Implicaciones didcticas de Geogebrapara el tratamientode los tipos de funciones en estudiantesdel ltimo grado de secundariaGeogebradidactic implications on the typesoffunctions study in high school seniors

Edwin David Tamayo MartnezColegio Colombo Francsedwindavidtamayo@gmail.com

RESUMEN

Este trabajo presenta los resultados de una investigacin de carcter cualitativo cuyo propsito fue la evaluacin del Geogebrapara determinar implicaciones didcticas relacionadas con el uso de este tipo de recurso educativo en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. El estudio indag, partiendo de las percepciones de estudiantes y docente, las debilidades y fortalezas de este recurso y dedujo implicaciones en el aprendizaje significativo. Se realizaron tres talleres para el anlisis de los diferentes tipos de funciones con estudiantes del grado 11 del Colegio Colombo Francs del municipio de La Estrella (Antioquia, Colombia); estos talleres fueron objeto de reflexin sobre cuatro aspectos centrales: dificultades ms comunes al implementar el recurso; fortalezas que puedan orientar reflexiones didcticas; descripcin de las interacciones entre estudiantes y docente que fortalecen la aplicacin delGeogebra;y principales necesidades para mejorar las intervenciones en el aula.

Palabras clave:

Recursos educativos abiertos, Geogebra, clculo,tipos de funciones, aprendizaje significativo.

ABSTRACT

This paper presents the results of a qualitative research which was aimed toGeogebraassessment in order to determine educational implications related to the use of this type of educational resources in the teaching and learning of mathematics. The study inquired based on perceptions of students and teacher the weaknesses and strengths of these resources implications deducing in this way a meaningful learning. Three workshops were implemented to analyze the different types of functions with students of 11th grade at the French Colombo High School, Municipality of LaEstrella(Antioquia, Colombia). On these workshops the subjects of our reflection focused on four aspects: common difficulties implementing the resource, strengths which could offer didactic reflections, describing interactions between students and teachers to strengthen the implementation ofGeogebraand main requirements to improve interventions in the classroom.

Keywords:

Open educational resources,geogebra, calculus, types of functions, meaningful learning.

INTRODUCCINDentro del contexto mundial actual, influenciado por el crecimiento tecnolgico y cientfico y el auge de las nuevas tecnologas de la informacin y de la comunicacin (NTIC) y de los recursos educativos abiertos (REA), se ha identificado como una necesidad la transformacin de los procesos escolares, imperativo ineludible y de gran impacto en el currculo educativo (Castillo, 2008).La UNESCO plante la insercin de los REA en las dinmicas formativas escolares (Geser, 2007), en tanto se reconoce la necesidad de adaptacin del sector educativo (Orozco-Moret y Labrador, 2006). Sumado a estos importantes retos, existe una sealada desmotivacin de los y las estudiantes frente a las matemticas, que deriva muchas veces en fracaso escolar.Existe, sin embargo, una incoherencia entre la insercin de los REA a la enseanza de las matemticas y el anquilosamiento de viejas estrategias didcticas y perspectivas pedaggicas centradas en el docente. Ante este reto, surgieron las siguientes preguntas:cules implicaciones didcticas pueden resultar de las percepciones de estudiantes del grado 11 del Colegio Colombo Francs y del docente sobre la aplicacin de los REA en la clase de matemticas?, cmo se evala el aprendizaje significativo como referente terico de la aplicacin de los REA para la enseanza de las matemticas? y cules dificultades y potencialidades didcticas evidencian docente y estudiantes frente a la aplicacin de los REA en sus clases?Los REA se entienden aqu, segn la UNESCO (citada por Sicilia, 2007), como materiales en formato digital que se ofrecen de manera gratuita y abierta para educadores, estudiantes y autodidactas para su uso y reuso en la enseanza, el aprendizaje y la investigacin (p. 27). El propsito de esta investigacin consisti en conocer las posibles implicaciones didcticas que pudieran fundamentar la implementacin de este tipo de recursos en la enseanza de las matemticas, a partir del anlisis crtico de las percepciones que estudiantes y docentes tuvieron sobre talleres en los que se us el programaGeogebrapara el estudio de los diversos tipos de funciones. En relacin con ello, se busc obtener algunas implicaciones que los presupuestos del aprendizaje significativo tuvieran en la implementacin de recursos similares a ste.El estudio de esta problemtica requiri reconocer que el principal reto de la insercin de las TIC en el aula est relacionado con que stas implican cambios paradigmticos, curriculares y reflexiones pedaggicas profundas, pero stas muchas veces se aplican mediadas por la incoherencia entre nuevas herramientas informticas y estancadas estrategias didcticas centradas en el docente. Al respecto, Geser (2007) expone cmo Open e-Learning Content ObservatoryServices (OLCOS) reconoce que la insercin de los REA en el modelo dominante de transferencia de conocimiento centrado en el docente no tendr impactos importantes, razn por la cual se resaltan prcticas educativas constructivistas con centro en la actividad del estudiantado.Grtrudix et al. (2007) sustentan que las TIC exigen la evolucin de las prcticas pedaggicas: stas deben alumbrar un nuevo escenario de enseanza/aprendizaje que se afiance en criterios sustantivos como la autonoma, la flexibilidad y la interrelacin de los mbitos de conocimiento (p. 15). Esta investigacin es relevante en tanto sugiere una reflexin necesaria sobre el impacto de los REA en dinmicas del aula sustentadas sobre el aprendizaje significativo, que centra el proceso de aprendizaje en el estudiantado.REFERENTES TERICOSPara reflexionar sobre la mera reproduccin tecnolgica en el marco de modelos tradicionales, en este trabajo se sustentan algunos presupuestos del constructivismo y delaprendizaje significativo. El constructivismo puede considerarse, segn Ordez (2004), como un agrupamiento de concepciones sobre el aprendizaje para repensar los mtodos de enseanza y el papel activo que se exige del sujeto que aprende como responsable de su aprendizaje y del docente como agente mediador y posibilitador de los procesos de construccin de conocimientos que elaboran sus estudiantes.Desde esta concepcin pueden resumirse los siguientes postulados: el alumno es responsable de su propio aprendizaje; su actividad mental se aplica al desarrollo de funciones cognitivas; la funcin del docente es mediar entre los procesos de construccin del alumno y el saber colectivo culturalmente originado, as como considerar los conocimientos previos con el fin de generar nuevo aprendizaje y el diseo constante de herramientas didcticas; los agentes mediadores permiten potencializar el aprendizaje y sus funciones psicolgicas superiores. Frente a la aplicacin de los REA en el aula, lo relevante del modelo constructivista radica en que el verdadero artfice en la construccin del conocimiento no es el profesor ni la computadora, sino el alumno (Castillo, 2008, p. 179), lo que requiere recoger los principios de este enfoque para sustentar una insercin de estos recursos en el aula. El aprendizaje significativo puede explicar de manera directa esta relacin.David Ausubel considera que el sujeto, para obtener un aprendizaje, debe pasar por un proceso de reestructuracin de sus ideas, conocimientos, representaciones mentales y conceptos: Aprender es sinnimo de comprender, el aprendizaje est estrechamente ligado a las relaciones existentes entre el nuevo conocimiento y el que ya posee el alumno(Carretero, 2009, p. 27). En consecuencia, el aprendizaje pasa a ser significativo en la medida en que los conceptos forman parte de las estructuras que poseen los estudiantes, y se evita slo asociar los nuevos contenidos que se quieren ensear con los que tiene el estudiante; el esfuerzo debe estar dirigido a que interaccionen; esto es, se debe evitar que la informacin se almacene de manera arbitraria.Para Ausubel (2002), se debe contar con la predisposicin para aprender y un material potencialmente significativo. Lo primero hace referencia al indispensable deseo por aprender y lo segundo, a que el material de aprendizaje est ordenado y tenga cierta coherencia lgica para establecer relaciones con lo que el estudiante conoce.Un material potencialmente significativo debe poder relacionarse de manera no arbitraria y no literal con cualquier estructura cognitiva y la estructura cognitiva debe contener ideas de anclaje pertinentes con las que el nuevo material se pueda relacionar. La incorporacin de REA implica, entonces, un reconocimiento de las ideas previas y estructuras cognitivas de los y las estudiantes y una orientacin adecuada para que realicen los anclajes pertinentes con la mediacin de estos recursos informticos.INVESTIGACIONES EMPRICAS RELACIONADAS CON EL TEMAEl trabajo de Castillo, en primer lugar, enmarca los presupuestos tericos del constructivismo en la enseanza de las matemticas partiendo de las TIC y reflexiona sobre cmo estas tecnologas impactan el currculo y trascienden la discusin sobre la necesidad de usarlas para reconocer la importancia de evaluar sus ventajas. Una de las conclusiones ms importantes de este trabajo se refiere a las implicaciones de la intervencin de las tecnologas en el aula desde el constructivismo. Esta investigacin efecta una categorizacin de las TIC, desde dicho enfoque, como herramientas de apoyo para aprender, medios de construccin, extensin de la mente y soporte didctico para diversos presupuestos tericos. Explica que la concepcin de las TIC debe trascenderse, as, para dejar de verse slo como medios y empezar a entenderse como elementos motivadores, creadores, que facilitan los procesos cognitivos de manera integrada con los dems elementos del currculo (Castillo, 2008, p. 186).El Ministerio de Educacin Nacional de Colombia (MEN, 2008), por su parte, sugiere un amplio campo referencial de aproximaciones empricas en la implementacin de estas tecnologas. Algunos resultados importantes de estas investigaciones, referidos a las implicaciones didcticas, pueden resumirse de la siguiente manera: los procesos de modelacin matemtica se facilitan considerablemente con las nuevas tecnologas (Leal, Iglesias y Urbina, 2008; Camargo, 2008); el trabajo en el rea se hace menos tedioso, pues se facilita la representacin y la interaccin con los problemas (Leal, Iglesias y Urbina, 2008; Lozano y Camargo, 2008), se motivan procesos de investigacin matemtica en el aula (Leal, Iglesias y Urbina, 2008; Acosta, Rodrguez y Camargo, 2008), y de argumentacin, comunicacin e interaccin (Llanos, 2008; Lozano y Camargo, 2008; Camargo, 2008).Respecto a la educacin superior, el trabajo de Toledo et al. (2005) presenta algunas implicaciones didcticas de las TIC, especialmente orientadas a elevar la motivacin en el aula. Se resalta en este trabajo la posibilidad de que los y las estudiantes pueden representar sin dificultad objetos matemticos y analizar su comportamiento, incidiendo en su inters y facilidad para la adquisicin del conocimiento.Finalmente, en la investigacin emprica de Sabn et al. (2005), adems de resaltar los impactos de las TIC en la equidad, sealan la incidencia que tienen sobre el fomento de la participacin activa de los estudiantes y la facilidad para romper viejos esquemas de aprendizaje y propiciar otros de carcter novedoso.METODOLOGASe abord un paradigma cualitativo-interpretativista, de carcter fenomenolgico, que asume lo social como una realidad construida por los sujetos y que se rige por leyes sociales (Bonilla, 1997); la realidad es dinmica, mltiple, holstica y relativa, y segn Valenzuela y Flores (2011), existen aspectos subjetivos en el comportamiento de las personas que se pueden analizar, lo que exige indagar los significados de las acciones de los y las estudiantes en el aula de clase, as como las percepciones y acciones del docente de rea en el momento de interactuar con los REA. Con base en estos referentes, este paradigma fundamenta la investigacin fenomenolgica, centrada en la experiencia y la interpretacin (Valenzuela y Flores, 2011).El docente de rea fue a la vez investigador y antes de presentar esta condicin, un sesgo de anlisis, evidencia ms bien una potencialidad que debe aprovecharse en esta investigacin. El investigador explora sus propias experiencias para: examinar las dimensiones de la experiencia, ser consciente de sus prejuicios, puntos de vista y supuestos (Valenzuela y Flores, 2011, p. 99).Esta investigacin se llev a cabo en el Colegio Colombo Francs, de carcter privado (municipio de La Estrella, Antioquia, Colombia), con 21 estudiantes del grado 11.La seleccin de participantes se hizo con el criterio de conveniencia (Valenzuela y Flores, 2011), dado que el docente investigador ha tenido experiencias formativas diversas con el grupo y se presentaron posibilidades y facilidades administrativas para la intervencin. De este grupo, se escogieron dos estudiantes, identificados como unidades de anlisis de variacin mxima, es decir, segn Valenzuela y Flores (2011),chicos que representaron caractersticas variadas o posturas contrastantes frente a los resultados: uno de ellos realiz un trabajo concienzudo, con profundo registro de la actividad y motivacin; el otro chico cumpli medianamente con el propsito, mostr desmotivacin y dispersin.El propsito en esta investigacin, por su carcter cualitativo, no es la generalizacin, sino la comprensin de una realidad para derivar anlisis significativos que orienten otras prcticas educativas con REA.Se implementaron tres instrumentos para la recoleccin de la informacin. La observacin participante, que plantea la participacin activa del investigador en las experiencias del grupo, quien acta sobre el medio y recibe, al mismo tiempo, la accin del medio (Woods, 1995), fue un instrumento que comprendi el registro de manera sistemtica (Marshall y Rosman, 1999, citado porValenzuela y Flores, 2011) y estuvo apoyado por el diario de campo. Con la ayuda de un docente como agente externo, se realiz tambin un ejercicio de observacin pasiva (Valenzuela y Flores, 2011) que cumpli los mismos propsitos de la observacin participante, pero esta vez procurando no intervenir en las situaciones del aula.Ambos tipos de observaciones contaron con unchecklistpara su orientacin de acuerdo con cinco aspectos centrales: disposicin de los estudiantes en el saln (formacin de grupos y disposicin corporal), interacciones entre estudiantes (ejemplos de dilogos, preguntas o comentarios formulados durante la sesin), interacciones entre estudiantes y el docente (otros dilogos, preguntas y comentarios especialmente referidos a la gua de trabajo, los REA y los resultados obtenidos), interaccin con los REA (dificultades y facilidades evidenciadas en estudiantes) e interaccin con la gua (preguntas y dificultades relacionadas con sta). Cada sesin de trabajo tuvo una observacin participante y otra no participante.El segundo instrumento fue el diario de campo: notas en forma de apuntes redactadas durante las jornadas de investigacin y notas ms extensas escritas con posterioridad. Sirvi para llevar un registro de las observaciones, recoger las percepciones del docente, especulaciones para posteriores anlisis y nuevas preguntas surgidas de la experiencia.Las entrevistas fueron el tercer instrumento y estuvieron dirigidas a dos estudiantes participantes; describieron las visiones de los y las estudiantes, pero se entendieron como una construccin de significados entre el investigador y el participante, y no slo de este ltimo (Valenzuela y Flores, 2011). Las entrevistas fueron semiestructuradas: partieron de una lista de preguntas que se utilizaron de manera flexibley se orientaron a tres temas generales: evaluacin de los REA (dificultades, fortalezas o facilidades evidenciadas), interacciones entre estudiantes y relacin de las actividades con el aprendizaje.Para larecoleccin de la informacin, se implementaron tres talleres con los y las estudiantes participantes y se abord el tema Tipos de funciones, por medio del REAGeogebray una gua de trabajo. Estos talleres tuvieron una duracin de dos horas de clase (de aproximadamente cincuenta minutos cada una).Tambin se propuso a otro docente del rea que hiciera observaciones sobre la gua que orient el trabajo de los estudiantes durante los talleres. Dicha gua present en su estructura una introduccin a la experiencia, en la que se explicaba la intencionalidad; instrucciones para la exploracin del REA, con algunas construcciones geomtricas bsicas y representaciones de funciones trabajadas en otras clases con los estudiantes; se pidi a los estudiantes dibujar dos grficas por cada tipo de funcin(lineal, polinmica, potencial, racional, trigonomtrica y exponencial). Finalmente, se sugiri el anlisis de las siguientes preguntas para el caso de las funciones dibujadas, comparando cada par: qu forma tiene la grfica de la funcin?, cules son las caractersticas ms importantes de la grfica?, cuntas veces intercepta la grfica el eje x?, cmo se relaciona el nmero de interceptos de la grfica con el mayor exponente de la funcin?, es simtrica la grfica? y cmo se relaciona la simetra con el exponente de la funcin?El proceso de anlisis, por su parte, consisti en la transcripcin y conversin de la informacin en material escrito que, despus de una lectura cuidadosa, se organiz sistemticamente por medio de categoras en cuatro niveles de generalidad. Esta etapa implic fraccionar la informacin, como lo explica Bonilla (1997), derivando subconjuntos y asignndoles un nombre, con la intencin de ordenar de una manera coherente, completa, lgica y sucinta la informacin (Woods, 1995). Las categoras fueron analizadas de acuerdo con sus recurrencias y validadas en conformidad con las fuentes en que fueron identificadas, a manera de triangulacin; algunas categoras tienen un carcter de validez mayor porque fueron reportadas en un diario y una entrevista, o bien, en diarios, notas de observaciones y entrevistas. Otras, por su parte, slo se reportaron en un instrumento, o presentaron una recurrencia insignificante; su valor, sin embargo, no fue desconocido, pues dichas categoras se podran convertir en nuevas preguntas o en fundamento de nuevas reflexiones.Los niveles de generalidad de dichas categoras se diferenciaron por su carcter sensibilizador o descriptivo: categoras descriptivas, segn Woods (1995), son las que se organizan conforme a rasgos comunes observados; las sensibilizadoras son ms generales, pues recogen caractersticas comunes en un grupo de categoras descriptivas. Las sensibilizadoras de ms generalidad fueron: Dificultades durante el taller, Fortalezas durante el taller, Interacciones y Necesidades identificadas frente al taller. En otros niveles se encontraron aquellas que se desprendieron del primer nivel, como Desmotivacin frente al trabajo y Dificultades especficas (mayor nivel de generalidad) o Carcter limitado del trabajo y Debilidades de la gua (menor nivel de generalidad). Elanlisis posterior consisti en la bsqueda de relaciones entre estos bloques de informacin, buscando patrones o recurrencias.Libertexto, un plugin deFirefoxenlazado al programaFreeMind, facilit este proceso y permiti elaborar mapas de la categorizacin, en los cuales se establecieron las relaciones y asociaciones ms complejas.RESULTADOSDificultades durante el taller de GeogebraEn los diarios y las entrevistas se evidenci con alta recurrencia, segn algunos estudiantes, monotona de la actividad con elGeogebra. Algunos comentarios que expresaron los chicos fueron, por ejemplo, Gas, esta cosa me tiene harta o Para m fue como la monotona, porque trabajamos en tres clases la misma actividad o laopinin de un entrevistado: Muchos estudiantes se estaban quejando de que era un tema muy repetitivo. Al evaluar la gua, se plantearon cuatro preguntas que haba que desarrollar para cada tipo de funcin, ocho en total, aspecto que, seguramente, produjo el tedio expresado por los y las estudiantes.La insuficiente posibilidad del docente de atender a sus estudiantes fue otra dificultad con un amplio grado de recurrencia, segn diarios y observaciones. El docente muchas veces no alcanz a responder a todos sus estudiantes, pues se presentaban muchos llamados a la vez. Esta dificultad fue ms evidente el primer da, hasta que se estableci por parte del docente un orden especfico para contestar las preguntas, o bien, cuando pidi a estudiantes ms avanzados en la tarea que colaboraran con sus compaeros. Aunque no fue evidente durante el anlisis, esta dificultad podra estar en relacin con algunas debilidades de la gua.Con un alto grado de recurrencia en entrevistas, diarios y observaciones, se evidenciaron mltiples situaciones de dispersin de estudiantes debidas al espacio, a los equipos de cmputo y a los estudiantes mismos. Una de las condiciones ms recurrentes fue la referente a los equipos de cmputo, pues algunos estudiantes abran subrepticiamente pginas en internet ajenas a los temas tratados. Otras condiciones menos significativas estuvieron relacionadas con el uso a escondidas de audfonos o delBlack Berry, lasensacin de que el tiempo era suficiente y, por tanto, la tendencia a realizar otras tareas, as como los deseos de conversar con compaeros cercanos sobre otras cuestiones, como seala un estudiante : Uno, honestamente, no siempre est trabajando, sino que muchas veces habla de cosas diferentes y se dispersa, que tambin lo evidenci con otros compaeros, que era que se dispersaban y a uno no le renda tanto el tiempo.Fortalezas del uso del recurso encontradas durante el tallerSe identificaron dos grupos de datos sobre las fortalezas relacionadas, evidentemente, con los hallazgos expuestos en las investigaciones empricas analizadas en los referentes de esta investigacin: potencialidades del REA y motivacin de estudiantes para el trabajo. Respecto a las potencialidades del recurso, categora con una amplia recurrencia tanto en diarios como en observaciones y entrevistas, describe los siguientes aspectos centrales: posibilidades de generar conflicto cognitivo; accesibilidad y facilidad de manejo del programa; precisin en la elaboracin de grficas y eficiencia en su realizacin; adems, permite y motiva interacciones entre estudiantes.Posibilidades de generar conflicto cognitivo:fue evidente la intencin del docente de plantear preguntas y orientaciones individuales que generaban conflicto cognitivo frente a afirmaciones de estudiantes, referidas al comportamiento asinttico de una funcin, simetra o comportamiento exponencial. En dos casos por los menos, los propsitos del taller fueron trascendidos por estudiantes que encontraron caractersticas y sacaron conclusiones que en la gua no se esperaban. Un estudiante, por ejemplo, frente a ecuaciones potencia con exponente par muy grande, dijo: Yo creo que no se pegan [al eje x], tengo la intuicin.Facilidad de manejo del programa:algunosestudiantes afirmaron que el programa era muy accesible y fcil de manejar y, adems, permita corregir ocasionales errores en la nomenclatura de funciones.Precisin y eficiencia en la realizacin de grficas:losestudiantes compararon la experiencia de elaborar grficas en el programa y a mano, y expresaron que el primero ofreca mucha eficiencia; por ejemplo, un alumno afirm que el programa en s [] es muy efectivo, digamos, yo meto la funcin y ah mismo me la arroja en menos de un segundo. Distinto de lo cual sera cuando uno le dan la funcin en clase y toca plasmarlo en una hoja de clculo y se demora.Permite y motiva interacciones entre estudiantes:por momentos, algunos estudiantes interactuaban juntos con el programa, bien fuera porque uno de ellos estaba explicndole al otro o porque estaban discutiendo sobre hallazgos encontrados por separado. Con un amplio grado de recurrencia, se evidenciaron mltiples interacciones. Las interacciones con los REA permitieron a los estudiantes autonoma o facilidad para manipular las herramientas del programa. Resaltaron algunas dificultades ya mencionadas (aunque con un bajo nivel de recurrencia) en el lxico, desaparicin de algunas funciones (por insertar de modo inadecuado la descripcin algebraica), manejo de escalas y dezoom. Las interacciones entre estudiantes se evidenciaron con un alto grado de recurrencia y en diferentes fuentes. En ocasiones, llegaron a acuerdos para distribuirse el trabajo o a agrupamientos autnomos. Hubo ayuda entre estudiantes avanzados en la actividad o entre rezagados en su desarrollo, o entre avanzados y rezagados: unos asesoraban a otros y algunas explicaciones se extendan por el grupo, fuera porque el docente lo solicitaba o porque los estudiantes mismos lo hacan. Un entrevistado, por ejemplo, afirma: Empec a trabajar con una compaera y hacamos que ella pona una funcin y yo otra y luego nos pasbamos los datos y los plasmbamos y nos ayudbamos, pues porque de todos modos es un programa que hay veces no manejbamos bien, entonces nos corregamos la funcin, dnde debe ir el parntesis, cules eran los signos.De una recurrencia tambin amplia en los instrumentos fueron las interacciones entre estudiantes y docente. Este ltimo expona algunas instrucciones y propona moderaciones con el inters de generar situaciones de conflicto cognitivo; por ejemplo, con las intercepciones con los ejes, la simetra o el anlisis grfico; orientar el buen aprovechamiento del tiempo de clase; organizar los equipos de cmputo y el carcter colectivo o individual del trabajo; presentar condiciones para la sistematizacin del trabajo; la lectura y el desarrollo adecuado de la gua de trabajo, entre otras.Necesidades identificadas durante los talleres para mejorar el uso del REAUna primera necesidad identificada para evitar el desorden de los llamados para preguntar al docente fue resolver dudas de manera grupal. Respecto de la gua, se evidenci que sta debera contar con instrucciones ms desglosadas, lo que implicara trabajos especficos y no tan extensos, con conceptos simples, en lo posible, explicados en un lenguaje comn. Fue preciso proponer estrategias de sistematizacin ms ordenadas, fuera porque las preguntas estuvieran mejor ordenadas o porque se dispusieran herramientas diferentes al mero uso del cuaderno.Si bien hubo apoyos entre estudiantes, considerando la zona de desarrollo potencial para ampliar la zona de desarrollo proximal, segn las elaboraciones de Vygotsky (1995), se hizo evidente la necesidad de motivar por pate del docente an ms estos apoyos.Finalmente, hizo falta disponer el espacio para realizar socializaciones grupales durante la actividad, aunque stas se hayan pensado para despus de los talleres como actividad en la clase y por fuera de la sala de computadoras.DISCUSIN Y CONCLUSIONESImplicaciones didcticas del Geogebra como REA en el aula de matemticasLa monotona durante la experiencia, representada sobre todo por el carcter repetitivo del trabajo propuesto, se constituye en un antecedente ineludible para la reflexin sobre los REA en el aula de matemticas. Algunas alternativas posibles pueden asociarse a la implementacin de actividades variadas en el tratamiento de un tema dentro de un mismo taller, o bien, durante un periodo acadmico; al respecto, la motivacin inicial de los chicos con el REA puesto en prctica fue muy notoria, pero sta fue decayendo, en especial porque se peda el desarrollo de muchos puntos atendiendo a las mismas preguntas. Esta diversidad de actividades tambin puede tratarse del uso de diversos REA a la vez, como complemento entre s o independientemente. Tambin puede proponerse actividades para abordar temas, procedimientos o reflexiones en diferentes mbitos del rea y no, como fue el caso del tipo de funciones, en un solo aspecto. La diversificacin podra servir, adems, para mediar sobre la dispersin de los estudiantes, que tanto se evidenci durante los talleres.Celaya, Lozano y Ramrez plantean las siguientes preguntas refirindose a los REA: Qu sucede con el conocimiento que adquiere el docente que adopta esos recursos en sus clases?, es capaz de generar sus propios materiales o mejorar los que ya existen? o slo es un consumidor? (2010, p. 492). Las guas, de acuerdo con esto, requieren ser desarrolladas, evaluadas y modificadas por el docente, que en lo absoluto, ante los REA, puede ser slo un consumidor. En dicha experiencia fue evidente que stas no pueden ser demasiado extensas. Ms bien podran proponerse talleres ocasionales para resolver en una sesin o en parte de la sesin; esto es, evitar que las actividades sean muy continuas cuando se trata del mismo tema o propsito de enseanza. De esta manera, algunas actividades con el REA pueden enfocarse a profundizar, otras a clarificar o abordar un concepto, y otras a evaluar un aprendizaje, por ejemplo. Las guas deben contar con una revisin cuidadosa segn estos criterios: extensin, claridad y uso de conceptos simples (en lo posible y cuando el objetivo no est relacionado con el desarrollo de procesos formales).En concordancia con Cebrin de la Serna (citado por Castillo, 2008), el conocimiento en la aula debe formarse en la reflexin y en el trabajo colaborativo. El trabajo individual result pertinente, siempre y cuando los y las estudiantes tuvieron la posibilidad de interactuar, discutir, compartir informacin y acompaarse. Esto, en esencia, sustenta un trabajo colaborativo efectivo para el rea, especialmente cuando el foco del ejercicio docente est puesto en el conflicto cognitivo, la construccin colectiva de conocimiento y el aprendizaje significativo. Este tipo de acompaamientos es una herramienta muy til para facilitar la intervencin docente.Celaya, Lozano y Ramrez (2010) exponen algunos resultados sobre la perspectiva del docente ante el uso de los REA, que se confirmaron en esta investigacin: existe un conocimiento bsico por parte del docente de estos recursos; stos pueden usarse para complementar o apoyar los temas tratados o mejorar la comprensin de los que son muy abstractos; sirven como apoyo a la enseanza por sus estmulos visuales y por la interactividad y la creatividad que promueven; permiten llevar a cabo clases menos ridas y aplicar conceptos a la prctica. Una potencialidad ineludible delGeogebraes que los y las estudiantes pueden explorar funciones complejas de manera interactiva, con eficiencia y precisin. Este recurso se constituye en una herramienta muy til para analizar el comportamiento asinttico de una funcin, la simetra, la tendencia a infinito, los interceptos con los ejes de coordenadas y el origen, los lmites y la composicin y transformacin de funciones, tal como pudo evidenciarse en los resultados.Es notoria la necesidad en los grupos participantes de encontrar estrategias para la lectura sistemtica y comprensiva de instrucciones, pues se advirti una deficiencia importante durante las actividades; como se expuso ya, la intervencin del docente, tanto sobre la gua como en el aula, es fundamental y requiere una atencin trascendental.El aprendizaje significativo y posibilidades didcticas desde el GeogebraElGeogebrapresenta posibilidades para generar conflicto cognitivo por parte del docente y del estudiante mismo. Es una herramienta til para indagar las concepciones previas de los estudiantes, ya que permite, por medio de guas que propendan por la construccin activa del conocimiento, la interaccin directa de estudiantes con las matemticas, adems de que es un material potencialmente significativo. El aprendizaje significativo desde este recurso, no obstante, debe partir de una gua de trabajo que oriente preguntas, reflexiones e interacciones en los estudiantes (ms all de la mera representacin). La construccin de conceptos a partir de la observacin, el anlisis y el razonamiento, la bsqueda de caractersticas generales y la exploracin sistemtica fueron procesos implementados que trascendieron un aprendizaje por recepcin. De acuerdo con Castillo, las situaciones problemticas introducen un desequilibrio en las estructuras mentales del alumno, de tal manera que en la bsqueda de ese acomodamiento se genera la construccin del conocimiento (2008, p.177).REFERENCIAS BIBLIOGRFICASAcosta, E., Rodrguez, F. y Camargo, L. (2008). Exploracin, construccin, argumentacin y demostracin en la solucin de un problema. En MEN.Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas.Memorias del Congreso Internacional. Bogot.Ausubel, D. (2002)Adquisicin y retencin del conocimiento. Una perspectiva cognitiva. Buenos Aires: Paids.Bonilla, E. (1997).Ms all del dilema de los mtodos. La investigacin en ciencias sociales.Santaf de Bogot, Colombia: Grupo Editorial Norma.Camargo, L. (2008). Una experiencia de descubrimiento en clase de geometra. En MEN (2003).Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas.Memorias del Congreso Internacional. Bogot.Carretero, M. (2009).Constructivismo y educacin. Buenos Aires: Paids.Castillo, S. (2008). Propuesta pedaggica basada en el constructivismo para el uso ptimo de las TIC en la enseanza y el aprendizaje de la matemtica.Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa,vol. 11, nm. 2, pp. 171-194.Celaya, R., Lozano, F. y Ramrez, M. (2010). Apropiacin tecnolgica en profesores que incorporan recursos educativos abiertos en educacin media superior.Revista Mexicana de Investigacin Educativa, vol. 15, nm. 45, pp. 487-513.Geser, G. (2007). Prcticas y recursos de educacin abierta: la hoja de ruta OLCOS 2012.Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento,vol. 4, nm. 1, pp. 4-12.Grtrudix, M. et al. (2007). Acciones de diseo y desarrollo de objetos educativos digitales: programas institucionales.Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento,vol. 4, nm. 1, pp. 14-23.Leal, J., Iglesias, R. y Urbina, J. (2008). La modelacin como estrategia de verificacin y generalizacin en la solucin de un problema de optimizacin. En MEN.Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas.Memorias del Congreso Internacional.Bogot.Llanos, H. (2008). La Maloka: un caso de apropiacin de nuevas tecnologas computacionales en la promocin del pensamiento variacional. En MEN.Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas.Memorias del Congreso Internacional. Bogot.Lozano, L. y Carmargo, L. (2008). Exploraciones acerca de ngulos congruentes a partir de ambientes de aprendizaje dinmicos. En MEN.Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas. Memorias del Congreso Internacional.MEN.MEN (2008).Tecnologas computacionales en el currculo de matemticas. Memorias del Congreso Internacional. Bogot.Ordez, C. (2004). Pensar pedaggicamente desde el constructivismo. De las concepciones a las prcticas pedaggicas.Revista: Estudios Sociales,nm. 19,pp. 7-12.Orozco-Moret, C. y Labrador, M. (2006). La tecnologa digital en educacin: implicaciones en el desarrollo del pensamiento matemtico del estudiante.Theoria,vol.15, nm. 2,pp. 81-89.Sabn, Y. et al. (2005). Una herramienta de apoyo a la enseanza del clculo diferencial e integral a travs de las tecnologas de la informacin y las comunicaciones (TIC).Revista Ciencias Tcnicas Agropecuarias,vol. 14, nm. 3, pp.60-62.Sicilia, M. (2007). Ms all de los contenidos: compartiendo el diseo de los recursos educativos abiertos.Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento,vol. 4, nm. 1, pp. 26-34.Toledo, V. et al. (2005). Las tecnologas de la informacin y las comunicaciones (TIC) y otras opciones en la clase de matemtica.Revista Ciencias Tcnicas Agropecuarias,vol. 14, nm. 4, pp.60-62.Valenzuela, R. y Flores, M. (2011).Fundamentos de investigacin educativa.Mxico: Editorial Digital del Tecnolgico de Monterrey.Vygotsky, L. (1995). El desarrollo de los procesos cognitivos superiores. Barcelona: Crtica.Woods, P. (1995).La escuela por dentro. La etnografa en la investigacin educativa.Barcelona: Piads.Acerca de los autoresEdwin David Tamayo Martnezes Licenciado en Matemticas y Fsica por la Universidad de Antioquia, Colombia. Candidato a magister en Educacin del Tecnolgico de Monterrey. Docente de matemticas del Colegio Colombo Francs,La Estrella, Carrera 60 N 87 Sur - 350 Finca "El Embrujo" CP 053183 Medelln. Tel. 279-3311. Correo electrnico:edwindavidtamayo@gmail.com