Análisis Real y Funcional

7/27/2019 Anlisis Real y Funcional

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Transcripcin de carcter puramente personal de (y de un alumno de):Grau de Matemtiques, Universitat de Barcelona.Anlisi Real i Funcional,semestre 7, curso 2013-2014. Clases magistrales:Mara J. Carro.

Resolucin de problemas:Jordi Pau.
http://www.ub.edu/grad/plae/AccesInformePD?curs=2013&codiGiga=364203&idioma=CAT&recurs=publicaciohttp://www.ub.edu/grad/plae/AccesInformePD?curs=2013&codiGiga=364203&idioma=CAT&recurs=publicaciohttp://www.mat.ub.edu/~carro/http://www.mat.ub.edu/~carro/http://www.tdx.cat/handle/10803/3090http://www.tdx.cat/handle/10803/3090http://www.tdx.cat/handle/10803/3090http://www.mat.ub.edu/~carro/http://www.ub.edu/grad/plae/AccesInformePD?curs=2013&codiGiga=364203&idioma=CAT&recurs=publicacio


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ndice general

Parte 1. Anlisis real 5

Captulo 1. Teora de la medida 61.1. Espacios y funciones medibles 71.2. Medidas y complecin 17

1.3. Medida exterior y mtricas 241.4. Medidas de Lebesgue-Stieltjes y regularidad 281.5. Ejercicios 321.6. Extras 49

Captulo 2. Integral respecto de una medida 562.1. Construccin 562.2. Propiedades 562.3. Ejemplos 622.4. Medida producto y Tonelli-Fubini 642.5. Ejercicios 69

Parte 2. Anlisis funcional 70

Captulo 3. Espacios y operadores. Fourier 71Introduccin 713.1. Espacios de Banach y Lebesgue 71Ejercicios 773.2. Operadores lineales y continuos 85Ejercicios 883.3. Espacios de Hilbert 893.4. Sistemas ortonormales completos 943.5. Series de Fourier 101Ejercicios 104

Captulo 4. Teora espectral 105

4.1. Introduccin 1054.2. Operadores autoadjuntos y compactos 1054.3. VAPs y VEPs 1074.4. Teorema espectral 109Ejercicios 109

Bibliografa 110

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Parte 1

Anlisis real


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Captulo 1

Teora de la medida

NOTA . (Introduccin) Supongamos queI=|a, b| es un intervalo generalizadode R, ie, I{(a, b) , [a, b] , (a, b], [a, b)}. Entonces (I) = l(I) = b a, donde (I)es la medida del conjunto I(nocin que queremos introducir y estudiar eneste curso) y l(I)es la longitud del intervalo I(nocin conocida de los cursos decalculo).1

Sea ahoraE R arbitrario (e.g.E = IJ, con J=|c, d| yc >b, de modo queIJ= , siendo as natural que (E)= (I)+ (J), cf. dibujo).2 La idea de Le-

besgue para medir (ie, para asignar una medida/cantidad/real a) dicho conjuntoEconsisti en definir:

(E):=nf

n

l(In) ; E n=1 In,Inintervalos

Es decir, en recubrir a dicho subconjunto Ede Rpor una sucesin de inter-valos Inposiblemente infinita (ie, hallar{In}n R ; E n=1 In), reduciendo asel problema a calcular y sumar la medida de dichos intervalos (lo cual sabemoshacer), con la precaucin de exigir que dicho recubrimiento sea el ms fino posiblepara no sumar de ms (y de ah el nfimo).

Problema:no cumple todas las propiedades que resultaran naturales quetuviera nuestra deseada nocin abstracta de medida. Ms concretamente, fallala-aditividad: dado{En}ntq Ei Ej = sii= j, entonces (En)= (En)(ie, la medida de la unin de una coleccin de conjuntos 2 a 2 disjuntos es la sumade las medidas de dichos conjuntos), cf. Ejemplo XXX.

Solucin: convertir/transformar en una medida mediante el proceso/mtodode Carathodory (objetivo esencial del primer capitulo).

Si bien este fue el origen histrico de la teora de la medida, nosotros abstrae-remosR a un conjuntoXarbitrario.3

NOTACIN. (Convenios y abreviaturas)

1. Xser siempre un conjunto cualquiera, as como nuestro universo de tra-

bajo, de modo que dado cualquier otro conjunto arbitrario, digamos A,tendremosAXy Ac := XA.

1En otras palabras, del mismo modo que la nocin topolgica de cerrado generaliza y de hechoes inspirada por la nocin de intervalo cerrado de R , querremos tambin generalizar la nocin delongitud de un intervalo de Ra una cierta nocin ms general llamada medida, de modo que stacoincida con la de longitud cuando estemos tratando con subconjuntos de R.

2Recordamos que todo abierto de Rpuede expresarse como unin de intervalos abiertos (ie, queRel conjunto de los intervalos abiertos de R es base de la topologa R, el conjunto de abiertos de R),pero que no todo subconjunto E de R es un abierto, si bien siempre puede recubrirse por el abiertoxE B(x).

3Aparte de R, dos ejemplos particularmente interesantes son Z (cf.95) y el espacio de resultadosposibles de un experimento aleatorio (ie, el espacio de trabajo natural del estudio de las probabilida-

des), aunque podemos pensar en cualquier otro conjunto.

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1.1. ESPACIOS Y FUNCIONES MEDIBLES 7

2. AB : AB. Denotaremos la inclusin estricta por .43.

P(X)denota el conjunto de los subconjuntos (o partes) de X(ie, todos los

conjuntos de nuestro universo).5 As,A P(X)AX.4.{An}nN n,An .5. A =j=1Aj :

A=j=1Aj

i= jAi Aj = ,6 con Aj X

(pues, insistimos,Xes nuestro universo de trabajo).7

6. iai: nN;iai = ni=1ai(la suma finita).87. An: n,AnAn+1y AnA:(AnAn+1, n) (A=nAn).98. Similarmente,AnA:(An+1An, n) (A=nAn).9. A(x)=

1, xA0, x/ A (funcin) caracterstica deA.

10

10. (Recta real extendida) R:= [, +]:= (, +) {}.11. (Esfera de Riemann) C:= C

{

}12. Usaremos la letra K para referirnos indistintamente a R y C.

1.1. Espacios y funciones medibles

1.1.1. Espacios.

NOTA . (Idea fsica) Dado un universo, no cualquier objeto de ste (ie, no cual-quier subconjunto del universo) es medible. Ahora bien, si hemos sido capaces dedelimitar/definir dicho universo, parece natural que lo podamos medir (al univer-so como objeto en s mismo, ie, a su subconjunto impropio). Adems, si somoscapaces de medir un objeto de dicho universo, indirectamente medimos tambinlo que le falta a dicho objeto para ser el total (e.g., si nuestro universo es una regla

4Alerta: algunos autores denotan por AB a A B . El motivo de esta disparidad de notacioneses el mismo por el cual en un curso de lgebra conmutativa se suele llamar simplemente anillo alos anillos conmutativos mientras que un curso de lgebra no-conmutativa la palabra anillo harareferencia a anillos no necesariamente conmutativos; es decir, es simplemente una cuestin de conve-niencia y/o comodidad de cara al tratamiento particular que vamos a hacer, pues por lo general no nosinteresar discutir si cierta inclusin es estricta o no (ie, nos ser indiferente).

5Tambin llamado conjunto potencia deXy denotado 2X (notacin plena de significado para quie-nes hallan cursado teora de conjuntos, cf. W).

6Otros smbolos habituales para denotar la unin disjunta son: \cupdot de usepacka-ge{MnSymbol} y. En segn que contextos, tambin he visto utilizar y \upmodels de usepacka-ge{MnSymbol}.

7Aunque no se especifique cada vez, las uniones, intersecciones, sumas, etc. infinitas sern siemprenumerables salvo que se indique lo contrario, y habitualmente escribiremos solamentejAj en lugarde

jNAj

j

1Aj

j=1Aj(de ms a menos formal, pues al escribir j

N ya estamos fijando que

la unin es numerable, mientras que en los otros dos casos queda implcito que jN y, por ende, queen el tercer caso denota 0).

8Me gusta pensar la prima como un stop o como un tajo que nos para o corta la suma en uncierto punto n , si bien no deja de ser una simple abreviacin necesaria para distinguirla de la sumanumerable (pues, como se dijo en la nota anterior, habitualmente escribir iaien lugar de iNai).

Otra manera de definirla esencialmente idntica reindexando, y tpica dellgebra es la siguiente:escribiremosia issi Jconjunto finito tq i / J, ai = 0, de modo que iai = iJa i. Es decir, iaiesuna suma infinita en la cual slo un nmero finito de sus trminos (indexado por J) es no nulo.

9Recordamos que en anlisis escribamos {an}n (o, por abuso de notacin,an) si {an}nera unasucesin (montona) creciente (de reales). De ah que, por similitud, escribamos A n cuando{An}nsea una sucesin (montona) creciente (de conjuntos).

Ahora bien, las sucesiones crecientes de conjuntos son siempre convergentes y su lmite es la uninde sus trminos (ie,AnlmnAn =nAn), cf.1.5.4,luego la notacin escogida resulta natural (puessi es creciente y tiene lmiteA, necesariamenteA =

nAnpor la unicidad del lmite).

10Tambin conocido como indicador de Aen probabilidades, denotado 1A(x).
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_Riemannhttp://en.wikipedia.org/wiki/Power_set#Representing_subsets_as_functionshttp://en.wikipedia.org/wiki/Power_set#Representing_subsets_as_functionshttp://en.wikipedia.org/wiki/Power_set#Representing_subsets_as_functionshttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendida


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de 30cm con una marca a los 5cm, tambin podremos medir objetos de 25cm gi-rndola). Por ltimo, si sabemos medir dos objetos, tambin sabremos medirlos

si los pensamos como a uno slo.Dichas ideas fsicas (que pretenden generalizar las nociones de longitud, rea,volumen, probabilidad, carga y, en definitiva, cualquier magnitud/observable fi-sico susceptible de ser cuantificado/medido) son formalizadas en la siguiente de-finicin matematica:

DEFINICIN1. Un lgebra A sobreXes un subconjunto de P(X)tq1. A A Ac A.2. X A.3. A, B A A B A.

OBSERVACIN. (Algunas definiciones equivalentes)Cambiando (1) por Ac A A A obtenemos una definicin equi-valente, puesA =(A

c

)c

, de modo que si Ac

A, entonces(Ac

)c

A porhip. y, recprocamente, si A = (Ac)c A, entonces Ac Apor hip. Enparticular, podemos cambiar (1) por A A Ac A.Cambiando (2) por A = obtenemos una definicin equivalente, puessiX AobviamenteA = y, recprocamente, siA = entoncesAA, ergoX= A Ac (1),(3) A.Cambiando (2) por A obtenemos una definicin equivalente, puesXc = y c = X, de modo que si X Aentonces Ava (1) yviceversa. En particular, podemos cambiar (2) por , X A.Cambiando (3) por A, B A A B A obtenemos una definicinequivalente, pues A B=(Ac Bc)c (1),(3) A y A B=(Ac Bc)c (1),(3)A por las leyes de De Morgan.Similarmente, cambiando (3) por A, B A A B A obtenemosuna definicin equivalente, puesAB= A Bc yA B= A (A B).11Cambiando (3) por n N {Ai}ni=1 A ni=1A A obtenemosuna definicin equivalente por induccin (pues el reciproco es evidenteen tanto que caso particular con n = 2). En efecto, el caso inicial se tiene

por hiptesis yn1i=1A i

Apor HI, de modo que, nuevamente por

hiptesis,n1i=1 A i

An A.

El argumento anterior tambin aplica cambiando la unin por la intersec-cin o la diferencia.Hemos visto que bajo (1) es equivalente (3) a sus anlogos paray .Similarmente, bajo (3) y (2), son equivalentes (3 para) y (1). En efecto,

[] X (2) A,A A (3) Ac = X A Ay []ya visto (por 3,1). Esdecir, para una implicacin usamos la hip. extra (2) y para la otra (3).etc.

PREGUNTA. Cambiando (3) por A, B A AB A, obtenemos unadefinicin equivalente? (discutimos dicha cuestin aparte en70).

RESUMEN. Un lgebraAde Xes un subconjunto no vaci deP(X)cerradopor operaciones finitas de conjuntos.

NOTA . Aunque hemos podido extender la propiedad (3) de [un lgebra es]cerrada por uniones de dos elementos a [un lgebra es] cerrada por uniones

11Alternativa:A B=(A B)c Ac.


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finitas, no es posible extenderlo a uniones numerables. En otras palabras, existenlgebras para las cuales hay sucesiones cuya unin (numerable) no es nuevamente

del lgebra, cf.71. Esto motiva la siguiente definicin:DEFINICIN2. Una-lgebra sobreXes un lgebra sobre Xtq {An}nN

nAn .OBSERVACIN. (Definicin equivalente) Cambiando {An}nN An

por {An}nN An obtenemos una definicin equivalente, puesnAn = (nAcn)c y An =(Acn)c por las leyes de De Morgan.12 13

NOTACIN. Aunque no se especifique cada vez, A denotara siempre un lge-bra y una-lgebra.

EJE MP LO . (Bsicos)

{, X

}es la-lgebra sobreXms pequea (llamada-lgebra trivial).

P(X)es la-lgebra sobreXms grande (llamada-lgebra total).{,A,Ac, X} es una-lgebra sobreXpara cualquierAX.DEFINICIN 3. Una clase montona (C.M.)M14 sobre Xes un subconjunto

(no vaco) deP(X)tq toda sucesin montona deMtiene su lmite enM. Esdecir, siAn A AnA, conAn M, entoncesA M.15

OBSERVACIN. Toda-lgebra es una clase montona (pues el lmite de unasucesin montona es la unin o interseccin de dicha sucesin). La existencia deun reciproco parcial y la no existencia de uno total se discute en73 y 72respectivamente.

NOTA . La motivacin de esta definicin viene dada por la proposicin6,fun-

damental para establecer los lemas de los teoremas de Tonelli-Fubini. Pero paraenunciarla, la siguiente definicin es necesaria:

DEFINICIN 4. Dado M P(X) (no vaco), se define el lgebra (resp. -lgebra o clase montona) engendrada (o generada) por Ma la menor lgebra(resp. -lgebra o clase montona) que contiene a M. La denotamos resp. porA (M) , (M) , M (M).16

PROBLEMA. Existe tal cosa?

12Alternativa: comoestamos en un lgebra, la diferencia caede nuevo en, luego nos basta expresarla intercesin en funcin de la unin (y viceversa) y. Ms concretamente, nAn = A1n(A1 An)yAn = (Acn)c = X (n(XAn )) [rehacer evitando el uso de X. A1 n(A1 An) no fun-ciona]. En efecto, A1 n(A1 An) = A1(n(A1 Acn ))c = A1

n(A1 Acn)c = A1n Ac1 An =n A1 Ac1 (A1 An)=n(A1 An)=nAn .Sobre el inters de ponern en funcin den y vase70 en lo referente a los anillos (que se

extiende de manera natural asigma-anillos).13En principio tambin debera valer equiv. para la diferencia, pero su formulacin es al-

go engorrosa y tampoco tiene demasiado inters: ((A1 A2)A3) = ((A1 Ac2) Ac3) = A1

i=2Aci y nAn = (A1 A2) A3 = (A1 A2)c Ac1 A3 =(A1 A2)

c Ac1A3

c

(A1 A2)c Ac1

c . . .14Tambin es habitual denotarlo por Cde clase (como hace Carro).15Otra formulacin algo ms compacta aunque tambin ms engorrosa podra ser: {An}n

M, nAn M (que se lee smbolo a smbolo como: para toda sucesin creciente de M, su unin [que,recordamos, es su lmite] pertenece a M) e dem para las decrecientes.

Otra escritura alternativa menos basta pero tambin menos breve sera: An M (An AA M)(ie, si {An} M yAnA entoncesA M) e dem para An A .

16Esta definicin, as como los subsiguientes comentarios, deberan resultar familiares de otras asig-

naturas como, e.g., geometra lineal o lgebra.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sigma_ringhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sigma_ringhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sigma_ring


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En efecto:17

OBSERVACIN5. Se cumple:

1.A (M)= jAj; AjM , Ajlgebra.182. (M)=

jj;jM,j lgebra.3.M (M)= jMj; MjM, Mjclase monotona.

DEMOSTRACIN. (Trivial) Hagamos el primero como ejemplo:

1.j,M Aj P(X) M jAj P(X).19 Por tanto,MAj

Aj es

un subconjunto deP(X)(necesario para que sea lgebra sobre X) quecontieneM.

2. Adems, A jJAj : j J,A Aj, que es un lgebra, luego esrutinario comprobar que

j

Ajtambin. Ms explcitamente:

20

a) A jJAj : j J,A Aj Ajlgebra j J,Ac Aj: Ac jJAj

b) jAj: j, Aj (pues Ajes lgebra)c) A, B jJAj : j J,A, B Aj

Ajlgebra j J,A B Aj:A B jJAj.21

3. Finalmente, es mnima por construccin (pues siM A, entoncesMAj

Aj

A).

NOTA . La demostracin de (2) es completamente anloga. Para la de (3) falta-

ra ver similarmente que la interseccin de clases montonas es una clase monto-

na. En efecto,{An} jMj :n,An jMj

n,AnAn+1 :jn,An Mj

n,An A n+1hip

j, nAn Mj:nAn jMj.Por otra parte, visto que la interseccin arbitraria de lgebras es un lgebra,

parece natural preguntarse si existe un anlogo para la unin. Abordamos dichacuestin en75.

OBSERVACIN. (Propiedades bsicas de4)A (M)= Mssi Mes un lgebra. En particular, A (A (M))=A (M).A (N)Msi NMy Mes lgebra.NM A (N) A (M).

17Para una caracterizacin alternativa (menos sencilla de establecer y no valida para todos, peroms interesante como resultado en s), cf.74.

18Si, como dijimos antes, damos por implcito queAjdenota un lgebra, podemos escribir simple-mente A (M) =

MAjAj.

19De hecho, comojJAj P(X) : j J, Aj P(X)y M jJAj : j J,M Aj,tenemos que se trata de un ssi. Adems, el resultado es cierto incluso cuando Jno es numerable.

20Ntese que el resultado sigue siendo cierto si la interseccin de lgebras no es numerable (ie, si Jno es numerable).

21El reciproco es obviamente falso (ie,A, B / A;AB A, e.g.: A = {0}, B = {1},X ={0,1,2,3},A = , X,A B, (A B)c), siendo ello el nico motivo por el cual es falsa la si-guiente afirmacin: Sea

Aj

juna coleccin de conjuntos cualesquiera. Si jAjes un lgebra, entonces

Ajj tambin.


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PROPOSICIN6. M (A)= (A)(si A es un lgebra, se sobreentiende).DEMOSTRACIN. Antiptica: no es difcil, pero tampoco aporta nada, cf. [C1,

II.1], [TM1,1.2.3].22 Sketch:1.M (M) (M)para M P(X)cualquiera. En efecto, como toda -

lgebra es CM, tenemos que (M)es una CM conteniendo M(pero nonecesariamente mnima),23 ergo contiene a la mnima.

2. Para la otra inclusin nos basta ver queM(A)es lgebra, pues entoncesM (A)ser una-lgebra por73y, por ende, contendr a (A).

DEFINICIN7. (Ejemplo importante de 4, cf. 12) Si (X, ) es un espacio topol-gico (e.t.),24 se llama-lgebra de Borel sobre X, y se escribe (X),25 a la-lgebraengendrada por los abiertos de X. Es decir, (X):= ()(que est bien definidopues

P(X)). Llamaremos borelianos (deX) a los elementos de (X).26

OBSERVACIN. (Definiciones equivalentes) (X)= (c)(pues los complementarios de la-lgebra tambin son dela-lgebra). En particular, los abiertos y cerrados de un e.t. son borelia-nos y, por ende, si dicho e.t. es Hausdorff, tambin los compactos (y enparticular los puntos). Adems, las intersecciones y uniones arbitrarias deestos tambin son borelianos (enX= R, e.g., esto incluye a los intervalossemiabiertos y semicerrados).Si(X, )satisface el Segundo Axioma de Numerabilidad (2AN), ie, si

base numerable de, entonces ()= (). En efecto, () ()y

hip () () ().

EJE MP LO8. Recordamos que ={(a, b) ; a, bQ} es una base numerable de(R, R), luego (R)= (). Otras familias que generan (R) son: {(a, b]; a, bR},{[a, b); a, bR}, {(, a) ; aR}, {(, a]; aR}, {(a, +); aR}, {[a, +); aR}(cf.[TM1,1.2.2],Maximenkoy ejercicio 1.3 de ARF).

NOTA . (Ejercicio 3) Cerrando los intervalos para {} podemos obtener anlo-gos para R. Por ejemplo,

R

= ({(q, +]; qQ}).22Maximenkoda un sketch de la pruebaaqu.Otras:feldman.23Ntese que siMes una CM tq no es una -lgebra (cf.72), entonces M (M)= M= (M), luego

ciertamente la inclusin contraria no es valida en general.24Recordatorio: P(X)es una topologa deXssi

1. , X2.

{A

n}k

n=1

k

n=1A

n

3. {An}nI nIAn, conIno necesariamente finito o numerableNotar que hasta la segunda condicin, el concepto de topologa es ms dbil que el de lgebra (pueslas lgebras cumplen todas esas condiciones y, adems, son cerradas por complementario), mientrasque la tercera es ms fuerte que el anlogo de las -lgebras (pues permite queIno sea numerable).

25Denotado ms comnmente por B(X)(supongo que Carro escribeen lugar de Bpor lo dificul-toso de escribir a mano las letras caligrficas de manera distinta a las romanas).

26(Paja mental) Estrictamente hablando deberamos escribir ((X, )) := (), pues recordamosque podemos dotar a un mismo espacio de diferentes topologas, si bien en la definicin no es necesariatal escritura pues hemos comenzado fijando una, ergo aqu no hay ambigedad.

En definitiva, es posible que en futuras discusiones debamos escribir ((X, ))para distinguirlo deun cierto ((X, )), siendo esto una notacin ms engorrosa que simplemente ()y (). En estesentido, supongo que dicha notacin es ms que una cuestin de tradicin que de practicidad (si bienenfatizar el espacio en lugar de la estructura asociada es lo habitual), y podramos simplemente decirque los elementos de la -lgebras engendrada por un espacio topolgico se conocen como borelianos

(de dicho espacio).
http://esfm.egormaximenko.com/real_analysis/sigma_algebras_es.pdfhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis.htmlhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis/monotone_classes_of_sets_es.pdfhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis/monotone_classes_of_sets_es.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m420/monotone.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m420/monotone.pdfhttp://www.math.ubc.ca/~feldman/m420/monotone.pdfhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis/monotone_classes_of_sets_es.pdfhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis.htmlhttp://esfm.egormaximenko.com/real_analysis/sigma_algebras_es.pdf


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DEFINICIN 9. Un espacio medible (e.m.) es un par( X,)formado por unconjuntoXy una-lgebra sobreX. A los elementos de los llamaremos con-

juntos medibles.NOTA . Otras estructuras de inters que no estudiaremos en este curso, de

corte clsico son losysistemas necesarios para enunciar el teorema de Dyn-kin (similar y posterior a6,cf. [P1,2] yaplicaciones) y las semialgebras (utilizadasfuertemente en el curso de PA y tambin presentes en [ P1,2]); todas ellas tilespara dar demostraciones alternativas y usualmente ms sencillas de variosde los resultados de este curso, as como obtener otros de nuevos. Tampoco in-troduciremos los anillos (booleanos de conjuntos), una generalizacin de lgebra(booleana de conjuntos) que permite generalizar algunos resultados concernien-tes a stas, cf. [TM1].27 Una descripcin detallada de todas ellas y alguna ms, ascomo sus relaciones, puede encontrarse en [P2,1.3-4].

1.1.2. Funciones.

DEFINICIN 10. Dados dos e.m. (X,) , (X,), diremos que f : X Xesmedible ssi E ,f1 (E) .

NOTA . La definicin es completamente anloga a la caracterizacin por abier-tos de la continuidad.

OBSERVACIN. La composicin de funciones medibles es medible. Ms expl-

citamente, si(X,) f

medible(X,)

gmedible

(X ,), entoncesE g1 (E) f1 g1 (E)= (g f)1 (E) .

LEM A11. Sea f : (X,) (X,), con = (M). Se tiene: f es medible ssi

E

M,f1 (E)

.28

DEMOSTRACIN. []Trivial, pues M (M).[] E = (M) Ees una unin o interseccin de elementos de M

o complementarios de elementos de M.29 Usando que f1 es cerrada por estasoperaciones,30 ie, que

1. f1 (Ac) = f1 (A)c

2. f1jAj=jf1 Aj

3. f1jAj=jf1 Aj

es claro que f1 (E)es una unin o interseccin de antiimagenes de elementos deM31 o complementarios de estos (que, por hip., son de ). As, f1 (E) , pues es cerrada por estas operaciones en tanto que -lgebra.

NOTA . (Alternativa para[]de PA, va el principio de buenos conjuntos, cf.RM) SeaC := E ;f1 (E) y veamos la inclusin contraria (de27A todo esto, el porqu de los nombres lgebra y anillo se discute en MO,W1,W2,Halmos

1.4,70,etc.28La idea es que el generador de ,M, genere los elementos restantes para obtener .29Aunque esta implicacin me parezca evidente de la propia construccin de (M), me he hecho

muchas pajas mentales pensando en que hay algo en ella que no me convence (cf., e.g., 1.6.3), y de ahque de como alternativa la versin de PA (que es moralmente igual; si acaso mejor redactada).

30Aunque no lo necesitamos, es cerrada, de hecho, para intersecciones y uniones arbitrarias, ie, nonecesariamente numerables.

31Carro, abusando notablemente de la notacin, escribi f1 (M) en lugar de antiimagenes deelementos de M. El problema con esta notacin es que f : X Xpero M P(X), y recordamosque f1 [A]:=

{x

X; f(x)

A

}slo est definida para A

X . Ahora bien, podramos extenderlo

como f1 (M):= f1 [N] ; NMcuandoM P(X).
http://mathoverflow.net/questions/32288/why-pi-systems-and-dynkin-lambda-systems-on-the-relative-merits-of-approaches-ihttp://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=53070.0http://mathoverflow.net/questions/22676/terminology-about-ring-algebra-in-abstract-algebra-and-measure-theoryhttp://mathoverflow.net/questions/22676/terminology-about-ring-algebra-in-abstract-algebra-and-measure-theoryhttp://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_ringhttp://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_ringhttp://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_%28structure%29http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_%28structure%29http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_%28structure%29http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_ringhttp://mathoverflow.net/questions/22676/terminology-about-ring-algebra-in-abstract-algebra-and-measure-theoryhttp://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=53070.0http://mathoverflow.net/questions/32288/why-pi-systems-and-dynkin-lambda-systems-on-the-relative-merits-of-approaches-i


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modo queE ,f1 (E) , ie, fes med.). Para ello, nos basta ver queCes -lgebra y que

C M, pues entonces

C = (

C)

(M) = . En efec-

to,C Mpor hip. yC es -lgebra pues lo es y f1 es cerrada por com-plementarios y uniones e intersecciones arbitrarias y f1 () = , f1 (X) :={xX;f(x)X}= X.

COROLARIO 12. Con las notaciones anteriores, si , son -lgebras de Borel,entonces la continuidad de f implicara su medibilidad.

Ms explcitamente, si f : (X, , ()) (X, , ()) es continua, entoncesE fC f1 (E) ()(lo que por el lema es suficiente para garantizar que fes medible).

En particular, dado(X,) f

medible(X, (X))

gcont.

(X , (X)), tenemos que g fes medible.

PREGUNTA. Es cierto el reciproco? Ntese que si f es medible entonces E () f1 (E) (), pero cuando ()= ?, ie, cuando una topologa es-lgebra o viceversa? (discutimos dicha cuestin en59).

NOTA . Este corolario pone de manifiesto la importancia de los borelianos enel estudio de la medibilidad y legitima las siguientes nociones (casos particularesde funcin medible):

NOTACIN13. Sea f :(X,)(X,), con(X,) , (X,)e.m. Se tiene:1. fes K-medible ssi es fes medible y(X,)= (K, (K)). En otras pala-

bras, la-lgebra por defecto en K ser la de Borel.2. fes borel-medible ssi f es K-medible y = (X).32 Similarmente, si f

est definida en dos e.m. diferentes,(X,1) , (X,2), diremos que fes i-

medible ssi fes K-medible y = i.OBSERVACIN 14. fes R-medible ssi aR,f1 ((a, +]):={xX;f(x)(a,]}

{xX;f(x) > a}{f> a} .DEMOSTRACIN. Inmediata de11y8.

NOTA . De hecho,8nos permite enunciar varias equivalencias similares ms.E.g., fes R-medible ssia R,f1 ([, a)) , pues[, a)tambin generalos borelianos de R. En particular, si fes R-medible, entoncesftambin, pues{f >a}={a > f}= f1 ([, a)) hip .

COROLARIO15. Ees R-medible ssi E .

DEMOSTRACIN.{xX;E(x) >a} =, a1X, a a}=, abX, a < b

, a.

OBSERVACIN. E1E2 =E1+E2 . En efecto,E1E2(x) =0x(E1 E2)c = Ec1 Ec2

E1+E2

(x) =0.

32Siempre que consideremos (X)est implcito que Xes un e.t.


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1.1. ESPACIOS Y FUNCIONES MEDIBLES 14E1+E2

(x)=2 x E1 E2 = (ergo Im

E1+E2

={0, 1}y,

por ende, la doble implicacin anterior es concluyente)

NOTACIN. (Abuso) En adelante escribiremos real-medible o R-medible enlugar de R-medible por simplicidad. Nos podemos permitir este abuso, primero,porque siempre estaremos interesados en la medibilidad en R y no en R y, segun-do, porque el codominio de fdeterminara si estamos en un caso o en otro. Tanto esas que, de hecho, una vez fijado el codominio de fes redundante decirR-medibleen lugar de simplemente medible, pues, insisto, la-lgebra por defecto de Kes (K), y de ah que habitualmente diremos simplemente que fes medible en lugarde que es real-medible.

PROPOSICIN16. Sean fn: (X,)R funciones R-medibles. Entonces:1. supn fnes R-medible.2. nfn fnes R-medible.

3. lmfn, lmfnson R-medibles.4.xX, lmn fn(x)lmn fn(x)es R-medible.33DEMOSTRACIN. En efecto:1. (Por14)

xX;supn fn(x) >a

=n {xX;fn(x) > a} pues fnes

medible por hip.34

2. (Por 1) nffn =sup (fn), con fnmedible.3. (Por 1 y 2) lmnfn = nfnsupkn fk, lmnfn = supn nfkn fk.4. (Por 3) Si el lmite existe, coincide con el lmite superior y el inferior.

LEM A17. f : X C es C-medible ssi Ref : X R, Im f : X R son R-medibles.

DEMOSTRACIN. [](Por12) Ref = g f, con g (z) =Rezcontinua (dempara Imf).35

[](Por11)Los borelianos de Cvienen generados por los rectngulos R =(a, b) (c, d) (pues estos conforman una base numerable de C, ie, todo abier-to de Ces unin numerable de rectngulos), luego nos basta ver que f1 (R) :=

{x;f(x)R}={x; Ref (a, b)}{x; Imf (c, d)}= (Ref)1 ((a, b)) (Imf)1 ((a, b)) hip.

NOTA . Esto nos permite reducir el estudio de las funciones C-medibles al delas R-medibles, como pondremos de manifiesto en el teorema de aproximacin.

LEM A18. Si u , v: X C son C-medibles y H C (CC,C), entonces f :XC;f(x)= H(u (x) , v (x))es C-medible.

DEMOSTRACIN. Sea g : X C C;g (x) = (u (x) , v (x)), de modo quef = H g. Por12,nos basta ver que ges C-medible. En efecto, todo abierto deCC es unin numerable de cajas C= R1 R2,conR1 = (a1, b1) (c1, d1) yR2=(a2, b2) (c2, d2), luego (por11)nos basta ver que g1 (C) :={x;g (x)C} ={x; u (x)R1} {x; v (x)R2}= u1 (R1) v1 (R2)

hip . 33El resultado es falso si el lmite puntual slo existe para casi todo X.34Si no se ve la igualdad hganse las dos inclusiones, que esencialmente se reducen a observar que

supfn(x) > a n; fn(x) > a(con x X). De hecho, como estamos trabajando en R , podemospensar el supremo como un mximo.

35Recordamos que la funcin que envaz CRR a su parte real (o imaginaria) no es ms quela proyeccin natural de C sobre el eje correspondiente, y que toda proyeccin natural es continua (as

como abierta).


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PROPOSICIN19. Si f,g son C-medibles, tambin lo son:1. f

g

2 . f g3.

fg si g no se anula.

4. sgnf .36

DEMOSTRACIN. (Por18)1. (fg) (x)= H(f(x) ,g (x)), conH(z, )= z continua.2. f g= H(f,g), conH(z, )= zcont.3. fg = H(f,g), conH(z, )=

z continua en CC {0}.

4. sgnf(x)=sgn (f(x)+E(x)) E(x),con E:={x;f(x)= 0}= f1 ({0}) (pues {0}cC (C)= (C)y fes C-medible).37 As, como f+ Ees medible (por 1 y15) y sgn es continua en C {0}, se sigue de12que la

composicin es medible en C {0}.38

1.1.3. Aproximacin.

DEFINICIN 20. Se llama funcin simple a toda combinacin lineal finita defunciones caractersticas medibles (cf. 15), ie, a s (x) = mj=1ajEj(x), con Ej, aj K.

OBSERVACIN. Por19,toda funcin simple es medible.

TEOREMA 21. Sean f : X[0, +]real-medible, E (k, m):=

xX; k12m f(x) < k2m

,

F(m):={x;f(x)m}. Entonces las funciones simples sm(x):= m2mk=1 k12m E(k,m)(x)+mF(m)(x)forman una sucesin creciente tql mmsm(x)= f(x) ,

x

X (en otras pa-labras, puedo aproximar puntualmente toda funcin medible positiva por funciones sim-ples crecientes de coeficientes estrictamente positivos). Es ms: si f es acotada, entonces laconvergencia es uniforme.

NOTA . (Idea, a loANS)39

k12m

m2m +1k=1

es unaparticin (llamada diadrica)

del intervalo[0, m]que nos inducem2m intervalos

[ k12m , k2m)m2m

k=1de longitud 12m

cada uno. As, cuandom+, esta particin recubrir[0,]punto a punto, pues1

2m0.Por lo tanto, si dividimos con esta particin el eje Yde ordenadas, tendremos

queE (k, m)= f1

[ k12m ,

k2m)

y, cuandom, coincide con las preeimagenes en

36Recordatorio: sgnz=

0, z=0z|z| , z=0

.

37La igualdad se comprueba distinguiendo casos:

xEE(x)=1, f(x)=00 =sgn f(x) ?=sgn (0 + 1) 1=0x / EE(x) =0sgn f(x) =sgn (f(x) + 0) 0

38Idea (pensar la demostracin al revs): la funcin sgn es continua en C {0}y f(x)+E(x)=0, x Xpor construccin, luego sgn (f+ E)es medible (por 1,15,12). Se trata, pues, de encontrarun g tq sgn (f(x)+E(x))+g (x)= sgn f(x)(por 1, si bien, quiz, podran encontrarse igualdadesque involucren 2 3), y dichog se puede encontrar fcilmente estudiando el comportamiento de amboslados de la igualdad segn si xEo bienx / E.

39En [Leb,12.2] pueden verse un par de representaciones grficas de la situacin. Adems, el redac-tadode la prueba esquiz algoms limpio (o menos basto): enlugar dever que sm(x)

sm+1(x) ,

x

Xde una sentada, se distinguen dos casos segn en que intervalo est x.
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperrealhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperrealhttp://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_an_intervalhttp://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_an_intervalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal


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1.2. MEDIDAS Y COMPLECIN 17

Finalmente, sifest acotada porM, entoncesA (M)= Xy 0(f sm) (x)1

2m ,

x

X,

m

N, luego tomando supx

X, lmmy sndwich, ya est.

COROLARIO. Toda funcin medible (real o compleja) es lmite puntual de una su-cesin de funciones simples, que es creciente en modulo.43 Adems, si f es acotada, laconvergencia es uniforme.

DEMOSTRACIN. Sea f = u+iv medible. Entonces nos basta con aplicar elteorema anterior a las funcionesu+, u, v+, v, dondeu+ (x):=max (u (x) , 0)esla parte positiva de u y u(x) :=max (u (x) , 0)la negativa (que son mediblespues el supremo de medibles lo es). Es decir, u+ : X [0,]es real-medible y,por ende, el teorema aplica (dem con el resto y, por ende, f, que es laconjuncinde todas ellas,44 es lmite puntual de funciones simples).

Lo nico que nos falta comprobar, pues, es que la sucesin de funciones sim-ples que aproximan f crecen en modulo, lo que es evidente a raz de que las su-

cesiones de funciones simples que aproximan u+, u, v+, vson crecientes por elteorema anterior y |f|= u2 +v2.

Discusin alternativa (mejor): por17podemos restringirnos al caso f :X Rmedible, de modo que f = f+ fcon f+,fmedibles no negativas, ergo snf+, sn f por el teorema anterior y, por ende, lmn(sn sn) (x) = f+ (x) f(x)= f(x), consn snsimple. Adems,

n,

sn


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OBSERVACIN. (Alerta) Por tonto que parezca, un error muy tpico consiste enmedir conjuntos no medibles. Ejemplo: nos dan A

B

C , con A, C

, B /

.

Entonces sera incorrecto decir que (A) (B). . .DEFINICIN23. Dado un e.m.(X,, ), diremos quees una medida1. finita ssi (X)


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OBSERVACIN. Si 1, 2son medidas, entonces :=1+2con ,R>0tambin.48 En efecto,

()= 1()+2()=0 (An)= 1(An)+2(An)= 1(An)+2(An)= (An).Im [0,]pues,R>0y Im i[0,].

PROPOSICIN26. Sea(X,, )un e.m., A, B,Ak , kN. Entonces:1. (Monotona) A B (A) (B) (en particular, An (An)).

Adems, si (B)


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Ahora bien, si dicha condicin fuera prescindible para (o independiente de)nuestro resultado, entonces ste tambin aplicara si se diera su negacin:

k, (Ak) =

.1.2.2. Espacios completos.

DEFINICIN 28. Dado (X,, ), se dice que un conjunto E es nulo ssi (E)=0.53

PREGUNTA29. (Alerta) Si F es nulo y E F, entonces (E) = 0? No! Estosuceder ssi E .54

La conveniencia de esta propiedad (como veremos a continuacin, cf.32) noslleva a la siguiente definicin:

DEFINICIN 30. Una medida es completa ssi todo subconjunto de un con-junto nulo es medible, ie, si se cumple:55

(F)= 0EF

(E)=0

Diremos que (X,, ) un espacio de medida completo ssi lo es (no confundirconespacio completo).

DEFINICIN31. Dadas f,gfunciones sobre(X,, ), se dice que coinciden encasi todo punto ssi {xX;f(x)= g (x)} es nulo (respecto de , se sobreentiende).

NOTACIN. f = gc.t.p., a.e., g.b.t. p.p. (por sus iniciales en castellano, in-gles, cataln y francs resp.: casi todo punto ocasi en todas partes,almost everyw-heare, gaireb pertot oquasi pertoty presque partout).56 Si necesitamos concretarrespecto de que medida coinciden en casi todo punto (e.g., si estamos consideran-

do dos medidas distintas en el e.m. (X,)), escribiremos f = g -a.e.OBSERVACIN. (Propiedades)1. f g : ({f= g}) = 0 es una relacin de equivalencia, pues clara-

mentees reflexiva y simtrica, y es fcil comprobar que es transitiva.En efecto,

f(x)= g (x)xNc1g (x)= h (x)xNc2

f(x)= h (x)xNc1 Nc2 =

(N1 N2)c, conN1, N2nulos (y por ende N1 N2tambin).2. Si f,g son medibles podemos asegurar que{xX;f(x)= g (x)} tam-

bin.57 En efecto, {x;f(x)=g (x)}={x;f(x)= g (x)}c =[aR({x;f(x)= a} {x;g (x)= a})]c,donde{x;f(x)= a} ={x;f(x)a} {x;f(x)a}, que son mediblespor hiptesis (e dem parag).

PREGUNTA. Sea f medible con g= f a.e. Se cumple que

g=

f ?PROPOSICIN32. Sea(X,, )un espacio de medida completo. Se cumple:

1. Si f es real-medible y f = g a.e., entonces g es real-medible.

53A los complementarios de los nulos a veces se les llama plenos (o de medida plena), mientras quea los subconjuntos de los nulos a veces se les llama despreciables o negligibles.

54En efecto, E 0 (E) (F) = 0 (E) = 0. (El reciproco es trivial porque de otromodo (E)no estara definido).

55Ms adelante veremos como podemos completar una medida, i.e., extenderla a una medida com-pleta.

56En probabilidades es ms comn comn la abreviacin c.s. de casi seguramente (quasi segura-ment en cataln).

57Que no es necesario exigir que f,gsean medibles para que

{x

X;f(x)

= g (x)

}lo sea es obvio

de la reflexividad de . Por ejemplo, tomando f = g = Econ E / .
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_completohttp://es.wikipedia.org/wiki/Casi_en_todas_parteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Casi_en_todas_parteshttp://ca.wikipedia.org/wiki/Quasi_pertothttp://ca.wikipedia.org/wiki/Quasi_pertothttp://es.wikipedia.org/wiki/Casi_en_todas_parteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_completo


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2. Si {fn}nson real-medibles ylmn fn = f a.e., entonces f es real-medible.58DEMOSTRACIN. En efecto,

1. SeaZ :={xX;f(x)= g (x)} HZ , (Z)= 0.59 Sean tambinF :={x;f(x) > a} hip , de modo que F := F Z , y G :={x;g (x) > a},de modo que G := G Z Z completa G . Entonces el problema(de demostrar queG ) se reduce a ver que G = G (F F)(ie, queF F= G Zc), lo que es obvio heursticamente hablando.60

2. Sea Zc :={x;f(x)=l mn fn(x)} H (Z) = 0. Sea tambinfn(x) :=fn(x) , xZ c0, xZ ,queesmediblepor(1)ehip.,y

f(x):= f(x) , xZ c0, xZ ,

de modo que

f = fa.e. y lmn

fn =

f(pues x/Z , lmn fn(x)= f(x) por

hip.). Entoncesfes medible por16y, aplicando nuevamente (1), tambinf.

NOTA . Esto nos permitir aproximar funciones complicadas por otras mssencillas que coincidan con stas casi en todo punto, ie, si el conjunto en el que nocoinciden es nulo. Todo esto, por supuesto, siempre y cuando sea completo. Noobstante, dicha condicin no es excesivamente restrictiva, pues siempre podremoscompletar una medida, trabajar en ella, y luego volver al espacio original, como semuestra en los siguientes dos resultados.

Sobre la importancia de estas nociones, Carro coment que hay problemasabiertos en los que bastara ver que un cierto conjunto es nulo para resolverlo (ie,que el resultado es trivial para ciertas funciones, pero no es posible establecer si

stas coinciden con las originales a.e.).1.2.3. Complecin.

PROPOSICIN 33. Dado un e.m.(X,, ), el conjunto :={A Z;A , ZN, N nulo}es una -lgebra que contiene a . Adems, : [0,] ; (A Z) := (A)estbien definida y

X, ,es un e.m. completo. Ms an,es la nica medida completa

sobre que extiende a. As, llamaremos a X, ,la completacin61 de(X,, ).58Aclaracin: lmn fn = fa.e. ssi {xX; lmn fn(x)= f(x)} es nulo, indiferentemente de si existe

o no tal lmite. Es decir, mientras el lmite no exista o no coincida con fen un conjunto nulo (o mejordicho, mientras los puntos en los que esto suceda conformen un conjunto nulo), el lmite preservar lamedibilidad (o propiedad de ser medible).

Supongo que de ah que definamosZc en vez deZpara evitar ambigedades.59La costumbre de denotar a los conjuntos nulos por Z (en lugar del tambin habitual Nde nulo)

viene de que su medida es zero.60Ms explcitamente, F F : = F (F Z)c Morgan= F (Fc Zc ) distr= F Zc = G Zc pues f = g

excepto enZpor hiptesis.Nota: como es habitual, estas cosas se piensan como los cangrejos, yendo hacia atrs. Es decir, parti-

mos de queG =(G Z) (G Zc )yG Zc = F Zc y vemos como podemos ponerlo en funcin deF, Z, ZZ.

61Aunque el trminocorrecto(al menos segn la RAE) sera complecin, en la literatura (a juzgarpor Google) aparecen ambas versiones (en el trilinge Vocabulari de Matemtiquesde la UB no apareceninguna de ellas, y no conozco de glosarios ms amplios). Dada la buena fama que se ha cosechado laRAE durante los ltimos aos (ejemplos:empiricismo,gisquiy otrosextranjerismos,chistes varios,cambios tan absurdos que resultan mediticamenteparodiables,etc. Como ya he comentado en otrasocasiones[ejemplo], es una cosa inquietante, la manera de proceder de la RAE y los diccionarios en

general), huelga decir que no me preocupar excesivamente por ello y los utilizar indistintamente.
http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/9703/6/mates2.pdfhttp://zientziakultura.com/2013/06/18/matematicas-y-mundo-fisico-i-la-soberbia-cartesiana/#comment-1345http://zientziakultura.com/2013/06/18/matematicas-y-mundo-fisico-i-la-soberbia-cartesiana/#comment-1345http://elcastellano.elnortedecastilla.es/castellano/aula/g%C3%BCisqui-vodka-brandi-co%C3%B1ac-y-champ%C3%A1nhttp://elpais.com/diario/2011/01/02/sociedad/1293922801_850215.htmlhttp://elpais.com/diario/2011/01/02/sociedad/1293922801_850215.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=OwEsNwomYvwhttps://www.youtube.com/watch?v=OwEsNwomYvwhttps://www.youtube.com/watch?v=Mpo5Qm-A39chttps://www.youtube.com/watch?v=Mpo5Qm-A39chttp://prosa-msc.blogspot.com.es/2012/07/consumido-por-indigestion-de.htmlhttp://prosa-msc.blogspot.com.es/2012/07/consumido-por-indigestion-de.htmlhttp://prosa-msc.blogspot.com.es/2012/07/consumido-por-indigestion-de.htmlhttp://prosa-msc.blogspot.com.es/2012/07/consumido-por-indigestion-de.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=Mpo5Qm-A39chttps://www.youtube.com/watch?v=OwEsNwomYvwhttp://elpais.com/diario/2011/01/02/sociedad/1293922801_850215.htmlhttp://elcastellano.elnortedecastilla.es/castellano/aula/g%C3%BCisqui-vodka-brandi-co%C3%B1ac-y-champ%C3%A1nhttp://zientziakultura.com/2013/06/18/matematicas-y-mundo-fisico-i-la-soberbia-cartesiana/#comment-1345http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/9703/6/mates2.pdf


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DEMOSTRACIN.

pues ={A ;A , N, Nnulo} (ya que el

vaci est contenido en todo conjunto). es-lgebra:1. X, (pues son de ).2. Ai Zi i(Ai Zi) = (iAi) (i Zi), puesAi iAi y i Zi i Ni(y la unin de nulos lo es: 0 (i Ni) i (Ni)= 0).

3. AZ (A Z)c = (Ac Zc)(Nc N) = (Ac Zc Nc)(Ac Zc N), pues Ac Zc N N (con Nnulo) y Z NNc Z c Ac Zc Nc = Ac Nc (ya queA, N ).62est bien definida: Sean A Z = A Z dos descomposiciones diferentes de

un mismo elemento cualquiera de, de modo que A,A , Z N, Z N con N, N nulos. Entonces A A Z = AZ AN (A) (A N) (A)+ (N) = (A) y, por analoga, (A) (A). As, (A Z):= (A)= (A)=: (A Z).63es una medida: () =:= () = 0 y (i(Ai Zi)) = (iAi) =i (Ai)= i (Ai Zi).64es completa por construccin. En efecto, dado Zsubconjunto de un nulo,Z= Z y ( Z):= ()= 0.es nica: Seauna medida completa sobreque extiende , y sea C =A Z. Entonces (C) (A)+ (Z) = (A) |== (A) AC (C) (C)= (A)= (C).

NOTA . La complecin de un espacio completo es el mismo, ie,

si es

completo. En efecto, los negligibles de un e.m.c. son de dicho espacio por defini-

cin, luego su unin con elementos de dicho espacio cae de nuevo en l mismo.OBSERVACIN. (de PA) Los negligibles de son negligibles de (el reciproco

es obvio pues (N) = (N)y ). En efecto, seaZ N; (N) =0.EntoncesN= A Z;A , ZN , (N) =0 (puesN), de modo queZ N= A Z A N con 0 (A N) (A)+ (N)= (A)= : (A Z)= (N)=0 (A N)=0.

62En la demostracin que vimos en clase se daban demasiados rodeos (de hecho, y siendo sincero,me perd completamente en este punto), por lo que reproduzco [P1,2.6] (que es como se hizo en PA).

No obstante, y por el posible inters didctico que pueda tener, la esplico:Observemos primero de todo que

={A Z;A , ZN, Nnulo, N A= }pues A Z =

A (ZA), con Z A N Ay N Anulo ( N A , N A N 0 (NA) (N)= 0), y es claro que(NA) A= . En otras palabras, podemos repensar los elementos decomo elementos del otro conjunto.

As, dado A Z, podemos suponer sin restriccin que NA = A Nc, luego A Z =(A N) (Nc Z)(en efecto, (A N) (Nc Z) distr= (A Nc ) (A Z) (N Nc ) (N Z) =A (A Z) Z=(A Z) (A Z)= A Z).

Por tanto,(A Z)c =(A N)c (Nc Z)c =(A N)c (N Z) (pues N Z Ny A , N).

63Errores tpicos: A Z = A Z (A Z) = (A Z) (A) (A Z) (A) + (Z)= (A), etc. Problema:Z, Z /. De ah que tengamos que ver si est bien definido.

Alternativa algo ms enrevesada de PA: A = A(C Cc ) = (A C)(A Cc) (A) = (A A)+ A (A)c, donde A A Z A (A)c A (A)c Z (A)c ZN0 A (A)c (N)=0 y, por simetra, (A)= (A A), ergo (A)= (A), QED.

64Sean i ,jdistintos cualesquiera. Entonces hip

= (Ai Zi) Aj Zj

=

AiAj

Ai Zj ZiAj Zi Zj AiAj,AiZj, ZiAj, ZiZj = . Por tanto,i(Ai Zi) = (iAi) (i Zi).


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PROPOSICIN34. (Ejercicio) Sea

X,

,

la complecin de(X,, ). Se tiene:

f

es-medible f-medible tq f =f a.e. respecto.65DEMOSTRACIN. Sea

X, , la complecin de(X,, )y supongamos quef : X [0, +]es-medible. Entoncessnf, consn = mni=1an,iEn,i ,En,i,

an,i >0 (cf.21), donde:snes-medible en tanto que combinacin lineal de funciones-medibles(cf.19,15), ergo lmn sn =ftambin (cf.16).En,i : En,i = An,i Zn,i = An,i (Zn,i An,i)con An,i ,Zn,iNn,i , (Nn,i)= 0, ergosn = mni=1an,i An,i+ Zn,iAn,i.

Sea ahora sn := mni=1an,iAn,i (que, por el mismo argumento que antes, es -

medible, e dem paraf :=

lmnsn). Se tiene: n,sn(x)=sn(x) n,mni=1an,iZn,iAn,i(x)=0

an,i>0 n, xmni=1(Zn,i An,i)cc =mni=1(Zn,i An,i) =: Nn, con Nnnulo entanto que unin de nulos (puesZn,i An,iZn,iNn,i

completo Zn,i An,ies nu-lo respecto). Y tomando lmites a banda y banda del bicondicional, obtenemos:l msn(x)=l m sn(x)xl mnNn = : N, conNnulo respectopues:

N= l mn Nn =n knNk.n knNk k1 Nk (N) (k1Nk)k1 (Nk)= k1 0=0.

NOTA . Sifno es positiva basta considerarf =f+ f, puesf f+,f Th f1,f2 ;f1f+,f2f f := f1 f2 ;ff. En65Recordatorio: f : (X,) (X,)es medible ssiE ,f1 (E) . Ahora bien, como f

tambin est definida en

X, , si decimos simplemente fes medible no queda claro sif1 (E) f1 (E). Para evitar esta ambigedad, decimos resp. que f es -medible o bien-medible. Ycomo cada-lgebra tiene asociada una medida, esto es equiv. a decir que fes-medible o bien f es-medible resp.

Problema (y paja mental): la medibilidad de una funcin se define en relacin al espacio mediblesobre el cual la consideremos, no sobre el espacio de medida. En otras palabras, un mismo espaciomedible puede dotarse de diferentes medidas (e.g., si (X,, ) es un e.m., entonces (X,, ) conR>0tambin), pero si una funcin sobre dicho espacio medible es medible, lo es sobre toda medida(pues, insisto, la nocin de medida no tiene nada que ver con la medibilidad de una funcin, como esobvio de la definicin de funcin medible), luego, retomando el ejemplo anterior, escribir f es -medible sonara muy extrao, pues tambin es-medible.

En resumen, y aunque Carro introdujo dicha notacin con toda naturalidad (en parte porque aquno hay equivoco, y en parte porque las igualdades a.e. estn relacionadas con y no con , de modoque su notacin es ms homogenia), recomiendo altamente escribir f es -medible en lugar de fes-medible. Por otra parte, como escribir cualquiera de las dos cosas es bastante cargante, si no hayambigedad posible (ie, si queda claro que fes una funcin), yo escribira f en lugar de f es-medible, quedando el resultado como:f f ;ff.

Para defender dicha escritura dir que habitualmente una misma notacin (incluso las ms exten-didas y estndares) puede significar cosas muy distintas segn sobre que objeto (o contexto, aunqueese es otro cantar) se aplique, y de ah que habitualmente las definiciones se enuncien en forma condi-cional (si... entonces..., dado... definimos..., etc.), de modo que mi propuesta quedara as: Sea una-lgebra. Si A es un conjunto, A se define de la manera usual, y si fes una funcin, de la ma-nera recin introducida. Una alternativa ms puritana (quiz ms clara conceptualmente pero ms

engorrosa notacionalmente) pasa por definir F():={funciones -medibles}.


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1.3. MEDIDA EXTERIOR Y MTRICAS 24

efecto,

f= f

f+ = f1

f= f2

(pues si ambos coincidieran, la dife-

rencia tambin),66

ergof= f es nulo respecto (ya que f+ = f1 ,f= f2losonporhip,launindenulosloesylossubconjuntosdeunnulosobreune.m.c.lo son).

Final y similarmente, sifno es real basta considerarf = Ref, Imf, puesf 17Ref, Imf Th f1,f2 ;f1Ref,f2Imf f :=(f1,f2) 17;ff. En efecto,f= f= Ref= f1Imf= f2 (pues (fi)i = (gi)ii,fi = g i), ergo

f= fes nulo respecto.1.3. Medida exterior y mtricas

1.3.1. Medida exterior.

DEFINICIN35. Una medida exterior:P(X)[0, +]es una funcin deconjuntos tq

1. ()=0.2. (-subaditividad)(iNAi)iN(Ai).3. (Monotona)AB(A)(B).

NOTA . La ventaja respecto a las medidas es que se aplica en todoP(X). Esdecir, no hemos de comprobar ninguna condicin sobre E para poder considerar(E).

DEFINICIN36. Sea P(X) ; . Se dice que : [0, +]es unafuncin elemental ssi ()=0.

PROPOSICIN37. (Construccin de medidas exteriores va funciones elementales)Dada una funcin elemental sobre , la funcin :P(X) [0, +] ; (A) :=nf{i (Ei) ;A i Ei, Ei }, con la salvedad que nf := +,67 es una medidaexterior.68

DEMOSTRACIN. En efecto,1. ()=0 pues y ()= 0.2. Sea A =kAky veamos que (A) k(Ak). Por la definicin de

nfimo,69 k, >0, n (Ekn ) (Ak)+ 2k >0, n,k (Ekn )k

(Ak)+k 2k = k(Ak)+, conEkn ;Ak n Ekn(salvo que

algnAkno sea recubrible,70 en cuyo caso(Ak)= + y la desigualdad

es trivial), de modo que A n,kEkn (A) n,k (Ekn )(por def.de(A)). Juntandolo todo (por la transitividad de

) y haciendo tender

0, hemos terminado.66El reciproco es claramente falso: 3 2=2 1.67Es decir, si no existe ningn recubrimiento de Apor elementos de , convendremos que su valor

sea infinito.68Ntese que est bien definida una vez fijamos nf := +, ya que

{i (Ei) ;A i Ei , Ei } est acotado inferiormente por 0 pues Im0 (cf. AM).69Recordatorio: dado A R, diremos quek R es cota inferior de A ssia A, k a, y que es

EL nfimo ssi es la mayor de todas ellas (ie, la que se ajusta mejor). As, si B I(A)denota el conjunto decotas inferiores de A,r > nfAr / B I(A) aA ; r > a nfA

En nuestra demostracin r = (Ak)+ 2k y a = n (En,k), y escribimos a ren lugar del msfuertea < rpues cuando tomemos0 perderemos el estricto.

70Es decir, en el caso que estemos tomando el nfimo del vaci, cuya existencia slo viene dada pornuestro convenio (pues el teorema de AM slo aplica para conjuntos no vacos) y no por la definicin

que estamos aplicando en este sin restriccin, y de ah que lo tengamos que razonar aparte.


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3. A B (A) (B)pues todo recubrimiento de Bpor elementosde lo es a su vez de Apor hiptesis.

TEOREMA38. (Construccin de medidas por Carathodory, i.e., construccin de me-didas completas va medidas exteriores) Dada una medida exterior sobre X, el conjunto

():={CX; EX, (E)= (E C)+(E Cc)}es una-lgebra71y la terna

X, () , |()

es un espacio de medida completo.

OBSERVACIN39. (Preliminar)C () EX, (E)(E C)+(E Cc), i.e., la otra desigualdad se cumple siempre por la -subaditividad dela medida exterior, pues E = E (C Cc)=(E C) (E Cc).

DEMOSTRACIN. := ()es-lgebra:

1.EX, (E) ()=0

= ()+(E)= (E )+(E c

), luego .2. C Cc por construccin.3. (Preliminar)72A, B EX, (E) EX,A:= (E A)+ (E Ac) EAX,B:=

EAcX,B

(E A B)+ (E A Bc)+ (E Ac B)+ (E Ac Bc) -subad.(E (A B))+ E (A B)c,puesAc Bc =(A B)c y E (A B)=(E (A B)) (E (Ac B)) (E (A Bc)).73 Por tanto, A B (ergo las uniones finitas de vuelven a caer en , cf.1).

71Idea detrsde (): nos quedamos con losconjuntos CXque corta bien, ie,que separanbien por intersecciones. En otras palabras, visto queE= E X= E (C Cc ) = ( E C) (E Cc ) =(ECc )

(EC), nos estamos quedando con los C

Xtq al usarlos para separar/cortar E en dos

partes, lo mismo nos da medir (mediante ) las partes (y sumarlas) que medir la unin de stas, ie,dichos cortes se comportan bien respecto (la aditividad) .

Metfora. Seaun instrumento de medicin psimo, pauprrimo, de bajsima exactitud, de modoque no cumple los estndares ms bsicos de la Platnica Academia de Instrumentos de Medicin(PAIM), a saber: la suma (de las medidas) de las partes puede exceder estrictamente al total (ie, a lamedida de de la unin de las partes), si bien nos aseguran que: 1) la (medida de la) parte es menor que(la medida de) el todo 2) es capaz de medir (si es que a eso se lo puede llamar medir, dira laPAIM) cualquier objeto (a diferencia de los instrumentos excesivamente finos de la PAIM).

Parntesis. Bromas aparte, estos pauprrimos instrumentos no son menos precisos que nuestrosmismos sentidos (cf., e.g., cuadrado perdidoy variantes)ni que nuestra tecnologa (cf., e.g.,salamislicing)ni, seguramente, que cualquier instrumento de precisin que jams pueda crearse sobre elmundo fsico, por el simple motivo de que en ese inhspito lugar a veces llamado realidad no esposible la precisin infinita, ergo los errores en las mediciones se acumularan y propagaran (cf. MN1),obteniendo fcilmente que las partes (sumadas) exceden al todo.

Metfora (continuacin). Sea ahora E Xun pedazo de masa para hacer galletas (que tiene unaforma completamente arbitraria y posiblemente imposible de medir bajo los estndares de la PAIM).Entonces ()sera nuestro ms excelente surtido de cortadores de galletas, puestodos ellos tienen lafantstica propiedad de que al aplicarlos sobre nuestra masa E(que, concentrados en nuestra primerahorneada, podemos considerar momentaneamente como nuestro universo de trabajo), tanto el resulta-do como su complementario (respecto de E, insisto), al medirlos mediante nuestra imprecisa maquina, sorprendentemente, obtenemos que sta funciona como debera (o como la PAIM obliga), ie, que lasuma de las medidas de las partes s coincide con la medida de la unin de stas.

As dicho, pues, resulta bastante natural (que no por ello corto de demostrar) que |() es unamedida.

72Seguiremos la misma estrategia que en48y/o26:primero veremos que es cerrada por unionesfinitas y luego lo veremos para uniones numerables convirtiendo stas en uniones disjuntas y conside-rando las uniones crecientes de stas.

73Bsicamente lo que estamos haciendo es restringir/cortar/intersecar porE la igualdad semi-obviay archiconocida (desdede ADIP y LRM):A

B=(A

B)

(Ac

B)

(A

Bc) (sacando factorcomn

AyBsecuencialmente, o lo que es lo mismo, usando al distributiva).
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_cuadrado_perdidohttp://www.geometriadinamica.cl/2010/09/la-ilusion-de-los-triangulos/http://www.geometriadinamica.cl/2010/09/la-ilusion-de-los-triangulos/http://en.wikipedia.org/wiki/Salami_slicinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Salami_slicinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Salami_slicinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Salami_slicinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Salami_slicinghttp://www.geometriadinamica.cl/2010/09/la-ilusion-de-los-triangulos/http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_cuadrado_perdido


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4. SeaA :=kAk, con Ak . Sean tambinBk:= Ak

k1i=1Ai

(3) , de

manera que A =kBk. Finalmente, sea Cn :=ni=1Bi (3) Cn A.74Entonces EX, n, (E)= (E Cn)+(E Ccn), donde:a) (E Cn) ECnX,Bn:= (E Cn Bn)+ (E Cn Bcn) Cn= (E Bn)+

(E Cn1)= = ni=1(E Bi).75

b) CnCnA A Ac Ccn Ac E CcnE (Ac E)

(Ccn E)(por la monotona de ).c) n, (E) ni=1(E Bi)+ (Ac E)l mn(E)= (E)

l mn ni=1(E Bi)+l mn(Ac E), con lmn ni=1(E Bi)

(i1(E Bi))= (E A). Por tanto,A por39. := | es medida: tomando E =jNBj en (4c), nos queda:

j Bj

i=1 j Bj Bi+ Ac j Bj = i=1(Bi) +() sub. (iNBi)(i Bi)= i=1(Bi).76

completa: SeaBA , con Anulo (respecto).77 Entonces 0(B)(A)= (A)= 0(B)= 0. Y repitiendo el argumento conE BB, ob-tenemos:(E B)= 0. Por tanto,(E B)+(E Bc)= (E Bc) EB

cE(E), ergoB (por39).

NOTACIN. Diremos que A P(X)es-medible ssiA ().1.3.2. Mtricas.

DEFINICIN40. Una medida exterior sobre un espacio mtrico (X, d) se lla-ma medida exterior mtrica ssi (A B) =(A) + (B) , A, BX; d (A, B) >0. NOTA . (Idea)es aditiva siA, Bestn separados.

LEM A41. (Tcnico) Sean A Gd, Ak :=

xA; d (x, Gc) 1k

. Entonces

l mk(Ak)= (A)sies mtrica.NOTACIN. (Recordatorio)des la topologa inducida por la mtricad , i.e.,

Gdssi es un abierto de(X, d). Por ende,cddenota los cerrados.NOTA . (Idea) Aunque Aest contenido enGes posible que haya varios pun-

tos de contacto entre sus fronteras, y de ah que la distancia entre un elemen-to de A y un elemento fuera de G pueda llegar a ser infinitesimal (pero nun-ca nula, pues entonces diramos que dicho elemento es de Gc, lo que contradice

74Para ahorrarnos letras podramos haber supuesto sin restriccin (por lo dicho) queAkes dehecho disjunta.75Ntese que cuando aplicamos la definicin de Cn no slo estamos usando que es unin de Bn,

sino que estos son disjuntos 2 a 2. Ms explcitamente, Cn Bn distr= ni=1(Bi Bn)=n1i=1 (Bi Bn) (Bn Bn)=n1i=1 () Bn = Bny Cn Bcn

distr= ni=1(Bi Bcn)=n1i=1 (Bi Bcn) (Bn Bcn)=n1i=1Bi

(puesBi Bn = (Bi Bn) Bcn= Bcn , con(Bi Bn) Bcn = Bi BcnBi).76En realidad la prueba queda terminada en el momento que vemos

j Bj i=1(Bi), puestodacumple la otra desigualdad.

77Tomamos Anulo respectoy no respecto porque: 1)no es una medida, y la nocin de nulose defina para medidas 2) Queremos ver que es completa, no que lo es . De hecho, toda loes. Es decir, sta es precisamente la gracia de las medidas exteriores: que su dominio es todo P(X)y,por ende, no tenemos la insistida restriccin de ver que Bes medible para poderla aplicar y consideraras desigualdades del tipo 0(B) (A)al serB A(por la monotona de ). De ah que unsubconjunto de un nulo respecto sea tambin nulo respecto y que, en definitiva, no tengademasiado sentido decir que un conjunto es nulo respecto o quees completa.


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AG). As, Aes lmite de los Ak, pues xA, d (x, Gc) >0, ie (para indexarlo),

x

A,

> 0; d (x, Gc)

, ie (para numerarlo),

x

A,

k; d (x, Gc)

1

k.

DEMOSTRACIN. [] Por monotona, Ak (Ak) yk,Ak Ak, (Ak)(A), luego lmk(Ak)(A).78

[]SeaBk:= Ak+1 Ak(en particular,Ak Ak=k1j=1 Bj, cf. demostracin26.3).

Entonces,k, z Bk+1,1kAk d (Ak, Gc) d (Ak,z)+ d (z, Gc)

zBk+1AAk+1d (Ak,z)+

1k+1 k, zBk+1, d (Ak,z) 1k 1k+1 >0 k, 0 < d (Ak, Bk+1)

Bk1Akd (Bk1, Bk+1).79 De hecho, k, i/2NBki Ak k, 0 < d (Ak, Bk+1)d (i/2NBki, Bk+1).80

As, como es mtrica, tenemos: i/2NB(k+2)i

= (Bk+1 (i/2NBki))=

(Bk+1)+(i/2NBki)= (Bk+1)+ Bk1

i/2NB(k2)i= =

(Bk+1)+ i/2N(Bki) = i/2N B(k+2)i(pues d (i/2NBli, Bl+1) >0, l).

Por otra parte, k,A Ak= Akj=kBj k, (A)(Ak)+j=k

Bj

(A)lmk(Ak)+ lmkj=k

Bj

. Y distinguiendo casos:

Caso1. j1

Bj< +. Entoncesk, Sk := jk

Bj< + y lmkSk=

0,81 luego hemos terminado.Caso2. j1

Bj

= +. Entonces j0

B2j+1

j1

B2j

es infini-to (pues pares e impares forman particin en N, de modo que si ambos

78Recordatorio: Toda sucesin (real) creciente y acotada superiormente es convergente.79Alerta. Dada d una mtrica sobre X, est cumple la desigualdad triangular por definicin, pero

no por ello la seguir cumpliendo si la extendemos a P(X)como d (A, B) := nfaA,bBd (a, b), ie,d (A, C) d (A, B)+ d (B, C) es falso en general. Por ejemplo, tomando A ={1} , C ={2} , B ={1, 2} , d (x,y)=|x y|, tenemos:d (A, C)= d (1, 2)=1 perod (A, B)+d (B, C)= d (1, 1)+d (2, 2)=0.

Sin embargo, el proceder original e inicial de la demostracin (posteriormente corregido por

la misma Carro) era: 1kAk d (Ak, Gc) d (Ak, Bk+1) + d (Bk+1, Gc), con d (Bk+1, Gc ) :=

nfxBk+1d (x, Gc )

yBk+1 d (y, Gc )Bk+1AAk+1 1k+1 (puesyA ck+1:d (y, Gc) < 1k+1 ).

Que la desigualdad triangular tambin falla para dichos conjuntos particulares viene dado por el

siguiente contraejemplo:A :=

110 , 5

(0,10)=: GA1 = [1, 5] ,A2 =

12 , 5

,A3 =

13 , 5B1 =

[ 12 , 1), B2 = [13 ,

12 ), perod (A1, G

c)=1 y d (A1, B2)+d (B2, Gc )= 12 +13


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1.4. MEDIDAS DE LEBESGUE-STIELTJES Y REGULARIDAD 28

sumatorios fueran finitos entoncesj1

Bj

tambin!!!).82 Yenelpri-

mer caso (el otro es anlogo): k2N

,

k2

j=0 B2j+1= i/2N B(k+2)iprelim=i/2NB(k+2)i

(Ak+2) lmk(Ak+2)lmk

k2

j=0 B2j+1=

l mk(Ak)= [](A)= +.

TEOREMA42. (Carathodory) Si es una medida exterior mtrica sobre (X, d),entonces todo cerrado F (y por ende, todo boreliano) es -medible. En otras palabras, setiene:cd ()(y por ende,

cd ()).

DEMOSTRACIN. Sea G := Fc dy veamos que F (), ie, queEX, (E) (E F)+(E G)(cf.39). Sean, pues, B := E F F, A :=E GG

(de modo queE

=A B

) yAk

como en el lema. Entoncesk

,

(E

)=

(A B)AAk (Ak B)= (Ak)+ (B) pues k, d (Ak, B):= nfyBd (Ak,y)

BFnfyFd (Ak,y) =: d (Ak, F) := nfxAkd (x, F)

Ak 1k > 0 y es mtrica. As, to-mando lmites sobre ky aplicando el lema, nos queda: (E) (A)+(B).

1.4. Medidas de Lebesgue-Stieltjes y regularidad

1.4.1. Medidas de Lebesgue-Stieltjes.

TEOREMA43. Sea F : R R una funcin creciente. Entonces la medida exterior asociada a la funcin elemental :

[0,] ; ((a, b]) := F(b)

F(a)es (una

medida exterior) mtrica (en particular, todo boreliano es -medible, cf.42).83Si, adems, F es continua por la derecha,84 entonces la correspondiente medida cons-

truida por el mtodo de Carathodory cumple que ((a, b]) = F(b) F(a)y, en parti-cular,85 ({a})= F(a) F(a).

Llamaremos a esta medida medida de Lebesgue-Stieltjes (en adelante L-S) y, siF(x) = x, simplemente medida de Lebesgue.

DEMOSTRACIN. Sean A, BR; := d (A, B) >0 y notemos que existe unaparticin I =Nk=1 Ik, con I := (a, b]y Ik := (ak, bk], tqk, k := bk ak < y (I) = Nk=1 (Ik).

86 As, (E) = nf{ (Ik) ; E kN Ik, kk

P, Q;N = P

82Redaccin alternativa (a partir de aqu, Carro). Ahora bien, (BN)+ (BN2)+ + (B1)=

(BN BN2 B1)(AN+1) N l mk (Ak)= .83Idea: pensarcomo la funcin longitud de R ponderada porF.84Si F es creciente y continua por la derecha, diremos que F es una funcin de distribucin, Fdd.

Dichas funciones son de una importancia capital en probabilidades y son extensamente estudiadas enPA.

85Como(a 1n , a]{a}y (a 1, a] < , se sigue de26-4 (y la igualdad anterior) que ({a}) =l mn(a 1n , a] = l mn

F(a) F

a 1n

= F(a) F(a).

86Ms explcitamente, indexando convenientemente la particin: a = a1 b1 = a2 b2 = a3 bN1 = aN bN = b Nk=1(ak, bk] = Nk=1F(ak+1) F(ak) = F(aN+1) F(a1) =F(b)

F(a) = (a, b](como en una suerte de serie telescpica). Si queremos ser an ms explcitos,

tomandobj = a1+j 2 yN= ba/2, tenemos que k= 2


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Q,A kP Ik, B kQ Ik (A)+(B) kP (Ik)+ kQ (Ik) =k

N (Ik).

87

Tomando ahora el nfimo (a ambos lados de esta desigualdad) sobre todos losrecubrimientos de A B, nos queda (pues la desigualdad la tenemos para unocualquiera):(A)+(B) (A B). Por tanto, es una medida exteriormtrica (pues la otra desigualdad es trivial por la -subadditividad de ). Enparticular, por Carathodory-42, el borelianoI () y, si es la extensin de dada por Carathodory-38, (I)= (I):=nf{ (Ik) ;I kN Ik, k 0, bi > bi; F

bi F(bi) < i con ii = .89

Por lo tanto, si a (a, b)y Ii := (ai, bi ], se tiene: [a, b] iIIipor compacidad

N; [a, b] N

k=1 Ik.90

As,

iI (Ii)

N

k=1 (Ik) =

N

k=1F(bk) F(ak) =F(bN) F(a1)+N1k=1 (F(bk) F(ak+1)),91 donde

F(bN) F(a1)= F(bN) F

bN

+ F

bN F(a1) F + F(b) F(a).92

N1k=1 (F(bk) F(ak+1))= N1k=1

F(bk) F

bk

+N1k=1

F

bk F(ak+1) F

(N 1) + 0 .93En definitiva, iI (Ii) 2+F(b) F(a)y, tomando el nfimo sobre todoslos recubrimientos de I, nos queda: (I) = (I) 2+F(b) F(a) , >0, a(a, b) 0

aa+ (I)F(b) F(a)= (I).

PREGUNTA44. (Alerta) (a, b] = (a, b) = [a, b]? No! Pues las medidas deun punto no tienen porque ser cero si F no es continua. No obstante, y como ya sabemos decursos anteriores, en el caso de las integrales de Riemann o de Lebesgue s es cierto (puesF(x)= x es continua y Lebesgue es una generalizacin de Riemann).

NOTA . En1.6.6exploraremos con ms atencin el concepto de Fdd.

1.4.2. Regularidad.

87Si se quiere, podemos razonar la primera implicacin por absurdo: si no fueran disjuntos sig-

nificara quek P Q () x,y Ik; x A,y B d (x,y) 0, > 0; x R B+(p) , F(x) F(p) < (conB+(p):=(p,p+)).89Si se quiere ser ms explcito, puede tomarse i = 2i.90Por analoga con la notacin que usbamos para las sucesiones parciales, el cambio de subndice

pretende reflejar que

Ik

kes una subcoleccin de

Ii

i, ie, queIk= I

ik

.91Recordatorio (de86 y la construccin de a, bi ): reordenando convenientemente los ndices, su-

pondremos quea1 < a < b < bNy ak+1b k.De hecho, con la particin de86obtenemos de inmediato que N1k=1 (F(bk) F(ak+1))=0.92Ms explcitamente, F(bN) F(bN) = (F(bN) F(bN)) >pues F (bN) F(bN) < por

construccin debiy FF(bN)F (bN)= F (b).93ak+1bkbk FF (ak+1)F bkF bk F(ak+1)0.


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DEFINICIN45. Una medida de Borel94 se dice que es:exteriormente regular ssi (E)= nf

{ (U) ; E

U

X

},

E

(X).

interiormente regular ssi (E)=sup { (K) ; K K (E)} , E (X).95Sicumple ambas condiciones, diremos simplemente que es regular.

NOTA . (Idea/resumen detrs de la definicin) Si los elementos de se puedenajustar por fuera (ie, por elementos de que contengan aE) mediante abiertos, esexteriormente regular. Si se pueden ajustar por dentro (ie, contenidos en E) vacompactos, entonces es interiormente regular.

TEOREMA46. Toda medidade L-S es regular.

DEMOSTRACIN. (Parte 1:es exteriormente regular) SeaE (R).Sin restriccin (pues (E)= U= R), (E) < + >0, {Ik}k

; (E kIk) ( (Ik) (E) +)(con como antes, ie, Ik := (ak, bk]) por ladefinicin de nfimo (pues recordamos que (E)= (E)=nf

{ (Ik) ; E

k

N Ik,Ik

}y (Ik) = (Ik)).96 Por otra parte, como F es continua por la derecha, >0, bk>bk; F

bk F(bk) 0, U94[C1, III.4]: de Borel sobre Xssi : (X) [0, +] ; (K) < +, K K (X) (X).

Problema: no es una definicin estndar, cf.W(ntese que todas las variantes coinciden para X= R ,en cuyo caso una medida de Borel es simplemente una medida que tiene como dominio los borelianos;en otras palabras, todas ellas son intentos de extender el caso real, siendo ms o menos restrictivosrespecto a las propiedades del espacioXy de ste respecto).

De hecho, con cualquiera de estas definiciones las medidas de L-S no seran regulares, pues su do-minio no son los borelianos sino su completacin (cf.66). Supongo, pues, que lo que Carro quera decir(dado que no defini medida de Borel) es, simplemente, que los borelianos estuviesen contenidos en eldominio de(comoaqu), si bien en[TM1,1.6.4] la regularidad se define para medidas de Borel y lue-go se demuestra que las medidas de L-S restringidas a los borelianos son regulares, lo que no suponeperdida de generalidad alguna en vistas a66(para ser fieles a la verdad, en[TM1]las medidas de L-Sse definen/construyen sobre los borelianos va el teorema de extensin de Carathodory-Hahn). Estaltima va es, bsicamente, la que yo he adoptado, pues la poco ortodoxa escritura de Carro me impidepor completo saber en que contexto estamos trabajando (donde yo escribo E (X) E (R),Carro escriba Eperteneciente a m-rroba, ie, E@ cambiando la a de @ por una m, y lo lea Emedible).

Por ltimo, enWno se exige que Xsea e.t. (y por ende, no se consideran los borelianos, sino una-lgebra cualquiera), luego lo que aqu llamamos medida regular posiblemente debera llamarsemedida regular de Borel (cf.W) de modo similar a como nuestras medidas son en realidad medi-das positivas.

Sea como fuere, dado que el nico resultado de regularidad que vamos a establecer va a ser en R (ydel cual tampoco vamos a sacar ningn partido ms all del resultado en s), toda esta paja mental caepor su propio peso.

95(Abreviacin personal del que transcribe)K K (E) : Kes un compacto de E (ie, un subcon-junto deEcompacto). As, podramos decir que K (E)es la clase de los compactos de E.

96Que los Iklos podemos suponer disjuntos a base de recomponerlos es fcil de ver distinguiendocasos:Ii Ij= ssi

1. ai


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R; (FU) ( (U) (F)+) (pues (F)=nf{ (U) ; FUR}por el apartado anterior). Sea tambinK:=E U. Se cumple:

1. Kes compacto, pues es cerrado y acotado (y estamos en R):a) K = E Uc Ey Ees acotado por hiptesis (puesE V

EV).b) La adherencia es cerrada por definicin,Uc cRpor hip. y las

intersecciones finitas de cerrados lo son.2. E E U K = E Uc E E Ec = E Ec E distr=

E E= E.3. Ahora bien,KEK= K E= E U= E (E U) (K) =

(E) (E U), dondeE U=U Ec =U (U Ec) UEEEU F (E U) (U) (F) U ( (F)+) (F) =

(E

U)

.

4. (E)(2) (K)

(3) (E) (E)=sup { (K) ; K K (E)}.Caso2. Eno est acotado.

SeaEj:= E (j,j+ 1] (R)acotado (y notemos que son 2 a 2 disjun-tos). Entonces > 0, Kj K

Ej

;

Kj Ej jcon j =

(pues

Ej

= sup

(K) ; K K Ejpor el caso anterior). Sea aho-ra FN :=Nj=NKj compacto (pues la unin finita de compactos lo es,al menos en R), y notemos queN, E FN N, (E) (FN) =

Nj=N

Kj Nj=N Ej = Nj=NEj (E)lmN (FN)

lmNNj=NEj

263= (E) . As, > 0, N0 N; (E)

FN0 (E) 2.97 NOTA . Algunas otras propiedades interesantes de las medidas de L-S sern

estudiadas en los ejercicios.

1.4.3. Teorema de Lusin.

DEFINICIN . (Recordatorio) Dado f : X K, conXe.t., llamamos soporte(support) de fa: suppf :={xX;f(x)=0}.

NOTACIN.Cc(R)denota el espacio de las funciones continuas con soportecompacto.

TEOREMA 47. (de Lusin) Sea una medida de L-S y f una funcin medible tq {f=0} < +. Entonces: > 0, g CC(R) ; ({f= g}) < y, adems,gf. O, ms informalmente, every measurable function is nearly continuous(Littlewood,principles of real analysis).98

NOTA . El resultado es valido ms en general, cambiando medida de L-Spor medida de Radon (un tipo particular de medida de Borel).

DEMOSTRACIN. Larga y no especialmente interesante. No la haremos.

97Ms explcitamente, supongamos quealbconl :=l m cn: , n0; |l cn| < . Suponga-mos adems quecn (puesFncn:= (Fn )), de modo que podemos obviar los valores absolutosanteriores. Entonces > 0, n0; bl


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1.5. EJERCICIOS 32

1.5. Ejercicios

1.5.1. Disjuntar unin.

NOTA . Tambin discutido en[P2, Teorema 1.2.5].

EJE RC IC IO 48. (Otra definicin equivalente de-lgebra) Sea X= yD P(X)tq

1. X D2. A D Ac D3. Si {Ak}k Ddisjuntos 2 a 2, entonces kAk D.

Se tiene: Des-lgebra ssi A, B D A B D.DEMOSTRACIN. []Trivial (cf.1).[]Primero de todo notemos queD es un lgebra por (1,2,hip), cf. 1,lue-

go{Ak}nk=1 D nk=1Ak D. Sin embargo, para extenderlo a uniones nu-merables tendremos que usar (3), as que notemos tambin que una alternati-va ms inspiradora (ie, una va que use (3) en lugar de 1y que por tanto nospermita vislumbrar mejor el camino a seguir en el caso general) es la siguiente:A B = (A B) B = (A Bc) B(ie, la idea clave del asunto, que aparecercon frecuencia durante el capitulo, consiste en hacer disjunta la unin).

As, dado {Ak}k1 D, construimos:B1:= A1 DB2:= A2 B1 = A2 Ac1 D, de modo que B1 B2= A1

A2 Ac1

=A1 Ac1

A2= A2 = B1 B2 = A1

A2 Ac1

distr= (A1 A2)

A1 Ac1

=(A1 A2)

X= A1 A2, que es deDpor (3) pues coincide con la unin disjuntadeBi(o, alternativa y simplemente, porque Des un lgebra).99

k N, Bk:= Ak k1i=1Bi Dpues Des un lgebra y i < k, Bi Dpor HI o, alternativamente, porquei < k, Bi Ddisjuntos 2 a 2 por HI,ergo aplica (3). Por tanto, {Bk}kN D. Adems,kN, j


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1.5. EJERCICIOS 33

donde fnes borel-medible por19(pues flo es y las funciones constantes como 1ntambin),100 luego su lmite tambin por16.

EJE RC IC IO 50. Si f : (X,) (K, (K)), f es K-medible ssi|f| es K-medible?

DEMOSTRACIN. Preliminar1: Sin restriccin (cf. 17), podemos tomarK= R,luego fes K-medible ssi {f> a} .

Preliminar2: fes real-medible ssif+,fson real-medibles (con xX,f+ (x):=max(f(x) , 0),f(x):=max(f(x) , 0)). En efecto:

[]El mximo de funciones medibles lo es (cf.16), as como el opuestode una funcin medible y las funciones constantes (como cero), ergo fmedible implica f+,fmedibles.[] f = f+ f, luego f+,fmedibles implica fmedible (cf.19).

[

]Cierto, pues

|f

|= f+ + f(cf.19).

[]Falso. Contraejemplo: f = 1, xE1, x/E con E / . En efecto,|f| 1,que es medible, pero f+ = E, que no es medible (cf.15), luego ftampoco (por elpreliminar2).

NOTA . Recurdese de AM que cambiando K-medible por continua obte-namos el mismo resultado (si bien el contraejemplo era distinto).

EJE RC IC IO 51. Sea (X,, ) e.m., fn : X R medibles. Entonces A :={xX; {fn(x)}n es de Cauchy} .

DEMOSTRACIN. Recordamos que{fn(x)}nes de Cauchy ssi >0, n0N;

n, m

n0,

|fn(x)

fm(x)

|< ,ie,

> 0,

n0

N;supn,m

n0

|fn(x)

fm(x)

|0}semifinta

= y

s:=sup { (F) ; F FE}semifinta

> 0y veamos (por absurdo) ques = .

Sabemos de AM que{Fn} FE; (Fn) s. Sea, pues, F :=k1Fy Gn :=nk=1Fk. Se tiene: Gn G, con G =nGn =nnk=1Fk = F. Por tanto, (F) = (G)= l m (Gn)= l m (Fk)= s .

101 As,E FE

= F (E F) (E)= (F)+ (E F) = s+ (E F), luego s <

(E)0. Ahora bien, FF Ey FF (E Fc) F = (F F) = s+ (F) R>0, luego F F FE, lo que contradice (F F) >s.

HECHO. (fuente) Dado(X,, )e.m., sea 0: [0,] ; 0(E):=sup { (F) ; F FE}con FEcomo antes. Entonces:

1. 0es una medida semifinita2. 0= si es semifinita (por52).

3. = 0+ con : [0,] ; (E) :=

0, E S, E / S medida, dondeS

es la clase de de los conjuntos E de semifinitos por, ie, tq F E, (F) = F F; (F) R>0. Dicha medida no es la nica con imagen{0,}cumpliendo dicha igualdad.

1.5.4. Set-theoretic limit.(Para ms informacin, cf. [P2,1.2],W,PM)

DEFINICIN . (Caracterizacin de Chung) Sea {An}nN P(X). Se tiene:lmnAn :={xX:mN; nm, xAn}. En otras palabras, lmnAnson los puntos deXque pertenecen a casi todos los conjuntos de {An}n1,ie, a todos salvo, a lo sumo, un nmero finito (que, reindexando, podemossuponer sin restriccin que son los mprimeros).l mAn := {xX:IN; (#I= ) (iI, xAi)}. En otras pala-

bras, lmAnson los puntos deXque pertenecen a infinitos conjuntos de lafamilia {An}n1(y que posiblemente no pertenecen a otros tantos infinitosconjuntos de la familia {An}n1).

OBSERVACIN. lmnAnlmnAn. Pueden ser vacos.DEFINICIN . Si coinciden, diremos que la sucesin es convergente y escribi-

remos lmnAn.TEOREMA54. Sea {An}n1una sucesin de conjuntos. Se tiene:

l mAn =n1(knAk)101No recuerdo que Pau comentase nada al respecto, pero en cualquier caso no me parece del todo

evidente que lm (Gn )= lm (Fk), pues notemos que (Fk) Fk, y de ah el haber consideradolasGn. Lo nico que sabemos es que ambas son crecientes y que la primera crece a (F)y la segundaas. Ahora bien, n, (Gn ) (Fn) (F)s(tomando lmites) y n, (Gn )spuesGn FE(yaque n, FnE Fn Ey 0 < (F1) < (Gn)nk=1 (Fk)

k,(Fk)


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1.5. EJERCICIOS 35

lmAn =n1(knAk)

DEMOSTRACIN

. Cf. [P2,Teorema 1.2.1].

COROLARIO.

l mAnc

=l mAcny (l mAn)c =l mAcn.

PROPOSICIN55. Sea {An}n1una sucesin de conjuntos. Se tiene:1. Anl mnAn = l mnAn =n1An2. Anl mnAn = l mnAn =n1An

DEMOSTRACIN. 1.A knAk=k1Akl mAn:=n1(knAk)=n1(k1Ak)=k1Aky A knAk = Anl mAn :=n1(knAk)=n1An.

2. An Acn lmAn

c

=l mAcn =n1Acn =(n1An)c (e dem paralm). (Alternativa: por analoga a 1).

EJE RC IC IO . Calcular lm,lm deAn:=

( 1n , 1], n2N(1, 1n ], n/2N

.

DEMOSTRACIN. 1. Sea Bn := A2n y Cn := A2n1. Se tiene: Bn [0, 1] yCn (1, 0]. Por tanto,kAk = (kBk) (kCk) = [0, 1] (1, 0] ={0}. Dehecho,Bn n, knBk=k1Bk(e dem paraCk), luego n, knAk={0}n1 knAk={0}.

2.kn Bk = Bn yknCk = Cn (pues ambas son sucesiones decrecientes),luegoknAk = Bn Cn = (1, 1n ]( 1n , 1] = (1, 1]. Por tanto, lmAn =n=1

k=nAk

=n=1(1, 1] = (1, 1].

EJE RC IC IO . Calcular lm,lm de An := B1(cn) := zR2; d (z, cn) < 1elinterior de la circumferencia de radio 1 y centro cn :=

(1)n

n , 0

con la distancia

euclidiana (ie,d (p, q):=

ni=1(pi qi)2 sip , qRn).

DEMOSTRACIN. Sea Fn := A2n :=

(x,y) ;

x 12n2

+y2


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1.5. EJERCICIOS 36

NOTA . [P2] (desde despus de Teorema 1.2.5 hasta Teorema 1.2.13) da unadescripcin muy detallada de los lmites superiores e inferiores de sucesiones de

reales que conviene recordar. De ah en adelante lo extiende a sucesiones fun-cionales e introduce las funciones caractersticas para terminar estableciendo quel mAn =l mAn (e dem con lm, lm). Esto nos permite re-enfocar el ejercicio an-

terior de la siguiente manera: lmAn = C {(0, 1)} C{(0,1)} = l mAn =l mAn .

PREGUNTA. Sean {xn}n R, An:= (, xn]. Qu conexin hay entrel mxnyl mAn? Y cambiandol mporl m?

DEMOSTRACIN. 1. x lmAnChung

: xnk{xn} ; x (, xnk]. As,k, x xnk x lmkxnk lmn xn x (, lmxn]. Por otra parte, x

(, lmn xn)x


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1.5. EJERCICIOS 37

1.5.5. Conjunto ternario de Cantor.

NOTA . Para ms informacin, cf. [C1, 6.1],[TM1, 1.6.5], MMSD 2.1, SD (Haro),etc.

PREGUNTA. Existe un conjunto no contable de medida cero?

DEFINICIN . Sea K0 = [0, 1], K1 = [0, 1]

13 ,

23

=

0,13

23 , 1, K2 =

K1

19 ,

29

79 ,89 = 0,19 29 , 39 69 , 79 89 , 1, etc. Es decir, en cada

paso dividimos cada intervalo de Kjen tres partes iguales y sustraemos la de enmedio (dibujarK0, K1, K2para fijar ideas). EntoncesKn K, y llamamos conjuntoternario de Cantor aK.

Ms formalmente, si 1(x)= 13 x, 2(x)= 13 x +

23 , entonces Kn:=1(Kn1)

2(Kn1)conK0:=[0, 1].

NOTA . (Alternativa) SiIi,j:= i13j , i3j , entoncesK0:=[0, 1]=3ji=1 Ii,jy Kj =Kj1

3ji=1,i=2+3N Ii,j

= Kj1

3ji=1,i=2+3N Ici,j

= =j1l=0

3jli=1,i=2+3N Ici,jl

=

K0 j1l=0

3jli=1,i=2+3N Ii,jl

(dondeK0nos hace de universo). Es decir, dividi-

mos K0 en 3j partes iguales (para todo j) y quitamos las partes de en medio decada una de dichas particiones (ie, los indexados pori = 2 + 3N).

Problema: aunque ahora tenemos una formula explicita y no recursiva de Kj,hemos perdido mucho en intuicin (e.g., ahora no es evidente que Kj est com-puesto de 2j intervalos), por no mencionar que esta construccin es mucho ms

basta que la anterior en el sentido de que quitamos varias veces un mismo interva-lo (e.g., al sustraerI2,1ya estamos quitando tambinI5,2,I11,3,I14,3,I17,3,I29,4, . . . ).

103

OBSERVACIN. Por construccin (la primera),Knes la unin (disjunta) de 2n

intervalos cerrados (digamosKjncon j N [1, 2n]) de longitud

13

n, de modo

que|Kn| = 2nj=1

13

n=

13

n

2nj=1 1 =

13n 2n =

23

n 0 y, como Kn Ky|K1| < , tenemos que|K| = l mn |Kn| = 0. Por otra parte, Kn es un cerrado(en tanto que unin finita de cerrados), ergo Ktambin (en tanto que interseccinnumerable de cerrados). De hecho,Kes un compacto (puesKest acotado porK0y R es Hausdorff) no vaco (pues contieneKjn, nj, ie, los extremos de todos losintervalos deKnpara cualquiern).

LEM A. Sea x [0, 1], que podemos expresar en base 3 como iai 13i con ai {0,1,2}.104 Se tiene: xK {ai}iN{0, 2} ; x= iai 13i .

NOTA . En MMSD 2.1, pg. 18-23, se ilustra (grficamente) esto con gran detalle.DEMOSTRACIN. [](Por induccin completa) Trivial, pues

Caso1. a1 = 0. EntoncesxK11.105CasoI. a2 = 0. EntoncesxK12.

Caso a. etc.

103Aunque el segundo problema se podra arreglar restringiendo adecuadamente los ique indexanlos intervalos que sustraemos, esto no solucionara la primera y principal cuestin.

104Ntese que dicha expresin no es nica, e.g., 13 = 332 22 = 232 32

geom= 2

32 i0 13i = i2 23i, ie,

01=002 en base 3 (recordamos que en base 10 tenemos: 0 1=009= i2 910i, y similarmente con elresto de bases).

105Ntese que si a1 = 0, entonces x es, a lo sumo, i2 23i = 1

3 K11 (ie, el mximo del primerintervalo deK1), y como mnimo, i1 03i =0K11 .
http://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000192%5C00000060.pdfhttp://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000192%5C00000060.pdfhttp://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000192%5C00000060.pdfhttp://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000192%5C00000060.pdf


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1.5. EJERCICIOS 38

CasoI I. a2 = 2. EntoncesxK22.Caso a. etc.

Caso2. a1 = 2. EntoncesxK21.CasoI. a2 = 0. EntoncesxK32.

Caso a. etc.CasoI I. a2 = 2. EntoncesxK42.

Caso a. etc.

[]Por hip.,n, x Kn =2nj=1Kjn, luegonjn; x Kjnn. Tomando ahora an =2 (jn 1 mod 2)(ie, tomandoan = 0 si xpertenece a un intervalo a la izquierdade un intervalo sustrado en el pasonyan = 2 si es el derecho), hemos terminado

(pues con dicha eleccin nan 13n

[] nKjnn AM={x}).

PROPOSICIN. K es no-numerable.106Ms an, veremos que#K= # [0, 1].

DEMOSTRACIN. Seax[0, 1], que podemos expresar en base 2 comoj1bj2jconbj{0, 1} y en base 3 como i1ai3i conai{0,1,2}. Afirmo entonces quef :K[0, 1] ;i1ai3i i1 ai22i es biyectiva. En efecto:

1)x,y K,f(x) = f(y) i1 ai22i = i1ai22

i i, ai = ai x =y.107

2) y[0, 1] , xK;f(x)= y. En efecto, tomandox = i1 2bi3i, tenemosf(x)= ypor construccin. Adems, 2bi{0, 2}, luegoxKpor el lema.

NOTA . (Alternativa, por el argumento de la diagonal, demostracin no cons-tructiva por absurdo que slo nos acota #K) Supongamos que : N Kbi-yectiva. Entoncesn N, (n)= iani 13i con ani {0, 2}por el lema. Sea ahorax= ii

13i

coni =

0, aii = 22, aii = 0

. EntoncesxK(por el lema) perox /Imporconstruccin (pues es diferente a todo (n)), luegono es exhaustiva !!!

PROPOSICIN. K esperfecto,ie, todo punto de K es punto de acumulacin de K, ie,K coincide con su conjunto derivado o conjunto de puntos lmites, ie, K no tiene puntosaislados.

DEMOSTRACIN. SeaxKy veamos que {xn}K {x} ; lm xn = x .Caso1. xes extremo (derecho o izquierdo) de uno de los intervalos. As,n

n0, x

K

jn

n. Sea ahorax

nK

jn

n

{x}

(ie, el otro extremo del intervalo).

Entonces |xn x|= Kjnn =3n 0.Caso2. xes del interior de algn intervalo. As,n, jn; x

K

jnn

. Sea aho-

ra xn Kjnn K (ie, uno de los extremos del intervalo). Entonces|xn x|0.

106Ntese que es obvio que Kes no finito, pues contiene los extremos de lmn2n intervalos, ie, con-tiene al menos l mn2n+1 puntos.

107Ms explcitamente, el radio de convergencia de s (x) = jbjxj es como mnimo 1

l mnn1 =1 (si

todos losbjtoman su valor mximo), que es estrictamente positivo, luegobj = s(j)

(0)j! (cf. AM).
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_sethttp://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_sethttp://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_set


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1.5. EJERCICIOS 39

NOTA . (Alternativa) Seaxn tq coincide con xnicamente hasta la etapa n-sima. Es decir, six= iai

13i

con ai

{0, 2

}(cf. lema), sea entoncesxn = ni=1ai

13i

+

i>nbi13i

conbi =0, ai = 2

2, ai = 0. EntoncesxnK(cf. lema) y |xn x|= 13n+10.

PROPOSICIN. K = , ie, K no contiene intervalos.108

DEMOSTRACIN. (Por absurdo) (a, b)K=nKn n0; nn0, jn; (a, b)K

jn.

109 Ahora bien, 0 b a = |(a, b)| Kjnn = 3n 0 !!! (e dem para

(a, b], [a, b), [a, b]).De hecho, como ya vimos que|K| =0, podemos hacer directamente (a, b)

K|(a, b)|0a = b.

NOTA . (Alternativa) Seanx1 = iai3i

, x2 = ibi3i

Kcualesquiera, conai, bi{0, 2} por el lema. Sin restriccin,x1 < x2.Sea n:=mn {mN; am=bm},de modo que i < n , ai = b iy an= bn(ie,an =0 y bn =2, puesx1 < x2y a i, bi{0, 2}). Sea ahoray = n1i=1 ai 13i +1 13n + i>n0 13i / K. Se tiene:x1 < y < x2,luegoKno contiene el intervalo(x1, x2)y, comox1, x2eran cualesquiera, tenemosqueKno contiene ningn intervalo.

COROLARIO. Kc es denso en[0, 1], ie, Kc =[0, 1].

DEMOSTRACIN. K = (K)c = c, donde c =[0, 1]y(K)c =Kc.

COROLARIO. K estotalmente disconexo,ie, las componentes conexas de K son lospuntos, ie, los nicos subconjunt

Análisis Real y Funcional

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