Modelado MatemModelado Matemáático de tico de Procesos QuProcesos Quíímicosmicos

Marga Marcos, curso 03-04

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Modelos

• Representación aproximada de la realidad• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y

relaciones que son de interés• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que

pasa si…., decisiones,...• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?

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¿Qué es un modelo matemático?

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del proceso de interés y representan adecuadamente su comportamiento

• Relacionan las variables de salida con las variables de entrada, cuya evolución se supone conocida

• Siempre son aproximaciones de la realidad• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de

procesos• Compromiso entre facilidad de uso (modelos

simples) y exactitud (modelos precisos)

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Modelo como representación del proceso

y

tiempo

ym

tiempo

Proceso

u

tiempo Modelo

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Procesos continuos y de eventos discretos

• Procesos continuos:Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado

• Procesos de eventos:Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores

q

h

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Procesos continuos y de eventos discretos

• Procesos continuos» Descritos normalmente por ecuaciones diferenciales totales

o en derivadas parciales» Interesa conocer la evolución de ciertas variables de interés

• Procesos de eventos discretos» Descritos principalmente por secuencias de actividades» Interesa conocer el comportamiento estadístico de las

variables de interés

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Modelos estáticos y dinámicos

• Modelo estático:» Relaciona las variables en

un estado de equilibrio

• Modelo dinámico:» Relaciona las variables a lo

largo del tiempo

hkFFF e == ;

hkFtdhdA

dtdV

e −==

Fe

h

F

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Respuesta dinámica

Estado estacionario

tiempo

Fe

h

h1

h2

Fe1

Fe2

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Modelos estáticos y dinámicos

• Estáticos» Representan situaciones de equilibrio» Descritos mediante ecuaciones algebraicas» Orientados a diseño

• Dinámicos» Representan la evolución temporal» Descritos mediante ecuaciones diferenciales» Utilización típica: control, entrenamiento,...

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Modelos discretizados

• modelos en tiempo discreto• relacionan las variables de entrada y salida en los

instantes de muestreo kT

ProcesoOrdenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

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Obtención de modelos

• Mediante razonamientos, por aplicación de principios generales de la física, la química, etc

• Mediante experimentación y análisis de datos

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Modelos de conocimiento

• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación

• Tienen validez general• Requieren conocimiento profundo del proceso y de

las leyes físico-químicas

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Modelos de conocimiento

• Principios físico-químicos involucrados» Ecuaciones de conservación de propiedades

fundamentales:• Masa total• Masa de componentes individuales• Energía• Cantidad de movimiento

» Ecuaciones cinéticas de transferencia de materia, calor, cantidad de movimiento y reacción química

» Ecuaciones de estado termodinámicas

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Régimen nominal de operación

• Problema regulador: mantener al proceso próximo al régimen nominal de operación, compensando mediante la acción de control el efecto de las entradas de perturbación

• Modelo dinámico: descripción del comportamiento del proceso alrededor del régimen permanente deseado (valores nominales de las variables de entrada y salida que satisfacen las ecuaciones del modelo estático o de régimen permanente)

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Identificación de Modelos

• El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

YU

t

U

t

Y

Proceso

Modelo

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Modelos de conocimiento

• Metodología de modelado:

» Establecer los límites y objetivos del modelo» Establecer las hipótesis básicas» Escribir las ecuaciones usando leyes de

conservación y del dominio de aplicación» Estimar el valor de los parámetros» Validar el modelo

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Desarrollo del modelo

• Definir Objetivos» Establecer los límites y objetivos del modelo

• decisiones de diseño específicas• valores numéricos• relaciones funcionales• precisión requerida

• Preparar Información» Establecer las hipótesis básicas

• diagrama del proceso e identificación del sistema• identificar variables de interés• establecer suposiciones y datos

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Desarrollo del modelo

• Formular el modelo

» Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación

• balances de conservación• ecuaciones constitutivas• racionalizar (combinar ecuaciones)• chequear grados de libertad ; NF=NV-NE• forma adimensional

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Solución del modelo y simulación

• Determinar solución» Analítica» Numérica

• Analizar resultados» chequear resultados

• respuestas límite y aproximaciones• precisión del método numérico

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Solución del modelo y simulación

• Interpretar resultados» dibujar solución» comportamiento característico (como oscilaciones y

extremos)» relacionar resultados con datos y suposiciones» evaluar sensibilidad» responder a cuestiones del tipo “que pasa si”

• Validar el modelo» seleccionar valores clave para la validación» comparar con resultados experimentales» comparar con resultados de modelos más complejos

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Tipos de modelos

• Parámetros concentrados• Parámetros distribuidos• No-lineales• Lineales• Tiempo• Frecuencia• ….

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Ley de conservación de una propiedad

Velocidad de acumulación de una propiedad del sistema, P, en un volumen de control fijo en el espacio, V

=

-

+

-

Velocidad de entrada de la propiedad P en V

Velocidad de salida de la propiedad P en V

Velocidad de generación de la propiedad P en V

Velocidad de destrucción de la propiedad P en V

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la masa total

Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =

Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -

Masa que sale del sistema por unidad de tiempo +

Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -

Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo

CGMMtdmd

i −+−= 0

m

Mi M0G C

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Ejemplo: depósito

• Depósito con descarga por rebosadero

A

h V

FFe

Descarga por rebosadero ⇒ el nivel en el tanque es prácticamente constantem: masa en el depósito; A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos), Fe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida

m

-

hAV

FFtdmd

e

ρρ

ρρ

==

=

⇒

FF

FFdtdhA

e

e

-

=

=

02

)(2

=−===

NENVNFNE

FyhNV

ec. diferencial

ec. algebraica

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Ejemplo: depósito

• Depósito con descarga por gravedad

Descarga por gravedad ⇒ el nivel en el tanque no tiene porqué ser constante.m: masa en el depósito; A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos), k: constanteFe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida

⇒ - FF

dtdhA

dtdV

e==

A

h V

F

Fe

El caudal de descarga, F, se puede expresar en función del nivel:

• flujo laminar:

• flujo turbulento:

hkF =

hkF =

ec. diferencial

ec. algebraica

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0,F h0:nesrestriccio

)sgn( ?h

F

A

2e1maxi

21211121

2222111

122

2111

1

≥≤≤

−−=⇒<

=−=

−+=−=

e

ee

Fh

hhhhkFh

hkhhkF

FFFdtdhFF

dtdhA

Leyes + restricciones

Fe1

FF1

h1h2

Fe2

Ejemplo: dos depósitos

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la masa de componentes individuales

Acumulación de masa de componente por unidad de tiempo =

Masa que entra de componente por unidad de tiempo -Masa que sale de componente por unidad de tiempo +

Masa que se genera de componente por unidad de tiempo -Masa que se consume de componente por unidad de tiempo

CGMMtdmd

i −+−= 0

m

Mi M0G C

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Ejemplo: reactor químico isotermo

Hipótesis: • mezcla perfecta en el reactor• temperatura en el reactor constante• volumen constante• reacción química irreversible de

descomposición de la especie A; A → 2Bcon entalpía de reacción nula y cinéticade primer orden

Reactor

Productos: A y B

Materia prima: AAT

FT

Ecuaciones: • balance másico del componente A• balance másico del componente B

AA ckr =−

• -rA: velocidad de consumo molar de Apor unidad de volumen

• K: constante cinética• cA: concentración molar

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Ejemplo: reactor químico isotermo

A � B

Fe,CAe,Te

CA CB T

Producto A

AAAeeA ckVFccFtdcVd

−−=)(

ABB ckVFctdcVd

+−=)(

Ecuación de conservación del componente A:

Ecuación de conservación del componente B:

• entradas: Fe, CAe• salidas: cA, F

• entradas: Fe, CAe• salidas: cB, F

Ecuación 1

Ecuación 2

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Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por rebosadero:» El volumen de masa reaccionante es constante

» Si lo que interesa conocer es el comportamiento de cAcuando varía Fe, eliminamos F

FFe =

AAAeeA ckVFccFtdcVd

−−=)(

02

)(2

=−===

NENVNFNE

FycNV A

AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(

V = cte

Ecuación no lineal

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Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por gravedad:» El volumen de masa reaccionante no es constante

» De [2]:

FFdtdV

e −=

AAAeeA ckVFccFtdcVd

−−=)(

02

)(2

=−===

NENVNFNE

FycNV A

AAAeeAA ckVFccF

dtdVc

tdcdV −−=+

)(

[1]

[2]

[3]

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Ejemplo: reactor químico isotermo

• Tanque con descarga por gravedad:» Sustituyendo [1] en [3]:

03

),(3

=−===

NENVNFNE

FyhcNV A

AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(

FFdtdV

e −=

=Fkhhk

flujo laminar

flujo turbulentoEntradas conocidas: Fe, CAe

Variables de entrada: Fe, CAeVariables de salida: cA, V(h), F

Ecuación no lineal

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Ejemplo: reactor químico isotermo

» Ambos sistemas responderán igual a un cambio en la concentración de entrada

» No será así cuando varíe Fe

» Condición inicial para cA: valor nominal en régimen permanente:

» Se obtiene resolviendo el modelo estático: una vez especificados los valores de y

Ac0=

dtdcA

eF Aec

AAAee ckVccF =− )(

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo

• Consideraciones:

» La energía específica (energía por unidad de masa) total de un fluido tiene 3 componentes:

• Energía interna específica• Energía potencial específica• Energía cinética específica

= -Velocidad de entrada de energía en V

Velocidad de salida de energía en V

Velocidad de acum. de energía en V

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo

» Término acumulación de energía en V:• Sólo aparece la energía interna

» Entrada y salida de energía:• con la corriente de entrada• con la corriente de salida• intercambio de calor y trabajo con los alrededores

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo» Hipótesis:

• Energía cinética específica despreciable (velocidad de los fluidos baja)

• Energía cinética total que entra y sale del equipo parecida (velocidades de las corrientes de entrada y salida semejante)

• Energía potencial que entra y sale del equipo parecida (poca diferencia de cota) además, es despreciable frente a la energía interna)

• En la mayoría de los equipos el trabajo que se intercambia con el exterior es trabajo de flujo (trabajo específico pv), asociado a las corrientes de entrada y salida y que unido a la energía interna específica constituye la entalpía

vpuh +=

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo» Balance de energía:

• u: energía interna específica• he,h: entalpías específicas de las corrientes de entrada y salida• Q: energía aportada en forma de calor por unidad de tiempo• W: trabajo realizado sobre los alrededores por unidad de

tiempo

WQhFhFuVdtd

eee −+−= ρρρ )(

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Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados

• Ecuación de conservación de la energía en un proceso reactivo» Si el proceso es reactivo, la energía interna y las entalpías se

refieren a los reactivos y productos de la reacción» En modelos sencillos es habitual tomar como ecuación de balance

de energía:

• Los valores de las entalpías y energías internas se refieren a las especies moleculares presentes

• entalpía de reacción

WQrHhFhFuVdtd

Areee −−∆−+−= )()()( ρρρ

)( rH∆−

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Hipótesis:

• T uniforme en el depósito

• Aislamiento perfecto

• Densidad constante

• Al tratarse de un líquido:

Ejemplo: calentador de agua

QV,T

FFe, Te

Tanque con descarga por rebosadero

huvp =⇒≈0

T: temperaturaV: volumen del depósitoH: entalpíaA: sección del depósitoρ: densidad FFcteV

QhFhFdtdhV

e

eee

=⇒=

+−= ρρρ

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Ejemplo: calentador de aguaTanque con descarga por rebosadero

Entalpía del agua a temperatura TReferida a agua líquida a temperatura T0:

)( 0TTch p −=

• cp: calor específico medio entre T y T0 (≈cte)

Velocidad de transferencia de calor al agua:

)( TTUAQ s −=

• U: coeficiente global de transferencia de calor• A: área de la superficie de transferencia de calor (serpentín)•Ts: temperatura de saturación correspondiente a la presión de

suministro de vapor

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Ejemplo: calentador de aguaTanque con descarga por rebosadero

)()( TTUATTcFdtdTcV sepep −+−= ρρ

Ecuación no lineal

Especificadas las variables de entrada, Fe, Te y Ts y la condición inicial T(0), La integración de esta ecuación permite calcular la evolución temporal de la temperatura

se obtiene resolviendo el modelo estático (dT/dt=0), una vez especificadoslos valores nominales de las variables de entrada,

TT =)0(see TyTF ,

0)()( =−+− TTUATTcF sepe ρ

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Modelos de conocimiento

Conclusiones:

• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales

• Útiles para muchos fines• Es necesario conocer los principios físico-químicos• Difíciles de manipular matemáticamente• Se resuelven mediante simulación

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Modelos linealizados

• Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales

• Más fáciles de manipular matemáticamente • Su rango de validez es limitado

hkFtdhdA e−= hF

tdhdA e ∆−∆=

∆ αβ

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Modelos linealizados

• las variables u e y son cambios sobre un punto de operación

• El rango de validez está limitado a los alrededores del punto de operación

)()()()()()(tYtYtytUtUtu

−=

−=

t

YYU

Proceso

U

U Y

),( YU

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Linealización

• Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….

• Ecuación lineal en las nuevas variables ∆u, ∆y, ∆z

...)zz(zf)yy(

yf)uu(

uf)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

00

00

00

000

000

+−∂∂+−

∂∂+−

∂∂+=

==

...)zz(zf)yy(

yf)uu(

uf)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

00

00

00

000

000

+−∂∂+−

∂∂+−

∂∂+=

==

zzz yyy uuu 0zzfy

yfu

uf

000000

−=∆−=∆−=∆=∆∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂

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Modelos linealizados

• Variables de desviación

» Dado que el proceso trabaja en un punto de operación para el que se obtiene un modelo dinámico lineal, interesa estudiar la evolución de las variables a partir del punto de operación. Estas variables se denominan variables de desviación

El modelo linealizado es un modelo de perturbación

t

x(t)

x

xtxx −=′ )(

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Ejemplo: Modelo linealizado del depósito

• Tanque con descarga por gravedad0hk =+− eFdt

dhA

A

h V

F

Fe 0),,( =eFhhf &

Punto nominal de operación: eFhh ,,&

0000

=∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

ee

FFfh

hfh

hf &&

1;2

;000

−=∂∂

=∂∂

=∂∂

eFf

hk

hfA

hf&

02

=∆−∆+∆

eFhhk

dthdA Ecuación

diferencial linealVariables de desviación:

eee FFFhhh −=∆−=∆ ;

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 48

Ejemplo: Modelo linealizado del depósito

• Tanque con descarga por gravedad

A

h V

F

Fe

02

=∆−∆+∆

eFhhk

dthdA

El valor de los coeficientesdepende del punto de operación

Variables de desviación:

eee FFFhhh −=∆−=∆ ;

022=∆−∆+

∆eFk

hhdthd

khA

eFKhdthd

∆=∆+∆τ

khK

khA 2;2

==τ

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 49

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Reactor con descarga por rebosadero

A � B

Fe,CAe,Te

CA CB T

Producto A

AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(

ABeB ckVcFtdcdV +−=

)(

Dos ecuaciones: punto de operación:

0),,,(1 =AeeAA cFccf &

0),,,(2 =eABB Fcccf &

),,,( AeeBA cFcc

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 50

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Desarrollando las funciones en series de Taylor y despreciando los términos de orden superior al primero:

0)()()()(=∆−+∆−∆++

∆eAAeAeeAe

A FcccFckVFtdcdV

ee

AAeAe

e

eA

A

e

FkVFccc

kVFFc

tdcd

kVFV

∆

+−

+∆

+

=∆+∆

+

)(

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 51

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• Llamando:

kVFFK

kVFccK

kVFV

e

e

e

AeA

e +=

+−

=+

= 21 ;;τ

eAeAA FKcKctdcd

∆+∆=∆+∆

21)(τ Modelo linealizado

;0)0(;0)0(;0)0( =∆=∆=∆ eAAe Fcc• Si el sistema parte del punto de operación, las condiciones iniciales son nulas

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 52

Ejemplo: Modelo linealizado del reactor

• De la misma forma se llega a:

eABB FKcKctdcd

∆+∆=∆+∆

212)(τ

e

B

ee FcK

FkVK

FV −

=== 212 ;;τ

Modelo linealizado

CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 53

• Bibliografía:

» P. Ollero, E. F. Camacho. Control e instrumentación de procesos químicos. Ed Síntesis (1997). Capítulo 2

» C.A. Smith, A.B. Corripio. Control Automático de Procesos. Teoría y Práctica. Ed. Limusa (1999), Capítulos 3 y 4.

» D.E. Seborg, T.F. Edgar, D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. Ed. John Wiley & Sons (1989). Capítulo 2.

En este tema se ha hecho uso del siguiente material:» César de Prada. Universidad de Valladolid. Transparencias

de Modelado.