RoboticaI Cinematica Directa

ROBÓTICA ICinemática Directa

M. C. Jorge Luis Barahona Avalos11 de abril de 2011

Universidad Tecnológica de la MixtecaInstituto de Electrónica y Mecatrónica

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Índice General

1 Cinemática Directa

2 Cadena Cinemática Abierta

3 Convención de Denavit-Hartenberg

4 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

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Cinemática Directa

Introducción

1 Un manipulador consiste de una serie de cuerpos rígidos (eslabones–links) conectados por medio de pares cinemáticos o articulaciones(joints).

2 Las articulaciones pueden ser esencialmente de dos tipos: giratoriaso prismáticas.

3 La estructura completa forma una cadena cinemática.

4 Un extremo de la cadena está restringido a una base. Un efector–final(pinza, herramienta, etc.) está conectado al otro extremo permitiendola manipulación de objetos en el espacio.

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Cinemática Directa

Tipos de articulaciones

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1 Desde un punto de vista topológico, la cadena cinemática se denomi-na abierta, cuando sólo existe una secuencia de eslabones conectandolos extremos de la cadena. Por el contrario, una manipulador contie-ne una cadena cinemática cerrada cuando una secuencia de eslabonesforman una trayectoria cerrada.

2 La estructura mecánica de un manipulador se caracteriza por un nú-mero de grados de libertad (GDL) o en inglés DOF (Degree OfFreedom), los cuales determinan en forma única su “postura”.

Observación:El término “posture” de una cadena cinemática, denota la“pose” de todos los cuerpos rígidos que componen la cadena.Siempre que la cadena cinemática se reduzca a un sólo cuerporígido, entonces la “posture” coincide con la “pose” del cuerpo.

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Cinemática Directa

Posición y orientación del efector final

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1 Cada GDL se asocia típicamente a una articulación, constituyéndoseasí en una variable articular.

2 El objetivo de la CINEMÁTICA DIRECTA, es calcular la “pose”del efector final como una función de las variables articulares.

3 Se mostró previamente, que la “pose” de un cuerpo rígido respecto aun sistema coordenado de referencia se describe mediante el vector deposición del origen y de los vectores unitarios del sistema de referenciaasignados al cuerpo.

4 Así, respecto al sistema de referencia Ob− xbybzb la matriz de trans-formación homogénea está dada por:

Tbe(q) =

[nb

e(q) sbe(q) ab

e(q) pbe(q)

0 0 0 1

]

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1 donde q ∈ Rn, es el vector de variables articulares, y ne, se y ae, sonlos vectores unitarios del sistema de referencia asignado al efectorfinal, y pe es el vector de posición de dicho sistema de referenciarespecto al origen de Ob− xbybzb. Obsérvese que ne, se, ae y pe sonfunciones de q.

2 El sistema Ob− xbybzb se denomina sistema de referencia base. Elsistema de referencia asignado al efecgtor final, se denomina sistemade referencia del efector final.

3 El sistema de referencia del efector final se elige de acuerdo a lageometría de la tarea particular..

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1 Si el efector final es una pinza, por ejemplo, el origen del sistema dereferencia del efector final se localiza en el centro de la pinza, ae seelije en la dirección aproximada del objeto, se se elije normal a ae enel plano de deslizamiento de las mordazas y ne se elije normal a losotros dos de modo tal que el sistema de referencia (ne, se, ae) serige por la regla de la mano derecha.

2 Una primera aproximación para calcular la cinemática directa, la ofre-ce un análisis geométrico de la estructura del manipuladorEjemplo 1:Coinsidérese el robot planar de 2 GDL de dos eslabones de la siguientefigura.

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Cinemática Directa

Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones

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Cinemática Directa

Cinemática Directa

1 Por geometría simple, por la elección de las variables articulares, porla elección del sistema de referencia base y por la elección del sistemade referencia del efector final, se obtiene:

Tbe(q) =

[nb

e(q) sbe(q) ab

e(q) pbe(q)

0 0 0 1

]

=

0 S12 C12 a1C1 + a2C120 −C12 S12 a1S1 + a2S121 0 0 00 0 0 1

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Cinemática Directa

Cinemática directa

1 No es difícil inferir que la efectividad de la aproximación geométrica alproblema cinemático directo está basado, primero, en una selecciónconveniente de las cantidades relevantes y luego en la capacidad eintuición geométrica de quien resuelve el problema.

2 Siempre que la estructura del manipulador es compleja y el número dearticulaciones se incrementa, es preferible adoptar una solución menosdirecta que esté basada en un procedimiento sistemático general.

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Cadena Cinemática Abierta

Cadena Abierta

1 Considérese un manipulador de cadena abierta constituido por n + 1eslabones conectados por n articulaciones, donde el eslabón 0 estáconvencionalmente fijado a tierra.

2 Se supone que cada articulación proporciona la estructura mecánicacon un sólo GDL correspondiente a la variable articular.

3 La construcción de un procedimiento operativo para el cálculo de lacinemática directa se deriva naturalmente de la típica cadena cine-mática abierta de la estructura del manipulador.

4 De hecho, ya que cada articulación conecta dos eslabones conse-cutivos, es razonable considerar primeramente la descripción de larelación cinemática entre eslabones consecutivos y entonces obtenerla descripción total de la cinemática del manipulador en una formarecursiva.

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Transformaciones de coordenadas: Ca-dena cinemática abierta

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Cadena Abierta

1 Para este propósito, vale la pena definir un sistema coordenado asig-nado a cada eslabón, desde el eslabón 0 hasta el eslabón n. Entonces,la transformación de coordenadas que describe la posición y la orien-tación del sistema coordenado n con respecto al sistema coordenado0 está dada por:

T0n(q) = A0

1(q1)A21(q2) . . .An−1

n (qn)

2 Entonces, como ya se dijo, el cálculo de la función cinemática directaes recursiva y se obtiene en una forma sistemática por productossimples de las matrices de transformación homogénea Ai−1

i (qi), i =1, 2, . . . ,n, cada una de las cuales es función de una sola variablearticular.

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Cadena Abierta

1 Con respecto a la cinemática directa del dispositivo del ejemplo ante-rior, la transformación de coordenadas real, que describe la posición yla orientación del efector final con respecto al sistema base, se puedeobtener como:

Tbe(q) = Tb

0T0n(q)Tn

e

2 donde Tb0 y Tn

e son dos transformaciones homogéneas constantesque describen la posición y orientación del sistema 0 con respecto ala base y del efector final respecto al sistema n, respectivamente.

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Convención de Denavit-Hartenberg


1 Para calcular la ecuación de cinemática directa de un manipuladorde cadena abierta de acuerdo a la expresión recursiva vista conanterioridad, se tiene un método sistemático general para definir laposición y orientación relativa de dos eslabones consecutivos.

2 El problema es aquél de determinar dos sistemas coordenadosasignados a los dos eslabones y calcular las transformaciones decoordenadas entre ellos.

3 En general, los sistemas coordenados pueden elegirse arbitrariamentesiempre y cuando estén asignados al eslabón al cual son referidos.

4 Con referencia a la figura de la siguiente página, sea el “eje i” el ejede la articulación que conecta a los eslabones i − 1 e i; se adpta laasí llamada Convención de Denavit-Hartenberg (DH) para definirel sistema de referencia i.

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Parámetros cinemáticos DH

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Convención DH

Elíjase el eje zi a lo largo del eje de la articulación i + 1

Localizar el origen Oi en la intersección del eje zi con la normalcomún a los ejes zi−1 y zi . También localizar Oi′ en la intersecciónde la normal común con el eje zi−1

Nota:La normal común entre dos líneas es la línea que contiene el segmentode distancia mínima entre las dos líneas

Seleccionar el eje xi a lo largo de la normal común a los ejes zi−1 yzi con dirección de la articulación i a la aticulación i + 1.

Elegir el eje yi de modo tal que se complete un sistema coordenadoregido por la regla de la mano derecha.

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Convención DHLa convención DH proporciona una definición no-única del sistemade referencia del eslabón en los siguientes casos:

Para el sistema 0, sólo se especifica la dirección del eje z0. EntoncesO0 y x0 se pueden elegir arbitrariamente.Para el sistema n, ya que no existe una articulación n + 1, zn noestá definido en forma única mientras que xn tiene que ser normalal eje zn−1. Típicamente, la articulación n es giratoria, y así zn estáalineada con la dirección de zn−1.Cuando dos ejes consecutivos son paralelos, la normal común entreellos no está definida de manera única.Cuando dos ejes consecutivos se intersectan, la dirección del eje xi esarbitraria.Cuando la articulación i es prismática, la dirección de zi−1 es arbi-traria.

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Convención DH

1 En los casos anteriores, se puede explotar la indeterminación parasimplificar el procedimiento; por ejemplo, los ejes de sistemas conse-cutivos pueden hacerse paralelos.

2 Una vez que los sistemas de referencia de los eslabones se han esta-blecido, la posición y orientación del Sistema i respecto al sistemai − 1 está completamente definida por los siguientes parámetros:

ai , la distancia entre Oi y Oi′

di , la coordenada de Oi′ a lo largo de zi−1αi , el ángulo entre los ejes zi−1 y zi alrededor del eje xi , positivocuando la rotación es CCW.ϑi entre los ejes xi−1 y xi alrededor del eje zi−1, positivo cuando larotación es CCW.

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Convención DH

1 Dos de los cuatro parámetros (ai y αi) son siempre constantes ydependen únicamente de la geometría de la conexión entre articula-ciones consecutivas establecidas por el eslabón i.

2 De los dos restantes parámetros, sólo uno es variable dependiendodel tipo de articualación que conecta a los eslabones i − 1 e i. Enparticular:

Si la articulación i es giratoria la variable es ϑi .Si la articulaciÃşn i es prismática, entonces la variables es di .

3 En éste punto, es posible expresar la transformación de coordenadasentre el sistema i y el sistema i−1 de acuerdo a los siguientes pasos:

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Convención DH

Elegir un sistema coordenado alineado con el sistema i − 1.

Trasladar el sistema seleccionado por di a lo largo del eje zi−1 yrotarlo por ϑi alrededor del eje zi−1; esta secuencia alinea el sistemaactual con el sistema i ′ y es descrito por la matriz de transformaciónhomogénea siguiente:

Ai−1i′ (q) =

Cϑi −Sϑi 0 0Sϑi Cϑi 0 00 0 1 di0 0 0 1

Trasladar el sistema alineado con el sistema i ′ por ai a lo largo del ejexi′ y rotarlo por αi alrededor del eje xi ; esta secuencia alinea el sistemaactual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformaciónhomogénea de la siguiente diapositiva.

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Convención DH

La matriz de transformación correspondiente a lo comentado antesestá dada por:

Ai′

i (q) =

1 0 0 ai0 Cαi −Sαi 00 Sαi Cαi 00 0 0 1

La transformación de coordenadas resultante se obtiene mediantepos–multiplicación de las transformaciones sencillas como sigue:

Ai−1i (qi) = Ai−1

i′ Ai′

i

Cϑi −Sϑi Cαi Sϑi Sαi aiCϑi

Sϑi Cϑi Cαi −Cϑi Sαi aiSϑi

0 Sαi Cαi di0 0 0 1

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N


Convención DH

1 Obsérvese que la matriz de transformación del sistema i al sistemai − 1 es una función únicamente de la variable articular qi , la cual esϑi para una articulación giratoria o di para el caso de una articulaciónprismática.

2 En resumen, la convención Denavit–Hartenberg permite la cons-trucción de la cinemática directa mediante la composición de trans-formaciones individuales de coordenadas como las de la diapositiva24, en una transformación de homogénea dada en la diapositiva 15.

3 El procedimiento de puede aplicar a cualquier cadena cinemáticaabierta y puede ser reescrita en una forma operativamente fácil comosigue.

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Convención DH

Paso 1:Encontrar y numerar consecutivamente los ejes articulares; esta-blecer las direcciones de los ejes z0, . . . , zn−1.Paso 2:Elegir el sistema 0 localizando el origen en el eje z0; los ejes x0 yy0 de modo tal que se obtenga un sistema dado por la regla dela mano derecha. De ser posible, vale la pena elegir el sistema 0para que coincida con el sistema base.Nota:Ejecutar los pasos 3 al 5 para i = 1, . . . ,n − 1:

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Convención DHPaso 3:Localizar el origen Oi en la intersección de zi con la normalcomún a los ejes zi−1 y zi . Si los ejes zi−1 y zi son paralelosy la articulación i es giratoria, entonces localizar Oi de modotal que di = 0; si la articulación i es prismática, localizar Oi enuna posición de referencia para el rango de la articulación, porejemplo, un límite mecánico.Paso 4:Elegir el eje xi a lo largo de la normal común a los ejes zi−1 y zicon dirección de la articulación i a la articulación i + 1.Paso 5:Elegir el eje yi de modo tal que se obtenga un sistema regidopor la regla de la mano derecha.

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Convención DHNota:Para terminar:Paso 6:Elegir el sistema n; si la articulación es giratoria, entonces ali-near zn con zn−1, si es prismática, entonces elegir zn en formaarbitraria. El eje xn se establece de acuerdo al paso 4.Paso 7:Para i = 1, . . . ,n, construya la tabla de parámetros ai , di , αi ,ϑi .Paso 8:Con base a los parámetros obtenidos en el paso 7, calcu-le las matrices de transformación homogéneas Ai−1

i (qi), parai = 1, . . . ,n.

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Convención DH

Paso 9:Calcular la transformación homogénea T0

n(q) =A0

1(q1)A21(q2) . . .An−1

n (qn), la cual produce la posición yorientación del sistema n con respecto al sistema 0.Paso 10:Dadas Tb

0 y Tne , calcular la función de cinemática directa como

Tbe(q) = Tb

0T0nTn

e , la cual produce la posición y orientación delsistema de referencia del sistema del efector final con respecto alsistema de referencia del sistema base.

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Cinemática de estructuras típicas de manipuladores

Cinemática de estructuras típicas demanipuladores

1 Esta sección contiene varios ejemplos del cálculo de la función decinemática directa para estructuras típicas de manipuladores que sonencontradas con frecuencia en robots industriales.

2 Con referencia a la representación esquemática de la cadena cinemá-tica , los manipuladores son ilustrados generalmente, en “postures”donde las variables articulares, definidas de acuerdo a la convenciónDH, son diferentes de cero; tales valores pueden diferir de las referen-cias nulas empleadas para la programación de robots manipuladores.

3 Por lo anterior, será necesario sumar contribuciones constantes (offset)a los valores de las variables articulares medidas por el sistema de sen-sores del robot, a fin de coincidir con las referencias.

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Robot planar de 3 eslabonesEjemplo 1: Robot planar de 3 eslabones

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Robot planar de 3 eslabones1 Como todos los ejes giratorios son paralelos, la selección más simple

se hace para todos los ejes xi a lo largo de la dirección de los eslabonesrelativos (la dirección de x0 es arbitraria) y todo yaciendo en el plano(x0, y0).

2 De esta manera, todos los parámetros di son nulos y los ángulos entrelos ejes xi proporcionan directamente las variables articulares.

3 En la siguiente tabla se muestran los parámetros textbfDH correspon-dientes.Parámetros DH para el robot planat de tres eslabones

Eslabón ai αi di ϑi

1 a1 0 0 ϑ12 a2 0 0 ϑ23 a3 0 0 ϑ3

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Continuación del ejemplo 1

Ya que todas las articulaciones son giratorias, la matriz de transfor-mación definida en la diapositiva 24, tiene la misma estructura paracada articulación, es decir:

Ai−1i (ϑi) =

Ci −Si 0 aiCiSi Ci 0 aiSi0 0 1 00 0 0 1

donde i = 1, 2, 3

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Continuación del ejemplo 1

El cÃąlculo de la función de cinemática directa como aquella dada enla diapositiva 15, está dada por:

T03(q) = A0

1A12A2

3

C123 −S123 0 a1C1 + a2C12 + a3C123S123 C123 0 a1S1 + a2S12 + a3S1230 0 1 00 0 0 1

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