PROPUESTA A

1. Dada la ecuación matricial BXAXI 3

a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

2. En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que una

camiseta y cuatro jerseys. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys.

Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)

b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos)

3. Se considera la función

01|1|

01)1()(

2

xsix

xsixxf . Se pide:

a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)

4. La función f(x) = 2x2 + ax + b tiene un mínimo en el punto (2,– 5). Se pide:

a) Determina el valor de “a” y de “b”. (1 punto)

b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es

creciente. (0.5 puntos)

5. En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3,

respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una silla

de tipo B sea defectuosa es 0.09.

a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos)

b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo B? (0.75 puntos)

6. La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal

con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra de 100 llamadas y la media de duración

obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1 punto)

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado

con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

2

PROPUESTA B

1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que la cantidad

invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los 10.000 euros, la cantidad invertida en

acciones de tipo B no puede superar los 12.000 euros y la suma de las cantidades invertidas no

pueda exceder de 15.000 euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10 % y

el ofrecido por las acciones del tipo B es del 11 %.

a) Dibuja la región factible. (1 punto).

b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo

mayor posible. (0.5 puntos)

2. Al 50 % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 20 % del total les gusta

sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos)

b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5 puntos)

3. Se considera la función

286

220

286

)(2

2

xsixx

xsi

xsixx

xf . Se pide:

a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos)

b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)

4. La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del

tiempo t, en horas, por la expresión T(t) = 10t∙(3 – t), en donde 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:

a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos)

b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1.25 puntos)

5. Según un estudio, el 40 % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el 33 %

tiene contratada televisión por cable, y el 20 % disponen de ambos servicios.

a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

acceso a internet? (0.75 puntos)

b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado

ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos)

6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes

datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone

que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de deviación típica

150 euros.

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto)

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera elegido

entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

3

SOLUCIONES – PROPUESTA A

1. Dada la ecuación matricial BXAXI 3

a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad

de orden 2. (0.75 puntos)

Solución.

a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)

Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución,

IBXAIIBXAXBXAXI )3(33

Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X.

En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (3I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada y

tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo:

)()3( 1 IBAIX

Además, para que (3I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además

tengan el mismo orden.

Por lo tanto, )()3( 1 IBAIX , si (3∙I +A) posee matriz inversa, A e I a son del mismo

orden y su número de columnas es igual que el de filas de (B – I).

b) Si

17

03A , calcula la matriz X que cumple IXA , donde I es la matriz identidad

de orden 2. (0.75 puntos)

La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando

su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A,

0317

03A

Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según,

11 AIAXIXA

4

Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,

A

AAdjA

t

1

Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[A

t] la matriz adjunta de la transpuesta.

Realizamos las operaciones correspondientes:

37

01

3

1

37

01])[

10

731AAadjA tt

En ese caso, la solución X será:

13/7

03/11AX

2. En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que

una camiseta y cuatro jerseys. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro

jerseys. Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 ptos)

b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos)

Solución.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 ptos)

Llamamos “x” al precio de cada pantalón; “y” al precio de cada camiseta; y “z” al precio de

cada jersey. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes

ecuaciones:

Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta y cuatro jerseys zyx 43

Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys zyx 455

Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros 85 zyx

Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por:

85

455

43

zyx

zyx

zyx

Que ordenado será:

85

0455

043

zyx

zyx

zyx

5

b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos)

Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera.

043

0455

85

85

0455

043

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

La matriz de Gauss queda determinada por:

0413

0455

85111

zyx

Cambiamos la columna de las “x” por la de las “z”:

0314

0554

85111

xyz

Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la sumamos a las otras dos:

340730

340910

85111

0314

0554

85111

133

122

4´

4´

FFF

FFF

xyzxyz

Multiplicamos la segunda fila por 3 y se la sumamos a la tercera,

13603400

340910

85111

340730

340910

85111

233 ´3´´́ FFF

xyzxyz

Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo,

40

340409

8540

40

3409

85

34/1360

3409

85

136034

3409

85

x

y

yz

x

xy

xyz

x

xy

xyz

x

xy

xyz

6

40

20

4520

40

20

45

40

360340

45

40

340360

4085

x

y

z

x

y

yz

x

y

yz

x

y

yz

40

20

25

40

20

2045

x

y

z

x

y

z

Por lo tanto, hay 40 pantalones, 20 camisas y 25 jerseys.

3. Se considera la función

01|1|

01)1()(

2

xsix

xsixxf . Se pide:

a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto)

Solución.

a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites

laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo,

)()(lim)(lim afxfxfaxax

En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = 0. Por lo tanto, estudiaremos los límites

laterales y el valor de la función en el punto x = 0.

21)1(lim)(lim 2

00

xxf

xx

21|1|lim)(lim00

xxfxx

21)10()0( 2 f

Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en x = 0.

b) Extremos relativos en el intervalo (– 2, 2). (0.5 puntos)

Para el estudio de los extremos relativos, descartamos realizar derivadas por cuanto la función

es a trozos y hay un valor absoluto de por medio. Procedemos a localizarlos mediante la

representación gráfica.

7

En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ 0) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor

que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión,

[ ( x + 1)2 + 1 ]´ = 2(x+1)

e igualando a cero, obtenemos,

2(x + 1) = 0 x = – 1

Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente del

monomio de grado dos.

Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que

nuestro dominio para tal expresión es x ≤ 0.

x y = ( x + 1)2 + 1

– 1 1

– 1.5 1.25

– 2 2

– 0.5 1.25

0 2

En esta tabla hay que tener en cuenta que – 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si pertenece

al dominio de la expresión que representamos.

Por otra parte, la expresión | x – 1 | + 1, tendrá un punto “especial” en aquel valor que anula el

valor absoluto (ahí es donde se produciría el cambio de signo de la función si no es por el valor

absoluto). En tal caso, ese valor es:

| x – 1 | = 0 x = + 1

Observamos que, para valores de abcisa superiores a x = 1, el valor absoluto no cambia el signo de

la función ya que, si 1 < x,

| x – 1 | + 1 = x – 1 + 1 = x

Mientras que para valores de abcisa inferiores a x = 1, el valor absoluto cambia el signo de la

función ya que, si 1 < x,

| x – 1 | + 1 = – x + 1 + 1 = 2 – x

Puesto que el dominio de nuestra expresión es (0, 2) entonces, tendremos que la representación

serán dos segmentos (parte de la rectas y = x + 2 e y = 2 – x ). Tomamos algunos valores,

x < 1 y = | x – 1 | + 1 = 2 – x

0 2

1 1

1 < x y = | x – 1 | + 1 = x

1 1

2 2

8

En esta tabla hay que tener en cuenta que x = 2 no es un punto del nuestro intervalo aunque sí nos

sirve para representar nuestra expresión. Además, sabemos que

21|1|lim)(lim00

xxfxx

Por lo tanto, la representación gráfica pedida será:

Concluimos que existe un máximo relativo y absosluto de la función f en el intervalo (– 2, 2) en el

punto (0, 2) y existen dos mínimos relativos y absolutos de la función f en el intervalo (– 2, 2) en

los puntos (– 1, 1) y (1, 1).

4. La función f(x) = 2x2 + ax + b tiene un mínimo en el punto (2,– 5). Se pide:

a) Determina el valor de “a” y de “b”. (1 punto)

b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función

es creciente. (0.5 puntos)

Solución.

a) Determina el valor de “a” y de “b”. (1 punto)

Puesto que tiene un mínimo en (2, – 5) entonces f´(2) = 0. Como la derivada de f(x) es f´(x) =

4x + a, entonces si f´(2) = 0 tendremos que:

8 + a = 0,

De donde a = – 8.

9

Por otra parte, puesto que pasa por el punto (2, – 5), entonces f(2) = – 5. Sustituyendo en la

expresión algebraica de la función tendremos que:

8 + 2a + b = – 5

Es, decir,

2a + b = – 13

Puesto que a = – 8, sustituyendo tendremos el valor de b,

– 16 + b = – 13 b = – 13 + 16 b = 3

Por lo tanto, a = – 8 y b = 3.

b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función

es creciente. (0.5 puntos)

Sea f(x) = 2x2 – 8 x + 3. Si queremos calcular el intervalo donde la función es creciente,

debemos resolver la inecuación f´(x) > 0.

La derivada de la función es f´(x) = 4x – 8, de donde, resolviendo la inecuación f´(x) > 0,

4x – 8 > 0 4x > 8 x > 2

Concluimos que la función es creciente en (2, + ∞).

5. En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3,

respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una

silla de tipo B sea defectuosa es 0.09.

a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos)

b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo B? (0.75 puntos)

Solución.

a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos)

El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:

10

En ese caso, la sillas defectuosas se puede calcular mediante el teorema de la probabilidad total

según:

))()/()()/()( BPBdefectuosaPAPAdefectuosaPdefectuosaP

400

29

4

3

100

9

4

1

100

2

4

3090́

4

1020́

Por lo tanto, la proporción de defectuosas es 29/400.

b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo B? (0.75 puntos)

En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema

de Bayes según:

)()/()()/(

)()/()/(

BPBdefectuosaNoPAPAdefectuosaNoP

BPBdefectuosaNoPdefectuosanoBP

7360́

4

3910́

4

1980́

4

3910́

Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´736 aproximadamente.

6. La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución

normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra de 100 llamadas y la media

de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:

a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1pto)

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera

realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Solución.

a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1pto)

Sea la variable aleatoria X que mide la duración de las llamadas de teléfono. Según los datos

del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a

σ = 10 s.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 componentes y nos dicen que su media

muestral es 50X s. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α =

0´97 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

11

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)17´52,83´47(100

10172́50,

100

10172́50

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para la duración de las llamadas

es (47´83, 52´17).

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 97 % de que tomada una llamada al

azar, dure entre 47´83 segundos y 52´17 segundos.

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera

realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Únicamente sería válido si se entiende que estamos analizando la duración de las llamadas de

ese empleado en concreto.

Si lo que se está analizando es la duración de las llamadas de cualquier persona de una

población determinada con más de un individuo, está claro que estamos sesgando la muestra al

tomar un solo comunicante ya que este puede no representar a la población en estudio. Por

ejemplo, si tenemos una población de personas que invierten mucho tiempo en sus llamadas, y

tomamos como muestra al azar a aquella persona que no usa casi el teléfono, estamos

claramente sesgando el resultado porque los resultados no serán representativos de lo que

realmente ocurre.

12

SOLUCIONES – PROPUESTA B

1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que la

cantidad invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los 10.000 euros, la cantidad

invertida en acciones de tipo B no puede superar los 12.000 euros y la suma de las cantidades

invertidas no pueda exceder de 15.000 euros. El interés anual estimado por las acciones de

tipo A es del 10 % y el ofrecido por las acciones del tipo B es del 11 %.

a) Dibuja la región factible. (1 punto).

b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio

sea lo mayor posible. (0.5 puntos)

Solución.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

Si llamamos “x” al número de acciones de tipo A e “y” al número de acciones el tipo B,

tendremos que los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible

del tipo:

000.15

0000.12,0000.10

yx

yx

Las dos primeras expresiones nos determinan dos rectas verticales, x = 0 x = 10.000, junto con

dos horizontales y = 0 e y = 12.000 que restringen la zona de soluciones a un rectángulo.

En cuanto a la tercera expresión, x + y ≤ 15.000, representamos el semiplano de posibles

soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 15.000 – x

x y = 15.000 – x

0 15.000

15.000 0

Representamos la recta y el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la

pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (1000,1000),

(que la verifican todos).

La región coloreada en amarillo es la región factible.

13

Calculamos los vértices de la región factible:

Punto A de intersección de las rectas x + y = 15000 e y = 12000, da como solución

A(3000, 12000).

Punto B de intersección de las rectas x + y = 15000 con x = 10000, da como solución

B(10000, 5000).

Punto C de intersección de las rectas x = 10000 con y = 0, da como solución C(10000, 0).

Punto D de intersección de las rectas x = 0 con y = 12000, da como solución D(0, 12000).

Punto E de intersección de las rectas x = 0 con y = 0, da como solución E(0, 0).

b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio

sea lo mayor posible. (0.5 puntos)

Sea la función que determina el beneficio y vendrá dada por la expresión algebraica:

F(x,y) = 0.1x+ 0.11y

Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que

tenga mayor beneficio. Ese punto es el punto de mayor beneficio de toda la superficie limitada.

F(3000, 12000) = 0.1∙3000 + 0.11∙12000 = 300 + 1320 = 1620

F(10000, 5000) = 0.1∙10000 + 0.11∙5000 = 1000 + 550 = 1550

F(10000, 0) = 0.1∙10000 + 0.11∙0 = 1000 + 0 = 1000

F(0, 12000) = 0.1∙0 + 0.11∙12000 = 0 + 1320 = 1320

F(0, 0) = 0.1∙0 + 0.11∙0 = 0 + 0 = 0

En conclusión, hemos obtenido que los valores de mayor beneficio se encuentran si compramos

x = 3000 acciones de tipo A e y = 12000 acciones del tipo B.

2. Al 50 % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 20 % del total les

gusta sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5

puntos)

b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5

puntos)

Solución.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5

puntos)

Llamamos “x” al número de alumnos de la clase; “y” al número de alumnos que sólo les gusta

el fútbol; “z” al número de alumnos que sólo les gusta el baloncesto.

Observar que si al 50 % sólo les gusta el fútbol y al 20 % sólo les gusta el baloncesto, entonces

al 30 % no les gusta ninguno de estos deportes. En tal caso el sistema vendrá dado por:

630́

20́

50́

x

zx

yx

14

b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5

puntos)

Resolvemos el sistema anterior a partir de la tercera ecuación:

20

4

10

20

2020́

2050́

20

20́

50́

30́/6

20́

50́

630́

20́

50́

x

z

y

x

z

y

x

zx

yx

x

zx

yx

x

zx

yx

Por lo tanto, el total de alumnos es 20, los alumnos que sólo les gusta el fútbol son 10 mientrás

que los que sólo les gusta el baloncesto son 4.

3. Se considera la función

286

220

286

)(2

2

xsixx

xsi

xsixx

xf . Se pide:

a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos)

b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)

Solución.

a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos)

El límite lateral por la izquierda en x = – 2 será:

081248)2(6)2()86(lim)(lim 22

22

xxxf

xx

El límite lateral por la derecha en x = – 2 será:

00lim)(lim22

xx

xf

b) Representación gráfica de la función f. (1 punto)

Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos

dominios.

Representación de y = – x2 – 6x – 8 para x ≤ – 2

Se trata de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de grado dos. Su

máximo lo alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es decir,

– 2x – 6 = 0 – 6 = 2x – 3 = x

que es un valor de abcisa dentro del dominio x ≤ – 2. El punto de Máximo es

(– 3, y(– 3)) = (–3, 1).

15

Con cinco puntos sobre el dominio (hasta x = – 2 incluido) construimos la parte de las dos

ramas que nos interesa:

x y = – x2 – 6x – 8

– 2´5 0´75

– 2 0

– 4 0

– 5 – 3

– 6 – 8

Representación de y = 0 con – 2 < x ≤ + 2

Se trata de un segmento horizontal sobre el eje OX entre – 2 (sin incluir) y 2 (incluido).

Representación de y = x2 – 6x + 8 para x > 2

Se trata de una parábola con ramas hacia arriba por ser un polinomio de grado dos. Su

máximo lo alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es decir,

2x – 6 = 0 2x = 6 x = 3

que es un valor de abcisa dentro del dominio x > 2. El punto de Mínimo es

( 3, y(3)) = ( 3, – 1).

Con cinco puntos sobre el dominio (a partir de x = 2) construimos la parte de las dos ramas

que nos interesa:

x y = x2 – 6x + 8

)(lim2

xfx

0

2´5 0

4 0

5 3

6 8

Por lo tanto, la gráfica de la función a trozos determinada en el enunciado es:

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4. La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del

tiempo t, en horas, por la expresión T(t) = 10t∙(3 – t), en donde 0 ≤ t ≤ 3. Se pide:

a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos)

b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1.25 puntos)

Solución.

a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos)

Puesto que la variable t se mide en horas, y debemos saber qué temperatura habrá a los 30

minutos, deberemos sustituir en la función por el valor 0´5 horas.

T(t) = 10 ∙ 0´5 ∙ (3 – 0´5) = 12´5º

Concluimos que habrá una temperatura de 12´5º a la media hora del inicio de la reacción

química.

b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1´25 puntos)

Primero hallamos una expresión más simplificada de la función T(t) operando:

T(t) = 10t∙(3 – t) = 30t – 10t2

Calculamos los máximos relativos de la función T(t) por medio de la derivada:

T´(t) = 30 – 20t

Si anulamos la derivada tendremos que el valor de extremo relativo es t = 1´5 horas.

En estas condiciones, y sabiendo que la función T(t) en realidad es una parábola con ramas

hacia abajo, tendremos que t = 1´5 horas es un máximo absoluto de la función T(t) y por lo

tanto, concluimos que una hora después de iniciada la reacción tendremos la máxima

temperatura.

El valor de la temperatura máxima queda determinado por T(1´5),

T(1´5) = 15∙(3 – 1´5) = 22´5º

Concluimos que la temperatura máxima se alcanza a la hora de iniciada la reacción y

ésta es de 22´5º

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5. Según un estudio, el 40 % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet,

el 33 % tiene contratada televisión por cable, y el 20 % disponen de ambos servicios.

a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que

tenga acceso a internet? (0.75 puntos)

b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga

contratado ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos)

Solución.

a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que

tenga acceso a internet? (0.75 puntos)

Llamamos suceso A a “tener contratado acceso a internet” y llamamos suceso B a “Tener

contratada televisión por cable.

Se observa entonces que, por las condiciones del problema,

P(A) = 0´4 P(B) = 0´33 P(A B) = 0´2

En ese caso, se nos está preguntando por la probabilidad del suceso condicionado A/B. Dicha

probabilidad se puede calcular a partir de la fórmula:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Aplicando los valores correspondientes tendremos que,

600́330́

20́

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 6´61 % aproximadamente de que un hogar

que tenga televisión por cable, tenga también internet.

b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga

contratado ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos)

Se nos está pidiendo la probabilidad del suceso complementario al suceso “tener contratado

alguno de los dos servicios. La probabilidad de tener al menos uno de los dos servicios es la

probabilidad del suceso A B, cuyo cálculo se puede realizar mediante la fórmula:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Aplicando las condiciones numéricas del problema tendremos que esta probabilidad es:

P(A B) = 0´4 + 0´33 – 0´2 = 0´53

18

Y entonces concluimos que la probabilidad de no tener contratado ninguno de los dos servicios

es la probabilidad del suceso complementario a A B, que se calcula mediante la fórmula,

P((A B)c) = 1 – P(A B)

Por lo tanto,

P((A B)c) = 1 – 0´53 = 0´47

y la probabilidad de no tener contratados ambos servicios es del 47 %.

6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los

siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069.

Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de

deviación típica 150 euros.

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto)

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera

elegido entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Solución.

a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto)

Sea la variable aleatoria X que mide la renta familiar. Según los datos del problema esta

variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 150 euros.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 de la que podemos calcular su media

muestral:

2004510

20069200781994220023200272001420263199512009619987

X

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)17´20137,03´19952(10

150961́20045,

10

150961́20045

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar

es (19.952´03, 20.137´17).

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b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos)

La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 95 % de que tomada una familia al azar

tenga una renta comprendida entre 19.952´03 € y 20.137´17 €.

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera

elegido entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Si lo que se está analizando es la renta familiar de las familias del barrio, está claro que estamos

sesgando la muestra al tomar un sólo aquellas familias con más ingresos ya que puede no

representar a la población en estudio. Por ejemplo, si tenemos una población de familias muy

pobres y tomamos como muestra al azar las familias con más ingresos, obtendremos resultados

acerca de la población que cuantitativamente van a ser superiores a lo que es la realidad del

barrio.