TESIS - Universidad Autónoma de San Luis Potosí
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SAN L UIS POTOSÍ , S.L.P. J ULIO 2018
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Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Facultad de Ciencias
Licenciatura en Matemática Educativa
�ASIGNACIÓN DE FRECUENCIAS: UNA PROPUESTA DE
APRENDIZAJE CON COLORACIÓN DE GRAFOS�
TESIS
Para obtener el grado de
Licenciado en Matemática Educativa
P r e s e n t a :
Cindy Guadalupe García Rosas
Asesores:
Dr. Rigoberto Chavira QuinteroDr. César Israel Hernández Vélez
SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P. JULIO 2018
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Agradecimientos
En el siguiente trabajo muestro mi esfuerzo y dedicación para obtener el Título de Licen-
ciada en Matemática Educativa.
Doy gracias a mis padres por impulsarme y apoyarme en terminar esta meta, a mis amigos,
esposo e hijo por acompañarme en cada instante. Y para concluir, estoy totalmente agradecida
con mis asesores el Dr. Rigoberto Chavira Quintero y el Dr. Cesar Israel Hernández Vélez
por ayudarme y brindarme su tiempo para concluir el presente proyecto de manera exitosa.
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Índice general
1. Introducción 9
2. Planteamiento del problema 13
2.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Marco referencial 15
4. Marco teórico 27
4.1. Conceptos básicos de Teoría de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1. Coloración de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Teoría de las Representaciones Semióticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Teoría de las Situaciones Didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Metodología 35
6. Planeaciones didácticas 39
7. Situación didáctica propuesta 49
8. Instrumento de evaluación 53
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8 ÍNDICE GENERAL
9. Análisis de resultados 59
9.1. Resultados por dimensión del instrumento de evaluación . . . . . . . . . . . 59
9.2. Resultado general del instrumento de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.3. Prueba de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3.1. Prueba de normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3.2. Prueba t con dos muestras y un intervalo de con�anza . . . . . . . . 71
10.Conclusiones 79
A. Planeaciones 83
A.1. Primera sesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.2. Segunda sesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.3. Tercera sesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A.4. Cuarta sesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.5. Quinta sesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B. Situación didáctica aplicada a grupo de control 101
C. Solución situación didáctica 103
D. Evidencias 107
D.1. Hojas de actividades del grupo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.2. Situación didáctica del grupo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
D.3. Situación didáctica del grupo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Capítulo 1
Introducción
El aprendizaje de conceptos matemáticos abstractos ha causado límites en la comprensión
de la matemática. La educación tradicional ha llevado a cabo la tarea de ocuparse de la
enseñanza de la matemática rigurosa respecto a la teoría aplicada a ciertas situaciones que
son modelizadas conforme a sus características. La Teoría de Grafos es una rama de las
matemáticas que modeliza situaciones, debido a que éstas pueden representarse con grafos
utilizando las condiciones que caracterizan a una situación o problemática propuesta.
Como proyecto de investigación buscamos aplicar problemas de coloración a alumnos de
Ingeniería en Telecomunicaciones de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de
San Luis Potosí. El �n de ello es que aprendan la importancia y utilidad de la coloración
de grafos en situaciones problema que ellos como futuros profesionales se puedan enfrentar.
Este objetivo deberá ser logrado por medio del diseño de planeaciones didácticas las cuales
harán uso de técnicas de aprendizaje para su comprensión. Para poder enfrentar situaciones
donde se haga el uso de los conceptos clave para la coloración de grafos, se propondrá una
situación didáctica de aprendizaje que nos proporcionará resultados sobre el aprendizaje
logrado durante cada una de las sesiones.
El uso de la Teoría de Representaciones Semióticas nos permitirá poder realizar nuestra
tarea establecida, tomando los conceptos de la Teoría de Grafos como objetos matemáticos
dispuestos a ser transformados a distintos registros. Además podremos realizar transforma-
ciones que nos darán lugar a una representación semiótica, la cual deberá ser visible y así
mismo solventará la necesidad de poder interpretar objetos matemáticos.
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10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
La interpretación y la comprensión de la matemática respecto a sus conceptos abstractos,
que están conformados por el razonamiento y la resolución de problemas, por medio de
representaciones semióticas (Duval, 1993), es decir, podemos hacer uso de distintos registros
de enseñanza donde el alumno puede observar, ya sea por medio de una imagen, dibujo o algún
otro tipo de representación matemática, algún concepto u objeto matemático a interpretar.
Es importante lograr una transformación del conocimiento abstracto a algún tipo de registro
que permita una enseñanza apropiada para la comprensión de conceptos matemáticos en el
área de telecomunicaciones. La Teoría de Grafos es una rama donde se hace uso del álgebra
moderna, que posibilita la representación de situaciones por medio de vértices y aristas, donde
una demostración será necesaria para resolver el problema.
El propósito de esta tesis no es únicamente llevar a cabo un análisis del aprendizaje o
entendimiento de coloraciones en grafos, si no que se tiene la intención de generar interés por
hacer uso de planeaciones didácticas donde los estudiantes, al momento de tener interacción
con estos conceptos, puedan comprender y resolver de forma consciente distintos problemas.
Esta investigación es importante debido a que la matemática abstracta necesita más estrate-
gias y métodos de enseñanza para ser aplicada en otras disciplinas, así como artículos donde
podamos leer sobre cómo es el proceso de aprendizaje respecto a conceptos abstractos de la
Teoría de Grafos, debido a que la mayoría de las asignaturas con mayor complejidad cogniti-
va son instruidas por métodos de enseñanza y aprendizaje tradicionales, dejando de lado la
intención de poder obtener el conocimiento de forma constructiva.
Se propone que por medio de alguna representación visual, que sea adecuada para el
aprendizaje de la coloración de grafos, el razonamiento abstracto complementado con este
tipo de representación pueda contribuir a la asimilación y acomodación de los conceptos
utilizados (Piaget, 1978). A partir de una representación semiótica se pueda obtener un
resultado favorable debido a que el conocimiento matemático no debe dejar atrás su validez
en cuestión de formalidad.
Por otro lado, haremos uso de la Teoría de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau. Esta
teoría formará parte del diseño de las sesiones de aprendizaje que se trabajarán a lo largo de
este proyecto y así mismo respaldará nuestra situación didáctica de aprendizaje. El profesor
tiene la tarea de planear una situación didáctica la cual involucre los conocimientos obtenidos
en cada una de las sesiones destinadas a los conceptos matemáticos para el uso de coloraciones.
Esta situación de aprendizaje deberá interactuar con los alumnos de tal manera que ellos
trabajen en él y tengan interés por lograr una solución. Cabe mencionar que se tienen tres
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elementos esenciales para plantear esta situación de aprendizaje, los cuales son el estudiante,
el profesor y el medio; donde el medio es cada uno de los materiales o recursos disponibles
para el apoyo en cada uno de los conceptos importantes en el aprendizaje de la coloración
de grafos. Se tiene un enfoque donde se uni�can e integran los aportes de otras disciplinas,
proporcionando una mejor comprensión de las posibilidades de mejoramiento y regulación
de la enseñanza de las matemáticas. Es indispensable recalcar que los comportamientos de
los alumnos son los que revelan el funcionamiento del medio (Brousseau, 2007), esto nos
permitirá realizar un análisis del aprendizaje de la Teoría de Grafos y su uso en problemas
de asignación de frecuencias.
12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
Planteamiento del problema
El propósito de esta investigación es emplear una representación semiótica como herra-
mienta para obtener un conocimiento matemático sin perder su validez, para ello se proponen
problemas de coloración a alumnos de Ingeniería en Telecomunicaciones con el �n de que
aprendan la utilidad de usar grafos en la resolución de situaciones problema. Esta problemá-
tica nos arroja algunas preguntas para re�exionar sobre la enseñanza de la Teoría de Grafos
en aplicaciones en el área de telecomunicaciones: ¾es posible lograr un mejor entendimien-
to de los conceptos matemáticos de coloración de grafos sin una enseñanza formal?, ¾qué
di�cultades genera la enseñanza de la Teoría de Grafos y coloraciones? y ¾cómo se lleva el
aprendizaje en los alumnos y cuál es su sentir respecto a lo aprendido?
Estas preguntas nos provocan un interés por saber si la Teoría de Grafos debe ser enseñada
de una forma tradicional en aplicaciones que involucren el uso de grafos, ya que a los profesores
les inquieta el hecho de buscar estrategias de enseñanza que no inciten a la pérdida de la
formalidad matemática, bajen su nivel de abstracción ni den un aprendizaje mediocre o poco
apropiado para realizar una demostración matemática formal causando la aplicación poco
rigurosa de teoremas o conceptos importantes.
En la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí los docentes
encargados de enseñar Teoría de Grafos usan el método tradicional de enseñanza en el área
de matemáticas y otras disciplinas, como en Telecomunicaciones, debido a que no se ha
tomado interés por el desarrollo de situaciones de aprendizaje que promuevan la obtención
de conocimientos. La Teoría de Grafos puede modelar situaciones en las que los futuros
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14 CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
ingenieros en telecomunicaciones se verán involucrados, en particular las coloraciones de
grafos permitirán encontrar soluciones y así mismo incitarán a que el estudiante se adentre
y re�exione sobre su aprendizaje.
2.1. Objetivos
Objetivo general:
Analizar el aprendizaje de la Teoría de Grafos en alumnos de Ingeniería en Telecomunicaciones
como herramienta para resolver el problema de asignación de frecuencias de forma óptima
mediante la coloración de grafos. La Teoría de las Representaciones Semióticas será usada
como método para obtener el conocimiento y así poder realizar la planeación de sesiones
didácticas y el diseño de una situación didáctica de aprendizaje.
Objetivos especí�cos:
1.- Diseñar la planeación de cada una de las sesiones necesarias para enseñar coloración de
grafos.
2.- Diseñar una situación didáctica de aprendizaje con respecto a la asignación de frecuen-
cias.
3.- Aplicar la prueba a un grupo experimental y un grupo de control.
4.- Realizar el análisis de resultados, comparando al grupo experimental con el grupo de
control.
Capítulo 3
Marco referencial
La Teoría de Grafos dentro del área de enseñanza-aprendizaje es relevante en el desarro-
llo y la construcción del conocimiento, que a su vez ayuda en la creación y utilización de
herramientas para el aula de clases. Es por ello que es fundamental revisar el planteamiento
de diversos autores que han trabajado en la enseñanza de la Teoría de Grafos no sólo a un
nivel universitario, sino también en niveles básicos de educación.
En el artículo de Teresa Claudia Braicovich titulado �Enseñanza de grafos desde la pers-
pectiva docente� (Braicovich, 2006), la autora realiza una investigación cualitativa en donde
trata de introducir algunos conceptos de la Teoría de Grafos en la educación general básica.
Los principales objetivos que plantea son:
1.- Analizar si al trabajar con grafos los alumnos obtenían razonamientos matemáticos de
la matemática discreta.
2.- Buscar si el tema resultaba motivador.
Para lograr los objetivos anteriores realizó un taller en la Tercera Conferencia Argentina de
Educación Matemática, el cual tenía ciertos objetivos para docentes en matemáticas como lo
son:
1.- Determinar si los docentes consideraban que el tema era accesible.
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16 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
2.- Conocer la opinión de los asistentes en cuanto a la inclusión de la Teoría de Grafos en
las currículas.
3.- Analizar si el tema resultaba interesante para los docentes.
El taller consistió en dos sesiones de tres horas cada una, donde su metodología de trabajo
era:
1.- Proponer situaciones problemáticas.
2.- Trabajar de manera individual y grupal distintas situaciones de grafos.
3.- Mostrar cómo fueron dados los temas a alumnos.
4.- Dar a conocer los resultados y análisis de las encuestas y entrevistas hechas a los
estudiantes en distintas escuelas.
Este taller estuvo conformado por 22 docentes de matemáticas los cuales comenzaron
el curso con una introducción de la importancia de la Teoría de Grafos en la Matemáticas
Discretas. Posteriormente se estuvo trabajando en temas basados en problemas especí�cos
de grafos, como el problema de los puentes de la ciudad de Königsberg. Para �nalizar se
hizo mención de las producciones de los alumnos en las actividades realizadas, así como
comentarios de las encuestas y entrevistas.
Algunas de las opiniones de los docentes para determinar si el uso de la Teoría de Grafos
resultaba motivador para los niños, resultaron ser positivas en su mayoría. Algunos profesores
ya conocían un poco del tema, pero otros carecían de conocimientos; sin embargo, no fue un
impedimento para motivarse por aprender más al respecto.
Otro artículo de Braicovich titulado �Una propuesta: incorporar algunos conceptos de
grafos en distintos niveles de escolaridad� (Braicovich, 2008), hace referencia a que la Teoría
de Grafos no se encuentra en las currículas escolares de nivel básico. Braicovich de�ende
el integrar el uso de grafos en distintos niveles educativos debido a que trabajar con estos
conceptos ayuda a los alumnos en el proceso de aprendizaje. Resulta que a los profesores
del nivel básico les resulta difícil proponer razonamientos adecuados para resolver problemas
sencillos. Por otro lado, propone dar respuesta a este problema, ya que al plantear situaciones
de la Teoría de Grafos permite �explorar, descubrir, crear, ensayar, probar, generar hipótesis,
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etc.�, usando los conceptos de grafos como herramientas para contextualizar problemas y ver
su potencial educativo, el cual puede ser descrito con cuatro aspectos importantes:
1.- Aplicabilidad.
2.- Accesibilidad.
3.- Atracción.
4.- Adecuación.
En este documento Braicovich trabajó con un problema en particular el cual se llama
�Optimizando el riego al menor costo posible�. El ejercicio consistió en 21 vértices, donde uno
de ellos es una toma de agua y los otros 20 son zonas de tierra donde se tiene cultivos, las
aristas son canales de tierra y tienen un costo que representa la distancia entre los vértices.
Se requiere de la cimentación de algunos canales debido a la gran pérdida de agua, pero la
cimentación es muy costosa, por lo tanto se necesita determinar cuáles canales deben ser
cimentados para que el costo sea mínimo y el agua llegue a todas las zonas de cultivo.
Para esta actividad se tuvieron que desarrollar ciertos contenidos para poder obtener una
solución, los cuales son:
1.- Árbol.
2.- Árbol generador.
3.- Árbol generador mínimo.
4.- Árbol generador máximo.
5.- Algoritmos para encontrar árboles.
El docente puede hacer uso de contenidos en el área de la Teoría de Grafos, siempre y
cuando éste adecúe la di�cultad acorde al nivel en que imparte sus clases, podría también no
usar de�niciones como tal y simplemente proponer problemas de forma que se les permita a
los estudiantes apropiarse de conceptos, debido a que la idea principal es generar la inquietud
de investigar y estudiar más sobre el tema.
18 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
Otro proyecto de Braicovich es el análisis �Teoría de Grafos en carreras de ciencias econó-
micas y distintas orientaciones de ingeniería� (Braicovich, 2015). Aquí se analizan los planes
de estudio de las carreras de ingeniería y ciencias económicas de la Universidad Nacional
del Comahue en Neqúen, Argentina, con el objetivo de determinar si algunos de los temas
podrían hacer uso de los grafos como herramientas de modelización. Las carreras analizadas
fueron:
1.- Ingeniería en Mecánica.
2.- Ingeniería Civil.
3.- Ingeniería Eléctrica.
4.- Ingeniería en Electrónica.
5.- Ingeniería Química.
6.- Ingeniería del Petróleo.
7.- Licenciatura en Contaduría Pública.
8.- Licenciatura en Administración.
9.- Licenciatura en Economía.
10.- Profesorado en Ciencias Económicas.
En este documento podemos leer sobre la relación que existe entre las herramientas de la
Teoría de Grafos y la resolución de problemas que se pueden encontrar en los contenidos de
cada plan de estudios de las carreras antes mencionadas, por ejemplo:
1.- Ingeniería en Electrónica: aplica el uso de grafos para el diseño de circuitos complejos.
2.- Ingeniería Eléctrica: usa grafos para circuitos y para reconocer el grado de un nodo
eléctrico.
3.- Ingeniería Química: aplicación de sistemas biológicos.
4.- Ingeniería Civil: analizar la conectividad de locales en un diseño para la comunicación
física o acústica.
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5.- Ingeniería Mecánica: analizar el funcionamiento óptimo de máquinas que trabajan de
manera sincronizada.
6.- Ingeniería del Petróleo: ayuda en las redes de distribución de petróleo y gas.
7.- Licenciatura en Administración: ayuda a que las plani�caciones sean realizadas en base
a la optimización.
8.- Licenciatura en Economía: ayuda en las matrices de insumos.
9.- Licenciatura en Contaduría Pública: ayuda a la introducción de la contabilidad matri-
cial.
Braicovich menciona que los profesionistas en cada una de las carreras anteriormente
mencionadas no conocen lo que es un grafo; sin embargo, considera importante que entre las
materias de matemáticas debería ser enseñada la Teoría de Grafos. Ella no promueve la idea
de hacer cambios constantes en los programas de estudio, si no la idea de incorporar nuevos
contenidos que el estudiante pueda necesitar para afrontar el mundo real.
La Teoría de Grafos ha generado un gran interés en el ámbito educativo debido a que se
pueden encontrar diversos problemas que se pueden resolver con el uso de herramientas de
grafos, ayuda a modelizar situaciones y además promueve el aprendizaje.
Fabián Nouche escribió �Teoría de Grafos: propuestas para escuelas secundarias� (Nou-
che, 2008) en donde reporta los resultados de la implementación de la enseñanza de grafos
en escuelas secundarias de Buenos Aires, Argentina. Presenta una propuesta para que los
alumnos conozcan y se familiaricen con el uso de la Teoría de Grafos para afrontar situacio-
nes. La propuesta consiste en resolver un problema que puede ser aplicado en cualquier año
de nivel secundaria o últimos años de primaria. Esta propuesta se constituye por tres partes
para resolver la problemática.
Parte A. Consiste en una problemática sobre los viajes de un comerciante que tiene un auto
de energía solar y no le preocupa el tiempo que tarde en llegar a una ciudad; sin
embargo, sólo le interesa pagar la menor cantidad de dinero en peajes.
Parte B. Es esta parte se añade un acontecimiento entre algunas de las ciudades del problema
inicial. Consiste en una situación donde la zona volcánica de una ciudad entra en
20 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
actividad interrumpiendo el camino. Lo que se busca es conectar todas las ciudades
del mapa para poder acceder a ellas en el menor tiempo posible.
Parte C. En esta parte se solicita buscar caminos eulerianos, si es que los hay en el mapa,
especi�cando desde qué ciudad hay que comenzarlo y por último encontrar un
camino hamiltoniano.
Esta problemática tiene que ser resuelta con lo enseñado en cuatro sesiones previas, las
cuales son descritas por el autor y en donde son presentados los conceptos importantes que
los alumnos deben saber.
Nouche menciona que como bene�cios se obtienen el desarrollo de habilidades, se pro-
mueve el uso de algoritmos, se tiene una mejor interpretación grá�ca y se mejora el análisis
a través de dibujos. En cambio, una di�cultad notable es el tiempo para poder desarrollar
y aprender el contenido, lo cual ha demandado horas extras para poder solventar todo lo
necesario para resolver la problemática.
En cambio, Bibiana Patiño Avedaño y Oscar Guillermo Charry realizaron la investigación
�La enseñanza de la Teoría de Grafos como estrategia para desarrollar procesos de matema-
tización� (Patiño Avedaño y Charry, 2013), la cual tiene como principal sujeto de prueba a
alumnos talento en el área de las matemáticas. Para ello realizaron una prueba de resolu-
ción de problemas en un grupo de talentos de la Universidad Sergio Arboleda en Bogotá,
Colombia, a quienes se les enseñó Teoría de Grafos y, por otra parte, usaron un grupo de
control compuesto por estudiantes de un prestigioso colegio en Bogotá, a quienes no se les dio
ninguna introducción a la Teoría de Grafos. Los objetivos a lograr durante la investigación
fueron los siguientes:
1.- Diseñar una prueba de resolución de problemas que permita veri�car el nivel de los
estudiantes en procesos de matematización.
2.- Validar la prueba.
3.- Aplicar la prueba de resolución.
4.- Realizar un análisis comparativo de los resultados.
5.- Comparar estrategias implementadas por el grupo experimental y grupo de control.
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Estos objetivos fueron fundamentales para poder diseñar y explicar el proceso de la inves-
tigación. La metodología elegida consistió en un estudio mixto para la recaudación de datos,
los cuales fueron analizados de manera cuantitativa y cualitativa. Se de�nieron dos variables
importantes, como la variable independiente a la enseñanza de la Teoría de Grafos y como la
variable dependiente al proceso de matematización. La pregunta base de esta investigación
fue: ¾la Teoría de Grafos favorece el desarrollo de matematización en los niños del programa
de talentos matemáticos de la Universidad Sergio Arboleda?
Otro aspecto importante de la investigación de Patiño y Charry fue identi�car que la
matematización tiene dos visiones. La primera visión es la matematización horizontal, la cual
traduce el problema del mundo real al matemático, con las siguientes condiciones:
1.- Identi�car conceptos matemáticos, procedimientos, propiedades o teoremas.
2.- Representar el problema de manera diferente.
3.- Encontrar regularidades, relaciones y patrones.
4.- Encontrar un modelo matemático que represente la situación.
5.- Emplear herramientas y recursos.
Por otro lado, la segunda visión es la matematización vertical que emplea las siguientes
destrezas:
1.- Usar diferentes tipos de representación.
2.- Hacer uso del lenguaje simbólico, formal, teórico y sus operaciones.
3.- Depurar y adecuar los modelos matemáticos.
4.- Argumentar y generalizar.
La matematización fue el elemento principal para cada una de las pruebas realizadas.
Dichas pruebas fueron presentadas en forma de un cuestionario con problemas que debían
responder justi�cando y explicando su razonamiento. Tomando en cuenta los objetivos inicia-
les y la hipótesis, se revisó este cuestionario con el �n de realizar ajustes y diseñar la prueba
�nal.
22 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
Esta investigación, gracias a su amplio contenido, concluyó que la Teoría de Grafos no
sólo brinda la oportunidad de desarrollar procesos de matematización, sino que puede ser
aplicada a distintos campos, facilitando la didáctica y diseño de estrategias de aprendizaje,
al mismo tiempo también permite obtener mayor rigurosidad matemática. Se pudo respaldar,
por medio de las respuestas de los estudiantes, que esta teoría ayuda a comprender y resolver
problemas de manera fácil al tener una buena interpretación de lo que se tiene que hacer.
Patricia Lestón y Daniela Cecilia Veiga proponen �Estrategias para introducir la Teoría de
Grafos en la escuela media� (Lestón y Veiga, 2004), donde se tuvo como principal objetivo el
presentar a docentes de educación media una propuesta para enseñar Teoría de Grafos. Esta
propuesta consistió en una variedad de problemas y ejercicios que son adaptados al nivel de
los estudiantes y de los docentes con poco o nulo conocimiento de Teoría de Grafos. Con ello
buscaron que el docente dejara atrás la rutina de siempre, fomentando la creatividad para
lograr que lo alumnos discutan y experimenten sobre estos nuevos conceptos.
Al enseñarle matemáticas a los alumnos se brindan recursos de solución para la resolución
de problemas; sin embargo, se ha notado que los alumnos carecen de control sobre estos re-
cursos de solución, por lo cual realizan de forma errónea cada uno de los ejercicios propuestos.
Por ello se debe tomar en cuenta que el enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar
cómo usar esos recursos para resolver problemas.
En el documento de Patricia y Daniela se proponen problemas como los siguientes:
1.- Dibujar el siguiente esquema sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma
línea:
2.- Las tres casas. Tenemos tres casas (A, B y C) y tres centrales de servicios (gas,
teléfonos y electricidad). El objetivo es conectar cada una de las centrales de modo que
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ninguna de las nueve líneas de conexión se cruce con otra.
3.- El cartero chino. Se desea minimizar el recorrido que debe hacer un cartero para
cumplir con el reparto del correo.
4.- Coloreo de mapas. Colorear un mapa con 4 colores.
Con este proyecto observaron que la Teoría de Grafos permite al docente y al alumno que
las clases de matemáticas no sean tan rutinarias y se hace uso de la creatividad, la discusión
y la experimentación. Se hace mención de que este tema resultó ser de interés y atracción
para los adolescentes, logrando en el objetivo de desarrollar y perfeccionar el razonamiento
lógico-matemático.
Un proyecto similar es el de Johnny Vanegas, Sara Henao y Jeisson Gustin, quienes es-
cribieron �La Teoría de Grafos en la modelización matemática de problemas en contexto�
(Vanegas et al., 2013). Ellos explican que esta área de las matemáticas ayuda en la formación
del pensamiento lógico-matemático, la intuición y la resolución de problemas en los estudian-
tes. Mencionan que investigadores importantes consideran que el uso de grafos puede servir
como herramienta en la construcción de modelos y la solución de problemas. Además dicen
que se posibilita el desarrollo de habilidades, sobre todo en la parte del razonamiento en el
área de la matemáticas discretas, como lo son:
Intuición.
Exploración.
Descubrimiento.
Diseño de hipótesis.
Pensamiento lógico.
Visión espacial
Razonamiento abstracto.
Estas habilidades ayudan a modelizar una gran variedad de problemas en diferentes con-
textos, es por ello que la propuesta por parte de Vanegas, Henao y Gustin ilustra la utilización
24 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
de los grafos como un recurso didáctico que favorece la construcción de la actividad modeli-
zada, tomando en cuenta que los grafos tienen una interesante conexión con la geometría, ya
que por medio de dibujos se representan y modelizan situaciones problema. Algunos ejemplos
de ellos son problemas propuestos por estos autores son los siguientes:
1.- ¾Es posible dibujar la siguiente �gura partiendo de un vértice cualquiera y terminando
en él mismo, sin levantar el lápiz del papel?
Los docentes tienen la tarea importante de reducir el problema a un grafo. Este problema
en especí�co implica el desarrollo de la abstracción y la visión espacial en niños de 12 a 14
años. Para lograr esto, se propone un ejemplo:
En la siguiente actividad deberán reconocer si un grafo, al no tener vértices
de grado impar se puede dibujar sin levantar el lápiz evitando pasar dos veces por
la misma arista. También si un grafo, al tener dos vértices de grado impar, se
puede dibujar sin levantar el lápiz.
Otro problema que se propone en este artículo es:
2.- En un museo de arte colombiano un joven ideó una forma de cruzar todas las puertas
internas, excepto por una, exactamente una vez. ¾Por cuál puerta interna no pasó? (ver
�gura 3.1).
25
Figura 3.1: Museo
Como conclusiones en esta investigación se menciona que situaciones como las anterior-
mente mencionadas pueden incentivar a desarrollar habilidades donde los grafos representan
un recurso didáctico valioso para la enseñanza de conceptos matemáticos, además de que
permite a los alumnos reinventar objetos matemáticos. Por otra parte, se dice que este tipo
de recursos didácticos puede enriquecerse con el uso de las TIC's.
Roberto Millet Luaces, Mirna Indiana Beyris Bringuez y Maikelis Ananka Rosales Al-
maguer en el artículo �Colonia de hormigas aplicada a la Teoría de Grafos� (Millet Luaces
et al., 2012) nos mencionan que los grafos constituyen una herramienta básica para modelar
fenómenos o situaciones. En el área de las Ciencias de la Computación una de las técnicas de
investigación son los algoritmos basados en el comportamiento de las hormigas como método
de solución para problemas de búsqueda y optimización. Se conoce que las hormigas poseen
una característica asombrosa, la cual es muy peculiar ya que son capaces de encontrar la vía
más corta desde el hormiguero, adaptándose al ambiente por medio del rastreo de feromonas.
Por otro lado, al hacer uso de hormigas arti�ciales, estas al igual que una hormiga original
trabajan de manera cooperativa y tienen comunicación mediante los rastros de feromona
arti�cial, se simula el comportamiento de una colonia de hormigas. La hormiga arti�cial es
capaz de determinar que tan lejos está de un lugar y posee información acerca de su ambiente
con el �n de utilizar dicha información en la toma de decisiones.
Esta técnica necesita de conceptos básicos de la Teoría de Grafos, ya que al darse una serie
de tareas a realizar se busca optimizarlas por medio de la creación de hormigas arti�ciales
de tal manera que la cantidad de ellas corresponde a la cantidad de tareas que se tengan en
ejecución. Cada una de las tareas forman los vértices del grafo. Por otra parte, cuando las
26 CAPÍTULO 3. MARCO REFERENCIAL
hormigas son creadas se le colocan como identi�cador el nombre de la tarea en donde deberán
comenzar su recorrido, por lo que será la primera tarea en su lista de tareas visitadas. Al ya
estar bien ubicadas en las tareas correspondientes, las hormigas deciden cual es el siguiente
vértice a visitar en nuestro grafo. Cuando las listas de tareas no visitadas de todas las hormigas
están vacías, se determina el mejor camino de todos, puede ser el más corto, el de menor peso
o el de menor costo, dependiendo del contexto del problema.
Como conclusión en este tipo de actividades, se in�ere que la Teoría de Grafos es una
herramienta que ayuda a la modelización de problemas de optimización, así como en otras
áreas modelizando situaciones reales. Aquí se pudo observar la vinculación del Algoritmo de
Optimización con la simulación de una colonia de hormigas y la Teoría de Grafos mediante
un caso en el área de Ciencias de la Computación.
Capítulo 4
Marco teórico
En este apartado tendremos una breve introducción acerca de la Teoría de Grafos y los
conceptos básicos para poder realizar coloraciones. Otra parte importante en el proyecto de
tesis es la parte del aprendizaje en donde haremos uso de la Teoría de las Representaciones
Semióticas de Raymond Duval, la cual nos ayudará en la conceptualización de elementos
matemáticos para la representación grá�ca de la coloración de grafos. La Teoría de Situaciones
Didácticas de Guy Brousseau nos permitirá el uso de una situación didáctica de aprendizaje
para obtener información acerca de lo aprendido y cómo es que la coloración de vértices
in�uye en la resolución de problemas.
4.1. Conceptos básicos de Teoría de Grafos
A continuación describimos los conceptos básicos de la Teoría de Grafos y coloraciones
que serán utilizados durante el proceso de este proyecto.
Si X es un conjunto, denotamos por [X]2 al conjunto de todos los 2-subconjuntos de X.
Un grafo G es un par ordenado (V (G), E(G)), donde V (G) es el conjunto de vértices y
E(G) ⊆ [V (G)]2 es el conjunto de aristas. Si {u, v} ∈ E(G) lo denotaremos simplemente
como uv ∈ E(G). Nombraremos un grafo G como G = (V,E). Decimos que un grafo G es
�nito si |V |, |E| <∞. El orden de un grafo es la cardinalidad del conjunto de vértices.
Por ejemplo:
27
28 CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO
G1 = ({x1, x2, x3, x4}, {x1x2, x3x4, x2x4, x2x3}),
es un grafo.
La �gura 4.1 muestra una representación grá�ca de G1.
Figura 4.1: Representación del grafo G1.
Decimos que los vértices u y v son adyacentes si uv ∈ E(G). Dada la arista uv, los vértices
u y v se llaman extremos de la arista y decimos que u (v, respectivamente) es incidente con
la arista uv. Dos aristas uv y wz son adyacentes si tienen un extremo en común. Dado
un vértice v de G = (V,E), de�nimos la vecindad de v como N(v) = {u ∈ V : uv ∈ E}El grado de un vértice v es la cardinalidad de N(v), y se denota por d(v). Un vértice v es
aislado si N(v) = 0, es decir, cuando un vértice no tiene ninguna arista incidente.
Un dibujo en el plano (euclidiano) de un grafo G es una representación que asocia a
cada vértice de G un punto distinto del plano y a cada arista una curva que une los puntos
asociados a los extremos de la arista. Por simplicidad, siempre que no exista confusión, no
haremos distinción entre los vértices del grafo G y los puntos que los representan, así como
entre las aristas de G y las curvas que las representan. Un grafo es planar si existe un dibujo
donde sus aristas se intersecan sólo en sus extremos, tal dibujo se llama un encaje de G. La
�gura 4.2 muestra un dibujo de un grafo (izquierda) y un encaje (derecha) de éste.
Figura 4.2: Un dibujo de un grafo y su encaje.
4.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE GRAFOS 29
Un grafo G es completo si cualquier par de vértices son adyacentes. Al grafo completo
de orden n se denota como Kn. La �gura 4.3 muestra un ejemplo de un grafo completo.
Figura 4.3: Representación del grafo completo K5.
Un grafo G es bipartito si existe una bipartición {V1, V2} de los vértices de G, tal que
cualquier par de vértices de Vi, i ∈ {1, 2}, no son adyacentes. Un grafo bipartitoG es bipartito
completo si todos los vértices de V1 son adyacentes a todos los vértices de V2 y viceversa.
Si |V1| = n y |V2| = m, al grafo bipartito completo con bipartición {V1, V2} se le denota
como {Kn,m}. La �gura 4.4 muestra un grafo bipartito (en la izquierda) y el grafo bipartito
completo K3,3 (en la derecha).
Figura 4.4: Representación de el grafo bipartito G1 y el grafo bipartito completo K3,3.
Un clique en un grafo G es un conjunto de vértices mutuamente adyacentes. Un clique
es un clique maximal si no existe otro clique que lo contiene propiamente, y es un clique
máximo si no existe un clique maximal de orden mayor. Denotamos por ω(G) al orden de
un clique máximo. La �gura 4.5 muestra dos clique maximales (en rojo y verde) y un clique
máximo (en rojo).
30 CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO
Figura 4.5: Clique maximales y máximos en el grafo G1.
4.1.1. Coloración de grafos
Sea un grafo G y S = {a, b, c, . . .} un conjunto. A los elementos de S nos referimos como
colores. Una coloración propia de G con los colores de S consistirá en asignar a cada vértice
de G un elemento de S, es decir, un color, de manera que los extremos de cada arista reciban
colores distintos. Una coloración que no es propia se llamará coloración impropia.
Formalmente, una coloración propia de G con colores de S es una función ϕ : V (G)→ S
de forma que ϕ(v) 6= ϕ(w) si vw ∈ E(G). El valor ϕ(v) es el color que recibe el vértice v
en la coloración. En la �gura 4.6 se muestra una coloración propia (en la izquierda) y una
coloración impropia (en la derecha) con los colores S = {rojo, verde, azul}.
Figura 4.6: Representación de una coloración propia en la izquierda y una coloración impropia
en la derecha.
Una k-coloración es una coloración propia de G con k colores. Un grafo es k-coloreable
si existe una k-coloración propia. Usualmente, el conjunto S de colores es de la forma
{1, 2, . . . , k}. Por otro lado, una k-coloración también puede ser vista como una partición
{V1, V2, . . . , Vk} de V , donde cada Vi representa al conjunto de vértices asignados al color i.
Los conjuntos Vi son llamados las clases cromáticas de la coloración.
Es fácil de observar que un grafo es 1-coloreable si y sólo si no tiene aristas, y es 2-
coloreable si y sólo si es bipartito.
4.2. TEORÍA DE LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS 31
El número mínimo k para el cual un grafo G es k-coloreable es llamado número cro-
mático y es denotado por χ(G). Si χ(G) = k se dice que el grafo G es k-cromático. En la
�gura 4.7 se muestra un ejemplo de un grafo 3-cromático.
Figura 4.7: El grafo de Petersen es 3-cromático.
4.2. Teoría de las Representaciones Semióticas
Una de las teorías en Matemática Educativa es la de Representaciones Semióticas, la
cual observa que la actividad matemática se realiza en su contexto de representación, es
decir, el pensamiento matemático siempre implica una transformación de representaciones
semióticas, éstas son la conversión y el tratamiento de objetos matemáticos (Duval, 2006). Se
puede acceder a la naturaleza de los objetos matemáticos a través de una gran variedad de
registros, entre ellos la representación semiótica, que hace visibles las características del objeto
a tratar (Rojas G., 2012). El objeto matemático no existe como objeto real, sino de manera
objetiva inaccesible a la percepción, provocando una constante necesidad de representaciones
o bien algo observable; sin embargo, el estudiante no se da cuenta de ello (D'Amore, 2002).
Las representaciones semióticas cubren las siguientes tres condiciones de los procesos
cognitivos en la conversión y tratamiento de objetos matemáticos: (i) la discriminación del
contenido por el cual se hace una representación de un objeto, (ii) la existencia de una
multiplicidad de representaciones posibles para un mismo objeto, (iii) la necesidad de no
confundir con ellas lo que se representa (Duval, 2012).
Las representaciones semióticas consisten en una cantidad de registros, los cuales pueden
variar según la necesidad del objeto a enseñar y la interacción de los alumnos (Prieto y
Vicente, 2006). Algunos de los posibles registros son los siguientes:
Registro verbal. Se le caracteriza por tener un lenguaje coloquial, es decir, poder
32 CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO
llevar a cabo de�niciones matemáticas por medio de una explicación usando un lenguaje
que sea adecuado y adaptable a su forma de dirigirse como persona.
Registro algebraico. Se de�nen conceptos o se redactan teoremas. En este registro
se utilizan literales, números y símbolos.
Registro �gural. Se hace uso de dibujos o bosquejos acorde a una situación proble-
mática.
Registro grá�co. Se puede decir que es la representación en el plano, hace referencia
al comportamiento del concepto o de�nición de una forma visual.
Registro matricial. Donde se representan arreglos rectangulares de otros objetos.
4.3. Teoría de las Situaciones Didácticas
Esta teoría convierte a los estudiantes en los reveladores de las características de las
situaciones a las que se ven estimulados en su aprendizaje. En esta teoría docente plantea
un problema en donde el alumno debe responder y demostrar que sabe o de lo contrario
manifestar una necesidad de saber (Brousseau, 2007).
La Teoría de las Situaciones Didácticas es una teoría en la enseñanza de las matemáticas
en donde los docentes discuten acerca de lo que pueden hacer y llevan a cabo la producción
de problemas respecto a las necesidades de los estudiantes (Panizza, 2003). En la didáctica
de las matemáticas podemos distinguir dos enfoques, uno tradicional y otro propuesto por
Brousseau. El enfoque tradicional es lo que normalmente conocemos de generaciones ante-
riores, aquí el docente simplemente provee los contenidos y ayuda al estudiante a capturar
los conceptos. En el enfoque de Brousseau se mencionan tres elementos fundamentales: el
estudiante, el profesor y el medio didáctico (Chavarría, 2006). A partir de estos elementos
fundamentales decimos que para acceder al saber se debe disponer de un medio didáctico que
ayude a insertar relaciones en la resolución de problemas, es decir, la interacción del alumno
y el medio didáctico modeliza la actividad de producción del conocimientos. Guy Brousseau
describe esta producción de conocimientos por dos tipos de interacciones:
1.- La interacción del alumno con un problema.
4.3. TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 33
2.- La interacción del docente con el alumno con el propósito de obtener la interacción del
alumno con el problema.
Estas interacciones son fundamentales debido a que el sujeto pone en juego sus cono-
cimientos permitiendo que sean modi�cados, rechazados o bien pueden producirse nuevos
(Sadosky, 2005).
El docente deberá imaginar y proponer situaciones en donde los alumnos hagan uso de
su conocimiento como solución, es por ello que al hacer uso de una situación didáctica se
tiene la intención de enseñar a otro individuo los saberes necesarios para resolver problemas
que el mismo docente propone (Gómez García, 2005). Además, en las situaciones didácticas
se proporcionan los medios didácticos en donde el estudiante deberá analizar, interactuar y
construir su conocimiento (Chavarría, 2006). Por otro lado, el alumno debe poder esbozar
una estrategia para afrontar la consigna que se le ha dado y es ahí cuando el conocimiento
nuevo es el recurso esperado mediante la estrategia más e�caz (Brousseau, 2000).
En el desarrollo de situaciones didácticas aparecen momentos conocidos como situaciones
a-didácticas. Esta fase consiste en observar al estudiante interactuando con el problema y
el que se responsabilice por encontrar una solución (Vidal C., 2009). El alumno acepta el
problema como suyo y el profesor no interviene en sus respuestas ni en calidad de ofrecerle
conocimiento. Se sabe que la solución del estudiante es justi�cada por la lógica de la situación
(Brousseau, 2007). Una situación a-didáctica designa que debe ponerse en práctica los cono-
cimientos y además sanciona las decisiones que los estudiantes toman al intentar resolver el
problema sin interacción del docente, ahí los alumnos encuentran por sí mismos las relaciones
entre cada una de sus acciones (Panizza, 2003).
La no intervención del docente da entrada a una situación a-didáctica y es ahí cuando se
da el concepto de �devolución� como el acto en donde el docente hace aceptar al alumno la
responsabilidad de un problema, es decir, el profesor se despoja de la responsabilidad dando
lugar al compromiso del alumno en una relación a-didáctica con el problema (Panizza, 2003).
Cuando se ha planeado una situación didáctica en donde los alumnos deberán interactuar con
el problema, el papel del docente consiste en guiar con intervenciones, respondiendo preguntas
con argumentos en donde no dice las respuestas, provocando el proceso de devolución. Se
propone que el rol del profesor sea alentar la resolución del problema mencionando que hay
distintas maneras de resolverlo, anunciando que luego se discutirán las respuestas (Vidal C.,
2009).
34 CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO
Cuando el alumno cambia sus decisiones respecto a cómo resolver el problema se dice
que realiza un �cambio de estrategia� para obtener el conocimiento. Para poder lograr ese
cambio el profesor deberá modi�car o introducir variables didácticas, las cuales son elementos
que provocan adaptaciones para lograr el cambio de estrategia (Gómez García, 2005). Las
interacciones entre docente y alumno, junto con la interacción del medio, se describen en el
contrato didáctico. Este contrato se re�ere a la consigna establecida entre profesor y alumno
que comprende los comportamientos que el alumno espera del docente (Chavarría, 2006).
En una situación didáctica las reglas del juego deben quedar bastante claras y a medida
que se va trabajando en la situación se sufren cambios en el contrato didáctico (Vidal C.,
2009). El docente tiende a suponer que controla los comportamientos de los alumnos, ya que
el estudiante pone en juego su conducta, es por eso que el contrato didáctico está regido
por reglas o normas para resolver problemas y el estudiante justi�ca estas normas con el
conocimiento matemático que tiene. Cuando el profesor o el estudiante hace algo respecto al
conocimiento se produce una ruptura entre las reglas establecidas (Sadosky, 2005).
La enseñanza debe permitir al alumno hacerse cargo de un problema, emitir hipótesis y
elaborar procedimientos, es por ello que encontramos distintas situaciones didácticas, cono-
cidas como fases, las cuales son:
Situación de acción. Se mani�esta cuando el estudiante actúa sobre el medio; formu-
la, prevé y explica la situación; y organiza estrategias. Por otra parte, las retracciones
proporcionadas por el medio funcionan como sanciones de las acciones de los estudian-
tes.
Situación de formulación. Comprende a un receptor y/o emisor. Se exige al alumno
con el rol de emisor que formule proposiciones e intercambie información con el alumno
en el rol de receptor, discutiendo sobre asimilaciones y contradicciones de las proposi-
ciones.
Situación de validación. Se deben hacer declaraciones respecto al juicio del profesor,
ya que este exigirá una justi�cación respecto a los resultados, lo que servirá como
comprobación de las respuestas. (Gómez García, 2005).
Capítulo 5
Metodología
La realización de este proyecto tiene como necesidad el estudio y aprendizaje de la Teoría
de Grafos. Es por ello que como principales actividades hemos dedicado tiempo a la com-
prensión de esta disciplina de las matemáticas, para obtener los elementos necesarios en la
resolución de problemas para ingenieros en telecomunicaciones.
Como primer actividad seleccionamos a nuestro grupo experimental, el cual estuvo con-
formado por 9 alumnos del sexto semestre de Ingeniería en Telecomunicaciones de la Facultad
de Ciencias de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. Este grupo fue seleccionado por
la disponibilidad del profesor para brindarnos algunas de sus sesiones durante el curso y por
los conocimientos que han obtenido a lo largo de su educación en la ingeniería. Con este
grupo se trabajaron seis sesiones de hora�clase, de las cuales las primeras cinco consistieron
en la enseñanza de conceptos importantes de la Teoría de Grafos y la sexta hora�clase fue
utilizada para la aplicación de la situación didáctica propuesta.
La primera y segunda sesión se caracterizan por tratar de�niciones importantes de la
Teoría de Grafos. Aquí se presentan conceptos, ejemplos y ejercicios para una hora�clase
y una hoja de actividad adicional como práctica de lo visto en la sesión, la cual puede ser
resulta en el tiempo restante de la clase o bien, al no tener más tiempo, se queda como trabajo
en casa. La tercera sesión consiste en un par de de�niciones y una breve introducción a la
coloración de grafos. En la cuarta sesión se trata más a fondo el tema de coloraciones. En la
quinta sesión se ve la solución de problemas por medio de la coloración de un clique máximo
y el cómo este puede ser de gran ayuda al momento de colorear grafos con mayor cantidad
35
36 CAPÍTULO 5. METODOLOGÍA
de vértices y aristas.
La sexta sesión consiste en la aplicación de la situación-problema propuesta para los alum-
nos de Ingeniería en Telecomunicaciones. Esta situación-problema trata de la interferencia
que existe entre estaciones de radio que se encuentran a una distancia menor a 20 km entre
ellas, por lo cual se espera que el alumno haga uso de los conceptos de Teoría de Grafos para
proponer el menor número de frecuencias necesarias de tal forma que se evite interferencias
entre estaciones. Además, se realizan preguntas sobre cuál es el método que se utiliza para
resolver la situación-problema y si conocen alguna otra forma de resolver dicho problema.
Descripción de la situación didáctica: En una ciudad se tienen estaciones de radio a una
distancia menor a 20 km entre ellas, lo cual provoca interferencias entre sí. Se proporciona
un mapa de la ciudad y la ubicación de cada una de las estaciones de radio en el mapa,
además una tabla de distancias entre las estaciones, en donde algunas distancias tendrán que
ser calculadas por los alumnos. Posteriormente se pide que dibujen el grafo relacionado a la
situación, de manera que los alumnos realicen una coloración de dicho grafo para así obtener
el número de frecuencias necesarias para evitar interferencias (ver capítulo 7).
El grupo de control consistió de 9 alumnos de séptimo semestre de Ingeniería en Teleco-
municaciones en la Facultad de Ciencias en la Universidad Autónoma de San Luis Potosí. A
este grupo no se les brindó sesiones de aprendizaje, sino que solamente se le aplicó la situación
didáctica con una pequeña diferencia. La diferencia consistió en que la interferencia se da
entre estaciones a una distancia menor que 15 km, y no de 20 km como en la propuesta del
grupo experimental. Esta diferencia se propuso con el �n de evitar que alumnos que tuvieran
contacto con aquellos que habían llevado las sesiones de Teoría de Grafos obtuvieran la mis-
ma respuesta, sin embargo, la esencia del problema es la misma y se tiene el mismo método
de solución.
Para esta investigación se hizo uso de una metodología mixta, es decir, fue cualitativa y
cuantitativa. Por el lado cualitativo, trabajamos con los resultados obtenidos en cada una de
las sesiones realizadas, incluyendo la situación didáctica del �nal, y con un instrumento de
evaluación que evalúa al profesor y a cada una de las hora�clase (ver cuadro 8.1). Por otra
parte, evaluamos cada una de las dimensiones de nuestro instrumento de evaluación, por lo
que obtuvimos más información de cómo se desarrollaron las sesiones didácticas aplicadas.
Las sesiones están conformadas por una serie de de�niciones o conceptos que el alumno
37
debe aprender, así mismo cuenta con varios ejemplos que ayudan a entender cada uno de
ellos. Es aquí donde la Teoría de las Representaciones Semióticas (Duval, 2006, 2012) toma
un papel muy importante en cada una de las expresiones matemáticas y las de�niciones
mostradas en clase, ya que pasan por una transformación semiótica al tener la conversión de
un registro a otro por medio del uso de sus principios teóricos. Estos principios consisten en
la representación, el tratamiento y la conversión del conocimiento y el uso de los registros
involucrados en la problemática propuesta, los cuales son: registro algebraico, registro grá�co
y registro �gural. Estos registros también tuvieron un papel importante en la evaluación
de cada una de las hojas de actividad de las cinco sesiones planeadas y en la situación
didáctica �nal, debido a que son utilizados para poder realizar la representación de conceptos
matemáticos.
Cuadro 5.1: Principios teóricos de la Teoría de las Representaciones
Semióticas
Principio
Teórico
Objetivo
General
Objetivos
Especí�cos
Indicadores Instrumentos
Representacio-
nes Semióticas
(Duval).
Representa-
ción.
Con el uso de
registros
semióticos y el
problema
propuesto
obtener el
grafo
relacionado
con él.
Obtener el
grafo asociado.
Coherencia del
grafo respecto
al registro.
Hojas de
actividad.
Representacio-
nes Semióticas
(Duval).
Tratamiento. Realizar una
coloración
propia.
Aplicación de
la coloración
de grafos con
las
implicaciones
que éste exige.
Coloraciones
con la menor
cantidad de
colores.
Hojas de
actividad.
Representacio-
nes Semióticas
(Duval).
Conversión. La conversión
de expresiones
algebraicas.
Lograr la
conversión
algebraica de
un grafo en su
expresión
grá�ca.
Conversiones
utilizadas.
Observación
del uso de
de�niciones
vistas en clase.
38 CAPÍTULO 5. METODOLOGÍA
Por la parte cuantitativa, se trabajó con el análisis estadístico de los datos obtenidos del
grupo de control y el grupo experimental. Realizamos una prueba de hipótesis respecto a los
resultados. Esta metodología nos permite tener una medición estadística de la efectividad
de las sesiones. Los resultados favorables obtenidos nos permiten inferir que la Teoría de
Grafos puede ser de gran utilidad para modelizar situaciones que se puedan presentar en
otras carreras universitarias, proporcionando soluciones a dichas situaciones.
Como principal análisis de datos se comprobó la normalidad del grupo experimental y el
grupo de control. Para el test de normalidad se hizo uso de la prueba de Shapiro-Wilk, ya que
es más con�able para muestras pequeñas, como en nuestro caso donde el grupo experimental y
de control consisten en muestras de tamaño nueve. Posteriormente se hizo uso de la prueba t,
la cual es usada con muestras en donde su desviación estándar poblacional es desconocida,
que permite medir la diferencia de resultados del grupo experimental con el grupo de control
y con ello podemos observar si el grupo experimental obtuvo mejores resultados con nuestra
propuesta, lo cual nos permite inferir la validez de nuestro proyecto.
Capítulo 6
Planeaciones didácticas
Para la planeación realizada se cuenta con objetivos similares entre si. En este capítu-
lo se mencionarán las características de cada una de las sesiones planeadas para el grupo
experimental.
Enseguida se mostrará un mapa conceptual y las características de cada una de las pla-
neaciones didácticas diseñadas para las sesiones del grupo experimental.
En el cuadro 6.1 se muestran los elementos fundamentales en nuestra planeación de la
primera sesión y en la �gura 6.1 se presenta un resumen de la sesión planteada. Esta sesión
consiste en la enseñanza de conceptos básicos de la Teoría de Grafos, además se presentan
ejemplos de cada una de las de�niciones planteadas que posteriormente serán de utilidad
para resolver problemas presentados en una hoja de actividades.
En el cuadro 6.2 se presenta la planeación para la segunda sesión, en donde podemos
resaltar que el objetivo principal de ésta es distinguir características de las de�niciones básicas
de la Teoría de Grafos. En la �gura 6.2 se presenta un resumen de lo planteado en esta clase
donde observamos conceptos como grafos completos, grafos planares, entre otros.
En el cuadro 6.3 se exhibe la planeación para la tercera sesión. Aquí se trabaja con
de�niciones como subgrafo, clique maximal y máximo, además de principios de coloraciones.
En la �gura 6.3 se presenta cómo se desarrolla la enseñanza de estos conceptos.
En el cuadro 6.4 se expone la planeación para la cuarta sesión. Se desarrolla la enseñanza
39
40 CAPÍTULO 6. PLANEACIONES DIDÁCTICAS
de conceptos como el número cromático χ(G) de un grafo G. En la �gura 6.4 se presenta
cómo se desenvuelven cada uno de los conceptos presentados en esta sesión.
En el cuadro 6.5 se describe la planeación para la quinta sesión. Se plantean problemas
de aplicación de los conceptos utilizados en las sesiones anteriores, donde para un grafo con
una gran cantidad de vértices y aristas podemos dar una coloración partiendo de un clique
máximo, para saber al menos cuántos colores son necesarios. En la �gura 6.5 tenemos un
resumen de lo planteado para la quinta sesión.
Cuadro 6.1: Planeación de la primera sesión.Objetivo de
aprendizaje
Habilidades
a desarrollar
Actividades
o evidencias
Materiales Construcción
de
signi�cados
Instrumento
de
evaluación
El alumno
comprenderá
qué es un grafo
y sus
características.
Identi�car:
Vértices
adyacentes.
Extremos de
arista.
Aristas
adyacentes.
Orden de un
grafo.
Vecindad de
un vértice.
El grado de
un vértice.
Hoja de
actividad
Plumones,
pizarrón,
libreta, lápiz,
borrador,
lapicero, regla.
¾Qué es un
grafo?
¾Cómo se
dibuja un
grafo?
Característi-
cas de los
vértices y
aristas de
un grafo.
Escala de
valores.
41
Figura 6.1: Mapa conceptual de la planeación didáctica no. 1.
Cuadro 6.2: Planeación de la segunda sesión.Objetivo de
aprendizaje
Habilidades
a desarrollar
Actividades
o evidencias
Materiales Construcción
de
signi�cados
Instrumento
de
evaluación
El alumno
distinguirá
características
y propiedades
de un grafo.
Identi�car:
Un grafo
completo.
Un grafo
planar.
Un grafo
bipartito.
Un grafo
bipartito
completo.
Un clique.
Hoja de
actividad.
Plumones,
pizarrón,
libreta, lápiz,
borrador,
lapicero, regla,
colores.
Características
de:
Planaridad.
Grafos
bipartitos.
Clique en
un grafo.
Escala de
valores.
42 CAPÍTULO 6. PLANEACIONES DIDÁCTICAS
Figura 6.2: Mapa conceptual de la planeación didáctica no. 2.
43
Cuadro 6.3: Planeación de la tercera sesión.Objetivo de
aprendizaje
Habilidades
a desarrollar
Actividades
o evidencias
Materiales Construcción
de
signi�cados
Instrumento
de
evaluación
El alumno
reconocerá qué
es la coloración
de un grafo.
Identi�car:
Un
subgrafo.
Clique
maximal.
Clique
máximo.
k-colora-
ción.
Hoja de
actividad.
Plumones,
pizarrón,
libreta, lápiz,
borrador,
lapicero, regla,
colores.
Características
de:
Subgrafos.
Coloración
propia.
k-colora-
ción.
k-coloreable.
Escala de
valores.
44 CAPÍTULO 6. PLANEACIONES DIDÁCTICAS
Figura 6.3: Mapa conceptual de la planeación didáctica no. 3.
45
Cuadro 6.4: Planeación de la cuarta sesión.Objetivo de
aprendizaje
Habilidades
a desarrollar
Actividades
o evidencias
Materiales Construcción
de
signi�cados
Instrumento
de
evaluación
El alumno
encontrará el
número
mínimo k de
colores para el
cual un grafo
tiene una
k-coloración.
Realizar
coloraciones
propias.
Hoja de
actividad.
Plumones,
pizarrón,
libreta, lápiz,
borrador,
lapicero, regla,
colores.
Encontrar
χ(G).
Encontrar
una
estrategia
de
coloración.
Escala de
valores.
46 CAPÍTULO 6. PLANEACIONES DIDÁCTICAS
Figura 6.4: Mapa conceptual de la planeación didáctica no. 4.
47
Cuadro 6.5: Planeación de la quinta sesión.Objetivo de
aprendizaje
Habilidades
a desarrollar
Actividades
o evidencias
Materiales Construcción
de
signi�cados
Instrumento
de
evaluación
El alumno
aplicará la
de�nición de
clique máximo
para obtener
una coloración
propia.
Realizar
coloraciones
propias.
Hoja de
actividad.
Plumones,
pizarrón,
libreta, lápiz,
borrador,
lapicero, regla,
colores.
Encontrar
un clique
máximo.
Encontrar al
menos
cuántos
colores
pueden ser
usados en
un grafo.
Escala de
valores.
48 CAPÍTULO 6. PLANEACIONES DIDÁCTICAS
Figura 6.5: Mapa conceptual de la planeación didáctica no. 5.
Capítulo 7
Situación didáctica propuesta para
el grupo experimental
Esta propuesta fue diseñada con un problema relacionado a la Ingeniería en Telecomu-
nicaciones, el cual involucra los conocimientos que los alumnos han estado aprendiendo a
lo largo de sus estudios en la universidad, de tal manera, que al ser profesionistas podrían
enfrentarse a dicha situación y deberán ser capaces de encontrar una solución óptima.
Título: ¾Cuál es el número mínimo de frecuencias necesarias para evitar la interferencia
entre estaciones de radio?
Una ciudad cuenta con diversas estaciones de radio. Se sabe que dos estacio-
nes inter�eren entre sí si se encuentran ubicadas a menos de 20 km de distancia.
En el mapa de la �gura 7.1 se muestra la ciudad con cada una de las estaciones
de radio etiquetadas de A a la L. Algunas distancias entre ellas son desconoci-
das, por lo cual se solicita calcular las distancias faltantes en la tabla. Además
deberá encontrar al menos cuántas frecuencias son necesarios para evitar interfe-
rencias entre las estaciones de radio en la ciudad. Para ello tome en cuenta que
V = {A,B,C, · · · , L} y E = {uv : u, v ∈ V y u esta ubicada a menos de 20 km
de distancia de v}.
49
50 CAPÍTULO 7. SITUACIÓN DIDÁCTICA PROPUESTA
Figura 7.1: Ubicación de las estaciones de radio en la ciudad
Cuadro 7.1: Distancias entre cada una de las estaciones en la ciudad.
a) ¾Cuál es el grafo asociado al problema anterior? Dibújelo en el plano.
Figura 7.2:
51
b) ¾Cuántas frecuencias fueron necesarias para evitar interferencias entre estaciones de
radio en la ciudad?
c) ¾Qué método ha usado para encontrar la solución?
d) ¾Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema?,
¾cuál?
52 CAPÍTULO 7. SITUACIÓN DIDÁCTICA PROPUESTA
Capítulo 8
Instrumento de evaluación
El instrumento de evaluación consiste en una escala de valores con los rasgos importantes
de cada uno de los principios necesarios para evaluar las sesiones realizadas durante nuestra
investigación con el grupo experimental. Los principios que se manejaran son los siguientes:
1.- Coherencia de la información.
2.- Imaginación.
3.- Atención.
4.- Conocimiento.
5.- Solución de problemas.
Cada uno de estos principios contiene una serie de rasgos importantes para evaluar el
material presentado en las sesiones planeadas y así mismo evaluar el cómo les fue enseñado
cada una de las de�niciones necesarias para afrontar la situación didáctica propuesta. Es
importante considerar los siguientes puntos para la realización de una escala de valores, ya
que esta evalúa la calidad del material presentado y si la Teoría de Grafos provoca motivación
en la solución de problemas (Ramírez y Santander, 2003):
1.- El listado de ítems debe incluir los criterios esenciales que debe tener el producto,
permitiendo al evaluador conocer los componentes a evaluar.
53
54 CAPÍTULO 8. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN
2.- Los ítems deben dividir los componentes que pueden ser valorados.
3.- Cada componente debe ser valorado de acuerdo al criterio especí�co en el objetivo.
4.- La escala debe ser clara, simple y fácil de usar.
Los rasgos establecidos en cada uno de los principios tienen un valor máximo de tres puntos,
donde la suma de ellos será utilizada en la tabla de puntaje donde se tiene establecido la
calidad que se ha logrado. Además con cada principio se pueden generar grá�cas de acuerdo
a la cantidad de puntaje que se llegue a obtener en esta escala de valores.
Cuadro 8.1: Instrumento de evaluación: escala de valores.
RASGOS Excelente Bueno Regular Malo
3 2 1 0
Coherencia de la información
Cada uno de los elementos presentados
corresponde correctamente a la infor-
mación brindada.Los ejercicios propuestos son adecua-
dos.La información es emitida de forma co-
rrecta.La problemática propuesta hace uso re-
levante de lo visto en clase.Se descarta el uso de información inne-
cesaria.Las palabras utilizadas están coordina-
das a lo que se realiza grá�camente.
Imaginación
El estudiante puede imaginar distintas
soluciones a los problemas propuestos.
Se obliga al estudiante a buscar solucio-
nes por medio de coloraciones propias.
Se permite una construcción grupal de
la solución de problemas planteados.
55
Atención
La organización del material es apro-
piada.
Se mantuvo la atención del estudiante.
Los elementos visuales y el texto no so-
brecargan la atención.
Conocimiento
Al contar con el conocimiento previo
del tema, el alumno se interesa por el
problema.
Al conocer el tópico, aumenta el interés
del alumno por seguir aprendiendo.
En cada una de las sesiones se tiene un
nuevo aprendizaje.
Los elementos aprendidos facilitan la
solución del problema
Solución de problemas
Propone más de una solución en los
ejercicios sugeridos.
La complejidad de los problemas es
acorde a lo expuesto a las sesiones.
56 CAPÍTULO 8. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN
En el cuadro 8.2 se muestra la interpretación de los puntajes obtenidos en el instrumento
de evaluación designado para las sesiones y el material propuesto:
Cuadro 8.2: Interpretación del instrumento de evaluación.
Puntaje Calidad
≤ 28 Malo
29�38 Regular
39�48 Bueno
49�57 Excelente
Del cuadro 8.3 al 8.7 se muestran las propuestas para la interpretación de los puntajes
obtenidos en las distintas dimensiones del instrumento de evaluación.
Cuadro 8.3: Interpretación para la dimensión de coherencia en la información.
Puntaje Calidad
≤ 10 Malo
11�15 Regular
16�18 Bueno
19�21 Excelente
Cuadro 8.4: Interpretación para la dimensión de imaginación.
Puntaje Calidad
≤ 4 Malo
5�6 Regular
7�8 Bueno
9 Excelente
Cuadro 8.5: Interpretación para la dimensión de atención.
Puntaje Calidad
≤ 4 Malo
5�6 Regular
7�8 Bueno
9 Excelente
57
Cuadro 8.6: Interpretación para la dimensión de conocimiento.
Puntaje Calidad
≤ 6 Malo
7�8 Regular
9�10 Bueno
11�12 Excelente
Cuadro 8.7: Interpretación para la dimensión de solución de problemas.
Puntaje Calidad
≤ 2 Malo
3 Regular
4�5 Bueno
6 Excelente
En cada una de las planeaciones realizadas para las sesiones se brindó una hoja de activi-
dades con lo visto en clase, de forma que los estudiantes pudieran practicar cada uno de los
conceptos y las de�niciones vistas. Es por ello que en el cuadro 8.8 se propone el instrumento
de evaluación para evaluar cada una de las hojas de actividades, con el objetivo de veri�car
que los alumnos han estado obteniendo aprendizajes y observar lo que no han entendido bien.
Cuadro 8.8: Instrumento de evaluación para hojas de actividades del grupo experimental.
Rasgo Valor
1) El alumno resolvió todos los problemas 2
2) El alumno no tuvo confusiones sobre lo que se tenía que
hacer.
2
3) El alumno contestó de manera correcta cada problema. 3
4) El alumno justi�có adecuadamente las respuestas de cada
problema.
3
En el cuadro 8.9 se propone un instrumento de evaluación para evaluar la situación
didáctica aplicada al grupo experimental, ya que al hacer uso de grafos los rasgos a evaluar
cambian en comparación con la actividad aplicada al grupo de control.
58 CAPÍTULO 8. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN
Cuadro 8.9: Instrumento de evaluación de la situación�problema para el grupo experimental.
Rasgo Valor
1) El alumno comprende el problema con cada una de sus
características y con lo que se pide solucionar.
3
2) El alumno interpreta de forma adecuada la tabla de
distancias.
1
3) El alumno encuentra las distancias faltantes. 2
4) El alumno dibuja el grafo asociado al problema. 3
5) El alumno usa como solución la Teoría de Grafos. 2
6) El alumno colorea de manera correcta para asignar
distintas frecuencias a las estaciones con interferencia.
3
7) El alumno asigna la menor cantidad de frecuencias para
obtener un mayor rendimiento de banda ancha de manera
correcta.
3
8) El alumno obtuvo la respuesta correcta. 3
Por último, en el cuadro 8.10 se presenta el instrumento de evaluación que fue utilizado
para evaluar la aplicación de la situación didáctica en el grupo de control donde, al no tomar
las sesiones de Teoría de Grafos y no poder utilizarla como método de solución, se proponen
rasgos distintos al grupo experimental que evalúen su desempeño.
Cuadro 8.10: Instrumento de evaluación de la situación�problema para el grupo de control.
Rasgo Valor
1) El alumno comprende el problema con cada una de sus
características y lo que se pide solucionar.
3
2) El alumno interpreta de forma adecuada la tabla de
distancias.
1
3) El alumno encuentra las distancias faltantes. 2
4) El alumno asigna frecuencias distintas a estaciones que
tienen interferencia entre sí.
3
5) El alumno asigna la menor cantidad de frecuencias para
obtener un mayor rendimiento de banda ancha de manera
correcta.
3
6) El alumno obtuvo la respuesta correcta. 3
Capítulo 9
Análisis de resultados
En este capítulo haremos una revisión y comprobación de los datos obtenidos durante
nuestra aplicación. Este análisis de resultados estará dividido en dos partes: en la primera
analizaremos los datos respecto a lo obtenido por el instrumento de evaluación, el cual consiste
en una escala de valores para evaluar el material y las sesiones del grupo experimental; en la
segunda, realizaremos una prueba de hipótesis, donde tendremos que comprobar si nuestra
hipótesis �El grupo experimental que ha recibido las sesiones de Teoría de Grafos obtiene
mejores resultados en la prueba aplicada con respecto al grupo de control� es verdadera o
falsa. En esta prueba se realiza un contraste entre en el grupo experimental y el de control,
destacando una diferencia signi�cativa entre los resultados de estas dos muestras.
9.1. Resultados por dimensión del instrumento de eva-
luación
El instrumento de evaluación que se presentó en el cuadro 8.1, nos brindó información
importante sobre la calidad de las sesiones impartidas a los alumnos del grupo experimental.
Este instrumento cuenta con cinco dimensiones:
1.- Coherencia de la información.
2.- Imaginación.
59
60 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
3.- Atención.
4.- Conocimiento.
5.- Solución de problemas .
Los cuadros del 8.3 al 8.7 muestran la ponderación que establece la calidad de cada una
de las dimensiones del instrumento de evaluación.
A partir del puntaje establecido en el cuadro 8.3, podemos observar en la grá�ca de la
�gura 9.1 que seis de los alumnos contestaron que la coherencia del material presentado en
clase era excelente; dos, que era muy bueno y uno, que era regular. Esto nos permite inferir
que los alumnos no tuvieron demasiada di�cultad para adaptarse a la información que se les
brindaba en cada hora clase, y que la teoría tenía sentido y fue acorde a cada uno de los
ejercicios y ejemplos vistos en el aula.
Figura 9.1: Calidad de la dimensión de coherencia de la información del instrumento de
evaluación.
En la grá�ca de la �gura 9.2 podemos ver que cuatro alumnos evaluaron a la dimensión
de imaginación como excelente; tres, como bueno y dos, como regular. Por lo que concluimos
que se tiene que mejorar este aspecto dentro del material mostrado en las sesiones.
9.1. RESULTADOS POR DIMENSIÓN DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 61
Figura 9.2: Calidad de la dimensión de imaginación del instrumento de evaluación.
En la grá�ca de la �gura 9.3 de la dimensión de atención se tuvo una evaluación donde
cinco alumnos dijeron que era excelente; dos, que era bueno y dos, que era regular. Por lo
que al menos la mitad del grupo muestra que la organización del material fue apropiada para
ellos, es decir, no se empezó con lo más difícil ni tampoco se les pidió resolver problemas que
estuvieran fuera de sus conocimientos.
Figura 9.3: Calidad de la dimensión de atención del instrumento de evaluación.
En la grá�ca de la �gura 9.4 se observa que se tuvo una buena respuesta, cinco alumnos
dijeron que era excelente y cuatro, que era bueno. Por lo cual, podemos asegurar que el
alumno se interesa por el tema y obtiene un aprendizaje signi�cativo en cada una de las
sesiones planteadas.
62 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Figura 9.4: Grá�ca. Calidad de la dimensión de conocimiento del instrumento de evaluación.
Por último, se muestra en la grá�ca de la �gura 9.5 que se tuvieron distintas perspectivas,
tres alumnos dijeron que era excelente; tres, que era bueno y tres, que era regular. Así que se
debe mejorar el material respecto a esta dimensión y motivar a los alumnos a que propongan
soluciones distintas, es decir, que no se enfoquen en resolver problemas como el profesor
propone sino que puedan mostrar ideas de cómo mejorarían el procedimiento o bien busquen
otra solución para algún problema propuesto.
Figura 9.5: Calidad de la dimensión de solución de problemas del instrumento de evaluación.
9.2. RESULTADO GENERAL DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 63
9.2. Resultado general del instrumento de evaluación
Al instrumento de evaluación que se presentó en el cuadro 8.2, en general se le diseñó un
puntaje para determinar la calidad del trabajo presentado en cada una de las sesiones, este
puntaje puede ser visto en el cuadro 8.2.
De la cali�cación obtenida en el instrumento de evaluación, que se muestra en la grá�ca de
la �gura 9.6, obtenemos que seis alumnos cali�caron a todo el trabajo presentado y realizado
en cada una de las sesiones como excelente y los tres restantes como bueno. Sin embargo, hay
elementos importantes que mejorar en cada una de las planeaciones y material presentado
para la enseñanza de la Teoría de Grafos.
Figura 9.6: Calidad de la dimensión de solución de problemas del instrumento de evaluación.
Se obtiene un resultado satisfactorio respecto a lo realizado en clase, por lo tanto podemos
inferir que los alumnos estuvieron conformes. Por otro lado, con base en cada una las eva-
luaciones percibimos la necesidad de mejorar el material y la forma en como fue presentado.
Además de buscar nuevas ideas de cómo enseñar coloración, no sólo de una manera formal,
también que sean capaces de establecer el vínculo entre un problema y un grafo.
64 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
9.3. Prueba de hipótesis
En esta sección examinaremos los datos obtenidos durante nuestra investigación, el pro-
cedimiento formal para examinar dichos datos se hace mediante una prueba de hipótesis.
Aquí se formula una hipótesis y se confronta por medio de métodos estadísticos estableci-
dos. Para ello, se toma la muestra y se compara su comportamiento respecto a la hipótesis,
si estas observaciones no concuerdan decimos que nuestra hipótesis planteada se rechaza, o
de lo contrario decimos que es verdadera. Las pruebas de hipótesis puede ser utilizadas en
distintos campos de investigación, siempre y cuando se pueda probar por contra observación
de los datos.
¾Qué elementos debe tener mi prueba estadística?
1.- Hipótesis nula H0.
2.- Hipótesis alternativa Ha.
3.- Estadístico de prueba.
4.- Región de rechazo.
La hipótesis que se busca ser aprobada en la nula denotada porH0, de lo contrario si esta es
rechazada decimos que nuestra hipótesis alternativa es aceptada. Otra de las partes esenciales
es el estadístico de prueba el cual es una función de las variables aleatorias observables en
una muestra y nos permitirá tomar una decisión,por otra parte, en nuestra prueba también
se cuenta con una región de rechazo denotada por RR, aquí se especi�can los valores del
estadístico de prueba para los cuales se acepta la hipótesis nula H0 y Ha es aceptada. Si
nuestro valor calculado no cae dentro de nuestra región de rechazo, entonces se acepta H0.
9.3.1. Prueba de normalidad
Hay distintas maneras de revisar si una variable continua esta normalmente distribuida,
muchas medidas como la altura, el peso y la presión sanguínea podrían ser distribuidas
normalmente en la comunidad pero no distribuidas normalmente en la muestra, si el estudio
ha seleccionado una muestra de tamaño pequeño en la práctica, varias pruebas de normalidad
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 65
necesitan ser llevados a cabo para tener un buen entendimiento de la forma de la distribución
de cada variable en la muestra de estudio.
La proximidad de la media a la mediana puede indicar un posible sesgo. Un análisis rápido
informal de la normalidad es examinar si la media y la mediana son cercanos entre sí. Si la
diferencia entre la media y la mediana es poca, por lo tanto sugiere una distribución normal,
pero si la diferencia es grande, sugiere que la variable tiene una distribución no normal.
Entre las pruebas de normalidad podemos citar al prueba de Kolmogorv-Smirnov con
una corrección de signi�cación Lilliefors y el de Shapiro-Wilk. Una limitante de la prueba
de normalidad de Kolmogorov-Smirnov sin la corrección Lilliefors es que es muy conservador
y es sensible a los valores extremos que causan colas en la distribución. La corrección de
signi�cación Lilliefors hace esta prueba un poco menos conservadora. La prueba Shapiro-
Wilk tiene un poder estadístico mas potente para detectar distribuciones no normales que la
prueba de Kormogorov-Smirnov. La prueba Shapiro-Wilk es usada frecuentemente cuando
la muestra es menor a 50 pero también puede ser usado con muestras de gran tamaño. La
prueba de Shapiro-Wilk está basada en la correlación entre los datos y el correspondiente
puntaje normal. Los valores del rango estadístico de Shapiro-Wilk cercanos a cero indican
una distribución no normal y un valor cercano a uno indica normalidad.
Para ambos test, Shapiro-Wilk y Kolmogorov-Smirnov, un p-valor menor a 0.05 propor-
ciona evidencia de que la distribución es signi�cativamente diferente de la normal.
Para poder facilitar nuestro análisis estadístico, es necesario trabajar con muestras que
tengan una distribución normal, para posteriormente hacer uso de la prueba t. Dado que la
muestra tiene pocos datos, entonces, se propone realizar la prueba de normalidad de Shapiro-
Wilk.
Para empezar nuestra prueba, hemos de de�nir nuestras hipótesis a probar.
Hipótesis:
H0: La muestra aleatoria tiene una distribución normal.
Ha: La muestra aleatoria no tiene una distribución normal.
Luego, de�nimos el estadístico de prueba.
66 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Estadístico de prueba.
Prueba Shapiro-Wilk
Descripción:
Prueba si la muestra es tomada de una variable con una distribución normal.
Condiciones:
Los datos son medidos en una escala métrica.
Las variables aleatorias X1, . . . , Xn son independientes e idénticamente distribuidas con
observaciones x1, . . . , xn y una función de distribución continua F (x).
La media µ y la varianza σ son desconocidas.
Hipótesis:
H0 : F (x) = Φ
(x− µσ
)∀x
Ha : F (x) 6= Φ
(x− µσ
)para al menos una x.
Prueba estadística:
W =
(bn/2c∑i=1
an−i+1
(X(n−i+1) −X(i)
))2
(n∑i=1
(X(i) −X
)2) , (9.1)
con coe�cientes (a1, . . . , an) =m′V −1√
m′V −1V −1m, donde m′ = (m1, . . . ,mn) es el vector
de las medias y V es la matriz de covarianza del orden estadístico estándar normal. (Ver
cuadro 9.1).
Prueba de decisión:
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 67
Se rechaza H0 si el valor observado w de W satisface w ≤ wα.
Los valores críticos wα para n ≤ 50 pueden ser encontrados en Shapiro y Wilk (Shapiro
y Wilk, 1965) (ver cuadro 9.2).
p- valor:
p = P (W ≤ w).
Para trabajar con el estadístico W fue necesario la consulta de ciertos de valores, las
cuales se encuentran en los cuadros 9.1 y 9.2:
Cuadro 9.1: Coe�cientes {an−i+1} para la prueba Shapiro-Wilk de normalidad (Shapiro y
Wilk, 1965).
i
n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0.7071 0.7071 0.6872 0.6646 0.6431 0.6233 0.6052 0.5888 05739 0.5601 0.5475
2 0.1677 0.2413 0.2806 0.3031 0.3164 0.3244 0.3291 0.3315 0.3325
3 0.0875 0.1401 0.1743 0.1976 0.2141 0.2260 0.2347
4 0.0561 0.0947 0.1224 0.1429 0.1586
5 0.0399 0.0695 0.0922
6 0.0303
7
8
9
10
68 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Cuadro 9.2: Niveles de signi�cación wα de la prueba Shapiro-Wilk de normalidad (Shapiro y
Wilk, 1965).
n
α0.01 0.02 0.05 0.1 0.5 0.9 0. 95 0.98 0.99
3 0.753 0.756 0.767 0.789 0.959 0.998 0.999 1.000 1.000
4 0.687 0.707 0.748 0.792 0.935 0.987 0.992 0.996 0.997
5 0.686 0.715 0.762 0.806 0.927 0.979 0.986 0.991 0.993
6 0.713 0.743 0.788 0.826 0.927 0.974 0.981 0.986 0.989
7 0.730 0.760 0.803 0.838 0.928 0.972 0.979 0.985 0.988
8 0.749 0.778 0.818 0.851 0.932 0.972 0.978 0.984 0.987
9 0.764 0.791 0.829 0.859 0.935 0.972 0.978 0.984 0.986
10 0.781 0.806 0.842 0.869 0.938 0.972 0.978 0.983 0.986
11 0.792 0.817 0.850 0.876 0.940 0.973 0.979 0.984 0.986
12 0.805 0.828 0.859 0.883 0.943 0.973 0.979 0.984 0.986
13 0.814 0.837 0.866 0.889 0.945 0.974 0.979 0.984 0.986
14 0.825 0.846 0.874 0.805 0.947 0.975 0.980 0.984 0.986
15 0.835 0.855 0.881 0.901 0.950 0.975 0.980 0.984 0.987
16 0.844 0.863 0.887 0.906 0.952 0.976 0.981 0.985 0.987
17 0.851 0.869 0.892 0.910 0.954 0.977 0.981 0.985 0.987
18 0.858 0.874 0.897 0.914 0.956 0.978 0.982 0.986 0.988
19 0.863 0.879 0.901 0.917 0.957 0.978 0.982 0.986 0.988
20 0.868 0.884 0.905 0.920 0.959 0.979 0.983 0.986 0.988
Los datos obtenidos durante la investigación son las cali�caciones asignadas a la situación
didáctica aplicada al grupo experimental y de control. Estas cali�caciones son desglosadas
en los cuadros 9.5 y 9.6, respectivamente.
Grupo experimental
Analizando los datos del grupo experimental, en el cuadro 9.3, obtenemos el valor estadís-
tico para realizar la prueba de Shapiro-Wilk de normalidad. Los términos xi son cada una de
las cali�caciones obtenidas por los n = 9 alumnos del grupo experimental y han sido ordenas
de forma ascendente, las cuales se encuentran en el cuadro 9.5.
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 69
Cuadro 9.3: Cali�caciones xi de la muestra de n = 9 alumnos del grupo experimental.
i x(i) x(n−i+1) x(n−i+1) − x(i) an−i+1 an−i+1
(x(n−i+1) − x(i)
)(x(i) − x)2
1 5.9000 10.0000 4.1000 0.5888 2.4140 6.2775
2 7.0000 10.0000 3.0000 0.3244 0.9732 1.9754
3 7.7000 9.8000 2.1000 0.1976 0.4149 0.4977
4 7.7500 9.2500 1.5000 0.0947 0.1420 0.4296
5 8.2500 8.2500 0.0000 0.0000 0.0000 0.0241
6 9.2500 7.7500 -1.5000 0.0000 0.0000 0.7131
7 9.8000 7.7000 -2.1000 0.0000 0.0000 1.9440
8 10.0000 7.0000 -3.0000 0.0000 0.0000 2.5424
9 10.0000 5.9000 -4.1000 0.0000 0.0000 2.5424
x 8.4055 SUMA 3.9444 16.9456
Con los datos obtenidos del cuadro 9.3 podemos sustituir los valores en la fórmula (9.1)
que nos da el valor estadístico we:
we =
(b9/2c∑i=1
a9−i+1
(x(9−i+1) − x(i)
))2
(9∑i=1
(x(i) − x
)2) =(3.9444)2
16.9456= 0.9179
Región de rechazo para H0
En el cuadro de niveles de signi�cación (cuadro 9.2) se obtiene el p-valor de w(0.05, 9) y
tenemos que
RR = {w : w ≤ 0.829},
donde RR denota la región de rechazo para la hipótesis H0.
Si we es mayor al valor esperado w(0.05, 9) = 0.829, H0 se mantiene. Como we = 0.9179,
inferimos que el grupo experimental tiene una distribución normal a un nivel de con�anza
del 95%.
70 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Grupo de control
Analizando los datos del grupo de control, en el cuadro 9.4, obtenemos el valor estadístico
para realizar la prueba de Shapiro-Wilk de normalidad. Los términos xi son cada una de las
cali�caciones obtenidas por los n = 9 alumnos del grupo de control y han sido ordenas de
forma ascendente, las cuales se encuentran en el cuadro 9.6.
Cuadro 9.4: Cali�caciones xi de la muestra de n = 9 alumnos del grupo de control.
i x(i) x(n−i+1) x(n−i+1) − x(i) an−i+1 an−i+1
(x(n−i+1) − x(i)
)(x(i) − x)2
1 1.6000 9.0000 7.4000 0.5888 4.3571 13.6404
2 3.6000 7.0000 3.4000 0.3244 1.1029 2.8672
3 4.0000 6.3000 2.3000 0.1976 0.4544 1.6726
4 4.8700 5.8000 0.9300 0.0947 0.0880 0.1791
5 5.4700 5.4700 0.0000 0.0000 0.0000 0.0312
6 5.8000 4.8700 -0.9300 0.0000 0.0000 0.2567
7 6.3000 4.0000 -2.3000 0.0000 0.0000 1.0134
8 7.0000 3.6000 -3.4000 0.0000 0.0000 2.9128
9 9.0000 1.6000 -7.4000 0.0000 0.0000 13.7396
x 5.2933 SUMA 6.0024 35.3130
Con los datos obtenidos del cuadro 9.4 podemos sustituir los valores en la fórmula (9.1)
que nos da el valor estadístico wc:
wc =
(b9/2c∑i=1
a9−i+1
(x(9−i+1) − x(i)
))2
(9∑i=1
(x(i) − x
)2) =(6.0024)2
35.3130= 1.0202
Región de rechazo para H0
En el cuadro de niveles de signi�cación (cuadro 9.2) se obtiene el p-valor de w(0.05, 9) y
tenemos que
RR = {w : w ≤ 0.829},
Si wc es mayor al valor esperado w(0.05, 9) = 0.829, H0 se mantiene. Como wc = 1.0202,
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 71
inferimos que el grupo de control tiene una distribución normal a un nivel de con�anza del
95%.
Concluimos que se cuenta con su�ciente evidencia estadística para decir que los datos
pertenecen a una distribución normal, de tal manera que se puede proceder a analizar los
datos con estadística paramétrica.
9.3.2. Prueba t con dos muestras y un intervalo de con�anza
Sea X1, X2, . . . , Xm una muestra aleatoria de una población con distribución normal y
media poblacional µ1 y sea Y1, Y2, . . . , Yn una muestra aleatoria de una población con distri-
bución normal y media poblacional µ2, con X y Y independientes entre sí. Cuando ambas
distribuciones de población son normales, la variable estandarizada es:
T =X − Y − (µ1 − µ2)√
S21
m+S22
n
, (9.2)
donde S21 y S
22 son las varianzas muestrales de las variables aleatoriasX y Y , respectivamente.
Los grados de libertad de una prueba estadística son denotado por ν y es la cantidad de
información en la cual podemos estimar los valores de parámetros de población desconocida.
Este valor se estima de acuerdo al número de observaciones en la muestra, si incrementamos
el tamaño de nuestra muestra podemos obtener mayor información de la población y por lo
tanto los grados de libertad también aumentarán. En nuestro caso, utilizaremos los grados de
libertad para estimar la distribución de la prueba t. El valor ν se determina por la siguiente
fórmula:
ν =
(S21
m+S22
n
)2
(S21
m
)2
m− 1+
(S22
n
)2
n− 1
(9.3)
72 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Datos de las muestras
En el cuadro 9.5 se muestran los resultados ordenados de forma ascendente del grupo
experimental el cual está conformado por 9 alumnos de sexto semestre de Ingeniería en Te-
lecomunicaciones de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí.
Cuadro 9.5: Cali�caciones del grupo experimental.
Sujeto Cali�cación
01 5.90
02 7.00
03 7.70
04 7.75
05 8.25
06 9.25
07 9.80
08 10.00
09 10.00
Promedio 8.4055
Figura 9.7: Resultados del grupo experimental.
En el cuadro 9.6 se muestran los resultados ordenados de forma ascendente del grupo
de control el cual está conformado por 9 alumnos de séptimo semestre de Ingeniería en Te-
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 73
lecomunicaciones de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí.
Cuadro 9.6: Cali�caciones del grupo de control.
Sujeto Cali�cación
01 1.60
02 3.60
03 4.00
04 4.87
05 5.47
06 5.80
07 6.30
08 7.00
09 9.00
Promedio 5.2933
Figura 9.8: Resultados del grupo de control.
Con los datos anteriores podemos obtener la varianza muestral S2 y la desviación están-
dar S.
74 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Cuadro 9.7: Varianza muestral y desviación estándar del grupo experimental y grupo de
control.Grupo experimental Grupo control
s21 2.1182 s22 4.4141
s1 1.4554 s2 2.1009
Procedemos al uso de la prueba t para hacer una comparación respecto a las medias de
cada grupo muestral, por lo que debemos proponer nuestra hipótesis y calcular los valores de
t, ν y el intervalo de con�anza. Por otra parte, el valor t obtenido tendrá que ser comparado
con el proporcionado por el cuadro 9.8.
Cuadro 9.8: Valores críticos para distribuciones t (Devore, 2016).
ν
α0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005
1 3.0780 6.3140 12.7060 31.8210 63.6570 318.3100 636.6200
2 1.8860 2.9200 4.3030 6.9650 9.9250 22.3260 31.5980
3 1.6380 2.3530 3.1820 4.5410 5.8410 10.2130 12.9240
4 1.5330 2.1320 2.7760 3.7470 4.6040 7.1730 8.6100
5 1.4760 2.0150 2.5710 3.3650 4.0320 5.8930 6.8690
6 1.4400 1.9430 2.4470 3.1430 3.7070 5.2080 5.9590
7 1.4150 1.8950 2.3650 2.9980 3.4990 4.7850 5.4080
8 1.3970 1.8600 2.3060 2.8960 3.3550 4.5010 5.0410
9 1.3830 1.8330 2.2620 2.8210 3.2500 4.2970 4.7810
10 1.3720 1.8120 2.2280 2.7640 3.1690 4.1440 4.5870
11 1.3630 1.7960 2.2010 2.7180 3.1060 4.0250 4.4370
12 1.3560 1.7820 2.1790 2.6810 3.0550 3.9300 4.3180
13 1.3500 1.7710 2.1600 2.6500 3.0120 3.8520 4.2210
14 1.3450 1.7610 2.1450 2.6240 2.9770 3.7870 4.1400
1.- µ1 y µ2 son las medias poblacionales de cada una de las muestras.
2.- x y y son las medias muestrales del grupo experimental y el grupo de control, respec-
tivamente.
3.- De�nimos las hipótesis:
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 75
Hipótesis nula H0: x− y = 0, es decir, la media del grupo experimental es igual
a la media del grupo de control.
Hipótesis alternativa Ha: x− y 6= 0, es decir, la media del grupo experimental
es diferente a la media del grupo de control.
4.- El valor nulo ∆0 = µ1 − µ2 = 0 implica que el valor estadístico t queda de la siguiente
manera:
t =x− y√s21m
+s22n
(9.4)
Con nuestros datos obtenidos anteriormente, calculamos el valor estadístico t.
Valor t:
t =8.4055− 5.2933√2.1182
9+
4.4141
9
= 3.6536 (9.5)
Posteriormente hacemos el calculo de los grados de libertad que tendrá nuestra prueba.
Grados de libertad:
ν =
(
2.1182
9+
4.4141
9
)2
(2.1182
9
)2
8+
(4.4141
9
)2
8
= b14.2710c = 14
Intervalo de con�anza:
Los extremos del intervalo de con�anza están determinados por:
x− y ± tα, ν
√s21m
+s22n,
76 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
donde m, n es el tamaño en cada una de grupos en los que se están trabajando y α es el nivel
de signi�cación de la prueba.
Al realizar los cálculos para encontrar el intervalo de con�anza de nuestra prueba, consi-
derando el valor t0.025, 14 = 2.1450 (ver cuadro 9.8), obtenemos:
8.4055− 5.2933± t0.05/2, 14
√2.1182
9+
4.4141
9
3.1122± t0.025, 14√
0.2353 + 0.4904
3.1122± (2.145)(0.8518) = 3.1122± 1.8271
Por lo tanto el intervalo de con�anza es:
[1.2851, 4.9393]
Curva de densidad:
En la grá�ca 9.9 podemos ver la curva de densidad de la distribución t con ν = 14
grados de libertad, en donde también se muestra la región de rechazo a partir del valor,
t0.025,14 = 2.145 el cual es obtenido del cuadro 9.8 de valores críticos para distribuciones t.
Al tener la hipótesis alternativa Ha : x− y 6= 0, debemos hacer una comprobación tanto
de la cola inferior como de la cola superior de la curva de densidad de distribución t con la
siguiente región de rechazo:
RR = (−∞,−2.145) ∪ (2.145,∞)
9.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS 77
Figura 9.9: Curva de densidad de la distribución t con ν= 14 grados de libertad
Al tener el valor t = 3.6536 obtenido en la ecuación (9.5) y ubicarlo en la grá�ca 9.9,
observamos que queda situado en la zona de rechazo, por lo cual, concluimos que:
La hipótesis nula H0 es rechazada, y
La hipótesis alternativa Ha resulta ser verdadera con una probabilidad del 95% de
con�anza y un nivel de signi�cación α = 0.05.
Por lo tanto, la evidencia estadística permite concluir que el grupo experimental tuvo una
diferencia signi�cativa en los resultados con respecto al grupo de control, de tal manera que el
primer grupo tuvo un mejor rendimiento al resolver el problema propuesto después de haber
recibido una introducción a la Teoría de Grafos, especí�camente en el tema de coloraciones.
78 CAPÍTULO 9. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Capítulo 10
Conclusiones
Por medio de esta investigación logramos reconocer la importancia de la Teoría de Grafos
en otras áreas, tal como lo es la Ingeniería. Esta disciplina brinda herramientas que ayu-
dan a resolver problemas de forma óptima y más sencilla, además fomenta que los alumnos
desarrollen la habilidad de buscar nuevas soluciones al problema planteado.
La Teoría de Grafos es un curso que se presta para poder realizar representaciones semió-
ticas de los conceptos que se presentan, es decir, podemos representar expresiones algebraicas
que de�nen a un grafo por medio de un dibujo, nos otorga la posibilidad de visualizar que es
lo que está pasando en dicho problema.
Nuestro objetivo general planteaba el hecho de �analizar el aprendizaje de la Teoría de
Grafos en alumnos de Ingeniería en Telecomunicaciones, para resolver problemas en la asig-
nación de frecuencias de forma óptima con ayuda del diseño de planeaciones didácticas y una
situación didáctica de aprendizaje�. En este proyecto, obtuvimos buenos resultados y un aná-
lisis satisfactorio de cómo los alumnos de Ingeniería en Telecomunicaciones se desenvolvieron
en el aprendizaje de un tema nuevo y la resolución de problemas que probablemente algún
día como futuros profesionistas se les puedan presentar.
Los objetivos especí�cos que propusimos fueron logrados de manera satisfactoria, es decir,
logramos el diseño de planeaciones didácticas para cinco sesiones, además del diseño de una
situación didáctica de aprendizaje en donde se exige al alumno poder resolver un problema
de asignación de frecuencias, y así mismo proponer soluciones. Hicimos la aplicación de la
prueba en dos grupos, el grupo experimental y el grupo de control.
79
80 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES
El grupo experimental estuvo conformado por nueve alumnos del sexto semestre de la
Ingeniería en Telecomunicaciones de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma
de San Luis Potosí y el grupo de control fue conformado por nueve alumnos del séptimo
semestre de la misma Ingeniería.
Durante la aplicación de la prueba se tuvo la diferencia de que el grupo experimental
hizo uso de los conocimiento previos obtenidos en las cinco sesiones didácticas, mientras
que los alumnos del grupo de control se desenvolvieron de manera competitiva, buscando
soluciones con conocimientos que ellos obtuvieron de cursos anteriores o que actualmente
están cursando como: Comunicaciones Inalámbricas, Procesamiento de Señales, Señales y
Sistemas, Comunicaciones Digitales, entre otras.
Se realizó el objetivo especí�co de analizar los resultados de cada grupo muestra. El
análisis nos permite concluir que hubo una notable diferencia en el desempeño de ambos
grupos. En general, el grupo experimental tuvo muy buenas cali�caciones, mientras que el
grupo de control tuvo evaluaciones muy variadas, desde muy bajas hasta altas.
En la prueba aplicada se incluían las siguientes dos preguntas:
1.- ¾Qué método ha usado para encontrar la solución?
2.- ¾Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema?
Referente a la primera pregunta, los estudiantes del grupo experimental contestaron que
sólo hicieron uso de la coloración de grafos para resolver el problema, mientras que el grupo de
control en su mayoría resolvieron el problema asignando un color distinto por cada estación
que tuviera interferencia con otra, llegando a proponer hasta 37 frecuencias distintas.
Con respecto a la segunda pregunta, en el grupo experimental contestaron de forma
similar, decían que no podían imaginarse otro método de solución que no fuera por medio
de la coloración de grafos; algunos contestaron que sí la había, pero ellos la desconocían.
En cambio, en el grupo de control sí hicieron sugerencias de cómo resolver el problema.
Proponían el uso de la amplitud de cada frecuencia, veri�car si la frecuencia correspondía
en el espectro al de una de RF, �ujos de temperaturas en regiones cerradas o presiones; sin
embargo, estas ideas estaban incompletas o no llevaban a una solución óptima. Todas estas
ideas son resultado de su formación en Ingeniería en Telecomunicaciones, pero es importante
81
resaltar que algunos de los estudiantes del grupo de control no tenían idea de cómo encontrar
una solución óptima para el problema; ellos mencionaban que sus respuestas tenían un margen
de error grande al asignar una frecuencia distinta a estaciones de radio con interferencia, mas
era la forma en que por ahora lo podían resolver.
En el planteamiento de nuestro problema nos surgieron las siguientes preguntas respecto
a la enseñanza de la Teoría de Grafos:
1.- ¾Es posible lograr un mejor entendimiento de los conceptos matemáticos de
coloración de grafos sin una enseñanza formal?
En este aspecto, observamos que los alumnos comprendían conceptos y de�niciones
importantes de la Teoría de Grafos sin tener una formalidad estricta al momento de
enseñar la teoría. Se hizo uso de representaciones visuales tanto de los conceptos como
de solución de problemas, de tal manera que los alumnos pudieran resolver el problema
haciendo uso del álgebra, grafos y la representación pictórica. Los alumnos se sentían
bien al poder comprender conceptos que no entendían desde su de�nición, pero que al
hacer uso de alguna representación pudieron mejorar su perspectiva de aprendizaje.
2.- ¾Qué di�cultades genera la enseñanza de la Teoría de Grafos y coloraciones?
Las vivencias durante la práctica docente nos permitieron observar que los alumnos
tenían confusión en las de�niciones y conceptos importantes que les fueron mostrados
de forma algebraica, ya que al no tener una formación formal en matemática tenían
di�cultades para entender algunos símbolos o palabras. De forma algebraica, se sabe
que la coloración de un grafo es un mapeo en donde a cada vértice se le asigna un color,
pero los estudiantes no asocian este concepto con el hecho de colorear los vértices en
un dibujo del grafo.
3.- ¾Cómo se lleva el aprendizaje en los alumnos y cómo se sienten ellos res-
pecto a lo aprendido?
Al principio se tienen muchas dudas. El aprendizaje en los alumnos suele ser rápido
con conceptos muy sencillos, por ejemplo, el cómo se dibuja un grafo haciendo uso de
puntos y líneas, qué es el extremo de una arista, cuál es el grado de un vértice, entre
82 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES
otros conceptos. Sin embargo, en conceptos más complejos, como por ejemplo qué es un
clique, cómo colorear un grafo a partir de un clique máximo, etc., se sienten perdidos y,
en lugar de preguntar y resolver sus dudas, aplican estas de�niciones de forma errónea.
Nuestra experiencia en está investigación nos permitió conocer más acerca de la enseñan-
za de la matemática abstracta y nos facilitó el poder observar el aprendizaje de la Teoría
de Grafos en los alumnos. Todo el esfuerzo realizado se vio re�ejado en resultados favora-
bles, demostrando que la enseñanza de esta teoría ayuda a estudiantes en el desarrollo de
habilidades para afrontar situaciones problema.
Apéndice A
Planeaciones
83
84 APÉNDICE A. PLANEACIONES
A.1. Primera sesión
Planeación primera sesión
Si X es un conjunto, denotamos por [X]2 al conjunto de todos los 2-subconjuntos de X.
Un grafo G es un par ordenado (V (G), E(G)), donde V (G) es el conjunto de vértices y
E(G) ⊆ [V (G)]2 es el conjunto de aristas. Si {u, v} ∈ E(G) lo denotaremos simplemente
como uv ∈ E(G). Nombraremos un grafo G como G = (V,E).
Decimos que los vértices u y v son adyacentes si uv ∈ E(G).
Dada la arista uv, se llaman extremos de la arista y decimos que u es incidente con v.
Dos aristas uv y wz son adyacentes si tienen un extremo en común.
Ejemplo:
Figura A.1: Dibujo de uv y wz, donde v = w
El orden de un grafo es la cardinalidad del conjunto de vértices.
Hemos de mencionar que un grafo suele representarse con un dibujo donde cada vértice
es representado por un punto y una arista uv como una línea que une a los vértices u con v
Ejemplo:
Consideremos el conjunto de vértices V = {a, b, c}. Construyamos algunos grafos distintos
con ese conjunto de vértices. Sea G1 = (V,E1), donde E1 = {ab, bc} y G2 = (V,E2), donde
E2 = {ab}
En la �gura A.2 se da un dibujo de los grafo G1 y G2
Dado un vértice v de G = (V,E), de�nimos la vecindad de v como N(v) = {u ∈ V :
uv ∈ E}
A.1. PRIMERA SESIÓN 85
Figura A.2: Dibujos de G1 y G2
Ejemplo: N(b) = {a, e, d}N(e) = {f, c, b, d}
El grado de un vértice v es la cardinalidad de N(v), y se denota por d(v).
Ejemplo:
Figura A.3: d(v) = 1, d(w) = 2, d(y) = 1 en G3; d(a) = 3, d(f) = 2, d(d) = 3 en G4
Un vértice v es aislado siN(v) = 0. (Cuando un vértice no tiene ninguna arista incidente).
86 APÉNDICE A. PLANEACIONES
Ejemplo:
Figura A.4: El vértice t es aislado en el grafo.
Un grafo es una herramienta que ayuda a modelar o describir una situación. Para com-
prender mejor su uso hemos de realizar un ejercicio.
Ejercicio: Interprete cada una de las siguientes situaciones entre cuatro personas como
un grafo:
1. G6: representa a dos personas que tienen un amigo y dos que no tienen ningún amigo.
2. G3: tres personas son amigas en Facebook de una misma persona.
3. G7: cuatro personas tienen dos amigos en Twitter cada una.
4. G1: cuatro personas tienen tres amigos cada uno.
5. G4: tres personas son amigas entre sí y una persona es desconocida.
6. G2: dos personas tienen un amigo en común, y una persona no conoce a ninguno.
7. G5: dos personas son amigas de tres personas, mientras que dos personas solamente
tienen dos amigos.
A.1. PRIMERA SESIÓN 87
Hoja de actividad
1. Construya los siguientes grafos con las características que se indican:
a) Grafo de cinco vértices que tengan los siguientes grados 1, 2, 2, 1, 4.
b) Grafo de cuatro vértices que tengan los siguientes grados 3, 3, 2, 2.
c) Grafo de seis vértices que tengan los siguientes grados 4, 2, 2, 2, 4, 2.
2. ¾Cuántas aristas tiene cada grafo si sus vértices tienen los siguientes grados?
a) 4, 3, 3, 2, 2.
b) 1, 3, 3, 3, 2, 2, 0.
88 APÉNDICE A. PLANEACIONES
c) 4, 4, 4, 4, 3.
3. ¾Cuál es la vecindad N(vi) de cada uno de los vértices vi del siguiente grafo?
4. Del grafo anterior, ¾cuál es la cardinalidad de N(v2), N(v3) y N(v5)?
A.2. SEGUNDA SESIÓN 89
A.2. Segunda sesión
Planeación segunda sesión
Un grafo G es planar si puede ser dibujado en el plano sin que sus aristas se intersecten.
Ejemplo: Veri�que que K4 es planar.
Un grafo G es completo si cualquier par de vértices son adyacentes. El grafo completo
de orden n se denota como Kn.
Ejemplos:
Un grafo G es bipartito si existe una bipartición de los vértices V (G) = {V1, V2}, tal quecualquier par de vértices de Vi, i ∈ {1, 2}, no son adyacentes.
Ejemplos:
90 APÉNDICE A. PLANEACIONES
Un grafo G es bipartito completo si todos los vértices en V1 son adyacentes a todos los
vértices de V2.
Ejemplo:
Un clique en un grafo G es un conjunto de vértices en V (G) tal que cada par de vértices
son adyacentes.
Ejemplo:
A.2. SEGUNDA SESIÓN 91
Hoja de actividades
1. Decida cuáles de los siguientes grafos son bipartitos y en su caso, determine la biparti-
ción de los vértices:
2. Veri�que que los siguientes grafos son planares:
3. Encuentre y coloree los cliques que se encuentran en el siguiente grafo:
92 APÉNDICE A. PLANEACIONES
A.3. Tercera sesión
Planeación tercera sesión
Un grafo H = (V ′, E ′) es un subgrafo de G = (V,E) si V ′ ⊆ V y E ′ ⊆ E.
Ejemplo:
Figura A.5: El grafo H (verde) es un subgrafo de G.
Un clique en un grafo G es un conjunto de vértices mutuamente adyacentes. Un clique
es maximal si no existe otro clique que lo contiene propiamente. Un clique es máximo si
no existe un clique maximal de orden mayor. Denotamos por ω(G) al orden de un clique
máximo.
Ejemplo:
Introducción a la coloración de grafos.
Sea G un grafo y sea S = {a, b, c, . . .} un conjunto. A los elementos de S nos referimos como
colores. Una coloración propia de G con los colores de S consistirá en asignar a cada vértice
A.3. TERCERA SESIÓN 93
de G un elemento de S, es decir, un color, de manera que los extremos de cada arista reciban
colores distintos. Formalmente, una coloración propia de G con colores de S es una función
ϕ : V (G)→ S de forma que ϕ(v) 6= ϕ(w) si vw ∈ E(G). El valor ϕ(v) es el color que recibe
el vértice v en la coloración.
Ejemplo:
Sea S = {rojo, azul, verde} un conjunto de colores. Los siguientes ejemplos muestran una
coloración propia (izquierda) y una coloración impropia (derecha).
Una k-coloración es una coloración propia de G con k colores. Un grafo es k-coloreable
si existe una k-coloración propia. Usualmente, el conjunto S de colores es de la forma
{1, 2, . . . , k}. Por otro lado, una k-coloración también puede ser vista como una partición
{V1, V2, . . . , Vk} de V , donde Vi representa al conjunto de vértices asignados al color i. Los
conjuntos Vi son llamados las clases cromáticas de la coloración.
Ejercicio:
Realiza una coloración propia del siguiente grafo:
94 APÉNDICE A. PLANEACIONES
Hoja de actividades
1. Encuentre 5 subgrafos de cada uno de los siguientes grafos:
2. Coloree de color rojo los clique maximales y de color azul los clique máximos en cada
uno de los siguientes grafos:
A.4. CUARTA SESIÓN 95
A.4. Cuarta sesión
Planeación cuarta sesión
Se deberá resolver el siguiente problema como repaso de la clase anterior:
Discusión en clase: asignación de horarios
El tercer semestre de la licenciatura en biología consta de nueve asignaturas, A1, . . . , A9.
El grupo uno cursa las asignaturas A1 y A2, el grupo dos las A3 y A4, el grupo tres las A5
y A6, y por ultimo el grupo cuatro las A7 y A8. Se sabe que todo alumno que se inscriba
en alguna de las asignaturas A1, . . . , A8 debe cursar, obligatoriamente, A9. Debemos diseñar
un horario, utilizando el menor número de horas posible, permitiendo que todos los grupos
puedan asistir a las clases inscritas.
El número mínimo k para el cual un grafo G es k-coloreable es llamado número cromá-
tico y es denotado por χ(G). Si χ(G) = k se dice que el grafo G es k-cromático.
Hemos de mencionar que para el grafo completo Kn su número cromático es χ(Kn) = n,
ya que cada vértice necesita un color distinto por que todos los vértices son mutuamente
adyacentes.
Una estrategia para encontrar una coloración propia toma en cuenta los siguientes tres
aspectos importantes.
1. Empezar la coloración con los vértices de mayor grado.
2. Los vértices con los mismos vecinos deben colorearse del mismo color.
3. Colorear la mayor cantidad de vértices con un solo color.
Ejercicio:
Encuentre χ(G) del siguiente grafo:
96 APÉNDICE A. PLANEACIONES
Para todo grafo G, χ(G) ≤ |V (G)|, ya que podemos colorear con |V (G)| colores,
asignando a cada vértice un color distinto. Esta coloración no es la que tiene la menor cantidad
de colores para una coloración propia (excepto para Kn), ya que todo grafo G distinto de
Kn, puede ser coloreado con |V (G)| − 1 colores.
Si el grafo G contiene al menos una arista, se necesitarán mínimo de 2 colores para
colorearlo, es decir, si |E(G)| ≥ 1, entonces χ(G) ≥ 2.
A.4. CUARTA SESIÓN 97
Hoja de actividad
1. ¾Cuáles de las siguientes coloraciones son una coloración propia?
2. Encuentre al menos con cuántos colores se puede colorear cada uno de los siguientes
grafos.
3. El siguiente mapa representa a distintos países que conforman un cierto continente
Queremos colorear el mapa asignando un color de manera que regiones que compartan
frontera no lleven el mismo color. Si traducimos la información anterior, diremos que
los vértices serán cada una de las regiones del mapa y entre dos vértices habrá una
arista si tienen frontera en común. Dé una coloración propia para el mapa.
98 APÉNDICE A. PLANEACIONES
A.5. Quinta sesión
Planeación quinta sesión
Un clique en un grafo G es un conjunto de vértices mutuamente adyacentes. Un clique
es maximal si no existe otro clique que lo contiene propiamente. Un clique es máximo si
no existe un clique maximal de orden mayor. Denotamos por ω(G) al orden de un clique
máximo.
Al querer realizar una coloración de un grafo G con una gran cantidad de vértices y
aristas, serán ocupados al menos tantos colores como el orden de un clique maximal.
Ejemplo:
En el grafo G podemos encontrar un clique máximo de tamaño cinco, es decir, ω(G) = 5.
Luego, sabemos que necesitamos cinco colores para el clique máximo, entonces podemos
asegurar que χ(G) ≥ 5.
A.5. QUINTA SESIÓN 99
Hoja de actividad
1. Resuelve lo siguiente: Una compañía desea almacenar 6 tipos de productos químicos,
algunos de los cuales reaccionan entre sí, pudiendo causar una explosión si entran en
contacto. P1 reacciona con P2, P4 y P6; P2 reacciona con P6; P3 reacciona con P4 y P5;
P4 reacciona con P5; y P5 reacciona con P6.
Como medida de precaución la compañía desea dividir el almacén en compartimientos y
guardar los productos incompatibles en compartimientos distintos. ¾Cuál es el mínimo
número de compartimientos necesarios?
2. Coloree los siguientes grafos partiendo de un clique máximo en él.
100 APÉNDICE A. PLANEACIONES
Apéndice B
Situación didáctica aplicada a grupo de
control
Título: ¾Cuántas frecuencias distintas son necesarias para evitar la interferencia entre
estaciones de radio?
1. Una ciudad cuenta con diversas estaciones de radio, se sabe que dos estaciones in-
ter�eren entre sí si se encuentran ubicadas a menos de 15 km de distancia. En el
siguiente mapa se muestra la ciudad con cada una de las estaciones de radio etique-
tadas de A,B,C, . . . , L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual
se solicita calcular las distancias faltantes en la tabla y encontrar al menos cuántas
frecuencias son necesarios para evitar interferencias entre las estaciones de radio en la
ciudad. Para ello debes tomar en cuenta que V = {A,B,C, . . . , L} y E = {u, v ∈ V :
u esta ubicada a menos de 15 km de distancia de v}.
101
102 APÉNDICE B. SITUACIÓN DIDÁCTICA APLICADA A GRUPO DE CONTROL
Figura B.1: Ubicación de las estaciones de radio en la ciudad
Cuadro B.1: Distancias entre cada una de las estaciones en la ciudad.
b) ¾Cuántas frecuencias fueron necesarias para evitar interferencias entre estaciones de
radio en la ciudad?
c) ¾Qué método has usado para encontrar la solución?
d) ¾Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema?,
¾cuál?
Apéndice C
Solución situación didáctica aplicada al
grupo experimental
103
106 APÉNDICE C. SOLUCIÓN SITUACIÓN DIDÁCTICA
Apéndice D
Evidencias
D.1. Hojas de actividades del grupo experimental.
107
Hoja de actividad
· l. Resuelve lo siguiente: Una compañía. desea almacenar 6 tipos de productos quí micos, algunos de los cuales reaccionan entre si, pudiendo causar una explosión si entran en contacto, Pi reacciona con P2, P4 y P6; P2 reacciona con P6; P3 reacciona con P. y P6; P• reacciona con P&; y Ps reacciona con Pe.
Como medida de precaución la compañía desea dividir el almacén en compartimien tos y guardar los productos incompatibles en compartimientos distintos. ¿Cuál es el mínimo número de compartimientos necesarios?
P, i>t
t. ~ ~w~t~'tl"l"e:\\\ob.
\'a
2. Coloree los siguientes grafos partiendo de un clique máximo en él.
~te,.\-=-~ "((<,. )::: >; t
~{Í 1 ) l o
1 o -z) 3 o ~)
i.t) <>º ~
1,5
Hoja de actividad
l. iCuáles de las siguientes coloraciones son una. coloración propia?
~ ~ ~ ~ =+-e opl:> -r""¡,<<lflu -::r-~f'C0'1"1U
2. Encuentre al menos con cuántos colores se puede colorear cada uno de los siguientes grafos.
3. El siguiente mapa representa a distintos países que conforman un cierto contienente. Queremos colorear el mapa asignando un color de manera que regiones que compar tan frontera no lleven el mismo color. Si traducimos la información anterior, diremos que los vértices serán cada una de las regiones del mapa y entre dos vértices habrá una arista si tienen frontera en común. Dé una coloración propia para el mapa.
r. ,r, , t . ' '
\) 'l..
1-) /' e)
s a.o '-') 2,., o . -- . .¡ ,o_
13
l. Encuentre 5 subgrafos de cada uno de los siguientes grafos:
2. Coloree de color rojo los dique maximales y de color azul los clique máximos en cada uno de los siguientes grafos:
noJa ue acvrvroaues
l. Decida cuáles de los siguientes grafos son bipartitos y en su caso, determine la bi partición de los vértices:
ft, ~.~kio; f~ ~ftt& fa 6.11\0 f<¡
~(( 1) 2- l..) l., ~} ~
~ l ~ - - ()
lp.
q l'I '• , .• ,,
.., z '':!
ªT'><!><'t b·~ g
3. Encuentre y coloree los cliques que se encuentran en el siguiente grafo:
e) b {
8
rc.d 1
1) Í
'<) ,. b 3).9-.0 u,) \,t,,
rroja ae actrvman
l. Construya los siguientes grafos con las características que se indican:
a) Grafo de cinco vértices que tengan los siguientes grados 1, 2, 2, 1, 4. vt,
b) Grafo de cuatro vértices que tengan los siguientes grados 3, 3, 2, 2.
e) Grafo de seis vértices que tengan los siguientes grados 4, 2, 2, 2, 4, 2.
~: ~~ ~~ --· v,
/ -.........-tj'f 2. ¿ Cuántas aristas tiene cada grafo si sus vértices tienen los siguientes grados?
a) 4, 3, 3, 2, 2.
b) 1, 3, 3, 3, 2, 2, o.
e) 4, 4, 4, 4, 3.
4
4. Del grafo anterior, ¿cuál es el grado de N(v~), N(v3) y N(vr,)?
ulvi\ :: "1 !Jl~~)-:. !S Nl \Is)"- i
5
114 APÉNDICE D. EVIDENCIAS
D.2. Situación didáctica del grupo experimental.
Aquí se presentan las soluciones de tres alumnos del grupo experimental, que recibió el
curso de Teoría de Grafos. Se tomó uno con la cali�cación más alta; uno, intermedio y uno,
con la cali�cación más baja.
..1. . ,:,11,uac1vu v1·vu1ta11a
Título: ¿.Cuáma,s frecuencias distintas son necesarias para evitar la intorfereucla entre cs1,.-1cio11ei:; de radio'?
l. Una ciudad cuenta con diversas estaciones de radio, se sabe que dos estaciones íuterflereu entre sí si se encuentran ubicadas a memos de 20 km de distancia. En el siguiente mapa se muestra la ciudad con cada una de las estaciones de radio etiquetadas de A. 8, C .... , L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias faltantes e11 la tabla y encontrar al menos cuántas frecuencias son necesarios para evitar interferencias entre las estaciones de rad¡o en la ciudad. rara ello debes tomar un cuenta que V = {A. B, C,,,, . L} y F.= {'u,,,, E V: 1, estn ·ubicado, a menos <le 20 km de distancia de v}.
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Figura 1: L;bicación de las estaciones de radio en la ciudad
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Figura 2: Tablu de disrancías (lntrt> cada una de las esracíonos on 1a ciudad.
1
n) ¡,Cuál es el grafo asoclado al problema auterlor", dibújalo en el plano.
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h) ;.Cuánt.as frecuencias fueron necesarias para. cvitru· íneeríerencías entre estaciones de radio en la ciudad?
r) ¡,Qué metodo has usado para encorurar la solución?
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el) ¿Piensa usted que puede haber 01,1-0 tipo de solurlén para resolver este problema", /,fuill? N, no .¡,,, efect,.,., a,,-no 111 cok.,,.
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2
l. Situación problema Título: ;,Cuántas frecuencias distintas son necesarías para evitar la interferencia. entro
estaciones de radio?
1. Una ciudad cuenta con diversas estacíones de radio, se sabe que dos estaciones incerfieren entre si si se cncuenerun ubicadas a menos de 20 km de distancia. En el siguiente mapa se muestra la ciudad con cada una. de las estaciones de radio etiquetadas de A, B, C, ... , L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias faltantes en la tabla y encontrar al menos cuántas frecuencias son necesarios para evitar interferencias entre las estaciones de radio en la ciudad. Para ello debes tomar en cuenta que V = { A, lJ, C, · , , , L) y B = { 11 .. v E V : 11 esta 1¡bica<lo. a me-1t<Js <le 20 km de distancia de v).
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' Figura 2: Tabla de discancias entre cada una_de las estaciones en la ciudad.
;¡) ¡,Cuál es el grafo asoc iado al problema anterior", dibujalo en el plano,
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b) ¿,Cuántas frecuenclas fueron neces;trlas para evitar íntarferenclas entre estadones de rndio en la ciudad?
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e) ;,Qué metodo has usado para encontrar la solución?
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d) ¡,PiensfL usted <¡uP- puedo haber otro t.ipo de solución para resolver este problema", ¿,cuál?
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l. Situación problema --· · ~\~ (\~ 11\'-\ e/ Título: i, Cuáot.f\.'S f1 ecueucias distintas sou necesarias paro. evitar la. interferen~ entre
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l. Una ciudad cuenta con diversas estaciones de radio, se sabe que dos estaciones interfieren entre sf 8i se eucuencraa ubicadas a menos de 20 km de distancia. En el siguiente mapa se muestra la ciudad coa cada una de las estaciones de radio etiquetadas de A, B, C, ...• L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias faltantes en la tabla y enentra,- al menos cuántas frecuencias son necesarios p:).r;t evitar interferencias entre las estaciones de radio en la ciudad. rara ello debes tomar en cuenta que V= {A,B,c, ... ,L) y E= {11, v E V:" eeta ttbiaid,; <• me,w• de 20 km de distancia de 11).
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Figura 1: Ubicadón de tas esracíones de radio en la ciudad
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;,) i. Cuál es el grafo asociado al problema anterior?, dibújalo en el plano.
b) ;,Cuántas frecuencias fueron necesarias pata evitar interferencias entre estaciones de radio en la ciudad?
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e) ¡,Qué metodo has usado para encontrar la. solución? 'jo co,,-$,~~co 'i.-!. '10, Pe,.- b\ u~a.r' Col.oc•~ ~ P-e. .. ~ \ c. Utf" ~ ~o ... Ó(t
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d) ;,Piensa usted que puede haber otro tipo do solución para resolver este problema", ¿rutH?
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2
D.3. SITUACIÓN DIDÁCTICA DEL GRUPO DE CONTROL. 121
D.3. Situación didáctica del grupo de control.
Aquí se presentan las soluciones de tres alumnos del grupo de control. Se tomó uno con
la cali�cación más alta; uno, intermedio y uno, con la cali�cación más baja.
l. Situación problema Titulo: ¿Cuántas frecuencias distintas son necesarias para evitar la interferencia entre
<"Stncioues de radio?
i) ~ o , ) f. o l) t, 5 ti) J.'-l S) 1 4
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l. Una ciudad cuenta con diversas estactones de radio, se We que dos estaciones interfieren entre :sf si se encuentran ubicadas a menos · de .W km de distancía, En el siguiente mapa. se mm,Rtra. la dudad con cada una de las estaciones de radio etlquetadas de A.JJ,C .... , L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias faltantes en la tabla y encontrar al menos cuántas frecuencias son necesarios para evitar interferencias entre las estaciones de radio cu la ciudad. Para ello debas tomar en cuenta que \/ = {A, lJ, C.··· , L} y E= (11. v E V:" esto. ttlricada "met1os de 20 k~n de distancia, de v}.
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Figura 2: Tabla de distancias entre cada una .de las estaciones en la ciudad.
a) ¿Cuántas frecuencias fueron necesarias para evitar interferencias entre estaciones de radio en la ciudad?
5e Y\tCt~lft...-, .,¡;/ 1>\f"O~ 5,.:._ tit(.Vt"C.V\l cl,i,,t ... h) f"''~' Cvlh.t /1, ;,, ~¿¡,·~~,,~e.ji. L,-l tJ¡"<\Ct-fj { e, -t, L 1 1 ¡ kJ pveJ,n .lc.~r l .. I\\JÍ'lh
hftwj,tlt, Sir- r~ .. l.1<1-v-} '1 ~ 'f"' )¡.~ oh~I .... , .. , e .. li,e el[,.¡ e, N¡IJ' ¿,, P'j .(...
b) ¿Qué método has usado para encontrar la solución?
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.Se,.~, .... ,~ ci» :e ~vd~ ele}c,.¡,l"VII t--#1- el "~"""' '4:- (;i,.,,w,/A~
c[de, ,,._hJ rp.rr, Í'\tJ k""' 1 ,_.J.,• k, 1~ ¿1.:1
e) ¿Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema", ¿cuál?
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l. Situación problema Trt.ulo: ;~Cuántas frecuencias distintas son necesarias para evitar 1a interferencia entre
f'lsta.cioncs de radio? el
l. Una ciudad cuenta con diversas estaciones de radío, se sabe que dos estaciones interfieren entre sí si ~e encuentran ubicadas a. menos de 19 km de distancia. En el siguiente mapa se muestra la ciudad con cada una. de lru; estaciones de radio etiquetadas de A, 8, C,, .. , L. Algunas dlstancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias faltautes en la. tabla y encontrar al menos cuántas frecuencias son necesarios para evitar interferencias entre las estaciones de radío en la. ciudad. Para. ello debes tomar en cuenta que V = {A, n, C,. · . , L} y F; = { u, v E V : 11, e.sta ubicada a """'º·' <le i9 km de distancia de v}.
Figura. 1: Ubicación de IM estaciones de radio en la ciudad
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' Figura 2: 'Iahla de distancias ent.re cada una _de las estaciones en la ciudad.
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a) ¿Cuántas frecuencias fueron necesarias para evitar interferencias entre estaciones de radio en la ciudad?
b) ¿Qué método has usado para encontrar la solución?
~,cfo ;T<-< /4 /.:c,._.,._c¡, /_,_C, lnc-.,¡:vJ«~ J.... c/,r/c~c«~ /,,,et~, "'J7=/4s 7t-- o;{~ -e., <Y 'º7} °' ove »c « 13-,,,__ p.;.,*t,,.,.,>,r·,o.. &« j>''-C c<,1 /.-.ccC.,...s S< vb.1ce- ('~ /cvc..tc:c.>
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e) ¿Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema?, ¿cuál?
(,,, fº l 1-.c.«'-' nf/!t:°C:,,;",<,k:•.S / Cl< c/1,;- c4. fe,-,_,... tr-V:.r r''" _j:,__, e/.,& lncu:..J c./4. f.s ./-o,r4!) t7........,,$ar,c;~J 1(,(.., ¡.Jt>l7\(;.(~ e1r1,-{-(!
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l. Situación problema Título: ;.Cuántas frecuencíns distintas son necesarias para evitar la interferencia. entre
estaciones de radio?
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E ,(._'l,q) f ( l'I, l<o) G (~ :z s) 1-1 l 2..J, '2../ ) .! (22., 'o) J ( '2 s, to) fC (&2, 2<¡)
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l. Una dudad cuenta con diversas estaciones de radío, se sabe que dos estaciones interfieren entre sí si se encuentran ubicadas a menos de --98- km de distancia. En <"i siguiente mapa se muestra la ciudad con e.acta una de ~k estaciones de radto etiquetadas de A. B, C, ... , L. Algunas distancias entre ellas son desconocidas por lo cual se solicita calcular las distancias Ialtantes en la tabla y encontrar al mP.n05 r.:uántas frecuencias son necesarios para. evitar interferencias entre las estaciones de radio en la ciudad. Para ello debes tomar en cuenta que V = {A, B, C, , .. , L} y E = r "· 1/ E V : fl. esta ubirado a. r>WIIOS ,te~ km <fe distanci.a de V).
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í)<,\ = J \:Z.',·:20) c.• \11·3S)':2,<.l.Sl • s ~ s.~<, Figura 2: Tabla de distancias ent.re cada una de IM estaciones en la ciudad.
a) ¿Cuántas frecuencias fueron necesarias para evitar interferencias entre estaciones de radio en la ciudad?
b) ¿Qué método has usado para encontrar la solución?
(J)C\ 1-e-e, -ti l}obl~VV'Q ':\ soto.v-Ao \c:.I.', OIS1<-tV\..uel,.i t"-1''°' ~ Y'V\D, €11\ (._\.l ~--'''· ,q_ ,-c,<;\C\,~
el ¿Piensa usted que puede haber otro tipo de solución para resolver este problema", ¿cuál?
128 APÉNDICE D. EVIDENCIAS
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