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Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Tema 3. Corriente alterna

1


Índice

01 Señales variables con el tiempo. Ondas senoidales

02 Régimen senoidal permanente

03 Circuitos de 1er orden. Respuesta en frecuencia

04 Potencia activa y reactiva. Factor de potencia

2


Amplitud

Amplitud

Amplitud

Amplitud

Onda sinusoidal

Onda triangular

Onda cuadrada

Diente de sierra

Señales variables en el tiempo•  La corriente y la tensión en los circuitos puede ser

constante (CC) o variable con el tiempo (CA)•  Escalón y rampa. Formas de onda periódicas

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Grados Radianes

Forma de onda senoidal

Vp-Vp

)()( tsenVsenVv pp ωφ ==

fπω 2= rad/s

4

•  Período T (s), frecuencia f (Hz), amplitud o valor de pico Vp, ω (rad), frecuencia angular, fase (grados o rad)φ

)( φω += tsenVv p

ωπ21

==f

T

4


•  La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

•  La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

•  La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral también.

Forma de onda senoidal. Carácterísticas

5


Forma de onda senoidal. Carácterísticas

•  Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales

•  Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener

•  La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema. Respuesta en frecuencia.

6


)( φω += tsenAy )( φω −= tsenAy

Forma de onda senoidal. Fase•  Período (ángulo) desde un valor de referencia

B va retrasada 90ºrespecto de A B va adelantada 90º respecto de A

7


Forma de onda senoidal. Valor medio•  El valor medio en un ciclo es 0•  Suponiendo medio ciclo u onda rectificada:

( ) ( ) ( )[ ] ppπpπ

pTa

a pavm V.πV

πV

dsenVπ

dsenVT

V ×==−=∫=∫= + 63702

cos11

00)( φφφφφ

Valor medio calculado sobre medio ciclo de onda

Valor medio calculado sobre la onda rectificada

8


Forma de onda senoidal. Valor eficaz•  El valor eficaz es la raíz cuadrada del valor cuadrático

medio (r.m.s.)•  Su utilidad deriva de que la potencia medida mediante

valores eficaces es equivalente a la de los valores de CC

( )[ ] ( )[ ]2

110

22)(

pπp

Taa prmsef

VdsenV

πdsenV

TV =∫=∫= + φφφφ

CCCCavccm VIP ·).(. = efefavacm VIP ·).(. =

9


Régimen senoidal permanente•  Notación compleja. Euler

tjjp

tjjp eeItieeVtv iV ωφωφ ·)(;·)( ==

)()( tiRtv ⋅= dtdiLtv ⋅=)(

dtdvCti ⋅=)(

)()cos()()cos(tsenjtetsenjte

tj

tj

ωω

ωωω

ω

−=

+=−

[ ][ ]tj

tj

etsenet

ω

ω

ω

ω

Im)(Re)cos(

=

=

[ ] [ ]tjjp

tjpVp eeVeVtVtv VV ωφφωφω ⋅⋅=⋅=+= + ReRe)·cos()( )(

Resistencias Bobinas Condensadores

sen(wt)

j

wt

cos(wt)

10


Elementos pasivos. Módulo y fase•  Respuesta de los elementos pasivos básicos. Impedancia

)()( tiRtv ⋅=

tjjp

tjjp eeIReeV iV ωφωφ ·· ⋅=

p

p

IV

R =

2πφφ += iV

dtdiLtv ⋅=)(

tjjp

tjjp eeILjeeV iV ωφωφ ω ·· ⋅=

2·· πφφ ω +⋅= iV jp

jp eILeV

pp ILV ⋅=ωLjL ω=Z

La corriente retrasa 90º a la tensión

iV ϕϕ =2πφφ += Vi

dtdvCti ⋅=)(

tjjp

tjijp eeVCjeeI V ωφωφ ω ·· ⋅=

2·· πφφ ω +⋅= Vi jp

jp eVCeI

pp VCI ⋅= ω

CjC ω1

=Z

La corriente adelanta 90º a la tensión

2πφφ −= Vi

La corriente está en fase con la tensión

11


Elementos pasivos •  Formas de onda de la tensión y la corriente en los

elementos pasivos básicos. ReactanciaResistencia

Reactancia inductiva

Reactancia capacitiva

][ΩR

][1 Ω=C

XC ω

][Ω= LXL ω

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Elementos pasivos. Serie y paralelo. Impedancias

•  Serie. Todos los elementos recorridos por la misma corriente

LRCR ZZZZZ +++=21

LR ZZZ111

2

+=

•  Paralelo. Todos los elementos sometidos a la misma tensión

R1 C LR2

13

…+++=

321

1111

ZZZ

Z


Diagramas de fase o vectoriales•  En sistemas de frecuencia fija, una señal senoidal queda

caracterizada por el módulo y la fase•  Un diagrama de fase permite representar módulo y fase en

un único diagramaA

Representación fasorial de la tensión en una resistencia R, una inductancia L y un condensador C

Representación fasorial de una señal de magnitud A y fase φ

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•  Un diagrama de fase permite sumar y restar vectorialmente señales senoidales de igual frecuencia

Resta fasorial o vectorial A-B

Diagramas de fase o vectoriales

Suma fasorial o vectorial A+B

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•  Un diagrama de fase permite representar impedancias complejas mediante su módulo y argumento (fase)

Diagramas de fase o vectoriales. Impedancias

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LjXR+=Z

CjXR−=Z

Representación gráfica de una impedancia RL Representación gráfica de una impedancia RC

•  Generalización de la Ley de Ohm. Z·∙IV =


Resolución fasorial o vectorialMódulo:

Argumento:

Solución:

Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados

•  Circuitos formados por resistencias, fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C). Se caracterizan por una ecuación diferencial de primer orden

Circuitos de 1er orden. RC

2

222

)(·

CI

IRVω

+=

RCarctgvi ω

φφφφ1; =−=

22

)(1C

R

VI

ω+

=

)cos(

)(1

)(

22

vt

CR

Vti φφω

ω

−+⋅

+

= )(1

)(1

)(

22

vC tsenC

CR

Vtv φφωω

ω

−+⋅⋅

+

=

V

I

17


V

I

Función de transferencia H (jω)

Módulo:

Argumento:

RCjj

RCjCj

R

Cj CC ω

ωω

ω

ω+

==+

=+

=1

1)(11

·1

VV

HV

VV

)()0()( RCarctgarctgj C ωφω −==∠=∠VV

H

•  Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos

2)(11)(RC

j C

ωω

+==

VV

H

Cjω1

[ ]tjeVtVtv ωω Re)·cos()( ⋅==Siendo

[ ] [ ] )·cos()(1

Re)(·Re2

φωω

ω φω ++

=⋅⋅= tRCVejHeVV jtj

C

18



V

I

19

VZZ

ZV

CR

CC +=

VVRCjC ω+

=1

1Cjω1

•  Divisor de impedancias



•  Resolución fasorial o vectorialMódulo:

Argumento:

Solución:

Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados

Circuitos de 1er orden. RL

RLarctgvi

ωφφφφ =−= ;

2222 ·)(· ILIRV ω+= 22 )( LRVIω+

=

)cos()(

)(22

φφωω

−+⋅+

= vtLR

Vti )()(

)(22

φφωωω

−+⋅⋅+

−= vL tsenLLR

Vtv

V

I

20


Función de transferencia H (jω)

Módulo:

Argumento:

φπω

ω −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−∞=∠=∠2

)()(RLarctgarctgj L

VV

H

2

1

1)(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

==

LR

j L

ω

ωVV

H

LjRLjj

LjRLj L

L ωω

ωω

ω+

==+

=VV

HV

V )(·

V

I

•  Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos

[ ] )(·

1

)2

·cos(

1

Re)(·Re22

2 φω

ω

φπ

ω

ω

ωφ

πω +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

tsen

LR

Vt

LR

VejHeVVj

tjL

[ ] ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅==

RLarctgeVtVtv tj ω

φω ω ySiendo Re)·cos()(

Ljω

21

Circuitos de 1er orden. RL


22

VZZ

ZV

LR

LL +=

VVRLjRLj

L ωω+

=1

V

I

Ljω

•  Divisor de impedanciasCircuitos de 1er orden. RL


Circuitos de 1er orden. Paralelo

•  Diagramas fasoriales de corrientes

V

V

I

I

23


•  Circuitos con 2 elementos almacenadores de energía

Circuitos de 2º orden. RLC

V

I

)( Ljω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Cjω1

24


25

Respuesta en frecuenciaGráfica de la magnitud y la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia.Función de transferencia, H(w), es el cociente entre la amplitud compleja de la salida, Y(w) (tensión o corriente), entre la amplitud compleja de la entrada X(w) (tensión o corriente)El módulo de la función de transferencia indica la ganancia del sistema en función de la frecuencia. La fase es la diferencia angular entre las sinusoides de salida y de entrada

Aplicación fundamental del análisis de respuesta en frecuencia: filtros.


•  Potencia instantánea

•  Potencia media

•  Potencia eficaz

Potencia media

Potencia en una resistencia

)()·()( titvtpR = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==×=

2)2cos(1)()()( 2 tIVtsenIVtsenItsenVp PPPPPPR

ωωωω

PPavm IVP21

)( =

21

2)2cos(1

21 2

0

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∫π ω

πt

)..()..(2221

.)..( smrefsmrefPP

PPR IVIVIVPsmref

=×==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

2)2cos(1 tIVp PPR

ω

PPR IVPavm 2

1)(=

26


•  Potencia instantánea (I adelanta 90º de V)

•  Potencia media y eficaz

Potencia en un condensador

)()·()( titvtpC = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=×=

2)2()cos()( tsenIVtItsenVp PPPPC

ωωω

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

2)2( tsenIVp PPC

ω0

2)2(=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ tsen ω 0.)..()( == smrefCavmC PP

27


•  Potencia instantánea (I retrasa 90º de V)

•  Potencia media y eficaz

Potencia en una bobina

)()·()( titvtpL = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−×=

2)2()]cos([)( tsenIVtItsenVp PPPPL

ωωω

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2)2( tsenIVp PPL

ω0

2)2(=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ tsen ω 0.)..()( == smrefLavmL PP

28


•  Energía en una resistencia

•  Energía en un condensador

•  Energía en una bobina

Energía en régimen senoidal permanente

∫ ∂=t

R ttitvtw0

)()·()( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=∂⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ∫ 2

)2(2

)2cos(1

0

tsentIV

ttIVw efeft

PPRω

ωω

ω

∫ −=∂⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

t

efPPC tCVttsenIVw0

2 ))2cos(1(21

2)2(

ωω

efef

ef CVC

VI ω

ω== 1

Valor creciente con t

Valor oscilante con frecuencia (2ωt) entre 0 y CVef

2

efef LIV ω= ∫ −=∂⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

t

efPPL tLIttsenIVw0

2 ))2cos(1(21

2)2(

ωω Valor oscilante con

frecuencia (2ωt) entre 0 y LIef

2

29


•  Potencia instantánea. La corriente irá desfasada

•  Potencia media. Primer término. Potencia disipada en los componentes resistivos

•  Potencia media. Segundo término. Potencia almacenada en el elemento reactivo (bobina), y que recircula por el circuito en cada ciclo

Potencia en una resistencia y una bobina

)()·()( titvtp = )}2cos({cos21)()( iiPPiPP tIVtsenItsenVp φωφφωω −−=−×=

0)2cos( =− it φω

iφ

)2cos(21cos

21

iPPiPP tIVIVp φωφ −−=

iefefiPP

iPP IVIVIVP φφφ cos)(cos22

)(cos21

=××==

Frecuencia tω2

30


•  En circuitos con componentes resistivos y reactivos, la potencia tiene dos términos:! Potencia disipada en los componentes resistivos. Potencia activa

(P) en vatios (W)

! Potencia almacenada en los elementos reactivos y devuelta al circuito. Potencia reactiva (Q) en Voltamperios reactivos (VAr)

•  El producto de la tensión eficaz V por la corriente eficaz I se denomina Potencia aparente (S) en Voltamperios (VA)

iefefiPP

iPP IVIVIVP φφφ cos)(cos22

)(cos21

=××==

iiefef SIVP φφ coscos ==

Potencia Activa y Reactiva

)2cos(21

iPP tIVp φω −−=

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•  La potencia reactiva (Q) no se disipa, pero al circular por el circuito obliga a dimensionar cables y otros elementos adecuadamente y aumenta las pérdidas

Potencia Activa y Reactiva

Potencia Activa (P)

Potencia Reactiva (Q)

][cos WVIP φ=

][ rVAsenVIQ φ=

Potencia Aparente (S)2222 ][VAQPS +=

Diagrama de tensiones

Diagrama de tensiones

Diagrama de potencias

V

Las bobinas “consumen” potencia reactiva mientras con los condensadores la “suministran”. Convenio de signos

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Factor de potencia•  Factor de potencia

•  Las cargas inductivas tienen un factor de potencia “de retraso”

•  Las cargas capacitivas tienen un factor de potencia “de adelanto”!  Un motor de alterna típico tiene un factor de potencia inductivo de 0,9!  Una gran red eléctrica nacional tiene un factor de potencia inductivo de 0,8

- 0,9!  Equipos electrónicos: Fuentes conmutadas, rectificadores e inversores!  Industrias. Motores trifásicos. Hornos de inducción. Ferrocarriles

φcos=SP

PotenciadeFactorAparentePotenciaActivaPotencia

=)()(VAW

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Factor de potencia. Corrección•  El problema de un bajo factor de potencia se puede

corregir añadiendo al circuito componentes adicionales que lo hagan cercano a la unidad. Correción del Factor de Potencia!  Instalaciones eléctricas convencionales. Un condensador del tamaño

adecuado en paralelo con una carga con un bajo factor de potencia inductivo puede “cancelar” el efecto inductivo

!  Podría colocarse en serie, pero modificaría la tensión en la carga!  Cuanto más cercano a la unidad, más eficiente el sistema!  Cuanto más lejano de la unidad, aumentan las pérdidas, hay que

sobredimensionar las instalaciones, hay caídas de tensión!  Las compañias eléctricas penalizan en la factura los consumos con

bajo (pobre) factor de potencia

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Ingeniería Eléctrica y Electrónica B BIBLIOGRAFÍA

•  Microelectrónica: circuitos y dispositivos. M. N. Horenstein, Prentice Hall

•  Circuitos eléctricos. Nilsson, James W.Pearson Prentice Hall.

•  Teoría de Circuitos. V. Parra, J. Ortega, A. Pastor, A. Pérez. UNED

•  Fundamentals of electric circuits ó Fundamentos de circuitos eléctricos. Alexander, Charles K., Matthew N. O. Sadiku.

•  Electronics: A Systems Approach. Neil Storey. Pearson-Prentice Hall.4th Edition��

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