 24 cm2
Mientras que el área de ABD la podemos calcular como:
AABD = (8+X)·6
2 = 3(8 + x)
En el triángulo BCD: y2 = 62 + x2, luego x = √𝑦2 − 62 = √𝑦2 − 36
Sustituyendo en AABD = 3(8 + x) = 3(8 + √𝑦2 + 36 ) y como At = 4 AABD, entonces:
4 · 3 (8 + √𝑦2 + 36 ) = 12 · 8 + 12√𝑦2 + 36 = 20𝑦
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Operando y simplificando: 3√𝑦2 + 36 = 5𝑦 − 24 y elevando al cuadrado ambos miembros
de la ecuación: (3√𝑦2 + 36)2
= (5𝑦 − 24)2 y tras algunas operaciones nos queda la ecuación de
segundo grado 4y2 – 60y + 225 = 0, que una vez resuelta nos da un único valor: y = 7.5 cm, con lo que
la diagonal d es de 15 cm. Así pues el área del rombo es At = 10·15 = 150 cm2.
Veamos cómo resolverlo usando la semejanza de triángulos.
Podemos ve en la figura que los ángulos y
son complementarios, luego el ángulo CDB es igual a
Al ser los triángulos ABC y BCD semejantes
por tener sus tres ángulos iguales y el lado BC común,
establecemos las relaciones:
6
y=
8
6=
10
x
De donde obtenemos x = 7.5 cm e y = 4.5 cm.
Podemos aplicar la misma fórmula de antes
para hallar el área del rombo o utilizar la expresión At = 2lr, donde l es el lado del rombo (8 + y), y r el
radio de la circunferencia inscrita. At = 2· (8 + 4.5)·6 = 150 cm2.
Es este un tipo de problema que puede plantearse para ser resuelto en dos momentos del
currículo para unos mismos alumnos, haciéndoles ver -recordando cómo se resolvió la vez anterior-,
que las matemáticas son un instrumento que permite resolver situaciones problemáticas de distintas
maneras. De ahí que hablemos de belleza de la solución de un problema, de economía en los medios
usados, de visualización del planteamiento y de las soluciones, etc.
Afrontemos ahora el otro ejercicio planteado en el artículo anterior.
SUMA DE PAREJAS
En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …, 28 y
30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al menos hay un par
de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28?
Podemos dividir el conjunto de 15 bolas en tres subgrupos: A = {2,
4,… 16}, B = {20, 22,… 30} y C = {18}.
¿Por qué de esta manera?
De las C15,2 = 15·14/2 = 105 parejas posibles, las que suman 36 son (6, 30), (8, 28), (10, 26), (12, 24), (14, 22) y (16, 20). Como podemos comprobar, el primero número
de cada pareja pertenece a A y el segundo pertenece a B. Por ello, la extracción debe garantizar que se
extraigan todos los elementos de uno de los subconjunto y al menos uno del otro. Puesto que card (A) = 8, mientras que card (B) = 6, debemos extraer de la bolsa al menos 9 bolas… ¡craso error! Nos
olvidamos de la bola con el 18, la que forma el conjunto C. Tendríamos que extraer al menos 10
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bolas, pues en el peor de los casos serían las 8 de A más la de C, y como la décima ya ha de ser de B
tendremos dos bolas que sumen 36.
Para que dos de las bolas extraídas sumen 28, el razonamiento es parecido. Dejamos que
nuestros lectores encuentren la solución y nos comenten, al llevar el ejercicio al aula, los resultados.
Terminada la labor de resolver y comentar queremos ofrecerles un tiempo entretenido hasta
nuestro próximo artículo, así que aquí van dos nuevas propuestas.
El primero es una variante de un problema clásico, “El cubo de las caras pintadas”. Aquí hemos añadido algunas dificultades: un ortoedro en lugar de un cubo, en lugar de dimensiones el número de
cortes, una cara sin pintar.
EL CARPINTERO
El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un ortoedro de madera y lo pintó totalmente de
verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento.
Al cabo de unos días, como le parecía que era muy grande para utilizarlo, decidió cortarlo en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro. Hizo 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto
y 4 a lo ancho.
¿Cuántos cubitos salieron? Clasifícalos según el número de caras pintadas de verde que tengan. Justifica tus respuestas.
El segundo, aparecido en un antiguo ejemplar de la revista QUIZ.
De una placa circular de un material homogéneo de 18 cm de
radio y 360 g de peso, se cortan dos discos (en verde) como indica la
figura.
El material sobrante (en amarillo) pesa seis veces más que el disco pequeño. Calcular los radios y los pesos de los discos cortados.
Se nos ocurre que para próximos artículos vamos a deslizar
alguna errata y desafiaremos a nuestros lectores a encontrarla; igual
hasta tenemos un premio para ellos. Por ahora las erratas que aparecen son involuntarias, al menos por nuestra parte, pero todos conocemos la existencia de ciertos duendes
digitales y analógicos que les da por intervenir…
Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas,
singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus
comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras
propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos,
anímense… ¡Si es divertido!
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
.
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
N Ú M E R O S
Revista de Didáctica de las
Matemáticas
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 119-133
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Dominós orientales y otras variantes didácticas. (Juegos XXXV)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Ampliando el artículo anterior, tratamos aquí el Mahjong de forma extensa, y de manera
más reducida los derivados del dominó con formas triangulares, cuadradas, de arcos
circulares, de hexágonos o dodecágonos. Y relacionamos los dominós de distinto tipo
con contenido didáctico, básicamente en el campo de las matemáticas, y cómo aplicarlos
en la clase. También aparece algún problema relacionado con las piezas de dominó.
Asimismo presentamos otros dominós y objetos realizados con fichas de dominó que podemos calificar de curiosidades.
Palabras clave Mahjong, dominós no rectangulares: triangulares, cuadrados, de arcos circulares, de
hexágonos o dodecágonos. Dominós didácticos en la clase de matemáticas. Curiosidades
con dominós. Problemas con fichas de dominó.
Abstract Extending the previous article, we deal here with Mahjong extensively, and in a reduced
way domino derivatives with triangular, square, circular arcs, hexagons or dodecagons.
And we relate dominoes of different types with didactic content, basically in the field of
mathematics, and how to apply them in class. Also appears some problem related to
domino pieces. Also we present other dominoes and objects made with dominoes that we
can describe as curiosities.
Keywords Mahjong, non-rectangular dominoes: triangular, square, circular arcs, hexagons or
dodecagons. Didactic dominoes in math class. Trivia with dominoes. Problems with
dominoes.
Como habíamos indicado al final del anterior artículo seguimos aquí con el dominó. Nos quedaban,
al menos, dos aspectos importantes. Hacer una
mención de los dominós orientales, los dominós no
rectangulares y las adaptaciones didácticas del juego del dominó. Naturalmente, sin extendernos demasiado;
solamente como información complementaria a lo
escrito en los dos artículos anteriores.
Dominós orientales
El Mahjong es un juego muy conocido debido a su vistosidad y, sobre todo, a que sus aspectos
materiales son muy utilizados en juegos solitarios de ordenador, móvil y tableta. Aunque esta
1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
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utilización no se deriva de sus características como juego. Simplemente se han tomado las piezas del Mahjong, se amontonan siguiendo unos esquemas variables y se utilizan para formar parejas hasta
agotar la totalidad de las fichas.
En realidad, el juego del
Mahjong es muy diferente de lo que ahí aparece. Lo que sí está claro es que
no es un juego como el dominó
occidental. Sus piezas, aunque
numéricas en su mayoría, tienen otras imágenes y no están divididas en dos
partes, sino que son piezas enteras y
únicas. Son más bien cartas pequeñas y sólidas y su manera de jugar con ellas se asemeja más a un
juego de cartas, como pueda ser el gin-rummy, o a un juego de mesa como el Rummikub.
Veamos, entonces, sus orígenes y sus antecedentes.
El dominó chino
No se conoce con exactitud su antigüedad, pero hay referencias a él en escritos del siglo XII.
Más tarde fue introducido en Europa dando origen al dominó occidental que conocemos.
Sus fichas son numéricas, señaladas con puntos, con o sin raya de división. Las fabricadas en la actualidad son rectangulares del mismo tamaño
que las de nuestro dominó, pero las tradicionales son más largas.
Contiene treinta y dos fichas, once de las cuales están duplicadas y se
llaman "series civiles". Las restantes diez fichas constituyen la llamada “serie
militar”. Se pueden practicar distintas modalidades de juego (Tsung Shap, Tjak-ma-tcho-ki, Dragones, Pai-gow o Tien-gow). En estas partidas pueden participar
de 2 a 4 jugadores. Algunas son parecidas a nuestro dominó clásico y otras con
muchas más normas y complejidad estratégica. Los objetivos de los diferentes juegos varían entre conseguir puntos agrupando fichas (en una fila como en
nuestro dominó) que sumen 10, en unos casos, formar tres parejas o,
simplemente, deshacerse de todas las fichas de la mano. En la mayoría de
modalidades se permite utilizar las fichas descartadas por el adversario.
El dominó coreano, también conocido como Gangpae, Apae y Hopae, tiene 32 fichas, que suman 227 puntos y podemos ver
en la figura. Se repiten valores en algunas fichas, otras están
repetidas, no hay fichas en blanco y
los puntos bajos se
dibujan más grandes que los puntos altos.
Dada la complejidad
de los juegos con
estas fichas, parece ser que se usan más en tareas adivinatorias que en partidas de dominó.
Tanto unos como otros podrían también considerarse antecesores del Mahjong.
Dominós orientales y otras variantes didácticas J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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Cómo jugar al dominó chino:
El objetivo consiste en llegar a formar una mano completa antes que tus contrincantes.
Se forma un bloque con hileras de cinco fichas de alto y se coloca en el centro de la mesa. Para decidir
a quién le toca mover primero se echa a suertes con unos dados.
El primer jugador recoge las dos primeras pilas (con diez fichas), y los otros recogen las pilas restantes
(con nueve fichas).
Si el primer jugador no tiene una mano vencedora, comienza el juego descartando una de las fichas y
colocándola boca arriba sobre la mesa. Cuando a cada uno de los jugadores restantes les toque su
turno:
Para completar su mano podrán recoger cualquiera de las fichas descartadas por los anteriores y
cambiarlas por una de sus propias fichas, o
Recoger una ficha del extremo de la pila, que podrá descartar inmediatamente o cambiarla por otra que
tenga en la mano.
El juego termina cuando uno de los participantes completa su mano. Esto le dará derecho a llevarse el
total de las sumas apostadas.
Una mano completa está formada por: (a) cuatro pares, cada uno con un total de 10 puntos o un
múltiplo de 10; (b) un par de fichas idénticas.
El Mahjong. Distintas formas de jugar
Hace muchos, muchos años, en la sección de Juegos de “El pequeño país”, Caps i Mans nos hablaban de redescubrimiento y, en
una sola página como siempre, ofrecían una información sencilla y
muy completa sobre este juego (lo llamaban Mah-Jongg ≈ Juego de
los Gorriones). En China se conoce como MA JIANG o MA JIANG PAI pero también como MAQUE PAI (MAQUE gorrión y PAI
ficha) y parece ser que se inventó en la dinastía Tang.
Ponían por delante su origen chino y su parentesco con el
dominó chino. Sobre su antigüedad exponían dudas y dando a entender que no era tan antiguo. Todos sabemos que el origen chino da a las cosas un cierto matiz misterioso y antiguo. Algunos creadores de
juegos utilizan esa treta para darle más popularidad, como en el caso del Tangram o los Aros Chinos.
Le daban la bienvenida por su indiscutible calidad y la constante presencia en él de un gran
simbolismo, mucho ritual, poesía y, en una palabra, cultura.
“Qué son si no los sugerentes nombres de algunas jugadas: la paz del paraíso, las trece linternas maravillosas, las cuatro bendiciones de la casa o la gran serpiente. O sus propias fichas, divididas en
tres tipos –bambúes, discos y caracteres-, con los tres dragones, simbolizando la pureza el blanco; el
valor, el rojo, y el verde, la prosperidad.”
Las reglas de juego chinas originales son bastante complejas; por eso, en la mayoría de los
países donde se juega actualmente han adoptado unas reglas más sencillas.
El Mahjong es un juego bastante sencillo, cuya mayor complicación reside en el sistema de
puntuación. Su objetivo principal consiste en hacer combinaciones de tríos y escaleras.
Dominós orientales y otras variantes didácticas J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
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El Mahjong consta de 144 fichas que se dividen en dos grupos:
108 fichas que forman tres series del 1 al 9, cuadruplicadas: (3 x 9 x 4 = 108)
a)
a1) los bambús
a2) los discos (círculos o bolas)
a3) los caracteres
b) 36 fichas restantes:
b1) los honores (flores del 1 al 4 y estaciones del 1
al 4)
b2) los vientos (Norte, Sur, Este y Oeste, cuadruplicados)
b3) los dragones (rojos, verdes y blancos, también cuadruplicados)
En total: (4 x 2 + 4 x 4 + 3 x 4 = 36) (108 + 36 = 144)
Hay muchas maneras de jugar al Mahjong. Aconsejamos a los que quieran aprender y jugar
partidas con sus amigos que se pongan en contacto con la Federación o Asociación más cercana y
pidan el Reglamento de Juego correspondiente, o bien, buscar en Internet las reglas más sencillas
posibles.
Se comienza siempre tirando unos dados para echar a suertes quién inicia la partida, que será el
“mano” a quien corresponde el viento del Este.
A su izquierda se colocará el viento del Sur, luego el del Oeste y por último el del Norte.
Situados los jugadores en su lugar en la mesa se tomarán las 144 fichas boca abajo y se removerán.
Luego se procederá a la construcción de la muralla, lo que en un juego de cartas equivaldría a lo que se denomina montón. Las fichas se ordenarán formando un cuadro doble de 18 fichas de lado. El
jugador Este echará de nuevo los dados y el número que salga indicará por donde hay que abrir la
muralla para repartir las fichas.
El Este tomará 4 fichas del lado izquierdo de la brecha abierta, luego el Sur tomará también 4, luego el Oeste y el Norte y así sucesivamente hasta que cada jugador tenga 12 fichas en su poder.
Luego cogerán cada uno por turno otra ficha más y finalmente el Este tomará otra. De esta forma cada
jugador tendrá 13 fichas excepto el viento del Este que tendrá 14. El jugador Este, una vez haya
seleccionado las fichas según su conveniencia, deberá desprenderse de la ficha sobrante que podrá robar el jugador del Sur o cualquiera de los jugadores de la mesa, según veremos a continuación, en
busca de un objetivo determinado. Si esta ficha o las procedentes del descarte de cualquier jugador no
convinieran a nadie deberán tomarse las fichas de la muralla, por orden consecutivo al sentido de la
apertura.
Con las 13 fichas que cada jugador tiene en la mano deberá formar: cuatro grupos de tres fichas
y una pareja. Estos grupos pueden ser: Escaleras (tres fichas correlativas) o Tríos (tres fichas del
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mismo número y clase). Las escaleras solamente pueden formarse con fichas pertenecientes a las grandes series (p.e.: 2, 3, 4 de bambú; 5, 6, 7 de disco; 3, 4, 5 de carácter; etc.). Y los tríos pueden ser
o de grandes series (p.e.: 8, 8, 8 de carácter; 6,6,6 de bambú) o de honores (3 dragones rojos, 3 vientos
del Sur).
El jugador que se descarta debe anunciar qué ficha es. El jugador que le corresponde si la toma para hacer escalera deberá decir “chow” (acepto) y mostrar las otras dos fichas que completan la
escalera. Si otro jugador desea esta misma ficha para formar un trío deberá decir “pung” (tomo) y
mostrar las fichas que lo completan. El que pida ficha para hacer trío –siempre respetando el orden de
la mano- tiene preferencia sobre el que la solicita para hacer escalera. Si pasa el turno de juego ya no
puede reclamar la ficha.
Mediante robos y descartes sucesivos llegará el momento en que un jugador habrá obtenido los
grupos de fichas que se indicaron al comienzo. Así tendremos al finalista. Para finalizar hay que
hacerlo con 14 fichas combinadas. Ya tenemos el ganador.
Hay otros juegos posibles o combinaciones a efectuar en el Mahjong. Por ejemplo el kang, que se forma con cuatro fichas iguales. Las fichas de honores (las flores y las estaciones) no cuentan a la
hora de hacer Mahjong, tan sólo sirven para obtener puntuaciones adicionales con las que valorar más
el juego. Cuando un jugador roba de la muralla una de estas fichas de honores deberá mostrarla y
robar otra ficha que sea apta para las combinaciones deseadas.
Cuando se termina una partida los vientos cambian en rotación hacia la derecha, esto tiene una importancia capital pues quien posee el viento del Este llamado también mandarín, cobra y paga doble
sus puntuaciones.
La parte más difícil del Mahjong es la manera de puntuar las jugadas. Requiere una tabla que se
encuentra en los reglamentos o libros explicativos del juego. Esta que presentamos es muy sencilla:
Expuesto En mano
Pareja de vientos o dragones 0 2
Trío de gran serie (2 a 6) 2 4
Trío de gran serie (1 y 9) 4 8
Trío de vientos y dragones 4 8
Kang de gran serie (2 a 8) 8 16
Kang de gran serie (1 y 9) 16 32
Kang de vientos o dragones 16 32
Honores (cada uno) 4 0
Escala real del 1 al 9 de la misma serie 32 64
Estas instrucciones de juegos están tomadas (y algo resumidas) de un artículo de Jorge
Quintana.
Como complemento para los interesados indicaremos que hemos encontrado dos documentos
curiosos sobre el Mahjong. Uno de ellos es un artículo a doble página aparecido en la Revista
Cacumen, nº 30, sin autor. El otro es un librito hallado en librería de viejo titulado “MAH-JONGG
Juego chino” y cuyo autor es L. Asín Palacios. Las otras dos publicaciones, de la década de los 90,
son descripciones de las fichas y de las reglas del juego, la una londinense y la otra madrileña. En
libros genéricos sobre juegos también se encuentran explicaciones del Mahjong.
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El Mahjong como puzle informático
Los juegos de ordenador aparecen con fuerza casi inmediatamente después de aparecer los
primeros ordenadores. Muy rudimentarios al principio fueron cobrando fuerza y mejorando tanto su
estructura como sus soportes.
Uno de los primeros, junto a los solitarios de cartas, fueron las adaptaciones como solitario del
Mahjong. El más conocido, tal vez, el Shanghai en sus diferentes versiones. Aquí mencionamos
expresamente Shanghai II: Dragon’s Eye, (1990 Activision), a través de un resumen de sus
instrucciones.
En ellas hace una pequeña historia del juego y su llegada a occidente. Concretamente, indica que es en la primera mitad del siglo XX que Joseph P. Babcock, hombre de negocios norteamericano
que vivía en Shanghai, se interesa en uno de estos juegos. El mismo se llamaba Ma Chiang, Ma Cheuk
o Ma Ch’iau, expresiones dialécticas que significan todas “gorrión”, “el pájaro con 100 inteligencias”. En 1920, Joseph P. Babcock trae el juego a occidente bajo el nombre de Ma-jong. Este juego conoció
una inmensa popularidad en el mundo de habla inglesa, popularidad que ha conservado desde
entonces.
El Ma-jong, sin embargo, no es la única variación sobre este tema que se remonta al origen de
los tiempos: del Oriente también nos viene Shanghai y el Dragon’s Eye.
El juego Shanghai consiste en retirar, por pares cada vez, todas las fichas de una disposición. Para hacerlo, es necesario que
los dos elementos de un doble (es decir dos fichas del mismo tipo)
estén libres. Una ficha se considera “libre” cuando no está cubierta por otra y puede liberarse por la derecha o por la izquierda o por
ambos lados a la vez. Así, una ficha que sólo puede desplazarse
hacia arriba o hacia abajo no está libre.
Salvo excepción, cada ficha figura en cuatro ejemplares, que se deben retirar en forma de dos
dobles. En cambio, algunas fichas sólo figuran en un solo ejemplar, cada una forma un doble con las otras tres. Por ejemplo, en las fichas de leyenda, los triunfos comprenden un Rey, una Reina, una
Princesa y un Bufón y cada una de estas fichas constituye un doble cuando se aparea con una de las
otras tres.
Shanghai se juega con trece disposiciones y ocho series de fichas.
El juego, incluso, aporta algunas sugerencias estratégicas para ganar el juego:
1. Desplace con preferencia las fichas que bloquean más movimientos.
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2. Antes de comenzar una partida, examine cuidadosamente cada disposición para encontrar la mayor cantidad posible de dobles. Además, determine anticipadamente los dominós que serán
necesarios desbloquear lo más rápidamente posible. Con frecuencia, es más ventajoso
concentrar su atención sobre las hileras largas que sobre las pilas altas. 3. Busque siempre los triples. Si encuentra un doble a retirar, busque un tercer (o un cuarto)
dominó libre que corresponda. Si usted retira dos fichas de un triple, hágalo de forma tal que la
que deja bloquee lo menos posible las fichas importantes. Si no sabe muy bien qué decisión
tomar con un triple, más bien haga otra jugada. 4. Si sucede que cuatro fichas de un mismo tipo se liberan al mismo tiempo, retírelas para que
no obstaculicen su progresión.
5. Anticipe lo más posible sus jugadas siguientes.
Dominós con formas no rectangulares
Modernamente han aparecido variantes del juego del dominó clásico; no obstante, existen
juegos parecidos registrados a principios del siglo pasado, que luego dejaron de comercializarse. Las
más sencillas son aquellas que cambian el aspecto de la ficha, rompiendo la figura rectangular de cada pieza. Es así que se utilizan piezas de forma triangular, cuadrados con cuatro valores, hexagonales, e
incluso dodecagonales. También existen en tres dimensiones. Dos ejemplos comercializados de los
más sencillos son los Trio-minos y el Trioker, ambos triangulares.
Trio-minos
No es más que un dominó que se extiende en tres direcciones. Cada
ficha triangular tiene tres números, uno en cada vértice. Unas veces se representan con números, otras con puntos, otras con colores o figuras y en
menor medida, por combinaciones de éstas. Las fichas son ahora más
variadas al influir el orden de colocación de los valores: dextrógiro o levógiro. Y las se han de colocar de manera que dos de estos números
coincidan con dos de una ficha ya colocada. Con cualquiera de ellas.
Al colocarse fichas junto a cualquiera de las ya jugadas, la
construcción crece en diferentes formas. Lograr juntar extremos o realizar
figuras otorga una puntuación extra.
Para jugar se disponen boca abajo las fichas y se mezclan. Los jugadores
cogen sus fichas: 9 si son dos jugadores y 7 si son de tres a cuatro jugadores.
Se prepara papel y lápiz, ya que se ha de estar sumando puntos
constantemente. Inicia el juego el 5 triple y si no está en juego el 4, luego el
3… Y si no hay triples la que sume más puntos, empezando por la 5-5-4 y
disminuyendo.
La primera ficha puntúa la suma de sus dígitos más 10 puntos. El triple 0
vale 40 puntos de salida.
Por turno, los jugadores juntan una de sus fichas con cualquiera de las ya
colocadas. Puntuando la suma de los dígitos de la ficha colocada. Si al jugador
que le toca jugar no puede, por carecer de fichas apropiadas, o no quiere, por estrategia, deberá robar fichas del montón. Como mínimo una vez y como
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máximo tres. Se deducirá 5 puntos por ficha robada, más 10 adicionales si el jugador roba tres veces y no juega ficha. Si un jugador tiene necesidad de robar ficha y ya no quedan, se deducirá 10 puntos y
perderá turno.
Algunos lances de la partida dan puntos extra. Cerrar un puente, colocando una ficha en la que
coinciden los tres dígitos, otorga 40 puntos extra. Completar un hexágono otorga 50 puntos extra. 60
con dos hexágonos y 70 con tres.
El objetivo es ser el jugador que haya obtenido 400 puntos o más al acabar una partida parcial. Ganar la partida parcial colocando la última ficha otorga 25 puntos. Además, también se suman los
puntos de las fichas restantes de los otros jugadores.
Si ningún jugador puede jugar ficha el juego queda bloqueado. El jugador con menor número de
puntos en la mano será el ganador. Se restará sus puntos y se sumará los de los demás.
Trioker
El Trioker es un rompecabezas lógico. Tiene 24 piezas que son triángulos equiláteros que llevan
en los vértices puntos en diversas cantidades, a saber: 0, 1, 2 o 3.
Haciendo todas las
combinaciones (en preciso
lenguaje matemático habría que decir “variaciones
circulares con repetición”)
posibles de estos cuatro valores sobre los vértices
obtenemos las 24 piezas. A fin
de que podamos nombrar a
cada pieza individual con facilidad, se les ha asignado un
rótulo 000, 001, 002,…, cuyo
significado es evidente.
En el Trioker, como en cualquier rompecabezas de los que hay y ha habido, se trata
de poner unas piezas junto a otras para producir
ciertas formas. Pero aquí hay que seguir una
lógica. Las formas que se obtienen tienden a ser más bien duritas y abstractas; la gracia del juego
está en la regla de contacto entre las piezas. Es
como una regla del juego de dominós: Dos
vértices sólo pueden tocarse si llevan la misma cantidad de puntos.
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¿Qué conjuntos de piezas podemos conseguir si en vez de cuatro valores tomamos N? Aquí
mostramos los resultados para los primeros valores:
Número de valores posibles Cantidad de piezas diferentes
1 1
2 4
3 11
4 24
5 45
6 76
N N (N2 + 2)/3
Si desea usted continuar el cuadro, puede servirse de la fórmula de la última línea, que da la cantidad de piezas
diferentes (M) originadas por (N) valores distribuidos en los
vértices:
El profesor Marc Odier, médico y biofísico, fue un entusiasta de los juegos de ingenio. Hasta su temprana
muerte, ocurrida en 1979 cuando sólo contaba con 57 años,
condujo una sección de pasatiempos en la revista Sciences
et Techniques. El Trioker cuenta con una edición de piezas en plástico producida en Francia por Editions Robert
Laffont, y en España por D.C.P., de Gerona. En el libro
Surprenants triangles, escrito por Marc Odier y Y. Roussel
aparece un análisis exhaustivo del Trioker.
El juego incorpora, además de las fichas triangulares,
un tablero de juego hexagonal y una serie de figuras a
recubrir, como retos propuestos al jugador. También se
hicieron otras innovaciones dando forma de trozos iguales de corona circular, con el fin de hacer que al colocar las
fichas unas junto a las otras se formasen curvas. De este tipo
se destaca el Dominó circular.
Dominó circular
Son juegos donde las piezas tienen la forma de una parte de una corona circular. El dominó de cartón cuya imagen acompaña a este texto tiene la curiosidad de que las figuras que aparecen, al
adosar las fichas según los puntos, forman distintas escenas según los valores de los puntos no
adosados. Así, al colocar el [2:5] junto al [1:2], por ejemplo, se obtiene una escena diferente que si
colocásemos el [2:3]. Puesto que cada ficha es 1/28 de corona circular, al final del juego habremos
cerrado el círculo.
Esta otra versión, más acorde con el dominó clásico, se llama Bendomino y permite cambiar el
sentido del giro que van tomando las fichas, factor a tener en cuenta para evitar que la cadena se
vuelva sobre si misma i impida la continuación del juego.
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Como podemos ver, ambos juegos añaden nuevas
variables al sencillo (en
comparación) doble seis.
Dominó con cartas
Las conocidas piezas del dominó impresas en
cartas permiten, además de los juegos tradicionales, nuevas formas de jugar mezcla de ambos tipos de
materiales. En otro orden de cosas, también se
utilizaron cartas de baraja para representar las fichas
del dominó. Su finalidad es, por un lado, fácil transporte y poco peso y, por otro, evitar el ruido de
las fichas al golpear sobre los veladores de mármol.
Así, encontramos cartas para el:
Para el dominó normal:
Para el Mahjong:
Incluso para los Trio-minos:
Podemos llegar a pensar que es inagotable la creatividad humana. Como ejemplo, sin más, véase un
dominó improvisado hecho sobre “callaos” (cantos
rodados de playa).
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Aplicaciones didácticas del dominó y del Mahjong
Indicamos aquí, en forma resumida, algunas de las aplicaciones de los dominós didácticos ya que es mucho lo publicado, entre otros por Ana García Azcarate
(https://anagarciaazcarate.wordpress.com/) y por nuestros buenos amigos del Grupo Alquerque; y
contamos, en muchos centros, con los materiales fabricados y distribuidos por Proyecto SUR de
Ediciones.
La cuestión es: ¿cómo llevar al aula estas actividades? El alumnado puede encontrar novedosa la actividad cuando la realizamos por primera vez, pero luego hemos comprobado que caen en el
aburrimiento y en el “pasotismo”. Una manera de superar esto es acudir al espíritu competitivo.
Formamos equipos de dos alumnos, equilibrados en cuanto a sus conocimientos y actitudes, y realizamos una ”liguilla” entre equipos. Las partidas se hacen con una duración de 20 o 30 minutos, el
día de la semana o de la quincena más adecuado (al acabar un tema, un viernes a última hora) usando
el material que verse sobre lo que se ha explicado o se está explicando en esas fechas. Una tabla con las clasificaciones de los equipos, con nombres elegidos por ellos, en formato grande, estaría expuesta
en el aula. Los equipos obtienen 4 puntos por partida ganada, dos por partida empatada y uno por
perder. Evidentemente, si el número de alumnos es impar, el no emparejado hará de árbitro, suplente o
ayudante del profesor, por ejemplo.
Domino de puntos usados como material didáctico
Son variados los usos didácticos del dominó de puntos, que no ha sido diseñado como material didáctico específico,
que vemos más adelante.
Además de su uso “físico”, para construir torres, muros u
otras figuras, está el de seleccionar y agrupar por alguna de sus
características, como por puntos, por sumas de los dos valores que aparecen, de mayor a menor suma, etc. Todo el campo de la
combinatoria, calculando el número de puntos para los distintos
palos, cantidad de aperturas, primeras jugadas, etc.
Doble 6
Un par de ejercicios con las fichas del doble 6.
Ejercicio 1.-
Construye un cuadro con las 9
fichas de la figura, de tal manera que
las fichas de cada línea horizontal o
vertical sumen 28 puntos.
Ejercicio 2.-
Construye un cuadro con las 28 fichas de manera que en cada línea vertical la suma de las fichas
sea 24 y en cada línea horizontal la suma de las fichas
sea 42. Las cuatro fichas de las esquinas han de sumar
24.
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Ejercicio 3.-
Prescindiendo de las tres fichas de mayor valor, formar un cuadro de 5x5 fichas, de tal manera
que cada fila y columna sumen 27 puntos.
Otros juegos realizables con las fichas del dominó ya han sido mencionados en anteriores
artículos, pero los repasamos aquí, siguiendo a González Sanz2.
• Solitarios
• Cuadrillas
• Cuadrados mágicos
• Casilleros
• Dominó carril
Teniendo en cuenta el número máximo de puntos que se
utilizan (número de palos), tenemos, además del doble 6:
• Doble 9 (o cubano)
• Doble 12
• Doble 15
• Doble 18 (o mexicano)
Y por supuesto, también deberíamos hablar del tamaño y del material de las fichas, pues, aunque el estándar está
alrededor de 11x 20 x 45, el tamaño para competiciones
oficiales es de entre 11 x 22 x 44 y 12,50 x 25 x 50 mm (Artículo 5º del Reglamento del Juego y Competiciones de la
Federación Española de Dominó). Y su peso, entre 15 y 20 gr.
(+/- 1 gr.), pero las hay de todos los tamaños (en su momento se llamaban “De viaje” a las de 20x10 “cadetes” a las de 36x18;
“Chamelo” a las de 38x19; “Montaña” a las de 40x20 y
“Gigante” a las de 42x21aunque también pueden encontrarse de
44x22 y de 50x25 mm3), y distintos materiales. Respecto a este último,
el reglamento no indica el tipo de material de las
fichas, aunque sí lo hace de
los clavos, que han de ser
metálicos. Así que las fichas podrían ser -y lo son-
de cartón, plástico, marfil,
madera, cemento, cerámica, …
2González Sanz, José L.; El arte del dominó, teoría y práctica 3Ubeda Sánchez, José; Juegos de dominó: españoles y exóticos, normas y preceptos
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Dominós didácticos
Estos ejemplos de dominós didácticos siguen una misma tónica: unir las fichas asociando dos aspectos de lo
estudiado.
(Pueden ampliar las imágenes para ver los detalles)
Funciones
En este caso se unen gráficas y expresiones.
Ecuaciones
Aquí se trata de ver la equivalencia entre ecuaciones.
Geometría
Los más sencillos, para los primeros niveles, solo
buscan la familiarización con las figuras, pues se deben unir los lados con figuras iguales. Más se complica cuando se trata
de ver la equivalencia de ángulos en grados con radianes, o
número de aristas o vértices con figuras regulares o
irregulares planas o espaciales.
Operaciones
Se pretende ir uniendo operaciones con resultados, y
pueden ser de un solo tipo (sumas, restas, potencias…) o
combinadas.
Equivalencia de fracciones
Se presentan fracciones equivalentes, o fracciones
frente a representaciones gráficas como partes de un todo,
por ejemplo, un hexágono dividido en 6 triángulos de los que se señalan dos para emparejarlo con 1/3.
Etc.
Dominós de asociación de figuras
Se trata, simplemente, de eso: ir uniendo figuras iguales y que pueden
ser de cualquier tipo.
Animales, Plantas, Objetos o figuras geométricas, arquitectónicas, artísticas, etc.
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Hay una gran variedad, y para todas las edades, como podemos comprobar en las imágenes.
Math Majong Game
Math Mahjong Game es una variante del juego chino Mahjong y representa un modo divertido para los jóvenes estudiantes de hacer
prácticas con las cuatro operaciones básicas: adición, sustracción,
multiplicación y división. Es un juego interactivo.
El jugador elige las piezas con los números y utiliza los
operadores para resolver un problemita de matemáticas (es decir, 3 + 2 = 5 o bien 9 - 8 + 2 = 3), después hace clic sobre "Enviar" (Submit).
Cuanto mayor es el número de operadores utilizados y el de
problemitas resueltos, más alto es la puntuación alcanzada.
Para ganar la partida, se deben completar los problemitas hasta que todas las piezas del tablero
hayan sido utilizadas.
Y también, claro, más problemas y puzles relacionados con el dominó.
Y alguna curiosidad, ¡faltaría más!
Este reloj fácilmente realizable con fichas de dominó (1 € las
fichas, 3 € la maquinaria y una tabla con un viejo marco).
Estas imágenes de los registros de patente de distintos dominós
de la Oficina USA de registros.
En una de ellas, las fichas han de encajarse como piezas de un puzle jigsaw. En otra se trata de las fichas curvas de las que hemos
puesto también una imagen de su versión comercial y finalmente, un
dominó con piezas cuadradas, coloreadas, y que se han de jugar sobre
el tablero que las acompaña de tal manera que los lados en contacto
sean del mismo color.
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Repetimos. Por si aún no se habían dado cuenta. Como siempre estamos a su disposición y
agradeceremos enormemente sus comentarios y aportaciones.
Hasta el próximo
pues. Un saludo.
Club Matemático
Marcador última página
N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 135-137
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de Profesores de Matemáticas
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La engañosa sencillez de los triángulos
Manuel de León
Ágata A. Timón
EDITORIAL CATARATA
Colección: MIRADAS MATEMÁTICAS
ISBN: 9788490973448
96 páginas
Julio 2017
Los autores describen en este libro ejemplos relativos a diferentes áreas de conocimiento en general, no sólo científicas, donde la presencia de los triángulos es esencial para el progreso de los
distintos campos de estudio. Estos ejemplos vienen acompañados de una contextualización teórica y
están ilustrados con imágenes realizadas en GeoGebra que favorecen una mejor comprensión de la
implicación de este polígono en el desarrollo de numerosos avances teóricos y aplicaciones reales.
La engañosa sencillez de los triángulos Reseña: M.E. Segade Pampín
136 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017
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M
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E
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La obra está dividida en ocho capítulos independientes, en los que se explicita la relación del
triángulo con otras disciplinas y se acompaña de actividades para proponer en las aulas de secundaria y
bachillerato con el fin de profundizar sobre los resultados descritos.
El libro comienza explicando las estrategias de triangulación y el papel indispensable que supone este proceso para conocer las propiedades de cualquier polígono. En este sentido, en el intento de dar
respuesta a la cuestión de si la noción de triángulo es extensible a cualquier superficie para que sea
posible aplicar la triangulación, se explican las distintas geometrías no euclídeas. En particular, se centran en los triángulos geodésicos y en la relevancia que tuvieron en el cálculo de la curvatura de una
superficie. Resulta interesante conocer también, cómo a raíz de la existencia de problemas históricos
para medir diferentes magnitudes, supuso el inicio del sistema métrico decimal que utilizamos en la
actualidad y cómo para establecerlo fue determinante la técnica de triangulación geodésica para calcular la longitud de cualquier meridiano, hito que además ayudó a poner fin a las dudas existentes durante
muchos siglos sobre la forma de la Tierra. Como se menciona en el libro, gracias a todos estos progresos
en Geometría, ha sido posible determinar cualquier posición sobre la superficie terrestre, problema resuelto a través del método de trilateración, consistente en determinar posiciones entre tres puntos que
determinan un triángulo y que, a diferencia de la triangulación, en este procedimiento se parte de
distancias para calcular los ángulos.
Por otro lado, varios capítulos están dedicados a detallar los triángulos que están presentes en la
construcción de poliedros, tanto los para los sólidos platónicos como para los de Arquímedes. En concreto, se hace alusión al resultado propuesto por Euler para los poliedros que indica la relación entre
el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo y que ha sido clave para obtener nuevos
resultados geométricos. ¿Sería posible extender este resultado a cualquier superficie? De nuevo, entra en juego este polígono de tres lados, pues a partir de triangulaciones definidas como redes dispuestas
sobre una superficie donde las caras sean triangulares, sería generalizable la fórmula de Euler.
Otro aspecto que abordan es la importancia que ha tenido la numerología a lo largo de la historia,
como proceso en el que se le ha atribuido un significado místico a los números, al margen de sus
cualidades matemáticas, y donde los números triangulares, que se pueden representar geométricamente como un triángulo equilátero de una forma muy visual e intuitiva, han sido símbolo de gran valor para
la escuela pitagórica así como objeto de estudio de reconocidos matemáticos.
Continúan haciendo una descripción de los triángulos más representativos y que cuentan con una
importancia notable como el caso del triángulo de Pascal, fundamental para la combinatoria y el cálculo de probabilidades y que además de su forma triangular, cuenta con propiedades destacables como la
simetría o que algunos de sus coeficientes son números triangulares. Sobresale también el triángulo de
Sierpinski, que se obtiene construyendo nuevos triángulos equiláteros a partir de uno cualquiera
siguiendo un patrón repetitivo que le sitúa como una estructura fractal.
Finalmente, muestran lo indispensable que resultan los triángulos en la vida cotidiana, como por ejemplo aquellos que se encuentran en las construcciones arquitectónicas al formar una estructura
resistente y estable que no se deforma al aplicarle fuerzas y que habitualmente suelen ser siempre
triángulos equiláteros o isósceles. En caso contrario, las restantes figuras geométricas suelen contar con
elementos triangulables que aporten la estabilidad de la que inicialmente carecen.
Se trata pues, de un libro divulgativo dirigido a lectores que tengan interés en conocer la relación
existente entre los triángulos y otras disciplinas científicas y además quieran ahondar en aquellas
La engañosa sencillez de los triángulos Reseña: M.E. Segade Pampín
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cuestiones que promueven el conocimiento de aspectos más desconocidos de este aparente sencillo
polígono de tres lados.
M.E. Segade Pampín (Universidad de A Coruña)
María Elena Segade Pampín. Universidad de A Coruña.
Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela en el 2012. Realizando la tesis
doctoral en didáctica de la Matemática por la Universidad de A Coruña dentro la línea de investigación
análisis del uso de software de geometría dinámica en el estudio de figuras planas.
Email: [email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 139-141
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Congresos
XXXVI JORNADAS DE
LA ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Fecha: 16, 17, 18 y 19 de Noviembre de 2017. Lugar: Palacio de Congresos. Fuerteventura.
Convoca: Sociedad Canarias de Profesores de Matemáticas Isaac Newton.
Información: http://www.sinewton.org
Seminario:
"Experiencias en
el Aula con
Geogebra"
Fecha: Del 17 al 19 de Diciembre de 2017.
Lugar: Castro-Urdiales, Cantabria.
Organizadores: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas e Instituto Geogebra de Cantabria.
Información: http://www.ciem.unican.es/experiencias-de-aula-con-geogebra
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Fecha: Del 11 al 15 de Diciembre de 2017.
Lugar: Buenos Aires. Argentina. Organiza: Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de
Buenos Aires.
Información: http://uma2017.dm.uba.ar/
11 Festival
Internacional de
Matemáticas 2018
Fecha: Del 14 al 16 de junio de 2018.
Lugar: San José. Costa Rica.
Convoca: Fundación Cientec.
Información: http://www.cientec.or.cr
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de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017
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Congreso
Internacional
de
Matemáticos
ICM 2018
Fecha: Entre el 1 y el 9 de Agosto de 2018.
Lugar: Centro de Convenciones Riocentro. Río de Janerio. Brasil.
Información:http://www.icm2018.org/portal/abertura/
Fecha: Del 11 al 14 de diciembre de 2018.
Lugar: Universidad de Cádiz. Cádiz. España.
Información: http://spabrazmathcadiz18.uca.es/web/Congreso/
Fecha: Del 15 al 19 de Julio del 2019.
Lugar:Valencia. España.
Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA)
Informaicón: http://iciam2019.com/
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 96, noviembre de 2017, página 143
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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de
revisión o publicación en ninguna otra revista.
4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión ciega”, en la que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el
cuerpo como en la bibliografía.
5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:
• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.
• Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.
• Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de
evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.
• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno
de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha
de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.
• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.
• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.
• Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar
el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.
• Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.
• Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de
texto (no enviarlas por separado).
• Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).
• Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole
number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics
Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York. o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.
Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios
propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
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