6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS

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6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS

6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS.................207

6.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................208 6.2 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS VOLTAJES Y LAS CORRIENTES COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO. ..............209

6.2.1 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO:......209 6.2.2 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN PUNTO: ...............210 6.2.3 PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA:...........212

6.3 REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS........................215 6.4 FUNCIONES SINGULARES. .............................................215

6.4.1 FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO................................215 6.4.2 FUNCIÓN PASO Ó ESCALÓN UNITARIO ...............217 6.4.3 FUNCIÓN RAMPA UNITARIA...................................218

6.5 FUNCIONES SINGULARES DESPLAZADAS. ................221 6.6 EMPLEO DE LAS FUNCIONES SINGULARES...............223

6.6.1 CAMBIOS EN LOS CIRCUITOS.................................223 6.6.2 REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES PERIÓDICAS MEDIANTE FUNCIONES SINGULARES.......226

6.6.2.1 FUNCIÓN DE ONDA CUADRADA.....................227 6.6.2.2 FUNCIÓN DIENTE DE SIERRA...........................227

6.6.3 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ARBITRARIAS O PORCIONES DE ELLAS .......................................................230

6.6.3.1 REPRESENTACIONES MEDIANTE FUNCIONES PASO 231 6.6.3.2 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ARBITRARIA, O UNA PORCIÓN DE ELLA, MEDIANTE UN TREN DE FUNCIONES IMPULSO .......................................232 6.6.3.3 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL......................................................................234 6.6.3.4 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN SENO Y LA FUNCIÓN COSENO.........................................................235

6.6.4 PROPIEDADES DE LA FUNCION IMPULSO. ..........236

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6.1 INTRODUCCIÓN. En los capítulos precedentes tratamos de estudiar los circuitos en la forma más general posible, enfoque peligrosísimo porque puede dejarnos por las nubes, sin que nuestra mente encuentre asideros intuitivos. Los problemas y ejemplos trataron de subsanar ese peligro y sus consecuencias, por lo que esperamos que estén ya resueltos concienzudamente. Sin embargo, es posible que se haya caído en cuenta que esos ejemplos y problemas se plantearon con voltajes y corrientes muy sencillos en su forma de onda (comportamiento en el tiempo); incluso, la mayoría de las fuentes de voltaje y de corrientes eran constantes, invariables en el tiempo. Además, muchos de los circuitos tratados eran sólo resistivos. Muchísimos libros de circuitos explícitamente usan solamente las fuentes constantes y los circuitos resistivos para tratar las relaciones y los teoremas generales que hemos venido estudiando; pero nosotros no lo hicimos así, porque consideramos que este enfoque limita la capacidad de abstracción del estudiante. Optamos por un camino intermedio: la presentación abstracta y su ilustración con ejemplos sencillos y fáciles de entender. Pero llegó el momento de considerar con más detalle los “verdaderos” voltajes y las “verdaderas” corrientes que se presentan en los circuitos. Como estas funciones de tiempo son de una variedad infinita, es lógico que se haya encarado el problema de resolverlas en combinaciones de funciones sencillas y simples. El análisis de Fourier y la convolución son los logros exitosos de ese intento. No nos extrañemos, pues, de que empecemos a estudiar las funciones del tiempo más elementales posibles; con ellas formaremos, más tarde, cualquier función físicamente realizable.

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6.2 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS VOLTAJES Y LAS CORRIENTES COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO.

Ya dijimos que intentaremos representar “cualquier función físicamente realizable”. Esos términos nos quieren decir que las funciones con que trabajaremos tratan de describir procesos que se dan realmente en la naturaleza. Las características de estas funciones deben ser continuas. A veces se sostiene que en mecánica cuántica se dan “saltos bruscos”, como los de un electrón al emitir un fotón y cambiar de orbital, pero en general estos asertos se apoyan en argumentaciones filosóficas tan débiles que no son para tenerlas seriamente en cuenta. Tendremos, entonces, como postulado fundamental que nuestras funciones, como todos los procesos de la naturaleza, son continuas. Pero resulta que las derivadas de estas funciones también pueden representar procesos de la naturaleza, y lo mismo, las derivadas de estas derivadas,... admitiremos por lo tanto, para que se cumpla el postulado, que todas las derivadas serán continuas. Veamos como nos ingeniamos para hacer cumplir el postulado antedicho cuando se presenten circunstancias que aparentemente lo violan.

6.2.1 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO: En matemáticas hay funciones que “no existen” en algún intervalo dado (Figura 6.2.1). En nuestro caso no podemos decir que la función “no existe”, pues eso se interpretaría como si el voltaje ó la corriente “no existieran” en ese intervalo, o sea, que serían cero en ese intervalo. Debemos decir, mejor, que la función es “indeterminada”, o sea que “existe” (línea punteada en la figura 6.2.1), pero no tenemos medios matemáticos ni físicos para determinar los valores de esa función en ese intervalo.

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Figura 6.2.1 Función no definida en un intervalo.

6.2.2 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN PUNTO: Este caso resulta inadmisible en circuitos cuando el límite de la función en el entorno de ese mismo punto no tiende al mismo valor (Figura 6.2.2.1.a).

Figura 6.2.2.1 Función no definida en un punto.

En circuitos simplemente desaparece la indeterminación cuando el límite tiende al mismo valor. En cambio, cuando el límite de la función en el entorno del punto tiende a valores diferentes (Figura 6.2.2.1.b), resolvemos la indeterminación colocando una rampa que una los límites de la función en ese punto (Figura 6.2.2.2).

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Esa rampa se supone que gira como una barra material, alrededor del punto de indeterminación, de modo que sus extremos se acerquen a los valores límites de la función, las “flechitas” en el dibujo intentan representar esa tendencia. En los cuatro dibujos de la figura 6.2.2.3, ilustramos las posibilidades que se dan.


O sea que consideraremos que en el punto de ruptura la función debe tener un valor:

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DERECHALAPOR

IZQUIERDALAPOR

DERECHALAPOR

IZQUIERDALAPOR

tt

dfiguratftfLimite

tt

cfigurahtftfLimite

tt

bfigurahtftfLimite

tt

afiguratftfLimite

0

0

0

0

0

0

0

0

).3.2.2.6()()(

).3.2.2.6()()(

).3.2.2.6()()(

).3.2.2.6()()(

→=

→−=

→+=

→=

Para evitar los engorrosos términos “por la izquierda” ó “por la derecha”, utilizaremos las equivalencias:

Limite Lim

t t t t

Limite Lim

t t t t

POR LA IZQUIERDA

POR LA DERECHA

=

→ →

=

→ →

−

+

0 0

0 0

En estos últimos casos supondremos la rampa como oscilando en el punto donde la función está definida (en ese punto colocamos un circulito y no una flecha).

6.2.3 PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA: Ver figura 6.2.3.1.

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Figura 6.2.3.1 Puntos de ruptura en una derivada.

En el casos mostrado en la figura 6.2.3.1, la función es continua pero su derivada no. Como debemos hacer la derivada continua vamos a suponer que el cambio en la pendiente de la función es suave y paulatino, y no brusco e instantáneo.

Figura 6.2.3.2 Puntos de ruptura en una derivada

Nos imaginaremos, entonces, una “ampliación” de la región que contiene el punto de discontinuidad en la derivada, y asumiremos que el cambio de pendiente ocurre suavemente. Así que en definitiva, podemos colocar una rampa, como la

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definida inmediatamente arriba, en la función de la derivada (Figura 6.2.3.2). Es de anotar que los puntos inicial y final de una rampa son, ellos mismos, punto de ruptura para la derivada; puntos que debemos tratar exactamente como los demás puntos de esa naturaleza. Si derivamos otra vez, para obtener la segunda derivada, obtenemos una función como la mostrada en la figura 6.2.3.3.

Figura 6.2.3.3 Puntos de ruptura en una derivada

La función resultante es trapezoidal, y el área entre el eje t y la función es:

δδ

δδ

22hh

Área×+′=

Área que, en el límite cuando δ y δ´ tienden a cero, da h. O sea que escogemos la figura cuidadosamente para lograr que el área sea igual a la discontinuidad, al valor del “salto” de la función derivada. Hacemos esto para cumplir con el requisito de la integral. En efecto, si derivamos la

función: f tdf t

dt′ =( )

( ) obtenemos la función f t

d f tdt

′ ′ =( )( )2

2 ;

integrando f´´(t) debemos obtener la función f´(t) ; y al integrar lo que calculemos es el área bajo la función . Esa área debe igualar a la discontinuidad h.

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6.3 REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS. Es obvio que la representación de las funciones incluyendo las rampas resulta muy laboriosa, de modo que suprimiremos la representación de las rampas usualmente, dejando sólo una línea vertical con la flechitas o los puntos, de acuerdo a si la función está definida por la derecha (t +), por la izquierda (t -), o no está definida en el punto de ruptura (Figura 6.3.1)

Figura 6.3.1 Representaciones simplificadas.

6.4 FUNCIONES SINGULARES. Con las ideas y reglas establecidas en los numerales anteriores, podemos empezar a definir una serie de funciones muy sencillas (por eso se llaman singulares), que nos servirán posteriormente para representar todas las otras funciones físicamente realizables. Veamos esas funciones:

6.4.1 FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO

Su símbolo es uo(t), o uimpulso(t), y aceptaremos también la

forma abreviada ui(t), y su gráfica exacta se muestra en la figura 6.4.1.1, con la condición de hacer δ tan pequeño como sea posible ó tan pequeño como lo requiera el sistema físico estudiado.

216

Figura 6.4.1.1 Función impulso unitario.

Tratemos de mostrar la evolución de esta función cuando δ decrece en la figura 6.4.1.2. La función aumenta en “altura” y disminuye en “base”.

Figura 6.4.1.2 Evolución de la función impulso unitario.

Lo más importante es caer en cuenta que el área se mantiene constante:

Area = × =δδ1

1

Al final se acepta que la función se puede representar por una sola flecha que señale ∞ y el valor del área constante entre paréntesis, como se aprecia en la figura 6.4.1.3.

217

Figura 6.4.13 Función impulso unitario.

6.4.2 FUNCIÓN PASO Ó ESCALÓN UNITARIO Esta función es la integral oficial de la función impulso. Como en matemáticas es usual ir contando en orden creciente las derivadas: Las integrales se cuentan en orden inverso:

uo (t),u-1 (t),u-2 (t)... De modo que el nombre ó símbolo escogido para designar esta función es u-1 (t), donde el -1 indica precisamente el integral de la función impulso. Pero aceptaremos la denominación

upaso (t), o su forma abreviada up (t). Si hacemos cuidadosamente la integral de la función impulso con todas sus rampas incluidas, encontraremos una función como la ilustrada en la figura 6.4.2.1.

Figura 6.4.2.1 Función paso o escalón unitario.

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Se observa que las rampas, al integrarlas, producen un cambio suave entre las partes rectas de la nueva función. Cuando hacemos que δ´ tienda a cero, obtenemos una gráfica aproximada, donde el paso de cero a uno es una rampa, ver figura 6.4.2.2. Las zonas cerradas de la gráfica 6.4.2.1 aparecen ahora como puntos donde el cambio de pendiente es brusco; pero esto es sólo aparente, como vimos anteriormente.


Por último, cuando hacemos que δ tienda a cero, la función paso se convierte en la mostrada en la figura 6.4.2.3. La definición analítica para esta aproximación será:


��

≥<

=− 0100

)(1 t

ttu

6.4.3 FUNCIÓN RAMPA UNITARIA Se obtiene integrando la función paso unitaria:

u t u t dtt

− −−∞

= �2 1( ) ( )

219

Para t < 0- ∴ = =−−∞

−

�u t dt2

0

0 0( )

Para t > 0+ ∴ = =−+�u t dt tt

20

1( )

Figura 6.4.3.1 Función rampa unitaria.

La integral de la función entre 0- y 0+, daría el área bajo el

triángulo: 1

1δ

× , que se hace cero cuando δ tiende a cero, por

lo que no se incluye en la función total. En la figura 6.4.3.2 se muestra la gráfica de la función rampa unitaria. Su definición analítica sería:

��

≥<

=− 000

)(2 tt

ttu

Figura 6.4.3.2 Función rampa unitaria.

Si continuamos integrando, obtenemos otras funciones tipo parábola, cúbica, etc. Anotemos que la simple integral da como resultado estas funciones multiplicadas por un coeficiente, en efecto:

220

u t u t dt tdtt

u t u t dtt t

u t u t dtt

n

t t

t t

n n

n

− −−∞

− −−∞

− − −

−

= = =

= = =

= =−

� �

� �

�

3 2

2

0

4 3

2

0

3

1

1

2

2 3 2

1

( ) ( )

( ) ( )*

( ) ( )( )!( )

Ahora que estas últimas funciones se llamen “unitarias” es algo extraño. Por eso explicaremos que se consideran “unitarias” las funciones que se pueden deducir por integración ó por diferenciación de una función unitaria tal como el impulso unitario. Precisamente, veamos que función resulta al diferenciar la función impulso. Como se puede observar en la figura 6.4.3.3, se obtienen dos impulsos, uno positivo y otro negativo.

221

Figura 6.4.3.3 Derivada de la función rampa unitaria.

Pero este “doblete” de impulsos tiene la característica de que el valor y el área encerrada en ellos tiende a infinito cuando δ tienda a cero. Esta extraña función es de muy dudosa existencia física, y su presentación en un circuito merecerá un análisis detenido para lograr su interpretación verdadera. Con ella terminamos el recuento de estas funciones singulares.

6.5 FUNCIONES SINGULARES DESPLAZADAS. Evidentemente el t = 0 es puramente convencional; podemos empezar a medir el tiempo en cualquier instante. Entonces no es necesario que las funciones singulares se presenten en t

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= 0; pueden presentarse en cualquier tiempo. Estas funciones singulares las llamamos “funciones desplazadas” cuando no ocurren en t = 0, y sus gráficas y símbolos las mostraremos en la figura 6.5.1.

Figura 6.5.1 Funciones singulares desplazadas.

Aunque parece obvio, es bueno saber como determinar sin incertidumbres donde empieza una función singular. Para ello tomaremos el “argumento” (el valor entre paréntesis: un (argumento)), y lo igualamos a cero, despejando luego el valor de t. Ese valor de t es en el que ocurre, ó principia, la función singular. Ejemplos:

u t umento t t to ( ) arg+ → = + → + = ∴ = −5 5 5 0 5 Esta función impulso se presenta en t = -5, tal como se ilustra en la figura 6.5.2.


u t umento t t t− − → = − → − = ∴ =1 10 10 10 0 10( ) arg

223

Esta función paso se presenta en t =10, tal como se ve en la figura 6.5.3.


6.6 EMPLEO DE LAS FUNCIONES SINGULARES. Como fue posible observar, en las funciones singulares el valor es cero desde t = −∞ hasta un to dado; esta característica nos permite simular cambios en las condiciones de los circuitos, cambios ocurridos precisamente en ese to dado. Ahora, los cambios en los circuitos se deben a la cerrada ó apertura de una rama (voluntaria con un interruptor, involuntaria con un cortocircuito ó apertura de una rama accidental), ó el cambio en una fuente ó impedancia mediante un control, para restringir tantas posibilidades y dejar a materias como control y circuitos electrónicos el tema de los circuitos controlados, aquí sólo nos ocuparemos de cambios que se puedan describir con interruptores, fuentes controladas y, sólo muy ocasionalmente, impedancias controladas. Otra posible utilización de funciones singulares es la representación aproximada de otras funciones más complejas. Veamos esos usos de las funciones singulares.

6.6.1 CAMBIOS EN LOS CIRCUITOS. En la figura 6.6.1.1 se muestra un circuito elemental con un interruptor que se cierra en t = a. Sabemos que si el

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interruptor está abierto, i = 0, y que cuando se cierra iER

= .

¿Pero sí cambia la corriente instantáneamente de 0 a ER

?

No, la naturaleza no permite esos cambios bruscos; lo seguro es que el circuito contiene algunas pequeñas inductancias que retardan el cambio de la corriente (como se verá mejor más adelante) y hacen suave la transición de su valor entre 0

y ER

. Pero como esta transición es tan rápida, la podemos

asumir instantáneamente en este caso y representarla por la función paso (Figura 6.6.1.2). El circuito puede representarse, entonces, como se muestra en la figura 6.6.1.3, en la cual se ha reemplazado la fuente y el interruptor por una fuente de voltaje escalón. Es muy importante tener una imagen “física” ó “práctica” de las cosas que se presenta en los circuitos eléctricos, por lo tanto, obsérvese como se logra en la práctica una fuente de voltaje escalón, utilizando una fuente de voltaje constante (una batería, por ejemplo) y un interruptor.

Figura 6.6.1.1 Cambios en los circuitos (cierre de un interruptor).

Figura 6.6.1.2 Cambios en los circuitos (función que representa el fenómeno).

225

Figura 6.6.1.3 Cambios en los circuitos (función paso que representa el fenómeno).

Para una fuente de corriente el problema de aplicarla súbitamente se complica un poco, por la restricción de que siempre debe estar en un circuito cerrado. Se resuelve el problema también con un interruptor (Figura 6.6.1.4). La corriente “casi” instantáneamente pasa a circular por la resistencia. En la realidad, al abrir el interruptor toda fuente de corriente real, física, práctica, cambia su corriente de modo que la transición de corriente en la resistencia es gradual. Pero en circuitos “idealizaremos” la situación, representando la fuente de corriente por una función paso, como se ilustra también en la figura 6.6.1.5.

Figura 6.6.1.4 Cambios en los circuitos (apertura de un interruptor).

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Figura 6.6.1.5 Cambios en los circuitos (función paso que representa el fenómeno).

Pero también es posible utilizar las funciones singulares para representar procesos exactamente contrarios a los anteriores, como sería el caso de abrir un circuito después de estar un tiempo muy largo (teóricamente, sólo teóricamente, infinito). Esto se ilustra en la figura 6.6.1.6. Obsérvese que sólo basta usar la función: [ ])(1 *1 atuE −− − , para simular el proceso.

Figura 6.6.1.6 Cambios en los circuitos.

6.6.2 REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES PERIÓDICAS MEDIANTE FUNCIONES SINGULARES

Una combinación adecuada de las funciones singulares desplazadas puede usarse para representar muchas funciones periódicas de amplio uso en la ingeniería Eléctrica y Electrónica.

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6.6.2.1 FUNCIÓN DE ONDA CUADRADA En la figura 6.6.2.1 se muestra cuatro funciones paso y su combinación para formar una nueva función:

Figura 6.6.2.1.1 Función de onda cuadrada.

Utilizando este resultado podremos representar una función de onda cuadrada:

( ) ( )( )�+∞

−∞=− −−=

n

nnTtutf 11

Figura 6.6.2.1.2 Función de onda cuadrada.

6.6.2.2 FUNCIÓN DIENTE DE SIERRA Para obtener esta función utilizaremos la rampa unitaria. Para comprender el mecanismo veamos primero (Figura 6.6.2.2.1) como se combinan sólo dos rampas.

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Figura 6.6.2.2.1 Función diente de sierra.

Al restar la rampa desplazada de la primera rampa obtenemos una porción de la primera rampa seguida de una función paso de amplitud T. Si lo que buscamos en un “diente” verdadero, debemos restar una función paso de amplitud T y desplazada t T→ . (Figura 6.6.2.2.2). O sea obtener la función:

f t u t u t T Tu t Tdiente( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1= − − − −− − −

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Para obtener una onda de dientes seguidos, debemos repetir el mismo proceso de añadir más rampas y más funciones pasos hasta obtener: n = +∞

[ ] [ ]f t u t nT u Tu t n Tdiente de sierran

( ) ( ) ( ( )= − − + − +=−∞

+∞

− − −� 2 2 1 1

Sin embargo, veamos como podemos construir la misma función de una forma más sencilla. En efecto, si consideramos sólo la rampa y la función paso, vemos (Figura 6.6.2.2.3) que no sólo obtenemos el primer diente, sino también otra nueva rampa, de la cual podemos sacar el segundo diente restando otra función paso desplazada.


230

Ahora la función buscada puede escribirse:

f t u t nT Tu t mT

con m entero

f t u t T Tu t mT

diente de sierram n

nm

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( )

= − − −

=

= − − −

− −= +

∞

=− − −=−

∞

�

�

2 11

5 2 14

5


Es una función más sencilla que la anterior; pero obsérvese que sólo representa los dientes desde un tiempo finito (a menos que asumamos la rampa inicial en -∞ T, o sea el tiempo -∞). De estos ejemplos debe concluirse que la construcción de ondas periódicas mediante ondas ó funciones singulares es un arte. O sea que hay diversas formas de hacer lo mismo, y la mejor forma depende de la inventiva de cada uno. Por lo demás, es una tarea muy entretenida (mucho más que jugar al ajedrez) y la recomendamos como juego, pasatiempo o terapia.

6.6.3 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ARBITRARIAS O PORCIONES DE ELLAS

Cualquier porción de una función arbitraria, e incluso la función entera, puede representarse con una exactitud tan alta como se desee mediante la combinación de funciones

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singulares desplazadas. Estas sumas o series de funciones desplazadas del mismo tipo suele denominarse un “tren”.

6.6.3.1 REPRESENTACIONES MEDIANTE FUNCIONES PASO

En la figura 6.6.3.1.1 mostramos como una porción de una función puede representarse por un “tren” de ocho funciones paso de amplitud variable (incluso dos de esas funciones paso tienen amplitud nula, en este ejemplo). Este tren es:

( ) ( ) ( )[ ]

�

fo t u t t f t

u t t f t f t

tren de funcion paso o o( ) ( ) ( )= −

+ − − + −

−

−

1

1 0 0 0∆ ∆

( ) ( ) ( )[ ]∆+−∆+∆−−+ − 0001 22 tftfttu

( ) ( ) ( )[ ]+ − − + − +−u t t f t f t1 0 0 03 3 2∆ ∆ ∆ ( ) ( ) ( )[ ]∆+−∆+∆−−+ − 344 0001 tftfttu

( ) ( ) ( )[ ]+ − − + − +−u t t f t f t1 0 0 04 4 4∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( )[ ]+ − − + − +−u t t f t f t1 0 0 05 5 5∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( )[ ]+ − − + − +−u t t f t f t1 0 0 06 6 5∆ ∆ ∆

( ) ( ) ( )[ ]+ − − + − +−u t t f t f t1 0 0 07 7 6∆ ∆ ∆

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Figura 6.6.3.1.1 Representaciones mediante funciones paso.

Aumentando el número de funciones paso lo que equivale a disminuir a ∆, podremos representar la función original con una exactitud tan grande como se desee.

6.6.3.2 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ARBITRARIA, O UNA PORCIÓN DE ELLA, MEDIANTE UN TREN DE FUNCIONES IMPULSO

En este caso se toman funciones impulso con área rectangular debajo de la función (ver figura 6.6.3.2.1).

�

f t f n U t non

n

( ) ( ) ( )= −= −∞

=∞

� ∆ ∆ ∆

233

Figura 6.6.3.1.1 Representación de una función arbitraria, o una porción de ella,

mediante un tren de funciones impulso.

Cuando ∆ se hace bien pequeño llega a ser un diferencial: ∆ = dβ

En este límite n∆ se convierte en una especie de variable continua; que llamaremos β :

β = n∆ = n dβ La sumatoria de los impulsos se convierte en una integral:

�f t f U t do( ) ( ) ( )= −

−∞

+∞

� β β β

Extrañísimo resultado que es casi incomprensible sino se cae en cuenta que la variable n∆, al principio discreta (cuando ∆ era finito) y al final continua y llamada β, no es la misma

234

variable t. En efecto, nótese que nβ al principio valía 1∆,2∆,3∆, etc, y que t podía tomar cualquier valor.

6.6.3.3 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La importancia de esta función, no sólo en circuito sino en cualquier disciplina científica nos obliga a relacionarla con las funciones unitarias vistas. Vimos que las funciones unitarias se podían hallar por sucesivas integraciones de la función impulso así:

u t u t dto

t

−−∞

= =�1 1( ) ( )

u t u t dt u t dt to

ttt

− −−∞−∞−∞

= = =��2 1( ) ( ) ( )

u t u t dt u t dttt

o

ttt

− −−∞−∞−∞−∞

= = =��3 2

2

2( ) ( ) ( )

!

.

.

.

� � �∞− ∞− ∞−

−

−−− −===

t t t n

onn nt

dttudttutu)!1(

)(...)()(1

)1(

n integrales

Pero resulta que la función exponencial es la suma de todas las funciones singulares (excepto el impulso):

� � � �� ∞

=

∞

=

∞

= ∞−−

−

−

==−

=∴

−+++++=

1 1 1

1

132

)()()!1(

)(

...)!1(

...!3!2

1

n n n

t

on

nt

p

nt

dttutunt

etu

nttt

te

n integrales

Vamos a derivar et para observar algo interesante:

235

ddt

eddt

tt t t

n

t t mtm m

tt t t

m

tn

m

m

( )! !

...( )!

...

...( )!

...

...( )!

...

= + + + + +−

�

��

�

= + + +×

+ +× −

= + + +×

+ +−

−

−

−

12 3 1

0 122

33 2 1

12 3 2 1

2 3 1

2 1

2 3 1

∴ =ddt

e et t( )

La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial.

6.6.3.4 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN SENO Y LA FUNCIÓN COSENO

Como:

�

�∞

=−

+

∞

=

−

�

��

� −

−+=∴

−=∴

−−

+−+−=

2

12

1

21

21)(753

);()1()()(

;!

)1()(

)1()!1(

...!7!5!3

)(

nn

n

p

n

nn

nimparn

parncontutsentu

imparnconnt

tsen

ntttt

ttsen

Ahora, la función Cos (t) será:

�∞

=−

−

�

��

�

−=∴

−+−+−=

1

21

2)(642

);()1()cos()()(

)1(!

...!6!4!2

)cos(

nn

n

pp

nparn

imparncontuttutu

ntttt

tt

Por último, tomando j → − 1:

236

e jtjt jt jt

et t

j tt t

e t j t

jt

jt

jt

= + + + +

∴ = − +�

�

�

�� + − +

�

�

�

��

∴ = +

12! 3 4!

12! 4! 3 5

2 3 4

2 4 3 5

( ) ( )!

( )

...! !

...

cos( ) sen( )

Resultando de enorme importancia en desarrollos posteriores.

6.6.4 PROPIEDADES DE LA FUNCION IMPULSO. La función impulso es tan importante, no solo en Circuitos sino en casi todas las ramas de la ingeniería y de la ciencia, que resaltaremos sus propiedades fundamentales, encareciendo su estudio detallado.

Integrales de la función impulso. El integral )()( tudttu p

t

o =�∞−

,

es completamente diferente al integral 1)( =�∞

∞−

dttuo .

Uno da como resultado la función paso y el otro da el área bajo el impulso unitario, que siempre es la unidad. Producto de la función impulso por cualquier función. El producto de la función impulso multiplicada por cualquier función de la variable de la función impulso, es la misma función impulso multiplicada por la misma función pero evaluada en el punto donde se presenta el impulso. La explicación está en que la función impulso es cero en todo tiempo, excepto en el instante de su ocurrencia, por lo tanto anula todos los valores de la función excepto el valor en el instante de ocurrencia, que ahora será el área bajo el impulso resultante. Con ayuda de la gráfica 6.6.3.1.1 trataremos de explicar lo que significa esta propiedad.

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Figura 6.6.3.1.1 Producto de una función impulso y de otra función.

La expresión simbólica es:

F(t) * Uimpulso (t = - 5) = F( t = - 5) * Uimpulso ( t = - 5) Por ejemplo: sen(4 * t) * Uimpulso (t = 12) = sen( 4*12)* Uimpulso (t = 12)

6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS

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