INGENIERA DE CONTROL CLSICO INGENIERIA ELECTROMECANICAING. ARQUIMIDES RAMIREZ FRANCO

EJEMPLOS DE MODELADO MATEMTICO DE SISTEMAS MECNICOS. Sistema mecnico.Ejemplo 1.La figura 3-35(a) muestra un diagrama esquemtico de un sistema de suspensin de un automvil. Conforme el automvil avanza por un camino, los desplazamientos verticales de las llantas funcionan como una excitacin de movimiento para el sistema de suspensin del automvil. El movimiento de este sistema consiste en un desplazamiento traslacional del centro de la masa y un desplazamiento de rotacin alrededor del centro de la masa. El modelado matemtico del sistema completo es muy complicado.

Una versin muy simplificada del sistema de suspensin aparece en la figura 3-35(b). Suponiendo que el movimiento xi en el punto P es la entrada al sistema y el movimiento vertical x0 del cuerpo es la salida, obtenga la funcin de transferencia X0(s)/Xi(s). (Considere el movimiento del cuerpo slo en la direccin vertical.) El desplazamiento x0 se mide a partir de la posicin de equilibrio en ausencia de la entrada xi.Solucin. La ecuacin de movimiento para el sistema de la figura 3-35(b) es

o bien:

Tomando la transformada de Laplace de esta ltima ecuacin, y suponiendo condiciones iniciales de cero, obtenemos

Por tanto, la funcin de transferencia Xo(S)/Xi(s) se obtiene mediante

Ejemplo 2.Obtenga la funcin de transferencia del sistema mecnico que aparece en la figura 3-40(a). Asimismo, calcule la funci6n de transferencia del circuito elctrico de la figura W(b). Demuestre que las funciones de transferencia de los dos sistemas tienen una forma idntica y, por tanto, son sistemas anlogosSolucin. Las ecuaciones de movimiento para el sistema mecnico de la figura 3-40(a) son

Tomando la transformada de Laplace de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones inciales de cero, tenemos

Si eliminamos Y(s) de las dos ltimas ecuaciones, obtenemos

o bien:

Por tanto, la funcin de transferencia X0(s)/Xi(s) se obtiene como

Para el sistema elctrico de la figura 3-40(b), la funcin de transferencia E0(s)/Ei(s) resulta ser

Una comparacin de las funciones de transferencia demuestra que los sistemas de la figura 3-40(a) y (b) son anlogos.

Sistema elctrico.Ejemplo 3Considere el circuito elctrico que aparece en la figura 3-37. Obtenga la funcin de transferencia E0 (s)/Ei(s) usando el enfoque de diagrama de bloques.Solucin. Las ecuaciones para los circuitos son

La transformada de Laplace de las ecuaciones (3-90), (3-91) y (3-92), con condiciones iniciales de cero, producen

La ecuacin (3-93) se puede reescribir como

La ecuacin (3-96) da el diagrama de bloques que aparece en la figura 3-38(a). La ecuacin (3-94) se modifica a

La ecuacin (3-97) da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3-38(b). Asimismo, la ecuacin (3-95) nos da el diagrama de bloques que se muestra en la figura 3 38(c). Combinando los diagramas de bloques de las figuras 3-38(a), (b) y (c), obtenemos la figura 3-39(a). Este diagrama de bloques se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las figuras de la 3-39(b) a (f). Por tanto, obtuvimos la funcin de transferencia E0(s)/Ei(s) del sistema. [sta es igual a la que se obtuvo antes para el mismo circuito elctrico. Vase ecuacin (3-66).]Ejemplo 4Considere el sistema del termmetro delgado de mercurio con paredes de vidrio de la figura 3-46. Suponga que el termmetro est a una temperatura estable (temperatura ambiente) y que en t = 0 se sumerge en un bao a una temperatura , en donde es la temperatura del bao (que puede ser constante o cambiante), medida a partir de la temperatura ambiente Defina la temperatura instantnea del termmetro mediante , de modo que sea el cambio en la temperatura del termmetro que satisfaga la condicin de que . Obtenga un modelo matemtico para el sistema. Asimismo, determine un sistema elctrico anlogo del sistema del termmetro.

Solucin. Se obtiene un modelo matemtico para el sistema, considerando el balance del calor del modo siguiente: el calor que entra al termmetro durante dt seg es q dt, en donde q es el flujo de calor hacia el termmetro. Este calor se almacena en la capacitancia trmica C del termmetro, por lo cual su temperatura se eleva mediante d . Por tanto, la ecuacin de balance de calor es

Dado que la resistencia trmica R se escribe como

El flujo de calor q se obtiene, en trminos de la resistencia trmica R, como

o bien:

La ecuacin (3-108) es un modelo matemtico del sistema del termmetro. Remitindonos a la ecuacin (3-108), un sistema elctrico anlogo para el sistema del termmetro se escribe como

Un circuito elctrico representado mediante esta ltima ecuacin aparece en la figura 3-47.