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1 Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 “José Vasconcelos Calderón” UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo: Nombre: Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72 cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas? Problema 1. ,, Mi humilde solución . . .

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar unrompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradastiene 72 cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetrode cada una de estas tres piezas?

Problema 1.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2.¿Cuál es el área de la región sombreada?

Problema 2.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, ABCDEF es un hexágono regular y C es un círculo con centro en B. Si elárea del hexágono es igual a 1, ¿a cuánto es igual el área sombreada?

C

B

A

C

F

D

E H

Problema 3.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

A,B,C,D,E, F,G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura. ¿Cuántovale el ángulo ∠CAG?

F A

E

G B

D

CH

Problema 4.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo ABCD. Sean I, J, K y L los puntosmedios de los lados de ABCD, como se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro delcuadrilátero IJKL?

B

C

A

D

K

I

JL

Problema 5.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todas a lamisma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, ¿cuántovale x?

80 cm

14 cm

x x

Problema 6.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de A aP es la misma que la de A a Q y es de 500m. El camino de P a Q que pasa por A es215m más largo que el camino de P a Q que pasa por B. ¿Cómo es el camino de P a Q

pasando por C con respecto al camino de de P a Q pasando por B?

A

P

C

Q

B

Problema 7.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área delcuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. ¿Cuál es el área delcuadrado mediano?

Problema 8.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Si la figura representa un cuadrado con vértices A, B, C y D, y el ángulo OND mide60◦, ¿cuánto mide el ángulo COM?

A

D C

B

N

M

O

Problema 9.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura WXY Z es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto sobreY Z de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUV X es 12,¿cuánto vale el área del rectángulo WXY Z?

X Y

W Z

U

T

V

Problema 10.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos loscírculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. ¿Cuál es el área de la regiónsombreada?

Problema 11.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto mide el ángulo ∠α?

48◦

α

B D

A

C

Problema 12.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la siguiente figura, el valor de x es . . .

5

5

20

20

13

13

x

Problema 13.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura el ángulo en A y el ángulo en B son rectos y el área de ABCD es el tripledel área de ACB. ¿Cuánto vale área (ADB)

área (ACB)?

A B

D

C

Problema 14.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ARQ = 150◦,∠QPC = 35◦ y ∠PCB = 45◦, ¿cuánto vale ∠PQR?

A B

CD

R

P

Q

Problema 15.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en la figura.Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120 cm, ¿cuál es el área del cuadradooriginal?

Problema 16.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices los puntosmedios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos mediosdel cuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6 cm2. ¿Cuál es la diferenciaentre las áreas del cuadrado pequeño y del cuadrado grande?

Problema 17.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1 cm y una liga que se ajustó asu alrededor. ¿Cuál es el largo de la liga?

Problema 18.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersectan perpendicu-larmente en el punto P . Si el área de ABC es 7, el área de BCD es 12 y el área de BPC

es 5, ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD?

B C

A

D

P

Problema 19.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, ABCD es un rectángulo, DC mide 120 cm, BC mide 100 cm y PC mide125 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo BPC que se ha dibujado en la figura?

D C

A B

P

Problema 20.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande, comose muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60 cm2, ¿cuánto mide el ladomás chico de los rectángulos originales?

Problema 21.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura ABCD es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonales yM es el punto medio del segmento PB. Si la medida de AB es 4 cm y la de BC es 3 cm,¿cuál es el área del triángulo ABM?

D C

A B

P

M

Problema 22.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

El rectángulo sombreado tiene área 13 cm2, A y B son los puntos medios de dos de loslados del trapezoide, como se indica en la figura. ¿Cuál es el área del trapezoide?

BA

Problema 23.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura AB es perpendicular a BC, R es el punto medio de AD, RS es paralela aAB, P es el punto medio de RS, la longitud de AD es 4 y la de BC es 5. ¿Cuánto seobtiene al dividir el área del rectángulo ABSR entre el área del cuadrilátero PSCD?

B C

A DR

P

S

Problema 24.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

Un piso rectangular de 8m× 10m está cubierto con mosaicos de 50 cm× 50 cm como elde la figura. ¿Cuál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca?

Problema 25.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con ladosque miden 20 cm. ¿Cuántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea201.2m?

Problema 26.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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Dirección General del Bachillerato

Centro de Estudios de Bachillerato 5/3“José Vasconcelos Calderón”

UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30 cm. ¿Cuánto mide el área del triánguloABC?

C

A

B

Problema 27.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de AP es 4, la de DQ

es 3 y el ´ángulo RQC es recto. ¿Cuánto mide RB?

4

3

12

D C

A BP

Q

R

Problema 28.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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UAC Matemáticas II. Problemario de geometría Grupo:

Nombre:

En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. ¿Cuál es elvalor del ángulo marcado con x?

100◦

93◦

58◦

x◦

Problema 29.

,, ∞∞∞ Mi humilde solución . . . ∞∞∞

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UAC Matemáticas II. Problemario de geometría1

Instrucciones: En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas. Escriban lasolución de forma correcta y clara. Una solución consiste en un reporte que ledice al lector cómo resolviste el problema y cual es tu respuesta. Para escribir tusolución toma en cuenta las siguientes sugerencias.

a) Ten en mente a un lector que conoce el material pero no la solución.

b) Escribe tu solución con expresiones de ideoma claras y gramaticalmente correctas.

c) Explica las cosas en forma lógica y clara, de tal forma que el lector no pierda tiempo tratandode explicar pasos que omitiste.

d) Siempre que hagas una afirmación, di por qué es cierta.

e) Cuando uses una definición, teorema, etc., asegúrate de mencionarlo.

f) Revisa tu solución; nunca la entregues sin revisarla.

Problema 1. Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezascuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72 cm de perímetroy las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas?

a) 60 cm b) 56 cm c) 44 cm d) 36 cm e) 30 cm

Problema 2. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2.¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) π b) 2π c) 4π d) 6π e) 8π

Problema 3. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular y C es un círculo con centro en B. Siel área del hexágono es igual a 1, ¿a cuánto es igual el área sombreada?

C

B

A

C

F

D

E H

a) 1

3b) 1

2c) 2

3d) 2

4e) 4

5

Problema 4. A,B,C,D,E, F,G y H son los vértices de un cubo, como se indica en la figura.¿Cuánto vale el ángulo ∠CAG?

F A

E

G B

D

CH

a) 30◦ b) 45◦ c) 60◦ d) 75◦ e) 90◦

1Manual para Curso de Asesores de Olimpiadas de Matemáticas. Victor M. Pérez-Abreu C, Instituto de

Matemáticas UNAM, 2012

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Problema 5. En un círculo de radio 3 está inscrito un rectángulo ABCD. Sean I, J, K y L lospuntos medios de los lados de ABCD, como se indica en la figura. ¿Cuál es el perímetro delcuadrilátero IJKL?

B

C

A

D

K

I

JL

a) 6 b) 9 c) 12 d) 4√3 e) depende del rectángulo

Problema 6. Tenemos 7 barras iguales acomodadas en dos líneas horizontales y separadas todasa la misma distancia, como se muestra en la figura. Si las medidas son las indicadas, ¿cuánto vale x?

80 cm

14 cm

x x

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 5 cm e) 8 cm

Problema 7. La figura representa unas cuantas calles de una pequeña ciudad. La distancia de A aP es la misma que la de A a Q y es de 500m. El camino de P a Q que pasa por A es 215m máslargo que el camino de P a Q que pasa por B. ¿Cómo es el camino de P a Q pasando por C conrespecto al camino de de P a Q pasando por B?

A

P

C

Q

B

a) 275m más largo b) 215m más largo c) 430m más largo

d) 43m más corto e) igual

Problema 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El áreadel cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. ¿Cuál es el área del cuadradomediano?

a) 8 b) 8.5 c) 10 d) 10.5 e) 12

Problema 9. Si la figura representa un cuadrado con vértices A, B, C y D, y el ángulo OND mide60◦, ¿cuánto mide el ángulo COM?

A

D C

B

N

M

O

a) 10◦ b) 15◦ c) 20◦ d) 30◦ e) 35◦

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Problema 10. En la figura WXY Z es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto sobreY Z de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área del cuadrilátero TUV X es 12, ¿cuánto valeel área del rectángulo WXY Z?

X Y

W Z

U

T

V

a) 16 b) 19 c) 21 d) 24 e) 26

Problema 11. En la siguiente figura los círculos son tangentes (se tocan en un sólo punto), todos loscírculos son del mismo tamaño y tienen radio igual a 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) 2π b) 4π c) 6π d) 8π e) 10π

Problema 12. En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto mide el ángulo ∠α?

48◦

α

B D

A

C

a) 24◦ b) 29◦ c) 33◦ d) 40◦ e) 42◦

Problema 13. En la siguiente figura, el valor de x es . . .

5

5

20

20

13

13

x

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

Problema 14. En la figura el ángulo en A y el ángulo en B son rectos y el área de ABCD es eltriple del área de ACB. ¿Cuánto vale área (ADB)

área (ACB)?

A B

D

C a) 2 b) 3

2c) 1 d) 5

2e) 2

3

Problema 15. Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si ∠ARQ =

150◦, ∠QPC = 35◦ y ∠PCB = 45◦, ¿cuánto vale ∠PQR?

A B

CD

R

P

Q a) 50◦ b) 60◦ c) 65◦ d) 70◦ e) 75◦

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Problema 16. Un cuadrado de papel se cortó en 6 piezas rectangulares, como se muestra en lafigura. Si la suma de los perímetros de todas las piezas es 120 cm, ¿cuál es el área del cuadradooriginal?

a) 48 cm2 b) 64 cm2 c) 11025 cm2 d) 144 cm2 e) 256 cm2

Problema 17. El diagrama muestra tres cuadrados. El cuadrado mediano tiene como vértices lospuntos medios del cuadrado grande. El cuadrado pequeño tiene como vértices los puntos medios delcuadrado mediano. El área del cuadrado pequeño es 6 cm2. ¿Cuál es la diferencia entre las áreasdel cuadrado pequeño y del cuadrado grande?

a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 12 cm2 d) 15 cm2 e) 18 cm2

Problema 18. En la figura se muestran 7 monedas tangentes con radio 1 cm y una liga que se ajustóa su alrededor. ¿Cuál es el largo de la liga?

a) 10 + 4π cm b) 12 + π cm c) 12 + 2π cmd) 6 + 2π cm e) 9 + π cm

Problema 19. En la figura, las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersectan perpen-dicularmente en el punto P . Si el área de ABC es 7, el área de BCD es 12 y el área de BPC es 5,¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD?

B C

A

D

P

a) 14 b) 14.6 c) 15.6 d) 16 e) 16.8

Problema 20. En la figura, ABCD es un rectángulo, DC mide 120 cm, BC mide 100 cm y PC mide125 cm. ¿Cuánto mide la altura del triángulo BPC que se ha dibujado en la figura?

D C

A B

P

a) 50 cm b) 60 cm c) 82 cm d) 96 cme) No se puede calcular

Problema 21. Hazell tiene cinco rectángulos iguales y con ellos forma un rectángulo más grande,como se muestra en la figura. Si el área del rectángulo grande es 60 cm2, ¿cuánto mide el lado máschico de los rectángulos originales?

a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm

Problema 22. En la figura ABCD es un rectángulo, P es el punto de intersección de sus diagonalesy M es el punto medio del segmento PB. Si la medida de AB es 4 cm y la de BC es 3 cm, ¿cuál esel área del triángulo ABM?

D C

A B

P

M

a) 3

4cm2 b) 1 cm2 c) 3

2cm2 d) 5

3cm2 e) 5

2cm2

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Problema 23. El rectángulo sombreado tiene área 13 cm2, A y B son los puntos medios de dos delos lados del trapezoide, como se indica en la figura. ¿Cuál es el área del trapezoide?

BA a) 22 cm2 b) 23 cm2 c) 24 cm2

d) 25 cm2 e) 26 cm2

Problema 24. En la figura AB es perpendicular a BC, R es el punto medio de AD, RS es paralelaa AB, P es el punto medio de RS, la longitud de AD es 4 y la de BC es 5. ¿Cuánto se obtiene aldividir el área del rectángulo ABSR entre el área del cuadrilátero PSCD?

B C

A DR

P

S

a) 1 b) 2

5c) 4

5d) 5

7e) Falta información

Problema 25. Un piso rectangular de 8m× 10m está cubierto con mosaicos de 50 cm× 50 cm comoel de la figura. ¿Cuál es el tamaño de la superficie del piso que es blanca?

Problema 26. El siguiente zigzag está formado por cuadrados iguales, cada uno de ellos con ladosque miden 20 cm. ¿Cuántos cuadrados debe tener un zigzag para que su perímetro sea 201.2m?

Problema 27. En la figura, si el lado de cada cuadrado mide 30 cm. ¿Cuánto mide el área deltriángulo ABC?

C

A

B

Problema 28. En la figura se muestra un cuadrado de lado 12, donde la longitud de AP es 4, la deDQ es 3 y el ´ángulo RQC es recto. ¿Cuánto mide RB?

4

3

12

D C

A BP

Q

R

Problema 29. En la estrella de la figura se han marcado los valores de algunos ángulos. ¿Cuál es elvalor del ángulo marcado con x?

100◦

93◦

58◦

x◦

a) 42◦ b) 51◦ c) 55◦ d) 66◦ e) 80◦