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Propuesta A 1. Dadas las matrices ( ) y ( ) a) Calcular la matriz M = (2·I + A) 2 , donde I es la matriz identidad de orden 3. (0´75 puntos) b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0´75 puntos) 2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En total entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de seguro del hogar en el último mes. El número de pólizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la media aritmética de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el número de pólizas vendidas en Toledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca. a) Plantea el sistema que nos permita averiguar el número de pólizas de seguro del hogar que se han vendido en cada sucursal. (1´5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos) 3. Se considera la función () { | | a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? (0´5 puntos) b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0, + ∞). (0´5 puntos) c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0, + ∞). (0´5 puntos) 4. Calcula los valores de los parámetros a, b y c para que la función f(x) = ax 4 + bx 2 + c pase por el punto (0, 0), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa x = 1 y el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 2 sea igual a 24. (1´5 puntos) 5. En una población, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la televisión, el 10 % leen habitualmente y el 1% ven la televisión y leen habitualmente. a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea habitualmente o ambas cosas? (0´75 puntos) b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisión habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que lea habitualmente? (0´75 puntos) 6. Una empresa produce dispositivos electrónicos con pantalla HD, la resolución de estas pantallas sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 20 píxeles. Se tomó una muestra aleatoria de 100 dispositivos electrónicos y mediante un estudio estadístico se obtuvo el intervalo de confianza (1076´08, 1083´92) para la resolución media de las pantallas elegidas al azar. a) Calcula el valor de la resolución media de las pantallas de los 100 dispositivos electrónicos elegidos para la muestra. (0´25 puntos) b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0´75 puntos) c) ¿Cómo podríamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de confianza, ¿se podría admitir que la media poblacional sea = 1076´08 píxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tus respuestas. (1 punto) z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

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Propuesta A

1. Dadas las matrices (

) y (

)

a) Calcular la matriz M = (2·I + A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3. (0´75 puntos)

b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0´75 puntos)

2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En total entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de seguro del hogar en el último mes. El número de

pólizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la media aritmética de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el

número de pólizas vendidas en Toledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.

a) Plantea el sistema que nos permita averiguar el número de pólizas de seguro del hogar que se han vendido en cada sucursal. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

3. Se considera la función ( ) { | |

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? (0´5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0, + ∞). (0´5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0, + ∞). (0´5 puntos)

4. Calcula los valores de los parámetros a, b y c para que la función f(x) = ax4 + bx

2 + c pase por el

punto (0, 0), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa x = 1 y el valor de la pendiente de la recta

tangente a la curva y = f(x) en x = 2 sea igual a 24. (1´5 puntos)

5. En una población, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la televisión, el 10 % leen habitualmente y el

1% ven la televisión y leen habitualmente.

a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea habitualmente o

ambas cosas? (0´75 puntos)

b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisión habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que lea habitualmente? (0´75 puntos)

6. Una empresa produce dispositivos electrónicos con pantalla HD, la resolución de estas pantallas sigue una

distribución normal de media desconocida y desviación típica = 20 píxeles. Se tomó una muestra aleatoria

de 100 dispositivos electrónicos y mediante un estudio estadístico se obtuvo el intervalo de confianza

(1076´08, 1083´92) para la resolución media de las pantallas elegidas al azar.

a) Calcula el valor de la resolución media de las pantallas de los 100 dispositivos electrónicos elegidos

para la muestra. (0´25 puntos)

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0´75 puntos)

c) ¿Cómo podríamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de

confianza, ¿se podría admitir que la media poblacional sea = 1076´08 píxeles con un nivel de

confianza del 90 %? Razona tus respuestas. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

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PROPUESTA B

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

minimiza la función z = – 2x – 3y sujeta a las siguientes restricciones:

– x + 3y ≤ 5

2x + y ≤ 4

x ≥ 0 y ≥ 0

a) Dibuja la región factible. (1 punto) b) Determina los vértices de la región factible. (0´25 puntos)

c) Indica la solución óptima del problema y su valor. (0´25 puntos)

2. Una empresa gasta un total de 1 250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de formación.

Establece tres cuantías según los niveles de formación: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado que realice el de grado 1; 150 euros a cada empleado del grado 2; y 200 euros

a cada empleado del grado 3. La cantidad total que la empresa gasta en el curso de formación de grado 1

es igual a la que invierte en el curso de formación de grado 3.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos empleados van a realizar el curso de formación de grado 1, cuántos el de grado 2 y cuántos el de grado 3. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

3. Se considera la función ( ) { | |

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0´5 puntos)

b) Para t = 1, representa gráficamente la función f. (1 punto)

4. En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida en %, se ajusta a la

función f(t) = 2t3 – 15t

2 + 24t + 75, 0 ≤ t ≤ 5, siendo t el tiempo medido en horas.

a) ¿A qué hora se registró la máxima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue dicha cantidad?

(0´75 puntos)

b) ¿A qué hora se registró la mínima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue dicha cantidad? (0´75 puntos)

5. En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El 15 % de los productos son

soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 65 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura es de 0´02 si ha sido soldado por el robot A, 0´03 por el robot B

y 0´01 por el robot C.

a) Elegida un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura?

(0´75 puntos)

b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cuál es la probabilidad de que

haya sido soldado por el robot A? (0´75 puntos)

6. En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su

maleta sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 3 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 17 minutos.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese

aeropuerto con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea = 16 con un nivel de confianza del 95 %? ¿Cómo

podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A

1. Dadas las matrices (

) y (

)

a) Calcular la matriz M = (2·I + A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3. (0´75 puntos)

b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.

(0´75 puntos)

Solución

a) Calcular la matriz M = (2·I + A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3. (0´75 puntos)

( ) [ (

) (

)]

[(

) (

)]

(

)

(

) (

) (

)

b) Calcula, si existe, la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.

(0´75 puntos)

Despejamos en la ecuación la matriz X. En este caso, debemos multiplicar por la matriz

inversa de B por la derecha.

X · B = I X · B · B– 1

= I · B– 1

X · (B · B– 1

) = B– 1

X · I = B– 1

X = B– 1

La solución sólo podrá existir si la matriz inversa de B existe. Por lo tanto, primero nos

aseguramos de que tal matriz existe, viendo si es cuadrada (que lo es) y, sobre todo, probando

que el determinante de dicha matriz B es no nulo:

| | |

| ( )

Por lo tanto, si hay solución para la ecuación matricial y es X = B– 1

. Calculamos la matriz

inversa de B. Esto se puede hacer por dos métodos:

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Método de Gauss-Jordan. Mediante transformaciones de la matriz de Gauss-Jordan

calculamos la matriz B– 1

.

(

|

) →

(

|

) → (

|

)

( )→ ( )→

(

|

)

Por lo tanto, la solución de la ecuación es (

)

Método de los determinantes. La matriz B– 1

queda determinada por la expresión:

( )

| |

El determinante de B sabemos que es |B| = 2

La matriz traspuesta de B es,

(

)

La matriz adjunta de la traspuesta de B es,

( ) (

)

Y por lo tanto, la matriz inversa de B es,

( )

| |

(

) (

)

Por lo tanto, la solución de la ecuación es (

)

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2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera

en Cuenca. En total entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de seguro del hogar en el

último mes. El número de pólizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la media aritmética

de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el número de pólizas vendidas en Toledo es el doble

de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.

a) Plantea el sistema que nos permita averiguar el número de pólizas de seguro del hogar

que se han vendido en cada sucursal. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

Solución. Llamamos “x” al número de pólizas vendidas en Toledo; “y” al número de pólizas

vendidas en Albacete; y llamamos “z” al número de pólizas vendidas en Cuenca.

a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se

podrán fabricar utilizando todas las piezas. (1´5 puntos)

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir del número de piezas de cada clase que se

usan para la fabricación de las bicicletas:

En total entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de

seguro del hogar en el último mes. x + y + z = 45

El número de pólizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la

media aritmética de las vendidas en Toledo y Albacete.

El número de pólizas vendidas en Toledo es el doble de la

cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos

las vendidas en Cuenca. x = 2·(z – y)

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:

( )

}

Este sistema se puede reducir en la segunda y en la tercera ecuación del siguiente modo,

}

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer. Resolvemos

mediante los dos métodos.

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Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

} (

| )

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan,

(

| ) ↔ ↔

(

|

)

Intercambiamos la segunda fila con la tercera fila,

(

|

)

Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss,

(

|

)

}

Y resolvemos el sistema despejando:

}

}

}

}

}

}

}

}

}

Por lo tanto, en la sucursal de Toledo se vendieron 10 pólizas, en Albacete se vendieron

20 pólizas y en Cuenca 15 pólizas.

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Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

}

Calculamos el número de pólizas de Toledo,

|

|

|

|

Calculamos el número de pólizas de Albacete,

|

|

|

|

Calculamos el número de pólizas de Cuenca,

|

|

|

|

Por lo tanto, en la sucursal de Toledo se vendieron 10 pólizas, en Albacete se vendieron

20 pólizas y en Cuenca 15 pólizas.

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3. Se considera la función ( ) { | |

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? (0´5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0, + ∞). (0´5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0, + ∞).

(0´5 puntos)

Solución.

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? (0´5 puntos)

Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

( )

( ) ( )

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 0 y la imagen de la función en x = 0.

( )

(| |) | | | |

( )

[ ]

( ) | | | |

Para que sea f(x) continua en x = 0 deberá ocurrir que,

| |

Por lo tanto, t = 0 para que f(x) sea continua en x = 2.

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0, + ∞). (0´5 puntos)

Hay dos formas de calcular los extremos relativos:

Mediante derivadas. Se trata de calcular la derivada de la función f(x) en (0, + ∞), se

anula y se calculan los valores de extremo relativo.

f´(x) = 2·x – 2 = 0 2x = 2 x = 1

Para ver si es un máximo o mínimo relativo, sustituimos en la segunda derivada para

comprobar si el valor que se obtiene es negativo o positivo respectivamente.

f´´(x) = 2 f´´(1) = 2 > 0

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Como se obtiene un valor positivo entonces en x = 1 hay un mínimo relativo que,

además, es absoluto ya que la función es continua, en el intervalo (0, + ∞).

Mediante cuadráticas. La expresión algebraica de la función f(x) en (0, + ∞) corresponde

a una función cuadrática según se puede observar,

f(x) = x2 – 2x

La función cuadrática tiene gráfica parabólica con vértice en

( )

Como el coeficiente del grado dos es positivo (a = 1) entonces la parábola es convexa ()

y de este modo el vértice x = 1 es un mínimo relativo y absoluto de la función en el

intervalo (0, + ∞)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (0, + ∞).(0´5 puntos)

Según lo expuesto en el apartado b), como la función f(x) es continua en el intervalo

(0, + ∞), entonces f(x) es decreciente en el intervalo (0, 1) y creciente en el intervalo (1, + ∞).

Si no hubiéramos clasificado el extremo relativo x = 1, hay dos formas de determinar los

intervalos de crecimiento decrecimiento:

Mediante derivadas. Una vez calculado el extremo relativo, el estudio de la primera

derivada nos conduce a los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Intervalo Valor representante f´(x) = 2·x – 2 Monotonía en el intervalo

(0, 1) 0´5 2·0´5 – 2 = 1 – 2 = – 1 < 0 Decreciente.

(1, + ∞) 2 2·2 – 2 = 4 – 2 = 2 > 0 Creciente

Por lo tanto, en (0, 1) la función decrece mientras que en (1, + ∞) la función crece.

Mediante cuadráticas. Como en x = 1 tenemos el vértice de la cuadrática y la parábola es

convexa () entonces concluimos que en (0, 1) la función decrece mientras que en

(1, + ∞) la función crece.

4. Calcula los valores de los parámetros a, b y c para que la función f(x) = ax4 + bx

2 + c pase

por el punto (0, 0), tenga un mínimo relativo en el punto de abcisa x = 1 y el valor de la

pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 2 sea igual a 24. (1´5 puntos)

Solución. Para que la función f(x) pase por el punto (0, 0) debe ocurrir que f(0) = 0. En ese caso,

( ) ( )

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Por otra parte, si f(x) tiene un mínimo en el punto de abcisa x = 1, debe ocurrir que f´(1) = 0. En

ese caso,

( ) ( )

Por último, si el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 2 sea igual a

24 entonces f´(2) = 24. Por lo tanto,

( ) ( )

Resolvemos el sistema que conforman las dos relaciones entre a y b deducidas anteriormente,

} ( ) →

}

Por lo tanto, los valores de los parámetros son a = 1 ; b = – 2 y c = + 0.

5. En una población, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la televisión, el 10 % leen

habitualmente y el 1% ven la televisión y leen habitualmente.

a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea

habitualmente o ambas cosas? (0´75 puntos)

b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisión habitualmente, ¿cuál es la

probabilidad de que lea habitualmente? (0´75 puntos)

Solución. Sea el suceso T = “Ver la televisión habitualmente” y sea el suceso L = “Leer

habitualmente”. Por el enunciado sabemos las siguientes probabilidades:

P(T) = 0´4 P(L) = 0´1 P(T L) = 0´01

a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea

habitualmente o ambas cosas? (0´75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso unión T L. Para ello aplicamos la fórmula de

la probabilidad de la unión:

P(T L) = P(T) + P(L) – P(T L) P(T L) = 0´4 + 0´1 – 0´01 = 0´49

Por lo tanto, la probabilidad de que un habitante, escogido al azar, vea la televisión o lea

habitualmente es del 49 %.

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b) Si elegimos un habitante al azar y ve la televisión habitualmente, ¿cuál es la

probabilidad de que lea habitualmente? (0´75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso condicionado L / T. Para ello aplicamos la

fórmula de la probabilidad condicionada:

( ⁄ ) ( )

( )

Por lo tanto, la probabilidad de que un habitante, escogido al azar, vea lea

habitualmente si sabemos que ve la televisión es del 2´5 %.

6. Una empresa produce dispositivos electrónicos con pantalla HD, la resolución de estas

pantallas sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 20

píxeles. Se tomó una muestra aleatoria de 100 dispositivos electrónicos y mediante un

estudio estadístico se obtuvo el intervalo de confianza (1076´08, 1083´92) para la resolución

media de las pantallas elegidas al azar.

a) Calcula el valor de la resolución media de las pantallas de los 100 dispositivos

electrónicos elegidos para la muestra. (0´25 puntos)

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0´75 puntos)

c) ¿Cómo podríamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el

intervalo de confianza, ¿se podría admitir que la media poblacional sea = 1076´08

píxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tus respuestas. (1 punto)

Solución.

a) Calcula el valor de la resolución media de las pantallas de los 100 dispositivos

electrónicos elegidos para la muestra. (0´25 puntos)

Puesto que la media muestral es el centro del intervalo de confianza, podemos calcular el

valor de la resolución media calculando el centro del intervalo.

Por lo tanto, la resolución media de los 100 dispositivos electrónicos es 1080 píxeles.

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0´75 puntos)

Observamos que píxeles, n = 100 y = 20 píxeles. Por otra parte, la semi-

amplitud del intervalo de confianza es:

1083´92 – 1080 = 3´92 píxeles

que debe ser igual a

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Por lo tanto, y entonces, a través de la tabla obtenemos que,

/2 = 1 – 0´975 = 0´025 = 0´05 1 – = 1 – 0´05 = 0´95

Concluimos que el nivel de confianza del test es del 95 %.

c) ¿Cómo podríamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el

intervalo de confianza, ¿se podría admitir que la media poblacional sea = 1076´08

píxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tus respuestas. (1 punto)

La semi-ámplitud del intervalo de confianza para la media poblacional conocida la

desviación típica es,

En donde, este valor aumentará, y por tanto el intervalo de confianza aumentará, si

La desviación típica aumenta (eso no depende de nosotros)

Si disminuimos el tamaño muestral n, ya que cuanto más pequeño sea el denominador

más grande es el valor de la semi-ámplitud.

Si aumentamos la confianza del intervalo ya que entonces aumentará.

Por el contrario, el intervalo de confianza disminuirá si,

La desviación típica disminuye (eso no depende de nosotros)

Si aumentamos el tamaño muestral n, ya que cuanto más grande sea el denominador más

pequeño se hace el valor de la semi-ámplitud.

Si disminuimos la confianza del intervalo ya que entonces disminuirá.

Por otra parte, sabemos que el intervalo de confianza (1076´08, 1083´92) tiene una

confianza del 95 %. Por lo tanto, para un nivel de confianza menor el intervalo

disminuirá y = 1076´08 píxeles NO pertenecerá al intervalo de confianza.

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

Mínimiza la función z = – 2x – 3y sujeta a las siguientes restricciones:

– x + 3y ≤ 5

2x + y ≤ 4

x ≥ 0

y ≥ 0

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0´25 puntos)

c) Indica la solución óptima del problema y su valor. (0´25 puntos)

Solución.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

Para representar la región factible representamos cada una de las inecuaciones. En el caso de

x ≥ 0 e y ≥ 0 tendremos que el semiplano de soluciones se reduce al primer cuadrante.

Procedemos a representar la inecuación – x + 3y ≤ 5. Para ello representamos la recta – x + 3y =

5 despejando “y” para luego dar valores mediante una tabla:

x

– 2

+ 1

+ 4

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación – x + 3y ≤ 5, restringido al

primer cuadrante, probamos con un punto

cualquiera que no pertenezca a la recta

– x + 3y = 5. En este caso vamos a tomar el

punto origen de coordenadas (0, 0)

– 0 + 3·0 = 0 ≤ 5

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación

NO es estricta.

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Procedemos a representar la inecuación 2x + y ≤ 4.

Para ello representamos la recta 2x + y = 4

despejando “y” para luego dar valores

mediante una tabla:

x y = 4 – 2x

– 2 4 – 2·(– 2) = 4 + 4 = 8

– 1 4 – 2·(– 1) = 4 + 2 = 6 0 4 – 2·0 = 4 – 0 = 4

+ 1 4 – 2·(+ 1) = 4 – 2 = 2 + 2 4 – 2·(+ 2) = 4 – 4 = 0

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación 2x + y < 4, restringido al primer

cuadrante, probamos con un punto cualquiera

que no pertenezca a la recta 2x + y = 2. En

este caso vamos a tomar el punto origen de

coordenadas (0, 0)

2·0 + 0 = 0 < 4

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación

NO es estricta.

Por lo tanto, la región factible queda representada por la intersección de las dos

restricciones anteriores al primer cuadrante.

b) Determina los vértices de la región factible. (0´25 puntos)

Hemos señalado los vértices A, B, C y O de la región factible en la representación del

apartado anterior. De todos modos, vamos a calcularlos algebraicamente mediante sistemas de

ecuaciones, determinando el punto de intersección de rectas.

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Cálculo de las coordenadas del punto A. Se trata del punto de corte de la recta

– x + 3y = 5 con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

}

}

} (

)

Cálculo de las coordenadas del punto B. Se trata del punto de corte de la recta

– x + 3y = 5 con la recta 2x + y = 4. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

} →

}

( )

Cálculo de las coordenadas del punto C. Se trata del punto de corte de la recta 2x + y = 4

con el eje de abcisas y = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

}

}

} ( )

Cálculo de las coordenadas del punto O. Se trata del punto de corte del eje de abcisas

y = 0 con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán O(0, 0)

c) Indica la solución óptima del problema y su valor. (0´25 puntos)

La teoría de programación lineal indica que en los problemas de programación lineal de

mínimo o de máximo sobre una región acotada y compacta las soluciones óptimas se

encuentran en algún vértice. En ese caso, sustituimos las coordenadas de los vértices en la

función objetivo z = – 2x – 3y para comprobar qué punto da valor máximo.

( )

( )

( )

( )

El vértice de valor máximo al sustituir en la función objetivo es B por lo que x = 1

y = 2 es la solución óptima del problema y el valor mínimo de la función restringido a la

región factible es z(B) = – 8.

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2. Una empresa gasta un total de 1 250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de

formación. Establece tres cuantías según los niveles de formación: grado 1, grado 2 y grado

3. La empresa concede 80 euros a cada empleado que realice el de grado 1; 150 euros a

cada empleado del grado 2; y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad total que

la empresa gasta en el curso de formación de grado 1 es igual a la que invierte en el curso

de formación de grado 3.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos empleados van a

realizar el curso de formación de grado 1, cuántos el de grado 2 y cuántos el de grado 3.

(1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

Solución.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántos empleados van a

realizar el curso de formación de grado 1, cuántos el de grado 2 y cuántos el de grado 3.

(1´5 puntos)

Llamamos “x” al número de empleados de grado 1; “y” al número de empleados de grado 2; y

“z” al número de empleados de grado 3.

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir de las siguientes afirmaciones del enunciado:

Una empresa gasta … para que sus 10 empleados

realicen un curso de formación x + y + z = 10

Una empresa gasta un total de 1 250 euros … La

empresa concede 80 euros a cada empleado que realice el

de grado 1; 150 euros a cada empleado del grado 2; y 200

euros a cada empleado del grado 3

80x + 150y + 200z = 1 250

La cantidad total que la empresa gasta en el curso de

formación de grado 1 es igual a la que invierte en el

curso de formación de grado 3. 80x = 200z

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:

}

Este sistema se puede reducir en la segunda y en la tercera ecuación del siguiente modo,

}

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b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer:

Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

} (

| )

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan,

(

| ) ↔ ↔

(

|

)

(

| )

Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss:

(

| )

}

Y resolvemos el sistema despejando:

}

}

}

}

}

}

}

}

}

}

Por lo tanto, hay 5 empleados de grado 1; 3 empleados de grado 2; y 2 empleados de

grado 3.

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Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

}

Calculamos el número empleados de grado 1:

|

|

|

|

Calculamos el número empleados de grado 2:

|

|

|

|

Calculamos el número empleados de grado 3:

|

|

|

|

Por lo tanto, hay 5 empleados de grado 1; 3 empleados de grado 2; y 2 empleados de

grado 3.

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3. Se considera la función ( ) { | |

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0´5 puntos)

b) Para t = 1, representa gráficamente la función f. (1 punto)

Solución.

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0´5 puntos)

Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

( )

( ) ( )

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 2 y la imagen de la función en x = 2.

( )

(| | ) | |

( )

( )

( ) | |

Para que sea f(x) continua en x = 2 deberá ocurrir que,

( )

( ) ( )

Por lo tanto, t = 2 para que f(x) sea continua en x = 2.

b) Para t = 2, representa gráficamente la función f. (1 punto)

Sea la función ( ) { | |

, representamos cada uno de sus trozos:

Representación de g(x) = | x | – 1.

Para representar g(x) en x ≤ 2 representamos

inicialmente la función y = x, que es una función

lineal, mediante una tabla de valores.

x y = x

– 1 – 1

0 0

+ 1 + 1

Para representar la función valor absoluto |x| hacemos

una simetría respecto del eje OX en la parte de la

recta que está por debajo del eje OX (hoja siguiente).

Representación y = x, x ≤ 2

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Representamos por último el trozo de la función que se nos pide, g(x), haciendo una traslación

vertical de una unidad hacia abajo, obteniendo la gráfica de la función (gráfica de la derecha).

y = |x| , x ≤ 2 y = |x| – 1 , x ≤ 2

Procedemos ahora a representar el otro trozo de la función f(x):

Representación de h(x) = x2 – 6x + 8.

Para representar h(x) en x > 2, observamos

primeramente que h(x) es una función de tipo

cuadrático con vértice en

hacemos una tabla de valores,

x y = x2 – 6x + 8

Vx= 3 32 – 6·3 + 8 = 9 – 18 + 8 = – 1

2 22 – 6·2 + 8 = 4 – 12 + 8 = 0 (límite)

4 42 – 6·4 + 8 = 16 – 24 + 8 = 0

5 52 – 6·5 + 8 = 25 – 30 + 8 = + 3

Finalmente, uniendo los trozos de las

dos representaciones gráficas

anteriores, representamos la función

f(x) pedida en el enunciado.

( ) { | |

Se trata, por tanto, de una función

discontinua, con una discontinuidad en

x = 2 de salto finito.

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4. En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida

en %, se ajusta a la función f(t) = 2t3 – 15t

2 + 24t + 75, 0 ≤ t ≤ 5, siendo t el tiempo medido

en horas.

a) ¿A qué hora se registró la máxima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue

dicha cantidad? (0´75 puntos)

b) ¿A qué hora se registró la mínima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue

dicha cantidad? (0´75 puntos)

Solución

a) ¿A qué hora se registró la máxima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue

dicha cantidad? (0´75 puntos)

Para calcular el máximo de la función en el intervalo (0, 5) procedemos a calcular la derivada:

f´(t) = 6t2 – 30t + 24

Igualamos a cero y calculamos así los extremos relativos.

{

Para saber cuál de los dos valores hallados es el máximo, estudiamos el signo de la primera

derivada haciendo intervalos y sustituyendo un valor del intervalo en la primera derivada. Si

se obtiene valor positivo, en el intervalo crece y si sale negativo, en el intervalo decrece.

Intervalo Valor representante f´(t) = 6t2 – 30 t + 24 Monotonía en el intervalo

(0, 1) 0´5 6·0´52 – 30·0´5 + 24 = 10´5 > 0 Creciente

(1, 4) 3 6·32 – 30·3 + 24 = – 12 < 0 Decreciente

(4, 6) 5 6·52 – 30·5 + 24 = 24 > 0 Creciente

Por lo tanto, vemos que en t = 1 la función f(t) pasa de ser creciente a ser decreciente y es ahí

donde está el máximo relativo. Concluimos que en t = 1 segundos hay un Máximo relativo.

Puesto que estamos buscando el Máximo absoluto en (1, 5) debemos comparar la imagen en

el Máximo relativo con las imágenes en los dos extremos del intervalo t = 0 y t = 5.

f(0) = 2·03 – 15·0

2 + 24·0 + 75 = 75

f(1) = 2·13 – 15·1

2 + 24·1 + 75 = 86

f(5) = 2·53 – 15·5

2 + 24·5 + 75 = 70

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Como la imagen de t = 1 es superior a la de los extremos del intervalo, podemos asegurar que

el Máximo absoluto de la función f(t) en el intervalo (0, 5) está en t = 1 horas y allí se

produce una máxima cantidad de humedad relativa del 86 %.

b) ¿A qué hora se registró la mínima cantidad de humedad relativa del aire y cuál fue

dicha cantidad? (0´75 puntos)

En el apartado anterior se puede observar que en t = 5 la función f(t) pasa de ser decreciente a

ser creciente y es ahí donde está el mínimo relativo. Concluimos que en t = 5 segundos hay un

mínimo relativo.

Puesto que estamos buscando el mínimo absoluto en (0, 5) debemos comparar nuevamente la

imagen en el mínimo relativo con las imágenes en los dos extremos del intervalo f(0) = 75 %

y f(5) = 70 %. Calculamos la imagen en t = 4 segundos,

f(4) = 2·43 – 15·4

2 + 24·4 + 75 = 59

Como la imagen de t = 4 es inferior a la de los extremos del intervalo, podemos asegurar que

el mínimo absoluto de la función f(t) en el intervalo (0, 5) está en t = 4 horas y allí se

alcanza una humedad relativa del 59 %.

5. En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El 15 % de los

productos son soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 65 % por el C. Se sabe que la

probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura es de 0´02 si ha sido

soldado por el robot A, 0´03 por el robot B y 0´01 por el robot C.

a) Elegida un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto de

soldadura? (0´75 puntos)

b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cuál es la

probabilidad de que haya sido soldado por el robot A? (0´75 puntos)

Solución. El problema se puede describir mediante un diagrama de árbol como el que sigue:

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a) Elegida un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto de

soldadura? (0´75 puntos)

Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto, la probabilidad de que tomado un producto al azar sea defectuoso es

del 1´01 %.

b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cuál es la

probabilidad de que haya sido soldado por el robot A? (0´75 puntos)

Al tratarse de una probabilidad condicionada donde piden la probabilidad de un suceso de la

primera fase sabiendo lo que ocurrió en la segunda fase, aplicamos el teorema de la Bayes:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Por lo tanto,

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto, la probabilidad de que tomado un producto al azar que resulta ser

defectuoso, provenga del robot A es, aproximadamente, del 19´35 %

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6. En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta

que sale su maleta sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica

= 3 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo

medio de espera era de 17 minutos.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la

maleta en ese aeropuerto con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea = 16 con un nivel de confianza del

95 %? ¿Cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el

nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 punto)

Solución.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la

maleta en ese aeropuerto con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

Sea la variable aleatoria X que mide el tiempo que se tarda en recoger la maleta en minutos.

Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación

conocida e igual a σ = 3 minutos. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 50

donde la media muestral, según los datos del problema, . En estas

condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la media

poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

(

√ )

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96. Por tanto,

sustituyendo en la fórmula del intervalo:

(

√ ) ( )

El intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio poblacional es (16´1684, 17´8317).

b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea = 16 con un nivel de confianza del

95 %? ¿Cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el

nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 punto)

No se puede admitir que la media poblacional sea = 16 con un nivel de confianza del 95 %

ya que no es un valor contenido en el intervalo de confianza calculado anteriormente. En

cuanto a cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el nivel

de confianza, si aumentamos el tamaño muestral disminuimos la semi-amplitud del intervalo

de confianza y, por tanto la amplitud del intervalo de confianza. Esto hace que la estimación

sea más exacta. Esto se debe a que la raíz cuadrada del tamaño muestral se ubica en el

denominador y por lo tanto, disminuye a la fracción cuanto más alto sea el tamaño muestral.