Series de Fourier

TRATAMIENTO DE SEALES

DIGITALES

Series de Fourier

MIGUEL SERRANO LOPEZ

Contenido

1. Funciones Peridicas

2. Serie trigonomtrica de Fourier

3. Componente de directa, fundamental y armnicos

4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno

5. Clculo de los coeficientes de la Serie de Fourier

6. Simetras en seales peridicas

7. Fenmeno de Gibbs

8. Forma Compleja de las Series de Fourier

9. Espectros de frecuencia discreta

10. Potencia y Teorema de Parseval

11. De la serie a la Transformada de Fourier.

12. Obtencin de la serie de Fourier usando FFT

13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales

Prembulo

El anlisis de Fourier fue introducido en 1822 en la

Thorie analyitique de la chaleur para tratar la

solucin de problemas de valores en la frontera en la

conduccin del calor.

Ms de siglo y medio despus las aplicaciones de esta

teora son muy bastas: Sistemas Lineales,

Comunicaciones, Fsica moderna, Electrnica,

ptica y por supuesto, Redes Elctricas entre

muchas otras.

Funciones Peridicas

Una Funcin Peridica f(t) cumple la siguiente

propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mnima para la cual se cumple lo

anterior se le llama el periodo de la funcin

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

Funciones Peridicas

Ejemplo: Cul es el perodo de la funcin

Solucin.- Si f(t) es peridica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1p, T/4=2k2p

Es decir,

T = 6k1p = 8k2p

Donde k1 y k2 son enteros,

El valor mnimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p

)?cos()cos(f(t)4t

3t

)cos()cos(T)f(t4Tt

3Tt )cos()cos(f(t)

4t

3t

Funciones Peridicas

Grfica de la funcin

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

T

)cos()cos(f(t)4t

3t

Funciones Peridicas

Podramos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una funcin peridica.

Esto no es as, por ejemplo, consideremos la funcin

f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).

Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

w1T= 2pm, w2T=2pn

De donde

Es decir, la relacin w1/ w2 debe ser un nmero racional.n

m

2

1 w

w

Funciones Peridicas

Ejemplo: la funcin cos(3t)+cos(p+3)t no es peridica, ya que no es un nmero racional.

p

w

w

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)

Funciones Peridicas

ACTIVIDAD 1: Encontrar el periodo de las

siguientes funciones, si es que son

peridicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t)= sen2(2pt)

3) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)

4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)

5) f(t)= sen(2 t)

Serie Trigonomtrica de Fourier

Algunas funciones peridicas f(t) de periodo T

pueden expresarse por la siguiente serie, llamada


f(t) = a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...

+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...

Donde w0=2p/T.

Es decir,

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021 ww


Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el trmino ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera ms compacta para expresar estos coeficientes pensando en un tringulo rectngulo:

w

w

)tn(sen

ba

b)tncos(

ba

aba 02

n2n

n02

n2n

n2n

2n


Con lo cual la expresin queda

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

an

bn

2

n

2

nn baC

n

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww

)tncos(C n0n w


Si adems definimos C0=a0/2, la serie de Fourier

se puede escribir como

As,

y

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2

n

2

nn baC

n

n1n

a

btan


ACTIVIDAD 2:

Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y

n, de manera que la serie de Fourier se pueda

escribir como

w1n

n0n0 )tn(senCC)t(f

Componentes y armnicas

As, una funcin peridica f(t) se puede escribir como la

suma de componentes sinusoidales de diferentes

frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:

Cncos(nw0t+n) se le llama la ensima armnica de f(t).

A la primera armnica (n=1) se le llama la componente

fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular

fundamental.


A la componente de frecuencia cero C0, se le

llama componente de corriente directa (cd) y

corresponde al valor promedio de f(t) en cada

periodo.

Los coeficientes Cn y los ngulos n son

respectiva-mente las amplitudes y los ngulos

de fase de las armnicas.


Ejemplo: La funcin

Como ya se mostr tiene un periodo T=24p, por lo tanto

su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental es de la forma:

0*cos(t/12).

Tercer armnico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Cuarto armnico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(f(t)4t

3t


Ejemplo: Como puede verse, la funcin anterior tiene

tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su

componente de cd es cero, en cambio

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(1f(t)4t

3t

Tiene tantas partes

arriba como abajo

de 1 por lo tanto,

su componente de

cd es 1.


ACTIVIDAD 3

: Cul es la componente fundamental, las

armnicas distintas de cero y la componente de

directa de

a) f(t) = sen2t

b) f(t) = cos2t ?

Justifcalo adems mostrando la grfica de las

funciones y marcando en ellas el periodo

fundamental y la componente de cd.

Ortogonalidad de senos y cosenos

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son

ortogonales en el intervalo a


Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el

intervalo 1< t


ACTIVIDAD 4:

Dar un ejemplo de un par de funciones que sean

ortogonales en el intervalo:

a) 0


Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2


2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

m

t)(mcost)dtsen(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

www

w

w w

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00


4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00 ww

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00


Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son tiles las siguientes identidades trigonomtricas:

cos A cos B = [cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A sen B = [-cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A cos B = [sen(A+B)+sen(A-B)]

Adems:

sen2 = (1-cos2)

cos2 = (1+cos2)

Clculo de los coeficientes de la Serie

Dada una funcin peridica f(t) cmo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.


0n0n021 ww


Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e

integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e

integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de T/2 a T/2,

obtenemos:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n w

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n w

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa


El intervalo de integracin no necesita sersimtrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno ycoseno no slo se da en el intervalo de T/2 aT/2, sino en cualquier intervalo que cubra unperiodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las frmulas anteriores pueden calcularse encualquier intervalo que cumpla este requisito.


Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la

siguiente funcin de periodo T:

Solucin: La expresin para f(t) en T/2


Coeficientes an: w

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0


Coeficiente a0:

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0


Coeficientes bn: w

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1pp

p

0npara))1(1n

2 n p


Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: lacomponente fundamental y los armnicos 3, 5 y7 as como la suma parcial de estos primeroscuatro trminos de la serie para w0=p, es decir,T=2:

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310 wwwp


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armnico

quinto armnico

septimo armnico


ACTIVIDAD 5: Encontrar la serie de Fourier

para la siguiente seal senoidal rectificada de

media onda de periodo 2p.

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funciones Pares e Impares

Una funcin (peridica o no) se dice funcin par

(o con simetra par) si su grfica es simtrica

respecto al eje vertical, es decir, la funcin f(t) es

par si f(t) = f(-t)

p 2p

f(t)

t p 2p


En forma similar, una funcin f(t) se dice

funcin impar o con simetra impar, si su grfica

es simtrica respecto al origen, es decir, si

cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

p 2p

f(t)

t p 2p


Ejemplo: Las siguientes funciones son pares oimpares?

f(t) = t+1/t

g(t) = 1/(t2+1),

Solucin:

Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) esfuncin impar.

Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lotanto g(t) es funcin par.


Ejemplo: La funcin h(t)=f(1+t2) es par oimpar?, donde f es una funcin arbitraria.

Solucin:

Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))

Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),

Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),

finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) esfuncin par, sin importar como sea f(t).


Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todaslas siguientes funciones son pares:

h(t) = sen (1+t2)

h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)

h(t) = cos (2+t2)+1

h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2

etc...

Ya que todas tienen la forma f(1+t2)


Como la funcin sen(nw0t) es una funcin imparpara todo n0 y la funcin cos(nw0t) es unafuncin par para todo n, es de esperar que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrtrminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier nocontendr trminos coseno, por lo tanto an= 0para todo n


Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada enun ejemplo previo:

Es una funcin impar, por ello su serie deFourier no contiene trminos coseno:

1f(t)

t. . . -T/2

0 T/2T . . .

-1


Simetra de Media Onda

Una funcin periodica de periodo T se dice

simtrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su grfica las partes negativas son

un reflejo de las positivas pero desplazadas

medio periodo:

)t(f)Tt(f21

f(t)

t

Simetra de Cuarto de Onda

Si una funcin tiene simetra de media onda yadems es funcin par o impar, se dice que tienesimetra de cuarto de onda par o impar

Ejemplo: Funcin con simetra impar de cuartode onda:

f(t)

t


Ejemplo: Funcin con simetra par de cuarto deonda:

f(t)

t


ACTIVIDAD 6: Qu tipo de simetra tiene la

siguiente seal de voltaje producida por un triac

controlado por fase?

f(t)

t

Simetras y Coeficientes de Fourier

Simetra CoeficientesFunciones

en la serie

NingunaSenos y

cosenos

Par bn=0nicamente

cosenos

Impar an=0nicamente

senos

media

onda

Senos y

cosenos

impares

w2/

0

04 )cos()(

T

Tndttntfa

w2/

0

04 )()(

T

Tndttnsentfb

w

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

w

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

w2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tndttntfa

w2/

2/

02 )()(

T

T

Tndttnsentfb


Simetra CoeficientesFunciones

en la serie

NingunaSenos y

cosenos

de

onda par

an=0 (n par)

bn=0

Slo

cosenos

impares

de

onda

impar

an=0

bn=0 (n par)Slo

senos

impares

w2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tndttntfa

w2/

2/

02 )()(

T

T

Tndttnsentfb

)(

)cos()(

4/

0

08

imparn

dttntfaT

Tn w

)(

)()(

4/

0

08

imparn

dttnsentfbT

Tn w


Por ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada enun ejemplo previo:

Es una funcin con simetra de de onda impar,por ello su serie de Fourier slo contienetrminos seno de frecuencia impar:

1f(t)

t. . . -T/2

0 T/2T . . .

-1


Fenmeno de Gibbs

Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para

lograr una aproximacin en suma finita de senos y

cosenos, es natural pensar que a medida que

agreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximar

ms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t),

en donde el error de la suma finita no tiende a cero a

medida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:

Fenmeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armnico

Fenmeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armnicos

Fenmeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Forma Compleja de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una

funcin periodica f(t), con periodo T=2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando

las frmulas de Euler:

Donde


0n0n021 ww

)ee()tn(sen

)ee()tncos(

tjntjn

j21

0

tjntjn

21

0

00

00

ww

ww

w

w

1j


Sustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:

Lo cual es congruente con la frmula para bn, ya

que b-n=-bn, ya que la funcin seno es impar.

])ee(b)ee(a[a)t(f1n

tjntjn

j21

n

tjntjn

21

n021 0000

wwww

]e)jba(e)jba([a)t(f1n

tjn

nn21tjn

nn21

021 00

ww

)jba(c),jba(c,ac nn21

nnn21

n021

0


La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

)ecec(c)t(f1n

tjn

n

tjn

n000

w

w

w

w 1n

tjn

n

1n

tjn

n000 ececc)t(f

wn

tjn

n0ec)t(f


A la expresin obtenida

Se le llama forma compleja de la serie deFourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse apartir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, obien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc0

wn

tjn

n0ec)t(f


Los coeficientes cn son nmeros complejos, y

tambin se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde ,

Para todo n0,

Para n=0, c0 es un nmero real:

nj

nn ecc

nj

n

*

nn eccc

2

n

2

n21

n bac )a

barctan(

n

nn

021

0 ac


Ejemplo. Encontrar la forma compleja de laserie de Fourier para la funcin ya tratada:

Solucin 1. Como ya se calcularon loscoeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn):

an=0 para todo n

y

1f(t)

t. . . -T/2

0 T/2T . . .

-1

ntodopara])1(1[b nn2

n p


Podemos calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda

])1(1[j]jba[c nn2

21

nn21

n p

])1(1[jc nn1

n p

...)eee

eee(...j)t(f

t5j

51t3j

31tj

tjt3j

31t5j

512

000

000

www

www

p


Solucin 2. Tambin podemos calcular loscoeficientes cn mediante la integral

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc0

)dtedte(

T

2/T

tjn

2/T

0

tjn

T1 00

ww

)ee(2/T

T

tjn

jn1

0

2/T

tjn

jn1

T1 0

o

0

o

w

w

w

w

)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn

Tjn1 000

o

www

w


Como w0T=2p y adems

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

jsencose j

)])1(1()1)1[(c nnTjn

1n o

w

])1(1[j nTn

2

o w

])1(1[j nn1 p


ACTIVIDAD 7: Calcular los coeficientes cnpara la siguiente funcin de periodo 2p.

a) A partir de los coeficientes an,bnb) Directamente de la integral

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta

A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra

la frecuencia angular w de la componente

correspondiente se le llama el espectro de amplitud de

f(t).

A la grfica del ngulo de fase n de los coeficientes cncontra w, se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular

w=nw0 es una variable discreta y los espectros

mencionados son grficas discretas.


Dada una funcin peridica f(t), le corresponde

una y slo una serie de Fourier, es decir, le

corresponde un conjunto nico de coeficientes

cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en

el dominio de la frecuencia de la misma manera

que f(t) especifica la funcin en el dominio del

tiempo.


Ejemplo. Para la funcin ya analizada:

Se encontr que

Por lo tanto,

1f(t)

t. . . -T/2

0 T/2T . . .

-1

])1(1[jc nn1

n p

])1(1[c nn1

n p


El espectro de amplitud se muestra a continuacin

Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia,

(n=nmero de armnico = mltiplo de w0).

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Espectro de Amplitud de f(t)

n

C

n

Frecuencia negativa (?) Frecuencia


ACTIVIDAD 8. Dibujar el espectro de amplitud

para la funcin senoidal rectificada de onda.

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una seal

cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede

calcular como la altura de un rectngulo que

tenga la misma rea que el rea bajo la curva de

f(t)

1f(t)

t

h=Altura

promedio

T

0

dt)t(fArea

T

Area=Th


De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica

f(t) representa una seal de voltaje o corriente, la

potencia promedio entregada a una carga

resistiva de 1 ohm en un periodo est dada por

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el

promedio en un periodo ser el promedio en

cualquier otro periodo.

2/T

2/T

2

T1 dt)]t(f[


El teorema de Parseval nos permite calcular la

integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-

plejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):

O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

1n

2

n

2

n212

041

2/T

2/T

2

T1 )ba(adt)]t(f[


Una consecuencia importante del teorema de Parseval

es el siguiente resultado:

El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t)

es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de

sus armnicos, es decir,

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es

la componente de directa.

1n

2

n2

0

2/T

2/T

2

T1

2

CCdt)]t(f[


Para aclarar el resultado anterior es convenienteencontrar la relacin entre los coeficientescomplejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo yC0 es la componente de directa.

wn

tjn

n0ec)t(f

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f


Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Adems, para el armnicoSu valor rms es , por lo tanto su valorcuadrtico medio es

Para la componente de directa C0, su valor rmses C0, por lo tanto su valor cuadrtico medioser C0

2.

,baC 2n2

nn

2

n

2

n21

n bac

n21

n Cc 2

n41

2

n Cc

)tncos(C)t(f n0nn w2/Cn

2/C2n


Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de

la funcin f(t):

Solucin.

Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

1f(t)

t. . . -T/2

0 T/2T . . .

-1

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

])1(1[c nn1

n p

p

...49

1

25

1

9

11

8c

2n

2

n


La serie numrica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperarse.

2337.1...49

1

25

1

9

11

1)2337.1(8

cdt)]t(f[2

n

2

n

2/T

2/T

2

T1

p


ACTIVIDAD 9.

Calcular el valor cuadrtico medio para la seal

senoidal rectificada de media onda de periodo

2p.

De la Serie a la Transformada de Fourier

La serie de Fourier nos permite obtener una

representacin en el dominio de la frecuencia

para funciones peridicas f(t).

Es posible extender de alguna manera las series

de Fourier para obtener el dominio de la

frecuencia de funciones no peridicas?

Consideremos la siguiente funcin periodica de

periodo T


Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo

T:

1f(t)

t

. . . -T -T/2 0 T/2

T . . .

p

-p/2 p/2

2T

2

p

2

p

2

p

2

p

2T

t0

t1

t0

)t(f


Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier

en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo

obtenemos (en este caso) graficando cn contra

w=nw0.

)n(

)n(sen)(c

2

p

0

2

p

0T

p

nw

w


Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn


Si el periodo del tren de pulsos aumenta:

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=2

t

f(t)

t-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=5

f(t)

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=10

t

f(t)

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=20

t

f(t)


En el lmite cuando T, la funcin deja de ser

peridica:

Qu pasa con los coeficientes de la serie de

Fourier?

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=

t

f(t)


-50 0 50-0.1

0

0.1

0.2

0.3

p=1, T=5

-50 0 50-0.05

0

0.05

0.1

0.15

p=1, T=10

-50 0 50-0.02

0

0.02

0.04

0.06p=1, T=20

-50 0 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6p=1, T=2

w=nw0

cn


Si hace T muy grande (T): El espectro se

vuelve continuo!


El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderarla expresin de una funcin f(t) no peridica enel dominio de la frecuencia, no como una sumade armnicos de frecuencia nw0, sino como unafuncin continua de la frecuencia w.

As, la serie

Al cambiar la variable discreta nw0 (cuandoT) por la variable continua w, se transformaen una integral de la siguiente manera:

wn

tjn

n0ec)t(f


Como

La serie queda

O bien,

cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria

se convierte en

w

w

n

tjn

2/T

2/T

tjn

T1 00 edte)t(f)t(f

w2/T

2/T

tjn

T1

n dte)t(fc0

w

w

p w

n

tjn

0

2/T

2/T

tjn

21 00 edte)t(f)t(f

w

w

p w

dedte)t(f)t(f tjtj

21


Es decir,

Donde

Estas expresiones nos permiten calcular laexpresin F(w) (dominio de la frecuencia) apartir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

w

p ww de)(F)t(ftj

21

ww dte)t(f)(F tj

Identidad

de Fourier

Transformada

De Fourier


Notacin: A la funcin F(w) se le llama

transformada de Fourier de f(t) y se denota porF, es decir

En forma similar, a la expresin qu enos permite

obtener f(t) a partir de F(w) se le llama

transformada inversa de Fourier y se denotapor F 1 ,es decir

w

p

www de)(F)t(f)](F[ tj211F

ww dte)t(f)(F)]t(f[ tjF


Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso

rectangular f(t) siguiente

Solucin. La expresin en el dominio del tiempo

de la funcin es

-p/2 0 p/2

1f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p


Integrando

Usando la frmula de Euler

Obsrvese que el resultado es igual al obtenido

para cn cuando T , pero multiplicado por T.

w

w w

2/p

2/p

tjtj dtedte)t(f)(F

2/p

2/p

tj

j1 e

w

w

)ee( 2/pj2/pjj1 ww

w

2/p

)2/p(senp)(F

w

ww


En forma Grfica

-50 0 50

0

0.5

1

F(w) con p=1

w

F(w

)


ACTIVIDAD 10. Calcular la Transformada deFourier de la funcin escaln unitario u(t):

Graficar U(w)=F[u(t)]Qu rango de frecuencias contiene U(w)?Cul es la frecuencia predominante?

u(t)

0

1

t

La Transformada Rpida de Fourier

Cuando la funcin f(t) est dada por una lista de N

valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que est discretizada o

muestreada, entonces la integral que define la

Transformada de Fourier:

Se convierte en la sumatoria

(Donde k es la frecuencia discreta)

Llamada Transformada Discreta de Fourier

ww dte)t(f)(F tj

Nn1para,e)t(f)n(FN

1k

)1k(j

kN

n2

p

La Transformada Rpida de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier (DFT)requiere el clculo de N funciones exponencialespara obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo declculo enorme para N grande.

Se han desarrollado mtodos que permitenahorrar clculos y evaluar de manera rpida laTransformada discreta, a estos mtodos se lesllama

Transformada Rpida de Fourier (FFT)

La FFT y la Serie de Fourier

Podemos hacer uso de la FFT para calcular los

coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de

Fourier como sigue:

Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y

periodo T.1

f(t)

t

. . . -T -T/2 0 T/2

T . . .

p

-p/2 p/2


La versin muestreada f(k) de f(t) slo puede

tomar un nmero finito de puntos. Tomemos por

ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el

intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):

0 1 20

0.5

1

1.532 muestras de f(t), de 0 a T

k

f(k)


Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se

puede hacer lo siguiente:

k=0:31

f=[(k23)]

Plot(k,f,o)


Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante

la FFT, por ejemplo, en Matlab:

F=fft(f)/N;

Con lo que obtenemos 32 valores complejos de

F(n). Estos valores son los coeficientes de la

serie compleja ordenados como sigue:

n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32

F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1


Podemos graficar el espectro de amplitud

reordenando previamente F(n) como sigueaux=F;

F(1:16)=aux(17:32);

F(17:32)=aux(1:16);

F(n) queda:

Y para graficar el espectro de amplitud:stem(abs(F))

Obtenindose:

n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32

F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15


Si deseamos una escala horizontal en unidadesde frecuencia (rad/seg):

0 10 20 300

0.2

0.4

0.6Para el tren de pulsos p=1,

T=2

n

|F(n

)

|

Espectro de Amplitud |F(n)|


w0=2*pi/T;

n=-16:15;

w=n*w0;

Stem(w,abs(F))

Obteniendo:

-50 0 500

0.2

0.4

0.6para el tren de pulsos, p=1,T=2

w

|F(w

)|

Espectro de Amplitud |F(n)|


Tambin podemos obtener los coeficientes de la

forma trigonomtrica, recordando que:

Podemos obtener

Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para

n par), adems para n impar:

)jba(c),jba(c nn21

nnn21

n

)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00

n 1 3 5 7 9 11 13 15

an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062

bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625


Como el tren de pulsos es una funcin par, se

esperaba que bn=0; (el resultado obtenido es

errneo para bn, pero el error disminuye para N

grande):

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

Coeficientes bnCoeficientes an

a0


ACTIVIDA 11: Usar el siguiente cdigo para generar128 puntos de una funcin peridica con frecuenciafundamental w0=120p (60 hertz) y dos armnicosimpares en el intervalo [0,T]:N=128;

w0=120*pi;

T=1/60;

t=0:T/(N-1):T;

f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);

Usando una funcin peridica diferente a la subrayada:a) Graficar la funcin.b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la sealusando la funcin FFT

Medidores Digitales

La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo

electrnico digital con la capacidad de clculo de

espectros de frecuencia para seales del mundo

real, por ejemplo:

1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.)

2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls)

3) Power Platform PP-4300

Medidores Digitales

El Fluke 123 scope meter

Medidores Digitales

Tektronix THS720P (osciloscopio digital)

Medidores Digitales

Analizador de potencia PP-4300

Es un equipo especializado en monitoreo de la

calidad de la energa: permite medicin de 4

seales simultneas (para sistemas trifsicos)

QUIZ 1

1.REALIZAR LAS ACTIVIDADES 1 A 11.

2 DESCRIBA EL PROCESO DE CONVOLUCION DIGITAL Y

ANALOGICO.

3 DESCRIBA LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE

FOURIER Y FFT .

4. REPRESENTE EN MATLAB, LAS FUNCIONES TRIANGULAR,

EXPONENCIAL UN SOLO PULSO CUADRADO, Y UNA SEAL

ALEATORIA

5.DIGA COMO OBTIENE NUMEROS ALEATORIOS DE 1 A 1000 CON

MATLAB.

Series de Fourier

Documents

Transcript of Series de Fourier