Corriente Alterna
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Corriente variable Condensador C = Q V ∧ Q = CV ∧ i ( t ) = dq dt = C· dv ( t ) dt dv( t ) dt = 1 C i ( t ) ∧ dv( t ) = 1 C i ( t ) dt ∧ v( t ) = v 0 + 1 C ∫ t 0 t i ( t ) dt p ( t ) = v ( t ) i ( t ) = Cv ( t ) dv ( t ) dt w C ( t ) = ∫ − ∞ t p ( t ) dt = ∫ − ∞ t Cv ( t ) dv ( t ) dt = ∫ v(− ∞ ) v( t ) Cv ( t ) dv( t ) = 1 2 C v 2 ( t ) El resultado se debe a que suponemos que el condensador está descargado en t =− ∞ . Bobina: Inductancia v ( t ) = d ϕ ( t ) dt = [ ϕ = LI ] = L di ( t ) dt di ( t ) dt = v( t ) L ∧ di ( t ) = v ( t ) L dt ∧ ∫ t 0 t di ( t ) = 1 L ∫ t 0 t v( t ) dt ∧ i ( t ) = i 0 + 1 L ∫ t 0 t v ( t ) dt p ( t ) = v ( t ) i ( t ) = L di ( t ) dt i ( t ) w L ( t ) = ∫ − ∞ t p ( t ) dt = ∫ − ∞ t L di ( t ) dt i ( t ) = ∫ i (− ∞ ) i ( t ) Li ( t ) di ( t ) = 1 2 L i 2 ( t ) Circuito R-L serie V ( t ) = L di dt + Ri dy dx + p (x ) y = q (x ) L di dt + Ri ( t ) = V 0 ⟹ [ Se dividetodo entre L paratener la forma general ] ⟹ di dt + Ri L = V 0 L e ∫ P ( x ) dx = e ∫ R L dt = e R L t e R L t [ di dt + Ri L ] = e R L t · V 0 L ∧ e R L t · di dt +e R L t · Ri L = e R L t · V 0 L
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Descripción matemática de la corriente y el voltaje de circuitos de corriente alterna en estado estacionario y transitorio.
Transcript of Corriente Alterna
Corriente variableCondensador
El resultado se debe a que suponemos que el condensador est descargado en .Bobina: Inductancia
Circuito R-L serie
Cuando la variacin de la corriente es muy rpida y la f.e.m. inducida que se opone a la variacin de corriente es igual a , por tanto . Llevando esta condicin a la ecuacin anterior obtenemos:
Sustituyendo el valor de en la ecuacin inicial tendremos para
La corriente parte de una valor nulo para y alcanza el valor para . Es decir, inicialmente la inductancia se opone al paso de la corriente y cuando transcurre tiempo el nico elemento que limita la corriente es la resistencia . Vemos por tanto, que la inductancia se opone a los cambios bruscos de corriente. Constante de tiempoCuando , la corriente alcanza prcticamente el 65% del valor final. La constante recibe el nombre de constante de tiempo y es un parmetro que nos da una idea del predominio de la componente inductiva sobre la resistiva, o viceversa. Adems nos indica la rapidez con que se alcanza un valor significativo de la corriente (el 63,2% de su valor final). La constante tiene dimensiones de tiempo.Circuito R-C serie
Si imponemos que en el condensador est descargado:
Sustituyendo el valor de en la ecuacin inicial tendremos para
La expresin para la corriente se obtiene derivando la ecuacin anterior con respecto al tiempo:
La corriente vara desde el valor inicial hasta cero para , lo que expresa que el valor inicial de la corriente est limitado por la resistencia , ya que el condensador en el instante inicial se comporta como un cortocircuito, pues el voltaje entre sus placas es nulo cuando . Constante de tiempoLa constante de tiempo en este caso es nos muestra la rapidez o lentitud con que se verifica el proceso de carga y descarga del condensador. En este circuito, cuanto mayores sean y tanto ms tardarn en alcanzarse los valores finales de e calculados anteriormente.
Circuito R-L-C serie
Suponiendo el condensador descargado inicialmente y constante:
La ecuacin caracterstica es:
Tomando Casos que se pueden dar, segn sean los valores de y :1) , y distintos de cero:Las soluciones de la ecuacin auxiliar son:
Si expresamos ,
Usando la frmula de Euler:
Para calcular las constantes y se aplican las condiciones iniciales: En el instante inicial el condensador est descargado, y la inductancia se opone al cambio brusco de la corriente, por tanto:
Finalmente,
2) . Cuando los parmetros del circuito satisfacen esta relacin, las soluciones de la ecuacin homognea son diferentes, ya que el radical es distinto de cero. La solucin tendr la forma:
Las determinacin de las constantes y se logra aplicando las condiciones iniciales
Dndole los siguientes valores a las soluciones: :
Como , sustituyendo en la ecuacin para e tendremos:
3) . El radicando es nulo y la ecuacin caracterstica tiene dos races idnticas y por tanto la solucin es de la forma, Aplicando las condiciones iniciales e :
Por tanto:
4) . Las races de la ecuacin caracterstica son imaginarias: con
La solucin general ser en este caso:
Teniendo en cuenta que: , siendo y , podemos expresar la solucin como:
Imponiendo nuevamente las condiciones e :
