EJERCICIOS ADICIONALES PPAA 2010

1

ESTÁNDAR 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓN

N.SO. 11.1.1

Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud y dirección.

TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 1

N.SO. 11.1.1.1

Representa vectores geométricamente.


N.SO. 11.1.1.1

Representa vectores geométricamente.


1. Dado u ¯1, 3 y v 8, ¯5 , determina si

v u u v Solución: v u 8 ¯1, ¯5 3 v u 7, ¯2 u v ¯1 8, 3 ¯5 u v 7, ¯2

2. Si a 3, ¯6 , demuestra que la propiedad del inverso aditivo aplica para vectores. Recuerda que esta propiedad

establece que: a (¯ a ) (¯ a ) + a = 0 Solución:

(¯ a ) ¯3, 6 a (¯ a ) ¯3, 6 + 3, ¯6 = 0, 0 ∴ a (¯ a ) 0

3. Si a ¯7, ¯9 , halla el siguiente producto escalar: 4 a Solución:

4 a 4 ¯7, ¯9 4 a 4(¯7), 4(¯9) 4 a ¯28, ¯36

4. Si 𝑎 ¯4, ¯5 y 𝑏 3, ¯2 , demuestra que la propiedad distributiva aplica para vectores. Para ello utiliza:

4 a b 4 𝑎 4 𝑏

Solución:

4 a + b 4 ¯4 + 3, ¯5 + ¯2

4 a + b 4 ¯1, ¯7

4 a + b ¯4, ¯28

4a 4b 4 ¯4, ¯5 4 3, ¯2

4a 4b ¯16, ¯20 12, ¯8

4a 4b ¯4, ¯28

4 a + b 4 a 4 b

N.SO. 11.1.2

Reconoce los vectores como un sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales.

TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1

5. ¿Cuál de las siguientes gráficas

representa el inverso aditivo (¯ a ) de

a ¯1, 3 ?

2


representa el producto escalar 2 a , donde a 2, ¯3 ?

7. Utilizando la figura de la derecha,

determina cuál de los enunciados es verdadero.

A. h g e k

B. c d − e f

C. e d g h

D. a b k g

N.OE. 11.1.3

Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas.


8. Dado v 3, ¯1 y u ¯5, 8 , determina w u 2v .

A. w 6, 1

B. w ¯2, 7

C. w 1, 6

D. w 7, ¯2

N.OE. 11.1.3


TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2

9. Utiliza los vectores de la figura de la

derecha para graficar: 3u - 2v w

Solución:

N.OE. 11.1.3



*

w u

v

●

●

●

●

●

●

*

3

ESTÁNDAR 2: ÁLGEBRA

10. ¿Cuál de las siguientes alternativas

corresponde al dominio de la función representada?

A. {1, 5, 7, 8, 9} B. {2, 3, 4, 6, 10} C. {1, 3, 2, 9, 7} D. {1, 3, 7, 4, 10}

11. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al alcance de la función representada?

A. {A, H, K, R} B. {A, Z, G, N, H, T} C. {B, N, Q, T, Z} D. {B, R, Q, T, Z}


x g (x) 1 -2 2 3.9 3 1.1 4 5

A. {1, 2, 3, 4} B. {-2, 3.9, 1.1, 5} C. {5, 11, 39, -2} D. {4, 3, 2, 1}



A. {-2, -8, 2.34, 1.6} B. {0.3, 0.5, -8, -9} C. {-2, -8, -3.21, -9} D. {0.3, 0.5, 2.34, 1.6}



Población en edad de votar en Estados Unidos en 2000 (en millones)

A. {Hispanos, 21.3, Nativos, 1.6, Asiáticos 8.2}

B. {21.3, 1.6, 8.2, 24.6, 152.5} C. {Hispanos, Nativos

estadounidenses, estadounidenses asiáticos, Afroamericanos, Blancos}

D. {213, 16, 82, 246, 1525}

A.PR. 11.2.1

Determinar el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones.


x f(x)

0.3 -2

0.5 -8

2.34 -3.21

1.6 -9

Hispanos 21.3

Nativos estadounidenses

1.6

Estadounidenses asiáticos

8.2

Afroamericanos 24.6

Blancos 152.5

*

*

*

*

*

4


{(1, 8), (2, 9), (3, 10), (4, 11), (5, 12)}

A. {1, 2, 4, 5} B. {8, 9, 10, 11, 12} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. {8, 9, 3, 10, 5, 11, 12}

16.¿Cuál de las siguientes alternativas


A. { x | x ϵ R ,−2 ≤ x ≤ 2 } B. { x | x ϵ R , 0 ≤ x ≤ 4 } C. { y | y ϵ R ,−2 ≤ x ≤ 2 } D. { y | y ϵ R , 0 ≤ x ≤ 4 }

A.PR. 11.2.1



17. Indica el dominio y el alcance de la

función:

{(2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}

Solución:

D= {2, 3, 4, 5}; A = {5, 7, 9, 11}

18. Indica el dominio y el alcance de: {(0, 1),(1, 1),(2, 1),(3, 2),(4, 2),(5, 2)}.

Solución:

D= {0, 1, 2, 3, 4, 5}; A = {1, 2}

19. Indica el dominio de la función:

f (x) = 3x + 8

Solución: D = todos los números

reales.

20. Indica el dominio de la función:

g(x) = x + 2

Solución: D: 𝑥 ≥ −2

21.Indica el dominio de la función:

h(x) = 5−x

x−2

Solución: D: 2 < 𝑥 ≤ 5

22. Indica el dominio y el alcance de la función: f(x) = 2x + 5 Solución: D: (−∞,∞) A: (−∞,∞)


función: h(x) = 1

2x + 2

Solución: D: −∞,∞ A: −∞,∞


función: g(x) = 5

Solución: D: (−∞,∞) A: 5

A.PR. 11.2.1



25. Halla el dominio y el alcance de la

siguiente función:

h x = 3x − 12

A. Dominio = {𝑥 ≥ 0}, Alcance = {𝑦 ≥ 4}

B. Dominio = {𝑥 ≥ 4}, Alcance = {𝑦 ≥ 0} C. Dominio = {𝑥 > 0}, Alcance = {𝑦 > 4} D. Dominio = {𝑥 > 0}, Alcance = {𝑦 > 0}

*

*

*

5

26. Determina el dominio de la siguiente función sobre el conjunto de números reales:

f x = 1

1 − x2

A. Todos los números reales B. Todos los números reales

excepto 1 C. Todos los números reales

excepto -1 D. Todos los números reales

excepto 1 y -1

27. Si el dominio de la función:

f x = 2x2+ 4, es: Dominio = {x/−1 < x ≤ 2},

¿cuál será su alcance?

A. {6 ≤ y < 12} B. {6 < 𝑦 ≤ 12} C. {6 ≤ y ≤ 12} D. {6 < 𝑦 < 12}

A.PR. 11.2.2

Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.


Utiliza la siguiente información para contestar los ejercicios 28 y 29. Los animales que saltan, siguen al brincar, trayectorias parabólicas. Una rana, parada a 5 pies de un edificio, da un salto cuya trayectoria está dada por la función:

2

1

2

3x2xf

2

28. ¿A cuántos pies del edificio caerá la rana?

A. 1 pie B. 2 pies C. 4 pies D. 6 pies

29. ¿Cuál será la altura máxima

alcanzada por la rana en su brinco?

A. 0.5 pies B. 1.0 pies C. 1.5 pies D. 2.0 pies

Utiliza la siguiente información para contestar los ejercicios 30 y 31. Se lanza un proyectil desde el suelo y su altura después de t segundos está dada por:

72t.12tA(t) 2

30. ¿Cuánto tiempo estará el proyectil en el aire?

A. 4 segundos B. 5 segundos C. 6 segundos D. 7 segundos

31. ¿Cuál será la altura máxima

alcanzada por el proyectil?

A. 100 pies B. 108 pies C. 125 pies D. 150 pies

32. Expresa la función f(x) = 2x2 – 16x + 23, en la forma f(x) = a (x – h)2 + k

A. f(x) = 4(x – 2)2 – 11 B. f(x) = 2(x – 4)2 – 9 C. f(x) = 4(x + 2)2 + 9 D. f(x) = 2(x + 4)2 + 11

*

*

*

*

*

*

*

*

6

33. Halla el valor máximo o mínimo de la función: f(x) = 8x – 12 – x2.

A. punto máximo: f (4) = 4 B. punto mínimo: f (4) = 4 C. punto máximo: f (-4) = 36 D. punto mínimo: f (-4) = 36

34. Si f(x) = 3x2 – 12x + 7, el intercepto

en el eje de y es:

A. (0, 3) B. (0, 7) C. (3, 0) D. (7, 0)

35. La ecuación para el eje de simetría

de una parábola está dada por:

A. 2a

bx

B. 4acbx 2

C. b

2acx

D. 2abcx 36. Para una función cuadrática, si

b2 – 4ac > 0, entonces la función:

A. no tiene intercepto en el eje de x. B. tiene un solo intercepto en el eje de x. C. tiene dos interceptos en el eje de x. D. corta el eje de y pero no el de x. 37. El vértice de la parábola f(x) = – 2x2 + 12x, es:

A. (3, 18) B. (– 3, 24) C. (4, 12) D. (– 4, 9)

38. Si para una función cuadrática, b2 – 4ac < 0, ¿cuál de las siguientes gráficas ilustra mejor la función?


representa la función f(x) = 8 – 2x – x2?

40. La función f(x) = – (x + 1)2 + 9,

expresada en la forma f(x) = ax2 + bx + c es:

A. f(x) = x2 + 2x – 9 B. f(x) = – x2 – 2x + 8 C. f(x) = – x2 + x – 9 D. f(x) = x2 – x – 8

41. Los interceptos en el eje de x de la

función f(x) = x2 + 5x + 4 son:

A. (1, 0) y (4, 0) B. (–1,0) y (4, 0) C. (1, 0) y (–4, 0) D. (–1, 0) y (–4, 0)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

42. El alcance de la función f(x) = 3x2 + 24x + 50 es:

A. [ 4 , )

B. 2,4

C. [2, )

D. 2,

43. Para una función polinómica de

grado 5, ¿cuál de las siguientes aseveraciones será cierta?

A. Tiene 5 ceros reales. B. Tiene 3 ceros reales y dos

complejos. C. Tiene al menos un cero real. D. Tiene 5 ceros complejos.

44. Si f(x) = ax2 + bx + c y a es negativo,

la gráfica de la función abrirá hacia:

A. arriba B. la derecha C. abajo D. la izquierda

45. Si f(x) = (x + 1)2 + 4, el intercepto

en el eje de y será:

A. (0, 5) B. (0, 4) C. (0, 6) D. no existe

46. La ecuación para el eje de simetría

de la función f(x) = 2x2 + 12x + 13 es:

A. x = – 3 B. x = 6 C. x = 2 D. x = – 4

47. La ecuación de la parábola cuyos interceptos con el eje de x son (-4, 0) y (1, 0) y pasa por el punto (-2, -6) es:

A. 22

3x

2

xy

2

B. 43xxy 2

C. 86x2xy 2

D. 2

34

2

2

xx

y

48. De la función f(x) = 1

2(x + 2)2 – 4,

podemos afirmar que:

A. Tiene tres ceros. B. Tiene dos ceros. C. No tiene ceros. D. Tiene un cero.

49. De la función f(x) = |x + 2|, podemos

afirmar que:

A. Tiene tres ceros. B. Tiene dos ceros. C. No tiene ceros. D. Un cero.

50. Para f(x) = x4 – 16, los ceros son:

A. (0, -2) B. (-2, 0) C. (-2, 2) D. (0, -2)

51. La siguiente gráfica representa una

función con:

A. Un cero B. Dos ceros C. Tres ceros

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

D. No tiene ceros 52. La función f(x) = (x – 3)2 + 2 tiene:

A. Punto máximo B. Punto mínimo C. No se puede determinar D. No es una función

53. El par ordenado que identifica el

punto máximo de la siguiente gráfica es:

A. (-2,4) B. (2,4) C. (4,4) D. (0,4)

54. El par ordenado que identifica el

punto mínimo de la siguiente gráfica es:

A. (0,-4) B. (0,-3) C. (1,-4) D. (-1,-4)

55. La gráfica que corresponde a la función f(x) = x es:


función:

A. Decreciente en (−∞,∞)

B. Decreciente en ( −∞, 0]

C. Creciente en [ 0, ∞) D. Constante en (−∞,∞)


función:

A. Decreciente en (−∞,∞)

B. Decreciente en ( −∞, 0] C. Creciente en [ 0, ∞) D. Constante en (−∞,∞)

58. Los ceros de la función y = x3 + 2x2 – 5x – 6, son:

A. -3, -1, 2 B. -3, -1, 4 C. -3, 2, 0 D. -1, 2, 3

59. ¿Cuál de las siguientes funciones

no tiene ceros?

A. f(x) = -5x + 3 B. f(x) = x – 5 C. f(x) = -5 D. f(x) = 3x + 5

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

*

*

*

*

*

*

*

9

60. El cero de la función f (x) = 2 x - 3, es:

61. Calcula los ceros de la función:

f(x) = x3 – x = 0

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:

f(x) = x3 – x = 0 x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) = 0

𝑥 = 0, 1,−1 En los ejercicios 62 y 63, grafica y encuentra el máximo o mínimo.

62. Sea f(x) = (x – 3)² + 2 A. Traza la gráfica de la función. B. Encuentra el punto máximo y el

punto mínimo.

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.

Solución: Mínimo f(x) = f(3) = 2

63. Sea f(x) = - (x + 3)² - 2

A. Traza la gráfica de la función. B. Encuentra el punto máximo y el

punto mínimo.


Solución: Máximo f x = f −3 = −2

10

8

6

4

2

-5 5 10

Vértice=(3,2)

Eje: x=3

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

Eje: x=-3

Vértice=(-3,-2)

A.PR. 11.2.2

Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.


10

64. Sea f(x) = x² + 6x +11

A. Traza la gráfica B. Intervalos creciente C. Intervalos decreciente


Solución: Crece en [-3,∞) Decrece en [- , -3)

65. Sea f(x) = -x² + 6x – 6

A. Traza la gráfica B. Intervalos creciente C. Intervalos decreciente

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución: Crece en [- ,3

Decrece en [3, ∞)

66. La siguiente función:

f x = −4x3 + 16x2 − 4x − 24, satisface f −2 = 80 y tiene tres ceros: -1, 2 y ___. Menciona, en la cuadrícula, el cero que falta.

Solución: Los ceros son -1, 2 y 3. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.

67. La siguiente función polinómica:

f x = 3x3 + 3x2 − 36x, tiene los siguientes ceros - 4, 3, 0. Menciona, en la cuadrícula, qué valor satisface:

f 2 = _____.

Solución: f 2 = −36 Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.

4

2

-2

-5 5 10

Eje

x = 3

Vértice

(3,3)

11

68. Indica, en la siguiente gráfica de f(x), ¿cuál valor satisface tanto la intersección con el eje de x como con el eje de y? Asume que la gráfica se extiende más allá de la parte ilustrada en la figura.

Solución: 0 Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. 69. Encuentra el mínimo de la siguiente

función: f x = (x − 3)2 + 2, si

f 3 = _____ . Indica en la cuadrícula.

Solución: 2

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. 70. Utiliza la siguiente gráfica para

indicar el valor de x con el que comienza el intervalo en el que la función se torna creciente.

[ ____, ∞). Indica en la cuadrícula.

Solución: -1


10 5 5 10

3

2

1

1

2

3

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

12

A.PR. 11.2.3

Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos.


71. El discriminante de una ecuación

cuadrática: ax² + bx +c = 0, está dado por la expresión: b² - 4ac.

Si el discriminante de 2x² + 3x + 4, es: 3² - 4 (2)(4) = -23, entonces la ecuación tendrá:

A. dos soluciones. B. una solución real y otra

compleja. C. dos soluciones complejas D. dos soluciones iguales

A.PR. 11.2.4

Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.


72. Indica cuáles de las siguientes

gráficas representan funciones:

A. Gráficas A, B y C B. Gráficas A, C y D C. Gráficas B, C y D D. ninguna

73. La función f(x) = 1

x es discontinua

para:

A. 1 B. 0 C. No es discontinua D. -1

74. Indica cuál de las siguientes gráficas

de funciones tiene puntos de discontinuidad. Asume que las gráficas se extienden más allá de los segmentos ilustrados.

75. La función f(x) = x2−6x+9

x2+x− 2 tiene

puntos de discontinuidad en:

A. x = −2 y x = −1 B. x = 0 y x = −2 C. x = 2 y x = −2

D. x = −2 y x = 1 76. Encuentra la asíntota horizontal y la

vertical de g x = 3x

x2− x−6:

A. y = no tiene; x = −2, x = 3 B. y = 2; x = no tiene C. y = 0; x = −2, x = 3 D. No tiene asíntotas

*

*

*

*

*

13

77. La función f x = x2 − 3x−4

x−2 tiene

asíntotas:

A. Vertical, oblicua B. Oblicua, horizontal C. Horizontal, vertical D. No tiene asíntotas

78. ¿Cuál gráfica tiene como asíntota

horizontal y = 1 y asíntota vertical

x = 2, únicamente?

A. Gráfica 1 B. Gráfica 2 C. Gráfica 3 D. Gráfica 4

79. Indica la simetría de la función:

f(x) = x2 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría


f(x) = x3 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría


f x = 9x2 − 36 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. Todas las anteriores


f(x) = x A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría


f(x) = x2 + 4 A. Par B. Impar C. No se puede determinar D. Ninguna de las anteriores

84. Indica cuál de las siguientes

funciones es par:

A. f x = 3x4 − 2x2 + 5

B. f x = 2x5 − 7x3 + 4x C. f x = x3 + x2 D. f x = x2 − x + 1

85. Indica cuál de las siguientes

gráficas representa una función con simetría impar:

C.

*

*

*

*

*

*

*

*

14

86. Encuentra la ecuación de la función

racional f que satisface la siguentes condiciones: asíntota vertical: x = 4; asíntota horizontal: y = −1;

e intercepto en x: 3

A. f x =3−x

x−4

B. f x =x+2

x+1

C. f x = x − 4 D. f x = x − 2

87. ¿Cuál de las siguientes funciones no tiene simetría par ni impar?

88. Si (3,0) es un punto de la gráfica

y = f(x), ¿cuál de los siguientes pares ordenados forma parte de la gráfica de y = −f(x)?

A. (0, 3) B. (0, -3) C. ( 3, 0) D. (-3, 0)

A.PR. 11.2.4

Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.

TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK3

89. Considera la siguiente función f x = |x|

A. Traza la gráfica de f . B. Encuentra el dominio y contra

dominio de f. C. Determina si la función es par

o impar. D. Determina los intervalos en

los que f es creciente o decreciente.


Solución:

Cuando x ≥ 0 se tiene f(x) = x, por

consiguiente, los puntos (x, x) del primer

cuadrante están sobre la gráfica de f.

Algunos de estos puntos son:

(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4).

4

2

-2

-5 5 10

(4,4)

(3,3)

(2,2)

(1,1)

*

*

15

Cuando x ≤ 0, los valores que se obtendrán para y son también positivos, así que estarán en el segundo cuadrante sobre la recta f(x) = -x.

La función f es par, puesto que

| − x| = |x| y concluimos que la gráfica

es simétrica con respecto al eje de y.

El dominio de f es 𝑅 y el co dominio es

[0,∞). Nótese que esta función es

decreciente en (−∞, 0) y creciente en

[0,∞).

90. Dada la función f x =|x|

x , indica

en la cuadrícula, para qué valor de x la función es discontinua.

Solución: f(x) = -1 si x < 0 1 si x > 0 Dominio: x ≠ 0 ó (- ∞, 0) U (0, ∞) Discontinua en x = 0 Alcance: {-1, 1}, (un conjunto, no un intervalo)

91. Encuentra todas las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. No traces la gráfica.

A. f x = 2x

x−4

B. p x = x3

x2+2

C. f(x) = 2x

x4+1

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. Solución:

a) asíntota vertical: x = 4 b) asíntota vertical: no hay c) asíntota vertical: no hay a) asíntota horizontal: y = 2 b) asíntota horizontal: no hay c) asíntota horizontal: y = 0

a) asíntota oblicua: no hay b) asíntota oblicua: y = x c) asíntota oblicua: no hay

A.PR. 11.2.5

Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómica, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas.


92. ¿Cuál es la diferencia entre la

función polinómica:

f x = x + 4 y la función racional:

g x = x2+ 7x+12

x+4 ?

A. g(x) no tiene intercepto con el eje de y.

B. f(x) no tiene un límite máximo. C. f(x) es una recta y g(x) es una

curva. D. g(x) no está definida en un punto. *

16

93. ¿Qué podemos decir de la función logarítmica y la función exponencial?

A. La función logarítmica es la inversa

de la función exponencial. B. La función logarítmica es lo mismo

que la función exponencial. C. La función logarítmica tiene

exponente y la función exponencial tiene logaritmos.

D. Las funciones no se puede comparar.

94. ¿A qué familia de funciones

pertenece la función representada en la siguiente gráfica?

A. Funciones Polinómicas B. Funciones Racionales C. Funciones Radicales D. Funciones Exponenciales



A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definidas por

partes

96. ¿A qué familia de funciones pertenece la función representada en la siguiente gráfica?

A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definida por partes






*

*

*

*

*

*

17



100. La función f(x) = 3x+2, es una

función: A. Logarítmica B. Trigonométrica C. Exponencial D. Racional

101. La función f(x) = sen(x) + cos (x),

es una función: A. Trigonométrica B. Exponencial C. Racional D. Logarítmica

102. Si definimos la función f x = x2 para: {x | x ≥ 0}, ¿cuál será la gráfica de su función inversa?

103. ¿Cuál es la gráfica que representa

la ecuación 𝑦 = 1

3

x?

A.PR. 11.2.5

Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas.

TIPO DE ÍTEM: RC-C

COMPLEJIDAD: DOK3

104. ¿Cuál es la diferencia entre una

función polinómica y una función racional?

Solución: Las funciones polinómicas son la suma de una o más funciones de variación directa. Las funciones racionales son una división que pueden tener funciones polinómicas, pero las funciones polinómicas no pueden tener funciones racionales.

*

*

*

*

18

105. ¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de la función radical y la función cuadrática?

Solución: La gráfica de la cuadrática es en forma de U y la radical es la mitad de la U pero horizontalmente.

106. Compara f(x) = x3 y g(x) = 𝑥.

El dominio de 𝑥, x3 son distintos, la función x3 es simétrica con respecto al

origen , mientras que 𝑥 no tiene

simetría.

A.PR. 11.2.6

Describe y contrasta las funciones elementales comunes (representadas simbólicamente y gráficamente).


A.PR. 11.3.1

Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones.


107. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la suma de las funciones g(x) + h(x)?

g(x) = x2 – 4 h(x) = 2x + 3

108. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la multiplicación de las funciones f(x) g(x)?

f(x) = 3x + 1

g(x) = 2x – 2

f(x) = x3

19

109. Dadas f(x) = 2x2 + 3x – 5 y g(x) = 4x2 – 2x + 1 entonces f(x) + g(x) es:

A. 6x2 – x – 4

B. 6x2 + x + 4

C. 6x2 + 5x + 4

D. 6x2 + x – 4

110. Dadas f(x) = x + 5 y g(x) = x − 7, entonces f(x) g(x) es:

A. (x + 5)(x – 7)

B. x − 5 (x + 7)

C. (x – 5)(x + 7)

D. x + 5 (x − 7)

111. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la resta de las funciones f(x) – g(x)?

f(x) = x + 2

g(x) = 2x2 – 4x

112. Si f(x) = x – 5 y g(x) = x – 1,

entonces, f(x)

g x es:

A. x – 1

B. x – 5

C. x−1

x−5

D. x−5

x−1

113. Si f(x) = x + 2 y g(x) = 3x – 6 entonces:

A. Halla f(x) + g(x) B. Construye la gráfica

*

*

*

20

A.PR. 11.3.2

Compone y descompone dos funciones, determina su dominio y el alcance de su gráfica. Utiliza la composición de funciones para determinar si las funciones son inversas.


114. Dadas f(x) = x3 + 1 y g(x) = x , sus dominios respectivos utilizando la notación de intervalos son:

A. (-∞ , ∞) y ( 0, ∞) B. (-∞ , ∞) y [ 0, ∞) C. [ 0, ∞) y (- ∞ , 0) D. ( 0, ∞) y (- ∞ , 0)

115. Si f(x) = 2x2 + 1 y g(x) = 4x,

gf (x) y fg (x) son

respectivamente:

A. 32x +1 y 8x+4 B. 32x2 +1 y 8x2+4 C. 32x +1 y 8x2+4 D. 32x2 +1 y 8x+4

116. La función y = f(x) = 4x se descompone en las funciones:

A. y= x ; y = x – 4

B. y = 4x ; y = x

C. y = x ; y = x + 4

D. y = x – 4; y = 4x

Utilice la siguiente información para contestar los ejercicios 117 y 118.

Dadas f(x) = x y g(x) = x + 3 117. El dominio de f(x) es:

A. (0, ∞) B. (-∞, 0] C. [0, ∞ ) D. (0, ∞ )

118. La expresión xgf equivale a:

A. x + 3 x

B. 3x

C. 3x

D. x + x + 3

119. Dadas las funciones f(x) = x 2 +1 y

g(x) = x - 3, la gráfica de xgf es:

120. Dadas f(x) = x y g(x) = 4

1

x ,

sus respectivos dominios usando la notación de intervalo son: A. [0, ∞) y (-∞, 4) U ( 4, ∞) B. ( 0, ∞) y (-∞, 4] U [ 4, ∞) C. (-∞, 0) y (-∞, 4) U ( 4, ∞) D. (-∞, 0] y (-∞, 4] U [ 4, ∞)

*

*

*

*

*

*

21

121. Utilizando las funciones del ejercicio anterior, la expresión xgf y su dominio son

respectivamente;

A.4x

1

y x ≥ 4

B. 4x

1

y x 4

C. 4x

1

y x < 4

D. 4x

4x

y x > 4

122. Dadas f(x) = 2x - 3 y g(x) = x - 4,

la gráfica de xgf es:

A.PR. 11.4.4

Traza la gráfica de funciones de

la forma: f (t ) = a sin ( bt + c ) + d

e interpreta a, b, c y d en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase.


123. El número de horas de luz durante

el día en un lugar en particular es aproximado por la siguiente

función: 1279t365

2πsen

2

kD(t)

,donde t es el número de días desde enero 1 (donde t = 0).

Sabiendo que en el Polo Norte D(t) = 0 en enero 1, halla el valor de k en el Polo Norte.

A. 15978.1011

B. 334567.32 C. 4532.125

D. 54678.45

124. La amplitud de: sen(4x)2

3f(x)

es:

A. 4

B. 2

3

C. 2

π

D. 2

125. El periodo de sen(4x)2

3f(x) es:

A. 4

B. 2

3

C. 2

π

D. 2 126. El valor máximo de la función f(x) = 2 sen (x + π ) – 2 es:

A. 4 B. 2 C. 0 D. – 2

127. El valor mínimo de la función f(x) = 2 sen (x + π ) + 2 es:

A. 4 B. 2 C. 0 D. – 2

* *

*

*

*

*

22

128. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa un ciclo de la función

f(x) = sen

2

πx ?

129. Para 6π)2sen(3xy , indica el

desfase de la función:

A. 2

π

B. 3

π

C. 6

π

D. 2

3π

130. ¿Cuál es el periodo de la función y = sen (x) ?

A. 2

π

B. π

C. 2π

D. 3π

131. Si trazamos un ciclo de la función

f(x) =

2

πxsen , veremos el

mismo en el plano entre:

A. 2

3πy

2

π

B. 2

5

2

y

C. 3

7

3

y

D. 4

7

4

y

132. La gráfica de π3xsenf(x) es:

133. La amplitud de la función seno está

dada por:

A. a

B. b

C. c

D. d

134. La función y = sen (x) es:

*

*

*

* *

23

A. par B. impar C. ambas D. ninguna

135. El dominio de la función y = sen(x) es :

A. (0, ) B. [–1, 1]

C. ,

D. 0, 136. EL alcance de la función y = sen (x) es:

A. (0, ) B. [–1, 1]

C. ,

D. 0,

137. El valor máximo de la función y = sen (x) es:

A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 2

138. El valor mínimo de la función y = sen (x) es:

A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 2

139. La amplitud de la función y = 2 sen (3x - π ) es:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

140. En f(x) = a sen (bx + c) + d, la d representa:

A. desplazamiento. horizontal B. desplazamiento vertical C. amplitud D. desface

141. El desface de la función

3

π2x3senf(x) es:

A. 2

πx

B. 4

πx

C. 6

πx

D. 2

3πx

142. La amplitud de la función

representada en la gráfica de la derecha es:

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

143. La amplitud de la función representada en la gráfica de la derecha es:

A. 4 B. 2 C. 1 D. -2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

24

144. La amplitud de la función representada en la gráfica de la derecha es:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 7

145. En la siguiente expresión;

a sen bx + c + d, ¿Qué letra representa el desplazamiento vertical?

A. d B. c C. b D. a

146. En la siguiente expresión,

2 sen 3x + 1 − 5 ¿qué número representa la amplitud?

A. -5 B. -2 C. 1 D. 2

147. Dada f x = 3 sen 2x + 4 − 5 , halla el punto terminal.

A. xf = π − 2

B. xf = π + 2 C. xf = 3π + 2 D. xf = π − 3

148. Sea f x = 2 sen 3x + 6 − 5, halle el punto inicial.

A. xi = −2 B. xi = −1 C. xi = 1 D. xi = 2

149. Observa la gráfica original y su desplazamiento. ¿Cuál desplazamiento evidencia la gráfica 2 respecto a la gráfica 1?

A. Cuadrático B. Vertical. C. Horizontal. D. Lineal

150. Sea f x = 3 sen 2x + 4 − 5, halla el periódo de la función.

A. π B. π + 2

C. π − 2 D. 2 π

151. Sea f x = 3 sen 2x + 6 − 5, halla el cambio de fase.

A. -3 B. -2 C. 3 D. 4

152. ¿Cuál es el desplazamiento vertical de la función:

f x = sen(x) ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

*

*

*

*

* *

*

*

*

Gráfica 2

Gráfica 1

25

153. Observa la gráfica 1 y la gráfica 2. La gráfica 2 evidencia el desplazamiento. ¿Cuántas unidades se desplazó hacia abajo?

Gráfica 1

Gráfica 2

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

154. Observa la siguiente gráfica. Asume que la gráfica representa el mecanismo de la respiración normal.

¿Cuántas veces respiramos aproximadamente en 1 minuto?

A. 2 B. 8 C. 10 D. 15

155. Observa la siguiente gráfica que representa los volúmenes pulmonares.

El tidal volume significa la respiración normal. ¿Cuántos litros de aire se mueven aproximadamente en la respiración normal de acuerdo a la gráfica?

A. 3 litros B. 2 litros C. 1 litro D. 0.5 litro

156. Observa la siguiente gráfica que

representa el mecanismo de la respiración normal. ¿Cuántos litros de aire se mueven en la respiración?

A. 0.10 B. 0.35 C. 0.70 D. 0.90

*

*

*

*

26

ESTÁNDAR 3: GEOMETRÍA

G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos


157. Halla el valor de x.

X 10 cm

A. 35 cos(10) B. 35 sen(10) C. 10 cos(35) D. 10 sen(35)

158. Halla el valor de h. h 25 cm A. 40 sen(25) B. 40 cos(25) C. 25 cos(40)

D. 25 sen(40)

159. La sombra del tótem de la plaza del V Centenario del Descubrimiento de Puerto Rico mide 57.98 pies. Si el ángulo de elevación del Sol es de 34.6 grados, halla la altura del tótem.

A. 57.98 sen(34.6)

B. 57.98 cos(34.6) C. 34.6 sen(57.98) D. 34.6 cos(57.98)

160. ¿Cuál es la razón de los lados correspondiente a la función trigonométrica cos 𝜃?

b c

a

A. 𝑎

𝑏

B. 𝑏

𝑐

C. 𝑎

𝑐

D. 𝑏

𝑎

161. Encuentra el seno del ángulo 𝛼.

A. 2

2

B. 1

C. 2

2 2

D. 2 2

2

162. Encuentra el coseno del ángulo 𝜃.

A. 5

4

B. 3

4

C. 4

3

D. 3

5

40o

*

*

*

*

* *

35o

O

H

V 2

2

C

A

B 4

3 5

27

163. Encuentra el coseno del ángulo 𝜃.

A. 6

10

B. 8

10

C. 6

8

D. 8

6

G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.


En los ejercicios 164 al 166 resuelve cada triángulo rectángulo. En cada caso, C = 90o.

164. A = 28o, c = 17.4 pies Solución:

B = 62o a = 17.4 sen (28o ), b = 17.4 cos(28o )

165. B = 46o , c = 29.7 m Solución:

A= 44o

a =29.7 cos (46)

b = 29.7 sen (46)

166. B = 82o 51’, c = 4.825 cm

Solución:

A= 7.15o

a = 4.825 cos (82.85 o)

b = 4.825 sen (82.85 o)

G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.

TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK 2

167. Resuelve el triángulo rectángulo

con c = 6. 25 pies y β = 32.2o. Encuentra A, a y b.

Solución: Α = 90o - 32.2o = 57.8o y

α y β son complementarios.

sen β =𝑏

𝑐

sen (32.2o) = 𝑏

6.25

b = 6.25 sen (32.2o )= 3.33 pies

cos (32.2o) = 𝑎

6.25

a = 6.25 cos ( 32.2o) = 5.29 pies

168. La escalera de un coche de bomberos está apoyada contra una pared. Halla la distancia que sube la escalera sobre la pared si forma un ángulo de 43o50’ con respecto al piso.

Solución:

13.5 sen (43.83) = 9.35 metros

*

C

A

B 8

6 10

28

169. La distancia entre el tope del edificio y su sombra es 350 pies. El ángulo entre el tope del edificio y el final de la sombra es de 23o. Halla la altura del edificio y la medida de la sombra.

Solución:

Altura = 350 sen 23 = 136.75

Medida de la sombra =

350 cos 23 = 322.18

G.FG.11.5.2

Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente. Utiliza estas identidades para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.


170. 1 – cos2θ =

A. cos2 θ B. sen2 θ C. cos θ D. sen θ

171. sen2 α – 1 =

A. -sen2 α B. sen2 α C. -cos2 α D. cos2 α

172. 1 – sec2 x =

A. sen2x

B. −sen2x

C. tan2x

D. −tan2x

173. 1−sen 2θ

1−sen θ− 1 =

A. sen2θ

B. senθ

C. cos2θ

D. cosθ

174. cos 600 − 450 = A. cos 60°cos 60° + sen 45° sen 45° B. cos 45°cos 60° + sen 45° sen 60° C. cos 60°cos 45° + sen 60° sen 45° D. cos 60°cos 60° + sen 45° sen 45°

175. sen (π/2 – π/6) = A. sen π/2 cos π/6 - cos π/2 sen π/6 B. cos π/2 cos π/6 - sen π/2 sen π/6 C. cos π/2 sen π/6 - sen π/2 cos π/6 D. sen π/6 cos π/2 - cos π/6 sen π/2

176. sen 3θ cos θ - cos 3θ sen θ =

A. sen 4θ B. sen 3θ C. sen 2θ D. sen θ

177. 2cos 2α sen 2α =

A. sen 4α B. cos 4α C. sen 2α D. cos 2α

*

*

*

*

*

*

*

*

29

178. 1 – 2sen2 4° =

A. sen 4° B. sen 8° C. cos 4° D. cos 8°

179. cos2 2t - sen2 2t =

A. sen 2t B. sen 4t C. cos 2t D. cos 4t

180. cos θ csc θ =

A. sec θ B. cot θ C. csc θ D. tan θ

G.FG.11.5.2

Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.

TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK1

181. Demuestra que la siguiente ecuación es una identidad trigonométrica. 1 + tan2 θ = sec2θ 182. Demuestra que la siguiente ecuación es una identidad trigonométrica. sec β – cos β = senβ tanβ

G.FG.11.5.5

Utiliza la Ley de Seno, la Ley de Coseno para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK2

183. Halla el valor de x, aplicando la Ley

de Seno, XYZ si 33Xm ,

47Zm , z = 4. (Utiliza sen 33° = 0.5446 y para el cos 47° = 0.6820.)

A. x = 5.2 B. x = 10.4 C. x = 12.54 D. x = 1.04

Utiliza la siguiente figura para resolver los ejercicios 184 al 186: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 a = 9 m, b = 5 m, = 30°

184. La medida del ángulo aplicando

la Ley de Seno es:

A.

5

9sen30en 1

s

B.

9

5sen30sen 1

C.

9

5sen50en 1

s

D.

9

5sen60sen 1

*

*

*

*

*

30

185. La medida de lado c aplicando la Ley de Seno es:

A. 60sen

sen γ 5

B. 60sen

sen γ 9

C. 30sen

γcos 9

D. 30sen

sen γ 9

186. La medida del ángulo aplicando

la Ley de Seno es:

A.

5

csen30sen 1

B.

9

csen30sen 1

C.

9

csen50en 1

s

D.

9

csen60sen 1

187. Utiliza la figura para el ejercicio

que sigue a continuación: Supongamos que en el triángulo a = 9 m, b = 2.5 m, = 130°. Encuentra

la longitud del tercer lado (c):

188. Refiriéndonos a la siguiente figura, ¿cuál segmento parece más largo?

AB o AC ?

Verifica tu respuesta con la Ley de Seno para hallar AB y AC, los cuales se expresan de la siguiente manera, respectivamente.

189. La altura de un triángulo isósceles es 16cm y uno de sus ángulos iguales mide 35°. Calcula la medida del lado opuesto al ángulo recto. Utiliza la figura para completar el ejercicio.

A C

B

3

D

*

*

*

*

*

31

190. Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Buscar la medida de los lados B y C respectivamente redondeando los resultados a la décima más cercana. (Utiliza la Ley de Seno)

A. B = 3.5 y C = 6.8 B. B = 3.3 y C = 6.8 C. B = 3.8 y C = 6.9 D. B = 3.3 y C = 6.9

191. Llamemos a al ángulo de 25°

porque está opuesto al lado A, C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b. Utiliza la Ley de Coseno para hallar la medida del lado A a la décima más cercana.

A. A = 5.4 B. A = 5.5 C. A = 5.6 D. A = 6

192. Determina, utilizando la Ley de

Coseno, el valor del lado C dado que A = 20m, B = 8m y = 60°. Observa la siguiente figura para llevar a cabo el ejercicio.

A. 17.44m B. 18.51m C. 17.54m D. 18.44m

G.FG.11.5.5

Utiliza la Ley de Seno y la Ley de Coseno para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de un triángulo.

TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK2

193. Sonia Cruz es una topógrafa que

quiere determinar la distancia a través del estrecho del Río La Plata que comienza en cayey y desemboca en las costas de Dorado. Parada en un punto de la orilla, Sonia mide el ángulo formado por la línea de la orilla y la línea de observación de un árbol situado en la orilla opuesta. Luego camina 315 pies, hacia el norte, a lo largo de la orilla y mide el ángulo que forma la línea de la orilla con la línea de observación del mismo árbol. Si el primer ángulo es de 80° y el segundo es de 85°, calcula la distancia a través del estrecho. ¿Cuál es la distancia, aproximada, a través del estrecho?

*

*

*

32

G.FG.11.6.2

Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.


194. ¿Cuál de las siguientes

proposiciones es cierta?

195. Utilizando el Diagrama de Venn,

contesta ¿cuál de las siguientes proposiciones es cierta?

196. Utilizando el diagrama, contesta ¿qué postulado justifica el paso 4. de la siguiente demostración?

Dado: 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐵′ ; ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵′

Pruebe: ∆𝐴𝐶𝐵 ≅ ∆𝐴𝐶𝐵′

Afirmación Razón

1. 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐵′ Dado

2. ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵′ Dado

3. 𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶 Propiedad Reflexiva

4. ∆𝐴𝐶𝐵 ≅ ∆𝐴𝐶𝐵′ ¿ ?

A. Postulado AAL B. Postulado ALA C. Postulado LLL D. Postulado LAL


afirmaciones condicionales (del tipo “si … entonces”), es cierta para la siguiente prueba?

Afirmación Razón

1. C, D y M son colineales;

𝐶𝑀 ≅ 𝐷𝑀 Dado

2. 𝐶𝑀 ≅ 𝐷𝑀 Definición de segmentos congruentes.

3. M es el punto

medio de 𝐶𝐷 Definición de punto medio.


proposiciones es falsa?

*

B'

A C

B

*

*

33

199. ¿Qué negación de las siguientes proposiciones es cierta?

A. Un cuadrado es un paralelogramo. B. Un paralelogramo no es un

cuadrilátero. C. Un trapecio es un cuadrilátero. D. Un rombo no es un cometa. 200. ¿Cuál de las siguientes

proposiciones es falsa? A. Un triángulo equiángulo es

equilátero. B. Un triángulo equiángulo es

isósceles. C. Un triángulo equiángulo tiene

ángulos rectos. D. Un triángulo equiángulo tiene tres

ángulos congruentes. 201. Si todos los cuadrados son

cuadriláteros y todos los cuadriláteros son polígonos, entonces podemos concluir que:

A. Todos los círculos son polígonos. B. Todos los cuadrados son polígonos. C. Todos los cuadriláteros son

cuadrados. D. Todos los círculos son cuadrados.

202. Si 𝐵𝐷 es bisector del ∠𝐴𝐵𝐶, entonces,

A. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 B. ∠𝐴𝐵𝐶 es recto.

C. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 2∠𝐷𝐵𝐶 D. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 45°

203. Selecciona la implicación falsa: “Si dos rectas son perpendiculares,

entonces,”

A. los ángulos adyacentes son congruentes. B. los ángulos son rectos. C. se forman 4 ángulos. D. los ángulos son complementarios.

204. Si un ángulo es ocho veces la medida de su suplemento, entonces la medida del ángulo es:

A. 90° B. 130° C. 160°

D. 180°

205. Si 𝐴𝐶 tiene su punto medio en 𝐵 y

𝐴𝐶 = 32𝑐𝑚, entonces 𝐵𝐶 =

A. 16 𝑐𝑚

B. 64 𝑐𝑚 C. 32 𝑐𝑚 D. 10 𝑐𝑚

G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.


206. Si 𝐷𝐹 ≅ 𝐸𝐹 y 𝐺𝐹 ≅ 𝐻𝐹 .

A. Explica por qué ∠𝐷 ≅ ∠𝐸. B. Ilustra la demostración en forma

de columna usando proposición y razón. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.

Solución:

G

H

E F

D

*

*

*

*

*

*

*

34

207. Desarrolla una prueba directa sobre la siguiente aseveración: Si dos rectas se intersecan en un punto, los ángulos opuestos por el vértice (ángulos verticales) son congruentes.

A. Utiliza un diagrama para desarrollar

tu prueba directa. B. Ilustra la demostración en forma de

columna usando proposición y razón. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:

208. Prueba que las diagonales de un

paralelogramo se bisecan entre sí. A. Utiliza un diagrama para desarrollar

tu prueba. B. Ilustra la demostración en forma de

columna usando proposición y razón.

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:

Dado: ABCD es un paralelogramo

Prueba: 𝐴𝐶 biseca a 𝐵𝐷 𝐵𝐷 biseca a 𝐴𝐶

209. Prueba que los complementos de

ángulos congruentes son congruentes.

A. Utiliza un diagrama para

desarrollar tu prueba. B. Ilustra la demostración en

forma de columna usando proposición y razón.


A B

C D

1 2

3 4

M

35

Solución:

Dado: ∠𝐴𝐵𝑀 ≅ ∠𝐷𝐸𝑂

∠𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜,∠𝐷𝐸𝐹 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑃𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎: ∠𝑀𝐵𝐶 ≅ ∠𝑂𝐸𝐹

A. Utiliza un diagrama para desarrollar tu prueba.

B. Ilustra la demostración en forma de columna usando proposición y razón.

G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.


210. Redacta un contraejemplo cierto:

Los autos exóticos son americanos.

211. Redacta un contraejemplo cierto: El baloncesto es el deporte más practicado en el mundo.


Si el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo, entonces el

cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado.


A. Si la figura es un cuadrilátero, entonces es un polígono.

B. He dibujado un polígono. C. Entonces, he dibujado un

cuadrilátero.


El segmento bisector de otro

segmento genera ángulos de 90°.


La fórmula 𝑉 = 𝐵ℎ solo sirve para calcular el volumen de un cilindro.


Todos los sólidos tienen un

volumen de 𝑉 = 𝐵ℎ.


Las diagonales en un cuadrilátero son congruentes.

C

B

M

A

F

E

O

D

36


Un animal es un pájaro si y solo si el animal vuela.


Si 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶 son colineales, entonces 𝐶 siempre estará entre 𝐴 𝑦 𝐵.

220. Redacta un contraejemplo cierto: Las mediatrices y las alturas son diferentes en todos los triángulos. 221. Redacta un contraejemplo cierto: Un triángulo siempre tiene tres ángulos agudos.

222. Redacta un contraejemplo cierto: Un cuadrilátero no puede tener un solo ángulo recto.

223. Redacta un contraejemplo cierto: Dos planos siempre se intersecan en una recta contenida en un tercer plano. 224. Redacta un contraejemplo cierto: Dos ángulos son rectos si y solo si se forman de rectas perpendiculares.

Respuesta: Posibles contraejemplos:

210. Existen autos exóticos en países europeos como los Ferrari de Italia. 211. El deporte más practicado en el mundo es el futbol (soccer).

212. El rectángulo no necesariamente es un cuadrado y si es un paralelogramo. 213. Si dibujo un triángulo, estoy dibujando un polígono que no es un cuadrilátero. 214. Solamente la bisectriz perpendicular me ofrece ángulos de 90 grados, pero existen infinitas bisectrices que no son perpendiculares. 215. Los prismas usan la fórmula

𝑉 = 𝐵ℎ y no son cilindros. 216. Los sólidos que tienen una sola base como los conos y las

pirámides usan la fórmula 𝑉 =1

3𝐵ℎ

y la esfera usa 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

217. Las diagonales en una cometa (kite) no son congruentes. 218. Los avestruces son pájaros y no vuelan. 219.

220. En un triángulo equilátero las

mediatrices y las alturas son iguales.

A BC

37

221. Un triángulo puede tener un ángulo obtuso, siendo los otros dos agudos.

222. Un cuadrilátero con un solo ángulo

recto.

223. Dos planos se intersecan en una recta y el tercer plano puede estar intersecando la recta en un solo punto.

224. Dos ángulos rectos que no

comparten ningún rayo.

G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de una proposición condicional.


ESTÁNDAR 4: MEDICIÓN

M.UM. 11.8.1

Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones entre ambas unidades de medidas.


225. Dada la siguiente figura, ¿cuánto

mide el ángulo x (en radianes)?

A. 18

B. 18

2

C. 10

D. 18

10

226. Calcula la medida del ángulo

central ABC en radianes, si la circunferencia mide 54 cm y la medida del arco menor es de 9.75 cm.

A. 180

π65

B. 80

π13

C. 36

π13

D. 13

π36

227. De acuerdo a la siguiente figura

¿cuál es el valor de x, en radianes?

A. 90

10

B. 90

11

C. 90

12

D. 90

13

25°

55°

x

*

*

*

38

228. El reloj de la torre de la Universidad de Puerto Rico tiene un diámetro de 7 pies. Las manecillas del reloj forman un ángulo central. Supongamos que el horario está sobre el número 11 y el minutero sobre el 5. Halla la medida del ángulo central XYZ. Expresa el resultado en radianes.

A. 3

π2

B. 8

π2

C. 8

π5

D. 6

π5

229. En la siguiente figura, expresa la

medida del ángulo X en grados.

A. 78° B. 95° C. 65° D. 85°

230. ¿Cuál es la medida en grados de

un ángulo que mide 9

π4?

A. 80° B. 60° C. 45° D. 75°

231. ¿Cuál es la medida en radianes de

un ángulo cuyo arco

correspondiente mide 3

?

A. 40° B. 120° C. 60° D. 90°

232. Ejercicio de respuesta construida extensa. ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies? Utiliza la siguiente ecuación para calcular la medida del ángulo central:

Longitud de arco =medida ángulo central

circunferencia (3600)

233. Halla el sen π

3

A. 1

2

B. 3

3

C. 3

2

D. 3

234. Halla el sen π

6

A. cos3

B. cos6

C. 3

sen

D. 6

sen

M.UM. 11.8.2

Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas

en: 0,𝜋

6 ,

𝜋

4 ,

𝜋

3 ,𝜋

2 ,𝜋 y sus

múltiplos.

TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1 Z

Y

X

*

*

*

*

X

*

*

39

235. Si tan x = sen (x)

cos (x) , entonces

tan3

A. 1

2

B. 3

3

C. 3

2

D. 3

236. Determina 2 2cos sen

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

237. Halla el 225sen

A. 1

2

B. 3

3

C. 2

2

D. 3

2

238. Halla el 11

cos6

A. 1

2

B. 3

2

C. 3

2

D. 3

239. Si 2 2cos ( ) ( ) 1x sen x , entonces 2 2cos (60 ) (60 )sen

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

240. Halla la tanπ

4

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

241. Halla el cos2

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

242. Halla el cos120

A. 3

2

B. 2

2

C. 3

3

D. 1

2

*

*

*

*

*

*

*

*

40

243. Dado que:

x = cosθ y y senθ, entonces tanθ =y

x :

Halla la tan 600

A. 1

2

B. 3

2

C. 3

D. 2 3

Utiliza la información que se provee en el triángulo para contestar los ejercicios 244 al 247.

244. Halla el sen30

A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732

245. Halla el cos 60

A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732

246. Halla el cos30

A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732

247. Halla la tan 60

A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732

M.UM. 11.8.3

Calcula las longitudes de arco.


248. Halla la longitud del arco AB

A. 9

8𝜋 cm

B. 3

8𝜋 cm

C. 3

4𝜋 cm

D. 4

9𝜋 cm

249. Halla la longitud del arco AB.

A. 7

3𝜋

B. 7

6𝜋

C. 98

3𝜋

D. 3

7𝜋

250. Halla la longitud del arco XY.

A. 4

3𝜋

B. 2

3𝜋

C. 8

3𝜋

D. 46𝜋

*

*

*

*

*

*

*

*

41

251. Halla la longitud del arco AB

A. 20.28

118𝜋

B. 118

20.28𝜋

C. 3.323𝜋

D. 6.647𝜋

252. El siguiente círculo tiene su centro

en O, y su radio mide 2 pies. Dado

que , ¿Cuál es la

longitud de ?

A. 10

9𝜋

B. 2

100𝜋

C. 5

9𝜋

D. 3

7𝜋

E. 50𝜋

253. El siguiente círculo tiene su centro

en O, y su radio mide 8 yd. Dado

que , la longitud

del arco AB es:

A. 9

8𝜋

B. 8

9𝜋

C. 4

9𝜋

D. 9

4𝜋

254. ¿Cuál es la longitud de un círculo

de 3.5 radianes, si el radio de la

circunferencia mide 6 cm?

A. 10.5 cm

B. 0.37cm

C. 32.97cm

D. 21cm

255. Los brazos de un columpio

miden 1.8 m de largo y

pueden describir como

máximo un ángulo de

146°.Calcula el espacio

recorrido por el asiento del

columpio cuando el ángulo

descrito en su balanceo es el

máximo.

A. 4.58m

B. 2.29 m

C. 4.13 m

D. 6.72 m

256. Un faro barre con su luz un

ángulo plano de 128°. Si el

alcance máximo del faro es de

7 millas, ¿cuál es la longitud

máxima del arco

correspondiente?

A. 7.82 millas

B. 28.33 millas

C. 14.16 millas

D. 15.63 millas

257. ¿Cuál es la medida en grados de

un arco cuya longitud en radianes

es 7𝜋

6 ?

A. 154°

B. 366°

C. 269°

D. 210°

*

*

*

*

*

*

*

42

M.TM. 11.8.3

Calcula las longitudes de arco.


258. En la siguiente figura, el punto C

es el centro del círculo. ¿Cuánto

mide, en centímetros, el arco

menor AB si mACB = 72° y la

circunferencia mide 48 cm?

Solución: 9.6

ESTÁNDAR 5: ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD E.IP.11.9.4 Interpola utilizando las

tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuándo las tendencias extrapoladas son apropiadas.


E.AD.11.10.1 Demuestra y describe como las diferentes escalas “original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica” puede afectar los diagramas de dispersión.


259. El grupo de José hizo una

investigación sobre la relación entre las horas de estudio de cada estudiante y su nota en el examen final de matemáticas. Ellos calcularon el coeficiente de correlación, usando diferentes escalas, como se muestra en la siguiente tabla:

Demuestra o explica cuál sería la mejor escala que representa los datos.

E.AD.11.10.2

Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales.


260. Una compañía va a transferir parte

de sus operaciones a un país de Europa. La nómina de los trabajadores del departamento que se va transferir tiene una media de $3,500.00 y una desviación estándar de $430.00. Si los nuevos sueldos (a) que va a pagar la compañía se pueden calcular con la ecuación a = p - 150, donde p son los sueldos actuales, ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación estándar de la nómina?

Contestación: A

Escala Coeficiente de

Correlación

Lineal 0.012

Cuadrada 0.967

Logarítmica -0.443

Raíz Cuadrada -0.003

A µ =$3,350 σ =$430

B µ =$3,350 σ =$80

C µ =$3,500 σ =$80

D µ =3,500 σ =$330

43

E.PR.11.12.2 Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.


E.PR.11.12.3 Utiliza las representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.


261. En una clase de inglés las

calificaciones del examen final arrojaron un promedio de 60 y una desviación estándar de 16. En un examen de matemáticas las calificaciones promediaron 58 con una desviación estándar de 10. Si un alumno obtuvo 72 en el examen de inglés y 68 en el examen de matemáticas ¿a cuántas desviaciones estándar está cada una de sus calificaciones por encima del promedio de la clase respectiva?

A. 0.83 en inglés y 0.85 en

matemáticas B. 0.85 en inglés y 0.83 en

matemáticas C. 0.75 en inglés y 1.00 en

matemáticas D. 1.00 en inglés y 0.75 en

matemáticas 262. Basado en la premisa del ejercicio

anterior, en qué materia el estudiante exhibió un mejor desempeño?

A. Mejor en inglés que en matemáticas. B. Mejor en matemáticas que en inglés. C. Igual en inglés que en matemáticas. D. No se puede determinar.

263. Las puntuaciones en una prueba de matemáticas de una muestra de 15 estudiantes de noveno grado fueron:

Al hallar la desviación estándar podemos concluir que:

A. el promedio es 29.7 y la desviación estándar es 54.06

B. el promedio es 74.06 y la desviación estándar es 39.7

C. el conjunto de datos responde a un modelo normal según la regla empírica

D. el conjunto de datos no responde a un modelo normal según la regla empírica.

264. Durante seis domingos

consecutivos, el dueño de una grúa recibió 9, 7, 11, 10, 13, y 7 llamadas de servicio. Al calcular la desviación estándar, podemos llegar a la siguiente conclusión:

A. el promedio es 9.5 y la desviación

estándar es 2.3. B. el promedio es 2.3 y la desviación

estándar es 9.5. C. el conjunto de datos responde a un

modelo normal según la regla empírica.

D. alternativas A y C.

*

*

*

*

44

E.PR.11.12.3

Utiliza las representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.


265. En cinco intentos, a una persona le tomó 11, 15, 12, 8 y 14 minutos cambiar una goma a un auto. Calcula la desviación estándar (s) y aplica la regla empírica para verificar si estos datos exhiben una distribución normal.

Solución:

media = 12.0 minutos desviación estándar = 2.74 minutos Exhiben una distribución normal.

266. Los siguientes son los tiempos, en

segundos, que le tomó a ocho automóviles acelerar de 0 a 60 mph: 15, 12, 15, 18, 19, 14, 17 y 15 segundos. Utilice la fórmula de cálculo para hallar la desviación estándar(s) y decidir si el conjunto de datos exhibe una distribución normal.

Solución:

media = 15.63 segundos desviación estándar = 2.64 segundos No exhiben una distribución normal.

EJERCICIOS ADICIONALES PPAA 2010

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