1

Corriente alterna

1. Generador de corriente alterna. Frecuencia y fase. Valores eficaces. Fasores.

2. Circuito con resistencia, condensador o bobina. Impedancia. (1 hora).

3. Circuito serie RLC. Resonancia. Asociación de impedancias.

4. Resolución circuitos. Aplicación: sintonización de una emisora de radio. (1.5 horas).

5. Potencia en corriente alterna. Aplicación: transformadores (1 hora).

2

Corriente Alterna: Aquella cuya intensidad es unafunción periódica del tiempo.

)cos()();()( 0 tItinTtiti

• Baja frecuencia• L y C localizadas y no distribuidas• Sin corrientes de desplazamientos.• Elementos lineales.• Se cumple el P. de Superposición.

3

1.Generadores de corriente alterna (CA).

)()(

cos

0

tsenVtsenNBAdt

dv

t

NBA

Bobina con N vueltas

4

Se suele elegir , desfase inicial ó ángulo formado por el campo magnético y la normal a la superficie de la bobina, como /2. De esa manera la expresión para la fuerza electromotriz generada es:Si es cero, entonces v = V0 sen ωt.Si dos magnitudes v e i están en fase quiere decir que ambas crecen y decrecen simultáneamente y se anulan en los mismos instantes de tiempo.

tVv cos0

En los circuitos, un generador de c.a. se representa con el símbolo:

Frecuencia y faseCiclo: una revolución completa de la espira.Periodo: tiempo que tarda en realizar una revolución, TFrecuencia: número de ciclos por segundo, f, siendo f = 1/T, se mide en hertz, Hz. En Europa, f = 50 Hz, en EEUU, f = 60 Hz.En circuitos electrónico, puede valer del orden de kHz, MHz o GHz.Frecuencia angular: velocidad angular con que gira el cuadro, su valor es: ω = 2π/T = 2πf y se mide en radianes/s.Fase: el producto ωt representa un ángulo en radianes y su valor en un instante dado se denomina fase del voltaje aplicado. A ωt se le tiene que añadir una fase inicial , si es que la hay.

5

Valores eficaces.

00 7,02

II

Ief 20VVef

Vemos que i varían con el tiempo. ¿cómo comparar los efectos de una c.a. con una de continua, c.c.? ¿Qué valor de la i se utiliza para calcular la energía disipada por efecto Joule en un circuito de c.a.?

Valor eficaz de la intensidad de una c.a. se define como aquel valor de una intensidad de c.c. que desarrollase la misma cantidad de calor en igual tiempo y en la misma resistencia. Su valor es:

6

2. C.A. en una resistencia.

tItR

VI

IRV

tVVV

R

oR

coscos

cos

00

T/4

T/2

3T/4

T

0

04

2cos T

T

023

cos432

cos TT

V

V e i están en fase

7

La potencia disipada en la R varia con el tiempo. Su valor en un instante es:

tRIRIP 220

2 cos

La potencia media en un periodo es:

RIPm202

1

8

Circuitos de CA: (a) sólo inductivo (b) sólo capacitivo.

(a) Circuito inductivo:

)cos()( 0 tVtV

0)(

)( dttdI

LtV

dttdI

LtV)(

)cos(0

2cos)( 0

0

tItsenL

VtI

LXV

LV

I 000

LX es la reactancia inductivao impedancia inductiva

V

9

T/4

T/2

3T/4T

Como la tensión VL en la bobina se hace máxima antes que la I, se dice que I está retrasada respecto de la tensión aplicada en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.

10

Potencia media cedida por la fuente o disipada por la bobina :

mmm tsenIVtsenItVP )2(cos 0000

El valor de 2t oscila dos veces durante cada cicloy es negativo la mitad del tiempo y positivo la otramitad. Por lo tanto, en término medio, la potencia media cedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula, siempre y cuando la resistencia de la misma sea despreciable.

11

(b) Circuito capacitivo:

)cos()( 0 tVtV

Ctq

tV)(

)cos(0

tCVtq cos)( 0

tsenCVdttdq

ItI C 0)(

)(

)2

cos(0

tIIC

V

Voltaje del generador:

12

siendo:CX

V

C

VCVI 00

00 1

CXC

1 es la reactancia capacitiva ó impedancia capacitiva.

Se dice que la intensidad en el condensador respecto de la tensión aplicada adelanta en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.

T/4T/2

3T/4 T

También se dice que VC estáretrasada respecto a la corrienteen 90º.

13

Fasores.Son vectores giratorios con velocidad angular en el plano XY. Se representan por un módulo y un argumento, forma polar. También se representan mediante coordenadas cartesianas, forma binómica.

En general la corriente enun circuito de ca es de laforma: I = I0 cos (t +). Lacaída de tensión en una Res, VR = IR = I0R cos (t +).

El fasor VR tiene de móduloIoR y forma un ángulo conel eje X.

0IeI jo

Rj

R VeV

+

14

Las funciones armónicas sen(t+) y cos(t +) se pueden poner como fasores y así se opera más rápidamente.

i (t) = I0 cos (t + ) en forma fasorial seria un vector de módulo I0 que forma un ángulo con el eje X en el instante inicial y que gira con velocidad angular :

La gran ventaja de todo ello es que como todos los fasores giran con la misma se puede operar con ellos como si fueran vectores.

00 IeII~ jo

15

Concepto de Impedancia, Z

En general la Z de un elemento, de una rama o de un circuito completo es la relación que existe entre los fasores asociados a la tensión aplicada y la corriente que circula por el elemento, rama o circuito.

2/2/

0

0

0

0

0

IV

IV

Z

Así, para una bobina la Z vale:

En este caso Z no es un fasor ya que no gira con frecuencia angular constante .

jj

j

eI

V

eI

eV

I~V~

Z 0

0

0

00

16

Representación de fasores mediante magnitudes complejas.

y

x

Z1j

rZ = r (cos + j sen )

x = r cos y = r sen

recuérdese también la formula de Moivre: ej = cos + j sen

Por ello, Z también se expresa como: Z = r ej = r

Suma y Resta: Z1 = x1 + j y1

Z2 = x2 + j y2

Z1±Z2=(x1±x2)+j(y1±y2)

17

Multiplicación y división:

Z1 = x1 + j y1

Z2 = x2 + j y2

Z1 *Z2 = (x1 + j y1)*(x2 + j y2)

=(x1x2-y1y2)+j (x1y2+y1x2)

Z1 *Z2 = r1 ej 1 * r2 ej

2 = r1r2 ej(1+

2)

=r1 *r2 = r1r21+2

21

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1 )()(yx

xyxyjyyxxjyxjyx

jyxjyx

ZZ

)(

2

1

2

1 21

2

1

j

j

j

err

erer

212

1

22

11

rr

rr

18

A partir de ahora siempre que veamos una expresión de la forma:

tjtjj eIeeItIti 000~)cos()(

donde el fasor es: 000~ IeII j

19

Solución fasorial del circuito con sólo bobina:

i(t)

V (t) = V0cost

)cos()( 0 tIti donde se desconoce I0 y Forma fasorial de v (t) y de i (t):

tjtjj

tjtjj

eIeeIti

eVeeVtv

00

00

0

~)(

~)(

ecuación del circuito:

dttdI

LtV)(

)cos(0

20

Solución fasorial:tjtj eILjeV 00

~~

luego:LL ZV

jXV

LjV

I 0000

~~~~

LZ es la impedancia compleja inductiva.

2/02/

00

00~

j

j

jj e

LV

LeeV

eII

de esta última expresión se deduce que:

LXV

LV

I 000

y2

0V

0I 2

21

Solución fasorial del circuito con sólo condensador:

idtCC

tqtV

1)(cos0 Ecuación del circuito:

tjtj ej

IC

eV

1~1~

00

CC ZV

jXV

Cj

VVCjI 00000

~~

1

~~~

CC jXZ es la impedancia del condensador

CXC

1

22

tjjtjjo e

jeI

CeeV

11

00

De donde:

00 CVI y2/0 jjj ejee

También se observa que:

es decir, la intensidad adelanta a la tensión en 90 ºó /2.

0V 0I

2

2cos)( 0

t

LV

ti

23

6. Circuito serie LCR con generador.

R

v (t) = V0cost L

C

i (t) = Io cos ( t + )

200

20

20 )( CLR VVVV

222

020

1C

LRIV

VR

VC

VL

VL-VC

v0

24

22

00

1

CLR

VI

RC

L

V

VV

R

CL

1

tan0

00

y

CLjRZ

1

25

v (t) = V0cost L CR

Circuito LCR paralelo

CL jXjXRZ 1111

00 00

R

V

R

VIR 2/0

2/

00

LLL X

V

X

VI

2/0

2/

00

CCC X

VX

VI

26

Resonancia.

Cuando XL y XC son iguales, la impedancia Z tiene su valor mínimo igual a R. En este caso la corriente que atraviesa el circuito serie RLC es máxima y el circuito se dice que está en resonancia, es decir, su reactancia es nula.

Haciendo XL = XC, resulta que la frecuencia de resonancia vale:

LCfó

LCy

CL

2

111

Para cualquier circuito la condición resonante se obtiene cuando la parte compleja se anula

Curvas de resonancia en un circuito serie RLC. AL variar R en la expresión I = I(ω) se obtiene la curva de resonancia, y cuanto menor es R más alto y estrecho es el pico de la curva de resonancia. Esto es fundamental para el diseño de circuitos de sintonización de radio y televisión.

Aplicación: sintonización de una emisora de radio.

28

Potencia en circuitos de CA.

Sabemos ya que las bobinas y condensadores no consumen potencia en un ciclo. Por tanto en un circuito LCR solo se consume potencia en la resistencia.

La potencia instantánea cedida a la R es:

RtIRIP 20

2 )cos( y la potencia promedio en un ciclo es:

dtRtIT

PT 2

0 0 )cos(1

Recordando que el valor medio en un ciclo del cuadrado de un seno o de un coseno es 1/2, resulta finalmente:

RIRIP ef22

021

29

También podemos poner este resultado en función del factor de potencia del circuito, que es cos .

XL-XC

Z

RXC

XL

Z = R + j (XL – XC)

ZRcos

ZV

I 00

cosefefVIP

30

Transformadores.

Dispositivo utilizado para elevar o disminuir la tensión en un circuito sin perdida aparente de potencia.

primario

secundario

dtd

NV 111

dtd

NV 222

Si consideramos que no existe perdida de flujo magnético, se cumple muy aproximadamente la relación de transformación, esto es:

11

22 V

NN

V yefefefefIVIV 2211