Tesis de Licenciatura Modelado matemático de la ...

UNIVERSIDAD DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas

Tesis de Licenciatura

Modelado matemático de la Leptospirosis considerando crecimiento logístico en

la población de ratones

Gallego, María Alejandra

Directora: Simoy, Verónica

Agradecimientos

A Verónica Simoy por haberme propuesto trabajar en el área de la matemática aplicada con

el fin de desarrollar mi tesis de grado a partir de una problemática biológica, la Leptospirosis.

Gracias por haberme acompañado durante todo el proceso de formación con paciencia, dedicación

y siempre con alegría.

Al grupo de Ecosistemas por hacerme recibido y hecho sentir muy cómoda en su lugar de

trabajo.

A mis amigos y compañeros de la facultad Emiliana, Valeria, Marcela, Isis, Victoria, Agustín,

Franco y Pablo.

Quiero en especial agradecer a las personas más importantes en vida, los que siempre

estuvieron y van a estar, y que no alcanzan las palabras para decir cuánto los amo, que son mi

mamá Lidia, mi papá Juan José, mi hermana Fernanda y mi novio Pedro.

Finalmente, a todos los profesores que me formaron durante la carrera de la Licenciatura en

Matemática.

Prefacio

El objetivo de este trabajo de tesis es construir un modelo matemático para el estudio de la

dinámica de la enfermedad de leptospirosis cuando se considera que hay interacción entre dos

especies diferentes, humanos-roedores y además cuando la población de roedores presenta un

crecimiento logístico.

Con este fin se estructuró a la población de humanos, con respecto a la infección, en tres

estados: humanos susceptibles, infectados y recuperados y a la población de roedores en

susceptibles e infectados y se desarrolló un modelo basado en un sistema de ecuaciones

diferenciales no lineales acopladas para describir la dinámica de cada uno de los estados, antes

mencionados.

Finalmente, se utilizó el modelo para analizar cuándo la infección tenderá a desaparecer en

la población y se propusieron algunas medidas de control.

Para llevar a cabo este objetivo se estructuró el trabajo de tesis de la siguiente manera. En el

Capítulo I se estudiarán los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con

dimensión y nos enfocaremos en su resolución analítica. En el Capítulo II se estudiarán

algunas de las herramientas matemáticas que permiten describir las soluciones de los sistemas

de ecuaciones diferenciales de primer orden sin necesidad de explicitarlas. Tales son los puntos

de equilibrio, sus clasificaciones y su estabilidad. En el Capítulo III veremos la resolución

numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, nos enfocaremos

en los métodos numéricos que nos permitirán aproximar la solución de dicho sistema. Estos

tres primeros capítulos son la base matemática para el desarrollo de los capítulos posteriores.

En los capítulos IV y V estudiaremos algunos de los modelos matemáticos epidemiológicos

basados en sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden cuando se estructura la población

en relación al estado de la infección. En el capítulo IV nos enfocaremos en aquellos que modelan la

dinámica de la enfermedad cuando esta solo afecta a una población homogénea, mientras que en el

capítulo V la enfermedad afecta a poblaciones heterogéneas y/o a especies distintas que

interactúan entre sí. En ambos capítulos daremos sus principales características y propiedades y

definiremos conceptos fundamentales de la epidemiología, como por ejemplo el número

reproductivo básico, . Estos capítulos son la base de este trabajo de tesis ya que a partir de ellos

se podrá desarrollar el capítulo VII, nuestro objetivo.

En el capítulo VI describiremos la enfermedad de la leptospirosis y haremos una síntesis de

los modelos existentes sobre la propagación de la misma.

Finalmente, en el capítulo VII formularemos un modelo matemático epidemiológico de la

leptospirosis cuando consideramos que hay interacción entre dos especies distintas, humanos -

roedores. En nuestro modelo, a diferencia de los preexistentes, la dinámica poblacional de los

roedores presenta un crecimiento logístico. Además buscaremos cuáles son los parámetros que

hacen que la enfermedad prospere o no y por último propondremos medidas de control basadas en

los parámetros antes mencionados.

Índice general

1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.

1.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.

1.1.1. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.

1.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.

1.2.1. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo . . . . . . . . . . 3.

1.2.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo . . . . . . .6.

1.2.3. Método de variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.

1.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.

1.4. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18.

2. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.

2.1. Sistemas autónomos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.

2.1.1. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.

2.2. Puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.

2.2.1. Descripción geométrica de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23.

2.2.2. Estabilidad de los puntos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.

2.2.3. Análisis cualitativo de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.

2.2.4. Análisis cualitativo de los sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.

2.2.4.1. Método directo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.

3. Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . . . . . . . . . . 38.

3.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38.

3.2. Métodos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.

3.3. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.

3.3.2. Runge Kutta orden 2 o Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42.

3.3.3. Runge Kutta orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.

3.3.3. Runge Kutta orden 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.

3.4. Errores en la aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45.

3.5. Método numérico para sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46.

3.5.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46.

3.5.2. Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47.

4. Modelos Epidemiológicos Clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49.

4.1 Formulación matemática del modelo SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.

4.1.1. Modelo SI sin demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50.

4.2.1.1 Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53.

4.1.2. Modelo SI con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53.

4.1.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . 54.

4.1.2.2. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.

4.1.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56.

4.2 Formulación matemática del modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.

4.2.1. Modelo SIS sin demografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56.

4.2.1.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso. . . .58.

4.2.1.2. Número reproductivo básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.


4.2.2. Modelo SIS con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.


4.2.2.2. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..60.


4.3 Formulación matemática del modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.

4.3.1 Modelo SIR sin demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.

4.3.1.1 Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso . . . .62.

4.3.1.2 Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63.

4.3.1.3 Número máximo de infecciosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.

4.3.1.4. Causa de la desaparición de la infección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64.


4.3.2. Modelo SIR con demografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 66.

4.3.2.1. Número máximo de infecciosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.


4.3.2.3. Número reproductivo básico, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68.

4.3.2.4. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.

5. Modelos epidemiológicos para poblaciones estructuradas y/o comunidades . . . . . . . . . . . . . . . .71.

5.1. Modelo epidemiológico para poblaciones heterogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.

5.1.1. Tiempo medio que un individuo permanece infectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73.

5.1.2. Formulación del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74.

6. Modelos preexistentes de la propagación de leptospirosis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77.

6.1. Descripción de la leptospirosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.

6.2. Revisión de los modelos para la leptospirosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78.

6.2.1. Modelado de la leptospirosis en la rata africana, Mastomys natalensis, para

determinar el riesgo en humanos: Fluctuaciones estacionales y el impacto del control del

roedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78.

6.2.2. Un modelo determinista para la propagación de la leptospirosis en Tailandia . . .80.

6.2.3. Modelo matemático para la transmisión de leptospirosis en humanos jóvenes y

adultos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.

6.2.4. Modelando las interacciones entre el vector infectado y la población humana . .82.

6.2.5. Un modelo matemático para la leptospirosis humana y animal . . . . . . . . . . . . . . 83.

7. Modelado matemático de la leptospirosis considerando crecimiento logístico en la población

de ratones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85.

7.1. Formulación del modelo matemático epidemiológico para la leptospirosis . . . . . . . . . . 85.

7.2. Análisis de los equilibrios del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88.

7.3. Formulación del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.

7.4. Simulaciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94.

7.5. Medidas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.

Biografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.

1

CAPÍTULO I

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de

Primer Orden

En el estudio de un problema de Matemática Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres

etapas: la formulación matemática del problema, la resolución del problema matemático y

finalmente la interpretación de los resultados obtenidos. En este capítulo, nos enfocaremos en la

segunda etapa, más específicamente en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de

primer orden.

1.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Definición 1.1. Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con dimensión n (SEDPOn)

es un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones incógnitas

𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡) que dependen de una sola variable independiente t y su representación viene dada

por

{

𝑑𝑥1(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑡, 𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡))

⋮𝑑𝑥𝑛(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1(𝑡)… , 𝑥𝑛(𝑡))

donde 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 son las funciones de las 𝑛 + 1 variables 𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛.

Este sistema puede ser escrito en su forma equivalente

𝑋′ = 𝐹(𝑡, 𝑋)

donde 𝑋: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ𝑛 es la función vectorial 𝑋(𝑡) = (𝑥1(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡))𝑡 cuya derivada es

𝑋′(𝑡) = (𝑑𝑥1(𝑡)

𝑑𝑡, … ,

𝑑𝑥𝑛(𝑡)

𝑑𝑡)

𝑡

y 𝐹(𝑡, 𝑋): 𝐼 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 es la función vectorial 𝐹(𝑡, 𝑋) = (𝑓1(𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛), … , 𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1, … , 𝑥𝑛))𝑡 .

Ejemplo 1.1. El siguiente es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥𝑦 + 2𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥2 + 𝑦

donde 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 2𝑦2 y 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 4𝑥

2 + 𝑦.

2

Definición 1.2. Una solución de SEDPOn es toda función vectorial 𝑋: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ𝑛 cuyas

componentes son las funciones 𝑥1(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) que satisfacen dicho sistema, es decir, a todas y

cada una de las ecuaciones del mismo.

Definición 1.3. Un SEDPOn con condición inicial 𝑋(𝑡0) = 𝑋0 ∈ ℝ

𝑛 con 𝑡0 ∈ 𝐼 tiene la siguiente

formulación

{𝑋′ = 𝐹(𝑡, 𝑋)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0.

1.1.1. Teoremas de existencia y unicidad

Al estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales, lo primero que analizamos, como es

habitual, es la existencia y unicidad de soluciones. A continuación enunciamos los teoremas que nos

garantizan la existencia y unicidad de las soluciones.

Teorema 1.1. Considérese el SEDPOn con condiciones iniciales

{𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0.

Si 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua y acotada en 𝐼 × ℝ𝑛 entonces el problema de valor inicial tiene al menos una

solución en 𝐼.

Teorema 1.2. Considérese el sistema de ecuaciones de primer orden {𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0 𝑡 ∈ 𝐼 ⊆ ℝ.

Si se verifican las condiciones

1. 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua en 𝐼 × ℝ𝑛

2. Se verifica la condición de Lipschitz respecto de la segunda variable en 𝐼 × ℝ𝑛, es decir

existe una constante 𝐿 > 0 tal que para todo 𝑡 ∈ 𝐼 y todo 𝑋 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑌 = (𝑦1, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛

se verifica que |𝐹(𝑡, 𝑋) − 𝐹(𝑡, 𝑌) | ≤ 𝐿|𝑋 − 𝑌|.

Entonces el problema de valor inicial tiene una única solución en 𝐼.

Corolario 1.1. Considérese el sistema de ecuaciones de primer orden {𝑋′(𝑡) = 𝐹(𝑡, 𝑋)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0 𝑡 ∈ 𝐼 ⊆ ℝ.

Si 𝐹(𝑡, 𝑋) es continua en 𝐼 × ℝ𝑛 y para cada 𝑖 = 1,… , 𝑛 existen 𝜕𝑓1

𝜕𝑥𝑖, … ,

𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑥𝑖 y son continuas en

𝐼 × ℝ𝑛. Entonces el problema de valor inicial tiene una única solución en 𝐼.

1.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Definición 1.4. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (SEDPOL) es aquel

SEDPOn en donde las funciones 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 son lineales, es decir, que aparecen relacionadas de

3

forma lineal la variable independiente t, las variables dependientes 𝑥1, … , 𝑥𝑛 y sus primeras

derivadas. Su representación viene dada por

{

𝑑𝑥1(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑎11(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎1𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏1(𝑡)

𝑑𝑥2(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑎21(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎2𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏2(𝑡)

⋮𝑑𝑥𝑛(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑏𝑛(𝑡)

donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ son funciones continuas para todo 𝑖, 𝑗.

Este sistema puede escribirse en su forma matricial

𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)

donde 𝐴(𝑡) = (𝑎11(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)) y 𝑏(𝑡) = (

𝑏1(𝑡)⋮

𝑏𝑛(𝑡)).

Nuevamente el SEDPOL con condición inicial está dado por

{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0.

El teorema de existencia y unidad de las soluciones de un problema de valor inicial para

sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden se puede enunciar de forma similar al

obtenido para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Teorema 1.3. Sean 𝐴(𝑡) una función matricial cuadrada de orden n, 𝑏(𝑡) una función vectorial,

continuas en 𝐼 ⊆ ℝ y sea el problema de valor inicial {𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0 con 𝑡0 ∈ 𝐼.

Entonces existe una única función vectorial que es solución del problema.

1.2.1. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo

Definición 1.5. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneo es un

SEDPOL donde la función 𝑏(𝑡) = 0.

Ejemplo1.2. El siguiente es un sistema homogéneo de dos ecuaciones diferenciales lineales de

primer orden

{

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= 𝑥1 + 2𝑥2

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= 4𝑥1 + 𝑥2

4

Definición 1.6. Se define 𝑆(𝐴) al conjunto de soluciones del SEDPOL homogéneo con condición

inicial dado por

{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0

donde 𝐴(𝑡) es una función continua sobre el intervalo I.

Definición 1.7. Sean 𝑋𝑘(𝑡) = (𝑥𝑘1(𝑡), … , 𝑥𝑘𝑛(𝑡))𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, funciones vectoriales, se denomina

el wronskiano de dichas funciones y se denota por 𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛] a la función definida por el

siguiente determinante:

𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = det (𝑥11(𝑡) … 𝑥𝑛1(𝑡)⋮ ⋱ ⋮

𝑥1𝑛(𝑡) … 𝑥𝑛𝑛(𝑡)) = det [𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡).

La siguiente proposición permite deducir que dado un conjunto de funciones vectoriales el

wronskiano nos brinda información respecto a la relación que hay entre ellas.

Proposición 1.1. Si las funciones 𝑋1, … , 𝑋𝑛 son linealmente dependientes en el intervalo 𝐼 entonces

𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = 0.

Demostración. Como 𝑋1, … , 𝑋𝑛 son linealmente dependientes existen 𝑛 constantes 𝛽1, … , 𝛽𝑛 no

todas nulas, tales que 𝛽1𝑋1(𝑡) + ⋯+ 𝛽𝑛𝑋𝑛(𝑡) = 0, para todo 𝑡 ∈ 𝐼. Supongamos que 𝛽𝑘 ≠ 0

entonces 𝑋𝑘(𝑡) =𝛽1

𝛽𝑘𝑋1(𝑡) + ⋯+

𝛽𝑘−1

𝛽𝑘𝑋𝑘−1(𝑡) +

𝛽𝑘+1

𝛽𝑘𝑋𝑘+1(𝑡) + ⋯+

𝛽𝑛

𝛽𝑘𝑋𝑛(𝑡).

Luego

𝑊[𝑋1, … , 𝑋𝑛](𝑡) = det (𝑋1, . . , 𝑋𝑘−1,𝛽1

𝛽𝑘𝑋1 +⋯+

𝛽𝑘−1

𝛽𝑘𝑋𝑘−1 +

𝛽𝑘+1

𝛽𝑘𝑋𝑘+1 +⋯+

𝛽𝑛

𝛽𝑘𝑋𝑛, 𝑋𝑘+1, … , 𝑋𝑛) = 0.

Teorema 1.4. 𝑆(𝐴) tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n.

Demostración. Sean 𝜑1(𝑡) y 𝜑2(𝑡) dos soluciones particulares cualesquiera de 𝑋′ = 𝐴(𝑡)𝑋. Veamos

que 𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡) y 𝛼. 𝜑1(𝑡) con 𝛼 ∈ ℝ son también soluciones, en efecto:

[𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)] ′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)´ + 𝜑2(𝑡)

′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − 𝐴(𝑡) 𝜑2(𝑡)

= 𝜑1(𝑡)´ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝜑2(𝑡)´ − 𝐴(𝑡) 𝜑2(𝑡) = 0

[𝛼. 𝜑1(𝑡)] ′ − 𝐴(𝑡)[𝛼. 𝜑1(𝑡)] = 𝛼. 𝜑1(𝑡)

′ − 𝛼𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) = 𝛼. [𝜑1(𝑡) ′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡)] = 0.

Luego (𝑆(𝐴),+, . ) tiene estructura de espacio vectorial.

Por último veamos que 𝑆(𝐴) tiene dimensión n, para ello consideremos la base canónica de

ℝ𝑛. Por el Teorema 1.3 existen y son únicas 𝜑1(𝑡) , 𝜑2(𝑡), … , 𝜑𝑛(𝑡) soluciones particulares del

sistema que verifican 𝜑𝑖(𝑡0) = 𝑒𝑖. Como {𝑒𝑖: 𝑖 = 1,… , 𝑛} son linealmente independientes como

vectores de ℝ𝑛 entonces son {𝜑𝑖(𝑡): 𝑖 = 1,… , 𝑛} linealmente independientes como funciones

de 𝑆(𝐴). Como hay n soluciones linealmente independientes la dimensión de 𝑆(𝐴) es al menos n.

5

Supongamos que 𝜑(𝑡) es otra solución del problema tal que 𝜑(𝑡0) = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)𝑡, como

𝑆(𝐴) tiene estructura de espacio vectorial entonces 𝑎1𝜑1(𝑡) + a2𝜑2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝜑𝑛(𝑡) = 𝑋(𝑡) es

también solución y además cumple que:

𝑋(𝑡0) = 𝑎1𝜑1(𝑡0) + a2𝜑2(𝑡0) + ⋯+ 𝑎𝑛𝜑𝑛(𝑡0) = 𝑎1(1,0, … ,0)𝑡 + a2(0,1,0, … ,0)

𝑡 +⋯+

𝑎𝑛(0, … ,0,1)𝑡 = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)

𝑡 = 𝜑(𝑡0).

Pero por el Teorema 1.3. 𝑋(𝑡) = 𝜑(𝑡). Luego cualquier otra solución del problema puede ser

escrita como combinación lineal de n funciones soluciones linealmente independientes. Así, esas n

funciones vectoriales 𝜑1(𝑡) , 𝜑2(𝑡),… , 𝜑𝑛(𝑡) constituyen una base del espacio vectorial de

soluciones 𝑆(𝐴) y por lo tanto la dimensión de 𝑆(𝐴) es n.

Definición 1.8. Una matriz solución de un SEDPOL homogéneo es aquella matriz Φ en la que cada

columna es solución al sistema, es decir que cumpla

Φ′(t) = A(t)Φ(t).

Definición 1.9. Una matriz fundamental es una matriz solución cuyas columnas forman un conjunto

de soluciones linealmente independientes.

Proposición 1.2. Una matriz solución Φ = [φ1(t), … , φn(t)] definida en el intervalo I es matriz

fundamental si y sólo si det(Φ) ≠ 0, ∀t ∈ I.

Demostración. Sea Φ = [φ1(t), … ,φn(t)] la matriz fundamental y supongamos ∃t0 ∈ 𝐼 tal que

0 = det(Φ(t0)) = 𝑑𝑒𝑡[φ1(t0), … ,φn(t0)] entonces alguna columna de dicho determinante es

combinación lineal de las otras, supongamos sin pérdida de generalidad que

φ1(t0) = 𝑎2φ2(t0) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t0).

Sea φ(t) = −φ1(t) + 𝑎2φ2(t) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t) definida en todo el intervalo I entonces es

solución al sistema de ecuaciones por ser combinación lineal de las soluciones linealmente

independientes y además φ(t0) = 0 luego por el Teorema 1.3 para todo 𝑡 ∈ 𝐼, φ(t) = 0 pues la

función nula verifica las ecuaciones del sistema y cumple con la condición que en t0 sea cero.

Entonces si 0 = φ(t) = −φ1(t) + 𝑎2φ2(t) + ⋯+ 𝑎𝑛φn(t) implica que φ1(t) = 𝑎2φ2(t) + ⋯+

𝑎𝑛φn(t) pero esto contradice el hecho que φ1(t), … , φn(t) sean linealmente independientes. Luego

det(Φ) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ 𝐼.

Recíprocamente supongamos Φ(t) = [φ1(t), … , φn(t)] es la matriz solución y el det(Φ) ≠ 0

busquemos 𝛽1, … , 𝛽𝑛 valores reales, tales que ∀𝑡 ∈ 𝐼, 𝛽1φ1(𝑡) + ⋯+ 𝛽𝑛φ𝑛(𝑡) = 0. Como el

determinante es distinto del cero este sistema es compatible determinado, es decir, hay una única

solución y como 𝛽1 = ⋯ = 𝛽𝑛 = 0 cumple dicha igualdad entonces φ1(t), … , φn(t) son linealmente

independientes y así Φ es una matriz fundamental.

Definición 1.10. Un conjunto fundamental del sistema 𝑋´(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) es el conjunto

{φ1(t), … , φn(t)} de n soluciones linealmente independientes.

6

Teorema 1.5. Dado un conjunto fundamental {φ1(t), … , φn(t)}, cualquier solución del

sistema X´(t) = A(t)X(t) es combinación lineal de él, es decir la solución general del problema será

X(t) = C1φ1(t) + ⋯+ Cnφn(t) = Φ(t)K

donde K = (C1, … , Cn)t ∶ Ci ∈ ℝ.

Demostración. Sea {φ1(t), … , φn(t)} el sistema fundamental del sistema 𝑋´(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡)

entonces φi(t) ∈ 𝑆(𝐴) para cada 𝑖 = 1, … , 𝑛. Como 𝑆(𝐴) tiene una estructura de espacio vectorial

entonces 𝐶1φ1(t) + ⋯+ 𝐶𝑛φn(t) = 𝑋(𝑡) con 𝐶𝑖 ∈ ℝ es solución al problema. Si escribimos

Φ(t) = [φ1(t), … , φn(t)] y K = (C1, … , Cn)t ∶ 𝐶𝑖 ∈ ℝ se tiene que 𝑋(𝑡) = Φ(t)K.

1.2.2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo

Definición 1.11. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneo es

un SEDPOL donde la función 𝑏(𝑡) ≠ 0.

Ejemplo1.3. El siguiente es un sistema homogéneo de dos ecuaciones diferenciales lineales de

primer orden

{

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑡

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= −7𝑥1 + 𝑥2 − 4𝑡2

Definición 1.12. Se define 𝑇(𝐴) al conjunto de soluciones del SEDPOL no homogéneo con condición

inicial dado por

{𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0

donde 𝐴(𝑡) y 𝑏(𝑡) son funciones continuas sobre el intervalo I.

Teorema 1.6. 𝑇(𝐴) tiene estructura de espacio afín asociado al espacio vectorial 𝑆(𝐴).

Demostración. Sean 𝜑1(𝑡), 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴) y 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴) veamos que 𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴) y que

𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴), en efecto:

[𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡)]′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)

′ − 𝜑2(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝐴(𝑡)𝜑2(𝑡)

= 𝜑1(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − [𝜑2(𝑡)

′ − 𝐴(𝑡)𝜑2(𝑡)]

= 𝑏(𝑡) − 𝑏(𝑡) = 0.

Luego 𝜑1(𝑡) − 𝜑2(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴).

[𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡)]′ − 𝐴(𝑡)[𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡)] = 𝜑1(𝑡)

′ − 𝜑0(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) + 𝐴(𝑡)𝜑0(𝑡)

= 𝜑1(𝑡)′ − 𝐴(𝑡)𝜑1(𝑡) − [𝜑0(𝑡)

′ − 𝐴(𝑡)𝜑0(𝑡)]

= 𝑏(𝑡) − 0 = 𝑏(𝑡).

Luego 𝜑1(𝑡) − 𝜑0(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴).

7

Teorema 1.7. Dado el sistema no homogéneo 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) con 𝐴(𝑡) y 𝑏(𝑡) funciones

continuas sobre el intervalo I, si 𝜑𝑝(𝑡) es una solución particular de dicho sistema

y Φ(t) una matriz fundamental del sistema homogeneizado, es decir, 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) entonces la

solución general del sistema completo es

𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾

con K una matriz columna de constantes reales arbitrarias.

Demostración. Probemos primero que 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾 es solución del sistema completo; en

efecto,

𝜑′(𝑡) = 𝜑𝑝′(𝑡) + Φ′(t)𝐾 = 𝐴(𝑡)𝜑𝑝(𝑡) + 𝑏(𝑡) + 𝐴(𝑡)Φ(t)𝐾 = 𝐴(𝑡)[𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾] + 𝑏(𝑡)

= 𝐴(𝑡)𝜑(𝑡) + 𝑏(𝑡).

Luego todas las funciones vectoriales de la forma 𝜑(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)𝐾 son solución del

sistema no homogéneo. Probemos que cualquier solución es de esta forma.

Supongamos que 𝛽(𝑡) es una solución arbitraria de 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) entonces

𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) es solución del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) pues 𝛽(𝑡) , 𝜑𝑝(𝑡) ∈ 𝑇(𝐴) y 𝑇(𝐴) es espacio

afín asociado a 𝑆(𝐴) entonces 𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) ∈ 𝑆(𝐴). Luego si {𝜑1(𝑡), … , 𝜑𝑛(𝑡)} forman un

conjunto fundamental para el sistema homogéneo por Teorema 1.5, existen constantes arbitrarias

C1, … , 𝐶𝑛 ∈ ℝ: 𝛽(𝑡) − 𝜑𝑝(𝑡) = 𝐶1𝜑1(t) + ⋯+ 𝐶𝑛𝜑𝑛(t) = Φ(t)K donde K = (C1, … , Cn)t ∶ 𝐶𝑖 ∈ ℝ.

Así 𝛽(𝑡) = 𝜑𝑝(𝑡) + Φ(t)K .

Esto significa que cualquier solución del sistema completo es suma de una solución particular

de éste y de una solución del sistema homogéneo que era lo que queríamos demostrar.

1.2.3. Método de variación de parámetros

Utilizaremos el método de variación de parámetros para obtener una solución particular del

sistema no homogéneo. Éste consiste en proponer una solución para el sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑋(𝑡) +

𝑏(𝑡) de la siguiente forma 𝜑𝑝(𝑡) = Φ(t)𝐾(𝑡) donde Φ(t) es la matriz fundamental de soluciones

del sistema homogéneo asociado y 𝐾(𝑡) un vector cuyas componentes dependen de la variable 𝑡.

Para que 𝜑𝑝(𝑡) = Φ(t)𝐾(𝑡) sea solución debe satisfacer

𝜑𝑝′(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝜑𝑝(𝑡) + 𝑏(𝑡).

Sustituyendo por la expresión propuesta:

Φ′(𝑡)𝐾(𝑡) + Φ(t)𝐾′(𝑡) = 𝐴(𝑡)Φ(t)𝐾(𝑡) + 𝑏(𝑡)

Φ′(𝑡)𝐾(𝑡) − 𝐴(𝑡)Φ(𝑡)𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)

[Φ′(𝑡) − 𝐴(𝑡)Φ(𝑡)]𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)

0. 𝐾(𝑡) + Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡).

Luego para que 𝜑𝑝(𝑡) sea solución particular del sistema no homogéneo debe ocurrir que

8

Φ(𝑡)𝐾′(𝑡) = 𝑏(𝑡)

al ser Φ(𝑡) es una matriz inversible se tiene que

𝐾′(𝑡) = Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡).

Integrando obtenemos

∫𝐾′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡

𝐾(𝑡) = ∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡.

Luego 𝜑𝑝(𝑡) tiene la siguiente expresión general:

𝜑𝑝(𝑡) = Φ(𝑡)∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡

siendo la solución general del sistema no homogéneo:

𝜑(𝑡) = Φ(t)K + Φ(𝑡)∫Φ−1(𝑡)𝑏(𝑡)𝑑𝑡.

1.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

En esta sección se desarrollará una forma de obtener analíticamente las soluciones de los

sistemas lineales homogéneos de primer orden y de coeficientes constantes, es decir, buscar un

sistema fundamental de soluciones de dicho sistema o equivalentemente, una matriz fundamental

de soluciones.

Definición 1.13. Un SEDPOL con coeficientes constantes es un sistema cuya forma está dada por

𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) donde los coeficientes de A son números reales, es decir, no depende de la variable

independiente t.

Cuando trabajábamos con una ecuación diferencial de primer orden lineal homogénea es

decir, x′(t) = ax(t) con x: I ⊆ ℝ → ℝ y a ∈ ℝ, la solución general de dicha ecuación es la función

x(t) = ceat siendo c una constante arbitraria. Luego cualquier solución de esta ecuación se obtiene

como combinación lineal de la solución eat. Como eat ≠ 0, ∀t ∈ ℝ entonces {eat} es el conjunto

fundamental de soluciones y la matriz fundamental es Φ(t) = [eat] de tamaño 1 × 1.

Generalizando este resultado para el caso de sistemas lineales homogéneos de dimensión n

con coeficientes constantes X′(t) = AX(t) la solución general del sistema sería X(t) = CetA con C

un vector arbitrario y la matriz fundamental de soluciones sería

Φ(t) = etA

donde 𝑒𝑡𝐴 puede ser expresada mediante la siguiente serie de potencias

𝑒𝑡𝐴 =∑𝑡𝑖𝐴𝑖

𝑖!

∞

𝑖=0

9

La siguiente proposición nos dice que X(t) = etA es una matriz de soluciones del sistema

X′(t) = AX(t). Además nos da una expresión para la solución del problema de condiciones iniciales.

Proposición 1.3. Sea 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz. Entonces

1. 𝑑𝑒𝑡𝐴

𝑑𝑡= 𝐴𝑒𝑡𝐴.

2. La función vectorial 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 es la única solución del problema de

condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0.

Demostración. Para probar la primera parte derivamos la serie de potencias 𝑒𝑡𝐴 = ∑𝑡𝑖𝐴𝑖

𝑖!

∞𝑖=0 , es

decir,

𝑑𝑒𝑡𝐴

𝑑𝑡=∑

𝑖𝑡𝑖−1𝐴𝑖

𝑖!

∞

𝑖=1

=∑(𝑘 + 1)𝑡𝑘𝐴𝑘+1

(𝑘 + 1)!

∞

𝑘=0

= 𝐴∑𝑡𝑘𝐴𝑘

𝑘!

∞

𝑘=0

= 𝐴𝑒𝑡𝐴.

Y para probar la segunda parte derivamos 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0, es decir,

𝑑𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0𝑑𝑡

= 𝑋0𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝑒−𝐴𝑡0

𝑑𝑡= 𝑋0𝑒

−𝐴𝑡0𝐴𝑒𝑡𝐴 = 𝑋0𝐴𝑒𝐴(𝑡−𝑡0) = 𝐴𝑋(𝑡).

Además 𝑋(𝑡0) = 𝑒0𝐴𝑋0 = 𝑋0, con lo cual se cumple la condición inicial.

Proposición 1.4. Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices de dimensión 𝑛 × 𝑛. Entonces:

a. A conmuta con 𝑒𝐴.

b. Si 𝐴 y 𝐵 conmutan entonces 𝑒𝐴+𝐵 = 𝑒𝐴. 𝑒𝐵 .

c. 𝑒𝐴 es no singular y su inversa es 𝑒−𝐴.

Teorema 1.8. Si 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) es un sistema homogéneo de coeficientes constantes entonces la

solución general de este sistema es 𝑋(𝑡) = 𝐶Φ(𝑡)donde Φ(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 es su matriz fundamental y

𝐶 ∈ ℝ𝑛 un vector arbitrario de n componentes.

Demostración. Por Proposición 1.3 la matriz 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 es una matriz de soluciones del sistema

𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Bastará probar que sus columnas son linealmente independientes, es decir,

𝑑𝑒𝑡(𝑒𝑡𝐴) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ ℝ.

Por Proposición 1.4.c ∀𝑡 ∈ ℝ la matriz 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴 tiene inversa, y ésta es 𝑋(𝑡)−1 = 𝑒−𝑡𝐴.

En efecto,

𝑋(𝑡). 𝑋(𝑡)−1 = 𝑒𝑡𝐴. 𝑒−𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝐴−𝑡𝐴 = 𝑒𝐼 = 𝐼𝑛.

Teniendo en cuenta que

𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡). 𝑋(𝑡)−1) = 𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡)) . 𝑑𝑒𝑡(𝑋(𝑡)−1) = 𝑑𝑒𝑡(𝐼𝑛) = 1

entonces 𝑑𝑒𝑡(𝑒𝑡𝐴) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ ℝ .

A continuación se mostrará la forma que toma la matriz fundamental de soluciones del

sistema homogéneo de coeficientes constantes en relación a los valores propios de la matriz 𝐴.

10

Caso 1. La matriz 𝐴 tiene un único valor propio

Proposición 1.5. Sea 𝐴𝑛×𝑛 una matriz que tiene un único valor propio 𝜆. Entonces hay un número

entero 𝑘 ≤ 𝑛 tal que la matriz fundamental de soluciones es

𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝜆 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2

2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

2 +⋯+𝑡𝑘

𝑘!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

𝑘).

Y la solución general del problema de condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0está dada por

𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝜆 (𝐼𝑛 + (𝑡 − 𝑡0)(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +(𝑡 − 𝑡0)

2

2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

2 +⋯+(𝑡 − 𝑡0)

𝑘


𝑘)𝑋0.

Demostración. Supongamos que 𝜆 es el único valor propio que la matriz 𝐴 tiene entonces escribimos

𝐴 = 𝜆𝐼𝑛 + 𝐴 − 𝜆𝐼𝑛

por Proposición 1.4.b

𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡(𝜆𝐼𝑛+𝐴−𝜆𝐼𝑛) = 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛𝑒𝑡(𝐴−𝜆𝐼𝑛).

Además:

𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛 =∑(𝑡𝜆)𝑖𝐼𝑛

𝑖

𝑖!=

∞

𝑖=0

∑(𝑡𝜆)𝑖𝐼𝑛𝑖!

∞

𝑖=0

= 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛

𝑒𝑡(𝐴−𝜆𝐼𝑛) =∑𝑡𝑖(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

𝑖

𝑖!

∞

𝑖=0

= 1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2

2(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

2 +⋯

Volviendo a la igualdad anterior

𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝑡𝜆𝐼𝑛 (1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2


2 +⋯)

= 𝑒𝑡𝜆 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2


2 +⋯).

Por el Teorema de Hamilton-Cayley si en el polinomio característico de 𝐴 es 𝜌(𝑥) sustituimos 𝑥 por

𝐴 obtenemos siempre la matriz cero. Como nuestra matriz tiene un único valor propio su polinomio

característico es 𝜌(𝑥) = (𝑥 − 𝜆)𝑛 entonces 𝜌(𝐴) = (𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)𝑛 = 0. Luego la serie 𝑒𝑡𝐴 tiene todos

sus sumandos igual a cero a partir del n-ésimo. De hecho, puede suceder que los sumandos sean

ceros antes del n-ésimo, pero con seguridad, a partir de éste, todos los sumandos son cero.

Entonces hay un número entero 𝑘 ≤ 𝑛 tal que

𝑒𝑡𝐴 = 𝑒𝜆𝑡(𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +𝑡2

2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

2 +⋯+𝑡𝑘


𝑘)

Por proposición 1.3 la solución general del problema de condiciones iniciales {𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0 está

dada por 𝑋(𝑡) = 𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 y su expresión viene dada por

11

𝑒(𝑡−𝑡0)𝐴𝑋0 = 𝑒𝜆(𝑡−𝑡0) (𝐼𝑛 + (𝑡 − 𝑡0)(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) +

(𝑡 − 𝑡0)2

2!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

2 +⋯

+(𝑡 − 𝑡0)

𝑘


𝑘)𝑋0

donde 𝑘 ≤ 𝑛 por lo expuesto anteriormente.

Ejemplo 1.4. Dado el siguiente sistema

(

𝑥1′(𝑡)

𝑥2′ (𝑡)

𝑥3′ (𝑡)

) = (0 −1 04 4 0−1 −1 2

)(

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)

),

encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general.

Lo primero que hacemos es buscar los valores propios:

|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(0 −1 04 4 0−1 −1 2

) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1

)| = (𝜆 − 2)3 = 0.

La proposición 1.5 nos asegura que hay un valor 𝑘 ≤ 3 tal que (𝐴 − 2𝐼3)𝑘 = 0 y haciendo las

cuentas resulta que en 𝑘 = 3 ocurre esa igualdad.

Por lo tanto la matriz fundamental de soluciones es

𝑒𝑡𝐴 = 𝑒2𝑡(𝐼3 + 𝑡(𝐴 − 2𝐼3) +𝑡2

2(𝐴 − 2𝐼3)

2 = 𝑒2𝑡(

1 − 2𝑡 −𝑡 04𝑡 1 + 2𝑡 0

−𝑡 − 𝑡2 −𝑡 −𝑡2

21

).

La solución general del sistema será

𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑒2𝑡 (

1 − 2𝑡4𝑡

−𝑡 − 𝑡2) + 𝑐2𝑒

2𝑡 (

𝑡1 + 2𝑡

−𝑡 −𝑡2

2

) + 𝑐2 𝑒2𝑡 (

001).

Caso 2. La matriz 𝐴 tiene múltiples valores propios todos distintos

De la Proposición 1.5 obtenemos la matriz fundamental de soluciones cuando la matriz del

sistema tiene un solo valor propio, pero falla cuando tiene varios valores propios distintos, entonces

buscamos obtener un resultado similar, es decir, algo que nos permita que los sumandos de la serie

de potencias de et(A−λIn)sean cero a partir de uno dado.

Hasta ahora vimos que una matriz fundamental de soluciones del sistema X′(t) = AX(t) es

Φ(t) = etA. Pero hay muchas otras posibles.

En realidad para conseguir una matriz fundamental de soluciones lo que necesitamos es un

sistema fundamental de soluciones. Una forma de obtenerlo es a partir de n vectores v1, … , vn que

sean linealmente independientes. En efecto, probemos que la matriz X(t) = etAV con V =

[v1…vn]n×n también es una matriz fundamental de soluciones.

Como v1, … , vn son linealmente independientes entonces det (V) ≠ 0 y luego det(X(t)) =

det(etA) det (V) ≠ 0.

12

A demás X′(t) = AetAV = AX(t). Es decir, X(t) = etAV es una matriz de soluciones y su

determinante es distinto de cero para todo t ∈ ℝ. Esto es, es una matriz fundamental de soluciones.

Ahora bien, entre todos los posibles sistemas de n vectores linealmente independientes, que

son infinitos, nos interesan aquellos que hagan que etAv sea expresable analíticamente de forma

sencilla. Resulta que los vectores propios asociados a los valores propios cumplen esta condición.

Proposición 1.6. Sean 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz, 𝜆1, … , 𝜆𝑛 sus valores propios todos distintos y 𝑣1, … , 𝑣𝑛

los vectores propios asociados a cada autovalor respectivamente. Entonces 𝑣1, … , 𝑣𝑛 son

linealmente independientes y {𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑛(𝑡) = 𝑣𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡} es el sistema fundamental de

soluciones del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) y por lo tanto la solución general de dicho sistema es

𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡

donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias.

Demostración. Sean 𝐴 una 𝑛 × 𝑛 matriz, 𝜆1, … , 𝜆𝑛 sus valores propios todos distintos y 𝑣1, … , 𝑣𝑛 los

vectores propios asociados a cada autovalor respectivamente, entonces usando un resultado

general de Álgebra lineal que nos asegura que a valores propios distintos les corresponde vectores

propios linealmente independientes probamos que 𝑣1, … , 𝑣𝑛 son linealmente independientes.

Además, si 𝜆1 es un valor propio de A y 𝑣1 uno cualquiera de sus vectores propios asociados

entonces

𝑒𝑡𝐴𝑣1 = 𝑒𝑡𝜆1 (𝐼𝑛 + 𝑡(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛) +

𝑡2

2(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)

2 +⋯)𝑣1

= 𝑒𝑡𝜆1 (𝑣1 + 𝑡(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 +𝑡2

2(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)

2𝑣1 +⋯) = 𝑒𝜆1𝑡𝑣1.

Esta última igualdad se da pues 𝑣1 es un vector propio de 𝐴 asociado a 𝜆1, y cumple que (𝐴 −

𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 = 0.

Pero entonces (𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)2𝑣1 = (𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)(𝐴 − 𝜆1𝐼𝑛)𝑣1 = 0 y así sucesivamente en esa suma

infinita sólo sobrevive el término 𝑒𝜆1𝑡𝑣1.

Dado que 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑉 es la matriz fundamental de soluciones del sistema, con 𝑉 =

[𝑣1, … , 𝑣𝑛] la matriz cuyas columnas son los vectores propios de 𝐴, por lo recién probado

𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑉 = [𝑒𝑡𝐴𝑣1, … , 𝑒𝑡𝐴𝑣𝑛] = [𝑒

𝜆1𝑡𝑣1, … , 𝑒𝜆𝑛𝑡𝑣𝑛].

El sistema fundamental de soluciones son las columnas de dicha matriz así

{𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑛(𝑡) = 𝑣𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡}.

La solución general del sistema es

𝑋(𝑡) = 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛𝑒

𝜆𝑛𝑡

donde 𝑐1, … , 𝑐𝑛 son constantes arbitrarias.

13


(

𝑥1′(𝑡)

𝑥2′ (𝑡)

𝑥3′ (𝑡)

) = (−1 2 10 −1 0−1 −3 −3

)(


),

encontrar la matriz fundamental de soluciones y la solución general correspondiente.

Lo primero que hacemos es buscar los valores propios y sus correspondientes vectores propios:

|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−1 2 10 −1 0−1 −3 −3

) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1

)| = −(𝜆 − 2)(𝜆 − 5)(𝜆 − 7) = 0.

Luego, el vector asociado al autovalor:

𝜆1 = 2 es 𝑣1 = (7,−5,−5)𝑡

𝜆2 = 5 es 𝑣2 = (7,−3, −5)𝑡

𝜆3 = 7 es 𝑣3 = (4, 0, −5)𝑡 .

Por lo cual, la matriz fundamental de soluciones está dada por:

Φ(𝑡) = (7𝑒2𝑡 7𝑒5𝑡 4𝑒7𝑡

−5𝑒2𝑡 −3𝑒5𝑡 0−5𝑒2𝑡 −5𝑒5𝑡 −5𝑒7𝑡

)

y la solución general es:

X(𝑡) = 𝑐1𝑒2𝑡 (

7−5−5) + 𝑐2𝑒

5𝑡 ( 7−3−5) + 𝑐3𝑒

7𝑡 ( 4 0−5).

Caso 3. La matriz 𝐴 tiene múltiples valores propios algunos repetidos.

Sea 𝜌(𝑥) = (𝑥 − 𝜆1)𝑚(𝑥 − 𝜆2)

𝑘(𝑥 − 𝜆3)ℎ el polinomio característico de la matriz 𝐴𝑛×𝑛,

donde 𝑚+ 𝑘 + ℎ = 𝑛 entonces puede ocurrir:

A) La multiplicidad algebraica (𝑚𝑎) de cada autovalor es igual a su multiplicidad geométrica (𝑚𝑔),

es decir, 𝑚𝑎(𝜆𝑖) = 𝑚𝑔(𝜆𝑖)∀𝑖.

Luego para el autovalor 𝜆𝑖 tengo 𝑚𝑔(𝜆𝑖) vectores propios y entonces existen 𝑚𝑔(𝜆𝑖) soluciones

linealmente independientes como las propuestas por la proposición 1.5. para 𝜆𝑖.

B) Supongamos sin pérdida de la generalidad que 𝑚𝑎(𝜆1) = 𝑚 > 𝑚𝑔(𝜆1) = 𝑟 y que los restantes

satisfacen A).

Luego para el autovalor 𝜆1 tengo 𝑣1, … , 𝑣𝑟 vectores propios y

𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡, … , 𝑥𝑟(𝑡) = 𝑣𝑟𝑒

𝜆1𝑡 son soluciones linealmente independientes. Por otro lado, estos

vectores propios se caracterizan por anular los coeficientes de la serie de potencias 𝑒𝑡(𝐴−𝜆1𝐼𝑛) a

partir del segundo sumando.

14

Los 𝑚 − 𝑟 vectores linealmente independientes restantes que producen el truncamiento a

partir de algún otro sumando son los vectores propios generalizados de A. Éstos son las soluciones

linealmente independientes del siguiente sistema

(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑣 = 0

donde 𝑝 > 1 y 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝 = 𝑛 −𝑚𝑎(𝜆1). Así obtenemos los m vectores linealmente

independientes asociados a 𝜆1.

En base a este desarrollo se puede enunciar la siguiente proposición.

Proposición 1.7. Sean 𝐴𝑛×𝑛 una matriz y 𝜆1, … , 𝜆𝑠 sus valores propios donde 𝑠 < 𝑛 . Sean 𝑞1, … , 𝑞𝑠

sus multiplicidades algebraicas respectivamente, 𝑣𝑖1, … , 𝑣𝑖𝑞𝑖 vectores linealmente independientes

asociados de 𝜆𝑖 y 𝑥𝑖𝑗(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣𝑖𝑗 satisface el sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) . Entonces la solución general

del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) es:

𝑋(𝑡) = 𝑐11𝑥11(𝑡) + ⋯+ 𝑐1𝑞1𝑥1𝑞1(𝑡)+⋯+ 𝑐𝑠1𝑥𝑠1(𝑡) + ⋯+ 𝑐𝑠𝑞𝑠𝑥𝑠𝑞𝑠(𝑡)

donde 𝑐𝑖𝑗 son constantes arbitrarias.


(

𝑥1′(𝑡)

𝑥2′ (𝑡)

𝑥3′ (𝑡)

) = (3 2 42 0 24 2 3

)(


),



|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(3 2 42 0 24 2 3

) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1

)| = −(𝜆 + 1)2(𝜆 − 8) = 0.

Para el autovalor 𝜆1 = −1 se cumple que 𝑚𝑔(𝜆1) = 𝑚𝑎(𝜆1) = 2 y sus autovectores son 𝑣1 =

(2,1,2)𝑡 y 𝑣2 = (1,0,−1)𝑡.

Para el autovalor 𝜆2 = 8 su autovector es 𝑣3 = (0,2,−1)𝑡.

Luego la matriz fundamental de soluciones está dada por:

Φ(𝑡) = (2𝑒−𝑡 𝑒−𝑡 0𝑒−𝑡 0 2𝑒8𝑡

2𝑒−𝑡 −𝑒−𝑡 −𝑒8𝑡)


X(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 (

212) + 𝑐2𝑒

−𝑡 ( 1 0−1) + 𝑐3𝑒

8𝑡 ( 0 2−1).

15


(

𝑥1′(𝑡)

𝑥2′ (𝑡)

𝑥3′ (𝑡)

) = (−1 2 10 −1 0−1 −3 −3

)(


),



|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−1 2 10 −1 0−1 −3 −3

) − 𝜆 (1 0 00 1 00 0 1

)| = (𝜆 + 2)2(𝜆 + 1) = 0.

Para el autovalor:

𝜆1 = −1 su autovector es 𝑣1 = (1,1,−2)𝑡 y se tiene que 𝑚𝑎(𝜆1) = 1 = 𝑚𝑔(𝜆1).

𝜆2 = −2 su autovector es 𝑣2 = (1,0,−1)𝑡 siendo 𝑚𝑔(𝜆1) = 1 < 𝑚𝑎(𝜆1) = 2.Dado que el

subespacio propio debe tener dimensión 2 nos está faltando encontrar uno de los vectores

generadores. Para hallarlo debemos resolver el sistema:

(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑣 = 0

determinando previamente el valor de 𝑝 tal que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝜆1𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝 = 3 − 2 = 1.

Dado que la condición se cumple con 𝑝 = 2 el sistema a resolver es:

(−2𝐼𝑛 − 𝐴)2𝑣 = (

0 1 00 1 00 −2 0

)(

𝑎1𝑎2𝑎3) = 0.

Luego 𝑎2 = 0 y 𝑎1, 𝑎3 son libres, es decir

𝑣 = (

𝑎10𝑎3).

Si 𝑎1 = 1 y 𝑎3 = −1 obtenemos el autovector 𝑣2. Para el restante vector linealmente

independiente tenemos muchas posibles elecciones. Siempre es una buena idea escoger una muy

simple; por ejemplo 𝑎1 = 1, 𝑎3 = 0, luego a𝑣3 = (1,0,0)𝑡.

Ya tenemos los tres vectores, lo que resta en construir las soluciones a partir de ellos. En el

caso de los dos primeros vectores, como ellos anulan todos los términos de la serie de potencias a

partir del término de primer grado la soluciones son inmediatas siendo:

𝑥1(𝑡) = (𝑒−𝑡

𝑒−𝑡

−2𝑒−𝑡) = 𝑒−𝑡 (

11−2) y 𝑥2(𝑡) = (

𝑒−2𝑡

0−𝑒−2𝑡

) = 𝑒−2𝑡 (10−1).

El tercer vector, cumple (𝐴 + 2𝐼3)2𝑣3 = 0 luego la serie se reduce a:

𝑒−𝑡𝐴𝑣3 = 𝑒−2𝑡(𝑣3 + 𝑡(𝐴 + 2𝐼3)𝑣3)

obteniéndose:

𝑒−𝑡𝐴𝑣3 = 𝑒−2𝑡(𝑣3 + 𝑡(𝐴 + 2𝐼3)𝑣3) = 𝑒

−2𝑡 (1 + 𝑡0−𝑡

).

Luego la matriz fundamental de soluciones está dada por

16

Φ(𝑡) = (𝑒−𝑡 𝑒−2𝑡 𝑒−2𝑡(1 + 𝑡)

𝑒−𝑡 0 0−2𝑒−𝑡 −𝑒−2𝑡 −𝑡𝑒−2𝑡

)


X(𝑡) = 𝑐1𝑒−𝑡 (

11−2) + 𝑐2𝑒

−2𝑡 (10−1) + 𝑐3𝑒

−2𝑡 ((1 + 𝑡)0−𝑡

).

Caso 4. La matriz 𝐴 tiene valores propios complejos.

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

X′(t) = AX(t)

donde A es una matriz de valores reales que tiene algunos valores propios complejos.

Antes de abocarnos a la resoluciones del sistema de ecuaciones diferenciales es importante

recordar que si 𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖 es un valor propio de 𝐴 entonces también su conjugado �̅� = 𝛼 − 𝛽𝑖 lo es

y además si 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un vector propio asociado a 𝜆 entonces �̅� = 𝑎 − 𝑏𝑖 es un vector propio

asociado a �̅�.

Para encontrar las soluciones del sistema X′(𝑡) = 𝐴X(𝑡) procedemos a realizar los siguientes

pasos:

1. Encontrar los autovalores de 𝐴 y estudiar de cada uno su multiplicidad algebraica y

geométrica.

2. Encontrar el número entero más pequeño tal que 𝑟𝑎𝑛𝑔(λIn − 𝐴)𝑝 = 𝑛 − 𝑞, donde

𝑞 = 𝑚𝑎(λ).

3. Hallar 𝑞 vectores 𝑤1, … ,𝑤𝑞 linealmente independientes que sean solución del

sistema (𝜆𝐼𝑛 − 𝐴)𝑝𝑤 = 0. Estos vectores serán, en general, complejos.

4. Para cada vector 𝑤𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞 tenemos la solución compleja

𝑧𝑗(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑤𝑗 = 𝑒

𝑡λ(𝑤𝑗 + 𝑡(𝐴 − λIn)𝑤𝑗 +⋯+𝑡𝑝−1

(𝑝 − 1)!(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛)

𝑝−1wj

dado que λ y 𝑤𝑗son complejos.

5. Para obtener soluciones reales hacemos 𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒[𝑧𝑗(𝑡)] y 𝑦𝑗(𝑡) = 𝐼𝑚[𝑧𝑗(𝑡)] para

1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞. Obtenemos así 2𝑞 soluciones para los valores propios conjugados λ y λ̅. Empleando la

fórmula de Euler cada una de las soluciones 𝑥𝑗(𝑡), 𝑦𝑗(𝑡) tiene la siguiente forma:

𝑒𝛼𝑡[𝑃(𝑡) cos(𝛽𝑡) + 𝑄(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡)] siendo P y Q polinomios de grado menor que 𝑞.


(

𝑥1′(𝑡)

𝑥2′ (𝑡)

𝑥3′ (𝑡)

𝑥4′ (𝑡))

= (

6 6 −3−4 −4 281

70

−4−1

204−2

)(

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)𝑥4(𝑡)

),


17


|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(

6 6 −3−4 −4 281

70

−4−1

204−2

) − 𝜆(

1 0 00 1 000

00

10

0001

)| = (𝜆 + 1 + 𝑖)2(𝜆 + 1 − 𝑖)2 = 0.

Para el autovalor:

𝜆1 = −1 − 𝑖 con 𝑚𝑎(λ1) = 2 y su autovector es 𝑣1 = (1,0,2, −𝑖+1

2)𝑡

.

𝜆2 = −1 + 𝑖 con 𝑚𝑎(λ2) = 2 y su autovector es 𝑣2 = (1,0,2,𝑖−1

2)𝑡

.

Se puede apreciar que los autovalores son conjugados. Además como sólo obtenemos un

vector propio para cada uno de ellos (también podemos ver que son conjugados), su multiplicidad

geométrica es 1. Necesitamos un vector propio generalizado.

Como 𝑟𝑎𝑛𝑔(2𝐼𝑛 − 𝐴)2 = 2 = 4 − 2 luego 𝑝 = 2 y entonces (𝜆2𝐼𝑛 − 𝐴)

2𝑣 = 0 tiene dos soluciones

linealmente independientes veamos cuales son:

(𝜆2𝐼𝑛 − 𝐴)2𝑣 = (

2 − 14𝑖 3 − 12𝑖 −2 + 6𝑖8𝑖 −2 + 6𝑖 −4𝑖

8 − 16𝑖−2 − 2𝑖

6 − 14𝑖−1

−6 + 6𝑖1 + 2𝑖

−4𝑖0−8𝑖

−2 + 2𝑖

)(

𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4

) = 0.

Hallamos la solución general de este sistema:

𝑣 =

(

𝑖(𝑎3 + 8𝑎4) + 7𝑎3 + 4𝑎48

−𝑎3 + 2𝑖𝑎4 + 2𝑎4

2𝑎3𝑎4 )

.

Si 𝑎3 = 2, 𝑎4 = 𝑖 − 1 tenemos el autovector asociado a 𝜆2 calculado. Para el restante vector

linealmente independiente tenemos muchas posibles elecciones; por ejemplo 𝑎3 = 0, 𝑎4 = 2. Así

un vector propio generalizado asociado al valor propio 𝜆2 es 𝑣3 = (1 + 2𝑖,−2 − 2𝑖, 0,2)𝑡 .

Estos dos vectores 𝑣2, 𝑣3 nos proporcionan dos soluciones complejas:

𝑧1(𝑡) = 𝑒𝑡𝐴𝑣2 = 𝑒

𝑡(−1+𝑖)(2,0,4, 𝑖 − 1)𝑡


𝑡(−1+𝑖)𝑣3

= 𝑒𝑡(−1+𝑖)(𝑣2 + 𝑡(𝐴—1 + 𝑖)𝐼4)𝑣2

= 𝑒𝑡(−1+𝑖)((1 + 𝑡) + (2 + 𝑡)𝑖, −2 − 2𝑖, 2𝑡 + 2𝑡𝑖, 2 − 𝑡)𝑡.

Las partes reales y complejas de estas dos soluciones nos proporcionan las 4 soluciones que forman

un sistema fundamental de soluciones del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Para ello utilizamos la fórmula de

Euler en 𝑧1(𝑡):

18


𝑡(−1+𝑖)𝑣2 = 𝑒−𝑡[cos(t) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑡)] (

204

𝑖 − 1

)

= 𝑒−𝑡[cos(t) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑡)] [(

204−1

) + 𝑖 (

0001

)]

= 𝑒−𝑡 [cos(t) (

204−1

) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

0001

)] + 𝑒−𝑡𝑖 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

204−1

) + cos(t) (

0001

)].

Obteniendo dos soluciones reales:

𝑥1(𝑡) = 𝑒−𝑡 [cos(t) (

204−1

) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

0001

)]

𝑥2(𝑡) = 𝑒−𝑡 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

−2 − 𝑡2−2𝑡0

) + cos(t) (

1 + 𝑡−22𝑡2 − 𝑡

)].

Para obtener las otras dos calculamos las partes reales e imaginarias de 𝑧2(𝑡) y obtener:

𝑥3(𝑡) = 𝑒−𝑡 [cos(t) (

2 + 𝑡−𝑡−2𝑡0

) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

1 + 𝑡−22𝑡2 − 𝑡

)]

𝑥4(𝑡) = 𝑒−𝑡 [𝑠𝑒𝑛(𝑡) (

204−1

) + cos(t) (

0001

)].

Notemos de nuevo que no se utiliza la información acerca del valor propio 𝜆1 = −1 − 𝑖 sino

que se saca provecho del hecho de que éste sea el conjugado de 𝜆2 = −1 + 𝑖. Y observemos

finalmente que todas las soluciones son de la forma:

𝑋(𝑡) = 𝑒−𝛼𝑡[𝑃(𝑡) cos(𝛽𝑡) + 𝑄(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡)].

Donde 𝛼 𝑦 𝛽 es la parte real e imaginaria del autovalor 𝜆2 respectivamente y 𝑃(𝑡), 𝑄(𝑡) son

polinomios de grado menor que 𝑞 = 𝑚𝑎(𝜆2).

1.4. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes

En esta sección se desarrollará una forma de obtener analíticamente las soluciones de los

sistemas lineales no homogéneos de primer orden y de coeficientes constantes.

Definición 1.14. Un sistema de ecuaciones lineales de primer orden no homogéneo con coeficientes

constante es un sistema cuya forma está dada por

19

𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡)

donde la matriz A es de números reales, es decir, no depende de la variable independiente t y 𝑏(𝑡)

es un vector columna de funciones continuas.

Por Teorema 1.7, la solución general del sistema 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) + 𝑏(𝑡) es la suma de la

solución general del sistema homogéneo asociado 𝑋′(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡) y de una solución particular del

sistema no homogéneo. Luego usando lo desarrollado en la sección 1.3 obtenemos la solución

general del sistema homogéneo asociado y aplicando el método de variación de parámetro

obtenemos la solución particular del sistema de ecuaciones lineales de primer orden no

homogéneo.

Cuando las funciones que componen el vector 𝑏(𝑡) son del tipo polinómicas, exponenciales,

senos y cosenos o combinaciones de ellas suele usarse el método de coeficientes indeterminados

que permite determinar los coeficientes de la solución particular a partir de una solución propuesta.

La propuesta de solución se realiza en base a las componentes de 𝑏(𝑡). No desarrollaremos esta

metodología ya que sólo es aplicable en algunos casos.

20

CAPÍTULO II

Estabilidad en Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Los sistemas de ecuaciones diferenciales permiten modelar fenómenos de la vida real como

por ejemplo la dinámica de las epidemias. Sin embargo, muchas veces, las soluciones de éstos no se

pueden determinar explícitamente. En esta sección se mostrará que podemos obtener información

cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones sin la necesidad de tener que conocerlas. Para

desarrollar esta teoría necesitamos tener presente las siguientes definiciones.

2.1. Sistemas autónomos planos

Definición 2.1. Un sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la

forma

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑦


(1)

donde 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐶1(ℝ2), es decir, son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden

continuas. El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente 𝑡 no aparece

explícitamente en los segundos miembros de las ecuaciones dadas.

Las condiciones sobre 𝑓1 𝑦 𝑓2 garantizan la existencia y unicidad de la solución al problema

de valor inicial definido para todo 𝑡 ∈ ℝ dado por

{

𝑑𝑥


𝑑𝑦


𝑥(𝑡0) = 𝑥0𝑦(𝑡0) = 𝑦0

donde 𝑡0, 𝑥0, 𝑦0 ∈ ℝ.

2.1.1. Trayectorias

Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema

autónomo, sin necesidad de obtener explícitamente dichas soluciones.

21

Definición 2.2. Una trayectoria u órbita es la curva 𝐶 ≡ [𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)] sobre el plano de fase, plano

formado por los pares de valores (𝑥, 𝑦), definida por el par de soluciones 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) del sistema (1).

Definición 2.3. Un vector tangente de la trayectoria en el punto (𝑥, 𝑦) es el vector dado por

(𝑓1(𝑥, 𝑦), 𝑓2(𝑥, 𝑦)) y al conjunto de estos vectores se denomina campo de direcciones.

Definición 2.4. Una solución en la que 𝑥(𝑡) = 𝑥0, 𝑦(𝑡) = 𝑦0 para todo 𝑡 ∈ ℝ define únicamente un

punto (𝑥0, 𝑦0) en el plano de fases y verifica que 𝑓1(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓2(𝑥0, 𝑦0) = 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un

punto crítico o un equilibrio del sistema.

Observación 2.1. Cada punto del plano de fase o bien es un punto crítico o bien por él pasa una

única trayectoria.

Ejemplo 2.1. El siguiente es un sistema autónomo

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 1 − 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥3 + 𝑦

cuyo único punto crítico es (−1,1) ya que es la única solución del sistema

{1 − 𝑦 = 0

𝑥3 + 𝑦 = 0.

Luego, (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (−1,1) es la única solución que permanece constante en el tiempo.

Cálculo de las trayectorias

Sea (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) una solución del sistema (1) que no permanece constante en el tiempo y sea

derivada 𝑑𝑥

𝑑𝑡≠ 0 en 𝑡 = 𝑡1 entonces en un entorno del punto 𝑥(𝑡1) = 𝑥1 se verifica que

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑥=𝑓2(𝑥, 𝑦)

𝑓1(𝑥, 𝑦).

Por tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer orden

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑓2(𝑥, 𝑦)

𝑓1(𝑥, 𝑦).

Si 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0 para todo t, se tendrá que verificar que

𝑑𝑦

𝑑𝑡≠ 0 para todo t, por lo que la trayectoria de

esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencial

𝑑𝑥

𝑑𝑦=𝑓1(𝑥, 𝑦)

𝑓2(𝑥, 𝑦).

En cualquier caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de

primer orden.

22

Ejemplo 2.2. El sistema autónomo

{𝑥′ = 2𝑥𝑦

𝑦′ = 𝑦2 − 𝑥2

tiene un único punto crítico es el punto (0, 0) y las demás trayectorias se pueden obtener

resolviendo la ecuación homogénea

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦2 − 𝑥2

2𝑥𝑦

que es reducible a exacta con factor de integración 𝑢(𝑥) = 𝑥−2 y la solución es

𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦2 = 𝑎2.

Luego las trayectorias son todas las circunferencias de centro (𝑎, 0) y radio |a|, excluyendo

de ellas el punto (0, 0) como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Trayectorias del sistema dado por el Ejemplo 2.2.

A continuación se enunciaran las propiedades cualitativas de las trayectorias, estas nos

permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones.

Propiedad 2.1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema

autónomo, es decir, si (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es una solución del sistema (1) entonces para cada 𝑐 ∈ ℝ se

tiene que (𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑐), 𝑦(𝑡 + 𝑐)) es otra solución de (1).

Propiedad 2.2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes, es decir, si

(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) y (𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) son soluciones del sistema (1), tales que la primera solución en 𝑡0 vale

(𝑥0, 𝑦0) y la segunda en 𝑡1 toma los mismos valores (𝑥0, 𝑦0), entonces existe un valor 𝑐 ∈ ℝ tal que

(𝑥∗(𝑡), 𝑦∗(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑐), 𝑦(𝑡 + 𝑐)).

23

Propiedad 2.3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas, es decir, si

(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es una solución del sistema (1) que en dos instantes 𝑡0 y 𝑡0 + 𝑇 toma el mismo valor,

entonces (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥(𝑡 + 𝑇), 𝑦(𝑡 + 𝑇)) para todo t, es decir (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es periódica.

2.2. Puntos de equilibrio

Supondremos en lo que sigue que los puntos críticos de los sistemas autónomos que

consideremos están aislados, esto es, existe un entorno del punto crítico donde no hay otro punto

crítico. Además, supondremos que el punto crítico aislado a estudiar es el (0,0), lo cual no supone

ningún tipo de restricción pues de no ser así bastará hacer un cambio de coordenadas adecuado,

esto es, si (𝑥0, 𝑦0) es un punto de equilibrio del sistema (1), el cambio de variable

𝑋 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦0

transforma dicho sistema en

{

𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑋 + 𝑥0, 𝑌 + 𝑦0)

𝑑𝑌

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑋 + 𝑥0, 𝑌 + 𝑦0)

(2)

y (0,0) es un punto de equilibrio de (2).

2.2.1. Descripción geométrica de los puntos críticos

Definición 2.5. Un punto crítico aislado es denominado nodo cuando todas las trayectorias se

dirigen hacia el punto crítico o se alejan del mismo.

Definición 2.6. Un punto crítico aislado es llamado punto silla cuando las cuatro trayectorias en

forma de semirrecta, que determinan dos rectas que pasan por el punto crítico cumplen que si

𝑡 → +∞, dos de esas trayectorias se recorren hacia el origen; las otras dos, salen del punto crítico y

entre estas semirrectas hay cuatro regiones, cada una de las cuales contiene trayectorias que son

ramas de hipérbolas. Cuando 𝑡 → +∞, estas trayectorias no tienden hacia el punto crítico, sino que

son asintóticas a algunas de las semirrectas que pasan por el punto.

Definición 2.7. Un punto crítico es considerado un centro cuando las trayectorias son curvas

cerradas que rodean al punto crítico de modo que ninguna trayectoria tiende a él cuando 𝑡 → +∞ o

𝑡 → −∞.

Definición 2.8. A un punto crítico aislado se lo conoce como un foco o espiral si las trayectorias son

curvas en forma de espiral que, conforme 𝑡 → +∞, pueden presentar dos situaciones, o bien todas

se acercan al punto crítico, o bien, todas se separan de él.

24

En la Figura 1 y Figura 2 se representan gráficamente los cuatro tipos de puntos críticos:

Figura 1. Representación de un punto de equilibrio que es un nodo

Figura 2. Representación de un punto de equilibrio que es: a) punto silla, b) espiral o foco y c) centro.

2.2.2. Estabilidad de los puntos críticos

Definición 2.9. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es estable si para todo número 𝑅 > 0, existe

algún 𝑟 > 0, 𝑟 ≤ 𝑅, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 en algún

momento 𝑡 = 𝑡0, permanezca dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 para todos los 𝑡 > 𝑡0, esto es, si una

trayectoria está cerca del punto de equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo.

Definición 2.10. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es asintóticamente estable, cuando es estable

y existe algún número 𝑟0 > 0, tal que para toda trayectoria que está dentro del círculo 𝑥2 + 𝑦2 =

𝑟02 en algún momento 𝑡 = 𝑡0, se aproxime al origen cuando 𝑡 → +∞, es decir, las trayectorias

cercanas no sólo se mantienen cerca, sino que se aproximan al punto de equilibrio a lo largo del

tiempo.

Definición 2.11. El punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable cuando no es estable, es decir, las

trayectorias que empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del

tiempo.

-5 0 5

-10

-50

51

0

x

y

-5 0 5

-10

-50

51

0

x

y

25

2.2.3. Análisis cualitativo de los sistemas lineales

En este apartado veremos que en el caso de los sistemas autónomos lineales, la clasificación

y la estabilidad del punto crítico están dadas por los autovalores de la matriz asociada al sistema.

Consideremos un sistema autónomo lineal:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦

𝑑𝑦


cuyo único punto crítico es el (0,0). Esto equivale a que la matriz 𝐴 = (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

) tenga determinante

no nulo, y por lo tanto sus autovalores son distintos de cero. En función del comportamiento de las

trayectorias en relación con el punto crítico aislado (0, 0), éste se denominará: nodo, punto de silla,

centro, o foco.

Teorema 2.1. Dado el sistema

{

𝑑𝑥


𝑑𝑦


donde el det (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

) ≠ 0, por lo cual existe un único punto crítico, el (0,0). Entonces si 𝜆1, 𝜆2 son

los autovalores de la matriz (𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

) se cumple que:

a) Si 𝜆1, 𝜆2 son reales distintos y del mismo signo entonces el punto crítico (0,0) es un nodo.

b) Si 𝜆1, 𝜆2son reales distintos y de signos opuestos entonces el punto crítico (0,0) es un punto silla.

c) Si 𝜆1, 𝜆2son complejos conjugados pero no imaginarios puros entonces el punto crítico (0,0) es un

espiral.

d) Si 𝜆1, 𝜆2son imaginarios puros entonces el punto crítico (0,0) es un centro.

e) Si 𝜆1, 𝜆2son reales e iguales entonces el punto crítico (0,0) es un nodo (también llamado nodo

impropio).

Demostración.

a) Dado que 𝜆1, 𝜆2 son los autovalores asociados al sistema y que ellos son reales distintos se

tienen las siguientes soluciones del sistema:

{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴1𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒

𝜆2𝑡

donde 𝐴1, 𝐵1 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆1 y 𝐴2, 𝐵2 son las

componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆2. Sin pérdida de generalidad supongamos que

𝜆1 < 𝜆2 < 0 y analicemos el comportamiento de las trayectorias en función de los coeficientes 𝑐1 y

𝑐2.

26

Cuando 𝑐2 = 0 obtenemos las soluciones

{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴1𝑒

𝜆1𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡.

Luego si 𝑐1 > 0 la solución representa una trayectoria consistente en la semirrecta 𝐴1𝑦 = 𝐵1𝑥

mientras que si 𝑐1 < 0 representa una trayectoria que consta de la semirrecta complementaria a la

anterior. Como 𝜆1 < 0, ambas trayectorias en forma de semirrecta tienden al origen cuando 𝑡 → ∞

y ambas alcanzan el origen porque 𝑒𝜆1𝑡 disminuye cuando 𝑡 aumenta.

Cuando 𝑐1 = 0 obtenemos las soluciones

{𝑥(𝑡) = 𝑐2𝐴2𝑒

𝜆2𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐2𝐵2𝑒𝜆2𝑡.

Como en el caso anterior, las soluciones representan semirrectas sobre la recta 𝐴2𝑦 = 𝐵2𝑥 . Igual

que en el caso anterior, como 𝜆2 < 0 ambas trayectorias en forma de semirrecta tienden al origen

cuando 𝑡 → ∞ y ambas alcanzan el origen porque 𝑒𝜆2𝑡 disminuye cuando 𝑡 aumenta.

Cuando c1 ≠ 0, c2 ≠ 0 la solución representa trayectorias curvas. Dado que λ1 < λ2 < 0,

entonces estas trayectorias tienden a (0, 0) cuando 𝑡 → ∞ ycomo 𝜆1 − 𝜆2 < 0 e

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)=𝑐1𝐵1𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒𝜆2𝑡

𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡=

𝑐1𝐵1𝑐2

𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐵2

𝑐1𝐴1𝑐2

𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐴2

se tiene que 𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)→

𝐵2

𝐴2 cuando 𝑡 → ∞ así que las trayectorias alcanzan al punto (0, 0) con pendiente

𝐵2

𝐴2.

De acuerdo a lo analizado el (0, 0) es un nodo que es asintóticamente estable como se

muestra en la Figura 3.

Figura 3. Representación de las soluciones del sistema cuando 𝜆1 < 𝜆2 < 0

Si 𝜆1 > 𝜆2 > 0, la situación es exactamente la misma, excepto que las trayectorias salen de (0, 0)

cuando 𝑡 → ∞, las flechas son al contrario del caso anterior, de este modo (0, 0) es un nodo

inestable.

b) Dado que 𝜆1, 𝜆2son los autovalores asociados al sistema y que son reales distintos con signos

opuestos, las soluciones del sistema son las mismas que en caso anterior.

27

Sin pérdida de generalidad supongamos que 𝜆1 < 0 < 𝜆2 y analicemos el comportamiento de las

trayectorias en función de los coeficientes 𝑐1 y 𝑐2

Cuando 𝑐2 = 0, se tiene la misma situación que en el caso a) semirrectas complementarias

sobre la recta 𝐴1𝑦 = 𝐵1𝑥 donde ambas trayectorias tienden al origen cuando 𝑡 → ∞.

Cuando 𝑐1 = 0, nuevamente como en el caso a) las trayectorias consisten en las semirrectas

complementarias de la recta 𝐴2𝑦 = 𝐵2𝑥 pero en este caso como 𝜆2 > 0 ambas trayectorias en

forma de semirrecta salen del origen y se alejan del mismo cuando 𝑡 → ∞.

Cuando 𝑐1 ≠ 0, 𝑐2 ≠ 0 las soluciones representan trayectorias curvas; como 𝜆1 < 0 < 𝜆2,

entonces

lim𝑡→∞

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)= lim𝑡→∞

𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒

𝜆2𝑡

𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡= lim𝑡→∞

𝑐1𝐵1𝑐2

𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐵2

𝑐1𝐴1𝑐2

𝑒(𝜆1−𝜆2)𝑡 + 𝐴2

=𝐵2𝐴2

lim𝑡→−∞

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)= lim𝑡→−∞

𝑐1𝐵1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐵2𝑒

𝜆2𝑡

𝑐1𝐴1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝐴2𝑒𝜆2𝑡= lim𝑡→−∞

𝐵1 +𝑐2𝐵2𝑐1

𝑒(𝜆2−𝜆1)𝑡 +

𝐴1 +𝑐2𝐴2𝑐1

𝑒(𝜆2−𝜆1)𝑡=𝐵1𝐴1.

Luego una trayectoria curva es asintótica a una de las semirrectas generadas por 𝑐1 = 0 cuando

𝑡 → ∞ y asintótica a una de las semirrectas generadas por 𝑐2 = 0 cuando 𝑡 → −∞.

De acuerdo a lo analizado el (0, 0) es un punto de silla como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Representación de las soluciones del sistema cuando 𝜆1 < 0 < 𝜆2

c) Dados 𝜆1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 y 𝜆2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 con 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 los autovalores asociados al sistema, la

solución general a valores reales es:

{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒

𝑎𝑡(𝐴1 cos(𝑏𝑡) − 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2𝑒𝑎𝑡(𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐴2 cos(𝑏𝑡))

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑎𝑡(𝐵1 cos(𝑏𝑡) − 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2𝑒

𝑎𝑡(𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐵2 cos(𝑏𝑡))

donde 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆𝑖 y 𝑐𝑖.constantes

arbitrarias.

Si 𝑎 < 0 entonces 𝑥 → 0 e 𝑦 → 0 cuando 𝑡 → ∞ por lo que todas las trayectorias tienden a

(0,0) cuando 𝑡 → ∞ y el punto (0,0) es asintóticamente estable. Probemos que las trayectorias

28

tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞ en forma de espirales. Para ello trabajamos en coordenadas polares y

mostramos que a lo largo de cualquier trayectoria, el signo de 𝑑𝜃

𝑑𝑡 , donde 𝜃 = tan−1

𝑦

𝑥, no cambia

para todo 𝑡.

Derivando 𝜃 y sustituyendo por las ecuaciones del sistema se tiene:

𝑑𝜃

𝑑𝑡=𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡− 𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑡

𝑥2 + 𝑦2=𝑥(𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦) − 𝑦(𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦)

𝑥2 + 𝑦2=𝑎2𝑥

2 + (𝑏2 − 𝑎1)𝑥𝑦 − 𝑏1𝑦2

𝑥2 + 𝑦2.

Como estamos interesados sólo en soluciones que representan trayectorias, suponemos 𝑥2 + 𝑦2 ≠

0. Al ser 𝜆1, 𝜆2 imaginarios, el discriminante de la ecuación característica, ∆= (𝑎1 + 𝑏2)2 −

4(𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1), es negativo, luego (𝑎1 − 𝑏2)2 + 4𝑎2𝑏1 < 0 entonces 𝑎2 𝑦 𝑏1 deben tener signos

opuestos.

Supongamos que 𝑎2 > 0, 𝑏1 < 0 y analicemos como es entonces 𝑑𝜃

𝑑𝑡.

Si 𝑦 = 0 entonces 𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑎2 > 0

Si 𝑦 ≠ 0 entonces 𝑑𝜃

𝑑𝑡≠ 0 pues de lo contrario 0 =

𝑑𝜃

𝑑𝑡=𝑎2𝑥

2+(𝑏2−𝑎1)𝑥𝑦−𝑏1𝑦2

𝑥2+𝑦2 implicaría que

0 = 𝑎2𝑥2 + (𝑏2 − 𝑎1)𝑥𝑦 − 𝑏1𝑦

2 , luego 𝑎2 (𝑥

𝑦)2

+ (𝑏2 − 𝑎1)𝑥

𝑦− 𝑏1 = 0 para algún número real

𝑥

𝑦

pero esto no es cierto ya que el discriminante de esta última ecuación es (𝑏2 − 𝑎1)2 + 4𝑎2𝑏1 < 0.

Dado que 𝑑𝜃

𝑑𝑡 es continua, que si 𝑦 = 0 entonces

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑎2 > 0 y que si 𝑦 ≠ 0 entonces

𝑑𝜃

𝑑𝑡≠ 0

se concluye que 𝑑𝜃

𝑑𝑡> 0 cuando 𝑎2 > 0, 𝑏1 < 0.Un análisis similar se realiza al considerar

𝑎2 < 0, 𝑏1 > 0 obteniéndose que 𝑑𝜃

𝑑𝑡< 0. En conclusión 𝜃(𝑡) es una función siempre creciente para

todo 𝑡 o siempre decreciente para todo 𝑡, luego las trayectorias llegan o parten del origen.

Por la forma que presenta la solución de este sistema, 𝑥 e 𝑦 cambian de signo infinitas veces

cuando 𝑡 → ∞,es decir, todas las trayectorias giran en espiral alrededor del origen en sentido

contrario a las agujas del reloj si 𝑎2 > 0 y en sentido horario si 𝑎2 < 0. Luego el punto crítico es

espiral como se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Representación de las soluciones del sistema

cuando 𝜆1 y 𝜆2 son complejos conjugados no puros.

29

Si 𝑎 > 0, la situación es la misma pero en este caso las trayectorias tienden a (0,0) cuando

𝑡 → −∞ y el punto crítico es inestable.

d) Dados λ1 = bi y λ2 = −bi los autovalores asociados al sistema, la solución general es

{𝑥(𝑡) = 𝑐1(𝐴1 cos(𝑏𝑡) − 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2(𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐴2 cos(𝑏𝑡))

𝑦(𝑡) = 𝑐1(𝐵1 cos(𝑏𝑡) − 𝐵2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)) + 𝑐2(𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) + 𝐵2 cos(𝑏𝑡))

donde 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 son las componentes del autovector asociado al autovalor 𝜆𝑖 y 𝑐𝑖 constantes

arbitrarias.

Luego 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) son periódicas y cada trayectoria es una curva cerrada que rodea al origen, en

forma general tiene forma de elipse. Luego (0,0) es un centro como se muestra en la Figura 6.


cuando 𝜆1 y 𝜆2 son complejos conjugados puros.

e) Dados λ1 y λ2 los autovalores reales e iguales, consideremos λ1 = λ2 < 0. Hay dos casos

que requieren análisis por separado: i) a1 = b2 ≠ 0 y a2 = b1 = 0 y ii) todas las demás

posibilidades que conducen a una raíz doble de la ecuación característica asociada al sistema.

Caso i): Al considerar 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0 y llamando𝑎 = 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 , el sistema de

ecuaciones que se obteien es:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎𝑦

cuya solución general es 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒𝜆1𝑡 = 𝑐1𝑒

𝑎𝑡 e 𝑦(𝑡) = 𝑐2𝑒𝜆1𝑡 = 𝑐2𝑒

𝑎𝑡 donde 𝑐𝑖.son constantes

arbitrarias.

Las trayectorias 𝑦 =𝐶2

𝑐1𝑥 son semirrectas de todas las pendientes posibles pues 𝑐1 y 𝑐2 son

constantes arbitrarias. Además como 𝜆1 < 0, entonces estas trayectorias tienden y alcanzan al

punto (0, 0) cuando 𝑡 → ∞, de donde (0, 0) es un nodo asintóticamente estable como se muestra

en la Figura 7.

30


cuando 𝜆1 = 𝜆2 < 0 y 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0.

Si 𝜆1 = 𝜆2 > 0, tenemos la misma situación, excepto que las trayectorias alcanzan al punto

(0, 0) cuando 𝑡 → ∞. Las flechas tienen el sentido contrario, pero el (0,0) sigue siendo un nodo

pero inestable.

Caso ii) Sabemos que la solución general para cuando las raíces son dobles presenta la siguiente forma

{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐴1 + 𝐴𝑡)𝑒𝜆1𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐵1 + 𝐵𝑡)𝑒

𝜆1𝑡

donde los coeficientes son constantes definidas (𝐴, 𝐴1, 𝐵 y 𝐵1) y 𝑐1, 𝑐2 son arbitrarias.

Cuando 𝑐2 = 0 entonces

{𝑥(𝑡) = 𝑐1𝐴𝑒

𝜆1𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑐1𝐵𝑒𝜆1𝑡

con lo cual las trayectorias son las semirrectas de la recta 𝐴𝑦 = 𝐵𝑥 con pendiente 𝐵

𝐴 y como 𝜆1 < 0

ambas trayectorias tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞.

Cuando 𝑐2 ≠ 0 entonces las soluciones representan trayectorias curvas y como 𝜆1 < 0

entonces las trayectorias tienden a (0,0) cuando 𝑡 → ∞. Además:

𝑦

𝑥=𝑐1𝐵𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐵1 + 𝐵𝑡)𝑒𝜆1𝑡

𝑐1𝐴𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2(𝐴1 + 𝐴𝑡)𝑒𝜆1𝑡=

𝑐1𝑐2𝐵 + 𝐵1 + 𝐵𝑡

𝑐1𝑐2𝐴 + 𝐴1 + 𝐴𝑡

→𝐵

𝐴

cuando 𝑡 → ∞. Luego estas trayectorias curvas llegan a (0,0) con pendiente 𝐵

𝐴, la pendiente de las

trayectorias cuando 𝑐2 = 0 . Entonces (0,0) es un nodo asintóticamente estable como se observa

en la Figura 8.

En la demostración del teorema anterior hemos hecho afirmaciones relativas a la estabilidad

del punto crítico del sistema que se pueden resumir en el siguiente teorema:

Teorema 2.2. El punto crítico (0,0) del sistema lineal

{

𝑑𝑥


𝑑𝑦


31

es estable si y sólo si ambas raíces de la ecuación característica tienen partes reales no positivas, y

es asintóticamente estable si y sólo si ambas raíces tienen partes reales negativas.


cuando 𝜆1 = 𝜆2 < 0 y no estamos en la situación 𝑎1 = 𝑏2 ≠ 0 y 𝑎2 = 𝑏1 = 0

La estabilidad del punto crítico en los sistemas lineales también puede analizarse a partir de

los coeficientes de la ecuación característica del sistema.

Sea 𝜆2 + (𝑎1 + 𝑏2)𝜆 + 𝑎1𝑏2 − 𝑏1𝑎2 la ecuación característica del sistema lineal donde 𝜆1, 𝜆2

son las raíces de dicha ecuación, entonces podemos escribirla en forma factorizada, es decir,

(𝜆 − 𝜆1)(𝜆 − 𝜆2) = 𝜆2 − 𝜆(𝜆1 − 𝜆2) + 𝜆1𝜆2 = 𝜆

2 + 𝑝𝜆 + 𝑞

donde −(𝜆1 − 𝜆2) = 𝑝 y 𝜆1𝜆2 = 𝑞.

Veamos que los cinco casos anteriores se pueden describir en términos de 𝑝 y 𝑞 ya que el

tipo de raíces de la ecuación característica depende de 𝑝 y 𝑞 dado que ellas están dadas por:

𝜆1,2 =−𝑝 ± √𝑝2 − 4𝑞

2.

Es importante notar que 𝑞 ≠ 0 pues 𝜆1𝜆2 es el determinante del sistema y este es distinto

de cero, luego 𝑞 < 0 o 𝑞 > 0. Analicemos como son los autovalores en estos casos:

Si 𝑞 < 0, 𝑝2 − 4𝑞 > 0, luego los autovalores son reales y serán distintos, además de signos

opuestos. Este es el caso del punto silla.

Si 𝑞 > 0 puede ocurrir:

𝑝2 − 4𝑞 < 0, luego 𝜆1, 𝜆2 son números complejos que serán imaginarios puros si y sólo si 𝑝 = 0.

Estos son los casos donde el punto crítico es un espiral o un centro, según el caso. La estabilidad

en el caso del espiral depende del signo de 𝑝, cuando 𝑝 > 0 el punto será inestable mientras que

si 𝑝 < 0 será estable.

𝑝2 − 4𝑞 ≥ 0, luego 𝜆1, 𝜆2 son números reales siendo 𝜆1 ≠ 𝜆2 y de igual signo cuando

𝑝2 − 4𝑞 > 0 y 𝜆1 = 𝜆2 cuando 𝑝2 − 4𝑞 = 0. Estos son los casos donde el punto crítico es un

nodo, siendo asintóticamente estable cuando 𝑝 > 0 e inestable cuando 𝑝 < 0.

Lo expresado anteriormente puede representarse en el plano 𝑝𝑞, obteniéndose el siguiente

diagrama (Figura 9) donde se puede observar el primer cuadrante excluyendo los ejes, es una región

32

con estabilidad asintótica; el eje positivo q corresponde a centros y por tanto es estable; el segundo,

tercero y cuarto cuadrante son regiones inestables.

Figura 9. Representación de la solución del sistema lineal en función de sus coeficientes.

Como se puede observar existe una única región de estabilidad asintótica, el primer

cuadrante, esto es cuando 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0. Esto lo expresamos más formalmente en el siguiente

teorema:

Teorema 2.3. El punto crítico (0,0) del sistema lineal

{

𝑑𝑥


𝑑𝑦


es asintóticamente estable si y sólo si los coeficientes −(𝜆1 − 𝜆2) = 𝑝 y 𝜆1𝜆2 = 𝑞, de la ecuación

auxiliar son ambos positivos.

Ejemplo 2.3. Utilizando los distintos métodos desarrollados, analizamos la estabilidad del punto

crítico de los sistemas:

a) {

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑥 + 2𝑦

b){

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥

a) El único punto crítico del sistema es el (0,0). Independientemente del método a utilizar para

analizar su estabilidad debemos calcular la ecuación característica del sistema que es:

|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(1 − 𝜆 0−1 2 − 𝜆

)| = (2 − 𝜆)(1 − 𝜆) = 𝜆2 − 3𝜆 + 2.

Debido a que los autovalores del sistema son 𝜆1 = 1 y 𝜆2 = 2, valores reales distintos y positivos, el

punto crítico es un nodo inestable.

Si miramos los coeficientes de la ecuación característica tenemos que p=-3 y q=2, además 𝑝2 −

4𝑞 = 9 − 4.2 = 1 ≥ 0 luego estamos en el segundo cuadrante lo que nos indica que el punto

33

crítico es inestable y como el punto (-3,2) está por debajo de la parábola el punto crítico es un nodo,

luego el punto crítico es un nodo inestable.

b) El único punto crítico del sistema es el (0,0) y su ecuación característica es:

|𝐴 − 𝜆𝐼| = |(−𝜆 −11 −𝜆

)| = 𝜆2 + 1 = (𝜆 + 𝑖)(𝜆 − 𝑖).

Luego los autovalores del sistema son 𝜆1 = 𝑖 y 𝜆2 = −𝑖, valores complejos puros, luego el punto

crítico es un centro estable.

Por otra parte, los coeficientes de la ecuación característica son p=0 y q=1, esto indica que estamos

sobre el eje q por lo cual el punto crítico es un centro estable.

Estos ejemplos, muestran como trabajar con cada una de las metodologías para analizar la

estabilidad del punto crítico.

2.2.4. Análisis cualitativo de los sistemas no lineales

Consideremos el sistema autónomo

{

𝑑𝑥


𝑑𝑦


(1)

tal que las funciones 𝑓1(𝑥, 𝑦)y 𝑓2(𝑥, 𝑦) sean de clase 𝐶1(ℝ2). Supongamos que tal sistema tiene un

punto crítico en (𝑥0, 𝑦0) entonces aproximando𝑓1(𝑥, 𝑦)y 𝑓2(𝑥, 𝑦) en un entorno del punto

(𝑥0, 𝑦0)por sus respectivos planos tangentes en dicho punto, se tiene:

𝑓1(𝑥, 𝑦) ≈𝜕𝑓1𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +

𝜕𝑓1𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)

𝑓2(𝑥, 𝑦) ≈𝜕𝑓2𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +

𝜕𝑓2𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)

que cuando (𝑥, 𝑦) ≈ (𝑥0, 𝑦0) podemos escribirlo en forma matricial como

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓1(𝑥, 𝑦)

𝑓2(𝑥, 𝑦)) ≈ 𝐴. (

(𝑥 − 𝑥0)

(𝑦 − 𝑦0))

donde 𝐴 es la matriz jacobiana del campo (𝑓1(𝑥, 𝑦)

𝑓2(𝑥, 𝑦)) en el punto (𝑥0, 𝑦0), es decir,

𝐴 =

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓1𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)

)

.

De esta manera, podemos pensar que el sistema no lineal (1) se encuentra próximo al sistema

lineal

34

(

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑦

𝑑𝑡

) = 𝐴. ((𝑥 − 𝑥0)

(𝑦 − 𝑦0)) (2)

cuando (𝑥, 𝑦) permanece en un entorno de (𝑥0, 𝑦0), y por consiguiente es esperable que el

comportamiento de las trayectorias de (1) cerca del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) sea similar al de las

trayectorias del sistema linealizado (2). Este proceso se denomina linealización.

Si realizamos el cambio de variable 𝑋 = 𝑥 − 𝑥0, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦0 entonces tenemos

(

𝑑𝑋

𝑑𝑡𝑑𝑌

𝑑𝑡

) = 𝐴. (𝑋𝑌) (3)

cuyo punto de equilibrio es (0,0).

A continuación veremos que, en general, el punto de equilibrio (𝑥0, 𝑦0) del sistema

autónomo (1) hereda la estabilidad, y en algunos casos la naturaleza, del punto de equilibrio (0,0)

del sistema lineal (3). Pero antes es importante notar que si el punto crítico (0,0) del sistema (3) es

aislado entonces el punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) también lo es, es decir, existe un círculo

centrado en (𝑥0, 𝑦0) que no contiene ningún otro punto crítico.

Teorema 2.4. Linealización de Liapunov y Poincaré.

1- El punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) es asintóticamente estable si y sólo si todos los

autovalores de la matriz A poseen parte real negativa; esto es, si el punto crítico (0,0) del sistema

(3) es asintóticamente estable.

2- El punto crítico (𝑥0, 𝑦0) del sistema (1) es inestable si y sólo la matriz A del sistema posee

un autovalor con parte real positiva; es decir, el punto crítico (0,0) es inestable para el sistema (3).

Más aún si (x0, y0) es el punto crítico del sistema (1) y λ1, λ2 los autovalores de A tal que

λ1 ≠ λ2 y no nulos entonces se tiene la siguiente clasificación de (x0, y0):

Si 𝜆1 < 𝜆2 < 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un nodo asintóticamente estable.

Si 𝜆1 > 𝜆2 > 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un nodo inestable.

Si 𝜆1 < 0 < 𝜆2 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un punto silla.

Si 𝜆1 no es real y 𝑅𝑒(𝜆1) < 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un foco asintóticamente estable.

Si 𝜆1 no es real y 𝑅𝑒(𝜆1) > 0 entonces (𝑥0, 𝑦0) es un foco inestable.

Como hemos visto, a partir de la linealización de 𝑓 es posible, a veces, determinar la

estabilidad del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) de la misma forma que se hacía en el caso de un sistema

lineal. Sin embargo, cuando el punto (0,0) del sistema lineal (3) es estable, pero no

asintóticamente estable, es decir, cuando la matriz jacobiana A posee un par de autovalores

complejos puros (en este caso el punto se llama hiperbólico), o cuando 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0 y A no posee un

autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona información sobre la estabilidad

del punto crítico (𝑥0, 𝑦0) para el sistema (1).

35

Ejemplo 2.4. Dado el sistema

{𝑥′ = 𝑦 + 𝜇𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

𝑦′ = −𝑥 + 𝜇𝑦(𝑥2 + 𝑦2).

Ilustraremos que el proceso de linealización en este caso no proporciona información sobre la

estabilidad del punto de equilibrio (0,0). Esto se debe a que todos los autoavalores del jacobiano

evaluado en el equilibrio son imaginarios puros.

Al considerar el sistema linealizado, en este caso, 𝜇 = 0 el punto de equilibrio es estable (Figura 10

c)) mientras que en el sistema original, la estabilidad depende del signo de 𝜇. Siendo

asintóticamente estable cuando 𝜇 < 0 (Figura 10 b) ) e inestable cuando 𝜇 > 0 (Figura 10 a) ).

Figura 10. Representación de la estabilidad del sistema cuando a) 𝜇 > 0,b) 𝜇 < 0, c) 𝜇 = 0.

2.2.4.1. Método directo de Lyapunov

Este método permite estudiar la estabilidad de un punto crítico aislado de un sistema

autónomo, si bien se puede aplicar también en las situaciones contempladas en el teorema de

linealización en la práctica su uso se limita a las situaciones no contempladas en éste.

36

Antes de formular el teorema y aplicarlo se mencionan algunas definiciones que serán

utilizadas luego. Además es importarte mencionar que en lo que sigue supondremos, sin pérdida de

generalidad, que el punto crítico aislado del sistema (1) es (0,0).

Definición 2.12. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida positiva cuando

𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) > 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).

Definición 2.13. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es semidefinida positiva cuando

𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) ≥ 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).

Definición 2.14. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida negativa cuando

𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) < 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).

Definición 2.15. Se dice que la función real de dos variables 𝐸(𝑥, 𝑦) es semidefinida negativa

cuando 𝐸(0,0) = 0 y 𝐸(𝑥, 𝑦) ≤ 0∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0).

Definición 2.16. Se dice que la función 𝐸(𝑥, 𝑦) definida en alguna región que contiene al origen,

continua y con derivadas parciales de primer orden continuas, es una función de Liapunov para el

sistema (1) cuando 𝐸(𝑥, 𝑦) es definida positiva y 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸

𝜕𝑥𝑓1 +

𝜕𝐸

𝜕𝑦𝑓2 es semidefinida positiva.

Teorema 2.5. Dado el sistema no lineal (1)

1) Si existe una función de Liapunov 𝐸(𝑥, 𝑦) para el sistema (1), entonces el punto crítico

(0,0) es estable. Además, si esa función verifica que 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸

𝜕𝑥𝑓1 +

𝜕𝐸

𝜕𝑦𝑓2 es definida negativa

entonces el punto crítico (0,0) es asintóticamente estable.

2) Si existe una función 𝐸(𝑥, 𝑦) con las siguientes propiedades:

i) 𝐸(𝑥, 𝑦) continua con derivadas parciales de primer orden en alguna región que contiene al

origen,

ii) 𝐸(0,0) = 0, y cada círculo centrado en (0,0) contiene al menos un punto en el que 𝐸(𝑥, 𝑦) es

positiva, y

iii) 𝐸′(𝑥, 𝑦) =𝜕𝐸

𝜕𝑥𝑓1 +

𝜕𝐸

𝜕𝑦𝑓2 es definida positiva,

entonces el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable.

Ejemplo 2.5. Sea el sistema autónomo dado por:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −3𝑥3 − 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥5 − 2𝑦3

.

Busquemos los puntos críticos

37

{0 = −3𝑥3 − 𝑦 (𝑎)

0 = 𝑥5 − 2𝑦3 (𝑏).

De (a) se obtiene que −3𝑥3 = 𝑦 reemplazandolo en (b) 𝑥5 − 2(−3𝑥3)3 = 𝑥5(1 + 54𝑥4) = 0 ↔

𝑥 = 0. Luego el sistema tiene un único punto crítico que es el (0, 0).

Una vez linealizado el sistema, se obtiene el jacobiano (−9𝑥2 −15𝑥4 −6𝑦2

)(0,0)

= (0 −10 0

) cuyo

determinante es cero, por lo que el proceso de linealización no brinda información.

Trataremos de buscar una función del tipo 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2𝑚 + 𝑏𝑦2𝑛 con 𝑎, 𝑏 > 0 y 𝑛,𝑚 ∈ ℕ ya que

𝐸(𝑥, 𝑦) > 0, ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)y 𝐸(0,0) = 0 es decir, es definida positiva. Además, considerando por

ejemplo: 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑛 = 1,𝑚 = 3 se tiene

𝐸′(𝑥, 𝑦) = 𝑎2𝑚𝑥2𝑚−1(−3𝑥3 − 𝑦) + 𝑏2𝑛𝑦2𝑛−1(𝑥5 − 2𝑦3)

𝐸′(𝑥, 𝑦) = −18𝑥7 − 6𝑥5𝑦 + 6𝑦𝑥5 − 24𝑦4

𝐸′(𝑥, 𝑦) = −18𝑥7 − 24𝑦4.

Luego 𝐸′(𝑥, 𝑦) < 0, ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) y 𝐸′(0,0) = 0.

Tomando entonces la función de Liapunov 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑥6 + 3𝑦2, nos permite

asegurar que el punto crítico (0,0) de este sistema es asintóticamente estable.

38

CAPÍTULO III

Resolución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

de Primer Orden

Muchas ecuaciones diferenciales carecen de solución analítica y aún si la tienen, no siempre

se la puede expresar en forma explícita o implícita. Para afrontar este problema se recurre a los

métodos numéricos que nos brindan de forma aproximada una solución de la ecuación diferencial

ordinaria para lo cual es necesario conocer el valor de la curva solución en un punto (PVI).

Estos métodos, en lugar de dar una formulación para y(t) producen una serie de pares

ordenados (tn, y(tn)) donde la primer componente se corresponde con el valor de la variable

independiente (tn) y la segunda es una aproximación de la solución en el punto tn. La serie de

puntos que se obtiene comienza con el punto (t0, y(t0))que es la condición inicial del problema a

resolver. Los demás tn ∈ [a, b], intervalo en el cual se desea aproximar la solución, y los valores

de y(tn) se obtienen de aplicar el método numérico.

En este capítulo desarrollamos una serie de métodos numéricos de paso simple, es decir,

métodos que permiten calcular el valor aproximado de y(tn) sólo utilizando el valor aproximado

obtenido para y(tn−1) que nos permiten aproximar la solución del problema de valor inicial

{

dy

dt= f(t, y)

y(t0) = y0

en el intervalo [a, b]. Suponiendo que f(t, y) cumple con las condiciones del teorema de existencia y

unicidad de soluciones podemos afirmar que esta ecuación diferencial tiene solución y es única en

[a, b].

Los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden

adaptar para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

3.1. Método de Euler

En el problema a valores iniaciales, 𝑓(𝑡, 𝑦) se interpreta como un campo de direcciones en el plano

𝑡𝑦 y la condición inicial 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 como un punto (𝑡0, 𝑦0) de dicho plano, entonces podemos

aproximar la función solución 𝑦(𝑡) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese

punto. Luego se tiene que

𝑦(𝑡) ≈ 𝑦0 + 𝑓(𝑡0, 𝑦0)(𝑡 − 𝑡0).

Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución 𝑦(𝑡) en el punto de abscisa 𝑡1como:

39

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 + 𝑓(𝑡0, 𝑦0)(𝑡1 − 𝑡0)

y con esta aproximación, podemos repetir el método para obtener la aproximación de 𝑦(𝑡2)de la

misma forma, esto es:

𝑦(𝑡2) ≈ 𝑦2 = 𝑦1 + 𝑓(𝑡1, 𝑦1)(𝑡2 − 𝑡1)

y así sucesivamente.

Para facilitar el cálculo computacional, es habitual tomar abscisas equiespaciadas, es decir,

dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en N subintervalos de tamaño ℎ y calcular la solución aproximada en todos

los puntos de la forma: 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ con 𝑛 = 1,… ,𝑁 , donde 𝑡0 = 𝑎, 𝑡𝑁 = 𝑏 y ℎ el paso del

método.

Luego los puntos, (𝑡𝑛, 𝑦𝑛), que aproximan la solución están dados por:

𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑓(𝑡𝑛−1, 𝑦𝑛−1)ℎ.

De esta forma el Método de Euler aproxima a la función solución por medio de una línea poligonal,

como se muestra en la siguiente figura.

Ejemplo 3.1. Dado el problema de valor inicial, 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1 aproximamos el valor de 𝑦(1)

mediante el método de Euler.

Tomemos 𝑁 = 2, entonces ℎ = 0.5, luego 𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.5 y 𝑡2 = 1. Según el método de Euler:

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑓(𝑡𝑛−1, 𝑦𝑛−1)ℎ.

Por lo tanto:

𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 1 + 0.5 ∙ 1 = 1.5

𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 1.5 + 0.5 ∙ 1.5 = 2.25

o sea 25.2)1( y . Dado que la solución exacta es 2.71828, el error cometido al aproximar con este

método es: |2.25 − 2.71828| = 0.468282.

40

3.2. Métodos de Taylor

El método de Euler lo hemos deducido a partir de la definición de la derivada, pero también

podríamos haberlo obtenido a partir del desarrollo de Taylor de orden n = 1 de la función solución,

y(t). Luego podemos encontrar mejores soluciones del problema a valores iniciales si el desarrollo

de Taylor se extiende hasta un orden 𝑛 > 1. Dado que el método de Taylor consiste en aproximar la

solución del problema de valor inicial por su polinomio de Taylor de orden n, es necesario suponer

que dicha solución es n veces derivable en un entorno de 𝑡0. Luego la función solución es

aproximada por:

𝑦(𝑡) ≅ 𝑦(𝑡0) + 𝑦′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0) +

1

2𝑦′′(𝑡0)(𝑡 − 𝑡0)

2+. .+𝑦(𝑁)(𝑡0)

𝑁!(𝑡 − 𝑡0)

𝑁

cuando 𝑛 = 𝑁 y el error de aproximación está dado por

𝑦(𝑁+1)(𝜉0)

(𝑁 + 1)!(𝑡 − 𝑡0)

𝑁+1, 𝜉0 ∈ (𝑡0, 𝑡).

Si fijamos una sucesión de puntos equiespaciados, 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ, como en el caso anterior,

podemos obtener los pares (𝑡𝑛, 𝑦𝑛) aproximando la función solución en cada uno de los valores de

abscisa 𝑡𝑛 de la siguiente forma:

𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦′(𝑡𝑛−1)ℎ +

1

2𝑦′′(𝑡𝑛−1)ℎ

2 +⋯+𝑦(𝑁)(𝑡𝑛−1)

𝑁!ℎ𝑁.

Para calcular las derivadas de la solución en los distintos valores de abscisas contamos con la

primer derivada siendo, por ejemplo:

𝑦′′(𝑡) =𝑑𝑓(𝑡,𝑦)

𝑑𝑡= 𝑓′ =

𝜕𝑓

𝑑𝑡+𝜕𝑓

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝜕𝑓

𝑑𝑡+𝜕𝑓

𝑑𝑦𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑓𝑡 + 𝑓𝑦𝑓.

𝑦′′′(𝑡) = 𝑓′′ = 𝑓𝑡𝑡 + 𝑓𝑡𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑡𝑓 + 𝑓𝑦𝑦𝑓2 + 𝑓𝑦𝑓𝑡 + 𝑓𝑦

2𝑓

que pueden ser muy complejas si 𝑓 no es sencilla.

De este modo se obtienen las fórmulas que nos determinan la solución aproximada en la

forma:

𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑇𝑁(𝑡𝑛, 𝑦(𝑡𝑛))

donde 𝑇𝑁 es el operador definido por

𝑇𝑁(𝑡, 𝑦) = 𝑓(𝑡, 𝑦) +ℎ

2𝑓′(𝑡, 𝑦) +

ℎ2

3!𝑓′′(𝑡, 𝑦) + ⋯+ 𝑓(𝑁−1)(𝑡, 𝑦)

ℎ𝑁−1

𝑁!.


mediante el método de Taylor de orden 2.

Tomamos N=2, siendo h=0.5, luego en dos pasos obtenemos la estimación. En el método de

Taylor de orden 2 se tiene:

𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦′(𝑡𝑛−1)ℎ +

1

2𝑦′′(𝑡𝑛−1)ℎ

2.

Como 𝑦’ = 𝑦, 𝑓 = 𝑦 :

41

𝑦′′(𝑡) =𝑑𝑓(𝑡, 𝑦)

𝑑𝑡= 𝑓′ =

𝜕𝑓

𝑑𝑡+𝜕𝑓

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝜕𝑦

𝑑𝑡+𝜕𝑦

𝑑𝑦𝑦 = 𝑦 + 𝑦 = 2𝑦

𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛−1 ℎ +1

22𝑦𝑛−1ℎ

2 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛−1 ℎ + 𝑦𝑛−1ℎ2.

Luego en 𝑡1 = 0.5,

𝑦1 = 𝑦0 + 𝑦0ℎ + 𝑦0ℎ2 = 1 + 0.5 + 0.52 = 1.75

y en 𝑡2 = 1,

𝑦2 = 𝑦1 + 𝑦1ℎ + 𝑦1ℎ2 = 1.75 + 1.75 ∙ 0.5 + 1.75 ∙ 0.52 = 3.0625

o sea 𝑦(1) ≈ 3.0615. Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con

este método es: |3.0615 − 2.71828| = 0.344218, menor al obtenido por el método de Euler.

3.3. Métodos de Runge-Kutta

En el método de Taylor el error disminuye al aumentar el orden del polinomio obteniéndose

muy buenas aproximaciones. Sin embargo, esto requiere mayor cantidad de cálculos haciendo que

el procedimiento sea lento por lo cual rara vez se emplea este método en la práctica.

El método de Runge Kutta permite prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas de

𝑓(𝑡, 𝑦) dado que este método se basa en sustituir el problema a valor inicial por la ecuación integral

equivalente:

∫𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑡

𝑡0

𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡

𝑡0

𝑑𝑡

𝑦(𝑡) − 𝑦(𝑡0) = ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡

𝑡0

𝑑𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡0) + ∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡

𝑡0

𝑑𝑡

aproximando la última integral mediante un método numérico adecuado.

Si fijamos una sucesión de puntos equiespaciados, 𝑡𝑛 = 𝑡0 + 𝑛ℎ, como en los casos

anteriores, que dividen el intervalo [a,b] en subintervalos [𝑡𝑛−1, 𝑡𝑛], podemos obtener los pares

(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) aproximando la función solución en cada uno de los valores de abscisa 𝑡𝑛 de la siguiente

forma:

𝑦(𝑡𝑛) ≈ 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 +∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡𝑛

𝑡𝑛−1

𝑑𝑡.

El orden del método se debe a la cantidad de sumandos con los cuales se aproxima la

integral.

42

3.3.2. Runge Kutta orden 2 o Euler mejorado

En esta primera instancia utilizamos el método del trapecio para aproximar la integral en

cada uno de los subintervalos en los que se dividió el intervalo [𝑎, 𝑏]. Este método aproxima a la

integral mediante el promedio de los valores extremos, por ejemplo, en el caso del primer

intervalo, [𝑡0, 𝑡1] .

∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡1

𝑡0

𝑑𝑡 ≈ℎ

2 (𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) + 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1))).

Luego

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦(𝑡0) +ℎ

2 (𝑓(𝑡0, 𝑦(𝑡0)) + 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1)))

donde ℎ = 𝑡1 − 𝑡0.

Dado que 𝑦(𝑡1), que es el término que queremos aproximar, aparece en la expresión de la

aproximación aplicamos el método de Euler para aproximarlo y luego calcular 𝑓(𝑡1, 𝑦(𝑡1)), así

obtenemos que:

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +ℎ

2 (𝑓(𝑡0, 𝑦0) + 𝑓(𝑡1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0))).

Repitiendo este procedimiento en cada intervalo [𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1], esto es, usando el método de

Euler para aproximar el valor que queremos estimar y luego utilizando la regla del trapecio con el

objeto de corregir la estimación, se obtiene 𝑦𝑘+1 que es la aproximación de 𝑦(𝑡𝑛+1).

De esta forma el término general del método de Runge Kutta de orden 2 también llamado

método de Euler mejorado está dado por:

𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ

2 (𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛))).

Usualmente el método se presenta con las siguientes expresiones:

𝑘𝑛1 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑘𝑛2 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛))

𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1

2 (𝑘1 + 𝑘2).


mediante el método de Runge Kutta de orden 2.

En este caso también tomamos h=0.5, obteniendo las siguientes estimaciones:

𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 0.5 ∙ 𝑦(0) = 0.5

𝑘02 = ℎ 𝑓(𝑡1, 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0)) = 0.5 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 0.5 ∙ 1.5 = 0.75

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1

2 (𝑘01 + 𝑘02) = 1 +

1

2 (0.5 + 0.75) = 1.625

𝑘11 = ℎ 𝑓(𝑡1, 𝑦1) = 0.5 ∙ 𝑓(0.5,1.625) = 0.5 ∙ 1.625 = 0.8125

𝑘12 = ℎ 𝑓(𝑡2, 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑡1, 𝑦1)) = 0.5 ∙ 𝑓(1,1.625 + 0.5 ∙ 1.625) = 1.21875

43

𝑦(𝑡2) ≈ 𝑦2 = 𝑦1 +1

2 (𝑘11 + 𝑘12) = 1.625 +

1

2 (0.8125 + 1.21875) = 2.640625


este método es: |2.640625 − 2.71828| = 0.07766 siendo éste el menor error obtenido.

3.3.3. Runge Kutta orden 3

En este caso utilizamos el método de Simpson para aproximar la integral en el

intervalo [𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1] . Sea 𝑡𝑘+

1

2

=𝑡𝑘+𝑡𝑘+1

2, entonces

∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)𝑡𝑘+1

𝑡𝑘

𝑑𝑡 ≈

ℎ23 (𝑓(𝑡𝑘, 𝑦(𝑡𝑘)) + 4𝑓 (𝑡𝑘+1

2, 𝑦(𝑡

𝑘+12)) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑦(𝑡𝑘+1))).

Luego

𝑦(𝑡𝑘+1) ≈ 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 +ℎ

6 (𝑓(𝑡𝑘, 𝑦(𝑡𝑘)) + 4𝑓 (𝑡𝑘+1

2

, 𝑦(𝑡𝑘+

1

2

)) + 𝑓(𝑡𝑘+1, 𝑦(𝑡𝑘+1))).

En este caso tenemos dos cuestiones a resolver, ya que no conocemos 𝑦(𝑡𝑘+1/2) ni 𝑦(𝑡𝑘+1),

que es el término que queremos aproximar.

Podemos estimar 𝑦𝑛+1/2 mediante el método de Euler, siendo:

𝑦𝑛+1/2 = 𝑦𝑛 +ℎ

2 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛).

En el caso de 𝑦𝑛+1 tenemos más opciones siempre aplicando el método de Euler, algunas

son:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓 (𝑡𝑛+12, 𝑦𝑛+12)

donde la diferencia radica en la pendiente de la recta tangente, tomándose en el segundo caso en el

punto medio del intervalo en vez de hacerlo en el punto inicial como se hace habitualmente.

Usualmente se toma una combinación de las dos opciones:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ (2𝑓 (𝑡𝑛+12, 𝑦𝑛+12) − 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)).

Remplazando 𝑦𝑛+1 y 𝑦𝑛+1/2 en la aproximación de la integral se la siguiente expresión para el

método de Runge Kutta de orden 3:

𝑘𝑛1 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑘𝑛2 = ℎ 𝑓 (𝑡𝑛 +ℎ

2, 𝑦𝑛 +

1

2𝑘𝑛1)

𝑘𝑛3 = ℎ 𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 − 𝑘𝑛1 + 2𝑘𝑛2)

𝑦(𝑡𝑛+1) ≈ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1

6 (𝑘𝑛1 + 4𝑘𝑛2 + 𝑘𝑛3).

44



En este caso también tomamos h=1, obteniendo las siguientes estimaciones:

𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 1 ∙ 𝑓(0,0) = 1

𝑘02 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1

2, 𝑦0 +

1

2𝑘01) = 1 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 1 ∙ 1.5 = 1.5

𝑘03 = ℎ 𝑓(𝑡0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑘01 + 2𝑘02) = 1 ∙ 𝑓(1,1 − 1 + 2 ∙ 1.5) = 3

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1

6 (𝑘01 + 4𝑘02 + 𝑘3) = 1 +

1

6 (1 + 4 ∙ 1.5 + 3) = 2.6666


este método es: |2.6666 − 2.71828| = 0.05161 siendo éste el menor de los errores obtenidos

hasta ahora a pesar que en este caso la aproximación se realizó con un paso más grande.

3.3.4. Runge Kutta orden 4

Dado que este método se deduce de una manera similar a la expuesta en la sección anterior

para el caso de tercer orden introduciendo un nuevo paso intermedio en la evaluación de la

derivada sólo mostramos su formulación que está dada por:

𝑘𝑛1 = 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑘𝑛2 = 𝑓 (𝑡𝑛 +1

2ℎ, 𝑦𝑛 +

1

2𝑘𝑛1)

𝑘𝑛3=𝑓 (𝑡𝑛 +1

2ℎ, 𝑦𝑛 +

1

2𝑘𝑛2)

𝑘𝑛4=𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘𝑛3)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ

6 (𝑘𝑛1 + 2𝑘𝑛2 + 2𝑘𝑛3 + 𝑘𝑛4).



En este caso también tomamos ℎ = 1, obteniendo las siguientes estimaciones:

𝑘01 = ℎ 𝑓(𝑡0, 𝑦0) = 1 ∙ 𝑓(0,0) = 1

𝑘02 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1

2ℎ, 𝑦0 +

1

2𝑘01) = 1 ∙ 𝑓(0.5,1 + 0.5 ∙ 1) = 1 ∙ 1.5 = 1.5

𝑘03 = ℎ 𝑓 (𝑡0 +1

2ℎ, 𝑦0 +

1

2𝑘02) = 1 ∙ 𝑓 (0.5,1 +

1

21.5) = 1.75

𝑘04 = ℎ 𝑓(𝑡0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘03) = 1 ∙ 𝑓(1,1 + 1.75) = 2.75

𝑦(𝑡1) ≈ 𝑦1 = 𝑦0 +1

6 (𝑘01 + 2𝑘02 + 2𝑘03 + 𝑘04) = 1 +

1

6 (1 + 3 + 3.5 + 2.75) = 2.70833

o sea 𝑦(1) ≈ 2.70833 . Dado que la solución exacta es 2.71828 el error cometido al aproximar con

este método es: |2.70833 − 2.71828| = 0.009948 siendo éste el menor de los errores obtenidos.

45

3.4. Errores en la aproximación

Al deducir la fórmula de Euler para aproximar la solución de un problema de valor inicial se

descartó en cada iteración la expresión del error dado por ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑖) pues cuando a la solución se la

desarrolla como el polinomio de Taylor de orden 1 alrededor del punto 𝑡𝑖 ∈ [𝑎, 𝑏] se tiene que

𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)(𝑡 − 𝑡𝑖) +

(𝑡 − 𝑡𝑖)2

2𝑦′′(𝜉𝑖), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡, 𝑡𝑖).

Evaluando esta expresión en 𝑡𝑖+1, para cualquier i, se tiene:

𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) +

(𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖)2

2𝑦′′(𝜉𝑖), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1)

= 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)ℎ +

ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑖).

Pero por el método de Euler podemos aproximar 𝑦(𝑡𝑖+1) ≈ 𝑦(𝑡𝑖) + 𝑦′(𝑡𝑖)ℎ luego el error local por

cada iteración es 𝐸𝑖+1 = 𝑦(𝑡𝑖+1) − 𝑦𝑖+1 =ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑖).

Teniendo en cuenta que, por ser 𝑦(𝑡) continua, el error acumulado tras N pasos (error

global) será

ℎ2

2𝑦′′(𝜉0) +

ℎ2

2𝑦′′(𝜉1) +

ℎ2

2𝑦′′(𝜉2) + ⋯+

ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑁−1), 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1).

Tomando algún 𝜉 ∈ (𝑡0, 𝑡𝑁) y teniendo en cuenta que ℎ =𝑡𝑁−𝑡0

𝑁 se tiene que

ℎ2

2𝑦′′(𝜉0) +

ℎ2

2𝑦′′(𝜉1) +

ℎ2

2𝑦′′(𝜉2) + ⋯+

ℎ2

2𝑦′′(𝜉𝑁−1) =

𝑁ℎ2

2𝑦′′(𝜉) =

𝑁 (𝑡𝑁 − 𝑡0𝑁 )

2

2𝑦′′(𝜉)

=1

2ℎ𝑦′′(𝜉).

Este procedimiento puede aplicarse cuando se aproxima la solución tomando como

polinomio de Taylor de grado p mayor que 1, y se concluye que el error local es ℎ𝑝+1

(𝑝+1)!𝑦(𝑝+1)(𝜉𝑖)

con 𝜉𝑖 ∈ (𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1) y el error global es ℎ𝑝

(𝑝+1)!𝑦(𝑝+1)(𝜉) para algún 𝜉 ∈ (𝑡0, 𝑡𝑁).

Luego comparando el método de Runge-Kutta de orden 2 con el método de Taylor de

segundo orden, el error local es proporcional a ℎ3 y, por tanto, el global lo es a ℎ2.

Análogamente comparando el método de Runge-Kutta de orden 3 con el método de Taylor

de orden tres, el error local es proporcional a ℎ4 y, por tanto, el global lo es a ℎ3 y así

sucesivamente.

Observación 3.1. Si el grado en el polinomio de Taylor es muy grande y ℎ muy pequeño el error será

muy bajo. Es por esto que el método de Runge-Kutta de orden 4 da una aproximación mucho más

precisa respecto a los demás métodos.

46

3.5. Método numérico para sistemas

Los métodos numéricos de un paso planteados para una ecuación diferencial se aplican de

manera sencilla a sistemas de ecuaciones de primer orden, y, en consecuencia, a ecuaciones de

orden superior.

En los apartados siguientes se mostrarán las expresiones que permiten aproximar las

soluciones del problema de valor inicial de dos ecuaciones de primer orden:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦)

𝑥(0) = 𝑥0𝑦(0) = 𝑦0

para dos de los métodos desarrollados anteriormente.

3.5.1. Método de Euler

De la extensión natural del método de Euler desarrollado para una ecuación diferencial

resultan las siguientes expresiones que permiten aproximar la solución del sistema:

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛).

Ejemplo 3.6. Dado el problema de valor inicial

{

𝑦′ = 𝑧

𝑧′ = 0.05𝑧 − 0.15𝑦

𝑦(0) = 1

𝑧(0) = 0

estimamos la solución en 𝑡 = 1 utilizando el método de Euler con ℎ = 0.5.

A partir del sistema se tiene que 𝑓1(𝑡, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 y 𝑓2(𝑡, 𝑦, 𝑧) = 0.05𝑧 − 0.15𝑦, luego las expresiones

de las aproximaciones son:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓1(𝑡𝑛, 𝑦𝑛, 𝑧𝑛) = 𝑦𝑛 + ℎ𝑧𝑛

𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛 + ℎ𝑓2(𝑡𝑛, 𝑦𝑛, 𝑧𝑛) = 𝑦𝑛 + ℎ(0.05𝑧𝑛 − 0.15𝑦𝑛).

Calculando ara 𝑡1 = 𝑡0 + ℎ = 0 + 0.5 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑧0 = 1

𝑧1 = 𝑧0 + ℎ(0.05𝑧0 − 0.15𝑦0) = −0.075.

Y para 𝑡2 = 𝑡1 + ℎ = 0.5 + 0.5 = 1

𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑧1 = 0.96250

𝑧2 = 𝑧1 + ℎ(0.05𝑧1 − 0.15𝑦1) = −0.15187.

Luego 𝑦(1) = 0.96250 y 𝑧(1) = −0.15187.

47

3.5.2. Método de Runge-Kutta

Al extender el método de Runge Kutta que hemos desarrollado anteriormente resultan las

siguientes expresiones que permiten aproximar la solución del sistema:

𝑘1 = 𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 𝑙1 = 𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑘2 = 𝑓1 (𝑡𝑛 +ℎ

2, 𝑥𝑛 +

ℎ

2𝑘1, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑙1) 𝑙2 = 𝑓2 (𝑡𝑛 +

ℎ

2, 𝑥𝑛 +

ℎ

2𝑘1, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑙1)

𝑘3 = 𝑓1 (𝑡𝑛 +ℎ

2, 𝑥𝑛 +

ℎ

2𝑘2, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑙2) 𝑙3 = 𝑓2 (𝑡𝑛 +

ℎ

2, 𝑥𝑛 +

ℎ

2𝑘2, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑙2)

𝑘4 = 𝑓1(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑥𝑛 + ℎ𝑘3, 𝑦𝑛 + ℎ𝑙3) 𝑙4 = 𝑓2(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑥𝑛 + ℎ𝑘3, 𝑦𝑛 + ℎ𝑙3)

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +

ℎ

6(𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4).

Es importante notar que por cada ecuación que se agregue al sistema serán cinco

expresiones que hay que incorporar a la estimación de las aproximaciones.

Ejemplo 3.7. Dado el problema de valor inicial

{

𝑥′ = −4𝑥 + 3𝑦 + 6 = 𝑓1(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦′ = −2𝑥 + 𝑦 + 3 = 𝑓2(𝑡𝑛, 𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦(0) = 0𝑥(0) = 0

estimamos la solución en 𝑡 = 0.5 utilizando el método de Runge Kutta de orden cuatro con ℎ = 0.5.

A partir del sistema se tiene que 𝑓1(𝑡, 𝑥, 𝑦) = −4𝑥 + 3𝑦 + 6 y 𝑓2(𝑡, 𝑥, 𝑦) = −2𝑥 + 𝑦 + 3,

luego las expresiones de las aproximaciones son:

Usando el método de Runge-Kutta de orden cuatro se tiene que

𝑥1 = 𝑥0 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

𝑦1 = 𝑦0 +ℎ

6(𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4)

donde

𝑘1 = 𝑓1(𝑡0, 𝑥0, 𝑦0) = −4𝑥0 + 3𝑦0 + 6 = 6

𝑘2 = 𝑓1 (𝑡0 +ℎ

2, 𝑥0 +

ℎ

2𝑘1, 𝑦0 +

ℎ

2𝑙1) = 𝑓1 (

1

4,3

2,3

4) = −4

3

2+ 3

3

4+ 6 =

9

4

𝑘3 = 𝑓1 (𝑡0 +ℎ

2, 𝑥0 +

ℎ

2𝑘2, 𝑦0 +

ℎ

2𝑙2) = 𝑓1 (

1

4,9

16,3

16) = −4

9

16+ 3

3

16+ 6 =

69

16

𝑘4 = 𝑓1(𝑡0 + ℎ, 𝑥0 + ℎ𝑘3, 𝑦0 + ℎ𝑙3) = 𝑓1 (1

2,69

32,33

32) = −4

69

32+ 3

33

32+ 6 =

15

32

𝑙1 = 𝑓2(𝑡0, 𝑥0, 𝑦0) = −2𝑥0 + 𝑦0 + 3 = 3

𝑙2 = 𝑓2 (𝑡0 +ℎ

2, 𝑥0 +

ℎ

2𝑘1, 𝑦0 +

ℎ

2𝑙1) = 𝑓2 (

1

4,3

2,3

4) = −2

3

2+3

4+ 3 =

3

4

48

𝑙3 = 𝑓2 (𝑡0 +ℎ

2, 𝑥0 +

ℎ

2𝑘2, 𝑦0 +

ℎ

2𝑙2) = 𝑓2 (

1

4,9

16,3

16) = −2

9

16+3

16+ 3 =

33

16

𝑙4 = 𝑓2(𝑡0 + ℎ, 𝑥0 + ℎ𝑘3, 𝑦0 + ℎ𝑙3) = 𝑓2 (1

2,69

32,33

32) = −2

69

32+33

32+ 3 = −

9

32.

Luego

𝑥1 = 0 +1

12(6 + 2

9

4+ 2

69

16+15

32) =

209

128

𝑦1 = 0 +1

12(3 + 2

3

4+ 2

33

16−9

32) =

89

128.

49

CAPÍTULO IV

Modelos Epidemiológicos Clásicos

La epidemiología, es una disciplina científica en el área de la biología y de la medicina que

estudia la distribución, frecuencia, factores determinantes, predicciones y control de los factores

relacionados con la salud y las enfermedades existentes en diferentes poblaciones.

Los modelos matemáticos son una de las herramientas utilizadas hoy en día para el estudio

de problemas en epidemiología ya que permiten describir, explicar y predecir fenómenos y procesos

en dicha área. Son muy importantes para el estudio de enfermedades pues en la mayor parte de los

problemas de enfermedades infecciosas no es factible la experimentación ya que puede ser muy

costoso, peligroso, y/o incluso imposible. Por lo tanto, es natural intentar superar esta dificultad con

la construcción de un modelo que describa de manera adecuada las características básicas de la

enfermedad y entonces usarlo para analizar las consecuencias de introducir cambios específicos.

Además, los modelos permiten entender la dispersión de una enfermedad infecciosa bajo diferentes

escenarios.

El primer artículo conocido que incluye un modelo explícito para una enfermedad infecciosa

fue publicado en 1760 por D. Bernoulli. El hecho que las enfermedades infecciosas se transmiten

por contacto entre un individuo susceptible y otro infeccioso fue expresado en términos

cuantitativos recién en 1906 por W.H. Hamer, quien formuló la ley de acción de masas que

establece que:

“el número de contactos infecciosos, es decir que producen enfermedad, por unidad de

tiempo es proporcional al número total de contactos entre individuos infecciosos y sanos”.

Luego, Sir. Ronald Ross en 1911, desarrolló un modelo en ecuaciones diferenciales para la

malaria como una enfermedad huésped- vector que posteriormente fue utilizado para el control de

esta enfermedad en varias regiones.

Más tarde, en 1927, Kermack y Mc Kendrick formularon un modelo matemático bastante

general y complejo para describir la epidemia de peste que sufriera la India en 1906. Ellos

plantearon el modelo SIR que divide a la población en clases según sea el estado de los individuos

frente a la infección, a saber: susceptible, infectado y recuperado. Este modelo básico se ha ido

complejizando, para incorporar factores que intervienen en diferentes procesos infecciosos. Estos

modelos evolucionan en el tiempo según un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales

acopladas. Dado además que estos sistemas no son resolubles analíticamente, para conocer la

50

evolución de la epidemia a largo plazo, es necesario utilizar métodos de aproximación numérica o

hacer un análisis cualitativo

En este capítulo describiremos algunos modelos matemáticos epidemiológicos en que

suponen que los individuos se encuentran en solo uno de los estados posibles. En función de dichos

estados, la población puede estructurarse en clases, siendo estas susceptible, S, formada por los

individuos que pueden infectarse; infectado, I, es la que reúne a los individuos infecciosos y

recuperado, R, la integran los individuos que han alcanzado inmunidad. Los modelos que se

presentaran son: SI, SIS y SIR y en todos ellos se asume que la interacción entre los individuos es

aleatoria, es decir, la probabilidad de contacto entre individuos es independiente del estado de ellos

en relación a la infección.

Además haremos referencia a “modelo sin demografía” cuando en la dinámica poblacional no se

consideran los nacimientos ni las muertes.

4.1 Formulación matemática del modelo SI

4.1.1. Modelo SI sin demografía

Estos modelos estructuran a la población en dos estados: SUSCEPTIBLE e INFECCIOSO,

además los individuos susceptibles que se infectan son parte de la clase de infectados y se

mantendrán en ella.

Este modelo resulta útil para describir la dinámica de enfermedades en la que la infección es

de por vida. Un ejemplo de enfermedad que puede describirse adecuadamente mediante el modelo

SI es el VIH.

El siguiente diagrama de flujo esquematiza la interacción entre las dos clases en la que se

estructura la población:

Sea 𝑁(𝑡) el número total de individuos de una población en el tiempo 𝑡, dado que la población es

constate escribiremos 𝑁(𝑡) = 𝑁. Definiendo a 𝑋(𝑡) como cantidad de individuos susceptibles de la

población en el tiempo 𝑡 e 𝑌(𝑡) la cantidad de individuos infectados de la población en el tiempo 𝑡,

tenemos que:

𝑁 = 𝑋(𝑡) + 𝑌(𝑡).

Con el fin de poder modelar la dinámica tanto de 𝑋(𝑡) como de 𝑌(𝑡) definimos los siguientes

parámetros:

51

𝛽: tasa de transmisión de la enfermedad per cápita. Esto es, la probabilidad de que un

individuo susceptible se infecte al contactarse con un individuo infectado. Ésta se calcula

como el producto entre las tasas de contacto y la probabilidad de transmisión.

𝜆: fuerza de infección. Es decir, es el resultado de sumar la probabilidad de transmisión de

cada individuo infectado dividido por el tamaño de la población. Dado que estas

probabilidades son las mismas para todos los individuos infectados se tiene la siguiente

fórmula:

𝜆(𝑡) =𝛽𝑌(𝑡)

𝑁.

Debido a que la población es cerrada y constante, no es posible el ingreso de individuos a la

clase susceptible y los que salen de ella son los que se infectan que pasan a formar parte de la clase

infeccioso. Luego, la velocidad a la que disminuye el número de individuos susceptibles está dada

por:

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡= −𝜆(𝑡)𝑋(𝑡)

= −𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)

𝑁.

Además, en función de los supuestos del modelo, al aumentar la cantidad de individuos

infectados disminuye la de susceptibles y como la tasa de infección determina el número de

individuos por unidad de tiempo que se transfieren del compartimiento de susceptibles a

infecciosos entonces la tasa a la cual crece la población infectada está dada por

𝑑𝑌(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜆(𝑡)𝑋(𝑡).

Ahora bien, si en vez de considerar las variables como número de individuos que pertenecen

a una clase específica, consideramos las proporciones de los mismos, se tienen los siguientes

cambios de variables;

𝑋(𝑡)

𝑁= 𝑆(𝑡)

𝑌(𝑡)

𝑁= 𝐼(𝑡).

Donde 𝑆(𝑡) es la proporción de individuos susceptibles en el tiempo 𝑡, e 𝐼(𝑡) la proporción de

individuos infectados en el tiempo 𝑡.

Dada la expresión de la variación de X(t) y que estamos bajo el supuesto que la población es

constante (𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 0) deducimos la expresión para la velocidad a la que disminuye la proporción de

susceptibles de la siguiente forma:

𝑑𝑋(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)𝑁

𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡𝑁 + 𝑆(𝑡)

𝑑𝑁

𝑑𝑡=𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡𝑁

−𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)

𝑁=𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡𝑁

52

−𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡) =𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡.

De manera similar se deduce la velocidad a la que aumenta la proporción de infectados,

siendo:

𝑑𝑌(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)𝑁

𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡𝑁 + 𝐼(𝑡)

𝑑𝑁

𝑑𝑡=𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡𝑁

𝛽𝑌(𝑡)𝑋(𝑡)

𝑁=𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡𝑁

𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡) =𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡.

Entonces se postula la formulación del modelo SI sin demografía de la siguiente forma:

Dada una población de N individuos y sean S(t), I(t) la proporción de individuos susceptibles e

infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la dinámica de la

infección es modelada por el siguiente sistema:

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= −𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.

(1)

En la Figura 4.1 se muestra el resultado de dos simulaciones numéricas de la dinámica del

sistema considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 y el

parámetro 𝛽 toma dos valores distintos para poder apreciar como éste afecta el comportamiento a

largo plazo del sistema.

Figura 4.1. Simulación numérica de un modelo SI con condición inicial 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1

donde los valores de 𝛽 son: a) 𝛽 = 1 y b) 𝛽 = 0.25.

53

Observando el gráfico podemos concluir que en un modelo SI sin demografía, cuando se

produce una infección la misma alcanza a toda la población incluso cuando el número inicial de

individuos infectados es muy bajo. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará

analíticamente esta conclusión. Si bien en ambos casos, a largo plazo se tiene una población

totalmente infectada el tiempo que necesario depende del valor del parámetro 𝛽 siendo menor

cuando éste es mayor.

4.1.1.1 Estudio de los puntos críticos y su estabilidad

En el capítulo 2 del presente trabajo, hablamos acerca de la dificultad en determinar

explícitamente las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales desarrollando la

teoría cualitativa que permite describir el comportamiento del fenómeno a estudiar cerca de los

puntos de equilibrio. Mediante este estudio, dentro de un contexto epidemiológico, se podrá

conocer si el patógeno se extingue o no y de qué forma lo hace.

Como 𝑆(𝑡) = 1 − 𝐼(𝑡) se puede reducir (1) a la ecuación diferencial

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽(1 − 𝐼(𝑡))𝐼(𝑡) (2)

y obtener a partir de ella los puntos de equilibrio del sistema:

Un equilibrio es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0), denominado equilibrio libre de enfermedad ya que en

este caso no hay infectados en la población. Sin embargo, si introducimos un individuo infeccioso la

proporción de infectados crece pues la derivada entorno a 𝐼 = 0 –considerando valores positivos ya

que 0 < 𝐼(𝑡) - es positiva. Luego el equilibrio es inestable.

El otro punto de equilibrio es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (0,1), denominado equilibrio endémico en este

caso toda la población está infectada. Este punto de equilibrio es estable porque la derivada

entorno a 𝐼 = 1 - considerando valores de 𝐼(𝑡) < 1- es positiva., luego 𝐼(𝑡) crece hasta el valor

máximo que puede alcanzar que es 𝐼 = 1.

4.1.2. Modelo SI con demografía

En el modelo anterior, la escala de tiempo de propagación de la enfermedad es

suficientemente pequeña comparada con la de la dinámica demográfica de la población, lo que

permitió despreciar los eventos de nacimiento y muerte. Una manera de modificar dicho modelo,

para que incorpore la dinámica demográfica, es suponer que los nacimientos y muertes están

balanceados de tal forma que la población total, N, siga siendo constante pero en forma dinámica.

Además, supondremos que todos los individuos nacen siendo susceptibles. Para incorporar esta

situación en el modelo introducimos el parámetro μ que es la tasa de mortalidad y natalidad.

En este caso entonces se postula la formulación del modelo SI con demografía de la siguiente

forma:

54

Dada una población de N individuos y sean S(t) e I(t) la proporción de individuos susceptibles e

infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, donde todos los individuos que

nacen son susceptibles entonces la dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡).

(3)

En la Figura 4.2 se muestra el resultado de dos simulaciones de la dinámica del sistema

considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25 y el

parámetro 𝛽 toma dos valores distintos 𝛽 = 1 y 𝛽 = 0.2.

Figura 4.2. Simulaciones de un modelo SI con demografía donde

𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25, siendo a) 𝛽 = 1 y b) 𝛽 = 0.2.

A partir del gráfico podemos concluir que en un modelo SI con demografía, la dinámica de la

proporción de infectados presenta el mismo comportamiento que en un modelo SI sin demografía,

es decir se observa un crecimiento asintótico en la cantidad de individuos de la clase infectada. Sin

embargo, a largo plazo no llega a infectarse todo la población como ocurría en el caso sin

demografía. Cabe notarse que a menor valor de 𝛽 se tiene menor valor de asíntota, esto es

esperable ya que si la tasa de transmisión es menor, menos individuos serán alcanzados por la

infección. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará analíticamente esta

conclusión.

4.1.2.1. Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso

En este modelo, a diferencia del anterior, los individuos permanecerán en la clase infectados

hasta que mueren. Determinar el tiempo de permanencia en esta clase es el objetivo de este

apartado.

Consideremos una población con 𝐼(0) individuos infectados a la cual no se incorporan

nuevos individuos y que decrece debido a la mortalidad. Luego, la siguiente ecuación modela su

dinámica:

55

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= −𝜇𝐼(𝑡).

Al resolverla obtenemos una expresión para 𝐼(𝑡) que indica la proporción de individuos que

queda en el estado 𝐼 después de t unidades de tiempo, habiéndose considerado que no hay

ingresos desde el estado susceptible, como se muestra a continuación:

1

𝐼(𝑡).𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= −𝜇

∫𝑑𝑙𝑛(𝐼(𝑠))

𝑑𝑠𝑑𝑠

𝑡

0

= ∫ −𝜇𝑑𝑠𝑡

0

𝑙𝑛(𝐼(𝑡)) − ln(𝐼(0)) = −𝜇𝑡

𝑙𝑛(𝐼(𝑡)) = −𝜇𝑡 + ln(𝐼(0))

𝐼(𝑡) = 𝐼(0)𝑒−𝜇𝑡.

Luego 𝐼(𝑡) es una variable aleatoria que presenta una distribución Poisson ya que expresa

con una tasa 𝜇, la probabilidad de que una determinada proporción de individuos persista en el

estado infeccioso durante cierto período de tiempo. Luego la duración del período de infección se

distribuye de manera exponencial con media 1

𝜇 , que es el período de permanencia en la clase

infecciosa.

4.1.2.2. Número reproductivo básico, 𝑹𝟎

Uno de los factores más importantes a estudiar es si la enfermedad desaparecerá

paulatinamente ó perdurará en la población durante un largo periodo de tiempo. Y si esto último

ocurre cómo es su evolución temporal y cuándo empieza a decaer. Se dice que una enfermedad es

una epidemia cuando afecta a un número de individuos superior al esperado en una población

durante un tiempo determinado. En caso de que la epidemia se extendiera por varias regiones

geográficas extensas de varios continentes o incluso de todo el mundo, se dice que es

una pandemia. Mientras que si la enfermedad infecciosa persiste en el tiempo en una región

determinada y con un número bajo de infectados se habla de endemia.

Para poder determinar si una endemia se convertirá en una epidemia debemos ver en qué

puntos la función que describe la proporción de infectados por unidad de tiempo es creciente. Es

decir, cuando:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝜇)𝐼(𝑡) > 0.

Dado que siempre 𝐼(𝑡) > 0, entonces 𝛽𝑆(𝑡) − 𝜇 > 0 y así 𝑆(𝑡) >𝜇

𝛽. De este modo, una

enfermedad puede propagarse sólo si hay una fracción umbral de susceptibles mayor que 𝜇

𝛽.

Cuando en una población que es completamente susceptible, es decir 𝑆(0) = 1, se introduce

un individuo infectado que infecta a 𝛽 individuos susceptibles por unidad de tiempo y que

https://es.wikipedia.org/wiki/Continente

https://es.wikipedia.org/wiki/Mundo

https://es.wikipedia.org/wiki/Pandemia

https://es.wikipedia.org/wiki/Endemia

56

permanece infectado durante 1

𝜇 unidades de tiempo, éste producirá 𝛽.

1

𝜇 individuos infectados. A tal

número se lo llama número reproductivo básico y se lo denota por 𝑅0 .

Luego una enfermedad sólo puede propagarse si 𝑆(0) = 1 >1

𝑅0 , esto es, si 𝑅0 > 1. Esta

desigualdad tiene sentido ya que si la infección no se puede transmitir con éxito a más de un nuevo

huésped ésta no va a poder propagarse.

4.1.2.3. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad

Dado que 𝑆(𝑡) = 1 − 𝐼(𝑡) se puede reducir (3) a la ecuación diferencial:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝜇]𝐼(𝑡) (4)

y obtener a partir de ella los puntos de equilibrio del sistema.

Nuevamente en este caso, uno de los equilibrios es el (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0), denominado

equilibrio libre de enfermedad que vuelve a ser inestable dado que si introducimos un individuo

infeccioso la proporción de infectados crece pues la derivada entorno a 𝐼 = 0 –considerando

valores en el intervalo 0 < 𝐼(𝑡) < 1 −𝜇

𝛽 - es positiva.

El otro punto de equilibrio es (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝜇

𝛽, 1 −

𝜇

𝛽), el equilibrio endémico. Este punto de

equilibrio es estable porque la derivada entorno a 𝐼 = 1 −𝜇

𝛽 es negativa - considerando valores

entre 1 −𝜇

𝛽< 𝐼(𝑡) ≤ 1 - y es positiva - considerando valores entre 0 < 𝐼(𝑡) < 1 −

𝜇

𝛽. Notemos que

en un modelo SI con demografía, 𝜇 ≠ 0, la proporción de infectados nunca puede ser toda la

población pues 1 −𝜇

𝛽< 1 y a la vez 1 −

𝜇

𝛽> 0 lo que pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la

enfermedad persiste.

4.2 Formulación matemática del modelo SIS

4.2.1. Modelo SIS sin demografía

En estos modelos la infección no es permanente, es decir, los individuos que se infectan

pueden volver al estado susceptible, sin inmunidad. El siguiente diagrama de flujo esquematiza la

interacción entre las dos clases en la que se estructura la población:

Con el fin de incorporar en el modelo el efecto de que un individuo infectado vuelva a ser

susceptible, esto es, la transición del estado 𝐼(𝑡) a 𝑆(𝑡) introducimos el parámetro 𝛾 que es la tasa

de recuperación per cápita.

57

Entonces se postula la formulación del modelo SIS sin demografía de la siguiente forma:

Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) la proporción de individuos

susceptibles e infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la

dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)

𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.

(5)

En la Figura 4.3 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema

considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1,y se asignan distintos

valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.

Figura 4.3. Simulaciones de un modelo SIS sin demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo

a) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.6 y d) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.45.

Lo primero que se puede apreciar en la Figura 4.3 es que en ningún momento toda la

población está infectada, que no excluye la posibilidad que todos los individuos hayan estado en la

clase infecciosa en algún momento. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará

analíticamente esta conclusión. Además, vemos que al mantener fija la tasa de contagio, los valores

de asíntotas decrecen para la cantidad de susceptibles cuando la tasa de recuperación decrece y

que si mantenemos fijar la tasa de recuperación los valores de asíntotas crecen para la cantidad de

susceptibles cuando la tasa de contagio decrece.

58


Procediendo de forma análoga a como se dedujo el tiempo medio que permanecen los

individuos en la clase infeccioso para el modelo SI en el apartado 4.1.2.1 obtenemos que el tiempo

medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso antes de pasar a la clase susceptible en

un modelo SIS sin demografía es 1

𝛾.


El número reproductivo básico para el modelo SIS sin demográfica se calculó siguiendo el

mismo razonamiento que en un modelo SI como se mostró en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose que

𝑅0 =𝛽

𝛾, luego la enfermedad persiste si

𝛽

𝛾= 𝑅0 > 1.


Al reducir el sistema (5) a la ecuación diferencial:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝛾]𝐼(𝑡) (6)

se tiene que los puntos de equilibrio son: (𝑆∗, 𝐼∗) = (1,0) y (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝛾

𝛽, 1 −

𝛾

𝛽). Al analizar la

estabilidad, de la misma forma que en los modelos anteriores, se tiene que el equilibrio libre de

infección es inestable mientras que el endémico es estable.

Nuevamente notemos que en un modelo SIS sin demografía, 𝛾 ≠ 0, la proporción de

infectados nunca puede ser toda la población pues 1 −𝛾

𝛽< 1. Del mismo modo al ser 1 −

𝛾

𝛽> 0 se

pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la enfermedad persiste.

4.2.2. Modelo SIS con demografía

En este caso suponemos nuevamente que todos los individuos nacen siendo susceptibles y

que los nacimientos y muertes están balanceados de tal forma que la población total, N, siga siendo

constante pero en forma dinámica Para esto introducimos el parámetro 𝜇 que es la tasa de

mortalidad y natalidad y entonces se postula la formulación del modelo SIS con demografía de la

siguiente forma:

Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) la proporción de individuos

susceptibles e infecciosos respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la


59

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇 + 𝛾𝐼(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − (𝛾 + 𝜇)𝐼(𝑡)

𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) = 1.

(7)


considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝜇 = 0.25 y se

asignan distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.

Figura 4.4. Simulaciones de un modelo SIS con demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo

a) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.45 y d) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.45.

Al analizar los gráficos podemos concluir que en un modelo SIS con demografía, la

proporción de infectados presenta el mismo comportamiento que en un modelo SIS sin demografía,

la diferencia radica en la cantidad de infectados que alcanza a largo plazo siendo menor al

considerar la demografía. En el apartado donde se analizan los equilibrios se mostrará

analíticamente esta conclusión.


En este modelo, los individuos infecciosos permanecerán en el estado infeccioso durante un

período determinado, ya sea porque se vuelven susceptibles o mueren siendo la proporción de

individuos infectados que pasan al estado susceptible 𝛾𝐼(𝑡) y la proporción de infectados que

60

mueren 𝜇𝐼(𝑡). Con el fin de calcular el tiempo medio que permanecen los individuos en la clase

infeccioso consideramos una población inicial 𝐼(0) y en base a la ecuación diferencial que modela la

dinámica de la población infectada determinamos la proporción de individuos infectados que

permanece en dicho estadio después de t unidades de tiempo, 𝐼(𝑡). Considerando que la velocidad

a la que disminuye la proporción de infectados se debe su recuperan, esto es que vuelven al estadio

susceptibles, o muerte y procediendo como en el apartado 4.1.2.1 se obtiene la siguiente función

que permite conocer la proporción de individuos que permanecen en el estadio 𝐼 después de x

unidades de tiempo cuando la población inicial fue 𝐼(0):

𝐼(𝑥) = 𝐼(0)𝑒(−𝛾−𝜇)𝑥.

Nuevamente, 𝐼(𝑥) es una variable aleatoria que se distribuye Poisson con parámetro 𝛾 + 𝜇

que es la tasa a la cual los infecciosos dejan el estadio, esto es, la suma de la tasa de mortalidad y de

recuperación. Luego la duración del período de infección se distribuye de manera exponencial con

media 1

𝛾+𝜇, que es el período de permanencia en la clase infecciosa.

Notemos que el tiempo medio de permanencia en el estadio infeccioso es menor en este

modelo que en el que no se consideró la demografía. Esto se debe a que en este caso los individuos

infectados pueden dejar de permanecer en este estadio debido a que se recuperan o a que mueren

mientras que en el modelo sin demografía la única forma es mediante la transición al estadio

susceptible.


El número reproductivo básico para el modelo SIS con demográfica se calculó siguiendo el

mismo razonamiento que en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose en este caso que 𝑅0 =𝛽

𝛾+𝜇, siendo

menor que en el caso sin demografía ya que el tiempo de permanencia en el estadio es menor.


Reduciendo el sistema (7) a la ecuación diferencial

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= [𝛽(1 − 𝐼(𝑡)) − 𝛾 − 𝜇]𝐼(𝑡) (8)

obtenemos los siguientes puntos de equilibrio: 𝐼∗ = 0, 𝐼∗ = 1 −𝛾+𝜇

𝛽.

Luego los equilibrios del sistema son el equilibrio libre de infección que es inestable y el

equilibrio endémico dado (𝑆∗, 𝐼∗) = (𝛾

𝛽, 1 −

𝛾+𝜇

𝛽) que es estable.

Nuevamente notemos que en un modelo SIS con demografía, 𝛾 ≠ 0, 𝜇 ≠ 0, luego la

proporción de infectados nunca puede ser toda la población pues 1 −𝛾+𝜇

𝛽< 1. Del mismo modo al

ser 1 −𝛾+𝜇

𝛽> 0 se pone en evidencia que 𝑅0 > 1 por lo cual la enfermedad persiste.

61

4.3 Formulación matemática del modelo SIR

4.3.1 Modelo SIR sin demografía

Estos modelos estructuran la población en tres estados: SUSCEPTIBLE, INFECCIOSO y

RECUPERADO, siendo útil esta estructuración para describir la dinámica de enfermedades en las que

la infección conlleva una inmunidad vitalicia para el individuo como ocurre en el caso del sarampión

o la rubeola, entre otros.

Comparte con los modelos SIS y SI sin demografía el supuesto que la escala de tiempo de

propagación de la enfermedad es suficientemente pequeña en relación a la dinámica demográfica

de la población

El siguiente diagrama de flujo esquematiza la interacción entre las tres clases en la que se

estructura la población:

Con el objetivo de introducir al modelo la transición del estadio infeccioso al recuperado

redefinimos el parámetro 𝛾 como la tasa de recuperación y entonces se puede postular el sistema

de ecuaciones diferenciales que rige el modelo SIR sin demografía de la siguiente forma:

Dada una población de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) la proporción de individuos susceptibles,

infecciosos y recuperados respectivamente de dicha población en el instante t, entonces la


{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= −𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡)

𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 1𝑆(0) > 0, 𝐼(0) > 0 𝑦 𝑅(0) = 0.

(9)


considerando una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 y se asignan

distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.

62

Figura 4.5. Simulaciones de un modelo SIR sin demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo a)

𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15, b) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.6,c) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.6 y d) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15.

Observando el gráfico podemos apreciar que en el modelo SIR sin demografía, la cantidad de

infectados alcanza un máximo y luego decrece tendiendo a desaparecer. Por lo cual, la cantidad de

recuperados aumenta y se estabiliza. Si bien, en todos los gráficos se observa una dinámica en

común, el segundo gráfico presenta una proporción máxima de infectados baja y lo mismo ocurre

con los recuperados, esto es debido a que la tasa de contacto entre susceptibles e infecciosos es

muy baja y a su vez la tasa de recuperación es alta.

4.3.1.1 Tiempo medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso

Procediendo de forma análoga a como se dedujo el tiempo medio que permanecen los

individuos en la clase infeccioso para el modelo SI en el apartado 4.1.2.1 obtenemos que el tiempo

medio que permanecen los individuos en la clase infeccioso antes de pasar a la clase recuperados en

un modelo SIR sin demografía es 1

𝛾.

63

4.3.1.2 Número reproductivo básico, 𝑹𝟎

El número reproductivo básico para el modelo SIR sin demográfica se calculó siguiendo el

mismo razonamiento que en un modelo SI como se mostró en el apartado 4.1.2.2 obteniéndose que

𝑅0 =𝛽

𝛾, luego la enfermedad persiste si

𝛽

𝛾= 𝑅0 > 1.

4.3.1.3 Número máximo de infecciosos

En las simulaciones se observa que el número de infecciosos alcanza un valor máximo y

luego decrece. En este aparado nos ocupamos de determinar analíticamente dicho valor.

El instante en que se alcanza el número máximo de infecciosos será cuando no hay cambios

en la población infecciosa, esto es cuando:

0 =𝑑𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0)

0 = (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝛾)𝐼(𝑡0)

es decir, en el instante 𝑡0 donde 𝐼(𝑡0) = 0 ó 𝑆(𝑡0) =𝛾

𝛽 .

El hecho que 𝐼(𝑡0) = 0 puede ocurrir en dos momentos distintos, cuando 𝑡0 = 0, teniéndose

en este caso una población completamente susceptible, o cuando 𝑡0 ≠ 0 ,y en este caso la

población está compuesta sólo por susceptibles y recuperados. Dado que en ambos casos 𝐼(𝑡) toma

valores entre 0 y 1, se trata de un mínimo.

Analicemos ahora si 𝐼(𝑡) alcanza su máximo valor en el instante 𝑡0 en el cual 𝑆(𝑡0) =𝛾

𝛽

utilizando la segunda derivada:

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= 𝛽

𝑑𝑆(𝑡0)

𝑑𝑡𝐼(𝑡0) + 𝛽𝑆(𝑡0)

𝑑𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡− 𝛾

𝑑𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= −𝛽2𝑆(𝑡0)𝐼

2(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝛾)(𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= −𝛽2

𝛾

𝛽𝐼2(𝑡0) + (𝛽

𝛾

𝛽− 𝛾) (𝛽

𝛾

𝛽𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2== −𝛽2

𝛾

𝛽𝐼2(𝑡0) < 0.

Luego probamos que el número máximo de infecciosos se haya en el tiempo 𝑡0 para el cual

𝑆(𝑡0) =𝛾

𝛽. Para determinara 𝐼(𝑡0) planteamos la variación de la población infecciosa en función de

la susceptible, esto es:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡)=𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡)

−𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= (−1 +

𝛾

𝛽𝑆(𝑡))𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡

64

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= −

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡+𝛾

𝛽

𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]

𝑑𝑡

∫𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑡 = ∫−

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡+𝛾

𝛽


𝑑𝑡𝑑𝑡

𝐼(𝑡) = −𝑆(𝑡) +𝛾

𝛽ln[𝑆(𝑡)] + 𝐶(𝑆(𝑡′), 𝐼(𝑡′)).

Dado que la integral que se resolvió es indefinida, se tiene en la fórmula obtenida para

𝐼(𝑡)una constante 𝐶(𝑆(𝑡′), 𝐼(𝑡′)) donde 𝑡′ es un instante dado en [0, 𝑡]. De esta forma para cada

constante tenemos una curva solución diferente.

Por otro lado como en 𝑡 = 0, no hay individuos recuperados se considera que 𝑆(0) + 𝐼(0) =

𝑁. Luego, se tiene una familia de curvas solución, que pueden representarse en un diagrama de fase

como se muestra en la siguiente figura.

Dado que nuestro objetivo es determinar 𝐼(𝑡0), trabajamos con la curva solución que pasa por

(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)), es decir:

𝐶(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)) = 𝐼(𝑡) + 𝑆(𝑡) −𝛾

𝛽ln[𝑆(𝑡)]

pero como también esta curva solución pasa por (𝑆(0), 𝐼(0)) entonces

𝐶(𝑆(𝑡0), 𝐼(𝑡0)) = 𝐶(𝑆(0), 𝐼(0)) = 𝐼(0) + 𝑆(0) −𝛾

𝛽ln[𝑆(0)]

siendo

𝐼(𝑡) = −𝑆(𝑡) +𝛾

𝛽ln[𝑆(𝑡)] + 𝐼(0) + 𝑆(0) −

𝛾

𝛽ln[𝑆(0)].

Luego el número máximo de individuos infecciosos está dado por:

𝐼(𝑡0) = −𝑆(𝑡0) +𝛾

𝛽ln[𝑆(𝑡0)] + 𝐼(0) + 𝑆(0) −

𝛾

𝛽ln[𝑆(0)]

𝐼(𝑡0) = −𝛾

𝛽+𝛾

𝛽(𝛾 − 𝛽) + 𝐼(0) + 𝑆(0) −

𝛾

𝛽ln[𝑆(0)].

4.3.1.4. Causa de la desaparición de la infección

Una de las razones que podría ser la causa que la infección desaparezca es que no haya más

individuos capaces de contagiarse, es decir que a partir de algún momento 𝑆(𝑡) = 0. Analicemos si

65

esto es posible, para ello determinamos analíticamente el número mínimo de susceptible en la

población planteando la variación de la población susceptible en función de la población

recuperada, esto es:

𝑑𝑆

𝑑𝑅= −

𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝛾𝐼(𝑡)

𝑑𝑆

𝑑𝑅= −𝑅0𝑆(𝑡)

1

𝑆(𝑡) 𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= −𝑅0

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡


𝑑𝑡= −𝑅0

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡

∫𝑑𝑙𝑛[𝑆(𝑡)]

𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

= ∫ −𝑅0𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

𝑙𝑛[𝑆(𝑥)] − 𝑙𝑛[𝑆(0)] = −𝑅0𝑅(𝑥) + 𝑅0𝑅(0)

𝑙𝑛[𝑆(𝑥)] = 𝑙𝑛[𝑆(0)] − 𝑅0𝑅(𝑥) + 0

𝑆(𝑥) = 𝑆(0)𝑒−𝑅0𝑅(𝑥).

Dado que la epidemia se desarrolla si 𝑅0 > 1 entonces 𝑆(𝑥) disminuye a medida que 𝑅(𝑥)

aumenta. Además como 𝑅(𝑥) ≤ 1 entonces −𝑅0𝑅(𝑥) ≥ −𝑅0 y por ser la función exponencial

monótona la desigualdad se mantiene, esto es, 𝑒−𝑅0𝑅(𝑥) ≥ 𝑒−𝑅0 y como 𝑆(0) > 0 entonces

𝑆(𝑥) = 𝑆(0)𝑒−𝑅0𝑅(𝑥) ≥ 𝑆(0)𝑒−𝑅0 .

Esta última desigualdad nos está diciendo que siempre habrá algunos susceptibles en la

población que se escapan de la infección pues 𝑆(0)𝑒−𝑅0 > 0. Luego, la cadena de transmisión se

rompe con el tiempo debido a la disminución de los infecciosos y no por falta de individuos

susceptibles.

4.3.1.5. Estudio de los puntos críticos y su estabilidad.

En este caso como 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡) entonces el sistema (9) se reduce a dos ecuaciones

diferenciales

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝐼(𝑡)𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝛾)𝐼(𝑡)

(10)

y obtenemos los siguientes puntos de equilibrio libres de enfermedad (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (𝑆∗, 0,1 − 𝑆∗),

𝑆∗ ∈ [0,1].

Antes de analizar la estabilidad del punto crítico lo trasladamos al origen realizando el

siguiente cambio de variables: 𝑆̅ = 𝑆 − 𝑆∗, 𝐼 ̅ = 𝐼 − 𝐼∗. Luego como 𝐸(𝑆̅, 𝐼)̅ = 𝑆̅ + 𝐼 ̅ es una función

de Liapunov para el sistema (10), y además 𝐸′(𝑆̅, 𝐼)̅ = −𝛾𝐼 ̅ < 0 entonces por el Teorema 2.5 el

66

punto crítico (0,0) es asintóticamente estable. Luego (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (𝑆∗, 0,1 − 𝑆∗), 𝑆∗ ∈ [0,1] son

asintóticamente estables.

4.4.2. Modelo SIR con demografía

Considerando los mismos supuestos que en los casos anteriores incorporamos la demografía

al modelo SIR anteriormente descripto, entonces se puede postular el sistema de ecuaciones

diferenciales que rige un modelo SIR con demografía de la siguiente forma:

Dada una población constante de N individuos y sean 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) la proporción de

individuos susceptibles, infecciosos y recuperados respectivamente de dicha población en el

instante t, entonces la dinámica de la infección es modelada por el siguiente sistema:

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇 − 𝜇𝑆(𝑡) − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛾𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡)

𝑑𝑅(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛾𝐼(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)

𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 1𝑆(0) > 0, 𝐼(0) > 0 𝑦 𝑅(0) = 0.

(11)

En la Figura 4.6 se muestra el resultado de simulaciones de la dinámica del sistema considerando

una población de 1000 individuos donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1, 𝑍(0) = 0 –ningún individuo

recuperado-y se asignan distintos valores para los parámetros 𝛽 y 𝛾.

La Figura 4.6 nos permite observar que en el modelo SIR con demografía, la cantidad de

infectados alcanza un máximo y luego decrece tendiendo a un valor, no necesariamente cero, esto

demuestra que en este modelo a diferencia del SIR sin demografía la infección no tiende a

desaparecer sino que persiste en la población. Por otro lado, la cantidad de recuperados aumenta

hasta estabilizarse.

Si bien, en todos los gráficos se observa una dinámica en común, el primer gráfico presenta

una cantidad máxima de infectados baja y lo mismo ocurre con los recuperados, esto es debido a

que la tasa de infección es muy baja y a su vez la tasa de recuperación es alta.

67

Figura 4.6. Simulaciones de un modelo SIR con demografía donde 𝑋(0) = 999, 𝑌(0) = 1 siendo a)

𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.52, b) 𝛽 = 0.2, 𝛾 = 0.15,c) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.15 y d) 𝛽 = 0.8, 𝛾 = 0.52.

4.4.2.1. Número máximo de infecciosos

Nuevamente como en el caso sin demografía, en las simulaciones se observa que el número

de infecciosos alcanza un valor máximo y luego decrece. En este aparado nos ocuparemos de

determinar analíticamente dicho valor para lo cual primero determinaremos el instante, 𝑡0, donde

I(t) no cambia procediendo como en 4.3.1.3, esto es:

0 =𝑑𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0)

0 = (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾)𝐼(𝑡0)

Luego se tiene que 𝑡0 satisface𝐼(𝑡0) = 0 ó 𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾

𝛽.

Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado 4.3.1.3, se tienen que 𝐼(𝑡0) = 0 es un

mínimo.

Analicemos ahora si 𝐼(𝑡) alcanza su máximo valor en el instante 𝑡0 en el cual 𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾

𝛽

utilizando la segunda derivada:

68

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= 𝛽

𝑑𝑆(𝑡0)

𝑑𝑡𝐼(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾)

𝑑𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= −𝛽2𝑆(𝑡0)𝐼

2(𝑡0) + (𝛽𝑆(𝑡0) − 𝜇 − 𝛾))(𝛽𝑆(𝑡0)𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= −𝛽2

𝜇 + 𝛾

𝛽𝐼2(𝑡0) + (𝛽

𝜇 + 𝛾

𝛽− 𝜇 − 𝛾))(𝛽

𝜇 + 𝛾

𝛽𝐼(𝑡0) − 𝜇𝐼(𝑡0) − 𝛾𝐼(𝑡0))

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2

𝑑2𝐼(𝑡0)

𝑑𝑡2= −𝛽2

𝜇 + 𝛾

𝛽𝐼2(𝑡0) < 0.

Luego probamos que el número máximo de infecciosos se tiene en el tiempo 𝑡0 para el cual

𝑆(𝑡0) =𝜇+𝛾

𝛽. Para determinara 𝐼(𝑡0) planteamos la variación de la población infecciosa en función

de la susceptible y procediendo como en 4.3.1.3 obtenemos que el número máximo de individuos

infecciosos está dado por:

𝐼(𝑡0) = −𝛾 + 𝜇

𝛽+𝛾 + 𝜇

𝛽(𝛾 + 𝜇 − 𝛽) + 𝐼(0) + 𝑆(0) −

𝛾 + 𝜇

𝛽ln[𝑆(0)].


Procediendo como en el apartado 4.1.2.1 se tiene que el período de permanencia en la clase

infecciosa es 1

𝛾+𝜇.


Procediendo como se procedió en 4.1.2.2 el número reproductivo básico es 𝑅0 = 𝛽.1

𝛾+𝜇 .


Nuevamente, como 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡) entonces el sistema (11) se reduce a dos

ecuaciones diferenciales

{

𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜇 − (𝜇 + 𝛽𝐼(𝑡))𝑆(𝑡)

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡= (𝛽𝑆(𝑡) − 𝛾 − 𝜇)𝐼(𝑡. )

Cuyo equilibrio libre de infección es (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (1,0,0) y el equilibrio endémico es (𝑆∗, 𝐼∗, 𝑅∗) =

(1

𝑅0,𝜇(𝑅0−1)

𝛽, 1 −

1

𝑅0−𝜇(𝑅0−1)

𝛽).

Analizamos la estabilidad local de cada punto de equilibrio trabajando con el sistema (12) y

como este es no lineal para llevar a cabo tal análisis utilizamos el proceso de lineación desarrollado

69

en el capítulo 2 que nos asegura que el comportamiento de las trayectorias de (12) cerca del punto

crítico será similar al de las trayectorias del sistema linealizado:

𝐽 (𝑆 − 𝑆∗

𝐼 − 𝐼∗) = (

−(𝜇 + 𝛽𝐼) −𝛽𝑆𝛽𝐼 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇

)(𝑆 − 𝑆∗

𝐼 − 𝐼∗)

donde J es el jacobiano del sistema (12).

Para poder aplicar el teorema de Linealizacion de Liapunov y Poincaré (Teorema 2.4.)

realizamos el cambio de variable 𝑆̅ = 𝑆 − 𝑆∗, 𝐼 ̅ = 𝐼 − 𝐼∗ y de este modo trasladamos el punto de

equilibrio al (0,0).

Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre (1,0).

Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene la siguiente matriz:

(−𝜇 −𝛽0 𝛽 − 𝛾 − 𝜇

)

cuyos autovalores son 𝜆1 = −𝜇 y 𝜆2 = 𝛽 − 𝛾 − 𝜇. Luego, como son números reales por el Teorema

2.4. el punto crítico (1,0) del sistema (12) es asintóticamente estable si 𝛽 − 𝛾 − 𝜇 < 0, es decir,

𝛾 + 𝜇 > 𝛽 o bien, 1 >𝛽

𝛾+𝜇= 𝑅0. Entonces podemos concluir que si el sistema sufre algún tipo de

perturbación siempre se vuelve al equilibrio ya que 𝑅0 < 1 por lo cual la infección no logra

expandirse. En caso contrario, esto es cuando 𝛽 − 𝛾 − 𝜇 > 0 cualquier perturbación conduce a que

la infección se propague ya que 𝑅0 > 1.

Análisis de la estabilidad local del equilibrio endémico (1

𝑅0,𝜇(𝑅0−1)

𝛽).

Al evaluar el jacobiano en dicho punto de equilibrio se tiene la siguiente matriz:

(−𝜇𝑅0 −𝛽

1

𝑅0𝜇(𝑅0 − 1) 0

)

cuyos autovalores son 𝜆1, 𝜆2 = −𝜇𝑅0

2±1

2√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) .

Si 𝑅0 < 1 entonces √(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) = √(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) > 𝜇𝑅0

y así √(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) − 𝜇𝑅0 > 0 y −√(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(1 − 𝑅0) − 𝜇𝑅0 < 0,

luego los autovalores son reales de distinto signo obteniendo así un equilibrio inestable.

Si 𝑅0 > 1 entonces pueden ocurrir dos casos:

i) (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > 0

ii) (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0

En cada caso analizamos como son los autovalores para luego determinar si el punto de

equilibrio es estable o inestable.

i) Cuando (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > 0 tendremos dos autovalores reales. Siendo uno de

los autovalores −𝜇𝑅0

2−1

2√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0. Para analizar el signo del otro

70

autovalor veamos que (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < (𝜇𝑅0)

2, luego

−√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) > −𝜇𝑅0 siendo −𝜇𝑅0 +√(𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0 con

lo cual probamos que ambos autovalores son negativos con lo cual el punto crítico es

asintóticamente estable.

ii) Cuando (𝜇𝑅0)2 − 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1) < 0 entonces los autovalores son imaginarios con

parte real negativa, 𝜆1, 𝜆2 = −𝜇𝑅0

2± 𝑖

1

2√−(𝜇𝑅0)2 + 4𝜇(𝛾 + 𝜇)(𝑅0 − 1), luego el equilibrio es


Luego si 𝑅0 < 1 el equilibrio endémico es inestable mientras que si 𝑅0 > 1 es


71

Capítulo V

Modelos Epidemiológicos para Poblaciones Estructuradas y/o

Comunidades

Una de las preocupaciones más importantes sobre cualquier enfermedad infecciosa es su

capacidad de invadir una población. Muchos modelos epidemiológicos tienen un equilibrio libre de

enfermedad (DFE) en el que la población permanece en ausencia de esta. Estos modelos

generalmente tienen un parámetro umbral, conocido como número de reproducción básico, R0, de

modo que si R0 < 1, entonces el DFE es asintóticamente estable, y la enfermedad no puede

prevalecer en la población, si R0 > 1, el DFE es inestable y la propagación siempre es posible pero si

R0 = 1 la enfermedad persiste en la población pero ni desaparecer ni se propaga.

En el capítulo anterior se calculó el R0 cuando una población se estructura en términos del

estado del individuo respecto a la infección, esto es: susceptibles, infectados o recuperados,

calculándose R0 como el producto entre el tiempo de vida del individuo infeccioso y la tasa de

transmisión de la infección.

En este capítulo se modela la dinámica de la infección cuando la población puede

estructurarse en subpoblaciones o cuando se trabaja en comunidades donde poblaciones de

distintas especies interactúan.

5.1. Modelo epidemiológico para poblaciones heterogéneas

Supongamos que una población puede dividirse en subpoblaciones homogéneas, de modo

que los individuos en una subpoblación determinada no se distingan entre sí. Es decir, los

parámetros pueden variar de una subpoblación a otra, pero son idénticos para todos los individuos

dentro de una subpoblación determinada.

Sea 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) con cada 𝑥𝑖 ≥ 0 el número de individuos en cada compartimento donde

los primeros m compartimentos correspondan a individuos infectados y sea 𝑋𝑠 el conjunto de todos

los estados libres de enfermedad, es decir: 𝑋𝑠 = {𝑥 ≥ 0: 𝑥𝑖 = 0, 𝑖 = 1,… ,𝑚}.

Sean ℱ𝑖(𝑥) la tasa de aparición de nuevas infecciones en el compartimento 𝑖, 𝒱𝑖+(𝑥) sea la

tasa de transferencia de individuos al compartimento 𝑖 por todos los demás medios, 𝒱𝑖−(𝑥) sea la

tasa de transferencia de individuos que salen del compartimento 𝑖.

Luego el sistema de ecuaciones diferenciales, que rige en el modelo de transmisión de la

enfermedad en poblaciones heterogéneas y con condiciones iniciales no negativas, está dado por:

72

𝑥𝑖′ = 𝑓𝑖(𝑥) = ℱ𝑖(𝑥) − [𝒱𝑖

−(𝑥) − 𝒱𝑖+(𝑥)]⏟

𝒱𝑖(𝑥)

, 𝑖 = 1,… , 𝑛 (1)

donde se considera que cada función ℱ𝑖, 𝒱𝑖−, 𝒱𝑖

+ es continuamente diferenciable al menos dos veces

en cada variable y satisfacen las siguientes condiciones:

1) Si 𝑥 ≥ 0 entonces ℱ𝑖, 𝒱𝑖+, 𝒱𝑖

− ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛

2) Si 𝑥𝑖 = 0 entonces 𝒱𝑖− = 0.

3) Si 𝑖 > 𝑚 entonces ℱ𝑖 = 0

4) Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 entonces ℱ𝑖(𝑥0) = 0, 𝒱𝑖+(𝑥0) = 𝒱𝑖

−(𝑥0) = 0 para 𝑖 = 1,… ,𝑚

5) Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 y si ∀𝑖, ℱ𝑖(𝑥) = 0 entonces todos los valores propios de 𝐷𝑓(𝑥0) tienen

partes reales negativas donde 𝐷𝑓(𝑥0) es el jacobiano del campo [𝑓1(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)] en el

punto 𝑥0,

Definición 5.1. Una matriz A es M- matriz cuando todos sus elementos menores o iguales a cero

excepto en su diagonal, es decir A tiene un patrón Z signo, y todos sus autovalores tienen parte real

no negativa. Equivalentemente, una matriz A es M-matriz cuando A tiene un patrón Z signo y si

𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 con I la identidad, P no negativa y 𝑎 ≥ 𝜌(𝑃) con 𝜌(𝑃) el radio espectral de 𝑃.

Lema 5.1. Sea 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠, 𝑓𝑖 satisfacen las condiciones del 1) al 5) y 𝑥′ = 𝐷𝑓(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) el sistema

linealizado de (1) entonces

𝐷𝑓(𝑥0) = (𝐹 00 0

) − (𝑉 0𝐽3 𝐽4

)

donde 𝐹 = {𝜕ℱ𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗}𝑖,𝑗

y 𝑉 = {𝜕𝒱𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗}𝑖,𝑗

con 𝑖, 𝑗 ∈ {1, …𝑚} con F no negativa, V es M-matriz no

singular y todos los autovalores de 𝐽4 tienen parte real positiva.

Demostración. Sea 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 por 3) y 4) 𝜕ℱ𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗= 0 para 𝑖 > 𝑚 o 𝑗 > 𝑚 . Luego 𝐷𝑓(𝑥0) tiene en su

primer sumando esos bloques de ceros y por 1) y 4) 𝐹 es no negativa. Por 4), 𝜕𝒱𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗= 0 para

𝑖 ≤ 𝑚 y 𝑗 > 𝑚. Luego 𝐷𝑓(𝑥0) tiene en su segundo sumando un bloque de ceros lo que permite

describirla como una matriz triangular en bloques. Probemos que V es M-matriz no singular, es decir

trabajemos con los índices 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑚. Dado el conjunto de n vectores canónicos, {𝑒𝑖} para

𝑗 = 1,… ,𝑚 tenemos:

𝜕𝒱𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗= limℎ→0

𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖(𝑥0)

ℎ.

Por 2) y 4) 𝒱𝑖(𝑥0) = 0 para 𝑖 ≤ 𝑚 y si 𝑖 ≠ 𝑗 la i-ésima componente del vector 𝑥0 + ℎ𝑒𝑗 es 0 entonces

por 1) y 2) 𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) = 𝒱𝑖−(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖

+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) = −𝒱𝑖+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) ≤ 0. Así para 𝑖 ≤ 𝑚 y

𝑖 ≠ 𝑗 con 𝑗 = 1, … ,𝑚

73

𝜕𝒱𝑖(𝑥0)

𝜕𝑥𝑗= limℎ→0

𝒱𝑖(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 𝒱𝑖(𝑥0)

ℎ= limℎ→0

−𝒱𝑖+(𝑥0 + ℎ𝑒𝑗) − 0

ℎ≤ 0.

Luego V es M matriz no singular porque tiene todos sus elementos menores o iguales que cero

excepto en su diagonal, es decir, es Z signo y por propiedad 5) todos sus autovalores tienen parte

real positiva. Finalmente por 5), el bloque 𝐽4 tiene todos los autovalores con parte real positiva.

Observación 5.1. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz F representa la tasa por la cual nuevas

infecciones son generadas en 𝑖 por un individuo de j, mientras que cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la

matriz V representa la tasa de transición desde 𝑗 a 𝑖.

5.1.1. Tiempo medio que un individuo permanece infectado

Supongamos que un individuo del compartimento infectado 𝑖0 ∈ {1,…𝑚} es introducido a una

población libre de enfermedad y en la cual no hay nuevas infecciones secundarias, es decir, 𝐹 = 0.

En este apartado determinamos el tiempo medio de permanencia de éste en cada uno de los

compartimentos infecciosos. Debido a que nos interesa lo que ocurre en los compartimentos

infecciosos trabajamos con las ecuaciones que describen la dinámica de los compartimentos

infecciosos del sistema linealizado (2) y por Lema 5.1 el sistema será

(𝑥1(𝑡) ⋮

𝑥𝑚(𝑡))

′

= −𝑉(𝑥1(𝑡) ⋮

𝑥𝑚(𝑡))

con la condición inicial

𝑥(0) = (0,…0, 1⏟𝑖0

, 0, . . ,0)

𝑡

.

Por la Proposición 1.3 la única solución del sistema anterior con condiciones iniciales es

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑉𝑡𝑥(0)

donde la j-ésima coordenada de 𝑥(𝑡) es interpretada como la probabilidad que tiene el individuo

infeccioso del compartimento 𝑖0 en encontrarse en el compartimento 𝑗 al tiempo 𝑡.

Luego la esperanza de permanencia del individuo infeccioso del compartimento 𝑖0 en el

compartimento infeccioso 𝑗 está dada por la j-esima coordenada del siguiente vector:

∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡∞

0

= 𝑉−1𝑥(0).

Dado que 𝑥(0) es el vector que tiene un uno en la coordenada 𝑖0 y 0 en las restantes, el tiempo

esperado de permanencia del individuo del compartimento 𝑖0 en el j-ésimo compartimento está

dada por la coordenada (𝑗, 𝑖0) de la matriz 𝑉−1. Luego la coordenada (𝑗, 𝑘) de la matriz 𝑉−1 se

interpreta como el tiempo esperado que un individuo inicialmente introducido en el compartimento

infeccioso k permanece en el compartimento infeccioso 𝑗.

74

Observación 5.2. La integral antes mencionada está bien definida porque la serie exponencial

converge para todo 𝑡 y 𝑉 es M-matriz no singular.

5.1.2. Formulación del 𝑹𝟎

Del capítulo anterior el número de infecciones secundarias producidas por un único

individuo se lo expresó como el producto del período de infección de este individuo y la tasa de

transmisión de la enfermedad por este individuo. Pero ahora estudiaremos la cantidad de

infecciones secundarias producidas por un índice hipotético, es decir, vamos a cuantificar la

cantidad de infecciones secundarias producidas por el individuo infeccioso del compartimento 𝑖0 en

cada compartimento infeccioso cuando es introducido en una población totalmente susceptible.

Por Observación 5.1. la coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz F representa la tasa por la cual nuevas

infecciones son generadas en 𝑖 por un individuo infeccioso en 𝑗 mientras la coordenada (𝑗, 𝑖0) de la

matriz 𝑉−1 se interpreta como el tiempo esperado que un individuo inicialmente introducido en el

compartimento infeccioso 𝑖0 permanece en el compartimento infeccioso 𝑗. Entonces cuando

hacemos 𝐹 𝑉−1 cada coordenada (𝑖, 𝑖0) es el número esperado de casos secundarios en el

compartimento infeccioso i durante el período de infección del individuo del compartimento 𝑖0. A

este producto 𝐾 = 𝐹 𝑉−1 se lo llama matriz de la siguiente generación.

Dado que ahora tenemos una matriz, en la que cada coordenada (𝑖, 𝑗) nos indica la cantidad

de casos secundarios en 𝑖 por un individuo de 𝑗, necesitamos un número que aproxime a la cantidad

de casos secundarios en una población totalmente susceptible cuando se introduce un individuo

infeccioso (sin importar de qué compartimento infeccioso provenga) y que represente el

comportamiento global de la enfermedad.

Como 𝐾 es no negativa (ver Proposición 5.1.c), por el teorema de Perron-Frobenius, el radio

espectral de K, es decir, 𝜌 = 𝜌(𝐾) es un autovalor real positivo de K y además tiene asociado un

autovector no negativo por derecha.

Luego 𝜌(𝐾) será el número reproductivo básico buscado, es decir:

𝑅0 = 𝜌(𝐾) (2)

y 𝑤0 ,el autovector asociado a 𝑅0 por derecha, es interpretado como la distribución de individuos

infectados que produce el mayor número de infecciones secundarias cuando se introduce un

individuo infeccioso (sin importar de qué compartimento infeccioso provenga) en una población

totalmente susceptible.

El Teorema 5.1 establece que 𝑅0 = 𝜌(𝐾) es un parámetro umbral para la estabilidad del

equilibrio libre de la enfermedad. Antes de enunciarlo mencionamos algunas propiedades y lemas

que utilizaremos para su demostración.

75

Proposición 5.1. Sea A una M matriz

a) A es no singular si y sólo si 𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 y 𝑎 > 𝜌(𝑃)

b) A es singular si y sólo si 𝐴 = 𝑎𝐼 − 𝑃 y 𝑎 = 𝜌(𝑃)

c) 𝐴−1 ≥ 0 si y sólo si A es M matriz no singular

Lema 5.2. Sea H una M matriz no singular y supongamos que B y 𝐵𝐻−1 tienen un patrón Z signo

entonces B es M matriz no singular si y sólo si 𝐵𝐻−1es M matriz no singular.

Lema 5.3. Sea H una M-matriz no singular y supongamos 𝐾 ≥ 0 entonces

a) (𝐻 − 𝐾) es una M-matriz no singular si y sólo si (𝐻 − 𝐾)𝐻−1 es una M-matriz no singular.

b) (𝐻 − 𝐾) es una M-matriz singular si y sólo si (𝐻 − 𝐾)𝐻−1 es una M-matriz singular.

Ahora estamos en condiciones de enunciar y probar el teorema antes mencionado.

Teorema 5.1. Consideremos el modelo de transmisión de enfermedad dado por (1) donde cada

𝑓𝑖(𝑥) satisfacen las condiciones de la 1 a la 5. Si 𝑥0 ∈ 𝑋𝑠 entonces 𝑥0 es asintóticamente estable si

𝑅0 < 1, pero es inestable si 𝑅0 > 1, donde 𝑅0 es definido en (2).

Demostración. La estabilidad de 𝑥0 estará determinada por los signos de la parte real de los

autovalores de 𝐷𝑓(𝑥0) = (𝐹 − 𝑉 0−𝐽3 −𝐽4

). Por Lema 5.1 −𝐽4 tiene autovalores con parte real

negativa luego para analizar la estabilidad de 𝑥0 estudiamos los signos de la parte real de los

autovalores de 𝐹 − 𝑉.

Como 𝑉 es una M-matriz no singular por Proposición 5.1.c) 𝑉−1 ≥ 0 luego 𝐹𝑉−1 ≥ 0 y así

𝐼 − 𝐹𝑉−1 tiene un patrón Z-signo. Probemos que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 si y sólo si (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0, en

efecto, como (𝑉 − 𝐹)−1 = 𝑉−1(𝐼 − 𝐹𝑉−1) y 𝑉(𝑉 − 𝐹)−1 = 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 entonces (𝐼 −

𝐹𝑉−1)−1 = 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 resultando que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 si y sólo si 𝐼 + 𝐹(𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0 si y

sólo si (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0 ya que 𝐹 ≥ 0 . Además como 𝑉 − 𝐹 tiene un patrón Z-signo y (𝑉 − 𝐹)−1 ≥ 0

por Proposición 5.1.c) 𝑉 − 𝐹 es una M matriz no singular, es decir, todos sus autovalores tienen

parte real positiva. Resultando así que 𝐹 − 𝑉 tiene todos sus autovalores con parte real negativa.

Dado que se probó que (𝐼 − 𝐹𝑉−1)−1 ≥ 0 y 𝐼 − 𝐹𝑉−1tiene un patrón Z-signo por Proposición

5.1.c) 𝐼 − 𝐹𝑉−1 es M-matriz no singular y esto es equivalente por definición 5.2 que 𝜌(𝐹𝑉−1) < 1

ya que 𝐹𝑉−1 ≥ 0. Finalmente hemos probado que 𝜌(𝐹𝑉−1) < 1 si y sólo si 𝐹 − 𝑉 tiene todos sus

autovalores con parte real negativa. De esto último deducimos que todos los autovalores de 𝐹 − 𝑉

tienen parte real no negativa si y sólo si 𝑅0 ≥ 1. Bastará sólo probar que 𝑅0 = 1 sí y sólo 𝐹 − 𝑉 es

singular, en efecto, por Lema 5.3.b 𝑉 − 𝐹 es M matriz singular si y sólo si (𝑉 − 𝐹) 𝑉−1 es M matriz

singular. Por proposición 5.1. b) (𝑉 − 𝐹) 𝑉−1 = 𝐼 − 𝐹𝑉−1 es M matriz singular si y sólo si 1 = 𝑅0.

Luego 𝐹 − 𝑉es M matriz singular si y sólo si 𝑉 − 𝐹 es M matriz singular si y sólo si 1 = 𝑅0.

76

Ejemplo 5.1. Consideremos el modelo SEIR descripto por el sistema:

𝑆′ = −𝛽𝑆(𝐼 + 휀𝐸)

𝐸′ = 𝛽𝑆(𝐼 + 휀𝐸) − 𝑘𝐸

𝐼′ = 𝑘𝐸 − 𝛼𝐼

𝑅′ = 𝛼𝐼

y hallemos el 𝑅0.

Este sistema tiene como equilibrio libre de infección al vector (𝐸∗, 𝐼∗, 𝑆∗, 𝑅∗) = (0,0, 𝑁, 0) y los

estados infecciosos son 𝐸 e 𝐼 por lo que:

𝐹 = (𝛽휀𝑁 𝛽𝑁0 0

) 𝑦 𝑉 = (𝑘 0−𝑘 𝛼

)

Luego

𝐹𝑉−1 = (𝛽휀𝑁 𝛽𝑁0 0

) .(

1

𝑘0

1

𝛼

1

𝛼

) =. (𝛽휀𝑁

𝑘+𝛽𝑁

𝛼

𝛽𝑁

𝛼0 0

)

obteniéndose que

𝑅0 =𝛽휀𝑁

𝑘+𝛽𝑁

𝛼

77

CAPÍTULO VI

Modelos Preexistentes de la Propagación de Leptospirosis.

La leptospirosis es un problema de salud pública a nivel mundial, en particular en áreas

tropicales y subtropicales y en países en vías de desarrollo. La magnitud del problema es atribuido a

las condiciones climáticas y ambientales, pero también al contacto que se tiene con ambientes

contaminados por Leptospiras, esto se observa en las actividades agrícolas, ganadera, minera,

recreacionales, deportivas y condiciones de salubridad en la vivienda.

En los últimos años se ha comenzado a trabajar en el modelado de esta infección

especialmente en Tailandia donde la leptospirosis es una preocupación importante de los

funcionarios de salud pública. Los modelos epidemiológicos desarrollados se basan en sistemas de

ecuaciones diferenciales que combinan los modelos desarrollados en los capítulos IV y V.

En el presente capítulo describimos brevemente la enfermedad de la leptospirosis y

analizamos los diferentes modelos matemáticos que se han publicado para esta enfermedad.

6.1. Descripción de la leptospirosis

La leptospirosis es una zoonosis, es decir, enfermedad propia de los animales que es

transmitida a los humanos. Se caracteriza por ser febril aguda causada por la espiroqueta patógena

del género Leptospira. Existen 7 cepas de leptospirosis, como Leptospira interrogans, Leptospira

kirschneri, Leptospira noguchii, Leptospira borgpetersenii, Leptospira santarosai, Leptospira weilii y

Leptospira inadai. La misma ocurre en todo el mundo siendo mayor su ocurrencia en países

tropicales. Los brotes de leptospirosis se producen principalmente después de las inundaciones, lo

que hace que se convierta en un riesgo ocupacional para los trabajadores sanitarios y agrícolas.

Esta enfermedad es transmitida por muchos animales como ratas, zorrillos, zarigüeyas,

mapaches, zorros, ganado entre otros que actúan como vectores de la infección. Se ha encontrado

que algunas Leptospiras patógenas están asociadas con animales domésticos como por ejemplo, el

serovar canicola (L.canicola) que se ha adaptado a los caninos. Esto último la ha llevado a ser una

enfermedad común en muchas comunidades humanas.

El hombre contrae la leptospirosis por estar en contacto con orina infectada de mamíferos

portadores, ya sea directamente o en forma indirecta al estar en contacto con tierra o agua

contaminada. Las leptospiras pueden ingresar al cuerpo por las abrasiones, cortes en la piel y por vía

conjuntival. También lo pueden hacer por la piel cuando se ha permanecido un prolongado tiempo

78

en aguas contaminadas y por su inhalación, ya sea que se encuentren en agua o en aire. Raramente

se presentan casos donde la infección se da por mordeduras de animales.

Las características de los pacientes con leptospirosis son fiebre alta, dolor de cabeza,

escalofríos, dolores musculares, conjuntivitis (ojos rojos), diarrea, vómitos y problemas renales o

hepáticos (que pueden incluir ictericia), anemia y a veces erupción cutánea. La duración de los

síntomas debidos a esta enfermedad puede durar de unos días a varias semanas. Después de

infectados, algunos pacientes pueden no tener síntomas evidentes, tener síntomas leves, y en

algunos casos extremos síntomas graves ocasionando la muerte ya sea por hemorragias renales y/o

hepáticas.

6.2. Revisión de los modelos para la leptospirosis

En este apartado presentamos los diferentes modelos que se han construido para la

leptospirosis. Debido a que esta enfermedad afecta a la población humana, diferentes instituciones

intentan describir mediante modelos matemáticos su dinámica y analizar el efecto que tendrían

diferentes medidas de control.

Todos los modelos son planteados mediante sistemas de ecuaciones diferenciales y

consideran que un vector infectado es capaz de transmitir la infección inmediatamente después de

haberla adquirido. Además se asume en todos los casos que los individuos que nacen e ingresan al

estadio susceptible no están inmunizados, siendo vulnerables inmediatamente.

6.2.1. Modelado de la leptospirosis en la rata africana, Mastomys natalensis, para

determinar el riesgo en humanos: Fluctuaciones estacionales y el impacto del

control del roedor.

En el trabajo publicado por J. Holt, S. Davisb, H. Leirsen en el año 2006 se modela la

propagación de la leptospirosis en la población del roedor Mastomys natalensis en campos de maíz

en Tanzania, África. En este caso la población de roedores es divida en tres clases de edad- jóvenes,

sub-adultos y adultos- que a la vez se dividen en dos clases en base al estado de los individuos en

relación a la infección: susceptible e infectada. Luego, los autores plantean un modelo SI-SI-SI donde

la población queda estructurada en seis clases, tres susceptibles -𝐽𝑆, 𝑈𝑆,𝐴𝑆- y tres infecciosas - 𝐽𝐼 , 𝑈𝐼 ,

𝐴𝐼. Además estudian la dinámica de la población de bacterias en vida libre y su efecto sobre los

roedores.

Los supuestos que se consideran en este trabajo son:

La población de roedores no es cerrada y la tasa de natalidad per cápita es 𝐵.

Los individuos infectados no se recuperan.

La tasa de mortalidad en roedores jóvenes es 𝑠0 y en sub-adultos y adultos es 𝑠1.

79

La tasa de maduración de juveniles a subadultos es 𝜓0 .

La tasa de maduración de los sub-adultos 𝜓1 depende de la abundancia de adultos.

Hay tres posibles vías de transmisión; de la madre a la cría, contacto directo (sexual) y

por el ambiente cuyas tasas son 𝜈1, 𝜈2 y 𝜈3, respectivamente.

La transmisión por contacto sexual sólo ocurre en la clase adulta y su tasa no

depende del tamaño de la población.

Los infectados jóvenes no eliminan Leptospiras al ambiente

Los susceptibles jóvenes no están expuestos a las Leptospiras del ambiente.

El tiempo medio de supervivencia de las Leptospiras en el ambiente es el mismo

tanto en agua como en tierra seca.

Cada individuo infectado elimina 𝐾 Leptospiras por día.

Las Leptospiras en el medio ambiente, 𝐿, tienen una tasa de mortalidad 𝜇.

Basándose en los supuestos antes mencionados se propone un sistema de ecuaciones

diferenciales:

𝑑𝐽𝑆𝑑𝑡

= 𝐵(𝐴𝑆 + (1 − 𝑣1)𝐴𝐼) − 𝜓0𝐽𝑆 − 𝑠0𝐽𝑆

𝑑𝐽𝐼𝑑𝑡= 𝐵𝑣1𝐴𝐼 − 𝜓0𝐽𝐼 − 𝑠0𝐽𝐼

𝑑𝑈𝑆𝑑𝑡

= 𝜓0𝐽𝑆 − 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼)) 𝑈𝑆 − 𝑠1𝑈𝑆 −𝑣3𝐿

𝐿 + ℎ𝑈𝑆

𝑑𝑈𝐼𝑑𝑡

= 𝜓0𝐽𝐼 +𝑣3𝐿

𝐿 + ℎ𝑈𝑆 − 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝐼 − 𝑠1𝑈𝐼

𝑑𝐴𝑆𝑑𝑡

= 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝑆 − 𝑠1𝐴𝑆 −𝑣2𝐴𝑆𝐴𝐼𝐴𝐼 + 𝐴𝐼

−𝑣3𝐿

𝐿 + ℎ𝐴𝑆

𝑑𝐴𝑆𝑑𝑡

= 𝜓1 exp(−𝑐(𝐴𝑆 + 𝐴𝐼))𝑈𝐼 − 𝑠1𝐴𝐼 +𝑣2𝐴𝑆𝐴𝐼𝐴𝐼 + 𝐴𝐼

+𝑣3𝐿

𝐿 + ℎ𝐴𝑆

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝑘(𝑈𝐼 − 𝐴𝐼) − 𝜇𝐿

El modelo se parametrizó de dos formas diferentes y en ambos casos se realizó un análisis de

sensibilidad de los parámetros. Primero se consideraron constantes todos los parámetros y debido a

la falta de datos para los parámetros epidemiológicos se eligieron estimaciones de orden de

magnitud. Luego se consideraron las fluctuaciones estacionales en la supervivencia de las

Leptospiras y en la reproducción de los roedores ya que la tasa de supervivencia de las Leptospiras

depende de la estación de lluvias siendo mayor cuando hay más humedad y el período de

reproducción de los roedores es de Junio a Octubre que es cuando hay mayor cantidad de alimento

disponible. En ambos casos se realizó un análisis de sensibilidad de las variables abundancia de

Leptospiras en el ambiente, abundancia de roedores y prevalencia de leptospirosis en roedores y se

80

realizaron simulaciones numéricas variando los parámetros asociados con la reproducción del

roedor y la supervivencia de las Leptospiras en el ambiente y dejando constante el resto de los

parámetros.

A partir de los resultados del análisis de sensibilidad se observa que la supervivencia de los

sub-adultos y adultos es el parámetro que más fuerza tiene en la dinámica de la infección. Sobre

esta base ellos proponen como alternativas de control de la enfermedad la captura de roedores y en

segundo lugar la disminución del hábitat ya que ésta reduce la reproducción y posteriormente la

abundancia.

6.2.2. Un modelo determinista para la propagación de la leptospirosis en

Tailandia

En el trabajo publicado por W. Triampo, D. Baowan, I.M. Tang, N. Nuttavut, J. Wong-Ekkabut,

and G. Doungchawee en el año 2007 se modela la propagación de la leptospirosis en la población

tailandesa a partir de datos reportados por el Ministerio de Salud Pública de Tailandia entre los años

2000 y 2001. En este caso se modela la infección en los humanos y en el vector, las ratas. La

población humana se estructura en tres clases: susceptibles, SH∗ , infectados, IH

∗ , y recuperados, RH∗

mientras que el vector en dos: susceptible, SA∗ , e infectado, IA

∗ . Luego, los autores plantean un

modelo SIR-SI.


La población humana no es cerrada pero es constante, 𝑁𝐻.

La tasa de mortalidad en los humanos es constante, 𝜆𝐻, e igual para todas las clases.

Los humanos y los vectores se distribuyen homogéneamente en el espacio.

Los humanos susceptibles sólo pueden ser infectados por un vector infectado.

Los humanos infectados no infectan ni a vectores ni a humanos susceptibles.

Todos los vectores recién nacidos tienen el mismo estado que sus padres en relación a la

infección.

Un humano infectado puede curarse con antibióticos, volviéndose inmune a una tasa 𝑟1.

Los individuos inmunes vuelven a ser susceptibles a una tasa constante 𝑟2.

La tasa de transmisión de la leptospirosis de un vector infectado a un ser humano susceptible

varía con la cantidad de lluvia según una distribución gaussiana ajustada al conjunto de datos

reportados por el Ministerio de Salud Pública de Tailandia entre los años 2000 y 2001.


diferenciales que describe la dinámica representada por el siguiente grafo:

81

A partir de la base de datos han podido parametrizar el modelo y a partir de esto establecer

que en dos provincias de Tanzania el aumento de casos de infecciones por leptospirosis se da en los

meses en los que la cantidad de lluvia ha sido abundante.

6.2.3. Modelo matemático para la transmisión de leptospirosis en humanos jóvenes

y adultos

En el trabajo publicado por Pongsumpun en el año 2012 se modela la propagación de la

leptospirosis en la población tailandesa durante los años 2002 y 2009. En este trabajo se modela la

dinámica de la infección en la población humana y en el vector, estructurando la población humana

en dos clases: jóvenes y adultos. En base al estado de los individuos en relación a la infección la

población humana se estructura en tres clases: susceptibles, infectados y recuperados y la del

vector en dos: susceptibles e infectados. Luego plantean un modelo SIR-SIR-SI, considerando la

diferencia en la tasa de transmisión de la enfermedad entre humanos jóvenes y adultos.


Ninguna de las dos poblaciones son cerradas pero ambas son constantes.

Todos los individuos, humanos y vector, ingresan a la población siendo susceptibles.

El vector nunca se recupera de la infección

La infección la transmite el vector hacia el humano y a otros vectores.

La tasas de transmisión de la infección es distinta en humanos jóvenes y adultos.


diferenciales que describe la dinámica representada por el siguiente grafo:

82

En este artículo se analiza la dinámica de la infección a partir del análisis de los equilibrios del

sistema y simulaciones numéricas. Calcula el 𝑅0 considerando sólo el subsistema del vector y a

partir de éste, analiza la estabilidad de los equilibrios.

6.2.4. Modelando las interacciones entre el vector infectado y la población humana

En el trabajo publicado por Gul Zaman, Muhammad Altaf Khan, Saeed Islam en el año 2012 se

modela la propagación de la leptospirosis considerando la misma estructura poblacional para la

población humana y del vector que en el trabajo de Triampo et al (2007). Los autores representan la

dinámica de la infección mediante el siguiente grafo y su sistema de ecuaciones diferenciales

asociado:

83

Basándonos en el sistema de ecuaciones diferenciales hemos observado que los supuestos que

los autores han considerado son:

Ninguna de las poblaciones es cerrada.

Los individuos de ambas poblaciones nacen susceptibles.

Se consideran en ambas poblaciones dos tasas de mortalidad, la natural y la debida a

la infección siendo 𝛾𝑉, 𝜇𝐻 𝛿𝑉 y 𝛿𝐻 respectivamente.

La transmisión de la infección en humanos puede darse por contactos con humanos

infectados o con vectores infectados siendo 𝛽1 y 𝛽2, respectivamente.

La transmisión de la infección a los vectores es únicamente por contacto con

humanos infectados con tasa 𝛽3. No se considera la transmisión directa entre

vectores.

El vector infectado sigue contribuyendo a la clase de infectado luego de su muerte

con una tasa 𝜇𝑉

Los autores definen el 𝑅0 como la cantidad de casos secundarios humanos a partir del

ingreso de un humano infectado en una población totalmente susceptible de humanos y vectores.

En su definición se consideran los contagios tanto directos o indirectos, luego 𝑅0 es la suma de

humanos infectados directamente por un humano infectado y los humanos infectados por un vector

que fue infectado por un humano infectado siendo su formulación

𝑅0 =𝑏1𝜇𝐻(𝛽2𝛽3𝑏2𝛾𝑉𝑄1𝑄2

+𝛽1𝑄2)

donde 𝑄1 = 𝛿𝑉 + 𝛾𝑉 + 𝜇𝑉, 𝑄2 = 𝛿𝐻 + 𝛾𝐻 + 𝜇𝐻, 𝑄3 = 𝜆ℎ + 𝜇𝐻

Luego se estudia la estabilidad del sistema en función del 𝑅0 y se realizan algunas simulación

numérica.

6.2.5. Un modelo matemático para la leptospirosis humana y animal

En el trabajo publicado por D. Baca Carrasco, D. Olmos, I. Barradas en el año 2015 se modela la

dinámica de la leptospirosis considerando que los humanos pueden infectarse no solo por el

contacto con roedores infectados sino también por estar en contacto con otros animales que son

reservorio de la bacteria. Además pueden contraer la infección por contacto directo con bacterias

que viven en el ambiente. Ellos plantean un modelo SI-SI ya que ambas poblaciones, la humana y la

animal, las estructuran en dos clases; susceptible, 𝑆𝐻 , 𝑆𝐴, e infectada, 𝐼𝐻, 𝐼𝐴..Además se incluye en el

modelo la dinámica de la población de bacterias que vive en el ambiente.


La población humana y animal son constantes.

Todos los animales ingresan a la población siendo susceptibles con tasa 𝛽 .

84

La población humana es cerrada.

El humano se recupera de la infección con tasa 𝛼1 siendo inmediatamente susceptibles y

el vector no se recupera.

Las nuevas infecciones en animales y humanos se deben al contacto con animales

infectados con tasas 𝑐1, 𝑐3 o a través de bacterias presentes en el ambiente con tasas

𝑐2, 𝑐4.

La población de bacterias aumenta debido a las bacterias liberadas por humanos

infectados (𝑐6 ) y animales infectados (𝑐5) a través de la orina.

Basándose en los supuestos antes mencionados se propone el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales:

𝑆�̇� = −(𝑐1𝐼𝐴 − 𝑐2𝐵)𝑆𝐴 + 𝛽𝑁𝐴 − 𝛼2𝑆𝐴

𝐼�̇� = (𝑐1𝐼𝐴 − 𝑐2𝐵)𝑆𝐴 + 𝛼2𝑆𝐴

𝑆�̇� = −(𝑐3𝐼𝐴 − 𝑐4𝐵)𝑆𝐻 + 𝛼1𝐼𝐻

𝐼�̇� = (𝑐3𝐼𝐴 − 𝑐4𝐵)𝑆𝐻 − 𝛼1𝐼𝐻

�̇� = 𝑐5𝐼𝐴 + 𝑐6𝐼𝐻 − 𝑘𝐵

En este artículo los autores calculan el 𝑅0 del sistema a partir de los 𝑅0 de algunos

subsistemas del sistema original. Los subsistemas con los que trabajan son: 1) no hay autoinfección

ni infección de animales a humanos, 2) no hay interacción con los humanos y 3) no hay

autoinfección.

Luego calculan el 𝑅0 del sistema original como el radio espectral de la matriz de próxima

generación y concluyen que 𝑅0 está formado por los 𝑅0’s de los subsistemas antes mencionados.

Además presentan como técnica para controlar la propagación de la enfermedad dividir a la

población de los animales en el mayor número de subpoblaciones posible ya que de esta manera el

𝑅0 disminuye.

85

CAPÍTULO VII

Modelado Matemático de la Leptospirosis Considerando

Crecimiento Logístico en la Población de Roedores

En el capítulo anterior hemos presentado los modelos que han sido publicados para esta

zoonosis. En cada uno se aborda el problema considerando diferentes supuestos, pero todos tienen

en común que la población de roedores presenta un crecimiento exponencial, es decir la tasa de

crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la misma. En este modelo se supone que

los recursos son ilimitados y que estos no limitan el crecimiento de la población por lo cual es sólo

aplicable cuando las poblaciones son pequeñas y los recursos son abundantes. Por ejemplo, cuando

una especie es reintroducida en algún sitio donde ha habitado anteriormente, esto garantiza que allí

se encuentran los recursos necesarios, durante el primer tiempo el crecimiento poblacional será del

tipo exponencial pero, luego de un tiempo, cuando el número de individuos sea suficientemente

grande, los recursos empiezan a agotarse y esto impacta directamente en la tasa de crecimiento

poblacional que comienza a decrecer, siendo ésta no constante por lo cual el modelo exponencial ya

no permite describir la dinámica de la población

En este capítulo construimos un modelo matemático epidemiológico para la leptospirosis

basado en un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas no lineales que incorpora al modelado

mayor realismo modelando la dinámica de la población de los roedores mediante un crecimiento

logístico. Una vez planteado el modelo, determinamos la formulación del R0 y analizamos las

condiciones en las cuales la enfermedad prospera y qué medidas de control podrían implementarse

para evitarlo.

7.1. Formulación del modelo matemático epidemiológico para la

leptospirosis

Debido a que la leptospirosis es una zoonosis importante, especialmente en zonas

periurbanas y rurales que afecta principalmente en nuestra región a trabajadores rurales

planteamos un modelo en el cual se modela la dinámica de la leptospirosis en humanos y roedores

ya que ellos son el principal vector.

Los humanos pueden recuperarse de la leptospirosis al ser tratados con antibióticos, por este

motivo hemos estructurado a la población humana en tres clases en relación a la infección:

86

SUSCEPTIBLE, INFECCIOSO y RECUPERADO y a la población de roedores en dos clases: SUSCEPTIBLE

e INFECCIOSO.

Los supuestos que hemos considerado para el modelado de la dinámica de la población de

roedores y los parámetros vinculados son:

El tamaño de la población de roedores, 𝑁𝑟, no es cerrada ni constante siendo la tasa de

natalidad 𝑛𝑟 y de mortalidad 𝑚𝑟. No diferenciamos muerte natural de muerte por la

infección.

Los recursos no son ilimitados por lo cual los roedores compiten por ellos siendo 𝐾 la

capacidad de carga del ambiente por unidad de tiempo.

Una vez infectado, el roedor susceptible se convierte inmediatamente en infectado sin

necesitar un tiempo de incubación para desarrollar los agentes infecciosos (Leptospiras).

Los roedores infectados puede transmitir la infección al hombre y a otro roedor con tasa 𝑡ℎ y

𝑡𝑟, respectivamente.

Los roedores infectados no se recuperan de la infección.

Todos los roedores nacen siendo susceptibles.

𝑆𝑟 e 𝐼𝑟 son la cantidad de roedores susceptibles e infectados respectivamente.

Todas las tasas antes mencionadas son positivas y constantes.

Teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes mencionados la dinámica de

transmisión de leptospirosis en la población de roedores puede representarse mediante el grafo

que se muestra en la Figura 1. Luego el sistema de ecuaciones diferenciales que modela la dinámica

de la leptospirosis en la población de roedores es:

Figura 1. Diagrama de la dinámica de la transmisión de

leptospirosis en la población de roedores.

En el grafo se no ha representado la competencia intraespecífica, es decir, la competencia

que existe entre los roedores. Es habitual considerar que el efecto de la competencia es

proporcional a la tasa de encuentro de roedores. Dado que queremos poder incorporar esta

competencia en cada una de las clases es importante mencionar que independientemente del

estado del individuo en relación a la infección él tendrá que competir por recursos con todos los

87

individuos, no sólo con los de su clase por lo cual se incorporan las expresiones 𝑆𝑟𝑁𝑟

𝐾y𝐼𝑟𝑁𝑟

𝐾 a las

ecuaciones que modelan la dinámica de roedores susceptibles e infectados, respectivamente. Este

término representa una limitación en el proceso de crecimiento de la población y por eso su signo

será negativo.

El sistema de ecuaciones diferenciales que proponemos para modelar la dinámica de la

leptospirosis en la población de roedores teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes

mencionados es:

{

𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡

= 𝑛𝑟𝑁𝑟 −𝑚𝑟𝑆𝑟 −𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾

− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟

𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡

= −𝑚𝑟𝐼𝑟 −𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾

+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟

𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟.

La población de roedores fue estructurada en dos clases, luego la variación de la población

total, 𝑑𝑁𝑟

𝑑𝑡, es la suma de las variaciones de las dos clases, esto es

𝑑𝑆𝑟

𝑑𝑡 y 𝑑𝐼𝑟

𝑑𝑡 , siendo:

𝑑𝑁𝑟𝑑𝑡

=𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡

+𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡

= (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑁𝑟 −𝑁𝑟2

𝐾.

Luego hemos obtenido un modelo de crecimiento logístico para la población total de

roedores.

Los supuestos y parámetros que hemos considerado para el modelado de la dinámica de la

leptospirosis en la población humana considerando su interacción con los roedores son los

siguientes:

El tamaño de la población humana, 𝑁ℎ, es constante y cerrada siendo las tasa de mortalidad,

𝑚ℎ, y de natalidad, 𝑛ℎ, iguales. No diferenciamos muerte natural de muerte por la infección.

La población humana se estructura en tres clases: 𝑆ℎ, 𝐼ℎ y 𝑅ℎ siendo la cantidad de humanos

susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente.

Una vez infectado, el humano susceptible se convierte inmediatamente en infectado sin

necesitar un tiempo de incubación para desarrollar los agentes infecciosos (Leptospira).

El humano infectado no contagia la enfermedad.

El humano infectado puede recuperarse de la infección con tasa 𝑟ℎ.

Los humanos recuperados son nuevamente susceptibles con tasa 𝑎ℎ .

El roedor infectado contagia al humano susceptible con tasa 𝑡ℎ.

Todas las tasas antes mencionadas son positivas y constantes.

88

Observación 7.1. Dado que la tasa de crecimiento de la población de roedores es mucho más alta

que la de la población humana se considera que 𝑁ℎ es constante durante el período de tiempo

considerado en el modelo.

Teniendo en cuenta los supuestos y parámetros antes mencionados la dinámica de transmisión

de leptospirosis cuando se considera la interacción entre humanos y roedores puede representarse

mediante el grafo que se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Dinámica de la transmisión de

leptospirosis cuando hay interacción entre humanos y roedores

Luego el modelo que proponemos para modelar la dinámica de leptospirosis cuando hay

interacción entre humanos y roedores está dado por el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales:

{







𝑑𝑆ℎ𝑑𝑡

= 𝑛ℎ𝑁ℎ − 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑆ℎ

𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡

= 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑟ℎ𝐼ℎ −𝑚ℎ𝐼ℎ

𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡

= 𝑟ℎ𝐼ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ

𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟𝑁ℎ = 𝑆ℎ + 𝐼ℎ + 𝑅ℎ

7.2. Análisis de los equilibrios del modelo

Con el fin de poder conocer la dinámica de la infección a largo plazo determinamos los

puntos de equilibrio del sistema, los caracterizamos y analizamos su estabilidad.

89

Los puntos de equilibrio son los puntos (𝑆ℎ∗, 𝐼ℎ

∗, 𝑅ℎ∗ , 𝑆𝑟

∗, 𝐼𝑟∗) donde no hay variación en la

cantidad de individuos de cada clase, es decir, los puntos donde todas las ecuaciones del sistema,

esto es todas las tasas de cambio, se anulan simultáneamente. En efecto:

{



− 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟 = 0



+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟 = 0

𝑑𝑆ℎ𝑑𝑡

= 𝑛ℎ𝑁ℎ − 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑆ℎ = 0

𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡

= 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑟ℎ𝐼ℎ −𝑚ℎ𝐼ℎ = 0

𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡

= 𝑟ℎ𝐼ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ = 0.

Al analizar el subsistema de la población de roedores, esto es:

{






+ 𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟.

Observamos que si 𝑑𝑆𝑟

𝑑𝑡= 0 y

𝑑𝐼𝑟

𝑑𝑡= 0, se tiene que:


=𝑑𝑆𝑟𝑑𝑡

+𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡

= 0.

Luego la suma de las componentes del equilibrio para los roedores es el equilibrio de la

ecuación logística que modela la dinámica de toda la población. Para hallar este último equilibrio

planteamos que:


= (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑁𝑟 −𝑁𝑟2

𝐾= 0

siendo los equilibrios 𝑁𝑟∗ = 0 y 𝑁𝑟

∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟).

No tiene sentido plantear ningún análisis con el equilibrio 𝑁𝑟∗ = 0 ya que en este caso no

habría roedores y dado que son los únicos que pueden contagiar la infección, aun estando presente

en algunos humanos, ésta no podría propagarse. Además, estaríamos trabajando sólo con la

población humana que no es el objetivo del trabajo.

El equilibrio que nos interesa analizar es 𝑁𝑟∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟). Dado que 𝑁𝑟 = 𝑆𝑟 + 𝐼𝑟 y

𝑆ℎ + 𝐼ℎ + 𝑅ℎ = 𝑁ℎ podemos reducir el sistema de ecuaciones original al siguiente sistema de tres

ecuaciones:

90

{


= 𝐼𝑟 (−𝑚𝑟 −𝑁𝑟𝐾+ 𝑡𝑟(𝑁𝑟 − 𝐼𝑟))

𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡

= 𝑡ℎ𝐼𝑟(𝑁ℎ − 𝐼ℎ − 𝑅ℎ) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ)𝐼ℎ

𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡

= 𝑟ℎ𝐼ℎ − (𝑎ℎ +𝑚ℎ)𝑅ℎ.

Teniendo en cuenta que los puntos de equilibrio que encontremos deben cumplir que

𝑁𝑟∗ = 𝐼𝑟

∗ + 𝑆𝑟∗ y 𝑁ℎ = 𝑆ℎ

∗ + 𝐼ℎ∗ + 𝑅ℎ

∗ entonces los puntos de equilibrios para el sistema original

cumplen (𝑆ℎ∗, 𝐼ℎ

∗ , 𝑅ℎ∗ , 𝑆𝑟

∗, 𝐼𝑟∗) = (𝑁ℎ − 𝐼ℎ

∗ − 𝑅ℎ∗ , 𝐼ℎ

∗, 𝑅ℎ∗ , 𝑁𝑟

∗ − 𝐼𝑟∗, 𝐼𝑟

∗).

Para determinar los puntos de equilibrio realizamos el siguiente análisis:

A partir de la ecuación logística que modela la dinámica de la población de roedores teníamos que

𝑁𝑟∗ = 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟), luego sustituyendo en la primera ecuación del sistema reducido e igualándola a

cero tenemos:


= 𝐼𝑟(−𝑛𝑟 + 𝑡𝑟(𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) − 𝐼𝑟)) = 0.

Luego 𝐼𝑟 = 0 o 𝐼𝑟 =−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)

𝑡𝑟. Como 𝑁𝑟

∗ = 𝐾(𝑛𝑟 − 𝑚𝑟) y 𝑁𝑟∗ = 𝑆𝑟

∗ + 𝐼𝑟∗ tenemos que en el

primer caso 𝑆𝑟∗ = 𝑁𝑟

∗ y en el segundo 𝑆𝑟∗ =

𝑛𝑟

𝑡𝑟.

Calculemos ahora las demás componentes de los equilibrios:

En el caso que 𝐼𝑟 = 0 la segunda ecuación se anula sólo si 𝐼ℎ = 0 y dado esto la tercera se anula

cuando 𝑅ℎ = 0. Luego 𝑆ℎ∗ = 𝑁ℎ. Por lo tanto uno de los equilibrios del sistema original es

𝑃1 = (𝑁ℎ, 0,0, 𝑁𝑟∗, 0) siendo éste el equilibrio libre de infección.

En el otro caso 𝐼𝑟 =−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)

𝑡𝑟 la segunda ecuación se anula cuando

𝐼ℎ =(−

𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+

𝑁𝑟∗

𝑡𝑟𝑡ℎ(𝑡𝑟−

1

𝐾))(𝑁ℎ−𝑅ℎ)

(𝑟ℎ+𝑚ℎ+−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+

𝑁𝑟∗


1

𝐾))

y reemplazándolo en la tercer ecuación obtenemos

𝑟ℎ

(−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+

𝑁𝑟∗


1

𝐾))(𝑁ℎ−𝑅ℎ)

(𝑟ℎ+𝑚ℎ+−𝑚𝑟𝑡𝑟𝑡ℎ+

𝑁𝑟∗


1

𝐾))− (𝑎ℎ +𝑚ℎ)𝑅ℎ = 0, luego al sustituir 𝑁𝑟

∗ por 𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) resulta

𝑅ℎ =𝑡ℎ𝐼𝑟

∗𝑁ℎ

𝑡ℎ𝐼𝑟∗+

𝑡ℎ𝑟ℎ(𝑟ℎ+𝑚ℎ𝑡ℎ

+𝐼𝑟∗)(𝑎ℎ+𝑚ℎ)

. Al reemplazar 𝑅ℎ en la expresión de 𝐼ℎ se obtiene

𝐼ℎ = 𝑡ℎ𝐼𝑟∗𝑁ℎ

1

𝑡ℎ𝐼𝑟∗(

𝑟ℎ(𝑎ℎ+𝑚ℎ)

+1)𝑟ℎ+𝑚ℎ. Finalmente, el equilibrio endémico del sistema original es

𝑃2 = (𝑁ℎ − 𝑅ℎ∗ − 𝐼ℎ

∗,𝑡ℎ𝐼𝑟

∗𝑁ℎ

𝑡ℎ𝐼𝑟∗(1+

𝑟ℎ𝑎ℎ+𝑚ℎ

)+𝑟ℎ+𝑚ℎ

,𝑟ℎ𝐼ℎ

∗

𝑎ℎ+𝑚ℎ,𝑛𝑟

𝑡𝑟,−𝑛𝑟+𝐾𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟)

𝑡𝑟).

91

Analizaremos la estabilidad local de cada punto de equilibrio trabajando con el sistema

reducido previamente linealizado, en efecto:

(

𝑑𝐼𝑟𝑑𝑡𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡𝑑𝑅ℎ𝑑𝑡 )

= (−𝑚𝑟 −

𝑁𝑟 + 𝐼𝑟𝐾

+ 𝑡𝑟(𝑁𝑟 − 𝐼𝑟) 0 0

𝑡ℎ(𝑁ℎ − 𝐼ℎ − 𝑅ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟 − (𝑟ℎ +𝑚ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ +𝑚ℎ)

)(

𝐼𝑟 − 𝐼𝑟∗

𝐼ℎ − 𝐼ℎ∗

𝑅ℎ − 𝑅ℎ∗).

Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre de infección, 𝑃1.

Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene:

(

−𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1) 0 0

𝑡ℎ𝑁ℎ −(𝑟ℎ +𝑚ℎ) 0

0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ + 𝑚ℎ))

cuyos autovalores son

𝜆1 = −𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1)

𝜆2 = −(𝑟ℎ +𝑚ℎ)

𝜆3 = −(𝑎ℎ +𝑚ℎ).

Dado que todas las tasas son positivas se puede garantizar que 𝜆2 < 0 y 𝜆3 < 0, luego el

punto crítico (0,0,0) del sistema reducido es asintóticamente estable si

−𝑚𝑟 + (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)(𝑡𝑟𝐾 − 1) < 0 ↔ 𝐾 <𝑛𝑟

(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑡𝑟.

Análisis de la estabilidad local del equilibrio libre endémico, 𝑃2.

Al evaluar el jacobiano en dicho punto se tiene:

(

𝑚𝑟 +

𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟

− 𝑛𝑟 0 0

𝑡ℎ(𝑁ℎ − 𝐼ℎ∗ − 𝑅ℎ

∗) 𝑡ℎ(𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟

− 𝑛𝑟) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ) −𝑡ℎ𝐼𝑟∗

0 𝑟ℎ −(𝑎ℎ +𝑚ℎ))

cuyos autovalores son

𝜆1 = 𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟

− 𝑛𝑟

𝜆2 = 𝑡ℎ(𝑚𝑟 +𝑛𝑟𝐾𝑡𝑟

− 𝑛𝑟) − (𝑟ℎ +𝑚ℎ)

𝜆3 = −(𝑎ℎ +𝑚ℎ).

En este caso, se tiene nuevamente que 𝜆3 < 0. Para que el punto de equilibrio 𝑃2 del sistema

reducido sea asintóticamente estable basta que 𝜆1 = 𝑚𝑟 +𝑛𝑟

𝐾𝑡𝑟− 𝑛𝑟 < 0 ya que esto garantiza que

𝜆2 < 0. Luego 𝑃2 será asintóticamente estable si

𝐾 >𝑛𝑟

(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝑡𝑟.

92

A partir del análisis de los equilibrios se pudo ver que la prevalencia de la infección está

relacionada con el valor K, la capacidad de carga del ambiente. Para valores de K por debajo del

umbral 𝑛𝑟

(𝑛𝑟−𝑚𝑟)𝑡𝑟 la enfermedad tiende a desaparecer, mientras que si los valores de K están por

encima del umbral, la enfermedad tiene a persistir.

Es importante recordar que K es un parámetro relacionado con la población de roedores, sin

embargo la dinámica global de la leptospirosis es determinada por este parámetro que está

asociado a las características del ambiente siendo los valores de K mayores en ambientes más

propicios para la cría de roedores.

7.3. Formulación del 𝑹𝟎

El objetivo de este apartado es obtener una expresión para el 𝑅0 del modelo propuesto. Para

esto utilizaremos la matriz de la próxima generación desarrollada en el capítulo V.

Sea (𝐼𝑟, 𝐼ℎ , 𝑆𝑟, 𝑆ℎ, 𝑅ℎ) el número de individuos en cada compartimento donde en este caso

los dos primeros compartimentos corresponden a individuos infectados. Luego el sistema de

ecuaciones que propusimos para modelar la dinámica de la leptospirosis puede escribirse como la

resta de dos vectores, esto es:

(

𝐼𝑟′

𝐼ℎ′

𝑆𝑟′

𝑆ℎ′

𝑅ℎ′)

=

(

𝑡𝑟𝑆𝑟𝐼𝑟𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ000 )

−

(

𝑚𝑟𝐼𝑟 +𝐼𝑟𝑁𝑟𝐾

𝑟ℎ𝐼ℎ +𝑚ℎ𝐼ℎ

−𝑛𝑟𝑁𝑟 +𝑚𝑟𝑆𝑟 +𝑆𝑟𝑁𝑟𝐾


−𝑛ℎ𝑁ℎ + 𝑡ℎ𝐼𝑟𝑆ℎ − 𝑎ℎ𝑅ℎ +𝑚ℎ𝑆ℎ−𝑟ℎ𝐼ℎ + 𝑎ℎ𝑅ℎ −𝑚ℎ𝑅ℎ )

donde los coeficientes del primer vector son las tasas de aparición de nuevas infecciones en cada

compartimento y los del segundo vector son las tasas de transición en cada compartimento.

Para determinar el número reproductivo básico, 𝑅0, procedemos como en el capítulo 5, esto

es, linealizando el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias alrededor del equilibrio libre de

enfermedad, 𝑃1 = (𝑁𝑟∗, 0, 𝑁ℎ0, ,0), considerando sólo los compartimentos infecciosos. Luego al

linealizar el modelo original alrededor del equilibrio 𝑃1 tenemos el siguiente modelo:

(𝐼𝑟′

𝐼ℎ′ ) = [(

𝑡𝑟𝑁𝑟∗

0

𝑡ℎ𝑁ℎ 0) − (𝑚𝑟 +

𝑁𝑟∗

𝐾0

0 𝑟ℎ +𝑚ℎ

)](𝐼𝑟 −𝑁𝑟

∗

𝐼ℎ)

donde 𝐹 = (𝑡𝑟𝑁𝑟

∗ 0𝑡ℎ𝑁ℎ 0

) y 𝑉 = (𝑚𝑟 +

𝑁𝑟∗

𝐾0

0 𝑟ℎ +𝑚ℎ).

Para calcular el 𝑅0 debemos conocer la matriz 𝐹𝑉−1 ya que 𝑅0 fue definido, en el Capítulo 5,

como el radio espectral de 𝐹𝑉−1, esto es 𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1).

93

Luego como

𝐹𝑉−1 = (𝑡𝑟𝑁𝑟

∗ 0

𝑡ℎ𝑁ℎ 0)

(

1

𝑚𝑟 +𝑁𝑟∗

𝐾

0

01

𝑟ℎ + 𝑚ℎ)

=

(

𝑡𝑟𝑁𝑟∗


𝐾

0

𝑡ℎ𝑁ℎ


𝐾

0

)

obtenemos

𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1) =

𝑡𝑟𝑁𝑟∗


𝐾

=𝑡𝑟𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)

𝑛𝑟.

Como era de esperarse en la formulación de 𝑅0 aparece la capacidad de carga de los

roedores, K. Al realizar el análisis de los equilibrios encontramos un valor umbral de K que para

valores inferiores a él la infección desaparece y para valores por encima el sistema tiende al

equilibrio endémico. Ahora veamos que a partir de la formulación que encontramos para 𝑅0

también podemos determinar un valor umbral para K.

Dado que la infección se propaga cuando 𝑅0 > 1 tenemos que

𝑅0 =𝑡𝑟𝐾(𝑛𝑟 −𝑚𝑟)

𝑛𝑟> 1

y esto ocurre sólo si

𝐾 >𝑛𝑟

𝑡𝑟(𝑛𝑟 −𝑚𝑟) .

Nuevamente obtuvimos el mismo umbral y dado que el equilibrio endémico es

asintóticamente estable resulta que cuando 𝐾 >𝑛𝑟

𝑡𝑟(𝑛𝑟−𝑚𝑟) la infección se propaga tendiendo a

largo plazo al equilibrio endémico.

Observación 7.2. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝐹 = (𝑡𝑟𝑁𝑟

∗ 0𝑡ℎ𝑁ℎ 0

) representa la tasa a la cual

nuevas infecciones son generadas en 𝐼𝑖 por un individuo de 𝐼𝑗 donde 𝑖, 𝑗 ∈ {𝑟, ℎ}. Por ejemplo:

𝐹(1,2) = 0 representa la tasa a la cual nuevas infecciones son generadas en 𝐼𝑟 por un individuo de

𝐼ℎ pero como hemos supuesto que los roedores no pueden ser infectados por contacto con un

humano infectado esa tasa es cero. Por otro lado cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝑉 =

(𝑚𝑟 +

𝑁𝑟∗

𝐾0

0 𝑟ℎ +𝑚ℎ) representa la tasa de transición del 𝑗-compartimento al i-compartimento,

muerte o recuperación donde 𝑖, 𝑗 ∈ {𝑟, ℎ} Por ejemplo: 𝑉(1,2) = 0 representa la tasa de transición

de 𝐼ℎ a 𝐼𝑟 dado que esto no ocurre se tiene que el coeficiente es cero. En el caso 𝑉(2,2) lo que se

tiene es la tasa a la cual salen los individuos de la clase 𝐼ℎ en este caso es por muerte y por

recuperación de la infección.

94

Observación 7.3. Cada coordenada (𝑖, 𝑗) de la matriz 𝐹𝑉−1 representa la cantidad de casos

secundarios en 𝐼𝑖 por un individuo de 𝐼𝑗 cuando este individuo es introducido en una población

totalmente susceptible. Por ejemplo, 𝐹𝑉−1(1,1) representa la cantidad de casos secundarios en 𝐼𝑟

por un individuo de𝐼𝑟 y ésta se la calcula como el producto entre la tasa de contagio entre los

roedores y el tiempo medio de vida del roedor infectado. Era esperable que los coeficientes de la

segunda columna fueran nulos dado que el humano no contagia la infección.

7.4. Simulaciones numéricas

En las secciones anteriores realizamos un estudio analítico del comportamiento del sistema,

donde se observó que la dinámica global de la infección está determinada por la capacidad de carga

de los roedores, K, y encontramos una formulación del valor umbral de K.

En esta sección realizaremos simulaciones de la dinámica de la leptospirosis considerando los

parámetros descriptos en la Tabla 7.1.

Notación Descripción Valores Unidades

𝑡ℎ Tasa de infección de

roedores a humanos

5 × 10−3 ∈ [3 × 10−3, 6 × 10−3] (𝑟𝑜𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 𝐷í𝑎𝑠)−1

𝑡𝑟 Tasa de infección

entre roedores

[5 × 10−7, 2 × 10−6] (𝑟𝑜𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 𝐷í𝑎𝑠)−1

𝑚ℎ = 𝑛ℎ Tasa de mortalidad/

natalidad del

humano

1

360 × 70

(𝐷í𝑎𝑠)−1

𝑚𝑟 Tasa de mortalidad

del roedor

1

360 × 1,5


𝑛𝑟 Tasa de natalidad

del roedor

0.01 (𝐷í𝑎𝑠)−1

𝑟ℎ Tasa de recuperación

del humano

1

15


𝑎ℎ Tasa de pérdida de

inmunidad del

humano

1

30


𝑁ℎ Total de humanos en

la población

2000000 ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠

Los valores 𝑡ℎ , 𝑡𝑟 fueron extraídos de D. Baca Carrasco, et al. (2015) y 𝑚ℎ , 𝑟ℎ , 𝑚𝑟 de Pongsumpun (2012).

Tabla 7.1. Valores de los parámetros utilizados en la simulación numérica.

95

El objetivo de esta sección es poder visualizar el comportamiento de la enfermedad de

leptospirosis a partir del cálculo del 𝑅0 en función de K y 𝑡𝑟 . Al considerar 𝑡𝑟 = 10−6 obtuvimos

analíticamente que para 𝐾 ≥ 1227273 resulta 𝑅0 > 1 mientras que cuando 𝑡𝑟 = 5 × 10−7 la

infección se propaga cuando 𝐾 ≥ 2454546. Luego al disminuir 𝑡𝑟 aumenta el valor umbral de K

para el cual la infección se propaga. Esto último también puede observarse en la Figura 7.1 donde

mostramos el comportamiento del 𝑅0 en función del parámetro K para los valores de 𝑡𝑟 antes

mencionados.

Figura 7.1 Comportamiento del 𝑅0 en función del parámetro K cuando a) 𝑡𝑟 = 10−6, b) 𝑡𝑟 = 5 × 10

−7.

Con el objetivo de analizar la dinámica de la infección realizamos simulaciones fijando

𝑡𝑟 = 10−6 luego el K umbral para la cual la enfermedad puede o no propagarse es 𝐾𝑢 = 1227273.

Además tomamos un 𝐾1 = 1000000 < 𝐾𝑢 < 𝐾2 = 1400000. Antes de computarlas determinamos

el punto de equilibrio de la población de roedores dado por (𝑛𝑟 −𝑚𝑟)𝐾 = 0.0082 ∙ 𝐾 para luego

compararlo con el tamaño de la población inicial y así saber si la población de roedores crece o

decrece.

Para las dos primeras simulaciones hemos supuesto la siguiente condición inicial 𝑆ℎ(0) =

2000000, 𝐼ℎ(0) = 0, 𝑅ℎ(0) = 0, 𝑆𝑟(0) = 1270000, 𝐼𝑟(0) = 30000,𝑁𝑟(0) = 1300000.

Al trabajar con 𝐾1 el punto de equilibrio de la población de roedores es 8200 y dado que la

población inicial es 1300000 ésta decrecerá tendiendo al equilibrio poblacional (Figura 7.2a). La

Figura 7.3 a) nos permite observar que el haber considerado 𝐾1 < 𝐾𝑢 la infección tiende al

equilibrio libre.

Cuando tomamos 𝐾2 el punto de equilibrio de la población de roedores es 11480 y dado que

la población inicial es 1300000 ésta decrecerá tendiendo al equilibrio poblacional (Figura 7.2.b). La

Figura 7.3 b) nos permite observar que el haber considerado 𝐾𝑢 < 𝐾2 la infección tiende al

equilibrio endémico.

Para las dos últimas simulaciones hemos supuesto la siguiente condición inicial 𝑆ℎ(0) =

2000000, 𝐼ℎ(0) = 0, 𝑅ℎ(0) = 0, 𝑆𝑟(0) = 5000, 𝐼𝑟(0) = 3000,𝑁𝑟(0) = 8000.

Dado que la población inicial de roedores es 8000 y que esta es inferior al equilibrio de la

población de roedores, ya sea considerante 𝐾1 o 𝐾2, la población crecerá tendiendo al equilibrio

poblacional correspondiente (Figura 7.4 a y b).

96

Figura 7.2 Simulaciones de la dinámica de la población de roedores con 𝑁𝑟(0) = 1300000

a) 𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.

Figura 7.3 Simulaciones de la dinámica del sistema considerando 𝑁𝑟(0) = 1300000 a) 𝐾 = 1000000,

b) 𝐾 = 1400000.

97

Figura 7.4 Simulaciones de la dinámica de la población de roedores con 𝑁𝑟(0) = 8000

a)𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.

Figura 7.5 Simulaciones de la dinámica del sistema considerando 𝑁𝑟(0) = 8000

a)𝐾 = 1000000, b) 𝐾 = 1400000.

98

Como se puede observar en la Figura 7.5 independientemente si la población de roedores

crece o decrece la dinámica global de la infección tiende al equilibrio libre cuando la capacidad de

carga se encuentra por debajo del valor umbral (𝐾1 < 𝐾𝑢) mientras que tiende al equilibrio

endémico cuando 𝐾𝑢 < 𝐾2 .

7.5. Medidas de control

Con lo analizado anteriormente pudimos observar la dinámica global de la leptospirosis

depende de la capacidad de carga del ambiente para la población de roedores. Luego, si se logra

mantener una baja capacidad de carga, esto es que K sea lo más pequeño posible, no estamos

brindándole a los roedores un ambiente óptimo para que la leptospirosis prospere. Toda acción que

sea capaz de reducir la capacidad de carga será adecuada para reducir el éxito de la infección.

Algunas medidas de control podrían ser: reducir- eliminar basureros a cielo abierto, desratizar

galpones de acopio de cereales como así también sitios donde se acopia leña, entre otras.

99

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