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Análisis Matemático IIGuía de Ejercicios

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Haedo

Cátedra de Análisis Matemático II

Director de Cátedra: Agrim. Pedro Díaz

Profesores: Lic. Beatriz Fernández

Lic. María E. Trumbich

Dra. Andrea Saad

Ing. Oscar Buccolini

Auxiliares Docentes: Prof. Raúl Igne

Fabián Romero

Prof. Liliana Troncoso

Ing. Da Silva Daninheimer Alberto

Ing. Bassi Nicolás

Castagnola, Alexis

Edición 2009

Análisis Matemático II

Programa analítico

1ra Parte

Unidad 1:

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Formación de la ecuación diferencial.

Ecuaciones a variables separables. Trayectorias ortogonales. Ecuaciones

homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones

diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes (homogéneas y no

homogéneas)

Modelado con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

Unidad 2:

Introducción a las funciones de varias variables. Dominio. Curvas de nivel.

Límites reiterados y dobles. Continuidad. Derivada direccional. Derivadas

parciales. Teorema del valor medio. Curvas y superficies en coordenadas

paramétricas. Diferenciabilidad. Fórmula de la derivada direccional cuando la

función es diferenciable. Gradiente y su relación con la derivada direccional.

Unidad 3:

Funciones compuestas. Funciones implícitas. Sistemas de funciones implícitas.

2da Parte

Unidad 4:

Derivadas y Diferenciales sucesivas. Desarrollo en serie de Taylor. Extremos

libres. Extremos ligados (Método de los multiplicadores de Lagrange)

Unidad 5:

Integrales dobles – Volumen. Area alabeada. Integrales triples – Cambio de

variables. Aplicaciones físicas.

3ra Parte

Unidad 6:

Integral curvilínea. Teorema de Green. Función potencial (Teorema de existencia

de) Ecuación diferencial exacta. Factor integrante.

Unidad 7:

Divergencia, rotor y gradiente. Circulación. Integrales de Superficie – Flujo.

Teorema de Gauss. Teorema de Stokes.

Nota: En el sitio web de la cátedra http://ar.geocities.com/am2_utn se encuentran

documentos de interés tales como la referencia bibliográfica, la bibliografía evaluada, los

tutoriales en Mathematica y los ejercicios resueltos en Mathematica.

Esperamos les sean de utilidad y agradeceremos nos hagan llegar sus comentarios a

[email protected]

Guía editada por Fabián Romero.

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Haedo Cátedra de Análisis Matemático II

7

Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 1

Formación de la ecuación diferencial

1_ Exprese la ecuación diferencial asociada a cada una de las siguientes familias de curvas:

Ecuaciones diferenciales a variables separables

2_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) y

y ax

′ = con a œ �

b) 2(1 )x dy ydx+ =

c) 2xdyy yxe

dx++ =

d) 2 ; tal que ( 1) 1x y y xy y′ = − − = −

3_ Problemas de formación de ecuaciones diferenciales

a) Demuestre que la curva tal que la pendiente de la tangente en cada punto es

proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una parábola.

b) Halle una curva que pase por el punto (0; –2) de tal modo que el coeficiente

angular de la tangente en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto.

( ) ( )2

2 3

2 2

2 2

a) ln

b) sen cos

c)

d)

e)

x x

x a

y ax b

y a x b x

y ae be

y cx c

yx be ax

−

+

= += +

= += += +

8

Trayectorias ortogonales

4_ Halle la ecuación de la familia ortogonal asociada a la familia de curvas dada.

Represente ambas familias, en un mismo gráfico, para diferentes valores del parámetro c.

a) cyx =+ 2

b) 2axy =

c) cxy =

d) cyx 12 =

5_ Pruebe que la familia de parábolas y2 = 2cx + c2 (c ∈ �) es ortogonal a ella

misma.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

6_ Halle la solución de:

a) ( ) 0 y x dy y dx− + =

b) ( )2 2x 2 y dx xy dy+ =

c) cos cosy dy y

x y xx dx x

= −

d) 2 2x dy y dx x y dx− = −

e) ( )0; tal que 1 0y/x y/x y/xxe ye x xe y y′+ + − = =

Ecuaciones diferenciales lineales


a) 2 xy y e−′ + =

b) 3 x dy y dx x dx+ =

c) ( ) xeyxdx

dyx 313 −=++

d) xxxydx

dyx 23 23 −++=


9

e) ( ) 11 ;012 −==+−′ yx

yy

f) ( )2 2; 0 1y xy y′ − = =

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli


a) 2yx

y

dx

dy =+

b) ( )4ln3

dy yy x

dx x− =

c) 013 32 =−−−′ xayyy

d) ( ) ( ) ( )2cos

tg ; 0 1x

y y x yy

′ + = =

9_ Pruebe que la ecuación f(y/x)dx + g(y/x)dy + k xα (xdy – ydx) = 0 con α ∈ � se

reduce a Bernoulli con la sustitución z = y/x.

10_ Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando los métodos vistos.

a) yxyyxy ′=′+ 22

b) 42 xxyy =+′

c) ( ) ( ) ( )23 tg 2 sec 0x xe y dx e y dy+ − =

d) dyx

ydx

x

y

x 34

2

2

231 =

+

e) ( )1 1ye y− ′+ =

Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

11_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 023 =+′+′′ yyy

b) 025 =′+′′ yy

c) 096 =+′+′′ yyy

d) ( ) ( ) 20 ;10 ;0256 =′==+′+′′ yyyyy

e) ( ) ( )25 0; 0 1; 1 0y y y y′′ + = = =

10

f) 22 2y y y x′′ ′+ − =

g) y y x′′ ′+ =

h) 2 3 xy y y e−′′ ′− − =

i) ( )4 2sen 2y y x′′ + =

j) 33 2 x xy y y e e−′′ ′− + = +

k) ( ) ( ) ( )2 cos ; 0 0; 0 2 5y y x x y y /′′ ′ ′− = + = = −

l) 3 2 xy y y e x−′′ ′+ + =

m) ( ) ( ) ( )2 3 cos ; 0 0 0xy y y e x y y−′′ ′ ′− + = = =

n) 22 xy ky k y e x′′ ′− + = +

Modelado con ecuaciones diferenciales

12_ En los siguientes ejercicios plantee un modelo para resolver el problema y halle la

solución del mismo:

a) Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 180 °C. Después de 3 minutos, su

temperatura es de 120 °C. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura

ambiente de 22 °C?

b) Un termómetro se lleva del interior de una casa hasta el exterior, donde la

temperatura del aire es de 5 °C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 12 °C;

y, después de 5 minutos, marca 6 °C. ¿Cuál era la temperatura del interior de la

casa?

c) Los censos poblacionales en Estados Unidos de 1790 a 1950 aparecen en millones

en la siguiente tabla

Año Población1790 3,9291800 5,3081810 7,2401820 9,6381830 12,8661840 17,0691850 23,1921860 31,4331870 38,5581880 50,1561890 62,9481900 75,9961910 91,9721920 105,7111930 122,7751940 131,6691950 150,697


11

1. Con estos datos formule un modelo del tipo dP/dt = kP; P(0) = Po.

2. Forme una tabla donde se compare la población predicha en la parte 1) por

los censos de población. Calcule el error y el error relativo porcentual para

cada par de datos.

d) El aprendizaje humano es un proceso extremadamente complicado. La biología y

química del aprendizaje del aprendizaje están aún muy lejos de entenderse

completamente. Si bien los modelos simples del aprendizaje no abarcan esta

complejidad, sí pueden dar los aspectos limitados del proceso.

Este ejercicio se basa en un sencillo modelo del proceso de memorización de listas

(de número o letras)

El modelo se basa en la hipótesis de que la velocidad de aprendizaje sea

proporcional a la cantidad de material a aprender.

Sea A(t) la fracción de la lista ya aprendida de memoria en el tiempo t.

Entonces A = 0, corresponde a no saber nada de la lista; y, A = 1, corresponde a

saber toda la lista. La ecuación diferencial correspondiente sería:

dA/dt = k(1 – A); k > 0

A diferentes personas les toman cantidades de tiempo distintas para memorizar una

lista. De acuerdo con el modelo esto significa que cada individuo tiene su propio

valor de k.

Si además se tuviera en cuenta lo olvidadizo del individuo, la velocidad de

memorización podría modelarse con:

dA/dt = k1(1 – A) – k2A; k1 > 0; k2 > 0

Suponiendo que A(0) = 0. Halle para esta última ecuación A(t) y esboce su gráfica.

Determine el valor de A cuando t tiende a infinito e interprete su resultado.

e) Un hombre, situado en la terraza de un edificio, lanza una pelota de 0,2 kg de masa

verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. La pelota llega al suelo a

los 5 segundos de haber sido lanzada.

1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

2. ¿Qué altura tiene el edificio?

3. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo?

12

f) Se fija una masa de 20 Kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico

simple es 2/p oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es

la frecuencia del movimiento si la masa original se reemplaza por una de 80 Kg?

Escriba la ecuación del movimiento.

g) Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se

fija una masa de 50 Kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10

m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento, resuélvala y esboce su

gráfica.

h) Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC cuando L=0.25 h,

R=20 W y C=1/300 f. E(t)=0 V; q(0)=4 C e i(0)=0 A. Resuelva la ecuación del

modelo. ¿Es en algún momento la carga del capacitor igual a cero?

i) Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie

cuando L=1 h, R=2 W, C=0.25 f, E(t)=50cos(t) V


13


Funciones de varias variables

1_ Exprese analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones:

a) ( )2 2

1

14 9

f x, yx y

=

+ −

b) ( ) ( )2 2 1f x, y xy x y= + −

c) ( ) ( )( )

2 2ln 2

cos

y x yf x,y

yπ− −

=

d) ( )tg

xyf x,y

x

y

=

e) ( ) 2 2

3

4

2 4 2

xy

x y x

f x, y e x y

x y

∀ + ≥= ∀ + <− ∀ ≤ − ∧ < −

2_ Exprese analíticamente el dominio de ( ) 2 2 2

yzf x, y,z

x y z=

+ +

3_ Represente las curvas de nivel de las siguientes superficies:

a) 22 yxz +=

b) yx

z+

= 1

c) 22 yx

xz

+=

d) 22 yxez −=

e) ( )2 2ln 1z x y= + −

14

4_ Calcule, en el origen, los límites reiterados, radiales y dobles de las siguientes

funciones:

a) 2 2

2 2

3x yz

x y

+=+

b) 2 2

xyz

x y=

+

c) ( ) sen 1z x / y=

d) 2

2 2

xyz

x y=

+

e) 2 2

xyz

x y=

+

5_ Calcule los siguientes límites:

a) ( ) ( )

22lím yx

yx

,y,x ++

∞∞→

b) ( ) ( )

( )22

0,0,0 2lím yx

xyzsen

z,y,x +→

c) ( ) ( )

2220,0,0

lím zyx

yz

z,y,x ++→

6_ Estudie, en el origen, la continuidad de las siguientes funciones:

a) senx

zy

=

b) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 0 0

0 si 0 0

x yx, y ,

x yz

x, y ,

∀ ≠ +=

=

c) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2 0 0

0 si 0 0

xx, y ,

x y xz

x, y ,

∀ ≠ + −=

=


15

7_ Estudie el conjunto de discontinuidades de las siguientes funciones:

Derivada direccional – Derivadas parciales

8_ Aplicando la definición, calcule la derivada direccional de las siguientes funciones:

a) 2 2z x y= + ; en el origen, con j = 45°

b) 22z x xy y= + + ; en (x, y) = (1, 2) con j = 270º

9_ Aplicando la definición calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) ( ) ( ) ( ) en 1 1f x, y xy x, y ,= = −

b) ( ) ( ) ( ) en 5 0x y

f x, y x, y ,x y

−= =+

10_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) ( )232 yxz +=

b) ( )2 3sen 2z x x y= +

c) 2 2

2 2arctg

x yz

x y

−=+

d) yxz =

11_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones de 3 variables:

a) ( )lnu yz xyz= +

b) x z

y yu e e= +

3 22

2 2 2

2

1

a) b)

0

x yx y x y

x y x yz z

x y x x y

− ∀ ≠ ± ∀ ≠ − − += = ∀ = ± ∀ = −

16

12_ a) Si xy

x y

eu

e e=

+ verifique que ( 1)x yu u x y u′ ′+ = + −

b) Si ( )( )( )w x y x z y z= − − − verifique que 0x y zw w w′ ′ ′+ + =

13_ Sea la función ( ) t

rkett,rf 4

2

−= ; halle un valor de la constante k (k ∈ �) de tal

manera que f satisfaga la siguiente ecuación:

Diferenciabilidad – Aproximación lineal – Plano tangente 14_ Dada la función 2 22z x xy y= + − halle ∆z y dz. Evalúelos en (x, y) = (3, 3) con

∆x = 0,1 y ∆y = 0,2. Finalmente, calcule aproximadamente z(2,5; 2,7) y compare con su

valor exacto.

15_ Dada 2 2 3 2z x y xy x y= + − − , calcule aproximadamente z(1,9; 3,1) y compare con su

valor exacto.

16_ Halle, por cálculo directo, la diferencial de las siguientes funciones:

a) 1223 ++= yxyxz

b) ( )2senz x y=

c) ( )2lnu xyz=

17_ Encuentre el punto de la superficie z = 3x2 + 2y2 – 3x + 4y – 5 donde el

plano tangente es horizontal.

18_ Analice la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

( )r

fr

rf r

t ∂′∂

=′2

2

1

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 2

2

; , 0,0a) en 0,0

0 si , 0,0

b) 2 en 0,5

x

xyx y

x yz

x y

z x y e

∀ ≠ += =

= + −


17

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

3 3

2 2

; , 0,0c) en 0,0

0 si , 0,0

; , 0,0d) en 0,0

0 si , 0,0

x yx y

x yz

x y

x yx y

x yz

x y

∀ ≠ +=

=

− ∀ ≠ += =

Derivada direccional de una función diferenciable – Gradiente

19_ Halle por fórmula la derivada direccional de las siguientes funciones diferenciables,

halle el gradiente y verifique la propiedad que los relaciona:

a) 4 33z x xy y= − + ; en (x, y) = (1, 2) con j = 45°

b) ( )ln xz y x y= + ; en (x, y) = (1, 1) según la dirección y sentido del vector

3 4r i j= −⌣ ⌣�

.

20_ Calcule las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos

indicados.

a_ ( ) ( ), ; en 3;3 ,x yf x y xe+= − en la dirección de la normal a la curva 332 ++= xxy , en

el sentido del eje y positivo.

b_ ( ) ( )2 2, , ; en 1, 1, 3 ;

zf x y z

x y= −

+en la dirección y sentido del vector que dirige la

recta x = – 1 – 2t; y = 1 + t; z = 3 + 2t.

21_ Dada la función z = y ex; halle la dirección en la cual la derivada es máxima en el

punto (0, 3) y el valor de dicha derivada.

22_ Halle la derivada direccional de u = 2xy – z según la dirección y sentido del vector que

une los puntos P1 (2, –1,1) y P2 (3,1, –1) Halle el gradiente en P1 y verifique la propiedad

que lo relaciona con la derivada direccional. Por último, en qué dirección es máxima la

derivada direccional en P1 y cuál es dicho valor.

18

Curva dada por sus ecuaciones paramétricas

23_ Halle la recta tangente y el plano normal a las siguientes curvas:

Superficie dada por sus ecuaciones paramétricas

24_ Halle el plano tangente y la recta normal a:

Superficie dada por su ecuación implícita

25_ Halle el plano tangente y la recta normal a:

a) ( )2 2 2 14 en 1, 2, 3x y z+ + =

b) ( )2 22 2 1 0 en 1, 2, 3x xy y z+ + + + = − −

Curva dada como intersección de dos superficies

26_ Halle la recta tangente y el plano normal a:

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 5 14

a) en 1,1,1 b) en 1, 2, 33 2 0 6

x y z x y z

x y z x y z

+ + = + + = − − = + + =

2

3

2 en el punto

a) en 0 b) 3 1 donde la curva

2 corta al plano

t

t

x t e x t

y e t y t

z t z t yz

= = − = = = − = =

( )( ) ( )

cos

a) en 1 b) sen en , 1,2

2

x u vx u v

y u v u v y u v u v

z uv z u

π== +

= − = = = = = = −


19

Ejercicios integradores

27_ La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuación y2 = x2 – z2 y

z = x, es normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (1, 0, 1). Calcule aproximadamente

f(0,98; 0,01)

28_ Dada f(x, y) = 2yh(x), con h(x) derivable; determine el valor y la dirección de la

derivada direccional máxima de f(x, y) en (1,2) siendo h(x) solución de x h – (1 + 3x)h = 0,

con h(1) = e3.

29_ Sabiendo que la función f(x, y, z) es diferenciable y constante sobre cada recta paralela

a la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1); ¿cuál de las siguientes aseveraciones es

correcta?

i. ∂f/∂x = ∂f/∂y = ∂f/∂z = 1/

ii. ∂f/∂x = ∂f/∂y = ∂f/∂z = 1

iii. ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z = 0

iv. ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z = 1

v. Ninguna de las anteriores es correcta.

30_ Una curva C, ubicada sobre el paraboloide z = x2 + y2, se proyecta sobre el plano xy

como la recta de ecuación x + y = 0. Halle el punto de C en el que su recta tangente es

paralela al plano tangente a la superficie de nivel de f(x, y, z) = 2x2 + 6y3 + z4 – xy, en el

punto (1, 0, 1)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3


21


Funciones compuestas

1_ Halle la derivada de z respecto de t para:

a) 2 2 ,z x y= + siendo tx e

y t

=

=en t = 1.

b) z = e3x + 2y, siendo ( )

2

cosx t

y t

=

= en t = 0.

2_ Halle z r, z s y z t en (r, s, t) = (1, –1, 0), siendo z = 3x2 + xy – 2y2 + 3x – y con 2 3x rt s

y r st

= − = +

3_ Verifique que la función z = z(u,v) con u x at

v y bt

= + = +

satisface la ecuación

z t = a z x + b z y.

4_ Verifique que la función w = w(x/y, yz) satisface la ecuación x w x + y w y = z w z.

5_ Sea w = f(x + y; x – y), con derivadas parciales continuas respecto a u = x + y y

v = x – y. Pruebe que .

Funciones implícitas 6_ Dada la ecuación 2 3 2xyxy z ln y e x− + − = :

i. Determine todas las posibles funciones de dos variables que dicha ecuación

definiría implícitamente.

ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto

(x, y, z) = (0, 1, 1)

iii. Calcule las derivadas parciales de las funciones obtenidas en ii.

( ) ( )22vuyx ffww ′−′=′′

22

7_ Si las siguientes ecuaciones definen implícitamente z = z(x, y), calcule sus derivadas

parciales y evalúelas en el punto dado.

a) xy + yz + zx = 1 en (0, 1, 1)

b) ( ) 2 32sen 3 0

2xye y xz z z x− + + + + = en (2, 0, –1)

c) 2 2 24 9 16 0x y z+ + − = en (3, 0, 1)

8_ Calcule dz/dy, siendo z = x3 – 3x, una función de y, a través de la ecuación x3 + xy =1.

9_ Si u = ln(z)/z es una función de x e y a través de la ecuación 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ − = , calcule

u´x y u´y en (x, y) = (a, b)

10_ Calcule dz, siendo z = sen(x y z) + 3x – 1.

Sistemas de funciones implícitas

11_ Dado el sistema 2 2

2 2

2 3 0

0

u v x y

uv x y

− + + =

+ − =:

i. Compruebe que en un entorno del punto ( ) ( )0 0 0 0 5 5 5 0x ,y ,u ,v , , ,= − − , define

implícitamente al sistema ( )( )

x x u,v

y y u,v

=

=

ii. Calcule en ese punto x´u e y´v.

12_ Dado el sistema ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2sen cos sen 2

2cos cos cos 1 2

x y z

x y z

− =

− + =

:

i. Determine todas las posibles parejas de funciones de una variable que puede

definir implícitamente.

ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto

(π/4, 0, 0)

iii. Calcule las derivadas de las funciones obtenidas en ii.


23

13_ Calcule z x en (x,y) = (1, 1) siendo z = u – v2 + 2, una función de x e y, a través del

sistema 1 0

0

ue v x y

u cos v xy

+ − + − = + − =

que define implícitamente a ( )( )

u u x, y

v v x, y

=

= .

14_ El sistema 3 2

2 3 5

xy uv

x y u v

− = − + − + =

define ( )( )

x x u,v

y y u,v

=

= en (x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1); tal

que 2 4

0

u vz t

uv zt

+ + = − =

define ( )( )

u u z,t

v v z,t

=

= en (u,v,z,t) = (1, 1, 1, 1) Halle x´t e y´z.

Ejercicios integradores 15_ Demuestre que las superficies 2 2 24 4 4x y z+ − = y

2 2 2 6 2 6 10x y z x z y+ + − + − = − son tangentes en el punto (2, 1, 1)

16_ Verifique que el elipsoide 2 2 22 7x y z+ + = y el cilindro parabólico 2 4y x= se

cortan ortogonalmente en el punto (1, 2, 1)

17_ ¿Es el vector (4, 6, 3) normal a la superficie del elipsoide 2 2 2

39 4 16

x y z+ + = en el

punto (3, 2, 4)?

18_ Encuentre el punto de la superficie z = xy donde la recta normal es paralela a

la recta x = 2 – 6t; y = 3 – 12t; z = 2 + 3t.

19_ Pruebe que las superficies x2 – 2y2 + z2 = 0 y xyz = 1 son ortogonales en todo

punto de intersección.

20_ Sea f una función derivable tal que f(x, y, z) = 0. Sabiendo que f define implícitamente

y = y (x, z) y que las derivadas parciales de f son iguales y no nulas. Entonces puede decirse

que:

i. ∂2y/∂x2 = 0

ii. ∂2y/∂x2 = ∂y/∂x

iii. ∂2y/∂x2 = – ∂y/∂x

iv. ∂2y/∂x2 = cte (distinta de cero)

v. Ninguna de las anteriores es correcta

24

21_ Demuestre que el plano tangente a la superficie del elipsoide 12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

puede escribirse de la forma 12

o2

o2

o =++c

zz

b

yy

a

xx; en el punto (xo; yo; zo)

22_ Sea u�

un vector tangente en (–2, 0, –2) a la curva 2

4

0

x z

y x z

= − − − + =

. Indique si u�

es o

no una dirección de derivada nula de z = z(x, y) definida por 4x3 – 6xy2 + 1 + ez = 2xz2, en

Po (1, 1, 0)

23_ Sea g: �2→� una función derivable; y f, otra función, definida por

( ) ( ) ( )( )= ;f x, y g g x, y g x, y Entonces, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es

correcta?

i. ∂f/∂x = ∂f/∂y

ii. ∂f/∂x + ∂f/∂y > 0

iii. Si Grad g ≠ 0 entonces Grad f ≠ 0

iv. Si ∂g/∂x + ∂g/∂y ≡ 0 entonces ∂f/∂x + ∂f/∂y ≡ 0

v. ∂f/∂x = ∂g/∂x

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


25


Derivadas y diferenciales sucesivas

1_ Calcule las siguientes diferenciales sucesivas:

a) 2 3d y d si cos( )xz z z e y= .

b) 2 2 2 2Calcule d , siendo una función definida implícitamente por 1z z x y z+ + =

2_ Si f(x, y) = y2 sen(x), tal que y = ex.; halle d2f.

3_ Calcule d2w, si w = et; siendo t = x + y2.

Fórmula de Taylor

4_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor en el entorno del punto (π/2, π/2) hasta los

términos de tercer orden la función z = sen(x + y)

5_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor el polinomio 3 2 1x x y+ + en potencias de

( ) ( )1 y 1x y+ −

6_ Conociendo el valor de la función arctgx

zy

=

en el punto (1, 1), aproxime mediante

un polinomio de segundo grado el valor de la función en el punto (1, 05; 1,07)

7_ Acote el error que se comete al aproximar sen 31° + 2,2–2 con un polinomio de primer

grado.

8_ Desarrolle mediante la fórmula de Maclaurin la función f(x, y) = cos (x + y)

26

Extremos libres

9_ Halle los extremos libres de las siguientes funciones:

a) 3 3 3 12 20z x y x y= + − − +

b) 4 4 2 22 4 2 z x y x xy y= + − + −

c) 2 4 3 23 4 12z x y y y= + − −

d) 2 2 2 4x y z+ + =

10_ Para hallar los extremos relativos de la función U = F(x, y, z), sujeta a la

condición z = f(x), ¿cuál de las siguientes condiciones es necesaria?

i. ∂F/∂x = ∂F/∂y = ∂F/∂z = 0

ii. ∂F/∂x = ∂F/∂y = ∂F/∂z df/dx = 0

iii. ∂F/∂x = ∂F/∂y = ∂F/∂z = df/dx = 0

iv. ∂F/∂x + ∂F/∂z df/dx = 0

v. ∂F/∂x + ∂F/∂z df/dx = ∂F/∂y = 0

Extremos ligados

En los siguientes ejercicios halle los extremos ligados utilizando el método de los

multiplicadores de Lagrange y verifique con la diferencial segunda.

11_ a) 2 2 con 8z x y x y= + + = .

b) 1 4 9

con 12; 0 0 y z 0.u x y z x , yx y z

= + + + + = > > >

12_ Divida 1200 en 3 sumandos positivos tales que su producto sea máximo.

13_ Halle los extremos de 2 3 con 6; 0 0 0u xy z x y z x , y y z= + + = > > > .

14_Calcule las dimensiones de una caja rectangular (con tapa) de capacidad máxima y

superficie igual a 216 cm2.

15_ Halle la distancia (mínima) de a) origen a la hipérbola x2 + 8xy + 7y2 = 225

b) del punto (0, 0, 1) a la recta x = y = z


27

16_ Dada la familia de conos de base circular, cuyo radio de base más altura es igual a seis,

halle las dimensiones de aquél cuyo volumen sea máximo.

17_ Demuestre mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, que un

triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máximo.

Ejercicios integradores

18_ Analice los puntos críticos de f(x, y) si Grad f = (h(x) + 6xy – 2y – 3; 3x2 – 2x – 1)

donde h es la solución particular de 13

2

hx h

x−′

+ = − que pasa por (1, 15)

19_ Sea n la recta normal a la superficie dada por z = xy – y en P (1, –1, z(1, –1)) Halle el

punto de n más cercano a la curva g(t) = (–2; 3t – h(t); t); siendo h la solución particular de

tdh + (3t – 2h)dt = 0 con h(1) = 0.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


29


Integrales dobles

1_ Dibuje el dominio, invierta el orden de integración y resuelva (cuando sea posible):

a) ( )0 0

Pi xI f x,y dydx = ∫ ∫

b) 4 2 2

1 xI x y dydx = ∫ ∫

c) 32

12

y

yI xy dxdy= ∫ ∫

d) ( )ln 8 ln

1 0

y x yI e dxdy+= ∫ ∫

e) ( )sen

0 0

xI y dydx

π= ∫ ∫

Área por integrales dobles

2_ Calcule el área (plana) de los recintos delimitados por:

a) 4

0; 0 y 43

x y y x= = = −

b) ( ) ( ) sen ; cos y 0 (1 cuadrante)y x y x x= = = °

Volumen por integrales dobles

3_ Determine el volumen delimitado por:

a) x = 2; y = 3; z = x + y

b) x + 2y + z = 2; x = 2y; x = 0, z = 0 c) 2 8 ; 2; 0y x x z z= + = =

d) 2 2 4; 0; 4x y z z x+ = = = +

e) 2 2 9; (1 octante)x z z y+ = = °

30

4) Área de superficie alabeada a_ Calcule el área de la superficie dada por z = x + y delimitada lateralmente por

22 1

4

yx + = en el primer octante.

b_ Calcule el área de la superficie cilíndrica ( )2 21 9x y− + = comprendida entre los planos

z = 0 y z = 4, en el primer octante.

c_ Calcule el área de la zona esférica perteneciente a 2 2 2 25x y z+ + = comprendida entre

los planos z = 2 y z = 4.

Integrales triples – Cambio de Coordenadas

5_ Calcular el volumen de los siguientes cuerpos, empleando las coordenadas indicadas:

Coordenadas cartesianas:

a) Cuerpo delimitado por z = 2; z = 2 + x + y; x + y = 2; x = 0 e y = 0. b) Cuerpo delimitado por 1 2; 0; y 2.x y z y z y≤ ≤ = = + =

Coordenadas cilíndricas:

c) Cuerpo delimitado por el cilindro dado por x2 + y2 = 9; z = 0 y x + y + z = 5.

d) Cuerpo limitado por el paraboloide dado por z = 2x2 + y2 y el cilindro parabólico

dado por z = 4 – y2.

e) Cono circular de altura igual a 2 y radio de base igual a 4.

Coordenadas esféricas:

f) Esfera de radio igual a 1.

g) Cuerpo común al hemisferio dado por 2 2 2 4

0

x y z

z

+ + ≤ ≥

y al cono de rotación con

eje coincidente con el eje z, vértice en el origen y abertura igual a Pi/6.


31

6_ Calcule lo que se indique empleando las coordenadas más convenientes:

a) momento de inercia respecto del eje z del anillo homogéneo dado por 2 24 9 y 0 1x y z≤ + ≤ ≤ ≤ .

b) momento estático respecto del plano yz, del cuerpo homogéneo delimitado por z = 2;

y = 0; z = 2 + x y x + y = 2.

c) masa del cono circular recto dado por 2 22 4z x y≤ ≤ − + con densidad proporcional a

la distancia al eje z.

d) coordenadas del centro de masa del cuerpo delimitado por z = 4 – x2; z = 0; y = 0 e

y = 6; siendo la densidad proporcional a la distancia al plano y = 0.

e) Área de la porción de superficie cilíndrica x2 + y2 = 3x; interior a la esfera 2 2 2 9x y z+ + = .

f) Área sobres el plano x + z = 2; delimitado por (y – 2)2 + (x + 1)2 = 4; en el primer

octante.

g) Volumen delimitado por x2 + y2 + (z – 1)2 § 4; 2 21z x y≥ − + .

7_ Determine los momentos de inercia respecto de los 3 ejes cartesianos de la

pirámide homogénea que se muestra en la siguiente figura:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

z

x

y

a

b

h


33


Integrales curvilíneas

1_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas:

Cálculo de áreas mediante integrales curvilíneas 2_ Calcule el área delimitada por:

( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

a) los lados del trapecio de vértices 1, 0 ; 3, 0 ; 0, 3 y 0,1

93

b) ; siendo 0 1 y 0 1

0

2 3 6c) ; siendo y

0 2 0 2

y xy x

C c c c x cx

y

y x x y x xC c c c c

x x

=== ∪ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

= − = −= ∪

≤ ≤ ≤ ≤

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

2 2

a) 1 2 ; siendo :

i. el segmento que va del punto 0, 0 al 1,1

ii. el arco de curva dado por ; desde el punto 0, 0 al 1,1

b) ;

c

y dx x y dy C

y x

xdx ydy

x y

+ + +

=++

∫

1 2 3

2 2

2

1 2 3

siendo una circunferencia de radio unitario y centro en el origen,

en sentido antihorario.

c) ; siendo ; donde:

0 1; ; 1 2

0

c

c

C

xdy ydx C c c c

y x yy x

c x c cx

y

− = ∪ ∪

= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

∫

∫

( ) ( )

21 2 1 22

8

0 2

0

en sentido positivo.

0 1 1d) ; siendo ; donde ;

0 1

desde el punto 1, 0 al 1, 1

c

x

x

y

x xx ydx ydy C c c c c

yy x

= ≤ ≤ ≥

≤ ≤ = + = ∪ ≤ ≤=

−

∫

34

Teorema de Green en el plano

3_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green.

a) C

dx dy

y x+∫� ; siendo 321 cccC ∪∪= :

1 2 3

1 1 2; ;

1 4 4 1 4

y y y xc c c

x x x

= ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤

4_ Compruebe el teorema de Green en el plano para:

Función potencial – Ecuaciones diferenciales exactas

5_ Determine si las siguientes expresiones diferenciales son exactas, en caso afirmativo,

halle la función potencial correspondiente.

( )

( )

2 3

1 2 1 2

1 2 3

1 2 3

b) ; siendo ; ; 0 1 0 1

c) ; siendo ;

2 4 2 0 ; ;

0 1 0 1 0 2

c

c

y x y xydx x y dy C c c c c

x x

y x dx ydy C c c c

y x y x yc c c

x x x

= =+ − = ∪

≤ ≤ ≤ ≤

− + = ∪ ∪

= = − = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

∫

∫

�

�

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 3

2

1 2 3

2 3 2

a) ; siendo

0 4 4 ; ;

0 4 0 4 0 4

b) 2 ; siendo el contorno del cuadrado de vértices 0, 0 ;

2, 0 ; 2, 2 y

c

c

x y dx y dy C c c c

y x y xc c c

x y x

x xy dx y xy dy C

− + = ∪ ∪

= = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

− + −

∫

∫

�

�

( )0, 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2 2

a) 2 2

b) 3 2 4

c)

d) z

e)

y xy dx xy x dy

xy dx x xy dy

ycos x dx sen x dy

cos x yz ycos x dx zx sen x dy sen x yx dz

x yz dx y xz dy xy dz

+ + +

+ + −

+

+ − + − + +

− + − +


35

6_ Determine si los siguientes campos son conservativos. En caso afirmativo, halle el

potencial del campo.

7_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones exactas:

Ecuaciones reducibles a exactas – Factor integrante

8_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones:

9_ Halle el factor integrante de la ecuación ( ) ( )2 23 y 2 3 0; x dx y y x dy− + − = el cual es

de la forma ( )2yxµµ += y resuélvala.

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

c) 1 0

d) 1 0

y ye cos x dx e sen x dy

dx x dy

yx y x y

+ + =

+ − = + +

( )2 2

2 2

a) V= 2

b) V=

c) V=

ˆ ˆx y i xyj

ˆ ˆyi xj

x yˆˆ ˆyzi xzj xyk

− −

− ++

+ +

�

�

�

( ) ( ) ( ) ( )

( )

a) 0

3b) ; 0 0

1

y cos x sen y dx xcos y sen x dy

x yy y

x y

+ + + =

+ −′ = =− +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

2 2

22

2

2 2 2 2

a) 1 0

b) 1 0

cosc) tg cos sen cos 0

cos

d) 2 2 0, con el factor integrante .

y dx xy dy

x y dx x y x dy

x y y x dx x x x dy

y

x xy y dx x xy y dy µ x y

+ + =

− + − =

− + − =

− + − − + = = −

36

10_ Para la ecuación ( ) ( ) ( )sen 2 cos 2 cos 0xy x y x dx x x dy− + + = :

a) pruebe que no es exacta

b) halle un factor integrante y obtenga la solución que pasa por el punto (1, 1)

c) pruebe que m(x, y) = xy, es también un factor integrante de la ecuación dada

d) resuelva la ecuación con este último factor y halle la solución particular que

pasa por el punto (1, 1)

e) ¿qué puede decir acerca de las soluciones obtenidas en b) y d)?

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


37


Gradiente, divergencia y rotor – Operador Nabla

1_ Calcule el gradiente de los siguientes campos escalares:

2_ Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales:

3_ Halle el rotor de los siguientes campos vectoriales:

4_ Si ( ) ( )3 2 2, 2 , 1V axy z a x a xz = − − − �

; para que valor de “a”, V�

es irrotacional (es

decir, el rotor del campo es nulo)

5_ Determine la constante “a” de manera que el vector ( ) ,2,3 az xz yyxV +−+=�

sea

solenoidal (es decir, la divergencia del campo es nula)

6_Siendo BA��

y dos funciones vectoriales y ϕ y ϑ dos funciones escalares pruebe que:

( )( )

2 3 2

2

a) 3 en el punto 1, 2, 1

b) 2 4 en el punto 2, 2, 3

u x y y z

u x y xz

= − − −

= + − −

( ) ( )( ) ( )

2

3 2 4

a) , 2 , 2 en 7, 0, 7

b) , 2 , 2 en 0, 0, 1

V x y xz yz

V xz x yz yz

=

= −

�

�

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 3 2

a) 2 , , 3 en 1, 2, 1

b) 3 , 2 , en 1, 2, 3

V x z xy z yz

V xyz xy x yz

= − − −

=

�

�

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) 2

a)

b)

c) 0

d)

e) 0

f)

A B A B

A B B A A B

A

ϕ ϑ ϕ ϑ

ϕ ϑ

ϑ ϑ

∇ + = ∇ + ∇

∇ ⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ ⋅

∇× ∇ + =

∇ ⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇×

∇ ⋅ ∇× =

∇ ⋅ ∇ = ∇

� ��

�

� � ��

�

38

7_ Siendo F�

un campo vectorial y f y g dos funciones escalares, pruebe que:

a) ( ) ( )2 2 rotF F F F F F∇ ⋅ = ⋅∇ + ×� � � � � �

b) ∇2 ( f g ) = f ∇2 g + g ∇2 f + 2 ( ∇f ÿ∇g )

Circulación

8_ Siendo 2 2(3 6 , 14 , 20 )V x y yz xz= + −�

, calcule la circulación a lo largo de la curva C

dada por: a) 2

3

; 0 1

x t

C y t t

z t

= = ≤ ≤ =

; b) intersección de los planos z = x + y; y z + y = 4,

en el primer octante, en el sentido positivo del eje x.

9_ Halle el trabajo necesario para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado por

(3 , 5 , 10 )F xy z z= −�

a lo largo de la curva intersección entre z = x2 + y2 y z + x = 1; en el

primer octante, desde el punto intersección de la curva con el plano y = 0 al punto (0, 1, 1)

10_ Un ciclista sube una montaña (representada por la ecuación 2Pi (x2 + y2) + z = 2Pi ) a

lo largo de una curva; intersección de esa superficie con una superficie helicoidal, dada

por x = r cos(t); y = r sen(t); z = t/2 (0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ t ≤ 4Pi) tal como se ve en la figura.

¿Qué trabajo realiza el ciclista al ir desde la base A hasta la cima B, si la fuerza

impuesta responde a F = (kz, 3y2, 2x)?

¿Para qué valor de k el campo es conservativo? Es decir, la integral sólo depende de los

límites de integración y no del camino.

¿Si el campo fuese conservativo, cómo calcularía el trabajo?

A (1; 0; 0)

B (0; 0; 2 Pi)

xy

z


39

Integrales de superficie

12_ La superficie de una montaña responde a la ecuación 222 4Rzyx =++ .

Sobre una de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según se

muestra en la figura de la siguiente página. La temperatura que irradia la superficie del

terreno viene dada por:

2 2 2( ; ; ) 3 ( ) 16T x y z x y R z= + − + .

Se define , la función densidad de flujo de calor, como: TkV ∇−=�

, donde k es una

constante.

Calcule el flujo de a través de la superficie de contacto entre el restaurante y la

montaña.

( )( ) 2 2

11 Calcule el flujo del campo a través de la superficie dada:

a) , 2 , ; : 2 6; delimitada por 4, en el 1 octante.

b) 6 , 2 , ; : 9; delimitada por 8

_ V S

V y x z S x y z

V z x y x S x z y

= − + = = °

= + − + = =

�

�

�

( )( )( )

2 2 2 2

2 2

2

, en el 1 octante.

c) , , ; : ; delimitada por = 0 y = .

d) 1, , ; : superficie del cubo de lado 2 , centrado en el origen.

e) 0, 0, ;

V x xy xz S x y a z z b

V y z x z S a

V xy y

°

= + =

= + −

= +

�

�

� : superficie de la esfera centrada en el origen de radio unitario. S

V�

V�

z

y

x

40

Teorema de Gauss – Ostrogradski (o de la divergencia)

Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Gauss-Ostrogradski.

13_ Flujo de ( )22 , , 3V xy z y x y= + −�

a través de la superficie (cerrada) formada por

2x + 2y + z = 6 y los planos cartesianos.

14_ Flujo de 4

( , , 0)V z x yπ

=�

a través de la superficie (cerrada) formada por x2 + y2 = 1;

z = 10 y los planos cartesianos, en el 1° octante.

15_ Verificar el resultado del ejercicio 11 e.

3 2 2

16_ Verificar el teorema de la Gauss-Ostrogradski para:

a) ( ) a través de la superficie (cerrada) delimitada por 4,

b) ( 0) a través de la superfic

V x, y,z x x y z

V x y, x z y,

= = = +

= − −

�

�

( )

2 2

2 2

ie (cerrada) delimitada por 0

= 1; y = 1

c) a través de la superficie (cerrada) formada por 9

2; ; 0 y 0 (4 octante)

y ;

x z .

V ax, by, cz y z ;

x z y x y

=+

= + == = − = = °

�

Teorema de Stokes (o del rotor)

Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Stokes

( )

( )

17_ Calcular la circulación de 2 1 a lo largo del cuadrado de vértices (0, 0, 3),

(0,1, 3), (1, 0, 3) y (1,1, 3)

18_ Calcular la circulación de alrededor de la curva borde d

V y, x,

V z x, xy, z

= −

= −

�

�

( )( )

2 2

2 2

2

e la superficie

4 limitada por el plano 2

19_ Calcular la circulación de 2 1 alrededor de la curva x 3,

20_ Calcular el flujo del campo rotor de 2 sen

z x y z

V y, x , y z y

V xyz, x y

− = + =

= − + = =

=

�

�

( )( )2 2

ln a través de la superficie

4 (en el 1 octante) l imitada por los planos cartesianos y el plano

, z

x y z x+ = ° =


41

21_ Verificar el teorema de Stokes en los siguientes ejercicios:

( )

3 33 2 2 2 2

2 2

2

a) ( ) a través de 1; 0.3 3

b) ( 2 ) a través de = 1 delimitada por = 0; = 0; ( 1) ( 1) 1

c) a través de la superficie helicoidal

y xV z , xz , y x y z z

V xy, , z x z x y x y

V x, x y, z

= + − + + = ≤

= − + − + − =

=

�

�

�

( )( )

dada por

cos

sen 0 Pi; 0 Pi;

x u t

y u t t u

z t

=

= ≤ ≤ ≤ ≤ =


43

Respuestas a los ejercicios

Unidad 1

Ej 1 a) ( )( )2y y x y y y′ ′′ ′= − ; b) 0y y′′+ = ; c) 6 0y y y′′ ′+ − = ;

d) ( )222 4y yy x y y′′ ′ ′= + ; e) ( )2

2

2 2 1

yx y x y y x y y x y

x x x

′ ′ ′′− − + − −=− −

Ej 2: a) ay x c= ± , c > 0; b) ( )2 arctany x c= + ; c) ( ) 2ln 1 xy x e x c+= − − + ;

d) 1xce

yx

−−

= ; Ej 3: b) xy ce= , c > 0

Ej 4: a) 2y x c= + ; b) 2

2

2

xy c+ = ; c) 2 2y x c− = ; d)

22

2

xy c− =

Ej 6: a) lnx

ycy

− = ; b) 2 2xc x y= − ; c) sin lny

x cx

= − +

;

d) arcsin lny

x cx

= +

; e) 1 2y

xe x+ = ±

Ej 7: a) 2x xy e e c− −= + ; b) 3

4

x cy

x= + ; c)

33

xx e c

y ex

−−= + ;

d) ( )2

3 2ln2

xy xc x x x

= + + −

; e) 22y x x= − ; f)

33

xx e c

y ex

−−= + ;

f) ( )( )2

1xy e erf xπ= + ; Ej 8: a) ( )( )

1

lny

x c x=

−; b)

( )( )2/3 1/3

1/32 2

2

3 4 6 ln

xy

x c x x=

+ −;

c) 1/3

2

1 axa axy e c

a

+ + = − +

; d) ( ) ( )2 22 cos cosy x x c x= ± +

Ej 10: a) ln lny y

x cx x

= + + ; b) 2

2 xy e c−= + ; c)

32

2

xe ytg

c

− =

;

d) 2 3y x x c= ± − + ; e) ( )ln 1 x cy e += − −

Ej 11: a) 21 2

x xy e c e c− −= + ; b) 251 2

1

25xy e c c−= − + ; c) 3 3

1 2x xy e c xe c− −= + ;

d) ( ) ( )( )314cos 4 5sin 4

4xy e x x−= + ; e) ( ) ( ) ( )cos 5 cot 5 sin 5y x x= − ;

f) ( )2 21 2

13 2 2

2x xy x x e c e c−= − − − + + ; g)

2

1 22xx

y x e c c−= − + − + ;

h) ( ) 31 2

11 4

16x x xy e x e c e c− −= − + + + ; i) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

14 2 cos 2 1 8 sin 2

8y x c x c x= − − + + ;

j) 3 21 26

xx x xe

y e e c e c−

= + + + ; k) ( ) ( )( )2 213 5 10 10 8cos 16sin

40xy e x x x x= + − − − − ;

44

l) ( )2 21 2

12 2

2x x xy e x x e c e c− − −= − + + + ;

m) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 215cos 5 cos 2 4sin 7 2 sin 2

41x x xy e x e x x e x−= − − + ;

n) ( )

( )1 22 3

2

1

xkxe kx

y e c c xkk

+= + + +−

Ej 12: a) cuando t= 50, T=22.05; b) 16.4;

c) 0.03013.929 tP e≅ ;

d) ( ) ( )( )1 21

1 2

1 k k tkA t e

k k− += −

+;

f) ( ) ( ) ( ) ( )100 150 100 150sin cos ; cos sin

13 13 13 13q t t i t t= + = − ;

g) 320; 1/ ; 16 0k f x xπ ′′= = + = ; ( ) ( )5sin 2x t t= − , x es positivo cuando

se estira el resorte, ; h) ( ) ( )4cos 35.8q t t= , sí

Unidad 2

Ej 1 (se da sólo la respuesta analítica): a) D = {(x, y) œ �2 / 2 2

14 9

x y+ > };

b) D = {(x, y) œ �2 / ( ) ( )2 2 2 20 1 0 0 1 0xy x y xy x y≥ ∧ + − ≥ ∨ ≤ ∧ + − ≤ };

c) D = {(x, y) œ �2 / ( )22 1 1 1/ 2x y y k+ − < ∧ ≠ + };

d) D = {(x, y) œ �2 / 02

xxy k

y

π≥ ∧ ≠ };

e) D = {(x, y) œ �2 / ( )2 23 4 4 2y x x y x y+ ≥ ∨ + < ∨ ≤ − ∧ < − }

Ej 2: D = {(x, y, z) œ �3 / 0 0 0x y z≠ ∧ ≠ ∧ ≠ }

Año t Población Población Predicha (PD) Error = P - PD % de error rel.= (P - PD)/P x 1001790 0 3.929 3.929 0.000 0%1800 10 5.308 5.308 0.000 0%1810 20 7.240 7.171 0.069 1%1820 30 9.638 9.688 -0.050 -1%1830 40 12.866 13.088 -0.222 -2%1840 50 17.069 17.682 -0.613 -4%1850 60 23.192 23.888 -0.696 -3%1860 70 31.433 32.272 -0.839 -3%1870 80 38.558 43.599 -5.041 -13%1880 90 50.156 58.901 -8.745 -17%1890 100 62.948 79.574 -16.626 -26%1900 110 75.996 107.503 -31.507 -41%1910 120 91.972 145.234 -53.262 -58%1920 130 105.711 196.208 -90.497 -86%1930 140 122.775 265.074 -142.299 -116%1940 150 131.669 358.109 -226.440 -172%1950 160 150.697 483.798 -333.101 -221%

0 1 2 3 4 5 6-6

-4

-2

0

2

4

6

tiempo @seg D

desp

laza

mie

nto@

mD


45

Ej 3: a) b) c)

d) e)

Ej 4: a) 1 21, 3 no existe L L L= = => ; b) 2

1 2 20, 0, no existe

1R

mL L L L

m= = = =>

+;

c) 1 20, no existe, 0, 0RL L L L= = = ; d) 1 20, 0, 0, no existe RL L L L= = =

e) 1 20, 0, 0, 0RL L L L= = = =

Ej 5: a) L = 0; b) L = 0; c) no existe

Ej 6: a) Discontinuidad evitable en (0, 0); b) Continua en (0, 0); c) Discontinuidad

evitable en (0, 0)

Ej 7: a) Discontinuidad en todos los puntos de las rectas y = ≤x;

b) Discontinuidad en todos los puntos de y = –x2 salvo en (0, 0) en que es continua

Ej 8: a) 2 ; b) 2

2; Ej 9: a) 1, 1x yf f= − = ; b) 0, 2 / 5x yf f= = −

Ej 10: a) 8 12 , 12 18x yz x y z x y= + = + ;

b) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 22 1 3 cos 1 2 , 2 cos 1 2x yz x xy x xy z x x xy= + + = + ;

c)

( )

2 22

2 2

3 2 2 22 2

2 2

,x y

x yy

x y yz z

x xy x yx y

x y

−+

= = −− − +

+

; d) ( )1 , lny yx yz x y z x x−= =

Ej 11: a) 1 1 1

, ,x y zu u z u yx y z

= = + = + ; b) / / / /

2, ,

x y x y z y z y

x y z

e e x e z eu u u

y y y

+= = − =

Ej 13: k = –3/2; Ej 14: ( ) ( )1.21, 1.2, 2.5, 2.7 12, 2.5, 2.7 12.46z dz z z∆ = = ≈ =

Ej 15: ( ) ( )1.9, 3.1 17.6, 1.9, 3.1 17.55z z≈ =

Ej 16: a) ( ) ( )23 2 2dz xy x y dx x x y dy= + + + ; b) ( ) ( )22 sin cosdz x y dx x y dy= + ;

46

c) 2dx dy dz

dux y z

= + + ; Ej 17: (x, y, z) = (1/2, –1, –31/4);

Ej 18: a) no diferenciable; b) diferenciable; c) diferenciable; d) no diferenciable

Ej 19: a) 21

22

, ( )(1,2)12,12Grad z =

��

; b) 1.4, ( )(1,1)1,1Grad z =

��

;

Ej 20: a) 9

10− ; b) –7/6; Ej 21: La dirección está dada por la del vector (3, 1), su valor

es 10; Ej 22: ( )1

8, 2, 4, 1

3r PD u Grad u= = − −⌣

��

, derivada direccional máxima en la

dirección del gradiente.

Ej 23: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 1, 0) + l(1, 1, 1); Ecuación del

plano normal: x + y + z = 1,

b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 11, 16) + l(1, 12, 24);

Ecuación del plano normal: x + 12y + 24z = 516

Ej 24: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (2, 0, 1) + l(1, 1, 1) + m(1, –1, 1);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (2, 0, 1) + l(2, 0, –2);

b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (0, 1, 1) + l(0, 1, –1) + m(–1, 1, 0);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + l(1, 1, 1);

Ej 25: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + l(1, 0, –1/3) + m(0, 1, –2/3);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, 2, 3) + l(–1/3, 0, 0);

b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, –2, –3) + l(1, 0, 0) + m(0, 1, 2);

Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, –2, –3) + l(0, –2, 1);

Ej 26: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 1, 1) + l(1, –31/22, 64/11);

Ecuación del plano normal: 22x – 31y + 128z = 119;

b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + l(–2, 4, –2);

Ecuación del plano normal: x – 2y + z = 0;

Ej 27: 1,02; Ej 28: 32 65e , la dirección está dada por la del vector8i j+⌣ ⌣

;

Ej 29: La iii; Ej 30: (x, y, z) = (–5/16, 5/16, 25/128)

Unidad 3

Ej 1: a) 1

2 2.632

e+ ≈ ; b) 0; Ej 2: 46; Ej 6: i. ( ) ( ) ( ), o , o ,x x y z y y x z z z x y= = = ;

ii. Define ( ),x x y z= e ( ),y y x z= ; iii. 1/ 4, 0, 4, 0y z x zx x y y′ ′ ′ ′= − = = − = ;

Ej 7: a) 2, 1x yz z= − = − ; b) 1/ 6, 0x yz z= − = ; c) 1/ 3, 0x yz z= − = ;

Ej 8: ( )2

2

3 1=

3y

x xz

x y

++

; Ej 9: ( )( ) ( )( )2 2

3 3

1 ln 1 ln= ; =x y

c z c zu u

a z b z

− −;


47

Ej 10: ( )( ) ( )( )

( )( )3 cos cos

1 cos

yz xyz dx xz xyz dydz

xy xyz

+ +=

−; Ej 11: 2, 1/ 5u vx y= − = − ;

Ej 12: i. ( )( )

( )( )

( )( )

o ox x z x x y y y x

y y z z z y z z x

= = =

= = = ; ii.

( )( )

x x y

z z y

=

=; iii. 0, 0y yx z= = ;

Ej 13: 0xz = ; Ej 14: 7 / 3zy = ; Ej 17: Sí; Ej 18: (x, y, z) = (4, 2, 8); Ej 20: La i;

Ej 22: No. Ej 23: La iv.

Unidad 4

Ej 1: a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2cos 2sin cosxd z e y dx y dxdy y dy= − − ;

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 2 2 3cos 3sin 3cos sinxd z e y dx y dx dy y dxdy y dy= − − + ;

b) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 23

12d z z x dx xydxdy z y dy

z= − + + + + .

Ej 2: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2sin 4 cos 2sin 2 sin xd f y x dx y x dxdy x dy y x e dx= − + + +

Ej 3: ( )( )22 2 2 24 4 2x yd w e dx ydxdy y dy+= + + +

Ej 4:

Ej 5: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 211 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1

2f x y x x y x x y= + + + − − + − + − + + + + −

Ej 6: 0.7766 a 4 c.s.; Error < 0.0075; Ej 8: ( ) ( ) ( )2

0

, 1n n

n

f x y x y∞

== − +∑ ;

Ej 9: a) Máximo en (–1, –2); Ensilladura en (–1, 2); Ensilladura en (1, –2); Mínimo en

(1, 2); b) Casi-máximo en (0, 0); Mínimo en ( )2; 2− y ( )2; 2− ; c) Mínimo en

(0, –1); Ensilladura en (0, 0); Mínimo en (0, 2); d) Máximo en (0, 0, 2) y (0, 0, –2);

Ej 10: La v. Ej 11: a) Máximo en (2, 2) y Mínimo en (–2, –2); b) Mínimo en (2, 4, 6);

Ej 12: Los sumandos son iguales a 400 cada uno; Ej 13: Máximo en (1, 2, 3);

Ej 14: cubo de lado ( )6 2 ; Ej 15: a) distancia = 5; b) distancia =2

3;

Ej 16: r = 2, h = 4; Ej 18: Ensilladura en (1, –3) y (–1/3, 39); Ej 19: (–2, 1/4, –3/4)

Unidad 5

Ej 1: a) ( )0 0

yf x,y dxdy

π

∫ ∫ ; b) 22 2

1 1

81

8

yx y dxdy =∫ ∫ ;

c) 3 3

2 8 2

1 2

2252 2

8

x

x xxy dydx xy dydx + =∫ ∫ ∫ ∫ ; d)

( )( )( )ln ln 8 ln 8

13.354

x

x y

ee dydx + =∫ ∫ ;

( )( )3 2 2 3

1cos 3 3

2 2 6 2 2 2 2 2 2z x y x y x x y x y y

π π π π π π π ππ θ π = − − + − − + + − − + − − + − − + −

48

e) ( )

( )1 / 2 1 arcsin

0 arcsin 0 4

y

yy dxdy y dxdy

π π

π

π− ++ =∫ ∫ ∫ ∫ ; Ej 2: a) 6; b) 0.1427; Ej 3: a) 15; b) 1/3;

c) 128/15; d) 32p; e) 9; Ej 4: a) 3

2π ; b) 5p; c) 22.93; Ej 5: a) 20/3; b) 1; c) 45p; d) 4p;

e) 32p/3; f) 4p/3; g) 2.245; Ej 6: a) 65kp/2; b) 4k/3; c) 16kp/5; d) xg = 0; yg = 4;

zg = 8/5; e) 36; f) 28.60; g) 3.474; Ej 7: ( )2 21

60xI abh a b k= + ;

( )2 2112

60x zI I abh b h k= = +

Unidad 6

Ej 1: a) i_ 3; ii_ 17/6; b) 0; c) 14/3; d) –1/14; Ej 2: a) 4; b) ½; c) 16/3; Ej 3: a) ¾; b) 0; c) –2; Ej 5: a) 2 2U x y xy c= + + + ; b) Expresión no exacta; c) ( )sinU y x c= + ;

d) ( ) ( )( )sin sinU y x z xy x c= − + + + ; e) Expresión no exacta;

Ej 6: a) 3

2

3

xU xy c= − + ; b) 1tan

yU c

x− = +

; c) U xyz c= + ;

Ej 7: a) ( ) ( )sin siny x x y c+ = ; b) 2 2

3 02 2

x yx y xy− + − + = ; c) ( ) ( )1 sinye x c+ = ;

d) ( )2 2ln x x y c+ + = ; Ej 8: a) ( )lnxy y c+ = ; b) ( )1 11 2

2y x y c

x− + − + = ;

c) ( ) ( )tan tany x x y c− = ; d) ( ) ( )2 2 21

2x y x y c− + = ; Ej 9:

( )2

221

x yc

x y

−− + =+

;

Ej 10: b) ( )

1

cos xµ = ; d) ( ) ( )2 2 cos cos 1x y x = ; e) la solución de b) es un subconjunto

de d)

Unidad 7

Ej 1: a) ( )12, 9, 16Grad u= − − − ; b) ( )2, 4, 4Grad u= − ; Ej 2: a) 4divV =�

;

b) 80divV =�

; Ej 3: a) ( )0, 0, 35rot V = −�

; b) ( )2, 0, 0rot V =�

; Ej 4: a = 4;

Ej 5: a = –2; Ej 8: a) 5; b) 1069; Ej 9: 1.143; Ej 10: Trabajo = 0.06858 (k – 2);

para k = 2; como diferencia de valores en B y A; Ej 11: a) 108; b) 180; c) 0; d) –8a3;

e) 0; Ej 12: –84kpR4; Ej 13: 27/2; Ej 14: 100; Ej 17: 0; Ej 18: 0; Ej 19: 3

2

π; Ej 20: p

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