PROPUESTA A

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que todas

las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

2. Los alumnos de 2º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos para el viaje

fin de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número de alumnos que

quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París y los que quieren ir a

Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma y a

Londres.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres y

París. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función

R(t) = t3 – 9t2 + 24t + 28, representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo medido

en horas, 0 < t < 4.5.

a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)

b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?,¿cuál fue el valor máximo del ruido registrado? (1.25 puntos)

4. Se considera la función

11)2(

1)(

2

2

xsix

xsixxxf . Se pide:

a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)

5. En un instituto el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 25 % juegan al fútbol, y el 50 % juegan al

fútbol o al baloncesto o ambos deportes.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto?

(0.75 puntos)

b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?

(0.75 puntos)

6. Se sabe que “el peso de los paquetes de harina”, que se producen en una fábrica, sigue una distribución

normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al azar 50 paquetes de

harina y se observa que tienen u peso medio de 745 gramos.

a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un

nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0

2.1

0.9772

0.9821

0.9778

0.9826

0.9783

0.9830

0.9788

0.9834

0.9793

0.9838

0.9798

0.9842

0.9803

0.9846

0.9808

0.9850

0.9812

0.9854

0.9817

0.9857

2

PROPUESTA B

1. Una empresa tiene 3.000 bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras y 2.000 botellas de aceite de oliva de

Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes del

tipo A formados por tres bolsas de ajos y una de botella de aceite de oliva, que venderá a 50 €; lotes de

tipo B formados por una bolsa de ajos y dos botellas de aceite de oliva que venderá a 80 €.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?(0´5 puntos)

2. Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B y C.

Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad

de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad

de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Para fabricar el modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje, 1 horas en la unidad

de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad de acabado

y 150 horas en la unidad de comprobación, se pide:

a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)

3. Dada la función f(x) = x3 + ax

2 + bx + c, calcula los valores de las constantes a, b, y c para que la

gráfica de la función pase por el punto (0,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa x = – 1

y un punto de inflexión en x = – 2. (1.5 puntos)

4. Se considera la función

21)3(

2)(

2

2

xsix

xsitxxxf . Se pide:

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)

b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)

5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A y B, en una proporción de 2 es a 3,

respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es 0.05 y de que un

mueble tipo B sea defectuoso es 0.1.

a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)

b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo B? (0.75 puntos)

6. Se estudio el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato, elegidos aleatoriamente de un

determinado centro escolar, siendo estos valores 80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90, 110. Sabiendo

que el cociente intelectual se distribuye según una normal con desviación típica 15, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los estudiantes

de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con

el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8

1.9

0.9641

0.9713

0.9649

0.9719

0.9656

0.9726

0.9664

0.9732

0.9671

0.9738

0.9678

0.9744

0.9686

0.9750

0.9693

0.9756

0.9799

0.9761

0.9706

0.9767

3

SOLUCIONES – PROPUESTA A

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que

todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

Solución.

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7·I – 2·X + A·X = B, suponiendo que

todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)

Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución,

IBXAIIBXAXBXAXI ·7)·2(·722·7

Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X.

En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (– 2·I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada y

tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo:

)·7()2( 1 IBAIX

Además, para que (– 2I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además

tengan el mismo orden.

Por lo tanto, )·7()3( 1 IBAIX , si (– 2∙I +A) posee matriz inversa, A e I a son del

mismo orden y su número de columnas es igual que el de filas de (B –7· I).

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando

su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A,

0317

03A

Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según,

11 AIAXIXA

4

Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,

A

AAdjA

t

1

Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[A

t] la matriz adjunta de la transpuesta.

Realizamos las operaciones correspondientes:

37

01

3

1

37

01])[

10

731AAadjA tt

En ese caso, la solución X será:

13/7

03/11AX

2. Los alumnos de 2º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos

para el viaje fin de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número

de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París

y los que quieren ir a Londres. El número que quieren ir a París es la mitad de la suma de los

que quieren ir a Roma y a Londres.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma,

Londres y París. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Solución.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma,

Londres y París. (1.5 puntos)

Llamamos “x” al número de votos que obtiene Roma; “y” al número de votos que obtiene

Londres; y “z” al número de votos que obtiene París. En estas condiciones los siguientes

enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones:

El número total de votos es 120 120 zyx

El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la

diferencia entre lo que quieren ir a París y los que quieren ir a Londres )(·3 zyx

El número de alumnos que quieren ir a Paris es la mitad de la suma de

los que quieren ir a Roma y a Londres

2

yxz

5

Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:

2

)(·3

120

yxz

zyx

zyx

que ordenando convenientemente quedará de la forma:

02

033

120

zyx

zyx

zyx

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Resolvemos el sistema por el método de Gauss:

02

033

120

zyx

zyx

zyx

La matriz de Gauss queda determinada por:

0211

0331

120111

zyx

Aplicamos el método de Gauss:

120300

120240

120111

0211

0331

120111

133

122

´

´

FFF

FFF

zyxzyx

Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo,

40

12040·24

12040

3/120

12024

120

1203

12024

120

z

y

zx

z

zy

zyx

z

zy

zyx

40

)4/(200

120

40

2004

120

40

801204

120

40

120804

12040

z

y

zx

z

y

zx

z

y

zx

z

y

zx

6

40

50

30

40

50

8050

z

y

x

z

y

x

Por lo tanto, hay 30 votos para ir a Roma, 50 votos para ir a Londres y 40 votos para ir a París.

3. Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La

función R(t) = t3 – 9t

2 + 24t + 28, representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo

medido en horas, 0 < t < 4.5.

a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)

b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?, ¿cuál fue el valor máximo del ruido

registrado? (1.25 puntos)

Solución

a) En la primera hora (t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron? (0.25 puntos)

Sustituimos la función por t = 1 obteniendo los decibelios que se registraron en la primera hora:

R(1) = 13 – 9·1

2 + 24·1 + 28 = 1 – 9 + 24 + 28 = 44 db

Por lo tanto, se registraron 44 db en la primera hora.

b) ¿En qué momento se produce mayor ruido?, ¿cuál fue el valor máximo del ruido

registrado? (1.25 puntos)

Calculamos los máximos y mínimos relativos a partir de la primera derivada.

La primera derivada de la función es:

R´(t) = 3t2 – 18t + 24

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:

6

3618

6

28832418

32

24341818024183

22 ttt

26

618

46

618

6

618

Luego los posibles máximos o mínimos relativos de la función R(t) están situados en las abcisas

t = 2 y t = 4.

7

Como el dominio de la función es 0 < t < 4, estudiamos el signo de la derivada de la función en

esta región para determinar si son máximos o mínimos:

Intervalo Valor representante R(t) = 3t2 – 18t + 24

Creciente/Decreciente

(0, 2) 1 3·12 – 18·1 + 24 = 22 > 0 Creciente

(2, 4) 3 3·32 – 18·3 + 24 = – 3 < 0 Decreciente

Por lo tanto, la función presenta un máximo relativo y absoluto en t = 2 sobre el dominio

establecido (0,4). Se observa que es absoluto puesto que la función antes de t = 2 crece y después

decrece. No hay ningún otro valor que pueda ser superior en coordenada a t = 2.

Por lo tanto, concluimos que para t = 2 horas se obtiene el mayor ruido y que dicho valor,

medido en decibelios es de:

R(2) = 23 – 9 · 2

2 + 24 · 2 + 28 = 8 – 36 + 48 + 28 = 48 db.

El máximo nivel de decibelios en las 4 horas es de 48 db y se alcanza a las 2 horas.

4. Se considera la función

11)2(

1)(

2

2

xsix

xsixxxf . Se pide:

a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)

Solución.

a) Continuidad en x = 1. (0.5 puntos)

Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites

laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,

)()(lim)(lim afxfxfaxax

En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = 1. Por lo tanto, estudiaremos los límites

laterales y el valor de la función en el punto x = 1.

011lim)(lim 2

11

xxxf

xx

21)2(lim)(lim 2

11

xxf

xx

011)1( 2 f

Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f NO es continua en x = 1.

8

b) Extremos relativos en el intervalo ( 1, 4). (0.5 puntos)

Para el estudio de los extremos relativos, realizamos la derivada por cuanto aun siendo una

función a trozos, el estudio se debe realizar exclusivamente sobre la expresión algebraica

f(x) = (x – 2)2 + 1 ya que es ahí donde señalan el domino a estudiar. Procedemos a derivar:

En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ 0) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor

que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,

[ ( x – 2)2 + 1 ]´ = 2(x – 2)

e igualando a cero, obtenemos,

2(x – 2) = 0 x = 2

Luego el posible máximo o mínimo relativo de la función f(x) en (1,4) está situado en la abcisa x

= 2 y debemos sondear también x = 1 y x = 4. Estudiamos el signo de la derivada de la función

en esta región para determinar si son máximos o mínimos:

Intervalo Valor representante f´(x) = 2(x – 2)

Creciente/Decreciente

(1, 2) 1´5 2·(1´5 – 2) = – 1 < 0 Decreciente

(2, 4) 3 2 · (3 – 2 ) = 2 > 0 Creciente

Por lo tanto, la función presenta un mínimo relativo y absoluto en x = 2 ya que se trata de una

parábola, sobre el dominio establecido (1,4).

Para el estudio de los máximos valoramos x = 1 y x = 4 ya que, la función es decreciente antes

de x = 2 y creciente a partir de x = 2. Por lo tanto, el máximo absoluto de la función en el

intervalo (1,4) estará en x = 1 o x = 4.

f(1) = (1 – 2)2 + 1 = 2

f(4) = (4 – 2)2 + 1 = 5

Concluimos que f(x) tiene un mínimo relativo y absoluto de (1, 4) en x = 2 mientras que,

restringiéndonos a (1,4) presenta un máximo absoluto en x = 4.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1, +∞ ). (0.5 puntos)

Analizando los resultados del apartado b) podemos concluir que el mínimo absoluto del intervalo

(1,4) sigue siendo un mínimo absoluto para f(x) en el intervalo (1, + ∞). Al mismo tiempo, la

función no presenta máximo absoluto en la región puesto que:

1)2(lim)(lim 2xxfxx

Pudiéndose considerar que en x = 1 hay un máximo relativo.

9

5. En un instituto el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 25 % juegan al fútbol, y el 50

% juegan al fútbol o al baloncesto o ambos deportes.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al

baloncesto? (0.75 puntos)

b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue

al fútbol? (0.75 puntos)

Solución. Consideramos los sucesos A = “El alumno juega al fútbol” y el suceso B = “El alumno

juega al baloncesto. Mediante el enunciado se nos está señalando que

P(A) = 0´3, P(B) = 0´25 y P(AB) = 0´5

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al

baloncesto? (0.75 puntos)

Se nos está preguntando la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B. Su probabilidad

viene dada por:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

En tal caso,

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0´3 + 0´25 – 0´5 = 0´05

Luego hay una probabilidad del 0´05 de que juegue a ambos dos deportes, es decir, un

porcentaje del 5 % de que juegue a fútbol y a baloncesto.

b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue

al fútbol? (0.75 puntos)

Se nos está preguntando la probabilidad del suceso condicionado A/B. Su probabilidad viene

dada por:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

En tal caso,

20́250́

050́

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Luego hay una probabilidad del 0´2 de que juegue al fútbol si sabemos que juega al

baloncesto, es decir, un porcentaje del 20 % de que juegue a fútbol si sabemos que juega al

baloncesto.

10

6. Se sabe que “el peso de los paquetes de harina”, que se producen en una fábrica, sigue una

distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al

azar 50 paquetes de harina y se observa que tienen u peso medio de 745 gramos.

a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha

fábrica con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.

(1 punto)

Solución.

a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha

fábrica con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

La media muestral es gramosX 745 . El valor 17.22/ z y n = 50. Por lo tanto,

el intervalo de confianza será:

b) Explica razonadamente, como podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.

(1 punto)

Podemos hacerlo de dos modos:

1) Disminuyendo el nivel de confianza del intervalo. Esto hará que la semiamplitud del

intervalo disminuya y tendremos un intervalo más pequeño pero con mucha menos

fiabilidad.

2) Podríamos aumentar el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semi-

amplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la

semi-amplitud y la amplitud del intervalo de confianza. Además, el teorema central del

límite lo confirma. A mayor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional

mediante la media muestral.

11

SOLUCIONES – PROPUESTA B

1. Una empresa tiene 3.000 bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras y 2.000 botellas de aceite de

oliva de Los Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos

productos: lotes del tipo A formados por tres bolsas de ajos y una de botella de aceite de

oliva, que venderá a 50 €; lotes de tipo B formados por una bolsa de ajos y dos botellas de

aceite de oliva que venderá a 80 €.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?

(0´5 puntos)

Solución.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

Si llamamos “x” al número de lotes tipo A e “y” al número de lotes del tipo B, tendremos que

los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible del tipo:

20002

30003

0,0

yx

yx

yx

Las dos primeras expresiones nos determinan una recta vertical, x = 0, una horizontal y = 0 junt

con dos oblicuas 3x + y = 3000, x + 2y = 2000 que restringen la zona de soluciones a un

cuadrilátero.

En cuanto a la tercera expresión, 3x + y ≤ 3.000, representamos el semiplano de posibles

soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 3.000 – 3x

x y = 3.000 – 3x

0 3.000

1.000 0

En cuanto a la cuarta expresión, x + 2y ≤ 2.000, representamos el semiplano de posibles

soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta

y = (2.000 – x)/2

x y = (2.000 – x)/2

0 1.000

2.000 0

Representamos las rectas y los rectángulos en un mismo plano cartesiano determinando la

pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (0,0), (que la

verifican todos).

La región coloreada en amarillo es la región factible.

12

Calculamos los vértices de la región factible:

Punto A de intersección de las rectas x + 2y = 2.000 e x = 0, da como solución A(0, 1.000).

Punto B de intersección de las rectas x + 2y = 2.000 con 3x + y = 3.000, da como solución

B(800, 600).

Punto C de intersección de las rectas 3x + y = 3000 con y = 0, da como solución C(1000, 0).

Punto O es el origen de coordenadas.

b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?

(0´5 puntos)

La función objetivo que hay que maximizar viene determinada por la expresión algebraica:

F(x,y) = 50x + 80y

Sustituyendo los vértices en la función objetivo:

F(O) = F(0,0) = 50·0 + 80·0 = 0

F(A) = F(0,1000) = 50·0 + 80·1000 = 80.000

F(B) = F(800,600) = 50·800 + 80·600 = 88.000

F(C) = F(1000,0) = 50·1000 + 80·0 = 50.000

Obtenemos que hace máxima la función objetivo es B con un valor total de 88.000 €.

Por lo tanto, hay que vender 800 lotes del tipo A y 600 lotes del tipo B para obtener una

ganancia máxima de 88.000 €.

13

2. Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras A, B y C.

Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en

la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en

la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Para fabricar el modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje, 1 horas en

la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación.

Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad de

acabado y 150 horas en la unidad de comprobación, se pide:

a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado.

(1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)

Solución.

a) Plantea un sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado.

(1.5 puntos)

Llamamos “x” al número de lavadoras modelo A; “y” al número de lavadoras modelo B; y “z”

al número de lavadoras del tipo C. En estas condiciones los siguientes enunciados

corresponden a las siguientes ecuaciones:

“modelo A se necesitan 3 horas de trabajo en la unidad de montaje”

“modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje”

“modelo C se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de montaje”

“se han empleado 430 horas en la unidad de montaje”

430243 zyx

“modelo A se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de acabado”

“modelo B se necesitan 2 horas de trabajo en la unidad de acabado”

“modelo C se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de acabado” “se han empleado 240 horas en la unidad de acabado”

24022 zyx

“modelo A se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”

“modelo B se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”

“modelo C se necesitan 1 horas de trabajo en la unidad de comprobación”

“se han empleado 150 horas en la unidad de comprobación”

150 zyx

Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:

430243

24022

150

zyx

zyx

zyx

Donde hemos colocado convenientemente las ecuaciones para aplicar el método de Gauss:

14

b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos)

Resolvemos el sistema por el método de Gauss:

430243

24022

150

zyx

zyx

zyx

La matriz de Gauss queda determinada por:

430243

240122

150111

zyx

Aplicamos el método de Gauss:

20110

60100

150111

430243

240122

150111

133

122

3´

2

FFF

FFF

zyxzyx

Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo,

6020

60

60150

2060

60

15060

20

60

150

y

z

yx

y

z

yx

zy

z

zyx

40

60

50

40

60

4090

40

60

9040

40

60

90

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

yx

Por lo tanto, hay 50 lavadoras modelo A, 40 lavadoras modelo B y 60 lavadoras modelo C.

3. Dada la función f(x) = x3 + ax

2 + bx + c, calcula los valores de las constantes a, b, y c para que

la gráfica de la función pase por el punto (0,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa

x = – 1 y un punto de inflexión en x = – 2. (1.5 puntos)

Solución. Puesto que la función pasa por el punto (0,4) entonces f(0) = 4 y por lo tanto,

f(0) = 03 + a·0

2 + b·0 + c = 4 c = 4

Puesto que tiene un mínimo en el valor de abcisa x = –1 entonces f´(– 1) = 0. Como la derivada de

f(x) es f´(x) = 3x2 + 2ax + b, entonces si f´(– 1) = 0 tendremos que:

3 – 2a + b = 0,

15

Por otra parte, puesto que f(x) tiene un punto de inflexión en x = – 2 entonces f´´(– 2) = 0. Como

la derivada de f´(x) es f´´(x) = 6x + 2a, entonces si f´´(– 2) = 0 tendremos que:

– 12 + 2a = 0,

De donde obtenemos que a = 6 y, sustituyendo en la ecuación 3 – 2a + b = 0, tendremos que

3 – 12 + b = 0 b = 9

Por lo tanto, a = 6 y b = 9 y c = 4.

4. Se considera la función

21)3(

2)(

2

2

xsix

xsitxxxf . Se pide:

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)

b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)

Solución.

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)

Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites

laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,

)()(lim)(lim afxfxfaxax

En nuestro caso, debemos imponer la continuidad en x = 2. Por lo tanto, estudiaremos los límites

laterales y el valor de la función en el punto x = 2.

ttxxxfxx

24lim)(lim 2

22

21)3(lim)(lim 2

22

xxf

xx

tf 22)2( 2

Por lo tanto, para que la función f(x) sea continua en x = 2 deberá cumplirse que

4 – 2 + t = 2 t = 0

Concluimos que la función f(x) es continua en x = 2 si t = 2.

16

b) Para t = 0, representa gráficamente la función. (1 punto)

Representamos la función

21)3(

2)(

2

2

xsix

xsixxxf

Se trata de dos parábolas que conforman una función, f(x), que sabemos por el apartado a) que es

continua.

Para la representación de y = x2 – x en x ≤ 2 tendremos que calcular su vértice:

5.02

1

1·2

)1(

2

a

bVx

Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, x = 0.5 en el

dominio x ≤ 2 tendremos la representación del primer trozo de f(x).

x y = x2 – x

0.5 0.52 – 0.5 = 0.25 – 0.5 = – 0.25

1 12 – 1 = 1 – 1 = 0

2 22 – 2 = 4 – 2 = 2

0 02 – 0 = 0

– 1 (– 1)2 – (– 1) = 1 + 1 = 2

Para la representación de y = (x – 3)2 + 1 en x > 2 tendremos que la parábola se puede reexpresar

mediante la expresión:

y = (x – 3)2 + 1 = y = x

2 + 9 – 6x + 1 = x

2 – 6x + 10

Su vértice será:

32

6

1·2

)6(

2

a

bVx

Tomando dos valores a cada lado del eje de simetría de la parábola, x = 3 en el dominio x > 2

tendremos la representación del otro trozo de f(x).

x y = (x – 3)2 + 1

3 (3 – 3)2 + 1 = 0 + 1 = 1

2 (2 – 3)2 + 1 = 1 + 1 = 2

2.5 (2.5 – 3)2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25

4 (4 – 3)2 + 1 = 1 + 1 = 2

5 (5 – 3)2 + 1 = 4 + 1 = 5

17

En tal caso, la gráfica de la función f(x) viene descrita por la siguiente representación:

5. En una empresa se producen dos tipos de muebles: A y B, en una proporción de 2 es a 3,

respectivamente. La probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es 0.05 y de que

un mueble tipo B sea defectuoso es 0.1.

a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)

b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que

sea del tipo B? (0.75 puntos)

Solución.

a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? (0.75 puntos)

El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:

En ese caso, la probabilidad de que sea defectuoso se puede calcular mediante el teorema de la

probabilidad total según:

))()/()()/()( BPBdefectuosoPAPAdefectuosoPdefectuosoP

080́500

40

5

3

100

10

5

2

100

5

5

31́0

5

2050́

Por lo tanto, la probabilidad de que un mueble al azar sea defectuoso es 0´08.

18

b) Se escoge al azar un mueble y resulta ser no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que

sea del tipo B? (0.75 puntos)

En ese caso, la probabilidad de que el mueble sea del tipo B, sabiendo que no es defectuoso,

se puede calcular mediante el teorema de Bayes según:

)()/()()/(

)()/()/(

BPBdefectuosoNoPAPAdefectuosoNoP

BPBdefectuosoNoPdefectuosonoBP

5870́

5

390́

5

2950́

5

390́

Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´587 aproximadamente.

6. Se estudio el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato, elegidos

aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores 80, 96, 87, 104, 105,

99, 112, 89, 90, 110. Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal con

desviación típica 15, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los

estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor

amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)

Solución.

a) Halla el intervalo de confianza al nivel 95 % para la media del cociente intelectual de los

estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. (1.25 puntos)

Sea la variable aleatoria X que mide el coeficiente intelectual. Según los datos del problema

esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 15.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 estudiantes y nos dicen que su media

muestral es 2´97X según:

2´9710

972

10

110908911299105104879680

X

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.

19

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)497´106,903´87(10

15961́2´97,

10

15961́2´97

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para el coeficiente intelectual medio de los

alumnos de 2º de Bachillerato de ese centro escolar es (87´903, 106´497).

a)

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor

amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.75 puntos)

Podemos aumentando el tamaño de la muestra puesto que es el denominador de la semi-

amplitud del intervalo. Cuanto más grande sea el tamaño muestral, más pequeña será la semi-

amplitud y la amplitud del intervalo de confianza. Además, el teorema central del límite lo

confirma. A mayor tamaño muestral mejor estimación de la media poblacional mediante la

media muestral.