37

II CÁLCULO INTEGRAL

II.1.-LA DIFERENCIAL.- La notación para la derivada de una función y = f(x) es

y´ =

dydx = f ´(x)

en donde el símbolo

dydx representa el límite del cociente

ΔyΔx cuando Δx→0. De la

expresión de derivada podemos definir:

dx, leído diferencial de x, por, la relación dx = Δxdy, leído diferencial de y, por la relación dy = f ´(x) dx

hay que considerar que por definición, la diferencial de una variable independiente (dx) es igual a su incremento ( Δx ). Sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función ( dy ) no es igual a su incremento ( Δy )

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente. Cuando el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y Δy son aproximadamente iguales.

dy = f ´(x) dx

Geométricamente, se puede demostrar lo afirmado anteriormente:

Sea y = f (x ) la función y su derivada f ´(x), que se identifica con el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente es Δx = dx = PB, por la definición de diferencial resulta:

y = f (x )

38

dy = f ´(x) dx

Si el valor de la derivada en cualquier punto es la pendiente de la tangente, se tiene:

dy = f ´(x) dxdy = tg ( PB )

en la gráfica se tiene que tg =

BC ← Cateto opuestoPB ← Cateto adyacente

dy =

BCPB ( PB ) de donde

dy = BC representa el incremento de la ordenada correspondiente a dx

EJEMPLOS:

a) Hallar la diferencial para la función y = ax3 dy = f (x) dx = 3ax2dx.

b) Si y = x3 + 2x2 – x; entonces: dy = = f (x) dx = ( 3x2 + 4x – 1 ) dx

c) Calcular la diferencial de la función y = √3 x2 − 11 para x = 5 y Δx = dx = 0.05

dy = f (x) dx = ( 6 x

2 √ 3 x2 − 11 )dx =

3 x√3x2 − 11 dx

dy =

3 (5 )

√3 (5 )2 − 11 (0.05)

dy =

158 (0.05)

dy = 0.09375

d) Calcular el valor aproximado para √27 .

Sea y = √ x { la función representativa de √27 }

x = 25{ por ser un valor próximo al dado y ¿ ¿¿¿

dx = Δx = 2 { incremento de x para tener√27 }

dy =

dx2 √x =

22 √ 25 ; dy = 0.2

Si y = √ x = √25 = 5 y √27 = y + dy = 5 + 0.2√27 = 5 + 0.2

√27 = 5.2 Valor aproximado de √27

39

e) Calcular el volumen aproximado de una cáscara esférica de 300 mm. de diámetro exterior y 1.5 mm. de espesor.

Sea V =

43

πr3 {La función que representa el ¿ ¿¿¿

r = 150{Radio exterior de la ¿ ¿¿¿

dr = Δr = - 1.5 { Grosor de la concha esférica }

dV = 4r2 dr = 4 ( 150 )2 ( - 1.5 ) ;

dV = 135 000 mm3 Volumen aproximado de la concha esférica ( mm3 )

f) Determinar el incremento del área de un cuadrado de 6 pulgadas de lado, al aumentar

el lado

132 de pulgada.

Sea A = x2 {La función que representa el ¿ ¿¿¿

x = 6 pulgadas{La longitud del lado ¿ ¿¿¿

dx = x =

132 { Aumento del lado del cuadrado }

dA = 2x dx = 2 ( 6 ) (

132 );

dA =

38 = 0.375 pulg.2 Incremento de área de 0.375 pulgadas cuadradas.

EJERCICIOS I:

1) Determinar la diferencial en cada caso:

a) y =x3 - 3x

b) y =

xa

+ ax

c) y = √ax + bd) y = x √a2 − x2

e) s = a e bt

f) u = ln cvg) = sen ah) y = ln sen xi) = cos j) s = e t cos tk) Si x2 + y2 = a2 ; demostrar que

dy = -

x dxy

40

2) Aplicando el concepto de diferenciales, resuelve los problemas que se plantean :

a) Calcular el valor aproximado de:

a)4√17 b)

5√1 020 c) √17b) Hallar el valor aproximado del incremento de y en y = x3 cuando x pasa de 5 a

5.01c) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un cuadrado

cuando su lado varía de 8 cm. a 8.01 cm. ( A = l2 )d) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un disco

metálico que se dilata con el calor si su radio aumenta de 5 cm. a 5.01 cm. ( A = r2 )

e) Si el radio de un globo esférico varía de 8 cm. a 8.1 cm.; determinar el

crecimiento aproximado de su volumen ( V =

43 r3 )

f) Un balín de hierro de 9 cm. de radio, por su uso sufre un desgaste hasta que su radio queda de 8.72 cm. Hallar la disminución aproximada de su volumen.

g) Una bola de hielo de 10 cm. de radio se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8 cm; hallar el valor aproximado de la disminución de su volumen.

h) Calcular el volumen aproximado que se necesita para construír una pelota de caucho si el radio del núcleo hueco debe ser de 2 pulgadas y el espesor del

caucho es de

18 de pulgada.

i) Determinar el área aproximada de la disminución de una quemadura cuando el radio disminuye de 1 centímetro a 0.8 centímetros.

j) Un tumor esférico en el cuerpo de una persona tiene un aumento en el radio de 1.5 centímetros a 1.6 centímetros. ¿ Cuál es el incremento aproximado en su volumen ?

II.2.- INTRODUCCION.- El cálculo integral está relacionado con el cálculo diferencial de manera semejante a la relación que hay entre la resta y la suma, la división y la multiplicación, la radicación y la potenciación, etc. El cálculo integral es sólo lo contrario del cálculo diferencial.

Si y = x4, se tiene que dy = 4x3dx. Si se tiene ahora 4x3dx y queremos integrarlo, la expresión completa sería:

∫ 4 x3dx=x4+cLlamaremos a x4 la función primitiva, al diferenciarla (es decir, derivarla),

tendremos la diferencial de esa función primitiva. Si tomamos la diferencial de la función y la integramos tendremos la función primitiva.

En resumen, en cálculo integral siempre se nos dará la diferencial de una función primitiva y nos pedirán encontrar la función primitiva. Dada la diferencial de una función, hallar la función.

41

EJEMPLOS

FUNCION PRIMITIVA FUNCION DERIVADA INTEGRAL

f ( x )=x3 dy=3x2dx ∫3 x2dx=x3

y=sen τ dy=cos τ dτ ∫cos τ dτ=sen τ

y=x3+5 dy=3x2dx ∫3 x2dx=x3

Constante de integración.- Consideremos ahora las siguientes funciones primitivas y sus diferenciales:

1) ( x4 ) d( x4 ) = 4x3dx2) ( x4 + 1 ) d( x4 + 1 ) = 4x3dx3) ( x4 + 5 ) d( x4 + 5 ) = 4x3dx4) ( x4 + b ) d( x4 + b ) = 4 x3dx

Se observa que en los cuatro casos el resultado es el mismo, si se pide ∫ 4 x3dx(que se lee integrar 4x3dx ), se tendrán dudas para elegir la respuesta acertada; para tal caso, lo que se hace es agregar una letra “c” llamada CONSTANTE DE INTEGRACIÓN, que en el primer caso vale cero, en el segundo vale uno, en el tercero cinco y en el cuarto b. Debe tenerse en mente que hay que agregar esa letra c por si en la diferencial que se trabaje ha sido eliminada una constante. Hay que recordar qued( c )= 0. El diferencial dx en una integración, indica que la variable de integración es x.

EJERCICIOS II:

1) Encontrar la integral de las funciones que se proporcionan (El cálculo se realiza mediante ensayo y error).

a) y = xb) y = x + 3c) y = 1

d) y = 5

e) y = 2x

2) Demostrar que las expresiones de cada inciso son válidas

a) ∫ ( 3 x2+2x−5 ) dx

= x3 + x2 - 5x + c

b) ∫ ( y cos y+seny ) dy= y sen y +

c) ∫ ex dx = ex + c

d) ∫ ( sen2 y cos y ) dy

=

sen3 y3 + c

42

La integración es de gran importancia por su aplicación en el cálculo de áreas, volúmenes, trabajo, energía, etc.

Como un adelanto, se ejemplifica la utilidad de la integración en el cálculo de áreas y se comprueban los resultados mediante métodos geométricos. Para esto, téngase en cuenta que:

∫ a

bf ( x ) dx=g( x ) ] a

b =g( b)−g (a )1) Calcular el área limitada por y = x entre x = 0; x = 1. donde a = 0; b = 1

A=∫ 0

1x dx= x2

2]01=[ (1)2

2−

(0 )2

2 ]=12u2

Geométricamente el cálculo es:

A = b h2 =

1 ( 1 )2 =

12

u2

0EJERCICIOS III

1) Para los incisos b), c), d) y e) del ejercicio II.1), calcula el área de cada caso con los límites que se proporcionan a continuación

b) y = x + 3; x = 0, x = 3.

c) y=1; x = 0; x = 1d) y=5; x = 2; x = 4

e) y=2x; x = 0; x = 2II.3.- REGLAS DE INTEGRACION.- El cálculo de integrales es un

procedimiento de ensayo, para facilitarlo existen tablas de integrales inmediatas, analicemos el siguiente ejemplo:

d ( 3 - x2 )2 = 2 ( 3 - x2 ) ( -2x dx ) y simplificarlo se tiene d( 3 - x2 )2 = -4x ( 3 - x2 ) dx,

pero si se presenta la integración siguiente ∫(3−x2 ) x dx no se puede decir que la

contestación sea ( 3 - x2 )2 porque al comparar ( 3 - x2 ) x dx con ( 3 - x2 ) ( -4x dx ) se ve

43

que no son iguales, pues la segunda expresión tiene un –4 que en la primera no existe. Esto significa que hay que analizar si se tiene una diferencial, o sea, ver si no sobra o falta algo para poder hacer la integración.

Estos principios fundamentales sirven para iniciar el cálculo de integrales mediante fórmulas de integración inmediata, de las que la primera es:

∫undu=un+1

n+1+c

para n - 1 (1)

Para poder aplicar esta fórmula, hay que desarrollar los siguientes pasos:

1. Poner en forma de factores los términos que contienen la variable.2. Sacar fuera del signo de integración los factores que sean constantes (escribirlos

a la izquierda del signo de integración), y multiplicar el resultado de la integración si están multiplicando o dividir si están dividiendo.

3. Diferenciar la base del término mas complicado (u) que está afectada por el exponente (n); lo que sobre será la diferencial.

4. Comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio.5. Si faltan o sobran constantes y/o signos, multiplicar la diferencial por la constante

y/o signos que falten y dividir por la misma cantidad para no alterar la expresión.6. Aplicar la fórmula.7. Simplificar si es necesario.

EJEMPLOS

1) ∫ y3 dy:

1. No se realiza2. No se realiza3. d( y ) = dy4. Se hace la comparación5. No se realiza

6.∫ y3 dy= y3+1

3+1+c= y4

4+c

7. No hay reducción

2) ∫ 5x3 dx

√a2−bx4

1. ∫5 (a2−bx4 )−1/2 x3dx

2.5∫(a2−bx4 )−1/2 x3dx

3. d ( a2 - bx4 ) = -4bx3dx

44

4. Al comparar –4bx3 dx con x3 dx nos falta –4b

5.

5−4 b∫( a2−bx4 )−1/2 (−4bx3 dx )

6.5

−4 b( a2−bx

4)−1/2+1

−1/2+1 +c

7.−5√a2−bx4

2b+c

Debe observarse que cuando n =-1; el denominador y el exponente en el numerador del resultado se hacen cero, lo que equivale a una división indeterminada. Lo anterior significa que para n = -1, la fórmula no es válida. Para reafirmar lo anterior se proponen los siguientes:

EJERCICIOS IV

1) ∫ x4 dx

2)∫ dx

x2

3) ∫ω23 dω

4)∫ dx

√ x

5) ∫3ay 2 dy

6)∫ dx

3√ x

7) ∫√aρ dρ

8)∫ 2 dt

t2

9)∫ dx

√ 2x

10)∫ 3√ 3 t dt

11)∫ √ a + bx dx

12)∫ dy

√ a− by

13)∫ x ( 2 − x2 ) dx

14)∫( a + bt )2 dt

15)∫ y ( a − by 2 )2 dy

16)∫ t3√ 2t 2 + 3 dt

17)∫ 4 x2 dx

√ x3 + 8

18)∫ 6 z dz

( 5 − 3 z2 )2

45

19)∫ ( √ a− √ x )2

√ xdx

20)∫ ( x3 + 2 ) 2 x2 dxLa siguiente formula es:

∫ duu

=∫u−1du=ln u+c(2)

La presente fórmula es la que se utiliza cuando n = - 1. Los pasos a realizar son los mismos del caso anterior.

EJEMPLOS

1) ∫ 5 dx

2−3 x

1. ∫ (2−3 x )−1 5dx

2.5∫(2−3x )−1dx

3.4. d ( 2 - 3x ) = -3dx5. Comparando falta –3

6. -

53∫(2−3 x )−1 (−3dx )

7. -

53

ln ( 2−3 x )+c

8. No hay reducción

2) ∫ bt dt

a2−3 t 2

1. ∫(a2−3 t2)−1bt dt

2.b∫(a2−3 t2 )−1 t dt

3. d ( a2 - 3t2 ) = -6t dt4. Comparando falta –6

46

5.− b

6∫(a2−3 t 2)−1 (−6 t dt )

6.− b

6ln ( a 2 − 3 t2 )+c

7. No hay reducción

Para reafirmar lo visto, se plantean los siguientes:

EJERCICIOS V

1)∫ dy

2+3 y

2)∫ x2 dx

2 x3

3)∫ t dt

a+bt 2

4)∫ ( 2 x + 3 ) dx

x2+3 x

5)∫ ( y + 2 ) dy

y2+4 y

6)∫ x dx

x2+2

7)∫ x dx

a2+x2

8)∫ t4 dt

1−at 5

9)∫ t dt

3 t2+4

10)∫ 3 dx

2+3 xDos fórmulas mas de integración inmediata son:

∫ eu du=eu+c

∫ audu=au

ln a+c

(3) y (4)donde “e” y “a” son constantes. La a será cualquier constante y la e es una constante única. Para aplicar estas dos fórmulas, se siguen los pasos ya descritos, variando únicamente el tercero que queda de la siguiente forma:

3) “Diferenciar el exponente de la constante”

EJEMPLOS

1) ∫ 2 dx

e3 x

47

1. ∫ e−3 x2 dx

2.2∫ e−3 xdx

3. d ( - 3x ) = -3 dx4. Falta el –3

5.

2−3∫e−3 x (−3dx )

6. -

23e−3 x+c

7. No hay reducción

2) ∫2x3

x2dx1. No se realiza2. No se realiza3. d ( x3 ) = 3x2 dx4. Falta el 3

5.

13∫2x3

(3 x2 dx )

6.13

2x3

ln 2+c

7.2x3

3 ln 2+c

EJERCICIOS VI

1) ∫6 e3 x dx

2) ∫ e2 xdx

3) ∫10xdx

4) ∫ anydy

5)∫ e√ xdx

√x

6)∫ xe x2dx

7)∫ √e t dt

8) ∫ a2 xdx

48

9) ∫5eax dx

10)∫ 3 dx

ex

11)∫ 4 dt

√e t

12)∫8axdx

13)∫ dx

42 x

14)∫ x2e x3

dx

15)∫ a dρ

b3 ρ

Uso de la fórmula:

∫ (du+dx−dz )=∫ du+∫ dx−∫dz(5)

Esta fórmula señala que hay que integrar una suma de diferenciales. Los pasos explicados con anterioridad nos indican que “al comparar la diferencial de la base con la diferencial del ejercicio nos sobran o faltan CONSTANTES etc.”, pero cuando nos sobran o faltan VARIABLES hay que hacer las operaciones primero.

Veamos dos ejemplos parecidos:

∫( x2−1 )2dx ∫( x2−1 )2 xdxTercer paso

d ( x2 - 1) = 2x dx d ( x2 – 1 ) = 2x dx

Cuarto paso

Al comparar, en el ejemplo de la izquierda falta 2x mientras que en el de la derecha sólo falta el 2. En el de la izquierda se hace la operación (desarrollo del cuadrado de un binomio) mientras que en el otro, se continúa aplicando los pasos indicados.

Generalmente, las operaciones a ejecutar que con mayor frecuencia se presentan son:

1) Producto de dos o mas factores2) Productos notables3) Quebrados cuyo denominador consta de un solo término4) Quebrados cuyo denominador consta de dos o mas términos

EJERCICIOS VII

1) ∫( β3

2−2 β2

3+5√β−3 ) dβ

2)∫ 4 x2−2√x

xdx

3)∫( x2

2− 2x2 ) dx

4) ∫ √x (3x−2 ) dx

5)∫ x3−6 x+5

xdx

6) ∫ x (2x+1 )2 dx

7) ∫ (√a−√ψ )2dψ

8) ∫ z (a+bz3 )2dz

49

9)∫(√ x+ 1

√ x ) dx

10)∫υ (υ−1 )2dυ

11)∫ (τ+1 )2

τ2 dτ

12)∫ (2 x+3 ) dx

x+2

13)∫ ( x+4 ) dx

2 x+3

14)∫ 2 y+3

ydy

15)∫(z2−

1z2 ) dz

16)∫ x−1

x+1dx

17)∫ x2+2 x+1

x2+1dx

18)∫ x2+2 x+2

x+2dx

50

II.4 APLICACIONES DE LA INTEGRACION

II.4.1- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Considérese la función ψ (x) = y, el eje de las “x” y las ordenadas correspondientes a x = a y x = b para hacer la construcción siguiente:

La figura construida tiene:

a) Un número “n” de rectángulos igual a un número “n” de subintervalos en que se ha dividido el intervalo desde x = a hasta x = b

b) Las abscisas x1,x2,.....,xn en cada subintervaloc) Con las longitudes Δ x1, Δ x2,....., Δ xn correspondientes a cada subintervalod) Las ordenadas ψ ( x1 ), ψ (x2),....., ψ (xn) correspondientes a cada abscisa

señaladae) Áreas correspondientes a cada rectángulo formado y que valen:

ψ ( x1) Δ x1, ψ (x2) Δ x2,....., ψ (xn) Δ xn

De las consideraciones anteriores se tiene que el área bajo la curva puede ser calculada de la siguiente manera:

A = Limn → ∝¿

¿ [ψ ( x1) Δ x1 + ψ (x2) Δ x2 +.....+ ψ (xn) Δ xn]

Pero además ya se vio que el área bajo la curva es:

∫ a

bψ ( x )dx

51

Por lo que se puede escribir:

∫ a

bψ ( x ) dx

= Limn → ∝¿

¿ [ψ ( x1) Δ x1+ ψ (x2) Δ x2+.....+ ψ (xn) Δ xn]

La igualdad anterior es un teorema que se define:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Sea ψ (x) una función continua en el intervalo x = a y x = b; divídase este intervalo en “n” subintervalos con longitudes Δ x1, Δ x2, ....., Δ xn y elíjase un punto en cada subintervalo con abscisas x1, x2, ..... , xn y considérese la suma:

ψ ( x1) Δ x1 + ψ (x2) Δ x2 +..... + ψ (xn) Δ xn = ∑i=1

N

ψ ( x i )ΔxiEntonces, el valor límite de la suma cuando n tiende a infinito y cada subintervalo

tiende a cero, es igual al valor de la integral definida:

∫ a

bψ (x ) dx

II.4.2.- INTEGRAL DEFINIDA.- La integral definida es un número resultante de integrar una función continua en un intervalo dado y se expresa de la siguiente manera:

I=∫ a

bf ( x ) dx

donde a es menor que b y a es el límite inferior de la integración mientras que b es el límite superior siendo f(x) el integrando. La integral así definida se llama integral de RIEMANN.

Si a < b;∫ a

bf ( x ) dx

= - ∫ b

af ( x ) dx

y si a = b, entonces ∫ a

bf ( x ) dx

= 0Del teorema fundamental del cálculo, tenemos:

∫ a

bf ( x ) dx

= g(b) - g(a)...........que se denomina .............REGLA DE BARROW

52

donde g’(x) = f(x). La diferencia de valores para x = a y x = b da el área limitada por la curva cuya ordenada es “y”, el eje de las “x” y las ordenadas que corresponden a x = a y x = b.

Para calcular la integral definida se procede de la siguiente manera:

1. Se integra la expresión diferencial dada conforme a las reglas conocidas2. Sustituir en la integral encontrada el límite superior y restar del resultado la

sustitución del límite inferior. La constante de integración siempre desaparece en este tipo de problemas

II.4.3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.- A continuación, se enumeran las propiedades de la integral definida:

I. ∫ a

af ( x ) dx

= 0

II. ∫ a

bf ( x ) dx

= -∫ b

af ( x ) dx

III. ∫ a

bc f ( x ) dx

= c∫ a

bf ( x ) dx

siendo c = constante

IV. ∫ a

b[ f ( x ) ± g( x ) ] dx

= ∫ a

bf ( x ) dx ±

∫ a

bg ( x ) dx

V. ∫ a

cf ( x ) dx

=∫ a

bf ( x ) dx

+ ∫ b

cf ( x ) dx

cuando a < b < c

EJEMPLOS1)

∫ 0

5x2 dx

=

x3

3|05

=

(5 )3

3−

(0 )3

3 =

1253

g(x) =

x3

3 ;

g(b) = g(5) =

53

3 =

1253 ; g(a) = g(0) =

03

3 = 02)

53

∫0

π2 senx dx = −cos x|0

π2 =(−cos( π /2))−(−cos0 ) = (0 )−(−1)=1

Resuelve los siguientesEJERCICIOS VIII

1)∫ −2

2( x2 − 3 x + 2 ) dx

2)∫ 0

1x dx

3)∫ 1

5(2 x+3 ) dx

4)∫ 0

1dx

5)∫ −2

25 dx

6)∫ 1

4 dx√x

7)∫ −2

3e− x

2dx

8)∫ −6

−10 dxx+2

9)∫ π

2

3 π4 sen w dw

10)∫ −1

1(2 x2−x3 ) dx

II.4.4.- CALCULO DE AREAS.- Para el cálculo de áreas se encuentra la solución de la integral definida respectiva basados en el teorema fundamental del cálculo.

EJEMPLOS

1) Calcular el área limitada por y = 4x - x2 y el eje “x”; los límites x = a y x = b se encuentran donde la curva cruza el eje “x”. A continuación se traza la gráfica correspondiente:

54

el límite inferior es a = 0 y el superior b = 4

A= ∫ 0

4(4 x−x2)dx=[2x2−x3

3 ]0

4

=

[2(4 )2−( 4 )3

3 ]−[2(0 )2−(0 )3

3 ]=32−

643 −0=

323 u2

2) Calcular el área limitada por y = x2 - 7x + 6; el eje de las “x”; x = 2; x = 6.

A=∫ 2

6−( x2−7 x+6)dx= − [ x3

3−7 x2

2+6 x ]

2

6

= − [ (6)3

3−

7 (6 )2

2+6(6 )] + [ (2)3

3−

7(2 )2

2+6(2)]= 56

3u2

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS IX

1).- Calcula el área en cada inciso conforme a los límites que en los mismos se indican:

a) y = x + 3; y = - 2x + 8; x = 2; x = 4

b) x = 8 + 2y – y2 ; eje "y"; y = -1; y = 3

55

c) y = x2 ; eje "x"; x = 2; x = 4

d) y = 6x – x2; y + x + 1 = 0; x = 1; x = 3

e) y = x2; y = 0; x = 2; x = 5

f) y = x3; eje "x"; x = 1; x = 3

g) y = 8x – x2; y = 0; x = 1; x = 3

II.4.5.- CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION.

Si se tiene la curva CD cuya función es y = f(x), el área entre dicha curva y el eje “x” será la región que esta dentro de ABDC. Si enseguida se hace girar el área ABDC tomando como eje de giro el eje de las “x”, la superficie en movimiento generará un sólido al que se llama SÓLIDO DE REVOLUCIÓN, el eje “x” es un eje de simetría de dicho sólido.

El volumen del sólido de revolución se calcula recordando que el volumen es el producto de la base por la altura y se procede dela siguiente manera:

1. Se divide el eje “x” en un número infinito de tramos con longitud dx2. Cada dx con una altura “y” formará rectángulos elementales3. Cada rectángulo elemental al girar alrededor de “x” formará cilindros

elementales con radio “y” y altura dx por lo que su volumen será π y2dx

56

4. Se suman los volúmenes de los cilindros elementales conforme al teorema fundamental del cálculo para determinar el volumen del sólido de revolución

EJEMPLOS

1) Calcular el volumen del sólido generado cuando la región limitada por y = 4, x = 2 y x = 5 gira sobre el eje “x”.

v=∫ a

bdV = ∫ a

bπy2 dx = ∫ 2

5π (4 )2dx

v=π ∫ 2

516dx=16 π [x ]2

5

= 16 ( 5 – 2 )

V = 48 u3

2) Hallar el volumen del sólido que genera la región limitada por y – x – 3 = 0; x = 0 y x = 3 cuando gira alrededor del eje “x”.

57

v=∫ 0

3π ( x+3 )2dx

=∫ 0

3π ( x2+6 x+9 )dx

=π [ x3

3+3x2+9x ]

0

3

= 63 u3

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS X

1).-Calcula el volumen generado cuando las áreas que tienen los límites que en cada inciso se indican giran sobre el eje "x".

a) y = x -

14 x2; x = 1; x = 3

b) y = x3; x = 0; x = 2c) 2y = x; x = 0; x = 6d) y2 = 8x; x = 2; en el primer cuadrante.e) x2 + y2 = r2; x = -r; x = r

EJERCICIO I

1) Determina la diferencial en cada caso:

a) dy = ( 3x2 - 3 ) dx

b) dy = ( 1a −

ax2 )

dx

c) dy = ( a

2 √ ax + b ) dx

d) dy = ( a2 − 2x2

√ a2 − x2 ) dx

e) ds = ( ab e bt ) dt

58

f) du = ( 1v )

dvg) d = ( a cos a ) dh) dy = ( ctg x ) dxi) d= ( - sen + cos ) dj) ds = ( - e t sen t + e t cos t ) dtk) Si x2 + y2 = a2 ; demostrar que

dy = -

x dxy ; siendo y = √ a2 − x2

dy = − 2 x dx

2 √ a2 − x2= − x dx

y

2) Aplicando el concepto de diferenciales, resuelve los problemas que se plantean:a) Calcular el valor aproximado de:

4√17 = 2.0312;5√1 020= 3.9968 √17 = 4.125

b) Hallar el valor aproximado del incremento de y en y = x3 cuando x pasa de 5 a 5.01dy = 0.75

c) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un cuadrado cuando su lado varía de 8 cm. a 8.01 cm. ( A = l2 )

dA = 0.16 cm2 d) Determinar el valor aproximado del incremento de área ( dA ) de un disco metálico que se

dilata con el calor si su radio aumenta de 5 cm. a 5.01 cm. ( A = r2 )dA = 0.1 cm2

e) Si el radio de un globo esférico varía de 8 cm. a 8.1 cm.; determinar el crecimiento

aproximado de su volumen ( V =

43 r3 )

dV = 25.6 cm3

f) Un balín de hierro de 9 cm. de radio, por su uso sufre un desgaste hasta que su radio queda de 8.72 cm. Hallar la disminución aproximada de su volumen.

dV = - 90.72 cm3 g) Una bola de hielo de 10 cm. de radio se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8

cm; hallar el valor aproximado de la disminución de su volumen.dV = - 80 cm3

h) Calcular el volumen aproximado que se necesita para construír una pelota de caucho si el

radio del núcleo hueco debe ser de 2 pulgadas y el espesor del caucho es de

18 de

pulgada.dV = 2 pulg. 3

i) Determinar el área aproximada de la disminución de una quemadura cuando el radio disminuye de 1 centímetro a 0.8 centímetros.

dA = 0.4 cm2

59

j) Un tumor esférico en el cuerpo de una persona tiene un aumento en el radio de 1.5 centímetros a 1.6 centímetros. ¿ Cuál es el incremento aproximado en su volumen ?

dV = 0.9 cm3

EJERCICIO II

1) Encontrar la integral de las funciones que se proporcionan. (El cálculo se realiza mediante ensayo y error).

a)y = x;∫ x dx = x2

2+ c

; b)y = x + 3; ∫ ( x+ 3 ) dx = x2

2+ 3 x + c

c) y = 1; ∫ dx = x + cd) y = 5; ∫5 dx = 5 x + c

e) y = 2x; ∫ 2x dx = x2 + c2) Demostrar que las expresiones de cada inciso son válidas

a) ∫ ( 3 x2+2x−5 ) dx = x3 +x2 - 5x + c

Siendo y = x3 + x2 - 5x + c; entonces:

dy =

ddx ( x3 + x2 - 5x + c ) dx

dy = ( 3x2 + 2x – 5 ) dx

b) ∫ ( y cos y+seny ) dy= y sen y + c

Siendo z = y sen y + c ; entonces:

dz =

ddy ( y sen y + c ) dy

dz = ( y cos y + sen y ) dy

c) ∫ ex dx = ex + c

Siendo y = ex + c; entonces:

dy =

ddx ( ex + c ) dx

dy = ex dx

60

d)

∫ ( sen2 y cos y ) dy =

sen3 y3 + c

Siendo z =

sen3 y3 + c ; entonces:

dz =

ddy (

sen3 y3 + c ) dy

dz = sen2 y cos y dy

EJERCICIO III

1) Para los incisos b), c), d) y e) del ejercicio II.1, calcula el área de cada caso con los límites que se proporcionan a continuación

b) y = x + 3; x = 0, x = 3.

A =∫ 0

3( x+ 3 ) dx = ( x2

2+ 3 x)

0

3

A = ( ( 3 ) 2

2 + 3 ( 3 )) − ( (0 )2

2 + 3 (0 ))

A = 272

u2

A =( B + b ) h

2=

( 6 + 3 ) 32

= 272

u2

c) y = 1; x = 0, x = 1

A =∫ 0

1dx = x | 0

1= ( 1 ) 2 - ( 0 )2 = 1 u 2

A = l2 = ( 1 )2 = 1 u 2

61

d) y = 5; x = 2, x = 4

A ∫ 2

45 dx = 5 x | 2

4 = [ 5 (4 ) ] − [ 5 (2 ) ] =10 u2

A = ( l ) (a ) = 2( 5) = 10 u 2

e) y = 2x; x = 0, x = 2

A =∫ 0

22 xdx = x2|0

2 = [ 2 (2 ) ] − [ 2 (0 ) ] =4 u2

A = b h2

=2 (4 )

2= 4 u2

EJERCICIO IV

1) ∫ x4 dx =

x5

5+ c

2)∫ dx

x2 =

− 1x

+ c

3) ∫ω23 dω

=

3 ω53

5+ c

62

4)∫ dx

√ x = 2 √ x + c

5) ∫3ay 2 dy = a y3 + c

6)∫ dx

3√ x =

32

3√ x2 + c

7) ∫√aρ dρ =

23ρ √ a ρ + c

8)∫ 2 dt

t2 = − 2

t+ c

9)∫ dx

√ 2x = √ 2 x + c

10)∫ 3√ 3 t dt

=

34t 3√ 3 t + c

11)∫ √ a + bx dx=

23 b

( a + bx ) √ a + bx + c

12)∫ dy

√ a− by = − 2

b √ a − by + c

13)∫ x ( 2 − x2 ) dx =

− 14

( 2 − x2 ) 2 + c

14)∫( a + bt )2 dt =

( a + bt ) 3

3 b+ c

15)∫ y ( a − by 2 )2 dy

= −

( a − by2 )3

6 b+ c

16)

∫ t3√ 2t2 + 3 dt

=

316

( 2t2 + 3 ) 3√ 2t2 + 3

17)∫ 4 x2 dx

√ x3 + 8 =

83 √ x3 + 8 + c

18)∫ 6 z dz

( 5 − 3 z2 )2 =

1( 5 − 3 z2 )

+ c

19)∫ ( √ a− √ x )2

√ xdx

= − 2

3( √ a − √ x )3 + c

20)∫ ( x3 + 2 )2 x2 dx

=

( x3 + 2 )3

9+ c

63

EJERCICIO V

1)∫ dy

2+3 y =

13

ln ( 2 + 3 y ) + c

2)∫ x2 dx

2 x3 =

16

ln 2x3 + c

3)∫ t dt

a+bt 2 =

12 b

ln (a + b t 2) + c

4)∫ ( 2 x + 3 ) dx

x2+3 x = ln ( x2 + 3x ) + c

5)∫ ( y + 2 ) dy

y2+4 y =

12

ln ( y2 + 4 y ) + c

6)∫ x dx

x2+2 =

12

ln ( x2 + 2 ) + c

7)∫ x dx

a2+x2 =

12

ln (a2 + x2 ) + c

8)∫ t4 dt

1−at 5 = − 1

5 aln (1 − at 5 ) + c

9)∫ t dt

3 t2+4 =

16

ln (3 t 2 + 4 ) + c

10)∫ 3 dx

2+3 x = ln ( 2 + 3x ) + c

EJERCICIO VI

1) ∫6 e3 x dx = 2 e3 x + c

2) ∫ e2 xdx =

12e 2 x + c

3) ∫10xdx =

10 x

ln 10+ c

4) ∫ anydy =

a n y

n ln a+ c

5)∫ e√xdx

√x = 2 e √ x + c

6)∫ xe x2dx

=

12e x2

+ c

7)∫√e t dt

= 2 √ e t + c

8) ∫ a2 xdx =

a 2 x

2 ln a+ c

9) ∫5eax dx =

5aea x + c

10)∫ 3 dx

ex = − 3

ex+ c

11)∫ 4 dt

√e t = − 8

√ e t+ c

12)∫8axdx =

8 a x

a ln 8+ c

64

13)∫ dx

42 x =

− 12 ( 4 2 x ) ln 4

+ c

14) ∫ x2e x3

dx =

13e x3

+ c

15)∫ a dρ

b3 ρ =

− a3 b3 ρ ln b

+ c

65

EJERCICIO VII

1) ∫( β3

2−2 β2

3+5√β−3 ) dβ

=

25β 2 √ β − 6

5β 3√ β2 + 10

3β √ β − 3 β + c

2)∫ 4 x2−2√x

xdx

= 2 x2 − 4 √ x + c

3)∫( x2

2− 2x2 ) dx

=

16x3 + 2

x+ c

4) ∫ √x (3x−2 ) dx =

65x2 √ x − 4

3x √ x + c

5)∫ x3−6 x+5

xdx

=

13x3

- 6x + 5 ln x + c

6) ∫ x (2x+1 )2 dx = x4 +

43 x3 +

12 x2 +

c

7) ∫ (√a−√ψ )2dψ =

a ψ − 43ψ √ a ψ + 1

2ψ2 + c

8) ∫ z (a+bz3 )2dz =

a2 z2

2+ 2 a b z5

5+ b2 z8

8+ c

9)∫(√ x+ 1

√ x ) dx =

2 x √ x3

+ 2 √ x + c

10)∫υ (υ−1 )2dυ =

14υ4 − 2

3υ3 + υ + c

11)∫ (τ+1 )2

τ2 dτ =

τ + 2 ln τ − 14τ

+ c

12)∫ (2 x+3 ) dx

x+2 = 2 x – ln (x + 2) + c

13)∫ ( x+4 ) dx

2 x+3 =

12x + 5

4ln (2 x + 3 ) + c

14)∫ 2 y+3

ydy

= 2 y + 3 ln y + c

15)∫(z2−

1z2 ) dz

=

13z3 + 1

z+ c

16)∫ x−1

x+1dx

= x – 2 ln ( x + 1 ) + c

17)∫ x2+2 x+1

x2+1dx

=x + ln (x2 + 1)+ c

18)∫ x2+2 x+2

x+2dx

= x2 +2ln(x+2)+c

EJERCICIO VIII

1)∫ −2

2( x2 − 3 x + 2 ) dx

=

523 2)

∫ 0

1x dx

=

12

66

3)∫ 1

5(2 x+3 ) dx

= 36

4)∫ 0

1dx

= 1

5)∫ −2

25 dx

= 20

6)∫ 1

4 dx√x = 2

7)∫ −2

3e− x

2dx = 4.9904

8)∫ −6

−10 dxx+2 = ln 2 = .6931

9)∫ π

2

3 π4 sen w dw

=

12 √ 2

= 0.7071

10)∫ −1

1(2 x2−x3 ) dx

=

43

67

EJERCICIO IX1).- Calcula el área en cada inciso conforme a los límites que en los mismos se indican:

a) y = x + 3; y = -2x + 8;

x = 2 ; x = 4.

A = 8 u2

b) x = 8 + 2y - y2 ;

y = - 1; y = 3.

A =

923 u2

c) y = x2 ;

x = 2; x = 4.

A =

563 u2

68

d) y = 6x - x2 ; y + x + 1 = 0

x = 1; x = 3.

A =

643 u2

e) y = x2 ;

x = 2; x = 5.

A = 39 u2

f) y = x3 ;

x = 1; x = 3.

A = 20 u2

69

g) y = 8x - x2 ;

x = 1; x = 3.

A =

703 u2 ;

EJERCICIO X1).-Calcula el volumen generado cuando las áreas que tienen los límites que en cada inciso se

indican giran sobre el eje "x".

a) y = x -

14

x2

;

x = 1; x = 3;

V =

203120 u3

70

b) y = x3 ;

x = 0; x = 2;

V =

1287

π u3

c) 2y = x ;

x = 0; x = 6;

V = 18 u3

d) y2 = 8x;

x = 2; primer cuadrante.

V = 16 u3

71

e) x2 + y2 = r2 ;

x = - r; x = r .

V =

43 r3 u3

72