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ASIGNATURA: Matemática 2014
LOGICA Y CONJUNTOS
2
CONTENIDO
Lógica y Conjuntos Análisis combinatorio y probabilidades Sistema de números reales Relaciones y funciones. Logaritmos y exponenciales. Mediciones y magnitudes.
3
Lógica Proposicional
Enunciado abierto Son expresiones que contienen variables y que no
tienen propiedad de ser verdaderos o falsos. Ejemplo: x+3 = 8 ; El tiene 20 años
Enunciado:Es toda frase u oración que se emite. Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o falsos.
Ejemplo:¿Qué hora es? , ¡Arriba Perú!La matemática es fácil. x + 4 = 6
4
Proposición:
Es toda expresión que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa.
Ejemplo:
Notación.Generalmente a las proposiciones se les denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, ..Así : P: Luis estudia ; q : Luis trabaja
Juan estudia medicina en la USMP.2 + 5 = 8Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.Mario Vargas Llosa nació en Arequipa.
5
Conectivos lógicos:
p : Luis estudiaq : Luis trabaja : Luis estudia “y” trabaja
""
Son expresiones que enlazan dos o más proposiciones Entre estas , se tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si y solo si”, etc.Los conectivos lógicos que usaremos son:
La ConjunciónEnlaza dos o más proposiciones con la palabra “y”, denotado por Ejemplo:
qp
6
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Su tabla de verdad es:
La conjunción sólo es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas
7
•La Disyunción:
Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “0”; que se denota por “ “
Su tabla de verdad es:
p q p q
V
V V
V F V
F V V
F F F
La disyunción sólo es falsa, cuando ambas proposiciones son falsas.
8
La disyunción exclusiva o diferencia simétrica
La disyunción exclusiva, sólo admite que es verdadera, si una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa. Se denota por: poro
p q p q
V
V F
V F V
F V V
F F F
Se lee: “p o q pero no ambos”
:qΛp
“ o es p o es q”
p: Víctor Raúl nació en Trujillo. q: Víctor Raúl nació en Lima.
“ o Víctor Raúl nació en Trujillo o en Lima”
:qΛp
9
La negación:
La negación de una proposición “p”, es otra proposición , denotado por “ ~p”, que se lee: “no p” , o “no es cierto que”, cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:
p ~p
V F
F VEjemplo:
P: Pedro es estudioso~p: Pedro no es estudioso, o también: No es cierto que Pedro es estudioso
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El condicional:
En el condicional: p q
“p” se llama antecedente
“q” se llama consecuente
Denotado por el símbolo: se lee: “Entonces” o “implica”, etc.Por lo tanto, este conectivo une dos o más proposiciones con la palabra “entonces”Ejemplo: p: Juan estudia q: Juan aprueba el examen p q : Si Juan estudia, entonces aprueba el examen.
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p q p ⇒ q
V
V V
V F F
F V V
F F V
Su tabla de verdad es:
Nota: En el condicional:
Sólo, es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en todo los demás casos es verdadero.
p q
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Al condicional se le asocia tres expresiones lógicas importantes:
Sea el condicional: p⇒q
La proposición Recíproca es: q ⇒ p
La proposición inversa es: ~p ⇒ ~ q
La Contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p
Construyendo la tabla de verdad, se tiene:
qp pq qp pq
Directo
Rcíproco
p q
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
Inversa Contrarecíproco
13
El Bicondicional o Doble implicación
Denotado por: Se lee: “Sí y sólo sí”. Relaciona dos o más proposiciones mediante la palabra “sí y sólo si”. Su tabla de verdad es:
qp p q
V V V
V F F
F V F
F F V
p: Londres está en Inglaterraq: París está en Francia.
Londres está en Inglaterrasi, y solamente si,París está en Francia.
qp
14
Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas
Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para obtener el valor de verdad de otras expresiones más complejas.
Tener en cuenta que el número de combinaciones de valores de verdad de una proposición, está supeditado al número de variables o proposiciones simples que intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: 2n , donde “n” indica el número de variables que hay en la proposición compuesta.
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qpqp )( p
q
V V F V V F F
V F F V F V V
F V V F F V F
F F V F F F V
Ejemplo: Construir la tabla de vedad de las siguientes expresiones lógicas:
qrprqpb
qpqpa
)()(.)
(.)
Solución: qpqpa (.)
16
qrprqpb )()(.)
qrprqp )()( p q r
V V V F F V V V V V
V V F F F V V V V V
V F V F F V V V F F
V F F F F F V V F F
F V V V V V V V V V
F V F V V V F F F V
F F V V V V F V F F
F F F V F F V F F F
17
Proposiciones equivalentes:
Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si tienen iguales valores de verdad.
Ejemplo: ,qpyqp
Construyendo su tabla de verdad:
qp p q ~p ∨ q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
Son equivalentes
18
Tautologías, contradicciones y contingencias:
• Una expresión proposicional se llama Tautología, si
los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos
• Una expresión proposicional se llama Contradicción,si
los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.
• Una expresión proposicional se llama Contingencia,
si los valores de su tabla de verdad hay valores
verdaderos y falsos
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Determinar si el siguiente esquema es tautológico, consistente o contradictorio.
p p)]~ q(~ q) (p [~ p
q
V V F V V F F F V V
V F F V V V F F V V
F V F V V F F V V F
F F V F V V V V V F
pp)]~q(~q)(p[~
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Dada las proposiciones :p: 18 es un número primoq: 4 es un número cuadrado perfecto.r: 13 es un número parDeterminar el valor de verdad del siguiente esquema:
r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(
r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(
V(p)= F
V(q)= V
V( r )= F
Solución:= V
V V
V V
VV
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INFERENCIA LÓGICA Y CUANTIFICADORES
La inferencia lógica, llamado también razonamiento lógico, es un par ordenado de la forma:
Donde es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y ”q”, otra proposición, llamada conclusión.
Es decir, si p1, p2 , p3….., pn , son proposiciones llamadas premisas y q la conclusión, entonces la implicación: Es una tautología
Por lo tanto:
-Si la implicación es una tautología, entonces, se tiene un Argumento válido.
-Si la implicación es Falsa, entonces, se tiene una Falacia.
ip qpi ,
qpppp n ).....( 321
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Ejemplo:
Simbolizando, se tiene:
P: El día está frío.
q: El cielo está nublado. Simbolizando la inferencia
Determinar la validez de la siguiente inferencia:“El día está frío, entonces el cielo está nublado. El día está frío. Por lo tanto : El cielo está nublado”Solución:
q
p
qp
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Desarrollando la tabla de verdad de:
qpqp )(
p q
V V V V V V V
V F F F V
V F
F V V F F
V V
F F V F F
V F
Es una tautología, por lo tanto, la inferencia es Válida
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Principales leyes lógicas o Tautologías:
qqpb
pqpa
ciónSimplificadeLey
qqpp
PonensModusDelLey
pp
excluidoTerciodelLey
pp
ióncontradiccdeLey
ppypp
identidadde
tieneseestasEntre
)
)
:.5
)(
:.4
:.3
)(~
:.2
:.1
:
25
Principales Leyes Lógicas
pqpqpb
pqqpa
AbsurdodelLey
qqqp
DisyuntivoismoSidelLey
rprqqp
hipotèticoismoSidelLey
qqqp
TollensModusdeLey
)()()
)()
:.9
)(
:log.8
)()()(
log.7
)(
:..6
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Equivalencias Notables
)()()
)()()
)()()
:.4
)
)
)
:.3
)
)
:.2
)(
:)(:.1
rqprqpc
rqprqpb
rqprqpa
AsociativaLey
pqqpc
pqqpb
pqqpa
aConmutativLey
pppb
pppa
iaIdempotencdeLey
pp
negaciónDobleinvolucióndeLey
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Equivalencias notables:
Fppc
ppb
Vqpa
oComplementdeLeyes
qpqpb
qpqpa
MorganDdeLey
rpqprqpd
rpqprqpc
rpqprqpb
rpqprqpa
vasDistributiLeyes
)
)()
)
:.7
)()
)()
:´.6
)()()()
)()()()
)()()()
)()()()
:.5
28
Principales leyes lógicas
qpqppdqpqppc
pqppbpqppa
AbsorsióndeLey
FFpdpFpc
pVpbVVpa
IdentidaddeLeyes
qpqpqpb
pqqpqpa
nalBicondiciodelLey
pqqpc
qpqpb
qpqpa
onaldelCondiciLeyes
)())()
)())()
:.11
))
))
:.10
)()()()
)()()()
:.9
)()
)()
)
:.8
29
Principales leyes lógicas
iónContradiccCíaTautoT
CCpdpCpc
TTpbpTpa
NeutrosElementos
rppppprppppb
rqprqpa
nExportaciódeLey
pqqpb
pqqpa
iónTransposicdeLey
nnn
;log
))
))
:.14
)()....()....()
)()()
:.13
)()()
)()()
:.12
321321
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CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se les denota asi:
P(x) ; q(x) ; etc.
Ejemplo:
Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es verdadera. Esto escribimos asi:
P(3): 3+5=12 es falsa
P(7): 7+5=12 es verdadera.
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TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”, que está denotado por:
Así por ejemplo:
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2es mayor o igual a cero”
2.- Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún x”, que está denotado por :
0: 2 xRx
082::
"lg"::2
xRxEjemplo
xúnaExisteleesex
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Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces
si esta función proposicional está cuantificada y se niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:
)(:)(: xpAxxpAx Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces, si esta función proposicional está cuantificada en forma existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
)(:)(: xpAxxpAx
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Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan posiciones lógicas.
Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo
:qp
CONJUNCIÓNlaconseasociaserieenConexiónUna
/p /q
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.:qp
DISYUNCIÓNlaconasociaseparaleloenConexiónUna
P/
q/
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Circuitos lógicos
Describir simbólicamente el circuito
pr
~q
q ~r
1. r y ~q están conectados en paralelo : r v ~q
2. P y (r y ~q) están conectados en serie: q)~(rp 3. q y ~r están conectados en serie: r~ q
q)~(rp y r~ q Están conectados en paralelo,
Luego se simboliza: r)~(qq)~(rp
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Circuitos lógicos
Determinar el circuito equivalente al circuito:~p
Solución
El circuito se simboliza por:
p~qp~pqp~
~p
q
p
q
~p
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Circuitos lógicos
Solución
p~qp~pqp~ Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias notables.
qp~p~qpp~ Asociativa
qp~qT Ley del tercio excluido , Idempotencia.
qp~T
qp~ Elemento neutro para la conjunción
El circuito equivalente es: ~p
q
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CONJUNTO:
Idea Intuitiva:
La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:
Grupo
Colección
Selección
Asociación
Agregado , etc.
NOTACION
Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas, tales como A , B , C .......
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
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ELEMENTO :Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un elemento es la pertenencia ; que se simboliza así
: Se lee : “ pertenece a ”
A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , z
etc.
Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento
pertenece a ese conjunto A así denotamos :
x A : Se lee: “ x pertenece a A”
Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese
elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :
x A : Se lee: “ x no pertenece a A”
Ejemplo: Sea A = {x , y , z}
x A y A z A m A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
40
Determinación de un conjunto :Un conjunto se puede determinar:
por extensión y por comprensión
Por extensión :
Nombrando uno a uno los elementos del conjunto
Ejemplo: A = {m , n , p , q}
Por Comprensión :
Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del
conjunto.
Ejemplo: A = {x x es un número par }
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
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Conjuntos Especiales : Conjunto Unitario : Ejemplo: M = { x } ; N = { x N 1 < x < 3 }
Conjunto Nulo o Vacío : Denotado por
Ejemplo: P = { x N 1 < x < 2 } =
Conjunto Finito
Ejemplo: M = { x x es número dígito par menor que 40 }
Conjunto Infinito
Ejemplo: N = { x R 1 < x 5 }
Conjunto Universal
Constituido por todos los elementos de una determinada materia.
El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a
nuestra conveniencia.
Se denota por la letra U
Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u }
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
42
Diagrama de Veen - Euler :Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas
planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.
Ejemplo: A = {m , n , p }
.m
.n
.p
A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
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Relaciones entre Conjuntos :LA INCLUSION
Denotado por se lee: está incluido o contenido .
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí ,
todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :
Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }BxAxBA
.1.4
.6
La inclusión denotado por da la posibilidad de que A y B
tengan los mismos elementos
.2 .3.5
A
B
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
44
Subconjunto Propio o Parte Propia:
Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y
solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B
que no pertenecen a A ; se denota así:
A B se lee: A es subconjunto propio de B
Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .
A ; A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
45
Propiedades de la Inclusión:
1. Reflexiva :
A A ; A
2. Antisimétrica :
Si A B B A A = B
3. Transitiva :
Para los conjuntos A , B y C
Si A B B C A C
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
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Igualdad de Conjuntos :
A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos.
Y definimos así:
Ejemplo:
A={x , y } y B= { y , x }
A = B
AB BA B A
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
47
Relaciones entre Conjuntos :Conjuntos Comparables
.b
.d .f
Tienen algunos elementos en común.
A={a , b , c , d} y B= { a , c , e , f}
.a
.c
A B
AB BA B a comparable esA Conjuntos no comparables
AB BA BA B a comparable es noA
.e
Conjuntos Disjuntos:
BA disjuntosson By A
Números pares
Números impares
A B
No tienen ningún elemento en común
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
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Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos :
Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.
Ejemplo: A={ {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } }
A X / X P(A)
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
Conjunto Potencia
Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese
conjunto , incluyendo el mismo y el nulo.
Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A)
Luego :
Ejemplo: Sea A = {a , b}
P(A) = { {a } , { b } , { a , b } , }
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Nota :
1. Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual
a 2n elementos.
P(B)P(A)BA Si 4.
P(B)P(A)BA Si 3.
}{ )P( A Si 2.
LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS
El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos
50
El Conjunto de Números Naturales ( N)
N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }
En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y
multiplicación sin restricciones.
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
El Conjunto de Números Enteros ( Z )
Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo
el cero.
Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }
Donde N Z
N
Z
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El Conjunto de Números Racionales ( Q)
Q = { x / x = ; a , b Z ; b 0 }
Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el
divisor diferente de cero . Y puede obtenerse.
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
N
Z
ba
mixto Periódico
puro Periódicoinexacto Decimal
exacto Decimal
decimal Número
Q
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Conjunto de Números Irracionales( Q )Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b 0
a , b Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales.
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
ba
..........2 , e , , 2 , 3..,.......... 3Q=
Conjunto de Números Reales ( R )
R = Q Q
Nota:
Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto
de números reales y el conjunto de puntos de la recta .
PiP2P1
(x1) (x2) (xi)- +
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GRAFICA CONJUNTISTAGRAFICA CONJUNTISTA
RR
ZZ
NNQ’Q’
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El Conjunto de Números Complejos ( C )Al resolver la ecuación :
CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS
1icon ; 1- si donde,
R1x01 x2
2
i
i se llama unidad imaginaria
Por lo tanto :
Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b RLuego :
C = { a + bi a , b R ; i2 = - 1 }
55
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión o Reunión de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }
A B Si A y B son no comparables , entonces:
A B gráficamente es:
Si A y B son comparables , entonces:
A B es:
Si A y B son Disjuntos
A B es:
B
B
A
A
56
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de la Reunión de Conjuntos
n21i
n
1iA...........AAA 12.
DBCA DC BA Si 11.
BBABA Si .10
B A BA Si 9.
B)(AB B)(AA 8.
UUA 7.
C)(BC)(ABA Si 6.
C ; C)A(B)A(C)B(A 5.
AA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
57
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Intersección de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }
A B Si A y B son no comparables , entonces:
A B gráficamente es:
Si A y B son comparables , entonces:
A B es:
Si A y B son Disjuntos
A B es:
B
B
A
A
BA
58
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Intersección de Conjuntos
A...........AAA 13.
AB)(AA ;A B)(AA 12.
C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA 11.
P(B) P(A) B)P(A 10.
CBA DB CA Si 9.
BB)(A A B)(A 8.
CBCABA Si 7.
ABABA Si 6.
A 5.
AUA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
n21i
n
1
i
D
59
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDiferencia de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }
Gráficamente , mediante el diagrama
de Veen se tiene: A B
Si A y B son no comparables , entonces:
A - B es:
Si A y B son comparables , entonces:
A - B = (No hay gráfico)
Si A y B son Disjuntos
A - B es:BA
BA
B – A es:
60
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Diferencia de Conjuntos
B-C)-A(C-B)-(A 12.
Disjuntosson A -B ; BA ; B-A 11.
C)(AB)(AC)(B-A
C)-(AB)-(AC)(B-A 10.
C , C)-(BC)-(ABA Si 9.
BA BA Si 8.
C)(A-B)(AC)-B(A 7.
B)-(AB 6.
B)(A-AB-B)(A B)-(A 5.
A- 4.
AB-A 3.
AA 2.
A -A .1
61
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSComplemento de un Conjunto
Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por
A O Ac se define asi :
Ac = { x/ x U x A } = U - A
Ac
Gráficamente:
A
Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde
A B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado
por CB (A) Será :
CB (A) = { x / x B x A } = B - A
U
62
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades del Complemento
B)(AU)B(A 12.
B)(A-U)B(A 11.
BA)B(A
BA)B(A 10.
ABBA Si 9.
B (A)C 8.
A-B (A)C 7.
6.
U 5.
U 4.
AA 3.
UAA 2.
A)A( .1
B
B
BABA
63
Diferencia Simétrica
Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:
A B = (A – B ) U (B – A)
B
Gráficamente:
A
Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A B
Solución.
Como A B = (A – B ) (B – A) = { 5 } { 0 , 1 , 8 , 9 }
A B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }
64
Propiedades de la Diferencia simétrica
CBC A B A Si 9.
) AB ()BA(B ΔA 8.
B)(A-B)A(B ΔA 7.
C)B(A-)BA(CBB) Δ(A 6.
C)B Δ( C)A(C B) Δ(A 5.
BA 4.
A BΔB ΔA 3.
A A 2.
A A .1
C
CBAC
65
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Número de Elementos de un Conjunto
Al número de elementos de un conjunto se le llama :
Cardinal de un Conjunto y se denota así:
Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A
Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }
n(A ) = 5
ó
n [ P(A) ] = 25 = 32
66
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Propiedades
C)Bn(A C)n(B-C)n(A - B)n(A - n(C) n(B) n(A) C)B n(A
:entonces , CBA
:que taless,comparable no conjuntosson Cy B ,A Si 4.
B)n(A - n(B) n(A) B) n(A
:entonces s,comparable no conjuntosson By A Si 3.
B)n(A - n(A) B) -n(A
: racualesquie conjuntosson By A Si 2.
n(B) n(A) B)n(A
:entonces , disjuntos conjuntosson By A Si .1
67
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:
A B
C
R1
R4
R5
R7
R2
R6
R3
R8
U
)BCn(A]BC)n[(A n(B)C)n(AR
)BAn(C)B(An[C B)n(An(C)R
)CAn(B])C(AB n[C)n(An(B)R
)CBn(A])C(Bn[A C)n(Bn(A)R
4
3
2
1
68
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:
A B
C
R1
R4
R5
R7
R2
R6
R3
R8
U
)CBn(AR
C)Bn(AR
)ACn(B] AC)(B n[n(A)C)n(BR
)CBn(A]C)n[(A n(C)B)n(AR
8
7
6
5
B
69
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }
con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Hallar :
Solución:
)B'A(CBA 3. B'CA 2. CBA 1.
71,2,4,6,77,8,9 1,2,4,6,75,60,1,2,3,4, CBA .1
66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(A BCA .2
9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,0 2)BA(C)B(A .3
70
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos:
n(AB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B A ) = 20 Hallar: n(A) + n(B)
Solución:
......(1) 60B)n(A - n(B) n(A) : tieneSe
B)n(A - n(B) n(A) B)n(A :que Sabemos
......(2).......... 24B)n(A - n(A)
B)n(A - n(A) B)n(A :que Sabemos
......(3).......... 20B)n(A - n(B)
A)n(B - n(B) A)n(B A - B AB Como
Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36
Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40
Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76
71
TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B
Hallar : a) P(A C) b) P(A) P(B)
Solución:
, , C)P(A ba,CA a.
entonces , ba,BAC cb,a, B ; ba,a,A :Como
ba
, a P(B) P(A)
, ,, ,, ,, ,, , , ,a P(B)
,, , , , a P(A) b.
cbacbcabacb
baaba
72
Ejemplo:
En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima , conformado
por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente información :
40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés , 16 hablan alemán
; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el alemán , los tres idiomas
sólo 2. Si el número de profesionales que hablan sólo el francés es igual al
número de profesionales que hablan el francés y el alemán. ¿Cuántos
hablan únicamente el francés?
Solución:
x )IFn(A
2I)Fn(A 5A)n(I
12F)n(I 16n(A)
28n(F) 40n(I)
I F
A
25
32
10
x
16-(3+2+x)
28-(10+2+x)
73
Solución:
I F
A
25
32
10
x
16-(3+2+x)
28-(10+2+x)
76760
)5(16)12(2832102560
xx
xxx