Tema III Cinematica de Liquidos
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CINEMÁTICA DE LÍQUIDOS 1
CAPITULO III CINEMÁTICA DE LÍQUIDOS
Objetivo: Analizar las características cinemáticas del movimiento de un líquido con base en las
magnitudes, velocidad, aceleración y rotación de sus partículas.
Campos de un flujo: VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y ROTACIÓN SIN ATENDER A LAS FUERZAS QUE LO
PRODUCEN.
Fluido en movimiento consiste en analizar o conocer las magnitudes. La cinemática de los líquidos trata del
movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan en base al conocimiento de las
magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación.
Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la
región del flujo quede comprendida por el fluido.
En cada punto del flujo existen magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales.
Escalar.- Se define por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde (presión, temperatura,
viscosidad)
Vector.- Además de la magnitud se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la que se
refiere (3 valores escalares: velocidad, aceleración, rotación)
Tensor: Se requiere definir 9 o más componentes escalares (esfuerzo, deformación unitaria).
Se define como la rapidez temporal del cambio en su posición.
Si P0 se desplaza siguiendo la trayectoria, descrita en cada instante por el vector de posición
dr: Representa el vector deformación de arco.
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En términos de los componentes de los tres ejes es:
Entonces dichas componentes son funciones de la posición de la partícula y del tiempo.
representa al vector diferencial de arco sobre la trayectoria “s” que recorre la partícula en el tiempo dt.
El campo vectorial de aceleraciones es derivado del de velocidades pues el vector aceleración de una partícula
en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto.
La aceleración no tiene orientación coincidente con la trayectoria de la partícula como con la velocidad. De
acuerdo a la deformación de derivada total.
La aceleración de las partículas del fluido se puede considerar como la superposición de 2 efectos.
En el instante “t” se supone que el cambio es independiente del tiempo, por lo tanto la partícula cambiará de
posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo.
En los 2dos. Paréntesis no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad
en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo.
Campo de velocidades
El análisis del movimiento de una partícula de fluido que recorre una curva se puede hacer de 2 maneras:
a) Por el conocimiento del vector de posición perpendicular de la partícula, como una función vectorial del
tiempo t. (EULER)
(Seleccionando puntos en el espacio y tomando nota de la magnitud y dirección de la velocidad según pasan por
el punto escogido).
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i, j, k: Vectores unitarios
Proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo:
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido - tiempo, esto es
(LAGRANGE).
(Seguir el recorrido de una partícula fluido a través del espacio definido del sistema y tiempo de llegada a cada
punto).
En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a
partir de A).
El vector velocidad es:
La velocidad es un campo vectorial dentro de un flujo y al desplazarse la partícula según la curva C, es
un vector tangente en cada punto a la misma que en general, depende de la posición de la partícula y el
tiempo.
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Si t 0. x se distinguirá cada vez menos de la línea recta para t muy pequeño, la línea se vuelve una
tangente, a la trayectoria en x.
Si “s” representa un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria de la partícula y además es función
de s, la velocidad es:
s
s
s
Campo de aceleraciones
El vector aceleración de una partícula se define en un punto como la variación temporal de la velocidad en ese
punto, esto es:
Sus componentes son:
La aceleración debida al cambio de posición se llama Convectiva. La aceleración debida a la variación de la
velocidad con respecto al tiempo se llama local.
Convectiva Local
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Ejercicio: Dado el campo de velocidades:
Determinar la magnitud de la aceleración en el punto (3, 1, 0).
P (3, 1, 0)
P (3, 1, 0)
Ejercicio: Dado el campo de velocidades . Determinar la aceleración del punto
(3, 0, 2) en t=1.
P (3, 0, 2)
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El CAMPO ROTACIONAL. Es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o la fuerza en los
alrededores de un punto.
El campo rotacional que evalúa la rotación local de una partícula, se aplica exclusivamente a los campos
vectoriales.
Y se define matemáticamente como:
(Con el operador nabla)
Las líneas de capo son rectas no paralelas forzosamente.
Las líneas del campo son arcos.
Si flujo es irrotacional.
Si flujo es rotacional (las partículas giran)
Ejemplo: Demostrar que los siguientes componentes de velocidad representan un flujo irrotacional.
Si es irrotacional
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Ejemplo: A partir de la ecuación (1) encontrar las componentes del vector rotacional para los flujos permanentes cuyos
campos de velocidades son:
a) Vx = A(x + y) Vy = -A(x + y)
b) Vx = 2Axz Vy = A(c2 + x2 – z2)
c) Vx = Ay2 + By + C Vy = 0 Vz = 0
a)
b)
c)
Clasificación de los diferentes tipos de flujo
Existen los siguientes:
Flujo Permanente y No Permanente
Flujo Uniforme y No Uniforme
Flujo Laminar ó Turbulento
Flujo Incompresible o Compresible
Flujo Rotacional e Irrotacional
Si las características en un punto determinado varían de un instante a otro el flujo es no permanente.
Si las características no varían el flujo es permanente.
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Flujo Permanente
Flujo No Permanente
Flujo uniforme: es aquel en que todas las secciones del canal tienen exactamente las mismas características
hidráulicas.
Trazo de la plantilla y de la superficie libre del agua son todas paralelas.
Flujo variado: cambian con respecto al eje x.
Se divide en:
Retardado (remanso) F.G.V. Acelerado (rápido)
F.B.V. Salto hidráulico
El flujo unidimensional no considera variaciones o cambios de velocidad, presión, etc., transversales a la
dirección del flujo principal. Muchos problemas prácticos se manejan por este método de análisis.
El flujo bidimensional se supone que todas las partículas fluyen en planos paralelos a lo largo de trayectorias
idénticas en cada uno de estos planos.
Flujo Laminar es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido. Se caracteriza porque el movimiento de
las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas.
En un flujo turbulento, las partículas se mueven sobre trayectorias completamente erráticas.
Re < 2,000
Re > 2,000
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Flujo incompresible: si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; en caso contrario el flujo
es compresible, por ejemplo, los líquidos y gases a bajas velocidades pueden ser considerados flujo
incompresible.
Flujo compresible solo en casos de Golpe de Ariete.
Rotacional
Irrotacional
Línea de corriente:
Se define como aquellas líneas del campo de flujo trazadas de tal manera que el vector velocidad del fluido en
todos y cada uno de los puntos de la línea es tangente a la misma en cada instante.
Línea de corriente, trayectoria y vena líquida
Se define como línea de flujo o de corriente, toda línea trazada idealmente en el interior de un campo de flujo,
cumple que el vector velocidad es siempre tangente a ella.
Ecuación diferencial de una línea de corriente:
En la dirección “x” En “y” En “z”
En t0
a, b y c: son
vectores
velocidad
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Ejemplo: Sea el campo de velocidades
Flujo bidimensional, no permanente.
Calcular las ecuaciones de las líneas de corriente en t = 0 y P (-1, 1).
Leyes de los exponentes:
Integrando:
Hipérbola
Para los valores de t = 0 y P (-1, -1, -1)
Plano XY
u
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Continuación: Integrando:
Plano XZ
Integrando:
Circulo de radio
Plano YZ
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Continuación: Integrando:
Ejercicio: Las componentes de velocidad en un campo están dadas por:
VX = 2x
VY = -y
VZ = -z
Determinar la ecuación de la línea de corriente que pasa por (1, 1, 1,).
En el plano XY
Plano XZ
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Continuación:
Plano YZ
Ejercicio:
Para t = 0 y P (-1, -1)
Plano XY
Integrando:
Ejercicio: P (1, 1)
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Continuación:
Ejercicio: La velocidad del agua del canal mostrado en la figura tiene una distribución a lo largo de la sección vertical
igual a
. ¿Cuál es el gasto si tiene 2 [m] de profundidad (d = 2 [m]) y 5 [m] de ancho, y la
velocidad máxima es de 3 [m/s].
Se considera ahora, dentro de un flujo, la curva c cualquiera (que no sea línea de corriente) y las líneas de
corriente que pasan por cada punto de esa curva la totalidad de esas líneas están contenidas en una superficie
que se denomina superficie de flujo o de corriente. Si la curva c es cerrada, la superficie de corriente formada
adquiere el nombre de todo el flujo y el volumen encerrado por esa superficie, el de vena fluida.
Área Velocidad
Sup. De corriente
Tubo de corriente es el tubo formado por
todas las líneas de corriente que pasan a
través de una pequeña curva cerrada.
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Gasto o caudal de una vena líquida
En un intervalo dt el volumen definido que atraviesa dA queda determinado por:
Razón de flujo de masa (ρQ):
Cantidad de masa del fluido que pasa por un área determinada durante un periodo específico.
Para determinar la razón de flujo de masa se multiplica la descarga por la densidad del fluido.
La dimensión de la razón de flujo de masa en S.I. es [kg/s].
= Vector unitario
normal a la superficie s.
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Ejercicio: El agua fluye en una tubería con un D = 50 [cm], con una distancia cónica de la velocidad. En las paredes V = 0 y
en el centro su valor máximo es de 2.5 [m/s]. Calcule , Q y la razón de flujo de masa.
Gasto o caudal de una vena líquida:
2.5
50 [cm]
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Continuación:
El área de la sección transversal de la tubería es:
Para obtener la velocidad media, el volumen de la función de distribución cónica de la velocidad siendo la altura
del cono de 2.5.
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Ejemplo: Por el interior de un conducto circular de 0.3 [m] de diámetro, fluye agua con velocidades que siguen la
distribución mostrada en la figura, según lo siguiente:
r = radio
Determine Q y V.
De (1) cuando:
r = 0 v = 0.0225
r = 0.15 v = 0
Con coordenadas polares rmáx = 0.15, θmáx = π.
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ACTIVIDADES
Actividad 1 Titulo: Cinemática de líquidos
Objetivo: El alumno identificara a través del campo de velocidades de un flujo las líneas de corriente que se definen, así
como su campo rotacional.
Indicaciones:
Resolver los siguientes problemas:
1. Sea el campo de velocidades: a) Calcule la aceleración en el punto P (3, 1, 0). ¿El flujo es irrotacional?
b) Calcule la aceleración en el punto P (3, 0, 2), t = 1. ¿El flujo es irrotacional?
2. Una distribución de velocidad tridimensional está dada por u = -x, v = 2y, w = 5 – z. Encuentre la línea de
corriente a través de P (2, 1, 1).
3. Un campo bidimensional de velocidades dado en coordenadas cartesianas y unidades arbitrarias por:
Identificar el tipo de flujo y calcular en el punto de coordenadas r = 2i + j las componentes cartesianas de la
aceleración y las direcciones de la velocidad y la aceleración.
4. Se tiene un flujo definido por:
Comprobar si el campo de velocidades es irrotacional.
5. Sea el campo de velocidades de un flujo dado por:
Demostrar si el campo de velocidades del flujo es irrotacional.
Evaluación: Esta actividad corresponderá a un punto sobre la evaluación final.
Cuestionario Contestar el siguiente cuestionario:
1. ¿Qué característica tiene un flujo irrotacional?
2. ¿Cómo se define el vector velocidad?
3. Explique los tipos de flujo considerando como criterio a la viscosidad.
4. ¿Cuántos tipos de flujo variado existen y cuáles son?
5. ¿Qué es un tubo de corriente?