SERIES DE FOURIER

OBJETIVO El objetivo de nuestra exposición, es que se logre

entender los conceptos básicos de Fourier para poder realizar ejercicios y de igual manera sus aplicaciones en las áreas ingenieriles. Ya que es una herramienta muy útil en el análisis de señales.

INTRODUCCIÓN

El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac Newton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de Fourier que ha tenido aplicaciones más profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el análisis de señales y datos

SERIES DE FOURIER

Llamamos series de Fourier a aquella serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta.

SERIES DE FOURIER

Una serie de Fourier nos sirve igualmente para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera.

Las áreas de aplicación incluyen, análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos, Ecuaciones de Calor y de Ondas, además de Circuitos Eléctricos

SERIES DE FOURIER

SERIES DE FOURIER

Para el estudio y análisis de este tema es necesario que se conozcan temas de suma importancia tales como: Integrales y sus métodos de integración, identidades trigonométricas y sus técnicas de aplicación, definición de función ortogonal, amplio conocimiento de expresiones algebraicas y de cálculo.

SERIES DE FOURIER CONOCIMIENTOS PREVIOS A diferencia del análisis vectorial, en

donde la palabra ortogonal es sinónimo de "perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal no tiene significado geométrico.

En "análisis funcional" se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son "ortogonales" si su producto escalar es nulo. Dos funciones yson ortogonales es un intervalo si

SERIES DE FOURIER

La serie de Fourier de una función periódica f (x) de periodo T detenida en un intervalo de longitud T está dada por:

SERIES DE FOURIER

En la cual:

SERIES DE FOURIER

EJEMPLO # 1 Desarrolle 

En una serie de Fourier

SERIES DE FOURIER

   

  Cos n=-1

SERIES DE FOURIER

En forma semejante veamos que,

Por consiguiente:

Aplicaciones Una aplicación simple de la serie de Fourier la

podemos encontrar en el anisáis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una señal de tipo cuadrada o un diente de sierra.

Supongamos ahora que en un osciloscopio de observó una señal de onda cuadrada y que está definida por la función:

Aplicaciones Calculando los coeficientes de Fourier

Aplicaciones Luego la resultante es:

Es importante decir que el primer termino representa el promedio de f(x)sobre el intervalo(- , ) y que todos los términos en base coseno se anulan.

Físicamente esto significa que la onda cuadrada debe de contener muchos componentes de alta frecuencia. Si el aparato electrónico no deja pasar estos componentes, la onda cuadrada restante queda redondeada.

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS

Tipos de Simetría

Par: si Impar: si

Serie de Fourier en Cosenos

Una serie de Fourier en cosenos no es más que extraer una función definida en intervalos como una función par.

Serie de Fourier en Senos

Es extender el comportamiento de una función definida en medio de intervalos como a una función impar.

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS

Serie de Fourier de Cosenos " f(x) Función Par"

La serie de Fourier de una función par en el intervalo es la serie de cosenos

Una función se puede decir que es par, sí cuando tomamos un período de la función, y lo giramos sobre el eje Y, este coincide exactamente con otro período de la función

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS

Serie de Fourier de Senos " f(x) Función Impar"

La serie de Fourier de una función impar en el intervalo es la serie de senos

Una función se puede decir que es impar, sí cuando tomamos un período de la función, lo giramos en el eje Y y luego en el eje X, este coincide exactamente con otro período de la función

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS Propiedades Funciones Pares e Impares

1) El producto de dos funciones pares es par.2) El producto de dos funciones impares es par.3) El producto de una función impar y una función par es impar 4) La suma o diferencia de dos funciones pares es par. 5) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar. 6) Si f es par,

7) Si f es impar,

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS EJEMPLO # 2

Desarrolle la serie de Fourier para:

Solución:

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOSEntonces tenemos que:

Lo cual nos indica que es una función impar, para lo cual se sabe que:

Por lo tanto solo resta calcular para definir la serie de Fourier:

 

 

 

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS Entonces la serie de Fourier queda de la

siguiente manera:

Que también se puede escribir de la siguiente forma:

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS EJEMPLO # 3 Encontrar la serie de Fourier de En el intervalo Como es una función par, es impar y se sabe

de inmediato que los coeficientes del seno son cero.

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS Entonces:

 

SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS Por consiguiente la serie de Fourier

queda de la siguiente manera:

SERIES DE FOURIER

las siguientes funciones

  En el rango     en .

Ejemplo De la función determinar a que converge esta serie en el intervalo: (-2, 2)

Ahora encontramos los coeficientes de Fourier

El software utilizado es Maple, y se teclean los siguientes códigos sustituyendo a0, an y bn en la formula de Fourier para graficar lo

hallado de los coeficientes.

Grafica de la función cuando tiende a un numero entero en este caso [1..10]

Grafica de la función cuando tiende a un numero entero en este caso [1..20]

Grafica de la función cuando tiende al infinito [1..∞]

Comparación de graficas