Circuitos de Corriente Alterna

194 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

2ir X 20,000 X 0.01•fts----— — —---------- = Sx = 25.1 ohmios

Q* 50

47t- (20,000)2 X 0.01 = 0 00(i:w X 10-6 faradi0s-

El uso de Q (o el recíproco3 de Q) en el análisis de circuitos, tomará más importancia y significación en los circuitos de radiofrecuencia, donde Q„ es esencialmente constante, que en los circuitos de baja frecuencia, donde R, es esencialmente constante. [Debe tenerse en cuenta que Rs ha sido tácitamente supuesta constante en la ecuación (27) y en la Fig. 16]. Al analizar circuitos de radiofrecuencia sintonizados, cercanos a la frecuencia resonante — 1/VLC, obtenemos mayor precisión escribiendo

z - f c f

como

z = . . L r i + i ( — ) 1L <l>jnL \ <úm Ü) / JO

z = ~ L ( ¿ + »F ) - V i ( é + i F ) e »puesto que Q es considerablemente más constante que R„ dentro de una escala de frecuencias centrada en <um. Está claro que F = (ü>/íúm — u>»i/«»).

Si L, C y Q de la ecuación (28) son esencialmente constantes, entonces F = (u/u»,,, — <am/a>) es la única variable involucrada y está claro que la respuesta de corriente a <o tome la misma forma que la de la Fig. 16, pues en un caso la respuesta está basada en

VI = -------Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

"v / r -2 + ( "L — ——y, en el otro, sobre '

V —— + ( « L “ — Y______ V CQ: V o.C /* Hemos traducido recíprocos y no recíprocas, por dos razones: 1*

es una elipsis de número recíproco, y 2* existen tablas de recíprocos y no de reciprocas.

Jesús Alberto Pérez González

CIRCUITOS DE CORRIENTE i ALTERNA

ALTERNATING-CURRENT CIRCUITS

Cuarta Edición

Edición Corregida y Aumentada

OTRAS TRADUCCIONES DE C.E.C.S.A.

M.I.T. (Instituto Tecnológico de Massachusetts)

CIRCUITOS ELECTRICOS

Frederick T. Morse

CENTRALES ELECTRICAS

H. H. Skilling

CIRCUITOS EN INGENIERIA ELECTRICA

William Taussig Scott

FISICA DE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO

Zimmermann 8c Masón

TEORIA DE CIRCUITOS ELECTRONICOSCIRCUITOS Y SEÑALES ELECTRONICOS

Royce G. Kloeffler

PRINCIPIOS DE ELECTRONICAELECTRONICA INDUSTRIAL Y CONTROL

C I R C U I T O S

D E C O R R I E N T E

A L T E R N A

POR

RUSSELL M. KERCHNERProfesor de Ingeniería Eléctrica, Colegio del Estado de Kansas

GEORGE F. CORCORANProfesor

de. la .Universidad de Maryland y Director del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la misma.

Edición Corregida y Aumentad:*

v w

COMPAÑIA EDITORIAL CO NTINENTAL. S. A., MEXICO

DISTRIBUIDORES:

ESPAÑA - ARGENTINA - CHILE - VENEZUELA COLOMBIA - PERU

Rolivia - Bidsil Costa Rica - Dominicana — Ecuador — El Salvador Estados Unidos — Guatemala — Honduras — Nicaragua — Panamá

Paraguay Portugal -- Puerto Rico — Uruguay

TÍTULO ORIGINAL EN INGLÉS:

ALTERNATING-CURRENT CIRCUITS

EDICIÓN AUTORIZADA POR

Jo h n W il e y & So n s , I n c ., N e w Y ork

Corregida y Aumentada

por el

Prof. GABRIEL AGUIRRF CARRASCO

Catedrático de la Facultad de Ingeniería Química

de la

Universidad Autónoma de Puebla

Decimasexta impresión: septiembre de 1981

Derechos Reservados © en Lengua Española-1962, Primera Publicación

COMPAÑIA EDITORIAL CONTINENTAL, S. A. Calz . d e T lalpan N ú m . 4620, M é x ic o 22, D. F.

MIEMBRO DE LA CAMARA NACIONAL DE LA INDUSTRIA EDITORIAL Registro Núm. 43

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1414 B u e n o s A ir e s , A r g e n t in a M ir a f l o r e s N ú m . 354, Sa n t ia g o de C h i l e , C h il e

V e n -Le e , C. A., A v . F u e r z a s A r m a d a s , E sq . Sa n M ig u e l E d if ic io Ro d r im e r , P iso 6, Ca r a c a s , V e n e z u e l a

Ca l l e 11 N ú m . 2-56, B o g o t á , Co l o m b ia A v. R e p ú b l ic a de P a n a m á N ú m . 2199,

L a V ic t o r ia - L im a 13, Pe r ú

IMPRESO EN MEXICO PRINTED IN MEXICO

Qhylogo de la ^Edición en ^Español

La presente obra, sumamente difundida en su original inglés, es un texto que ha ganado el rango de clásico en la docencia de la ingeniería eléctrica.

Muchas son sus excelencias, y espigando en ellas ál módulo de mis predilecciones personales, estimo el aspecto metodológico como el nervio de la obra, que incorpora a su sentido y propósito todo el lúcido desarrollo de la materia; esta primacía de lo didáctico en un libro de texto es, a mi juicio, su mejor recomendación.

No obstante, es notable el hecho de que el espíritu pedagógico no haya, en manera alguna, mermado la calidad científica de la obra, que contiene, en profundidad y extensión, todo lo que el ingeniero necesita saber sobre corrientes alternas, y hasta un excelente contenido, en los últimos seis capítulos, que discrecionalmente puede utilizar el profesor en todo o en parte.

Otro rasgo importante, por referirse al problema medular de la enseñanza de la ingeniería eléctrica, es el de la preparación matemática del alumno. Los autores se mantienen fieles a su promesa de exigir del alumno únicamente "cierto conocimiento de la derivación y de la integración", sin que esto signifique que los temas que lo requieran no sean tratados en el nivel matemático adecuado. Para el caso, la obra contiene un capítulo de álgebra vectorial, modelo de lucidez, concisión y económica aplicación a la materia.

Haciendo de paso referencia a mi modesta labor de traducción, dado el carácter de la obra, resulta imprescindible dar primacía a las exigencias científicas sobre las lingüísticas. No se puede, pues, hablar de "casticismo", pero sí se trató honradamente de evitar, en lo posible, el cúmulo de bar- barismos que usualmente contienen estas traducciones, y el calco de los giros ingleses.

6 PRÓLOGO DE LA EDICIÓN EN ESPAÑOL

Réstame dar las gracias por su ayuda, que hizo posible llevar a feliz término mi labor, al Sr. Ing. Francisco J. Linares, insigne maestro de la Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas de la Universidad Autónoma de Puebla, y uno de los ilustres matemáticos mexicanos de la hora actual.

G. A. C.

Prefacio ele la Cuarta Adición

Se ha encontrado que el método de exposición de los circuitos de corriente alterna, utilizado en ediciones anteriores, resulta satisfactorio para presentar por primera vez el tema a los estudiantes de física e ingeniería eléctrica y, en consecuencia, ha sido conservado en esta edición. En el transcurso de la obra han sido hechas numerosas adiciones y modificaciones, cada vez que la experiencia ha mostrado la necesidad de la reforma. Se han efectuado los cambios con el propósito de hacer la obra más inteligible para el estudiante. Se ha agregado un capítulo inicial, que trata de conceptos sobre redes eléctricas, a fin de dar al estudiante una visión más profunda de los métodos generales de análisis de circuitos. Se tratan las variables de redes, topológicas y dualidad. Los estudiantes que tengan algún conocimiento de las leyes de Kirchhoff y cierta experiencia en la solución de circuitos mediante el empleo de corrientes directas, podrán comenzar en el Cap. II el estudio de esta edición. Sin embargo, es probable que muchos estudiantes encuentren que el Cap. I es un buen repaso y otros hallarán en el mismo una considerable cantidad de material nuevo y de valor para un estudio más avanzado de la teoría de las redes eléctricas.

A causa de los grandes avances en electrónica y la consecuente necesidad de un mayor conocimiento de la teoría de circuitos, casi todos los estudiantes complementan su primer curso sobre teoría de los circuitos de corriente alterna con un curso intensivo sobre teoría de redes y en muchos casos con una síntesis de redes. Para cursos de esta naturaleza es muy deseable cierto conocimiento de la frecuencia compleja de polos y ceros. Estos temas han sido introducidos en esta edición, primero en el Cap. V, donde se.trata el análisis estacionario y de nuevo en el Cap. XIV, donde se trata el análisis transitorio del circuito RLC en serie.

8 P R E F A C I O D E L A C U A R T A E D I C I O N

A fin de no discrepar la terminología vectorial utilizada en la teoría electromagnética, se ha adoptado el término fasor, para designar una cantidad variable en función del' tiempo y a la cual se aplican métodos vectoriales. En el Cap. IV se hace el cambio de diagramas vectorial a fasorial aunque, tal como se usa en este libro, la distinción resulta innecesaria. Para muchos ingenieros electricistas, un diagrama vectorial será siempre un diagrama vectorial.

Aunque se ha agregado una considerable cantidad de material, ha sido conservado el mismo tamaño del libro, mediante ciertas reducciones y eliminaciones. Al fin de algunos capítulos se han incluido también algunas nuevas clases de problemas.

Russell M. Kerchner George F. Corcoran

íVrefacío de la Primera ^Edición

Este libro ha sido escrito en forma de texto, para los cursos sobre circuitos de corriente alterna, tal como se imparten, en la mayoría de las escuelas de ingeniería, a los alumnos que comienzan el estudio de la ingeniería eléctrica. Se supone que el alumno ha terminado los cursos regulares de cálculo diferencial e integral o que, cuando menos, tiene cierto conocimiento de la derivación y la integración. Se ha hecho un intento por arreglar el material en un orden lógico, de manera que conduzca al estudiante, en forma gradual, de los más simples, a los más complejos análisis de circuitos de corriente alterna.

El método de exposición es un resultado de la experiencia docente que los autores han tenido en diversas instituciones educativas y, al mismo tiempo, se ha hecho un esfuerzo por hacer la edición de una obra de fácil transmisión en la cátedra. En la ejecución de estos propósitos se ha hecho un amplio uso de ejemplos ilustrativos y dibujos lineales. También se han incluido oscilogramas, que ilustran el trabajo real de los circuitos. A fin de que estos oscilogramas sirvan de base para estudios ulteriores, se han acompañado de extensas explicaciones.

En muchos lugares del texto, situados inmediatamente después de la presentación de ciertos principios, se han incluido problemas con sus correspondientes respuestas. La idea es que estos problemas sirvan como prueba de medición, para que el estudiante determine por sí mismo si tiene un conocimiento operante de los principios involucrados. El orden de sucesión de los problemas colocados al fin de los capítulos, corresponde al orden en que han sido presentados los temas. Estos problemas constituyen, en consecuencia, una base adecuada para asignar tareas.

A fin de hacer el libro de mayor utilidad, tanto para el estudiante como para el ingeniero, se consideró conveniente incluir un mayor número de temas que los que generalmente

10 PREFACIO DE LA PRIMERA EDICIÓN

se incluyen en un curso escolar, tcd como se imparte actualmente, con la única restricción de que los temas excedentes pudieran ser omitidos, sin pérdida de la continuidad y sin afectar la preparación del estudiante para el estudio de los capítulos subsecuentes.

Con excepción de los fundamentos de las componentes simétricas —Cap. XIV—, que son necesarios para comprender el Cap. XV, puede omitirse en parte o íntegramente cualquier capítulo posterior al X, sin afectar la preparación del estudiante para el estudio de los capítulos siguientes. Comenzando con el Cap. XI, el resto del texto está, en su mayor parte, hecho de extensiones y aplicaciones de los principios estudiados en los primeros diez capítulos. En consecuencia, pueden estudiarse partes seleccionadas, de los últimos seis capítulos, en cuanto lo permita el tiempo disponible. También se encontrará que el Cap. VIII contiene un desarrollo un tanto amplio de temas que son de interés para el estudiante y deseables para muchos maestros, pero que pueden ser omitidos, sin afectar la preparación del lector para la comprensión de los capítulos subsecuentes.

Reconocemos la deuda en que estamos con los autores que nos han precedido en este campo y con los numerosos colegas que nos han ayudado y animado a escribir este libro. En particular, deseamos expresar nuestros agradecimientos al Sr. I. L. Potter, por su consejo y ayuda.

R. M. K.G. F. C.

Manhattan, Kansas.Iowa, Iowa.

CONTENIDO

Ca p ít u l o Pá g .

I. Conceptos Sobre Redes........................... 13

II. Corriente, Voltaje y Potencia Instantánea . . . . 63

III. Comente y Voltaje Eficaces. Potencia Media . 111

IV. Algebra Vectorial. (Aplicada al Análisis de Circuitos de C -A )................. ............................ 137

V. Análisis de Circuitos Sinusoidales Monofásicos ..................................................... ........... 179

VI. Ondas no Sinusoidales.................................. 273

VII. Circuitos Acoplados...................................... 331

VIII. Circuitos Polifásicos Balanceados................. 391

IX. Circuitos Polifásicos no Balanceados............. 447

X. Cálculo de Líneas de Transmisión............... 487

XI. Filtros de Ondas Eléctricas........................... 517

XII. Componentes Simétricas................................ 581

XIII. Cálculos de Cortos Circuitos del Sistema de Potencia......................................................... 619

XIV. Fenómenos Transitorios ..................... .......... 651

Capítulo I

Conceptos Sobre íRedesLa mayor parte dé esta obra será dedicada al análisis de

redes energizadas con corrientes o voltajes sinusoidales. Sin embargo, antes de tratar estas fuentes variables en función del tiempo, será conveniente repasar algunos conceptos básicos sobre redes eléctricas, conceptos que son igualmente aplicables a fuentes variables y no variables en función del tiempo.

— — — O

n

‘‘ÍQ

1 ' > o

' *t

+ ? '• V r v*e* —

— o

___ 1r— 1

1

i --------- o

(a) <b) (c) (d)

Fig. 1. Fuentes de voltaje y comente.

Fuentes. Las fuentes comunes de voltaje no variable en función del tiempo son baterías y generadores de corriente directa. Puesto que el lector tiene sin duda un conocimiento intuitivo de la forma en que se utilizan estas fuentes para energizar circuitos eléctricos, comenzaremos por las mismas. En capítulos posteriores se emplearán casi exclusivamente fuentes que desarrollan voltajes y corrientes variables en función del tiempo. Por ahora, solamente se usarán las indicadas en la Fig. 1 y el símbolo de batería indicará un voltaje no variable en función del tiempo. A menos que se haga una indicación en contrario, se supone que esta fuente de voltaje tiene una resistencia interna igual a cero. En los casos en que sea conveniente simbolizar la pérdida interna de una fuente de voltaje, se colocará una resistencia en serie con la fuente ideal de voltaje, como se indica en la Fig. Ib.

14 P R I N C I P I O S D E C O R R I E N T E A L T E R N A

Cuando se da una fuente de voltaje mediante el símbolo e „ se entiende que se mantiene una diferencia de potencial de e» voltios entre (o a través de) las terminales de la fuente ideal, independientemente de la corriente que pueda pasar a través de esta fuente. El voltaje terminal neto de una fuente de voltaje cuya resistencia interna es Rs# y que está entregando corriente a una red, es

vt = e, — R,i (1)

donde i es la corriente que fluye en el sentido de — a +. Véase la Fig. 2a, donde i = i(.

Una fuente de voltaje funciona de vacío cuando el circuito está abierto; en ese caso i = 0. En el caso contrario, está entregando o absorbiendo potencia, con un valor de

Ps = e8i vatios, (2)

de conformidad con el sentido de i, respecto de la polaridad de es. La potencia entregada por una fuente de voltaje dotada de resistencia interna es

P* = v»i = (e, — R,i)i = e,i — R,i2 (3)

Rji2 es la potencia calórica desarrollada internamente y como tal es aprovechable para su distribución al resto de la red.

Cuando en la teoría del circuito se da una fuente de corriente mediante el símbolo i» se entiende que la fuente entrega esta corriente, cualquiera que sea la resistencia colocada a través de las terminales de la misma. Carece, por supuesto, de sentido, pedir que una fuente de corriente dé hacia un circuito abierto (o de resistencia infinita), puesto que esta situación da como resultado que se entregue al circuito abierto una potencia infinita (Ri2). Este caso, sin embargo, ilustra un importante aspecto de la cuestión: si se da una fuente de comente de i, amperios, entonces, por definición, es entregado a la red este número de amperios, cualquiera que sea la resistencia colocada entre las terminales del generador. (Existe, por supuesto, una contradicción, cuando se colocan en serie generadores de corriente, con corrientes dadas diferentes).

Una fuente de corriente funciona de vacío cuando está en corto, como se indica en la. Fig. le. En este caso la potencia entregada es igual a cero, debido a que la corriente

C O N C E P T O S S O B R E R E D E S 15

dada circula a través de una resistencia externa igual a cero. Cuando aparece a través de las terminales una resistencia finita R, la fuente ideal de corriente entrega

P, = Rij vertios (4)

Puede simbolizarse una fuente práctica de corriente incorporando una resistencia interna R¡, a través de las terminales, como se ilustra en la Fig. Id. En estas condiciones, la corriente terminal es

donde v t es el voltaje terminal desarrollado cuando la fuente de corriente está conectada a una carga. Este generador desarrolla un voltaje terminal de Rgis cuando i( — 0, esto es, cuando la fuente de corriente está funcionando con el circuito abierto. Si a través de la fuente de corriente se coloca la resistencia R¿, el voltaje terminal es

DVt = RlÍ* = R ii,---- V{ (6)

y la potencia entregada a R¿ es

Rtit = (R iit)i.----Vtit (7)

La potencia total generada es (Rtit)i, = v (i„ y de la cual.

- -L vtit = p* vatios de esa potencia son disipados en la R* Rs

resistencia interna Rs.Aunque las fuentes han sido clasificadas como fuentes de

voltaje y fuentes de corriente es evidente que cualquiera de ellas energiza la red tanto con corriente como con voltaje. En realidad, ambas fuentes son enteramente intercambiables cuando está presente una resistencia interna finita. La fuente de voltaje descrita en la Fig. 2a, por ejemplo, suministra a la red N,it amperios y vt voltios. La corriente i( puede expresarse en la forma

e, — vt

R ,(8)


de donde

Así, una fem dada es, en serie con una resistencia dada, se resuelve en una fuente dada de corriente

Las condiciones establecidas por la ecuación (8a) quedan satisfechas por la configuración del circuito mostrada en la

(a )

Fig. 2. Fuentes equivalentes.

Fig. 2b, donde una fuente de corriente i» entrega i* amperios a la red, a Vt voltios. Llevando i, a la ecuación (8a) y despejando, se tiene

i» = + i» (8b) *1*

donde vt/R, es la corriente que se pierde para la red, como consecuencia de la resistencia interna R, y del voltaje terminal v«.

La inspección de las ecuaciones (8), (8a) y (8b) muestra que una fuente de voltaje cuya resistencia interna es de R, ohmios puede ser reemplazada por una fuente ideal de corriente de es/Rs amperios, en paralelo con un trayecto resistivo de R, ohmios, o que una fuente de corriente i» en paralelo con Rs puede ser reemplazada por una fuente de voltaje (e„ = Rsis), en serie con una resistencia de Rs ohmios. El resto de la red, esto es, la parte de Ja red situada a la derecha de las terminales tt' en la Fig. 2 no puede indicar si está energizada con e„ en -serie con R„ como en la Fig. 2a o con


i* = e,/R„ en paralelo con R„ como se muestra en la Fig. 2b. Cuando se da una fuente con resistencia interna se puede escoger entre usar e* en serie con R» o is en paralelo con R,. Son posibles otras combinaciones más complicadas de resistencias en serie-paralelo.

®s V

í— i

I • - !I----------- (v — es)----------- H( a )

Fig. 3. Voltajes de rama, en

Cuando se da una fuente ideal de voltaje e, (con Rs = 0) esta fuente mantiene un potencial de es voltios entre sus terminales, cualquiera que sea la corriente. Si se coloca e, en serie con una rama resistiva, el voltaje terminal de la rama que incluye el conocido es es (v — eg) y se considera como una caída de voltaje, como se indica en la Fig. 3a. La inclusión de e¿ no aumenta el número de incógnitas, puesto que se da el valor de es. Cuando se coloca una fuente ideal de corriente a través de una rama resistiva, como se ilustra en la Fig. 3b, puede, o asociarse con R para formar una rama en serie equivalente a la mostrada en 3a, o dejarse como una corriente fija o dada entre las dos terminales.

Una fuente ideal de voltaje tiene una resistencia interna en serie igual a cero. Una fuente ideal de corriente tiene una resistencia en serie infinita. Esta conclusión puede deducirse de la definición de fuente ideal de corriente, a saber, una fuente que entrega is. cualquiera que sea la resistencia finita de la carga, R¿, que se coloca a través de las terminales de la fuente. Para satisfacer esta definición, es evidente que el voltaje interno, digamos e5, así como la resistencia interna en serie R¡llt deben tender al infinito. Puede establecerse que la corriente dada es

i = kieS _ kl (Q)* k 2R ¡n t + k 2

al aproximarse al infinito es y R¡nt y quedar finita R¿.

(b)presencia de fuentes.


Superposición. Un elemento lineal de circuito es aquél en que la corriente que pasa por el elemento es directamente proporcional al voltaje establecido a través de las terminales del elemento. Las redes lineales constan de elementos lineales y fuentes de corriente y voltaje fijas (o dadas).

Una razón de los rápidos progresos que se han hecho en el análisis de redes lineales es que se les puede aplicar el principio de superposición. Con la ayuda de este principio puede determinarse la respuesta de voltaje o corriente en cualquier parte del circuito, resultante de dos o más fuentes, ya sea:

1) Encontrando la respuesta componente desarrollada por cada fuente individual; o

2) Sumando (algebraicamente) las respuestas componentes para obtener la respuesta actual.

La verdad del principio de superposición es casi evidente por sí misma, puesto que los efectos son proporcionales a las causas en los sistemas lineales, donde se aplica el principio. De cualquier modo, se dejará al lector la prueba general, una vez que hayan sido tratados los determinantes y las soluciones generales de la red.

En la Fig. 4 se muestra una aplicación simple de la superposición; la corriente en la resistencia R = 2 ohmios se determina como la suma de la corriente en R debida a e£, a saber, Iri, y la corriente debida a i„, a saber Iez. Para determinar Iri (Fig. 4b), is es desenergizada, ya sea abriendo la rama1 i» (para fines de análisis), o haciendo i„ = 0 y reconociendo que una fuente de corriente posee una resistencia interna infinita. El valor de la corriente que pasa por la resistencia R, debida a es= 23 voltios, es

e, 23 23I*i = -----= ---------= ------ amperios

R 1 + 2 3

Para determinar IR2, la corriente que pasa por R, debida a i, (Fig. 4c), e,, es reemplazada por un corto circuito, puesto que una fuente ideal de voltaje tiene una resistencia interna igual a cero. La aplicación de la Ley de Kirchhoff relativa al voltaje, a las dos ramas paralelas de la Fig. 4c, muestra

1 Una rama es un trayecto conductor limitado en cada extremo por un nudo de la red.

que21*2 = K4 - I*2)

oT _ 4Ir2 — — amperios

O

La corriente neta en la resistencia R es

23 41« = I*i + I«2 = — + —■ = 9 amperios

u O


Fig. 4. Un ejemplo de superposición: IB = I ín + I g2

El principio de superposición se aplicará más tarde al desarrollo de ciertos métodos generales de análisis, cuando las respuestas componentes debidas a las variables independientes, así como las debidas a las fuentes, se combinan para establecer ecuaciones generales de equilibrio de la red.

2 0 P R I N C I P I O S D E C O R R I E N T E A L H E N A

Variables de la Red. En una red que consiste de b ramas hay, en general, 2b incógnitas: b corrientes de rama desconocidas, i&, y b voltajes de rama desconocidos, vj. Sin embargo, existe una relación directa entre cada corriente de rama y su correspondiente voltaje. Cuando las ramas son resistivas, por ejemplo,

vj = R¡,i¡, o i6 = GftVj (10)

donde Rj es la resistencia de la rama y G¡, la conductancia de la misma.

Después de la aplicación de cualquiera de las relaciones entre voltios y amperios [dadas en la ecuación (10)] a cada una de las ramas, quedan solamente b incógnitas. La determinación del valor numérico de estas incógnitas requiere que se establezcan b ecuaciones independientes. Si la red tiene un totcd de n« nudos, puede aplicarse independientemente la ley Kirchhoff relativa a la corriente,

(n< - 1 ) = n (1 1 )

veces. Estas n ecuaciones, juntamente con las (b s- n) establecidas mediante la aplicación de la ley del voltaje, son suficientes para despejar las b incógnitas.

Los métodos sistemáticos de análisis de redes emplean generalmente combinaciones lineales de corrientes o de voltajes de rama, más bien que las cantidades mismas, porque así puede formularse el reducido número de ecuaciones, directamente a partir del mapa de la red. Las variables de la red que están en una relación lineal con las corrientes y voltajes de ramas se llaman, respectivamente, corrientes de espira2

2 La traducción y correspondiente acepción de términos ingleses básicos en la teoría del circuito, es como sigue:

loop: lazo o trayectoria cerrada; se define como "trayectoria cerrada que contiene un solo nudo";

mesh: malla; se define como ''trayectoria cerrada que contiene más de un nudo".

circuit: circuito, puede comprender varias mallas y lazos; network: red, puede comprender varios circuitos.Sin embargo, hemos traducido "loop" como espira, y hacemos la

aclaración de que los autores no le dan el sentido que queda consignado en esta nota, sino que, como se desprende del texto, el "loop" a que los autores se refieren puede contener más de un nudo.

Por lo demás, como se ve en el Cap. VII, estas imprecisiones de vocabulario son comunes. (N. del T.).


y voltajes de un par de nudos, temas que serán apartados en los dos apartados siguientes.

Comentes de Espira. Una corriente de espira, como su nombre k) indica, recorre una trayectoria cerrada. Generalmente se escoge la trayectoria cerrada de modo que la corriente de espira correspondiente sea una comente mensurable de la red, esto es, una corriente que pueda ser mectyda físicamente por medio de un amperímetro. No es, sin embargo, esencial para el análisis que las comentes de espira sean corrientes mensurables ni la trayectoria cerrada está necesariamente restringida_a un solo pasaje a través de cualquier rama. Las trayectorias cerradas simples son generalmente más fáciles de manejar y, deben, en consecuencia, preferirse. El sentido de las comentes ficticias de espira es arbitrario, siempre que se tome en cuenta algebraicamente en la suma.

En la Fig. 5 se ilustran tres corrientes de éspira, i*, i2 e i3, juntamente con las seis comentes de rama i&i, i&2, ijs, i»4, i&s e ib«. La relación lineal puede ser muy fácilmente percibida en la siguiente forma:

Cualquier corriente de rama en particular, ij, es la suma algebraica de las corrientes de espira que recorren esta rama.

Así, en la Fig. 5

En efecto, las seis corrientes de rama han sido reemplazadas con tres corrientes de espira, para fines de análisis. Esta reducción en el número de variables es llevada a efecto mediante las ecuaciones de la ley de la corriente. La manera en que las corrientes de espira satisfacen automáticamente la igualdad 2i = 0 en los nudos, se ilustra a continuación. Tal como se aplica en la Fig. 5, notamos que

En el nudo 1: in — i&2 — i&e = ii — (ii — is) — is = 0 (13)

En el nudo 2: i&2 — i&3 ~ ib« = (U ~ Í3) ~ (ú — Í2) ~ (Í2 — is)

(12)

i&i — ii l j 5 — 12 líe — I3

lft2 — l l I3 1&3 — l l I 2 1 6 4 — Í2 i s

= 0 (14)

En el nudo 3: iu — i&s + Ue = (Í2 ~ is) — Í2 + Í3 = 0 (15)


Fig. S. Comentes de espira utilizadas para reemplazar las corrientesde rama

En una red de cuatro nudos, n* = 4, la ley de la corriente puede aplicarse independientemente sólo tres veces y se ve por la Ec. (13), juntamente con la (15), que las corrientes de espira establecen automáticamente tres relaciones independientes entre las comentes de rama.

Después de exponer la topología de las redes resultará evidente que las corrientes de espira pueden siempre escogerse como corrientes "mensurables". En la Fig. 5, por ejemplo, los amperímetros colocados en las posiciones Si, S5 y S<¡ medirán, respectivamente, las corrientes de espira ii, i2 e i3.

Puesto que las ecuaciones relativas a la ley de la corriente quedan satisfechas con las corrientes de espira, las ecuaciones relativas a la ley del voltaje (2 v = 0), deben aplicarse (b — n* + 1) veces. Obviamente, estas (b — n* + h) = (b — n) ecuaciones de voltaje, deben expresar relaciones independientes. Un método de establecer ecuaciones independientes de voltaje es imaginar que se abren todas las espiras, menos una, y establecer a continuación la ley del voltaje para esta espira en particular, invocando el principio de superposición, con las corrientes de espira consideradas como voriables independientes. En otras palabras, la suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier espira se obtendrá empleando, sucesivamente, sólo una corriente de espira y a continuación se sumarán todas estas caídas de voltaje, igualando la suma con cero, de conformidad con la ley de Kirchhoff relativa al voltaje. Tal como se aplica a la espira recorrida por ii de la


Fig. 5, se supone que se abren los interruptores S5 y S6 y que se suman las caídas de voltaje ocasionadas por ij (y e» si se da una fuente). Así,

(1 + 2 + 3) ii — e, = 0, o 6ii = e, (16)

La resistencia de la espira 1, a través de la cual fluye ii, es de 6 ohmios. Esta resistencia es llamada la autorresistencia de la espira 1, para distinguirla de las resistencias mutuas, o de las resistencias de la espira 1 que son comunes a las espiras 2 y 3.

La ecuación de voltaje dada en la Ec. (16) no influye los voltajes desarrollados en la espira 1, por las corrientes de espira i2 e i8. Para explicamos el efecto de i2, suponemos que se cierra el interruptor S5 y se observa que la corriente de espira i2 circula por una parte de la espira 1, esto es, a través de la resistencia de 3 ohmios. El sentido de i2 a través de la resistencia de 3 ohmios es tal, que establece una elevación de voltaje en la espira 1, como se ve del sentido del trazo establecido para la espira 1. Tomando en cuenta la elevación de voltaje establecida en la espira 1 por la corriente de espirai2, se amplía la Ec. (16), que toma la forma

6ix — 3i2 = e, (17)

A continuación, se cierra el interruptor S6 y se observa el efecto que tiene sobre el equilibrio del voltaje de la espira 1, la comente de espira i3. La corriente i3 circula a través de la resistencia de 2 ohmios de la espira 1, en un sentido tal, que produce una elevación de voltaje en la dirección del trazo de la espira 1. La ecuación final del voltaje, para la espira 1, en función de las corrientes de espira il( i2 e i3 toma la forma

6h — 3i2 — 2i3 = e, (18)

Un importante aspecto de la Ec. (18) es que puede establecerse con ayuda de la superposición, aplicando conceptos físicos elementales. Puede utilizarse exactamente el mismo método para demostrar que la ecuación de voltaje de la espira 2 es

—3ú + 12i2 - 4is = 0 (19)y para la espira 3

—2ú - 4i2 + 16í3 = 0 (20)

Al usar la superposición para establecer las ecuaciones de

voltaje, hemos tomado itl i2 e i3 como variables independientes y considerado el efecto de cada una, sucesivamente. Aunque el establecimiento de ecuaciones de voltaje con corrientes de espira se convierte pronto en un procedimiento rutinario, debemos darnos cuenta de que este procedimiento está en realidad basado en el principio de superposición.

Las Ecs. (18), (19) y (20) pueden resolverse como un sistema de ecuaciones simultáneas para las incógnitas ii( i2 e i3. A continuación puede determinarse cualquier corriente de rama en particular mediante la suma algebraica de las comentes de rama que fluye en la rama de que se trate. Esto es

ide rama 2 Í a e esp ira

O pueden emplearse las Ecs. (13), (14) y (15) para despejar ide rama/ en función de ide espira» pero este procedimiento es innecesariamente laborioso.

Generalmente, las trayectorias cerradas que se utilizan para establecer las ecuaciones de la ley del voltaje, coinciden en contorno y sentido con las trayectorias escogidas para las corrientes de espira. Esto es cuestión de comodidad, no de necesidad, puesto que pueden emplearse tres trayectorias cerradas cualesquiera, para obtener tres ecuaciones de voltaje independientes. Incluyendo sucesivamente una rama no recorrida anteriormente, pueden siempre obtenerse trayectorias cerradas. Supóngase, por ejemplo, que las trayectorias 1 y 2 de la Fig. 5 siguen a ii e i2, respectivamente. Puede obtenerse una tercera ecuación de voltaje sumando las caídas de voltaje alrededor de la trayectoria abhefga.

Así,3it + 9i2 — 6i3 = e, (21)

que es la suma de las Ecs. (18) y (19) y, en consecuencia, no es independiente de estas ecuaciones. Puede obtenerse una tercera ecuación independiente de voltaje [en lugar de la Ec. (20)] sumando a lo largo de una trayectoria cerrada que incluye la trayectoria o rama cd. Si se escoge la trayectoria abcdefga, se obtiene

lii + 5i2 + 10i3 = e„ (22)

Esta ecuación [que es la suma de las Ecs. (18), (19) y (20)], puede usarse juntamente con las Ecs. (18) y (19), para determinar los valores de ilt i2 e i3.



Los coeficientes de las variables independientes de las Ecs. (18), (19) y (20) . pueden ordenarse como se muestra a continuación:

' 6 - 3 -21 -3 12 -4 (23)—2 -4 16

Con excepción de las fuentes, este arreglo de números caracteriza completamente la red a que es aplicable. En este tipo de caracterización, la primera columna representa los coeficientes de U; la segunda columna representa los coeficientes de i2, y así sucesivamente. Una ordenación de números o símbolos recibe el nombre de matriz. En general, una matriz consta de m líneas y n columnas, como por ejemplo:

O lí Ctiü a is • • - • a iBa¡¡i a 22 a 23 .. a 2„

a * » d»»2 ’ 0|»3 ■ ■

A = A,

Ha sido desarrollada un álgebra de matrices bastante completa, pero aquí sólo nos interesa la ordenación de n X m símbolos que caracterizan una red, también con la evaluación del determinante de la matriz. Se emplearán corchetes para indicar las matrices, mientras que se usarán segmentos de líneas para indicar el determinante. (Se espera que el lector comprenda el álgebra elemental de determinantes, incluyendo la regla de Cramer, que se usa para resolver ecuaciones simultáneas).

La matriz que representa los coeficientes de las i en las Ecs. (18), (19) y (20), se escribe como se indica anteriormente en la matriz (23). El determinante de esta matriz se escribe

6 - 3 -2-3 12 —4 = 816 ohmios® (23a)-2 -4 16

En este caso la matriz es llamada la matriz del sistema de resistencias y el determinante de la misma tiene un valor numérico de 816 ohmios3. Si se aplican las Ecs. (18), (19) y (22), la matriz de la resistencia tomaría la forma

6 - 3 - 2 6 -3 - 2-3 12 -4 y -3 12 -4

1 5 10 1 5 10= 816 ohmios3 (24)


Si como corrientes de espira se escogen corrientes mensurables y las trayectorias recorridas al formular las ecuaciones de voltaje coinciden con las trayectorias de la corriente, el determinante de la matriz de la resistencia de una red tiene el mismo valor numérico, sin importar las trayectorias recorridas por las corrientes de espira. Solamente escogiendo espiras múltiples complicadas puede el determinante de la red diferir de su valor básico. (Como ejemplo de lo que aquí se quiere decir, véase el Prob. 10 y la Fig. 26b, al fin del capítulo).

Si se pidiera el valor numérico de i2 por unidad de e, en la Fig. 5, se podría obtener con ayuda de la regla de Cramer y las Ecs. (18), (19) y (20), como

6-3- 2

1 - 2 0 -40 16 56

816amperios

816 816 102

o, si se aplican las Ecs. (18), (19) y (22), como

6 1 - 2 -3 0 -4 1 1 10

816

56

816

7

102 amperios

Si una red tiene 1 corrientes de espira independientes, la matriz de la resistencia tendrá 1 columnas; una columna para cada corriente de espira. Puesto que se necesitan 1 ecuaciones para obtener una solución única, la matriz debe también tener 1 líneas. Así, en las soluciones de la red resultan involucradas 1 X 1 matrices, donde, (como se ha indicado anteriormente), 1 = b — n. La matriz puede formularse mediante una inspección de la red, si a cada uno de los elementos de la matriz general se le da la debida interpretación física.

(25)

El uso de corchetes en la matriz (25) implica que solamente se está dando el ordenamiento de los coeficientes de las ecua- dones generales de voltaje. El determinante de la matriz se indica con líneas rectas laterales e implica que se toma en cuenta el valor actual de este ordenamiento.

R u R l 2 R j 3 R x l

R 21 Ro¡> R 2 3 R 21

R U r i 2 R U R II


Si para las corrientes de espira se escogen trayectorias razonablemente sencillas, pueden darse a los elementos de la matriz significados físicos tales, que los valores numéricos de estos elementos puedan leerse directamente del diagrama de la red. Ru es la autorresistencia de la espira No. 1, a través de la cual fluye la corriente uno y, en general Rj¡ es la autorresistencia de la espira j, a través de la cual fluye la corriente j; R^ es la parte de la resistencia de la espira j, a través de la cual fluye la corriente k. Si las trayectorias cerradas escogidas para establecer las ecuaciones de voltaje coinciden con las trayectorias recorridas por las corrientes de espira y si j y k son enteros de 1 a 1 inclusive,

Ri* = R*# (para j ^ k) (26)

En la Ec. (23a) se da una situación en que Rj* = Rw, y en la Ec. (24) se da una situación en que R& R»/. Generalmente las trayectorias cerradas que se utilizan para establecer las ecuaciones de voltaje coinciden con las trayectorias atravesadas por corrientes de espira mensurables. En estas condiciones la matriz del sistema es simétrica con respecto de la diagonal principal. La diagonal principal está formada por R u . R22» R33. ■ • •» R ll.

Ejemplo. Supóngase que se desea encontrar la forma de la matriz de la resistencia de la red dada en la Fig. 6a, cuando se establecen las ecuaciones de voltaje recorriendo las trayectorias cerradas descritas por las corrientes de espira diseñadas.

Fig. 6. Ejemplo de análisis de red, utilizando corrientes de espira

De la inspección de la resistencia de la red, y recordando que el signo de una resistencia debe tomarse como negativo cuando las


corrientes de espira tramos directamente

de la resistencia están que

en sentidos opuestos.

Ru = 6 ohmios R l2 = R21 = 2 ohmios

R22 — 5 Rl3 ~ R31 = 1

R33 — 6 R i * = R41 = 2

R44 = 8 R23 “ R32 m - 2

R*„ — R42 = 0

R34 = R43 = - 3

El determinante del sistema es

A =

2 1 5 - 2 2 6 0 - 3

= 506 ohmios4

El determinante del sistema, expresado en forma de matriz, es simplemente un modo taquigráfico de expresar las ecuaciones de voltaje

6ii + 2i2 + l i3 + 2i4 = 0 (espira 1)

2ii 4- 5i2 — 2i3 + 0i4 = 0 (espira 2)

l ix — 2i2 4- 6is — 3i4 = 0 (espira 3)

2ii 4- 0i2 — 3i3 + 8i4 = 0 (espira 4)

Los primeros miembros de estas ecuaciones son iguales a cero, no se dieron fuentes de voltaje en la Fig 6a. Si se utilizan dos fuentes de4 voltios para energizar la red, como se indica en la Fig. 6b,

e ,i = 4, e,2 = 4 — 4 = 0, e43 = 4, eM = 0 voltios

donde el ¿ubíndice s indica una fuente de voltaje y el subíndice numérico se refiere al número de la espira o que es aplicable el voltaje de mando. La corriente de espira i1# por ejemplo, puede determinarse con ayuda de la regla de Cramer, como se indica a continuación:

4 2 1 20 5 - 2 04 - 2 6 - 30 0 - 3 8

506

244

506= 0.482 amperios

Si el análisis requiere la potencia entregada por la red a la fuente ea la corriente real de rama ia, que fluye a través de en, tendrá que ser evaluada como


2 Lde e sp ira í l + Í2

lo —“

6 4 1 22 0 - 2 01 4 6 --32 0 - 3 8

506

244 40------+ —506 506

40

506amperios

284

~50éT= 0.561 amperios

La potencia entregada q la red por la fuente ea es

Pa = eaia “ 4 X 0.561 = 2.244 vatios

Las ecuaciones de voltaje utilizadas para obtener una solución de la red, no se limitan a las obtenidas recorriendo los pasos descritos por las corrientes de espira. Si en la Fig. 6a, por ejemplo, escogiéramos formular ecuaciones de voltaje alrededor de las cuatro mallas interiores/ las ecuaciones de voltaje (en función de i1# i2, i3 e i4 de la Fig. 6a), toman la forma

Üi — li2 + 0i3 — 3i4 == 0

2ii + 5i2 — 2i3 + 0i4 = 0

lii — 2i2 + 6i3 — 3í4 = 0

2 ii + O Í2 — 3 Í3 4 - 8 Í4 = 0

En estas condiciones, la matriz de la resistencia toma la forma asimétrica

R =

Sin embargo, el determinante de esta matriz tiene el mismo valor numérico (506 ohmios4) que el determinante del sistema anteriormente empleado.

Voltajes de Pares de Nudos. La diferencia de potencial entre dos nudos cualesquiera de una red es llamada voltaje de un par de nudos. Si se escogen apropiadamente, los voltajes de pares de nudos pueden usarse como variables independientes en el análisis de la red, en vez de las corrientes de espira. E .te procedimiento es algunas veces llamado análisis nodal. En ciertas configuraciones de las redes el uso de voltajes de pares de nudos tiene claras ventajas sobre el uso

1 - 1 0 - 32 5 - 2 01 - 2 6 - 32 0 - 3 8


de corrientes de espira. El concepto de voltajes de pares de nudos como variables de la red será ilustrado en un caso particular, antes de intentar establecer principios generales. Para esto, nos proponemos determinar los voltajes de rama va de la Fig. 7a utilizando voltajes de pares de nudos como variables independientes de la red.

En el análisis nodal es conveniente relacionar corrientes y voltajes de rama por medio de la conductancia de rama; esto es,

i& = GjVt (27)

donde G& = 1/Rj. Antes de pasar adelante con el análisis, es necesario combinar las combinaciones en serie simple y en paralelo de las resistencias, para que formen una sola conductancia de rama entre nudos. Por ejemplo, las dos resistencias de 1 ohmio conectadas en serie entre los nudos 1 y 3 de la Fig. 7a, se combinan para formar una resistencia de 2 ohmios, que en la Fig. 7b es transformada en una conductancia de 0.5 mhos. También es conveniente transformar las fuentes de voltaje que llevan resistencias en serie a fuentes equivalentes de corriente, puesto que la solución de la red ha de basarse en ecuaciones de la ley de la corriente. Así, e ,2 =2 voltios en serie con 0.5 ohmios en la Fig. 7a es reemplazado con un generador de corriente de 4 amperios, en paralelo con una conductancia de 2 mhos, como se indica en la Fig 7b (véase la Pág. (15) y (16).

El número correcto de voltajes de pares de nudos que deben emplearse en el análisis nodal es igucd al número total de nudos de la red menos uno, o sea

(nt — 1) = n

Este enunciado resultará evidente cuando se reconozca que el análisis nodal implica únicamente el establecimiento de ecuaciones relativas a la ley de la corriente, únicamente. Se recordará que, en una red que tenga n? = (n + 1) nudos, solamente pueden establecerse n ecuaciones de corriente independiente. En consecuencia, deben emplearse en el análisis n voltajes de pares de nudos independientes.

La red de la Fig. 7 tiene cuatro nudos. De aquí que se escojan como variables independientes sobre las cuales basar el análisis tres voltajes de pares de nudos, (ex, e2 y e3 de la Fig. 8). Los voltaje? escogidos no deben formar por sí una

|Kf'' I


Fig. 7. Redes equivalentes

trayectoria cerrada, pues en este caso (et + e2 + e3) sería igual a cero, estableciéndose así una dependencia. En la Fig. 8, ea, e2 y e3 son escogidos en tal forma que tienen un solo nudo en común. Esta selección especial suministra voltajes de pares de nudos independientes y da como resultado ciertas simplificaciones que en seguida se verán claramente.

Se observará, por las Figs. 7 y 8 que todos los voltajes de rama pueden ser expresados como combinaciones lineales de e1( e2 y e3. Las ecuaciones se establecerán haciendo las caídas de voltaje, representadas por las v, iguales a la suma de las elevaciones de voltaje, designadas por las e, llevando el trazo desde un'nudo, en el sentido de la caída de voltajes, a través de las elevaciones, y de regreso al punto de partida.

Así,vm — ©i — e2, v64 = e3 » (28)

V ft2 ==: © 1 ©3# V f t s = = © 2

v&a = e3 - e2 |

Por ejemplo, siguiendo una trayectoria cerrada, se tiene

v¡,i — v63 — v¡,2 = (ei — e2) — (e3 — e2) — (et — e3) = 0.

El resultado de usar las e como variables independientes de la red es que las ecuaciones relativas a la ley del voltaje de la misma han sido en efecto aplicadas y sólo quedan tres

®


©

Fig. 8. Voltajes de pares de nudos, e1, e2 y e3, utilizados en el análisis de la red dada en la Fig. 7

ecuaciones de corriente por establecer. Estas últimas ecuaciones pueden establecerse aplicando la ley de Kirchhoff relativa a la corriente, a los nudos 1, 2 y 3 de la Fig. 7b. Observamos primeramente que las corrientes de rama están relacionadas con las e como sigue:

i&, = 0.5v&i = 0.5ei — 0.5e¡¡

162 = 0.5v¡,3 = 0.5ei — 0.5e3

163 = lv „3 — les — le 2 (29)

164 = lv i4 = je*

i6s = 2v65 *= 2e3


Las ecuaciones relativas a la ley de la corriente son:

En el nudo 1:iji “t* i¿2 l©i 0.5e2 0.5es — i|i (30)

En el nudo 2:—iu ift3 "I* it5 ~ 0.5ei 3.5e2 les ~ i# 2 (31)

En el nudo 3:—i&2 + i ¿a + ij4 = — 0.5ea — le2 + 2.5es = 0 (32)

Puesto que in e is2 son cantidades conocidas, pueden obtenerse directamente los valores numéricos de las e y de éstos deducir inmediatamente los voltajes de rama. En el presente ejemplo, nos proponemos determinar el valor numérico de

7.

2 -0.5 -0.5 1 —ú.5 2-4 3.5 - 1 — -0.5 3.5 -4

0 - 1 2.5 -0.5 - 1 0

1 -0.5 -0.5 -0.5 3.5 -1 -0.5 -1 2.5

v„ = v&2 = ei — e3 —■— — -—:— = 1.566 voltiosO./o

El método diseñado anteriormente es elegante en su simplicidad, pero con selecciones más generales de las e, los fenómenos físicos involucrados pueden resultar obscurecidos. Resultará instructivo resolver el problema diseñado arriba haciendo uso del método de superposición. El método ha sido ya aplicado al establecimiento de las ecuaciones de voltaje, en el método de análisis de corrientes de espira. Allí estaban abiertos los circuitos de todas las espiras, excepto la de aquella a la cual tocaba el tumo y las caídas del voltaje componente alrededor de cada espira, eran evaluadas aplicando una sola corriente de espira, en tumos sucesivos. Un método similar de ataque puede ser aplicado aquí para establecer el número necesario de ecuaciones de corriente, pero en este caso, para determinar las corrientes que se alejan de los nudos 1, 2 y 3, igualaremos a cero todas las e, excepto la que esté en tumo. De este modo estaremos en condiciones de interpretar los elementos de la matriz de con-


ductanda de una red, a la luz de las conductancias mensurables.

Cuando se aplica la ley de la corriente de Kirchhoíf a cada uno de los tres nudos marcados de la Fig. 7b, será conveniente tener cuidado de colocar un amperímetro en el nudo correspondiente, como se indica en la Fig. 9. En la Fig. 9a la comente que se aleja del nudo 1, para una elevación de ej de 1 voltio (y para e2 = e3 = 0) puede determinarse así:

In = 0.5ej + 0.5ei = leí

Por lo que respecta a ei e i«, la ecuación de la corriente en el nudo 1 es

In = leí = i«i (33)( alejándose) (hacia el nudo 1)

Esta igualdad, por supuesto, no explica el efecto causado sobre la corriente del nudo 1 por e2, e3 o i,*.

Para encontrar el efecto de e2 sobre la corriente existente en el nudo 1, ponemos en corto circuito ei y e3, como se indica en la Fig. 9b, y notamos que

1« = ~ 0.5e¡¡ (34)

Procede el signo menos, puesto que un aumento en e2 produce 0.5e2 amperios, orientados hacia el nudo 1 y se ha tomado como positiva la corriente que se aleja de ese nudo (véase la Fig. 9a y la ecuación 33). A continuación se observa el efecto de é3 sobre la corriente existente en el nudo 1. Para hacer esta observación, ponemos en corto circuito a e i y e3, como se indica en la Fig. 9c, y encontramos

lis = — 0.5es (35)

Las corrientes componentes de las ecuaciones (33), (34) y (35) pueden combinarse de acuerdo con el principio de la superposición para obtener la ecuación de la ley de la corriente, válida en el nudo 1.

leí — 0.5e2 — 0.5es = i,2 (36)

i,i es la corriente de la fuente, orientada hacia el nudo 1 con ei = e2 = e3 = i«3 = 0. Con una selección más general de las e, el efecto de is2 podría contribuir a la corriente del nudo 1. Puesto que i82 está conectada directamente a través de los puntos terminales de e2 en este caso y puesto que e2 está


reemplazado por un corto circuito para esta valuación en particular i,2 produce una corriente componente cero en el nudo 1 o en la posición Il5 (Se tendrá en cuenta, por supuesto, que el amperímetro conectado al nudo 1 es meramente un artificio para ayudar a seguir el rastro de las diversas corrientes componentes establecidas en este nudo por elt e2, e3, ifl, e i42).

Para establecer la ecuación de la ley de la corriente válida para el nudo 2 de la Fig. 7b, se hace uso de las Figs. 9d, 9e y 9f, a fin de obtener

—0.5ei + 3.5e2 les = i*2 (37)

De modo semejante, encontramos que la ley de la corriente, aplicada al nudo 3 da

—0.5ei — le2 + 2.5es = 0 (38)

Los coeficientes de las ecuaciones (36), (37) y (38) indican que Gn = 1 mho, G22 — 3.5 mhos y G33 = 2.5 mhos. La inspección de la Fig. 7b mostrará que estas conductancias son precisamente las conductancias conectadas a los nudos 1, 2 y 3, respectivamente. Un examen ulterior mostrará que las conductancias mutuas Gi2, Gi3, G21, G23, etc., son iguales y de signo opuesto a las conductancias conectadas. Este método para determinar las G es ampliamente usado en casos en que

\ las e tienen una terminal común, como en las Figs. 7 y 8.Las ecuaciones (36), (37) y (38) han resultado de la apli

cación del principio de superposición y en este particular son de forma idéntica a las ecuaciones (30), (31) y (32). (Para una selección más general de las e, ambos juegos de ecuaciones podrían diferir en la forma numérica).

Una ventaja resultante del uso de la superposición es que ios elementos de la matriz de la conductancia tienen valores que pueden ser medidos con ayuda de un amperímetro ideal y de una fuente de 1 voltio. En general, esta matriz toma la forma.

Gn G i2 G í3 Gi„G2i g 22 g 23 . .. g 2„

G„i gL g «3 . • G»„

Si se sigue el esquema delineado en la Fig. 9, son claros


(D

©(b) I,/e2 = Glz= -o.5a

(e ) I2/e2 = GK=3.5U

Fig. 9. Corrientes componentes en los nudos 1. 2 y 3, producidas por pasos o etapas unitarias de los voltajes de pares de nudos et, e2 y e3.

Los números puestos en las resistencias s o r mhos.

los significados de las G. Para j igual a cualquier número, de1 a n inclusive, G j} es la corriente que fluye del nudo j a la red, por cada unidad de aumento en el voltaje e¡. (e¡ es el voltaje del par de nudos, el extremo de cuvq flecha representativa termina en el nudo j). En la Fig. 9a se utiliza el am


Fig . 9: (Continuación)

perímetro Ia pora medir Gn, en la Fig. 9e se utiliza el amperímetro I2 para medir G22, y así sucesivamente. Todos los voltajes de pares de nudos, excepto e¡, se hacen iguales a cero durante esta medición, puesto que el esquema utilizado aquí hace uso del principio de superposición. G,* es la corriente que fluye a la red, desde el nudo j, por unidad de aumento del voltaje e*; j ^ k. (e* es el voltaje del par de nudos el extremo de cuya flecha representativa termina en el nudo k). En la Fig. 9b, por ejemplo, se utiliza el amperímetro Ij para medir G12, la corriente que fluye a la red por unidad de aumento del voltaje e2, igualados a cero todos los otros voltajes independientes de pares de nudos (et y e3).

Después que se ha establecido la matriz de la conductancia y se han tomado debidamente en cuenta las fuentes de corriente, la solución nodal es completa, excepto por lo que respecta a operaciones rutinarias.

Se obtendrá una visión más profunda del método nodal


si los voltajes independientes de pares de nudos que se seleccionen no tienen un nudo común. Este tema será nuevamente tratado, cuando se haya dado la definición de árbol topològico.

Fig. 10. (b) es una representación topològica de las ramas desconocidasde (a).

Topologia de la Red.3 Ciertos aspectos del comportamiento de la red se ponen mejor de relieve si se considera la red como una gráfica. Para construir esta gráfica, reemplazamos cada rama de la red por una línea, sin tener en cuenta los elementos del circuito que constituyen esta rama. También pueden combinarse simples elementos paralelos. La gráfica de la red dada en la Fig. 10a, por ejemplo, se ilustra en la Fig. 10b. Cuando una rama consiste solamente en una fuente de corriente puede omitirse en la gráfica pues no representa un voltaje o corrientes desconocidas. Para fines de análisis, los b voltajes de rama desconocidos o las b corrientes de rama desconocidas, son de inmediata importancia. Las fuentes desconocidas pueden ser incorporadas a las ecuaciones de equilibrio en cualquier etapa apropiada del análisis.

La gráfica de la red ilustrada en la Fig. 10b tiene cuatro nudos, seis ramas, y tres espiras o mallas interiores, y es susceptible de representación en un plano. Puede considerarse que la gráfica separa toda el área del plano en cuatro áreas

3 La topología, generalmente, trata de la forma o estructura de un ente geométrico, pero no con el tamaño o forma precisos de este ente. La topología de la red trata de la gráfica formada por las ramas in- terconectadas de la red y no del tamaño, formá o características de funcionamiento de los elementos de la red que forman las ramas. En este sentido, la topología de la red es geometría de la red.

b b


cerradas: las tres mallas interiores y el área exterior o malla externa. En este sentido, cualquier área no dividida, cuya frontera está compuesta de ramas lineales, se llama una malla. Puesto que el área externa tiene una frontera de esa naturaleza, puede considerarse como una malla. Cuando la gráfica se dibuja sobre una esfera, cualquiera de las mallas interiores de una gráfica plana como la de la Fig 10b puede convertirse en la malla exterior. El proceso mediante el cual se tiene este resultado, se llama alabeamiento topològico.

Una solución de la red basada en las corrientes de espira requiere el empleo del número correcto de ecuaciones independientes de voltaje. Si está basada en voltajes de pares de nudos, la solución requiere que se formule el número correcto de ecuaciones independientes de corriente. En las redes simples, es posible obtener rápidamente ecuaciones independientes, mediante simple inspección, o por métodos tratados anteriormente. Ciertos aspectos generales del problema pueden ser aclarados mediante el uso de un árbol topològico.

Un árbol es un conjunto de ramas, dispuesta de tal modo que a cada nudo (o terminal) está conectada cuando menos una rama, el conjunto no contiene trayectorias cerradas y puede encontrarse un paso único que una dos nudos cualesquiera de la gráfica a la cual es aplicable el árbol.

En la Fig. 11 se presentan cuatro gráficas de extremos abiertos, basadas en la configuración de circuito de la Fig. 10.

Como cada una de estas gráficas de extremos abiertos satisfacen todos los requisitos de un árbol, cada gráfica es un árbol correspondiente a la Fig. 10.

Para formar un árbol, (correspondiente a una red determinada) necesariamente deben abrirse ciertas ramas. Las ramas así abiertas reciben el nombre de eslabones o ramas de eslabonamiento. Los eslabones de la Fig. lia, por ejemplo, son las ramas ab, be y ca y los de la Fig. 11b son ab, de y da. Es obvio que los eslabones y las tres ramas se combinan para formar la gráfica de toda la red.

La identificación de las corrientes de eslabón con las corrientes de espira lleva directamente a las corrientes mensurables de espira. En casos en que el interés se centra alrededor de corrientes particulares, como, por ejemplo, las de entrada y salida de la red, pueden escogerse como eslabones las


ramas de entrada y salida, siendo la razón que sólo una corriente de espira recorre un eslabón. En consecuencia sólo se necesita una corriente de espira para obtener la corriente de esta rama. Así, el árbol puede en la práctica ser seleccionado por ulteriores motivos de esta especie.

Una vez que se ha formado un árbol topològico para una red en particular, la determinación de corrientes independientes resulta un procedimiento automático. Simplemente ciérrese un eslabón, como, por ejemplo, el ab de la Fig. lia, y utilícese la espira así formada como trayecto de la corriente de espira número 1. En este caso.

Me esp ira W eslabón 1abda *1

Abrase a continuación este eslabón y ciérrese otro para establecer la trayectoria de una segunda corriente de espira, y repítase el procedimiento, hasta que cada corriente de eslabón haya sido identificada con una corriente de espira. Así se obtienen espiras, para las cuales pueden formularse ecuaciones independientes de voltaje. Las corrientes de espira

b b

Fig. 11. Cuatro árboles topológicos, correspondientes a la red de laFig. 10.


son independientes, puesto que cada una puede medirse con un amperímetro en un eslabón distinto. Se obtiene el número correcto de corrientes independientes de espira, puesto que se necesitan todas las corrientes de espira asi seleccionadas, para obtener una solución de la red, y un número de corrientes de espira superior a éste, conduciría a ecuaciones de voltaje que no son independientes de las ya establecidas.

Los voltajes de pares de nudo independientes necesarios para llevar a término una solución nodal pueden también determinarse rápidamente mediante un árbol topològico. En el análisis nodal elemental generalmente se escoge un nudo de la red como nudo común a cada uno de los voltajes de pares de nudos utilizados. En la Fig. lia, por ejemplo, podríamos escoger el nudo de como nudo común, y utilizar

ei = vad, e2 = vm, y e3 = ve<¡

como los tres voltajes de par de nudos independientes, necesarios para llegar a una solución. O se' podía escoger como común el nudo c, y utilizar

ea = Voc, e2 = v6c, y e ¡ = v*.

como los voltajes de par de nudos requeridos. Debe notarse que este modo de seleccionar los voltajes de par de nudos da automáticamente' (n* — 1) o n voltajes, que es el número necesario para lograr una solución de la red. La independencia de los voltajes de par de nudos así seleccionados, se sigue de

1. Sólo existe una trayectoria entre el nudo común y cualquier otro nudo;

2. Los nudos están separados en potencial uno de otro, cuando menos por la diferencia de potencial correspondiente a una rama.

Una ventaja del método topològico de análisis de circuito es que pone de manifiesto criterios de solución que de otra manera habrían quedado inadvertidos. Por ejemplo, los voltajes de rama forman por sí un juego o conjunto independiente de voltajes de par de nudos que puede utilizarse en el análisis nodal para llegar a una solución de la red. Hay n* nudos y, con excepción de la primera rama del árbol (que se interpretará como que tiene dos nudos que inciden en ella) todas


las otras ramas utilizan un nudo adicional para quedar determinadas o individualizadas. Así n ramas existen en un árbol dado, y se pueden obtener n voltajes de pares de nudos directamente del voltaje de las tres ramas. El requisito único

1 amp.

i

—AA/V—_ M +

MAAr-b3

©

»tó *»\>2U íS2tr *»\>3U oí3 amp.

's3

Fig. 12. Ejemplo.

para seleccionar un grupo de voltajes de par de nudos con el cual efectuar un análisis de la red es que estos voltajes de par de nudos se correspondan con los voltajes de par de nudos de un árbol topològico.

A fin de ilustrar aún más el método nodal, se analizará en tres formas diferentes la red dada en la Fig. 12, empleando voltajes de pares de nudos. Primeramente se lomarán las tres e del árbol mostrado en la Fig. 13a como voltajes de par de nudo independientes. Cuando se utiliza un nudo común pueden obtenerse directamente las autoconductancias y las conductancias mutuas directamente, mediante la inspección de la red. Así, en mhos

0

4 mhos

Gii — 3 G „ = - i Gis

G21 = - 1 g 22 = 4 G¡¡3

G»i * 0 G23 = - 1 Gss

® © U Q ®

i(a) (b)

Fig. 13. Dos árboles, correspondientes a la red de la Fig. 12.


Supóngase que se desea determinar los voltajes de los nudos 1 y 2 con respecto de la tierra.

Potencial del nudo 1 = e' =

Potencial del nudo 2 = e' =

1 - 1 00 4 - 13 - 1 4

3 - 1 0- 1 4 - 1

0 - 1 4

3 1 0- 1 0 - 1

0 3 441

18

41voltios

*3 , •— voltios 41

Si se usa en el análisis el árbol dado en la Fig. 13b, se encuentra que

v»i = ea v62 = e2 v»3 = e3 v¡,4 = ej + e2 V55 ~ e2 e3

ifti = leí i j2 — 2e2 ijs = le3 i 64 = 2ex + 2e2 i&5 3e2 4" 3e3

(40)

(41)En el nudo 1: i6l + i6< = 3e! + 2e2 + 0e3 = 1

En el nudo 2: —iM + i42 — ii3 = — lej + 2e2 - le3 = 0 (42)

En el nudo 3: i¡,3 + i65 = 0ex + 3e2 + 4e3 = 3 (43)

Despejando a ej y e¡

= — voltios 41

1 2 00 2 - 13 3 43 2 0

- 1 2 - 10 3 4

3 1 0- 1 0 - 1

0 3 4e2 =

41

13 , .= — voltios 41


El potencial del nudo 1 de la Fig. 12, con respecto de tierra, es

18vj4 = ei + 62 = — voltios

41

Si los voltajes de par de nudos ei, e2 y e3 de la Fig. 13b se aplican juntamente con el principio de superposición, las autoconductancias y conductancias mutuas se determinan por medio de las consideraciones de orden físico bosquejadas en la Fig. 14. Si se admite que

Gji = G12, G31 — Gis, G32 = G23 y Ggs = 4 mhos

la matriz de la conductancia toma la forma

GiG2Gs

GiG*Gs

GisG23G „

(44)

Puesto que se ha empleado la ley de superposición para establecer las ecuaciones de corriente en los nudos 1. 2 y 3, es necesario incluir las corrientes que se dirigen hacia estos nudos desde todas las fuentes de comente con e i= e 2= e 3= 0. En la Fig. 14f se ve que un amperio se dirige hacia el nudo1 desde las fuentes, 4 amperios hacia el nudo 2 y 3 amperios hacia el nudo 3. Puesto que se han tomado como positivas cuando se alejan de los nudos las corrientes resultantes de ei, e2 y e3, las tres ecuaciones de corriente pueden ser formuladas como sigue:

3ex + 2e2 + 0e3 = 1 (45)

2et + 7e2 + 3es = 4

0ex + 3e2 + 4e3 = 3

(46)

(47)

Despejando a ex y e2

ei =

e2 =.

1 2 04 7 33 3 43 2 02 7 30 3 4

3 1 02 4 30 3 4

• voltios

41

41

13— voltios 41


e3 = i volt

(e) 12/e3 = G2}= 3 U (f) ¡q= 1, ¡0 = 4, ¡0 = 3 amp.

Fig. 14. Valuación de la autoconductancia y la conductancia mutua de la Fig. 12, empleando los voltajes de par de nudos e1, e2 y e3 de la

Fig. 13b

Por los tres ejemplos que se acaban de dar (y por otros que pueden desarrollarse), resulta evidente que los voltajes d^par de nudos pueden aplicarse en diversas formas a la


solución de la red. Lo mismo puede decirse del uso de corrientes de espira. Para obtener las soluciones deseadas, a menudo se emplean ingeniosas combinaciones de voltajes de pares de nudos y de corrientes de espira, así como ingeniosos teoremas sobre la red. Uno de los aspectos fascinantes del análisis de la red es la diversidad de criterios de solución que están a la disposición del analista.

Dualidad. Cuando dos elementos del circuito están en serie como en la Fig. 15a la selección natural de variable independiente es la de la corriente, puesto que ésta es común a cada elemento. Para el caso en cuestión

Riij + R2H + R3Í6 = Vbo

R6 = (Ri + R2 + Rs) = — ú

Cuando los elementos están en paralelo como en la Fig. 15b, la selección natural de variable independiente es la del voltaje, que es común a los elementos. En la Fig. 15b

G^Vb + GjVb + G sVb = ib (49)o

Gb = (Gj + G2 + Gs) = — (49a)Vb

La semejanza de forma de las Ecs. (48) y (49) resulta evi-

(48)

(48a)

Fig. 15. v6 = v, + v2 + v, e ij = ij + i2 + i„


dente. En una de ellas se aplica la ley del voltaje para establecer la relación básica entre i» y v»; en la otra, se aplica la ley de la corriente. En una de ellas se usan las resistencias; en la otra, las conductancias.

Este dualismo se extiende por todo el campo de aplicación de los dos métodos fundamentales de análisis de la red. Uno de los métodos utiliza corrientes de espira, resistencias, ecuaciones de voltaje y fuentes de voltaje. El otro utiliza voltajes de pares de nudos, conductancias, ecuaciones de corriente y fuentes de corriente. Las corrientes de espira independientes y mensurables pueden ser identificadas con la corriente que fluye en los eslabones de la red, mientras que los voltajes de pares de nudos independientes y mensurables pueden ser identificados con voltajes de rama del árbol topològico. Las ecuaciones de equilibrio en un método de análisis se basan en

^Vairededor de una esp ira 0

Las ecuaciones de equilibrio del otro se basan en

Si orientada bacia un nudo 0

Siempre que los elementos de un sistema en correspondencia unívoca con los elementos de otro sistema, esta correspondencia se llama dualidad. La dualidad puede, en consecuencia, existir entre los métodos de análisis de voltajes de pares de nudos, y de corrientes de espira, siendo un método el dual del otro. Desde un punto de vista algebraico dos redes son duales si las ecuaciones nodales de una son de la misma forma que las ecuaciones de espira de la otra. Las ecuaciones de equilibrio de la red de la Fig. 16a, que tiene dos corrientes de espira independientes, son

Rii ii "I- R12 12 ~ e41 (50)

R21 ii R22 Í2 = e*2

Las ecuaciones de equilibrio de la red de la Fig. 16b, que tiene dos voltajes de par de nudos independientes, son de la forma

G11 ej G12 e2 — i»i(51)

G21 ej "i- G22 62 — i#2

Con la excepción de les interpretaciones dadas a los sim-

S


bolos en las Ecs. (50) y (51), estas ecuaciones son idénticas. El hecho de que las formas de las ecuaciones sean idénü-

Fig. 16. Redes duales

cas, las convierte en duales. Obviamente, la dualidad es una relación mutua. Las Ecs. (50) son les duales de las Ecs. (51), tanto como éstas lo son de las (50).

Desde un punto de vista gráfico, dos redes son duales cuando las mallas (alrededor de las cuales 2v = 0) de una red están en una correspondencia unívoca con los nudos (en los cuales Si = 0) de la otra red. En éste respecto, una malla se considera como una región o área limitada por ramas o caídas de voltaje de la red. Con esta interpretación del término malla, una rama cualquiera de una red divide o separa exactamente dos mallas (o regiones), con tal que la gráfica de la red pueda ser representada sobre un plano o esfera (sin cruzamientos). Correspondientemente, una rama de una red une exactamente dos nudos. Se recordará que una red tiene (nt — 1) = n nudos, en que pueden establecerse ecuaciones de corriente independientes. La dual de esta red tendrá (mt — 1) = 1 mallas o espiras, alrededor de las cuales pueden establecerse ecuaciones independientes de voltaje (m< simboliza el número total de mallas o regiones de una gráfica en particular). La gráfica de la Fig. 16a, por ejemplo, está compuesta de tres mallas, dos interiores, alrededor de las cuales circulan it e i2, y una malla exterior, limitada por las ramas eM — Rx y R2 —1 e,2. La región externa es, por supuesto, una malla, tanto como lo es cualquiera de las interiores, puesto que está limitada por ramas de red. Además,

C O N C E P T O S S O B I I B E D E S 49

si la Fig. 16a fuera dibujada sobre una esfera y alabeada topològicamente (restirándola), cualquiera de las mallas interiores podía tomarse como malla “exterior''.

En la Tabla I se listan algunas de las principales correspondencias existentes entre la solución de corrientes de espira y la de voltajes de pares de nudos. Otras resultarán evi-

TABLA L

Solución

Elemento involucrado Corriente de espira voltaje de par de nudos

Ecuaciones de equi voltaje 2 v = 0 corriente Si = 0librioNúmero de ecuacio b — n = 1 (b — 1) = nnes independientesComponente básica voltaje de rama corriente de ramaElemento energizador fuente de voltaje fuente de corrienteVariable de la red corriente de espira voltaje de par de

nudosVariables indepen corrientes de esla voltajes de rama dedientes de la red bón árbol topològicoParámetro de cir resistencia conductanciacuitoLos parámetros se en serie en paralelosumanParámetro infinito R = oo (circuito 6 = oo (corto cir

abierto) cuito)Parámetro cero R = 0 (corto circuito) 6 = 0 (circuito

abierto)Entidad topològica malla nudoCualquier rama topo divide exactamente une exactamente doslògica dos regiones (o

mallas), con tal que la gráfica pueda dibujarse sobre un plano (o esfera)

nudos

dentes al continuar la exposición. Debe notarse que, mientras que 1 = n en las redes duales, no es necesariamente igual a n en una red particular.

Construcción Gráfica de Redes Duales. Para construir una red que deba ser la ducd de otrá red dada, todas las caídas de voltaje que se encuentran en el contorno de una


malla de una red, se transforman en trayectorias de corriente que emanan del correspondiente nudo de la otra, o viceversa. En la Fig. 17c se desarrolla un sencillo esquema gráfico para

■ * '' M a lla de

— v w v —Nudo a

Malla

■AAAAr

(a)

Nudo de referencia (b)

Fig. 17. (a) y (b) son duales; (c) indica cómo se obtiene (b) de (a)

establecer la correspondencia entre 2v = 0 de una red, con 2i = 0 de la otra. La red original en este caso es la Fig. 17a, que consiste en una sola espira (o rama) y dos mallas, es decir, la malla a (dentro de la espira de corriente) y la

L


media b (fuera de la espira de corriente). El nudo a de la dual propuesta corresponde a la malla a del circuito original, y de modo semejante por lo que respecta al nudo b y a la malla b. En la Fig. 17c se muestran los detalles involucrados en la construcción gráfica de una dual. Del nudo a de la Fig. 17c, por ejemplo, se traza una línea de modo que conecte el nudo a y el nudo de referencia, al pasar por un elemento (o caída de voltaje) de la espira original. Este proceso se repite para cada caída de voltaje involucrada en Sv = 0, teniendo debidamente en cuenta el sentido positivo. Debe adoptarse alguna convención sistemática para correlacionar los sentidos positivos de la dual con los que han sido escogidos para el análisis de la original. El sencillo esquema ilustrado en la Fig. 17c consiste en dar vuelta al sentido de la flecha de la corriente de espira (al cruzar la línea que conecta el nudo a con el nudo de referencia) colocándola en el sentido que se escoja como positivo para la corriente en la rama de la dual que se está produciendo. Para el caso de que se trata se escoge el sentido positivo de la corriente del nudo a, al nudo de referencia. Así, al dar vuelta en el sentido de las manecillas de un reloj al sentido de la corriente de espira, para cada una de las tres caídas de voltaje (vi, v2 y v3 de la Fig. 17a), se determina el sentido positivo de la corriente en las tres trayectorias correspondientes de la dual, el cual queda del nudo a, al nudo de referencia. Al aplicar este esquema a la fuente de voltaje e, notamos que el sentido de la corriente de espira coincide con una elevación de voltaje, al pasar por e,. El sentido positivo de la fuente de corriente, i«, en la dual, que reemplaza a e, de la red original, es, consecuentemente, obtenido dando vuelta a la corriente de espira, en el sentido "contra reloj" . 4 Queda así determinado que el sentido positivo va del nudo de referencia al nudo a, como se indica en la Fig. 17b o en la Fig. 17c. (Cualquiera otra disposición es buena para determinar los sentidos positivos del circuito, siempre y cuando sea aplicada en forma consistente).

El valor numérico de los mhos de la red dual se relaciona con los valores óhmicos de la red original mediante el factor normalizador gl. Así,

4 En el Cap. IV se propone el uso de la expresión "contra reloj" (N. del T.).

52 P R I N C I P I O S D E C O R R I E N T E A I I Z 1 N A

G , = gÜRj (52)

donde se escoge arbitrariamente a g».Por medio de un factor normalizador g„ se hace que una

fuente de corriente i, de la red dual corresponda a una fuente de voltaje de la red original, si la potencia entregada por

i, ha de ser igual a la potencia entregada por e,. Así, para que Pe, sea igual a P*.

2 .$ 2

P« = ^ = ^ = P** (53)

de donde

i. _ |G'_e. 1 R

g. (54)

Si, por ejemplo, en la Fig. 17, Rt = 2, R2 = 1 y R, = 3 ohmios y e, = 12 voltios, la ecuación de equilibrio es

2i + li + 3i = 12 voltios (i = 2 amperios)

Si se escoge arbitrariamente un factor normalizado, g», de 4,

Gí = 8, G¿ = 4, y Gá = 12 mhos

También i«' = (2 X 12) amperios y la ecuación de equilibrio de la red dual es

8v„ + 4v„ -I- 12v2 = 24 amperios (v„ = 1 voltio)

En la Fig. 17aPe» = 12 X 2 = 24 vatios

En la Fig. 17bPi,' = 1 X 24 = 24 vatios

El proceso gráfico ilustrado en la Fig. 17 se extiende a una red de cuatro mallas en la Fig. 18. Se observará que todos los nudos comunes a la espira 1 de la Fig. 18a aparecen como elementos comunes al nudo 1 de la red dual; de modo semejante para todas las otras espiras y nudos correspondientes. La red dual contiene el mismo número de ramas que la red original si las tres trayectorias paralelas que conectan al nudo1 (y que se derivan de una sola rama en serie de la red original), se cuentan como una sola rama. Es, por supuesto, evidente que para la dualidad algebraica 1 (el número de


corrientes de espira independientes) de una red debe ser igual a n (el número de nudos independientes) de la otra. Para 1 = n

mt = l + l = n + l = n t

donde mt es el número total de mallas y nf es el número total de nudos.

La manera en que puede ser invertido el proceso gráfico que se acaba de describir, se ilustra en la Fig. 19. Aquí se

3 u

(b)

Fig. 18. (a) Red original, (b) Red dual a _i'y » — *

54 P B I N C I P I O S D E C O R R I E N T E A L T E R N A

construye la ducd de una dual, a fin de obtener la red ori- gissd (véase la Fig. 18). Puesto que la dualidad es una función mutua, la construcción de una dual va de los mallas a los nudos (si la red original se considera como compuesta de medias), o de los nudos a las mallas (si se interpreta la red original a la luz de los nudos, como los entes topológicos). En la Fig. 19a se da un ejemplo de esta última situación. Cada corriente que sale del nudo 1 corresponde a una caida de voltaje en la malla 1 de la Fig. 19b; de modo semejante, para los otros nudos y mallas correspondientes.

Se ha establecido la condición de que, si se ha de construir la dual geométrica de una red, la gráfica de la red ori-

31/

(b)

Fig. 19. (a) Red original, (b) Red dual, g„ = 1

ginal debe ser susceptible de desarrollarse sobre un plano o esfera. La razón de esta condición es que la construcción requiere que las ramas de la red estén orientadas en forma


tal una con respecto de la otra, que todas las ramas separen mallas con exactitud, esto es, sin ambigüedad. La rama 5 de la gráfica no susceptible de desarrollo de la Fig. 20b, por ejemplo, no separa con exactitud dos áreas o mallas. Debido a esta ambigüedad, falla el dualismo geométrico, aun cuando se haya establecido un sistema dual de ecuaciones de equilibrio. Si, por ejemplo, los números de las gráficas de la Fig. 20 se refieren a resistencias en ohmios, las tres ecuaciones de equilibrio para cada red son:

7ii — 2is — 3is = 0

- S i + l l i * - 5i, = 0 (55)

—3ii — 5is + 14is — 0

Un sistema dual de ecuaciones puede formularse como sigue:

7et — 2e* — 3e3 = 0

— 2ei + lle2 — 5es = 0 (56)

—3ei — 5e2 + 14e3 = 0

Fíg. 20. (a} Una gráfica desarrollable.(b) Una gráfica no desarrollable.

En la Fig. 21 se da una red a la cucd son aplicables las ecuaciones (56); en esta figura los voltajes de par de nudos ei, ez y e3 son los voltajes de los nudos 1, 2 y 3, con relación al nudo de referencia.


3 U

Fig. 21. Dual de la Fig. 20a (Prob. 19)

PROBLEMAS

1. En la Fig. 22 se da una red de tres ramas, en la cual los voltajes de rama son

v#i = ( — 2 + vj2 == ( — + 2ii2) v»s = 2ib3

(a) Formule el número necesario de ecuaciones de voltaje y de corriente (para obtener una solución de la red), utilizando ijv i¿2 e i¿3 como variables independientes y despeje a W

(b) Formule dos ecuaciones de voltaje utilizando las comentes de espira it e i2 como variables independientes, comenzando con

3*n + 2ijs = 2 2ij2 + 2ij3 = 4

Valúese ib2 como (*i + **)•En la Fig. 20a, de la página 55, se da una red de seis ramas,

donde los números colocados al lado de las ramas indican ohmios de resistencia, así como las designaciones de las ramas. Así,

C O N C E P T O S S O B X I B E D E S 57

No se muestran en la Fig. 20 las fuentes energizadoras, haciéndose el supuesto de que cualquiera o todas las ramas pueden tener fuentes de voltaje en serie con las resistencias de las ramas.

Formule tres ecuaciones de voltaje, utilizando las corrientes de espira i1( i2 e i3 como variables independientes. Supóngase que los voltajes de fuente son, en la espira 1, = esl + es2 + eJ3; en la 2,E2 = ®j4 + ©j5 ®»2; en Es = ©je ©*s ©*3-

NOTA. Con una poca de práctica solamente, es posible formular ecuaciones de voltaje de este tipo, mediante la observación directa de la red, aplicando mental y repetidamente el principio de superposición.

Fig. 23. Los valores numéricos colocados al lado de las ramas (o de fracciones de rama), se refieren a resistencia en ohmios

3. Véase la Fig. 23a.(a) Determínense mediante observación directa los valores de b y

n,, y dense los valores numéricos de n y 1.(b) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje, utilizando coe

ficientes numéricos y las corrientes de espira indicadas en la Fig. 23a.(c) Obtenga el valor de la corriente ix, por voltio de e4.(d) Determínese la corriente en la resistencia de 3 ohmios, a saber,

(i2 — is), si et = 8 voltios.4. Véase la Fig. 23b.(a) Formúlense las ecuaciones de equilibrio, utilizando coeficien

tes numéricos y las corrientes de espira allí indicadas.(b) Determínense la potencia entregada a la red por e4 = 8 voltios.(c) Determínese el valor de la corriente en la resistencia de 3 ohmios,

a saber, (i2 — i3).5. (a) Determínense por observación directa los valores numéricos

de b y n, de la Fig. 24 y especifíquense los valores numéricos de

(b) ¿Qué restricciones físicas son impuestas por las corrientes de espira mostradas en lavFig. 24, que las hacen insuficientes (en número) para producir una solución de la red?

(a) (b )

n y 1.


(c) ¿Cuál es el correcto valor numérico del determinante de la resistencia de la red que utiliza corrientes mensurables como corrientes de espira? Por determinante de la resistencia se da a entender el determinante de la matriz de la resistencia que caracteriza a la red.

6. (a) Construyase un árbol topològico correspondiente a la red mostrada en la Fig. 24, de manera que

1. La corriente de espira se identifica con la corriente de eslabón

2. La corriente de espira i2 se identifica con la corriente de esla- bón ic/e.

3. La corriente de espira i3 se identifica con la corriente de esla- bón i j.

4. La corriente de espira i4 se identifica con la corriente de esla- bón iic.

(b) Repítese la parte (a) que precede, para

*1 — *2 efe1 *3 — *&<!' *4 *6c7. (a) Constrúyanse cuatro árboles topológicos, correspondientes a

la Fig. 23a. Dibújense los árboles con* líneas llenas (orientadas con respecto de los nudos a, b, c, d) y en líneas punteadas el resto del circuito, los eslabones.

(b) En cada uno de los diagramas anteriores muestre las tres corrientes de espira independientes que se obtienen identificando las corrientes de espira con los eslabones.

8. Dada la red ilustrada en la Fig. 25.(a) Calcule la corriente que recorre la rama ab, que contiene la

batería de 1 voltio, utilizando las corrientes de espira mostradas en la Fig. 25a.

(b) Calcule de nuevo la corriente de la rama ab, utilizando las corrientes de espira mostradas en la Fig. 25b. Todos los valores de las resistencias quedan en un ohmio, como se indica en la Fig. 25a.

9. (a) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje para la red ilustrada en la Fig. 26a, para las corrientes de espira indicadas.

(b) ¿Cuál es el valor numérico del determinante de la resistencia de la red, esto es, el determinante de la matriz de la resistencia que caracteriza la red?


FI9. 25. Prob. 8. (Valores de resistencias en ohmios)

10. (a) Formule las ecuaciones de equilibrio del voltaje para la red dada en la Fig. 26b, para las espiras de corriente indicadas.

FÍ9. 26. Probs. 9 y 10. (Valores de las resistencias en ohmios)

(b) ¿Cuál es el valor numérico del determinante de la matriz de la resistencia que caracteriza la red?

11. (a) En la Fig. 27 se forma una matriz de resistencia que corresponde a las corrientes de espira allí mostradas. ¿Cuál es el valor numérico del determinante de esta matriz?

(b) ¿Cuál es el valor correcto del determinante de la resistencia de la red?


Fig. 27. Prob. 11. (Todas las resistencias son de 1 ohmio)

12. Véase la Fig. 28.(a) Encuentre el potencial del nudo x relativo a tierra.(b) Encuentre el potencial del nudo y relativo a tierra.

Fig. 28. Prob. 12

13. (a) Determine mediante observación directa los valores numéricos de b y n( de la red ilustrada en la Fig. 29, y especifique los valores numéricos de n (el número de nudos independientes) y 1 (el número de espiras independientes).

Fig. 29. Probs. 13 y 14

(b) Transforme las tres fuentes de voltaje y correspondientes resistencias en serie en fuentes equivalentes de corriente, teniendo debida-


10 amp. i i

¡ti ó

(7 ) 0.5 a ( 2)— v w v -------

1 0 0.5 a ó •*2

5 amp.

0.1 U

Fig. 30. Probs. 15 y 16

e2 = 1 volt

(a) G „ = ¡ „ / l = l .6 £/

e1 = o

© I» = o > <>-»

I 22 = 5 amperes

(e ) I u « 10 amperes; I 2| = 0

Fig. 31. Prob. 17. Para uso en la resolución de un problema por superposición


mente en cuenta los sentidos positivos y dibuje la red equivalente, incorporando las tres fuentes de corriente.

14. Determine el voltaje del nudo x con relación a tierra, de la red dada en la Fig. 29.

15. Determine los potenciales de ios nudos 1 y 2 de la Fig. 30, con relación a tierra, utilizando Vj y v2 como voltajes independientes de par de nudos.

1G. Repita el Prob. 15, utilizando vx y v3 como voltajes independientes dé par de nudos.

17. Determínense los potenciales de los nudos 1 y 2 de la Fig. 30, aplicando el principio de superposición, con

®i = V1 e2 ~ V3 *»1 *»2En la Fig. 31 se dan esquemas que muestran a ®11> ®12* ®21' ®22 y las corrientes componentes, en los nudos 1 y 2. Este ejercicio de superposición se ha ideado para mostrar cómo, en el análisis del circuito, pueden considerarse separadamente los efectos de Oj, e2, i81, e i,2. Cuando se combinan los efectos, se encuentra que

1.66! — 0.6e2 = Itl + I12 == 5 amperios —O.Bej + l.le2 = I22 + I21 = 5 amperios

18. Construyase la dual de la red dada en la Fig. 24, de la página 58, sin tener en cuenta las fuentes, yendo de las mallas a los

nudos. Utilícese un factor normalizador (e„) de 4.19. Constrúyase la dual de la red ilustrada en la Fig. 21, de la

página 56. Hágase el factor normalizador igual a la unidad.

20. Constrúyase la dual de la red mostrada en la Fig. 32, con la construcción yendo de las mallas a los nudos. gn = 2.

21. Determínese el valor de va en la Fig. 7, Pág. 31 empleando una corriente de espira conocida y dos corrientes de espira desconocidas

Capítulo II

Corriente, voltaje y potencia instantáneaGrandes partes del análisis de circuitos están dedicadas

a las respuestas estacionarias de circuitos energizados con corrientes o voltajes alternos, que varían en función del tiempo, en forma aproximadamente sinusoidal. Es preciso captar varias definiciones o convenciones relativas a cantidades alternas de esta especie y dominar diversos conceptos, antes de poder manejar con facilidad las corrientes y los voltajes altemos.

Primeros Tiempos. El primer sistema operante de fuerza eléctrica, en los EE. UU., fue, probablemente, la instalación de corriente continua que montó Edison en lá ciudad de Nueva York. Esta estación estaba trabajando satisfactoriamente en 1885. Los sistemas de corriente alterna comenzaron comercialmente con la instalación hecha en Great Barrington (Massachusetts), en 1886.

Durante la década de 1907-17, que siguió a la invención del bulbo de vacío de tres electrodos, se convirtieron en una realidad las corrientes oscilatorias, sostenidas de alta frecuencia. Estas corrientes oscilatorias o alternas de alta frecuencia son imprescindibles para todas las formas modernas de comunicación: radio, televisión y radar.

La ventaja preponderante de los sistemas de c-a (en contraste con los de c-c) es la relativa facilidad con que diferencias de potencial alternas pueden ser generadas, amplificadas y transformada en general su magnitud. El resultado es que, en la actualidad, aproximadamente 95 por ciento de la energía eléctrica consumida en los EE. UU. es generada, transmitida y utilizada en forma de corriente alterna. Por lo que respecta a fuerza eléctrica, el consumo de energía se eleva anualmente' a unos trescientos mil millones de kilova- tios-hora. En el ámbito de la comunicación, varios miles de


estaciones difusoras (de los tipos de AM, FM y televisión), utilizan diferencias alternas de potencial para generar ondas portadoras.

Generación de Diferencias de Potencial Alternas. Cuando se mueve o dezplaza un imán con respecto de conductores eléctricos, como se muestra en la Fig. 1, se induce en los conductores una diferencia de potencial o fem. De acuer-

d<£do con la ley de Faraday, tenemos, e = — N — o su equi-

dtvalente e = N'Blv y la fem varía en función del tiempo. Para el instante ilustrado en la Fig. 1, la aplicación de una de las reglas para la determinación de la magnitud y dirección de una fem inducida mostrará que la fem inducida en los conductores de la armadura es igual a cero, pues en ese instante los conductores no cortan el flujo mognético. Efectuado, en cambio, un octavo de revolución, la fem inducida es de magnitud máxima y de un sentido tal, que establece una elevación de voltaje de la terminal a, a la terminal d. Efectuado un cuarto de revolución, a partir de la posición mostrada en la Fig. 1, la fem inducida será igual a cero nuevamente. A los tres octavos de revolución, contados a partir de la posición de referencia, la fem será de nuevo de valor máximo, pero cambiará de sentido estableciendo una elevación de voltaje de la terminal d, a la terminal a.

Así, pues, las terminales a y d del generador son alternativamente positivas y negativas, una con respecto de otra, y se establece una diferencia de potencial, variable en función del tiempo, del tipo, en general, de la que muestra el Oscilograma No. 1 (Pág. 70).

Fig. 1. (a) Generador de c-a, de cuatro polos y cuatro conductores, del tipo de campo rotatorio, (b) Esquema desarrollado, que muestra el modo de conectar los conductores A, B, C y D. Las caras de los polos

quedan de frente al lector.

CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS 485

Fig. 31. Véase el Problema 29.

34. Véase el ejemplo 13, Págs. 479-"480 inclusive la Fig. 26. Despeje a L* lo e I3 por el método de corriente de circuito, despreciando las componentes resistivas de todas las impedancias de las ramas, para una secuencia de voltaje E^-E^-E^. (Los a> a resultados pueden ser dejados en la forma de la relación de dos matrices).

35. En la Fig. 32, L ab = L cb === 0.01 henrios, y el coeficiente de acoplamiento es de 0.5. No se supongan más resistencias o inductancias que las indicadas en la figura. La secuencia de los voltajes de mandó balanceados es n'a'-n'b'-n'c' y

Fig. 32. Véanse los Problemas 35 y 36.

= 57.7 /90° voltios. Para 1 000 radianes/segundo, calcule lascorrientes de fase y de línea de la carga. Use el método de Maxwell de corriente cíclica.

36. Establezca el determinante para despejar a 1^, en el Problema35, si en cada línea que va a la carga se insertan 3 ohmios de resistencia pura y se utilizan la misma secuencia y eje de referencia dados en el Problema 35. Para una comprobación uniforme de los resultados, use corrientes cíclicas como sigue: Corriente cíclica = L

Corriente cíclica I, ccbb' Corriente cíclica a.'n'6'&a

37. Despeje la.n, l h>b, e Ic,c, en la Fig. 33, si En,a, = 1 350 - f jO voltios, En,ft, = — 675 — jl 170 voltios y En,c, = — 675 4“ jl 170 voltios.

Fig. 33. Véase el problema 37.


contrario al de las manecillas de un reloj (2), sin cambiar la magnitud del fasor .

Sea j un operador que hace girar 90° contra reloj a cualquier vector a que se aplica como factor, esto es, por el cual se multiplica. El significado físico del operador j puede ser apreciado mejor considerando primero que opera sobre un fasor A, que coincide con el eje de las x. Entonces, por definición, cuando el fasor A de la Fig. 2 es multiplicado por j, se obtiene un nuevo fasor jA, a 90° contra reloj de A. Si el operador j es aplicado al fasor jA, hará girar, por definición, 90° contra reloj a jA. El resultado es jjA = j2A, como se muestra en la Fig. 2. También se sigue de la Fig. 2

i 2 A = - A

De aquí que¿2 = - l

y j = V ^ l (3)

Si se aplica el operador j al fasor j2A, el resultado es j3A = —jA. El vector j3A está a 270° contra reloj del eje de referencia, y directamente opuesto al fasor jA, en la Fig. 2. Si, a su vez, el fasor j3A es operado por j, el resultado j4A = j2j2A = A. Se ooservará que las aplicaciones sucesivas del operador j al fasor A producen pasos sucesivos de 90° de rotación del vector, en la dirección contra reloj, sin afectar la magnitud del fasor.

Se ve claramente en la Fig. 2 que la multiplicación de A por — j da — jA, un fasor de magnitud idéntica, hecho girar 90° a partir de A, en el mismo sentido de las manecillas de un reloj (3). De aquí que — j sea un operador que produce una rotación de 90° a reloj.

La Forma Cartesiana de Notación. Un fasor, en cualquier cuadrante, puede ser completamente determinado mediante la notación de coordenadas cartesianas, como se muestra a continuación

A = ±a ± ja ' (4)

en la cual a es la proyección del fasor sobre el eje de las x( 2) Proponemos la expresión "contra reloj", cuyas ventajas son ob

vias. N. del T.( 3 ) Proponemos la expresión "a reloj”. N. del T.

ALGEBRA VECTORIAL 139

Ai A

j2A =-A-X

fA=-jA

Fig. 1. Resolución del iasor A Fig. 2. Efectos producidos por en sus componentes axiales. aplicaciones sucesivas del opera

dor j al fasor A, cuya posición original coincide con el eje de las

x positivas.y a' es la proyección sobre el eje de las y. En cualquier caso, la magnitud del fasor A es:

La posición de fase de un vector en el primer cuadrante está convenientemente descrita en función del ángulo positivo agudo, medido contra reloj (4), partiendo del eje de las x hacia la posición del fasor En forma de ecuación

La posición de fase de un fasor, en el cuarto cuadrante, queda convenientemente descrita en función del ángulo agudo negativo, medido en un sentido a reloj (5), partiendo del eje de las x, hacia la posición del fasor

Un fasor del cuarto cuadrante puede, por supuesto, ser determinado en función del ángulo positivo (360° — 04a.), donde 04a. es la magnitud del ángulo, medido en un sentido negativo o a.r., partiendo del eje de las x, hacia la posición del fasor.

Las posiciones de fasores del segundo y tercer cuadrante pueden ser fácilmente situadas, en función de las compo

A = Va2 + a 2 (5)

(« )

(4) Abreviado c. r. N< del T.( 5) Abreviado a. r. N. del T.


nentes a y a', determinando primerc. el ángulo agudo, cuya tangente es a'/a, sin tomar en cuenta el signo, > y en seguida substrayendo este ángulo de 180° o sumándolo a 180°, según que la componente a' sea positiva o negativa.

La Fig. 3 ilustra el modo cómo los íasores pueden ser determinados en cualquier cuadrante, en magnitud y posición de fase, en función de componentes reales y de componentes j. Para determinar el ángulo de fase, es necesario conocer los signos particulares de a y de a', a fin de situar correctamente el ángulo 0. i

Fig. 3. Los iasores de cualquier cuadrante pueden ser determinados en (unción de sus componentes reales (eje de las x) y de sus compo

nentes j (eje de las y).

El Operador (eos 9 ± j sen 0). La inspección de la Fig. 3 mostrará que la proyección de un fasor sobre; el eje de las x, en cualquier cuadrante, es A eos 9. El ángulo 9 puede ser medido en sentido positivo o negativo, a partir del eje de las x, para determinar la proyección sobre este eje, pues eos9 = eos ( — 0).

La proyección sobre el eje de las y, en cualquier cuadrante, es A sen 9, si 9 se mide en el sentido c. r., a partir del eje de las x. La proyección sobre el eje de las y es —A sen 9, si 9 se mide en el sentido a. r., yendo del eje de las x hacia la posición del fasor . Por tanto

A = A (eos 0 ± j sen 9) (8)

es equivalente a la forma mostrada en la ecuación (4). Se usa el signo 4- si 9 se mide contra reloj, a partir del eje de referencia y — si 9 se mide a reloj.

ALGEBRA VECTORIAL 141

La ecuación (8) muestra que (eos 9 + j sen 0), al operar sobre una magnitud real A, esto es, un vector de A unidades de magnitud, tomadas sobre el eje de las x, hace girar a este fasor, a través de un ángulo + 9, desde su posición inicial. De manera semejante, el operador (eos 9 — j sen 9) hace girar al vector original, a través de un ángulo — 9.

Puede demostrarse que el operador (eos 9 ± j sen 9) hace girar cualquier fasor con el que se asocia como multiplicador, a través de + 9 o — 9 grados, lo que depende de que se emplee el signo + o el signo —. Supóngase un fasor en una posición tal, que a = A eos a y a' = A sen a.

A (inicialmente) = a + ja' = A (eos a + j sen a) (9) Sea A ' = A [operado por (eos 9 + j sen 0)]

A ' = A (eos a + j sen a) (eos 9 + j sen 9) (10)

A ' = A (eos a eos 9 + j eos « sen 9 + j sen « eos 9 ++ j2 sen a sen 9)

= A [(eos a eos 9 — sen a sen 9) + j (sen a eos 9 ++ eos a sen 0) ]

= A [eos (a + 9) + j sen (a + 0)] (11)

La ecuación (11) muestra que A ' es un fasor igual en magnitud al vector A, pero 9 grados adelante de la posición de A, pues ahora hace un ángulo de (n + 9) con el eje de referencia.

De modo semejante, es posible demostrar que el operador (eos 9 — j sen 9) hace girar —9 grados a cualquier fasor al cual se asocia.

Forma Exponencial del Operador (eos 9 ± j sen 9). La siguiente ecuación contiene una relación importante

(eos 9 ± j sen 9) = e±,e (12)La ecuación (12), conocida como la ecuación de Euler,

se sigue inmediatamente del desarrollo en serie,11 según la fórmula de Maclaurin, de eos 9, sen 9 y ei0.

8 Ciertas lunciones, entre las cuales se cuentan eos (0), sen (0) y e—í®, pueden ser desarrolladas en serie, mediante la fórmula de Maclaurin. La fórmula es

f ' ( 0 ) 0 f " ( 0 ) 0 - , / ' " ( O)03 f(6) = /(O) + ------1---- -------- 1---- ---------f • • • etc.

En esta fórmula í(0 ) es la función dada de 0 que ha de ser des-

Capítulo V

(Jlnálisis de circuitos sinusoidales monofásicos

Impedcmcias en Serie. En la Fig. 1 se muestra un circuito en serie, de tres impedancias. En un circuito de este tipo es evidente que sólo puede existir una corriente única, en

Ri Xi -R s .*.» R, -V W W - 'o o o o ' - 'V V w —If— W V W —

Vi v2) v3>

. I

Fig. 1. Impedancias en serie.

un instante dado, y que la corriente que pasa por cada impedancia es la misma. 1 La ley de Kirchhoff estatuye que

0 V = Vi + V2 + V3 (1)

V = IZx + IZ2 + IZ3 (2)y

V = I(Zi + Z2 + Z3) = IZ (3)

La ecuación (3) muestra que las impedancias en serie se suman en forma compleja para obtener la impedancia equivalente. Así,

Z = Zi + Z2 + Z3 = ( i ? j + j X 1 ) + ( i ? 2 + j X 2) + (Rz + jO) ° Z =(/?! + R 2 + R 3) + j ( X 1 + X2) = R + j X (4)

1 Se hace la suposición de que la corriente está confinada dentro del circuito en serie. Se desprecian las corrientes maxwelianas de desplazamiento espacial.


La ecuación (4) muestra que la resistencia resultante R de un simple circuito en serie, se obtiene sumando aritméticamente las resistencias separadas. Cuando se recuerda que las reactancias inductivas se consideran positivas y las capacitivas negativas, la ecuación (4) muestra también que la reactancia resultante X de un circuito en serie es la suma algebraica de las reactancias separadas.

Si se toma la corriente como eje de referencia, el diagrama vectorial de la Fig. 1 aparece como se muestra en la Fig.2. Ese tipo de diagrama vectorial se llama diagrama funicular. En la Fig. 3 se muestra otro tipo de diagrama vectorial, que representa el mismo circuito. Éste se llama diagrama polar. La característica distintiva del diagrama vectorial funicular es que ciertos vectores componentes, se combinan (el extremo de uno con el origen de otro) para formar un vector resultante, como, por ejemplo, los voltajes componentes Di,

cular del circuito de la Fig. 1. circuito de la Fig. 1.

i x 1( m 2, dc2 e m 3 se combinan para formar el vector del voltaje resultante V. En un diagrama vectorial polar todos los vectores parten de un origen común, como se muestra en la Fig. 3.

Cualquier tipo de diagrama puede ser usüdo, pues representan lo mismo. Debe usarse el que resulte más sencillo para el caso dado. En ciertos casos, el diagrama funicular muestra las cantidades más ventajosamente, mientras que en otros, el diagrama polar sugiere mejor las relaciones y es de más cómodo uso.

En general, para un circuito en serie de n impedancias

V «■ I ( Z i + Z2 + Z3 + • * • 4- Z») (5)

y Z = (Rt + R2 + J23 + • • • + Rn) + j ( X 1 + X2 + X 3 + • • • + Xn) (6)

ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSO ID ALES M ONOFASICOS 181

= ^ + R* + R i 4- • • • + Rn)2 + (-Xi + X ¡ + X8 + ■ • • + X „)2

Lten" 1 f 1+ f 2 + f8 + ' “ + Z" (7)

Ri ~t~ R% ~l~ Rs + • • ♦ + Rn

En el Cap. II se demostró que el ángulo de impedancia es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje. En el Cap. III se demostró que el factor de potencia es el coseno de este ángulo. De aqui que, para un circuito en serie, la Fig. 2 muestra que

. IR Rtactor de potencia = eos 0 — — = —IZ Z

[ R\ + R2 + R3 + • • * + Rn

y/ (fii + R2 + R& + ■ • • + Rn)2 + + X2 + Xa + • • • + X n)3

Ejemplo 1. Calcúlense la corriente, las caídas de voltaje, V 1, V2 y V3, la potencia consumida por cada impedancia y la potencia total tomada por el circuito, con las constantes mostradas en la Fig. 4. El voltaje impreso se hace coincidir con el eje de referencia.

4/1 3/1 6/1 2/1“t —^ W W V —|£—

100 voltio« Vi Vt Vj

J _____________________________

(8)

Fig. 4. Circuito para el ejemplo 1.

, . Y . « » + * > . 100 d 2 ±jg>------ 7.1 + ¿2.96 amperio,Z 4 +¿3 + 6 -¿8 + 2 (12 -¿5 ) (12 + ¿5)

Vi = IZi = (7.1 + ¿2.96) (4 + ¿3) = 19.53 + ¿33.14 voltiosVi *= IZj = (7.1 + ¿2,96) (6 - ¿8) = 66.27 - ¿39.06 voltiosV, - IZ, = (7.1 +¿2.96) (2 +¿0) = 14.2 + ¿5.92 voltioscomprobación V = 100 + ¿0 voltios

Nótese que las caídas se suman vectorialmente, para dar una suma igual al voltaje impreso.

= RI* - 4(V7.1* + 2.96*)* - 4 X 7.69* = 237 vatios P t - 6 X 7.69* - 366 vatiosPj = 2 X 7.69* =■ 118 vatios

Potencia total =» 710 vatios

La potencia totai es también (vi + v'i') = 100 X 7.1 = 710 vatios.


Problema 1. (a) Encuentre la corriente que pasa por el circuito dus la Fig. 5 y las caidas de voltaje V0j, V6c y Vc¿,

Respuesta: 1 = 1 0 /0 amperios, V<* = 20 — j'40 = 44.7 /—63.45° voltios

Vi« = 30 +J110 - 114 /74.75o voltios

Vcd = 20 +y0 = 20 /0° voltios

(b) Dibuje un diagrama vectorial fenicular de Voí., Vbc, Y Vc((, incluyendo a V y a I en el diagrama.

(c) Dibuje un diagrama polar de Vai). V¡,c, Vc(j, V e I.

- 2/1 (, 3/1 11/1 c 2/1 ¿

1V— 98.98 /45° voltios

1Fig. 5 Véanse los Problemas 1 y 2.

Problema 2. Calcule la potencia total disipada en la Fig. 5, usando (I2R), a partir de (VI eos $) y con (vi + v'i').

Respuesta: P = 700 vatios.

Resonancia en Serie. Un circuito en serie que contieneR, L y C, está en resonancia cuando la reactancia resultantees cero. Puesto qué la caída a través de la inductancia seadelanta a la corriente en 90°, mientras que la caída a tra-IX vés del condensador se retrasa en 90°, las

dos caídas son opuestas. Si se hacen igua-V les, como en la Fig. 6, se neutralizan lasÍ r ^ caídas de vo l ta je reactivas y el voltq'e

impreso es igual únicamente a la caída re-IXC sistiva. Esta situación o estado se llama re-

Fig. 6. Diagrama sonancia en serie. La inspección del dia-vectorial de un cir- grama vectorial de la Fig. 6 muestra que elcuito res onante. voltaje aplicado está en fase con la corrien-

©n serie.te. El factor de potencia es igual a la uni

dad y el circuito está en resonancia. Así pues, para la resonancia en serie

I X L - I X c O X ¿ = X c (9)

ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS 183

Puesto que 2?rfL = l/2wíC en el punto de resonancia, la frecuencia resonante es

en la cual i«, está en ciclos/segundo, cuando L está expresada en henrios y C en faradios. Es evidente que la resonancia en serie puede ser producida en un circuito en serie variando L, C o f. La corriente es siempre dada por

Pena cualquier valor de la corriente, la caida a través de la resistencia es

De modo semejante, las caídas a través de la inductancia y la capacitancia son, respectivamente

Las características generales de un circuito en resonancia son las mismas, sin importar qué parámetro sea variado para producir la resonancia. Por ejemplo, en todos los casos, para el estado o situación de resonancia, el factor de potencia es 1. La potencia es simplemente igual al voltaje impreso, multiplicado por la corriente. La corriente es V/R, el máximo valor posible, para la resistencia que existe en el circuito. La forma general de la curva de corriente, antes, en y después del punto de resonancia, se muestra en la Fig. 7. La resonancia ocurre en el punto C. Limitada como está so

(10)

V Vy/R 2 + (X L - X c )a

V R

(12)

V X L(13)

y

Ve — I X c =V X C (14)


lamente por la resistencia del circuito, la corriente, en el pun- Jto resonante C, será grande si la resistencia es pequeña. 1 Cuando la reactancia resultante es grande, como lo es en elpunto A, fluirá sólo una pequeña corriente. De aquí que haya ]una rápida elevación de la corriente del punto A al punto C. jInversamente, cuando la resistencia es grande, el cambio to- j

Fig. 7. Variación de la corriente con Fig. 8. Efecto de la resistencia sola frecuencia, en el intervalo de la bre la variación de la corriente, en el

resonancia en serie. intervalo de la resonancia en serie.

tal de la corriente, del punto A al C, será pequeño. En el primer caso la cresta será más aguda que en el segundo, como se ilustra en la Fig. 8. De aquí que se diga que una resistencia pequeña da una sintonización aguda (crítica) y una resistencia grande, una sintonización ensanchada (imprecisa). Más exacto, la razón de L a R regula la agudeza (precisión) de la sintonización. Esto se demostrará después. Los anteriores enunciados son verdaderos para todos los métodos de obtener la resonancia. Estudiaremos ahora más detalladamente los diversos modos de obtener la resonancia.

Inductancia Variable. Cuando se hace variar a L para obtener resonancia, se obtienen una serie de curvas, mostradas en la Fig. 9. Las ecuaciones (11), (12, (13) y (14) son las ecuaciones de las curves de corriente y ccdda de potencial. Se notará que Vc llega al máximo en el punto de resonando, mientras que el valor máximo de V¿, se da pasado el punto de resonancia. Este resultado era de esperarse. Como Vc =— IXC y Xc es constante, la caída máxima a través del condensador ocurrirá cuando la corriente sea máxima. En el caso de Vj = IX¿, tanto I como X¿ están aumentando antes del punto de resonancia y el producto debe estar aumentado.

ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSO ID ALES M ONOFASICOS 185

En el punto de resonancia, I no cambia, pero X¿, está aumentando y de aquí que la caída aumente. La caída continúa en aumento, hasta un punto en que la reducción de la corriente compensa el aumento de X¿. Este punto puede ser determinado, haciendo dVt/dX¿, = 0. Derivando la ecuación (13) y haciendo el resultado igual a cero, tenemos

iVL [R?+ (Xl - X qW V - V X l%[R2+ (X l - X c )2r>2 (XL- X C) iXL R2 + CXL - Xc ?

° 1 ~ é f C' x < f°* ) ~ C (g a + Xc,) <I5)

riando L. L, en un circuito RLC en serie.

Ejemplo 2. Siendo variada L para producir resonancia en un circuito en serie que contiene R = 100 ohmios, Xc = 200 ohmios y f = = 60 ciclos, encuentre la caída de voltaje a través de L en resonancia y también cuando la caída de voltaje a través de L es máxima, si se imprimen 1 000 voltios.

En la situación de resonancia, X L = X0 = 200. Z = 100 -f- j200 —— j200 = 100 + jO ohmios.

1000I s= ----- = 10 amperios.100


VL (en resonancia) =. IXt = 10 X 200 = 2 000 voltios

R2 + X„2 1002 + 2002Para V, máxima, 2rríL = ------------= --------------- = 250 ohmios

Xc 200

1000I (para V, máxima) = ■ . __ — ■ . — = 8.94 amperios

y 100* + (250 - 205)2

VL máxima = 8.94 X 250 = 2 235 voltios.

La variación en el ángulo de fase entre V e I, al ser variada L, se obtiene fácilmente del diagrama de impedancia de la Fig. 10. Puede

Xcverse que el ángulo varía de tan —1---- (un ángulo negativo), para

RL = 0, hasta -f- 90° para L = oo • De aquí que el factor de potencia

Rvaríe de — - (para L = 0), a 0 (para L —» oo).

V Rí + V

Problema 3. (a) Encuentre el valor de la reactancia inductiva y el valor que hace igual a 0.866 al factor de potencia del anterior circuito en serie, estando la corriente adelante.

Sugerencia. Los problemas de este tipo se resuelven más fácilmen-XX

te cuando se tiene en cuenta que ---- = ± tan 0.2R

Respuesta: X¿ = 142.3 ohmios, L = 0.377 henrios

(b) Encuentre el valor de la reactancia inductiva que hace al factor de potencia igual a 0.866, estando la corriente retrasada.

Respuesta: Xt =.257.7 ohmios

Capacitancia Variable. Cuando se varía a C para producir resonancia, se obtienen curvas como las que se muestran en la Fig. 11. Como antes, las ecuaciones de estas curvas son las ecuaciones (11), (12), (13) y (14). Aquí la caída a través de la inductancia es máxima cuando la corriente es máxima, pues Xt es constante. La ccdda máxima a través del condensador ocurre antes del punto de resonancia. En el punto de resonancia, Xc está disminuyendo, mientras que la corriente no cambia (la pendiente es cero). La caída IXt debe, en consecuencia, estar disminuyendo. Consecuentemente, la caída debe haber llegado a su máximo antes del punto de resonancia. En el punto de resonancia, las caídas a través de la inductancia y la capacitancia, respectivamente, son iguales y opuestas. Las condiciones para que Vc sea


máximo pueden ser determinadas analíticamente, igualando a cero la derivada primera con respecto a C o X(? de la ecuación(14), de modo semejante a como se procedió cuando se tomó a L como variable. Esta derivación se deja al estudiante.

El voltaje impreso es igual a la caída IR, el factor de potencia es igual a la unidad y la corriente está al máximo en la situación de resonancia. Para una capacitancia cero, la reactancia capacitiva es infinita y la corriente es, en consecuencia, cero. Para una capacitancia infinita la reactancia capacitiva es cero y la corriente

Ves ■ ———. El ángulo de fase entre la corriente y el voltaje

y/W 4- Xt*aplicado varía entre los límites indicados en la Fig 12. El fac-

ptor de potencia varía de -= = = = = = , cuando C es infinita, a

V R ' Xjr,cero, cuando C = 0.

La resonancia se obtiene generalmente variando la capacitancia, pues para obtener una capacitancia variable basta con hacer movibles las placas alternas de un condensador. Esto es fácil de hacer y la variación de la capacitancia puede efectuarse en forma extremadamente uniforme y gradual.

Fig. 11. Resonanc variación de

a en serie, mediante a capacitancia.

Problema 4. Suponiendo que se hace variar a C para producir resonancia, en un circuito que contiene 100 ohmios de resistencia y 200 ohmios de reactancia inductiva a 60 ciclos, encuentre la caída máxima a través de la capacitancia, si el voltaje impreso en el circuito es de 100 voltios.

Respuesta: 223.5 voltios

Frecuencia Variable. Cuando se varía la frecuencia para producir resonancia, se obtienen las curvas mostradas en la


muestra el alcance del ángulo 0 del fac- Fig. 13. Resonancia en se- tor de potencia, al ser variada C, en un ríe, mediante variación de

circuito en serie RLC. la frecuencia.

Fig. 13. Aquí ni la inductancia ni la capacitancia tienen la caída máxima de voltaje en el punto de resonancia. La ins-

Y Hacia XL—OO I

Fig. 14. Triángulo de impedancia que muestra la variación del ángulo de fase, de —90° a + 90°, al ser variada la frecuencia en un circui

to RLC.

pección de las figuras 9,11 y 13 m ostrará que este método para obtener la resonancia participa de los dos métodos discutidos anteriormente. £1 es-

1/1 L“ 0.1henrios/C=100„,

1.00 voltios

i _______________Fig. 15. Circuito para el

ejemplo 3.

tudiante puede explicar estas curvas, tomando en cuenta los principioá presentados anteriormente. La corriente es cero,

ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS 1 8 9

tanto para la frecuencia cero como para la infinita. El ángulo de fase entre la corriente y el voltaje varía entre — 90° y +90°, como puede verse, estudiando los triángulos de impedancia ilustrados en la Fig. 14. Sé observará que, para todos los métodos de producir resonancia, la corriente es un máximo y depende sólo del voltaje impreso y la resistencia del circuito; que el factor de potencia es 1, y que la potencia es un máximo e igual a los voltamperios en el punto de resonancia.

Ejemplo 3. Para el circuito y las condiciones mostradas en la Fig.15, calcule la frecuencia, la potencia, el factor de potencia y la caída de voltaje a través de cada parte del circuito, en el punto de resonancia.

/m = = ¿ J á Í lT ¿ 0 0 0 Í Ó 5 = 50 4 ciclos

IX L c* 2gr50.4 x o.l - 31.6 ohmios

X r — ------------------- = 31.6 ohmios2ir 50.4 X 0.0001

/ — —.... , ___= — 100 amperiosV I 2 + (31.6 - 31.6)*

P = 100 X 100 = 10 000 vatios

vatios 10 000F.p. = ------- = ------------ = 1

va 100 X 100

Vfl = 100 X 1 == i 00 voltios

VL = 100 X 31.6 = 3 160 voltios

Vc = 100 X 31.6 = 3 160 voltios

Problema 5. (a) ¿Cuál es la frecuencia resonante de un circuito en serie que consta de 2 ohmios de resistencia, 150 microhenrios y 200 ¡ifil de capacitancia? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante, si R = 3 ohmios, L = 300 microhenrios y C = 100 « r««l? (c). ¿Cuál es la impedancia de cada una de las combinaciones, a 1 000 kilociclos?

Respuesta: (a) 920 kilociclos, (hí 920 kilociclos, (c) 147 ohmios y 294 ohmios.

El Circuito en Serie RLC, como Selector. Aunque el circuito RLC deja pasar, hasta cierto punto, a todas las ondas de frecuencia finita, se ha demostrado que para la frecuencia resonante tiene su impedancia más baja. Como muestra la

1 9 0 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Fig. 7, el circuito RLC deja pasar frecuencias cercanas a la resonante con más facilidad que otras. El circuito tiene así propiedades selectivas. La banda de frecuencias que son dejadas pasar prontamente, es llamada la banda de paso.2

Fig. 16. La rama RLC en serie, como selector de banda. Gráfica para R = 10 ohmios, L = 0.01 henrio y C = 4.0 ¡xi.

Se conviene en considerar a la banda de paso como la escala de frecuencias, dentro de cuyo alcance la corriente es igual o mayor que V/V2R, como se indica en la Fig. 16. Dentro de este alcance, la potencia (I2R) es igual o mayor que V-/2R. Determinaremos ahora el alcance en cuestión. Según la ecuación (11)

VI = ■■-= = = = (16)

VR2 + (oí - \/üC Y2 Existen diversos nombres. Estimo el escogido como el más correc

to, como podrá verse en el Cap. XIII, donde queda claramente estable* cido el significado de la "banda de paso" como la que deja pasar determinada escala de frecuencia y la "banda de eliminación" como la que elimina determinada escala de frecuencias. N. del T.


La comente máxima (V/R) y la potencia máxima, V2/R, se dan en el punto de frecuencia resonante, o sea cuando

<Um = V L C (17)

en donde <om es 2ir veces la frecuencia resonante ím. Sean <ax las velocidades angulares, a las cuales

V 2 R

Puesto que en estos puntos la potencia es exactamente la mitad de la potencia máxima que se da en la situación de resonancia, se llaman los puntos de media potencia. Llevando a la ecuación (16) el anterior valor de la corriente, se tiene

V V.............. ..... — (18)V2R V R a + (wxL - 1 K C ) a

De la cual se obtieneR = ± (oiJL — l/«uBC)

Nótese que en estos puntos la resistencia del circuito es igual a la reactancia resultante, el ángulo de fase entre el voltaje aplicado y la corriente es de 45°, y el factor de potencia es de 0.707.

Despejando a <■>* en la ecuación anterior, se tiene

- , = ± — ± V “ - + ~7r (19)2L V 4L2 LC

En una rama selectiva RLC, (R/2L)2 es generalmente mucho más pequeña que 1/LC. De aquí que, despreciando este término, la ecuación (19) se transforma en

<ax ¡=* ± R/2L ± V 1 /LC (20)

Pero V 1/LC es la velocidad angular <am correspondiente a la frecuencia resonante. Por tanto

R»* ** SÉ ± ®m (21)

y, si sólo se toman en cuenta valores positivos de <am,


Rw»

SeaR

“1 ~ “ I T

(22)

(23)

<»2 = <a»n + ' 1 (24)

La anchura de la banda, como se muestra en la Fig. 16, es

Aa> = <i)2 — ©i = — radianes/seg. (25)

La variación de la frecuencia para el cancd o banda, tal como aquí se define, es Af = f2 — fi = R/27rL. La anchura de banda/unidad se define como Af/fm. Si seleccionamos con- vencioncdmente una anchura de banda distinta de la mostrada en la Fig. 16, como se tendrá ocasión de hacer posteriormente, se harán cambios adecuados en la definición de Af.

Ejemplo 4. Supóngase que se quiere determinar la respuesta de corriente en decibeles (db), en los puntos de media potencia de la Fig. 16 (relativamenje a la respuesta en <um), si por definición tomamos

Idb = 20 log —

V

donde I es la respuesta de corriente en cualquier punto de la gráfica mostrada en la figura.

Puesto que en los puntos en cuestión I = V/\/2R

VV 2R

db = 20 log—— = -20 log 1.414 = - 3

R

El número anterior muestra por qué algunas veces los puntos de media potencia son llamados los puntos —3 db.

La Q de un Circuito en Serie. El grado de selectividad de un circuito, esto es, la menor extensión de la amplitud de banda, mostrada en la Fig. 16, generalmente se expresa por medio del símbolo Q. Aunque se encuentran diversas


definiciones de Q, todas tienen el propósito de significar lo mismo. Utilizaremos la siguiente definición, pues se relaciona intimamente con los procedimientos experimentales

Q = (26)0)2 — « i Au A j

Véase la Fig. 16, para los significados de «u, <a2 y e>m.En el caso del circuito en serie RLC

0 _ _ COm UmL . __ 1___________1________ 1_ L~ Au ~ R, Rs umCR, ~ 1 T T R , y c ( }

- ---- C lisL VLC

donde Rs es la resistencia en serie equivalente total del circuito. Puesto que la resistencia equivalente del condensador en el circuito en serie es generalmente despreciable, en comparación con la resistencia de la bobina, se acostumbra hablar solamente de la Q de la bobina, suponiendo que, en alguna frecuencia determinada, la bobina estará en resonancia con un condensador de tamaño adecuado.

De la ecuación (27) se sigue Q* == ———. Si tanto el numera-R*

dor como el denominador del segundo miembro de esta ecuación se multiplican por la corriente de resonancia, Ifn« entonces

^ (OmLIres _ cctída de voltaje a través de Lvoltaje aplicado

(28)

Asi pues, Q, es un múltiplo del voltaje aplicado de circuito que existe entre cada uno de los elementos reactivos, en resonancia.

Ejemplo 5. La amplitud de banda unitaria entre los puntos de media frecuencia (llamados también —3 db), en la Fig. 16, es de 0.02. Encuéntrese la Q de la bobina.

A<!> 1Amplitud de banda unitaria = —— = —

iúm Q1

Q = ----- = 500.02

Si la bobina que se utiliza tiene una inductancia de 10 milihenrios y la frecuencia resonante es de 20 kc, encuentre los valores de R„ y de C.


que se obtiene dando a R, el valor que le resulta de la ecuación (27).

En caso de baja frecuencia, se supone que R» es constante, lo cual es esencialmente verdadero, y en el caso de alta frecuencia se supone que L/CQ2 es esencialmente constante. Se dan casos en que ninguna de las dos suposiciones está justificada, pero estos casos se reservan para cursos más avanzados.

Diagrama Circular de un Circuito en Serie. A menudo se emplean diagramas circulares, como auxiliares para el análisis de las características de operación de circuitos que, en ciertas condiciones, se usan para representar líneas de transmisión y algunos tipos de maquinaria de c-a. Con apoyo en la Fig. 17, se establecerá la base de representación de un circuito en serie, por medio de un diagrama circular.

La resistencia R del circuito de la Fig. 17 puede ser considerada como variable y, en cambio, se supondrá que son constantes el voltaje aplicado y la reactancia.

El ángulo del factor de potencia es simbolizado por 0. Si R es cero, I es obviamente igual a V/X, y este valor de I se

kVI

X-''ÓWíT1------ 1

Y _________J

Fig. 17. Circuito en Fig. 18. Diagrama circular de laserie con variable R. Fig. 17, para V y X constantes, pero

con R variable.

retrasaría 90° con respecto de V, si X es inductiva (véase la Fig. 18). Al aumentar R, a partir del valor cero, la magnitud de I se hace menor que V/X y 0 se hace menor de 90° y, finalmente, si R=oo, I es igual acero y 6 igual a cero. El hecho de que el lugar geométrico del vector I sea una semicircunferencia, como se ve en la Fig. 18, se explica como sigue

En g en e ra l: I = — (29)

y (30)


o Z = — - (31)sen 0

Sustituyendo este valor de Z en la ecuación (29)

VI = — sen 0 (32)

¿A

Para V y X constantes, la ecuación (32) es la ecuación polar de una circunferencia de diámetro V/X. La Fig. 18 muestra una gráfica de la ecuación, tomando a V como eje de referencia y medidos a reloj los ángulos positivos 0, que representan cargas inductivas. Se usan estas convenciones, porque son las más comúnmente utilizadas para los diagramas circulares, en la maquinaria de c-a. Puesto que la de la Fig. 18 es OI eos 6, es evidente que la es proporcional a la potencia consumida por el circuito. Si se dibuja el diagrama a una cierta escala de corriente, como I amperios/centímetro, la escala de los vatios debe serV I vatios/centímetro.

Un simple circuito de linea de transmisión en que la capacitancia y las fugas se suponen despreciables, puede ser representado por la Fig. 19, donde R y X son respectivamente, la resistencia en serie y la reactancia de la linea y Rl la resistencia de la carga. Si R es constante y se hace variar a R¿, la corriente obedece a la ecuación I = (V/X) sen 0, como en el caso anterior. La distancia la de la Fig. 18 representa de nuevo la potencia total consumida por el circuito, pero la potencia total disipada es consumida en R y en R¿. La potencia disipada por cada resistencia puede ser fácilmente representada en el diagrama.

Fig. 19. Circuito' en serie, en Fig. 20. Diagrama circular de la el cual se suponen constantes Fig. 19, para V, R y X constantes y

R y X y Rt variable?. variable.


Si la resistencia R¿ se supone igual a cero, toda la potencia debe ser disipada en la resistencia R. Para esta situación, la potencia es representada por be de la Fig. 20 y Ob representa la comente correspondiente. Para algún valor finito de Rt distinto de cero, la corriente es Olí y la potencia total consumida es proporcional a lia. De este total, "da" es la cantidad consumida en R e Ixd es disipada por R¿. Para comprobar que da representa la potencia disipada en R sólo se necesita demostrar que da y be son proporcionales a los respectivos cuadrados de las corrientes Olí y Ob.

_ . ' da OaEn los triángulos semejantes:

be Oc

Puesto que Oa = Olí eos ctOAi

OIx (OIa)2OI»

Oe Oe

Ob (Ob)2Oc = Ob eos cOb = Ob — = -----

Oe Oe

(Olí)2 da Oe (OI*)2 db~ (Ob)* (Ob)2

Oe

Por tanto, para cualquier corriente como Olí, Ixd representa la potencia consumida en R¿, da indica los vatios perdidos en R y la entrada total de potencia al circuito está dada por La. Si se considera I2R¿ como la salida del circuito (la potencia transmitida por la línea), la eficiencia debe ser

salida lidEficiencia = ----- — = ---

entrada Ija

El factor de potencia en el extremo de entrada es eos 0. También es Iia/OIi.

La potencia máxima que puede ser transmitida por un circuito como el de la Fig. 19, con R y X constantes, se da cuando el extremo de OL (Fig. 20) coincide con el punto de tangencia al círculo, de una línea paralela a Ob. Es cuestión simplemente geométrica demostrar que V veces lid, en estas condiciones, da el resultado de máxima potencia, en los


términos de la ecuación (59), si Xr = 0 [lo que requiere que k sea igual a cero en la ecuación (59)]. Como lid puede ser utilizada como una medida cuantitativa de la potencia entregada a la resistencia de carga, se sigue claramente de la Fig. 20 que esta potencia de la carga varía de cero (cuando R¿, = 0) a un máximo, y de regreso a cero (cuando R¿ = = eo).

Los detalles de construcción de diagramas circulares aplicables a circuitos como el de la Fig. 19, pueden ser fácilmente comprendidos por medio de un problema numérico como el siguiente.

Problema 6. Véase la Fig. 19. R y X son constantes, a los valores R = 2 ohmios y X = 3.464 ohmios. V es constante a 346.4 voltios.

(a) Marque OV = V, en posición vertical, a cualquier escala conveniente, por ejemplo, 40 voltios por centímetro.

(b) Marque Oe (de la Fig. 20) igual a V/X, en posición horizontal, a una escala no mayor de 8 amperios por centímetro (una escala de 4 amperios por centímetro dará resultados más precisos).

(c) Trace Ob (de la Fig. 20), igual a I, cuando R¿ — 0.Respuesta: I = 346.4/4 = 86.6 amperios, 60° atrás de V.

(d) Trace una tangente al semicírculo, paralela a Ob, y construya OIlt de O a este punto de tanqencia. ¿Cuál es la magnitud de la cemente y cuál es el í. p. en este punto de operación?

(e) ¿Cuál es la potencia máxima que puede ser entregada a Rt?

Ramas Paralelas. Cuando se conectan impedancias en paralelo, como en la Fig. 21, se imprime el mismo voltaje V a través de cada impedancia. La corriente en cada impedancia

Respuesta: I = 50 amperios p.f. = 0.86

Respuesta: Pmax = V X Ijd Ilumu 10 000 vatios.

es, por tanto

%Por la ley de la corriente de Kirchhoff

I = I i + I 2 + I 3

V V V _ 1 1 1

L\ Z2 Z3 * Zi Z2 Z3 = V(Yt + Y2.+ Y,) = VY,

)(33)

donde el símbolo Y representa el recíproco de la impedancia y se llama admitancia. La ecuación (33) muestra que la


corriente resultante que fluye a través de varias impedancias en paralelo, es el producto del voltaje por la suma de los re-

Fig. 21. Impedancias en paralelo.

dprocos de las diversas impedancias de las ramas. En otras palabras, el voltaje es multiplicado por la suma de las admitancias de las diversas ramas. La ecuación (33) muestra que para ramas paralelas se suman las admitancias. En el caso de ramas en serie, se recordará que se suman las impedancias. Puesto que tanto la admitancia como la impedancia son cantidades complejas, toda suma de cualquiera de ellas debe hacerse en iorma compleja. La adición aritmética no debe intentarse. Sólo en un caso es correcta la suma aritmética y en este caso la adición en iorma compleja dará el mismo resultado. Si en la ecuación (33) se despeja la impedan-

Vcia Z0, que es igual a — obtenemos

I

VT

iYi + Yj + Ys

_1_Y>

(34)

La ecuación (34) muestra que la impedancia resultante de varias ramas en paralelo es el recíproco de la admitancia resultante. Puesto que la unidad de impedancia es el ohm y la admitancia es el recíproco de la impedancia, la unidad de admitancia es el ohm recíproco, o mho (las mismas letras de ohm, al revés).

El Equivalente en Paralelo de una Impedancia en Serie. Se dan casos en que resulta conveniente sustituir una impedancia de una rama en serie, como la de la Fig. 22a, por su equivalente en paralelo, (mostrado en la Fig. 22b). Para que se dé la equivalencia, Y de la Fig. 22a. debe ser igual a Y de la Fig. 22b. Por tanto

200

«Z = R ,+ iX ,

CIRCUITOS DE COHBIENTE ALTERNA

z=zCircuitos.

* equivalentesY=Y

.8 XgS

I=Y«8-jb=4--jf.y • e i- Rp JXp 5

Fig. 22. E1 equivalente en paralelo de una irapedancia en serie R, + ¡X,

Y =1

R a + jX ,o, racionalizando

R. X .

J_ 1Rp j X p

1Ä 2 v 2 p 2 i Y " 2 p

« *1 8 * *8 T -A j x i j j(35)

R«/(R«2 + X»2) es llamada la conductancia de la impedanáa en serie Z, y se indica con el símbolo g. X,/(R,2 + X,2) se 11er ma la suscepticia de la impedancia en serie Z» y se indica con el símbolo b. Empleando los símbolos g y b, se tiene

V K 1 • 1Y = g - , b = - , (36)

La significación física de g y de b puede ser interpretada como sigue. Si se multiplica por V la ecuación (36), para obtener la comente I. se tiene

V VI = Vg - jVb = - - j -

f i n A n

Se verá que el vector Vg mostrado en el diagrama vectorial de la Fig. 22b es la componente de la corriente que está


en fase con el voltaje y es la comente V/R„ de la rama resistiva del circuito en paralelo, equivalente de Zs. También Vb, mostrado en el diagrama vectorial, es la componente de la co-

Vmente, en cuadratura con el voltaje, y es la componente — en

Xpla rama inductiva del equivalente en paralelo de Z,. De aquí que la conductancia 1/RP de la rama resistiva del circuito equivalente en paralelo, es la conductancia g de la admitan- do Y = g — jb=l/Z», y la susceptancia 1/XP de la rama inductiva es la susceptancia b de la admitancia Y == 1/Z». Es de importancia observar que la conductancia g, en los circuitos de la Fig. 22 es el recíproco de Rp, pero no de R,. De modo semejante, la susceptancia es el recíproco de X„, pero no de X,.

Puesto que g y b son componentes de admitancia y g, b o Y, multiplicados por voltaje, dan corriente, todos están expresados en las mismas unidades, esto es, mhos.

Si las admitancias de la ecuación (33) se expresan en función de sus conductancias y susceptancias, tenemos

I = V (í7i — fox + 02 — jb 2 + 93 — jb 3)

= V[(0i + 02 + Ha) — jQ>i + í>2 + í>3)] = V (<70 — jb 0) (37)

La ecuación (37) muestra que las conductancias pueden ser sumadas aritméticamente, mientras que la susceptancia debe ser sumada algebraicamente, para obtener la suscep- tanria resultante. De la expresión X/(R2 + X2) de la susceptan- da resulta evidente que es necesario sumar algebraicamente las susceptancias, si se tiene en cuenta que X puede ser positiva o negativa, lo que depende de que sea, respectivamente, inductiva o capacitiva.

Ejemplo 6. Se muestran en la Fig. 23a varios parámetros de un circuito y se desea determinar los siguientes: (a) conductancia y susceptancia de cada rama; (b) la conductancia y susceptancia resultantes; (c) el diagrama vectorial.

100 + yoI i = ~~z ¡—~ = 6 — j8 = 10/—53.2° amperios 6 + j8 1------

100 + j0“ ~4 _ '3 — = 20/36.9° amperios


1 1 (fi - ¿8)Y l = Z i = W + W ) ( 6 ^ 8 ) = 0 06 ~ j0 08mho

de dondegi = 0.06 mho, 6i = 0.08 mho

o, como método alterno

/¿i 6 , _ *1 _ 8 í/l _ V “ ioo ’ 1 ~ z f oo

Y 2 = ¿ = c í ^ í j = 01(5 + j012mh0 1de donde

<72 — 0.16 mho, fe*¿ = —0.12 mho

o, como método alterno

- 2íi i iv £ * z ? g i Z->2 25 ’ 2 Z 22 25

El diagrama fasorial se muestra en la Fig. 23b.Se muestra a continuación otra manera de obtener la corriente re

sultante de

Flg. 23. (a) Circuito para el ejemplo 6. (b) Diagrama fasorial de a.

.'/ = íli + 0í = 0.06 + 0.16 = 0.22 mhob = h\ + b2 = 0.08 - 0.12 - -0.04 mlioY = (/ - j b = 0.22 — ( —0.04) = 0.22 + ¿0.04 mhoI = VY = 100 (0.22 + ¿0.04 j = 22 + ¿4 = 22.»J5 /I0.:r amperios

O pueden sumarse como sigue las admitancias

Y = Y i + Y 2 = 0.06 - jO.OX -f 0.16 + ¿0.12 = 0.22 + ¿0.04

y/ = VY — 22 1 jA amperios


Generalmente, el procedimiento más directo es el de calcular las admitancias usando los recíprocos de las impedan- rias y sumándolos en forma compleja. La experiencia ha demostrado que los estudiantes cometen menos errores en los signos cuando siguen este procedimiento.

En vez de representar la admitancia en general como g — jb y en seguida usar g = R/Z2 y b = X/Z2, muchos prefieren llamarla g + jb y a continuación usar g = R/Z2 y b = = —X/Z2. Ambos métodos dan el mismo resultado para la admitancia En cualquiera de los dos casos, se da a X un valor positivo para la inductancia y negativo para la capacitancia. En un circuito disipativo, la conductancia siempre es positiva. Para evitar confusión en los signos, es mejor determinar la admitancia por medio de 1/(R + jX), que mediante

_oálculos de conductancia y susceptancia. El conocimiento del modo de calcular y de usar las conductancias y las susceptancias facilita la solución de algunos tipos de problemas, aunque pueden ser resueltos mediante otros medios. El caso especial de dos impedancias en paralelo Z, y Z2 ocurre a menudo en ingeniería eléctrica. Para este caso, Y, = 1 /Zx e Y¡ = = 1/Z2. De aquí que

v _ 1 1 1 , _ 1 _ Z¿ 2Y = — + — y Z — — = ------- i—Z, Z2 Y Z, + 2,

Esta expresión, que es análoga a la muy usada expresión de la resultante de dos resistencias en paralelo en las corrientes directas, es muy útil en las corrientes alternas. Cuando todas las reactancias son cero, la expresión se reduce al caso de c-d, RiR2/(Ri + R2).

Problema 7. Tres impedancias Zt. Z2 y Z3 están conectadas en paralelo a través de un voltaje de 60 ciclos, de 40 voltios de magnitud.

Zx = 10 + j0> Z2 = 20 + ¡20. Z3 = 30 — j40 ohmios

(a) Encuentre gx> bt> g2. b2> g3 y b3.(b) Encuentre la resultante g y la resultante b de las tres ramas

paralelas.Respuesta: g = 0.137, b = 0.009 mhos.

(c) ¿Cuál es el componente en fase de la corriente resultante? ¿Y la componente en cuadratura?

Respuesta: Vg = 5.48 amperios, Vb = 0.36 amperios.

Resonancia en Ramas Paralelas. Las ramas paralelas que contienen inductancia y capacitancia están en resonancia


cuando la corriente reactiva en la rama inductiva es igual a la corriente reactiva en la rama capacitiva. La corriente reactiva resultante para el conjunto del circuito es, en consecuencia, cero. Para la resonancia

VbL « Vbc

bL = bc (38)

De aquí que la corriente resultante que fluye, esté en fase con el voltaje aplicado y el factor de potencia de todo el circuito sea 1. Esto se llama, algunas veces, resonancia de factor de potencia unidad. La Fig. 24 muestra un circuito y el correspondiente diagrama vectorial para esta situación. Mediante la inspección del diagrama vectorial, se advierte que las componentes reactivas de la corriente no contribuyen en nada a la corriente total. En la corriente resultante solamente existen las componentes de la corriente que está en fase con el voltaje. De esto podría deducirse que la corriente resultante es mínima en resonancia. Esto es cierto si las conductancias son constantes. Es aproximadamente cierto, si las conductancias son despreciables, como generalmente lo son, en circuitos selectivos como los usados en radio. Un ejemplo será puesto después, en el cual la corriente mínima no se da en el punto de resonancia.

Fig. 24. Circuito y correspondiente diagrama vectorial para resonancia en paralelo.

Los parámetros susceptibles de variación para verificar la ecuación (38) pueden ser apreciados cuando se reemplazan las susceptandas por sus valores equivalentes, como se muestra en la ecuación (39).


12-wfL 2t/C

R l * + (2T jh f ~ , , ( 1 Y mRc t\Md)

Las cantidades que pueden ser variadas son L, C, f, R¿ o Re-

Resonancia por Variación de L. En la siguiente discusión, L será variado por un medio que no cambiará la resistencia del circuito inductivo. Sea OV (Fig. 25) el voltaje impreso en un circuito, como el mostrado en la Fig. 24. Una corriente Ie fluirá entonces en la rama del condensador cuyos parámetros se mantienen constantes. Cuando L es cero, la corriente que pasa por la rama inductiva es V/R¿ y está en fase con el voltaje aplicado. El voltaje aplicado es igual a I¿RL, en estas condiciones. Cuando se hace crecer a L, a partir de cero, la corriente que pasa por la rama inductiva se atrasa con respecto de V por el ángulo tan-1 (Xl/R¿), como se ilustra en la Fig. 25 mediante OI¿. Para cualquier valor de I/,, la calda I¿R¿ y la I¿X¿ deben ser sumadas en ángulo recto, para dar el voltaje aplicado. Estas caídas componentes son OA y AV, respectivamente. Como siempre, están en ángulo recto y su suma debe ser OV, el lugar geométrico de la caída ItR¿ debe ser un semicírculo, OAV. Desde el momento que I¿ es proporcional a la caída I¿R¿, y está en fase con ella, el lugar de h debe ser también un semicírculo.

Cuando la ccdda I¿R¿ coincide con el diámetro de su círculo, la corriente lL también debe coincidir con el diámetro de

IIFig. 25. Lugar geométrico de I, ai variar L en el circuito mostrado en

la Fig. 24.

2 0 6 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTEBNA

su propio círculo. El diámetro del último debe, en consecuencia, ser V/Rl . De aquí que el círculo punteado, trazado con V/Rl como diámetro, debe ser el lugar geométrico de I¿. Puesto que la corriente resultante es Ic + h , esta suma se ejecuta trazando el semicírculo 01/3, con la extremidad izquierda de su diámetro partiendo de Ic , como se muestra en la Fig. 26. Por ejemplo, OC representa una suma particular de Ic e I¿. Al variar L, el lugar geométrico de la comente resultante es, en consecuencia, el círculo IpCb. De aquí que, al aumentar L de 0 a oo, la corriente resultante varía de Ob a Oe, que es un punto de resonancia; de allí a Od, que es un segundo punto resonante, y a continuación a OIc. Ninguno de los puntos resonantes da corriente máxima o mínima pero

v

Fig. 26. Lugar geométrico de OC, corriente resultante del circuito de la Fig. 24, al variar L.

Idan factor de potencia unidad (igual a la unidad). La corrien- I te mínima es OIm valor donde la corriente resultante es ñor- j mal al círculo IcCb. Para un problema determinado, los vedo- ] res de lo- 6c e Icb, que es igual a V/Rf pueden ser calculados f l directamente de los parámetros. Cualquier valor de corriente puede ser entonces calculado trigonométricamente, por las I propiedades geométricas de la figura. Deben considerarse los siguientes casos. Primero, si V/2R¿ (el radio del circulo IcCb) es menor que I0 sen Be, no puede obtenerse la resonancia en paralelo, cualquiera que sea el valor de L. Esto contrasta con el circuito en serie, donde todo valor de L dará resonan


cia, enanque varíe el valor de R o C. Segundo, si V/2Rí, es igual a Ic sen $c, habrá dos puntos resonantes. Tercero, si V/2Rl es mayor que Ic sen 6C, habrá dos puntos resonantes, y cuarto, si la resistencia de la inductancia fuera cero, la corriente mínima se daría en el punto de resonancia. Nótese que para esta situación, las conductancias serían constantes para las dos ramas.

Resonancia Mediante Variación de C. A través de un procedimiento similar al bosquejado anteriormente, el estudiante puede desarrollar la representación gráfica de los casos en que la resonancia es producida mediante la variación de C, siendo R¿, L, R y f constantes. La representación gráfica se muestra en la Fig. 27. El lugar geométrico de la corriente resultante es el círculo adee. Se advierte de nuevo que la

Fig. 27. El circulo adee es el lugar geométrico de la corriente resultante del circuito de la Fig. 24, al ser variada C.

resonancia que se da en d y e no es la condición para la corriente mínima. La corriente mínima se da en l m< cuando la corriente resultante es normal al círculo adee. Si Rc es cero, el radio del círculo adee se hace infinito, o, lo que es lo mismo, la corriente Ic está en cuadratura con el voltaje V. En estas condiciones, sólo hay un punto de resonancia y corresponde a la corriente mínima. La conductancia del circuito del condensador es cero, mientras que la de la rama inductiva es constante. Esta conductancia constante hace mínima la corriente en resonancia, de aquí que la impedancia sea máxima. Como'la mayor parte de los circuitos selectivos emplean


inductancia constante y capacitancia variable, las resistencias de las ramas capacitivas son muy paqueñas; en estos circuitos se tienen, prácticamente, impedancia máxima o corriente mínima en el punto de resonancia. Como en el punto de resonancia la corriente es, simplemente, la conductancia multiplicada por el voltaje impreso, es evidente que el {actor de potencia es 1. Estudiando la Fig. 27 se comprenderá la forma como varía el ángulo de fase 9 entre la corriente resultante y el voltaje aplicado, a medida que la corriente resultante describe el círculo adce. Entre los puntos e y d se tiene factor de potencia adelantado.

Resonancia Mediante Variación de la Frecuencia. Según la ecuación (39), la frecuencia de la resonancia en paralelo es

imaginaria y, en consecuencia, ninguna frecuencia real producirá resonancia. Surge la misma situación cuando se invierten los signos de desigualdad. Si R¿, y R© son iguales, la ecuación (40) de la resonancia toma la forma

que es la misma de la resonancia en serie. Esta ecuación también es correcta cuando Rt = Rp = 0 y puede, por lo tanto, ser usada como una aproximación muy cercana, cuando R¿ y Rc son muy pequeños. Debe entenderse que hay valores de Rt, C, Rc y L, en un circuito en paralelo, para los cuales es imposible la resonancia en paralelo, cualquiera que sea la frecuencia. Esto contrasta con el circuito en serie que contiene R, L y C, en el cual siempre hay alguna frecuencia resonante real, para cualquier valor de los tres parámetros. En la Fig. 28 se muestran las tendencias de varias cantidades, a medida que la frecuencia es variada desde un valor demasiado pequeño para producir resonancia, hasta un valor mayor que el requerido para la misma, como se muestra en la Fig. 28, para condiciones en que es posible obtener resonancia.

(40)

Cuando R¿2C > L y R02C < L, la cantidad


Resonancia Mediante Variación de Rt o Rp. Cuando se despeja Rl en la ecuación (40), se obtienen las siguientes ecuaciones

R l

R l

R l

-4-4- 4.

'LC¿* (Rc2C - L ) + L

LCu2Rc2 - L V + ^

X l * 2Rc¿ - X L¿ + -

(41)

(42)

(43)

Cuando los parámetros son tales, que hacen positiva la anterior expresión subradicd, R¿ toma valores positivos de-

“O __£5 ' cdCDIS I

<r>

enC='co

03- —iCD O N

Fig. 28. Resonancia en paralelo, mediante variación de la frecuencia.

finidos. Se muestra asi que, dentro de ciertos límites, hay valores definidos de R¿ que ponen cd circuito en resonancia para ciertos valores particulares de frecuencia, L, C y R0. También, en el punto de resonancia

- 4 M r á * + 1 ( 4 4 )

La ecuación (44) muestra que, para los valores de los parámetros que hacen positiva la cantidad subradical, puede producirse la resonancia, escogiendo el valor adecuado de Re-

En contraste con el circuito en serie, donde las resistencias no tienen parte en la determinación de la frecuencia de resonancia, las resistencias de un circuito en paralelo son de señalada importancia en la determinación de la frecuencia


de resonancia, hasta el grado de hacer posible o imposible obtenerla. Puede darse a esto una interpretación física, cuando se recuerda que con una cierta componente de la corriente, en cuadratura, en la rama condensiva, un valor de Rt suficientemente grande impedirá fluir a una corriente resultante en la rama inductiva, que sea tanto como la corriente en cuadratura del circuito condensivo, aun cuando la inductancia sea oero. En tales condiciones, está claro que la inserción de la inductancia no hará más que hacer aún más pequeña la corriente de la rama inductiva y de aquí que no contribuirá en nada a la posibilidad de la resonancia. Ese caso fue discutido con referencia a la Fig. 26, cuando Ic sen Q0 era mayor que V/2Rx,. La Fig. 26, que es simplemente un diagrama vectorial, muestra que sen 0L nunca puede ser hecha tan grande como Ic sen 0C, si V/2Rt es menor que Ic sen 6c- Se da una situación semejante para la rama ccíndensiva.

Problema 8. Dibuje el diagrama vectorial y muestre el lugar geométrico de It > al ser variado X¿, con R0 = 1 ohmio, Xc = 10 ohmios,

= 6 ohmios y un voltaje impreso de 100 voltios, para el circuito mostrado en la Fig. 24. Repita el problema para R¿ = 4 ohmios. ¿Cuál es el mayor componente en cuadratura posible de la corriente de la rama inductiva, a medida que X¿ es variada en cada caso? ¿En cuál caso puede ser producida la resonancia? ¿Por qué?

Respuesta: 8.33 amperios, 12.5 amperios, resonancia solamente para un caso de 4 ohmios.

Dualidad. El principio de dualidad (Págs. 46—55), puede extenderse a la resonancia en serie y en paralelo, como se muestra a continuación:

Resonancia en serie Resonancia en pándelo

a. Las componentes reactivas del a. Las componentes reactivas de la voltaje se combinan para dar corriente se combinan para dar cero. cero.

b. Constante de la fuente de vol- b. Constante de la fuente de taje en magnitud máxima. corriente en magnitud máxima

c. Máximo de corriente para re* c. Máximo de voltaje para consistencia constante. ductancia constante.

d. Impedancia a su valor mínimo, d. Admitancia a su valor mínimo.e. Reactancias inductiva y capa- e. Susceptancias inductiva y ca-

citiva de igual magnitud. pacitiva de igual magnitud.

Por la tabulación anterior se notará que los elementos duales son:

ANALISIS DE CIRCUITOS SINUSOIDALES MONOFASICOS

En wri*

a. Voltaje reactivob. Voltajec. Corriented. Impedanciae. Resistenciaf. Reactancia

“ O c_

En paraleloCD '

CDCDC/3

N £=-<(/>

a. Corriente reactiva C Db. Corriente Oc. Voltaje 3

rsia rCDd. Admitancia o > »

e. Conductancia CD o "i. Susceptancia N

El hecho de tomar en cuenta la dualidad suministrará una comprensión del comportamiento del circuito más que pmfunda que en el caso contrario. Puede también ayudar a acortar el tiempo necesario para la comprensión del funcionamiento físico de los circuitos. Por ejemplo, si se comprende totalmente la resonancia en serie, es cosa sencilla hacer extensivo este conocimiento a la resonancia en paralelo, por medio del principio de la dualidad.

Una Forma Sencilla de Trampa de Onda. Los fenómenos de resonancia, tal como se presentan en los párrafos anteriores, forman la base de operación de muchos circuitos usados en comunicación alámbrica e inalámbrica. Están especialmente adaptados a circuitos selectivos, como los de los filtros y osciladores. Una combinación en paralelo de capacitancia e inductancia, juntamente con su resistencia incidental, puede ser convertida en un efec-

o tivo eliminador de banda, supresor o trampade onda. La impedancia de una tal rama (de a hasta b en la Fig. 29), donde es despre-

Fig. 29. Forma sen- ciable la resistencia de la capacitancia y Rt cilla de trampa de es mUy pequeña, comparada con <aL, se en-

onda cuentra muy fácilmente, tomando el recíproco de la admitancia resultante. Como las ramas están sintonizadas para resonancia en paralelo, la admitancia resultante es únicamente conductancia. Así


Puesto que R¿2 <£ <o2L2, „ „= (47)

t Í L

En párrafos anteriores se demostró que, cuando R¿ = Rc = = 0, la frecuencia resonante es prácticamente

Dando a <■> en la ecuación (47) el valor de la ecuación (48), se tiene en el punto de resonancia la impedancia

Cuando se usa como trampa de onda, la combinación en paralelo de inductancia y capacitancia, se coloca en serie con la bajada de la antena, como se muestra en la Fig. 29. A¡ la frecuencia resonante, la resistencia dinámica de la trampa de onda es casi igual a L/CRx, [ecuación (49)]. La experiencia ha demostrado que, dentro de la banda normal (standard) de radiotransmisión, la resistencia dinámica a la frecuencia fm, puede ser hecha alrededor de 10 veces la impedancia, a frecuencias situadas dentro de la escala ± 20 kilociclos, a ambos lados de fm. Asi, la trampa de ondas actúa como un supresor de banda o eliminador.

Problema 9. Una bobina típica, usada en la banda de transmisión para una trampa de onda como la de la Fig. 29, tiene L = 250 X 10- 4 henrios, y una razón de reactancia a resistencia de 170, a 168 cielos. Suponiendo que es cero la resistencia del condensador, calcule lo siguiente:

(a) C para producir resonancia a 1 000 kc, según la ecuación (39).(b) C para producir resonancia a 1 000 kc, según la ecuación (48).(c) Impedancia de la trampa de onda, desde a hasta b, cuando se

ajusta par a resonancia en paralelo a 1 000 kc.(d) Impedancia de la trampa de onda para 990 kc, cuando está

en resonancia para 1 000 kc.(e) La razón de las impedancias para (c) a (d).

Respuesta: 101.3 101.3 fí/jjt, 267 000 ohmios, 75100 ohmios, 3.56.

O w = wm = 2 irfm - —=V l c

Zm ~ C R h (49)

Un Coso Singular de Resonancia en Paralelo. Para algunos valores de los parámetros R¿, R0, L y C, conectados como se muestra en la Fig. 24, el circuito está en .resonancia para


todas las frecuencias. Esto puede demostrarse como sigue. Según la ecuación (39), la condición para resonancia en paralelo es

w L uCR l 2 + « 2L2 + 1

ü) O

1 uPC2 aCuC Rc2o>2C2 + 1 1 + o!2C2Rc2

1 1

—— b u2L — + u2C R ca (50)L O

La inspección de la ecuación (50) mostrará que deben imponerse las dos condiciones siguientes, para ser independiente de la frecuencia

IV 1 / L1’ condición: -----= — o R¿ = \ / —

L C V C

2a condición: CRP2 = L o R<=V i

De aquí que, para resonancia a cualquiera frecuencia, se necesite

= J * >

Puesto que el circuito está en resonancia (susceptancia resultante = 0), su admitancia debe ser la conductancia resultante. Por tanto

y — q — L _i_ —.c. . ______i ^“ 9m Z l 2 Z c2 ~ L + L r = \ z

— h- w L — I-------Í Z l , J C « 2C2

4 (52)


La ecuación (52) muestra que la impedancia del circuito es también independiente de la frecuencia. La exposición precedente ha demostrado que, cuando = R0 = y/L/C, una configuración del circuito semejante a la de la Fig. 24 está en resonancia para todas las frecuencias y ofrece la misma impedancia V L/C para todas las frecuencias.

(o) (b)

Fig. 30. El circuito mostrado en (b) es el equivalente del mpstradoen (a).

Se ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, la red de la Fig. 24 es equivalente a una sola resistencia en serie, con un valor de VL/C, a todas las frecuencias. Por vía de información general, puede decirse que es posible encontrar redes equivalentes a una red dada, a todas las frecuencias, aunque, en contraste con la que se ha discutido, las impedancias de las distintas redes, si bien son iguales para cualquier frecuencia dada, no permanecerán constantes en las diversas frecuencias. El estudio detallado de esos circuitos se deja para los cursos que traten la teoría de las redes.

Lo Q de Circuitos en Paralelo. En el análisis de circuitos con bulbos al vacío se encuentra frecuentemente una configuración del circuito que en esencia se reduce al mostrado en la Fig. 30a, a saber, una bobina y un condensador conectados en paralelo y energizados con una fuente de corriente. En los casos prácticos que se encontrarán, la resistencia de la bobina Rs es muy pequeña, comparada con <»L; en consecuencia

R ,* < <o2L2

En estas condiciones, la transformación de R, y L en una combinación en paralelo de g y de b¿, como se sugiere en la Fig. 22, transforma la Fig. 30a en la mostrada en la Fig. 30b, donde


_ _L L _*!_9 R p ' « 2L2

bjj « —7 y be = wC u L

Debe tenerse en cuenta que b¡, y b0 son magnitudes de las susceptancias inductiva y capacitiva, respectivamente. Cuando se colocan en paralelo ramas puramente reactivas, como en la Fig. 30b, es conveniente escribir Y = g + j (bc —- b¿) y obtener así una expresión que es directamente análoga a Z = R + j (X¿ — Xc). En la Fig. 30b encontramos

' 7

Comparando la ecuación anterior con la (16) observamos una correspondencia que nos permite interpretar la Fig. 16 como la respuesta de voltaje a <n. Esta respuesta tiene un valor máximo de I/g, y un análisis de conformidad con la ecuación (16) puede, con unos cuantos cambios en la notación, ser empleado para determinar la anchura de banda del circuito selectivo mostrado en la Fig. 30.

Puesto que g, en la ecuación (53), corresponde a R en la ecuación (16), C a L, y L a C, podemos escribir para el circuito en paralelo

por analogía con la ecuación (25) o por cálculo directo.Utilizando la definición de Q dada en la Pág. 192 (a saber,

Q = <üm/A<a), y recordando que <■>„» «* 1/V LC, cuando las resistencias de las ramas en paralelo son pequeñas en relación con las reactancias, encontramos que, para el circuito en paralelo

«m «mC 1 1 ÍCQp = — ------- = ----- j = - J - (55)

A " g gum L g \ L

En cálculos analíticos elementales, es muy acostumbrado tratar como constantes tanto a R» de la ecuación (27) como a g de la ecuación ,(55), esto es, como independientes de la frecuencia. Ninguna de estas aproximaciones, sin embargo,


concuerda con los hechos físicos tan exactamente, como tratar a Q como constante, dentro de una razonable escala de frecuencias, centrada en la frecuencia fm, pues R, crece con los incrementos de <■>. Dentro de ciertas escalas de la banda de radiofrecuencia, R, varía casi linealmente con respecto de a», y en estas condiciones podemos hacer a R, = k<a, con los siguientes resultados:

wL a>L— = — = constante Rg /eco

1 co2L2 —- = ——- m constante guL R,uL

Ejemplo 7. En la Fig. 30a se supondrá que la bobina tiene una resistencia en serie, R,, de 2S.1 ohmios y una autoinductancia de 10 milihenrios. Esta bobina debe resonarse a 20 kc con el condensador C.

Se pide que se encuentre la resistencia 1/g del circuito en paralelo equivalente, la capacitancia de sintonización, la Q del circuito en paralelo, y la respuesta máxima de voltaje, por miliamperio de corriente I.

R. 25.1= = 169 x lcrm h0

Rp = - «a 62,900 ohmios g

C « ---- ; — ---------------------- t = 0.00633 X 10-6 faradiosW 0.01(2»-X 20,000)*

Q = -----= ñ — 57“ = -=r- = 60g Rlfi*bn ¿ R§0.001

Respuesta máxima de voltaje = ----- = 62.9 voltios por miliamperio.g

Cierto tipo de bulbo al vacío, a saber, el pentodo, puede, en ciertas condiciones de operación, ser hecho funcionar como fuente de corriente, suministrando hasta varios miliam- perios de corriente alterna, simplemente energizando uno de sus electrodos, la rejilla de control, con un pequeño voltaje de c-a. Como este pequeño voltaje de c-a tiene siempre una magnitud considerablemente menor de un voltio, está claro que de la configuración del circuito mostrado en la Fig. 30b pueden obtenerse grandes amplificaciones de voltaje, si la fuente de corriente toma la forma I de un pentodo. Además, este circuito tiene un grado razonable de selectividad, pues

Q . =

Q p =


la anchura de banda entre los puntos 0.707 Vmax de la curva de respuesta es

g 1.591x10-® nrin Aw = — = -■- - - , ———ñ = 2 510 radianes/segundo

C 0.00633 X 10 6

Sobre esta base de cálculo, la anchura de banda por unidad es

ojffi 2tt X 20,000

Circuitos en Serie-Paralelo. El circuito en serie-paralelo ilustrado en la Fig. 31 es una combinación de los circuitos

en serie y en paralelo, que han sido discutidos anteriormente. Los principios discutidos con anterioridad se aplican al análisis de circuitos en serie-paralelo. Estos principios son: (1) las impedancias en serie se suman en forma compleja y (2) las admitancias de las ramas en paralelo deben ser sumadas en forma compleja. Como ilustración, véase la Fig. 31. Las admitancias de las impedancias Z4 y Z5 se suman en forma compleja, y el recíproco de la admitancia resultante es entonces la im- pedanria equivalente de la sección B. Un método alterno para encontrar la impedancia de la sección B, como se mostró anteriormente, consiste en usar

ZB — Z4Z5/(Z4 4- Z5). Mediante un procedimiento similar, se determina la impedancia de la sección A. Las impedancias de las secciones A y B y Zi están en serie y son, en consecuencia, sumadas en forma compleja. Este procedimiento da la impedancia equivalente o resultante Ze del circuito en serie-paralelo. La corriente I puede encontrarse entonces mediante V/Ze.

Determinación de las Comentes y Voltajes de las Ramas. Después de determinar la corriente resultante, se invierte el procedimiento, para determinar los voltajes y corrientes de las ramas. El procedimiento general consiste en sustraer del

Fig. 31. Impedancias en serie-paralelo.


voltaje aplicado la caída de voltaje, calculada mediante la corriente conocida y la impedancia a través de la cual pasa, para obtener así la caída de voltaje a través del resto del circuito, o calcular las caídas a través de varias secciones, operando con los datos de la corriente resultante y la impedancia equivalente de la rama a través de la cual fluye la corriente. Por ejemplo, en la Fig. 31, la caída a través de la sección A es el producto de la impedancia equivalente ZA de la sección, por la corriente I. Se determina entonces la corriente que fluye a través de cada una de las impedancias en paralelo, dividiendo esta caída por la impedancia de la rama de que se trate, o, si han sido determinadas las admitancias, multiplicando la caída de voltaje a través de la rama por la admitancia de la rama de que se trate. Un procedimiento similar puede seguirse para la sección B, y así sucesivamente.

Ejemplo 8. Calcúlense la corriente, la potencia y el factor de po-' tencia para cada impedancia mostrada en la Fig. 32, y la corriente total, la potencia y el factor de potencia de toda la combinación.

1Yab = ------— = 0.06 + ¿0.08 mho

6 - jS

Ycd — ~—;—— = 0.16 — ¿0.12 mho 4 + j J

Y/„ = Yab + Y id = 0.22 — ¿0.04 mho

_ 1 1 (0.22 + ¿0.04)Z/B = fT. = (0.22 +¿0.04) = 44 + * 8 ohmios

e

Fig. 32. Circuito para el ejemplo 8.


= 4.4 + ¿0.8 ohmios

l a — Z«/ + Zfu = 1.6 + ¿7.2 “b 4.4 + ¿0.8 = 6 + ¿8 ohmios

100/0°I -------— = 6 — ¿8 = 10/—53.2° amperios

6 + j 8 ----------

P — ir¿ + v i ' = G X 100 + 0 X 8 = 600 vatios

% f - Ie/Zef = (0 — ¿8) (1.6 +¿7.2) = 67.2 +¿30.4 = 73.8/24.4° voltios

Vjg , » V - I e/Zef = 100 - 67.2 - ¿30.4 = 32.8 - ¿30.4 = 44.7/—42.8° voltios

0, más directamente:Vf0 = lZf„ = (6 - ¿8) (4.4 + ¿0.8) = 32.8 - ¿30.4

= 44.7 / —42.8° voltios

U = V/tfY„6 = (32.8 -¿30.4) (0.06 +¿0.08)= 4.4 + ¿0.8 - 4.48/10.3° amperios

I cd = V/wY,rf = (32.8 -¿30.4)(0.16 -¿0.12)= 1.6 — ¿8.8 = 8.95/—79.7° amperios

- 8.95/-70.7° amperios

Las potencias en las varias ramas pueden ahora ser determinadas en función de principios estudiados anteriormente

Pab = vi + 1>'¿' = (32.8) (4.4) + (-30.4) (0.8)= 144.32 - 24.32 = 120 vatios

Pcd « (32.8X1.6) + (-30.4) (-8 .8 )= 52.48 + 267.52 = 320 vatios

P ef - (67.2)(6) + (30 .4 )(-8 ) - 403.2 - 243.2 - 160 vatios

Comprobación: P « P ^ + P cd + P,.f = 120 + 320 + 160 = 600 vatios

(*>00F.p. ----------

100 X 10= 0.6 or — = — = 0.6 retrasado

Z 10

o Icd - i - U - 6 - ¿8 - 4.4 - ¿0.8 - 1.6 - ¿8.8

o p e/ = /2r = (02 + 82)(1.6) = 160 vatios

P eg = 100 X 6 = 600 vatios

= 0.6 adelantado


Problema 10. Estúdiense los detalles del ejemplo anterior y dibújese un diagrama vectorial de V, I, Ve¡, Ia6, Ice¡ y V¡g. Empléese una escala de voltaje de 10 voltios por centímetro y una corriente de 0.8 amperios por centímetro.

Sintonización en Serie-Paralelo. Se ha demostrado que, para ciertas condiciones, la resonancia en paralelo da im-

Fig. 33. Circuito sintonizador en de derta frecuencia y reducir

figuración que hace esto es la mostrada en la Fig. 33. Este procedimiento es conocido como sintonización en serie-paralelo. Como ilustración, supóngase que dos ondas, una de10 000 ciclos y otra de 20 000, se imprimen en ab y que se desea detectar4 en D la onda de 10 000 ciclos. Obviamente, se desea obtener en D tanta corriente de 10 000 ¿icios como sea posible y, por otra parte, ha de tolerarse, lo menos que sea posible, la onda de 20 000 ciclos. De aquí que las ramas paralelas de capacitancia e inductancia se ajusten para dar resonancia en paralelo a los 20 000 ciclos. Entonces la onda de 20 000 ciclos tropieza con una alta impedancia y, debido a esto, fluirá a través de D sólo una pequeña corriente. Un poco de reflexión mostrará que el circuito en paralelo actúa como una inductancia para la onda de 10 000 ciclos. Si se coloca una capacitancia en serie con el circuito en paralelo de y se hace igual su reactancia para la frecuencia de 10000 ciclos a la reactancia inductiva equivalente del circuito en paralelo de, para esta misma frecuencia, el circuito, de a hastab, estará en resonancia en serie para la onda de 10 000 ciclos. La corriente que pasa por D será, por tanto, grande para la onda de 10 000 ciclos, mientras que la resonancia en paralelo de d hasta e, para la frecuencia de 20 000 ciclos, permitirá, para esta frecuencia, que sólo una pequeña corriente de 20 000 ciclos fluya a través de D.

b

a

<2>

' - s m m p - 1L,

d e

pedancia máxima y que la resonancia en serie da impedancia mínima. Estos hechos sugieren que una combinación de estos dos fenómenos puede ser usada para exagerar el efecto

serie-paralelo. al mínimo el de otra. Una con-

* El neologismo se impone y es de' uso común. Se llegan a usar los términos localizar, descubrir, que, desde luego, son más correctos desde el punto de vista lingüístico. N. del T.


Ejemplo 9. Supóngase que tiene 0.005 henrios de inductancia y 50 ohmios de resistencia. Se hace caso omiso de la resistencia de los condensadores. Se da la resonancia en paralelo para 20 000 ciclos, cuando

bL = be \V -

«0.005 = o¡CiStí2 + « 2 (0.005 )2

donde £0 = 2*- 20,000 = 12.57 X 104 radianes por segundo

Ci = —-- ——— — = 1.257 X 10-8 faradios 502 + 0.005V

v _ 50___________50__d* " 9 502 + 0.005V 397,300 °

397,300 . _™ — 50— ~ ohmios

Para 10 000 ciclos,

Yci - j2v 10,000 X 1.257 10“ 8 = ¿79 X 10” 6 mho

Yli - z— — i----- — = 49.3 X 10“ 6 - ¿310 X 10“ 5 mho50 + jO.005 X 10,000

Yde - Yci + Y l i « 49.3 X 1 <T5 - ¿231 X 10“ 6 mho

105Zde = tt-t---- — - = 88.1 + ¿413 ohmios

49.2 - ¿231

Puesto que 413 ohmios es la reactancia equivalente del circuito dividido, se necesita una reactancia condensiva de 413 ohmios para producir la resonancia en serie. Entonces se tiene %áb ~ 98 .1 ohmios para 10000 ciclos.

Para 20000 ciclos

¿413¿ad - ---- — = —j206.5 ohmios

z

Z>ab = 7940 — ¿206.5 o 7 946 ohmios aproximadamente

Zab2o,ooo _ 7946 g ZaM 0,000 88.1

De aqui que, para voltajes iguales impresos a través de ab, el valor

de la corriente de 20 000 ciclos será alrededor de — del valor de la90

corriente de 10 000 ciclos.

El estudiante debe desarrollar la explicación de por qué, si ha de suprimirse la onda de 10 000 ciclos y detectarse la de 20 000, en lugar del condensador hay que colocar una inductancia entre a y d.


Ri L t X —vWV'-vJMMüLh

Ro0 QQOv-■ W - T ?

H hCn


Problema 11. El circuito ab de la Fig. 34 debe dejar pasar una corriente de 45 000 ciclos, con una impedancia mínima, y bloquear la corriente de 15 000 ciclos, tan efectivamente como sea posible. Son constantes R0 ss 20 ohmios, = 40 ohmios y C2 = 0.05 ^ f. Se supone que es despreciable R2, resistencia de la rama C2. Lx es capaz de variar dentro de la escala requerida, suponiéndose que la resistencia de la rama 1 es de 40 ohmios, cuando se da a Lj el valor deseado. Para lograr el efecto de sintonización indicado, se coloca en serie con R0 una C0 fija o una L0 fija (de pequeña resistencia, que se supone despreciable).

(a) Despeje a L j, que pondrá al circuito en paralelo b cen resonancia en paralelo, a 15 000 ciclos.

(b) Calcule la impedancia equivalente de b a c, a 45 000 ciclos, teniendo L2 el valor que le corresponde para resonancia a 15 000 ciclos. ¿Es be predominantemente capacitiva o predominantemente inductiva a 45 000 ciclos?

(c) ¿Qué tipo de reactancia (inductiva o capacitiva) debe ser colocado en serie con R0, para poner en resonancia en serie a la rama ab? Calcule el valor de L0 o de C0 necesario para poner la rama ab en resonancia en serie, a 45 000 ciclos.

(d) Suponiendo que ha sido puesta en resonancia en serie la rama ab, a 45 000 ciclos. ¿Cuál es la impedancia actual de a a b, a 45 00(h ciclos? ¿Y a 15 000 ciclos?

Formule el procedimiento anterior para el efecto sintonizador inverso, esto es, para que el circuito ab deje pasar 15 000 ciclos y bloquee 45 000.

Respuesta: (a) Lx = 2.17 o 0.0835 milihenrios. Use 2.17 para conductancia más baja.

(b) Zbc = 0.69 — j79.9 ohmios, predominantemente capacitiva.(c) L = 0.283 milihenrios.(d) a&45 ooo = 20.69 ohmios. ^abisooQ = 1 ^ ohmios.

Frecuencia Compleja. Tal como se aplica a formas de onda sinusoidal de corriente o de voltaje, i = Im sen (*>t + 0), o v = Vw, sen («ot + 0), podría definirse la frecuencia angular como


di/dt dv/dt w eos (coi + 6) i v sen ( c o l + e) ^

todas las cuales tienen la dimensión requerida, a saber, un número/segundo. En este particular, reconocemos a j como un operador que hace avanzar a la cantidad real [sen (<ot+0)] 90°, para hacerla tomar el valor eos (<ot + 6). Esto es

<d [j sen («t + 0) = u> eos («t + 9)]

Una extensión de la definición anterior a los voltajes y corrientes exponenciales complejos, nos suministra el concepto general de irecuencia compleja. Un exponente complejo puede ser representado en varias formas diferentes; por ejemplo

i = = Ie»í m It«<(cos wt + j sen ut) (57)

donde I = Ie,# y s = a + jo». Según el modo como se aplique I puede ser expresado como el valor máximo, o como el valor rms (a raíz cuadrada media) de la componente sinusoidal del complejo exponencial.

Se observará que el complejo exponencial es capaz de representar cualquiera de las cuatro formas de onda mostradas en la Fig. 35 con la parte real, SR, o la parte imaginaria, 3, de i. En este particular

91 (i) = Ieat eos (ut + &) (58)

y3 ( i) = U at sen (wí + 6) (59)

En cursos posteriores, a menudo se llevarán al cabo análisis, aplicando los exponentes complejos. A continuación se usará la parte real o imaginaria del resultado final. El aspecto interesante de este método radica en que el análisis por medio de exponentes complejos es generalmente más fácil de formular que el análisis de la sola componente imaginaria o de la real. Considérese, por ejemplo, la rama en serie LRC mostrada en la Figura 19, de la Página 96. Si i, corriente estacionaria de la rama, ha de representarse como un exponente complejo será expresada como i = Iest. Puesto que en los circuitos lineales la corirente es directamente proporcional al voltaje, la caída’de voltaje a través de la rama será Vss(, como

224 CIRCUITOS DE CORRIENTE'ALTERNA

Fig. 35. Formas de onda que pueden ser representadas por medio de exponéntes complejos

resulta evidente de un estudio detallado de la ecuación de voltaje

, f idtL ¡ , + R ' + ~ c - - Vt (t0>

La sustitución de i por su vcdor le** en el primer miembro de esta ecuación mostrará que

( ls + R + I - V (61)

La impedancia del circuito en serie LRC(V/I), en fundón de la frecuencia s compleja, se escribe generalmente en la forma Z(s), que significa Z expresada como función de s. Asi,

Z(s) = — = ^Ls + R + — \ (62)

Cuando los parámetros del circuito, L, R y C son constantes, es evidente que los exponentes complejos satisfacen las leyes de Kirchhoff, con cierta elegancia. La frecuencia compleja correspondiente es

di/dt dv/át , .s = —_— _ --_ ai v 1

que puede comprobarse como sigue. De i = le**, se siguedi/dt

di/dt = sle*‘ = si. En consecuencia, s = — :— Un procedí-


miento similar, utilizando v = Ve*4, darán también s. La parte real de s, a saber, a, da razón del aumento o disminución de la corriente o el voltaje, mientras que la imaginaria, a> defineo especifica la frecuencia angular de la corriente o el voltaje.

Fig. 36. Ilustración de los polos y ceros de Z(s) = L — i -- •(S — S i)

Puesto que s es un número complejo, es natural emplear un plano s en el análisis de circuito, con a medida sobre el eje de las cantidades reales, y <•> sobre el de las imaginarias. En los términos de esta convención, la frecuencia angular real «> se toma sobre el eje j del plano complejo s como se indica en la Fig. 36.

Polos y Ceros. El comportamiento de la red queda en ocasiones caracterizado por los polos y ceros de la función

226 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERN*

impedancia Z(s) de la red. 5 Un polo de Z(s) se define como el valor de la frecuencia compleja para el cual Z(s) se hace infinita, y un cero de Z(s) se define como el valor de s para el cual Z(s) es igual a cero. Por ejemplo, la impedancia del circuito en serie LRC, deducida en el apartado anterior, puede ser expresada como

Si se determinan sobre el plano s el polo y los ceros de Z(s), como en la Fig. 36, resulta evidente cómo podría determinarse la magnitud y el ángulo de fase de Z(s), para cualquier valor de s, con ayuda de una regla y de un transportador. Generalmente sólo tienen interés los valores s que quedan sobre el eje de las frecuencias reales, esto es, el eje jo del plano s. Para cualquier valor de s = jo»*, por ejemplo,

c = *>„ todos los cuales pueden ser medidqs con ayuda de una escala adecuada a regla graduada. 6a, 6¿ Y Oc son los ángulos de los tres fasores (j<■>* — s j , (j»>, — s2) y ja»,, medidos, respectivamente, desde la dirección del eje +a.

5 En una forma más generalizada las características de la^de salida /^de entrada1 ^de salida /^de entrada' ^de salida de entrada ®

Ide salida /^de entrada' son caracterizadas por los polos y ceros de estas funciones de transferencia, todas las cuales son razones de polinomios en ».

Z(s) = L s + R + ~ — C s s

oH S - S!)(s - s2)

Z(s) — -(s - §i)

(64)

§i = 0 es el polo único de Z(s)

son los ceros de Z(s).

JWxo

— L — /d„ + Ob — Bc c ---------------------

(65)

donde a = | jwx — §x |. b = | ju x — s2 [, y


A fin de ilustrar el método de polos y ceros de análisis, (así como para hacer notar algunas de sus desventajas), de

terminaremos Z(b), para s = jw0 = j _ mediante la situa-VTC

dón de los ceros y polos de la Fig. 36.1

V L CEns = ju0 — j

= (* Y + L i - - / X T 7 Z Y\ \ 2 L j T V L C >LC \2l )

b =

2L C

j l\ L 2C 2 4 L3C

L C+ 2 R 2

V l c

C 2 4 L aC

ir/2 radianes

= tan-

ah

?___ / II r . y L CV l c

R 2L C 4 L2

tf/2L 06 — tan 1

i n R 2 C 4 L 2

R /2 L

:■ ) - l - ¿ t £ = £

= 72/0° ohmios

_____\ L 2C2 \ L 2C 2 M? C )

1 / V L C/0o

(66)

Al llegar a 20 = 0, hacemos uso de la bien conocida ecuación, fácil de establecer:

X + ytan-1 x + tan-1 y = tan-1------- . Es obvio que en este sen-

1 — xycilio caso no resulta ninguna ventaja del uso de ios polos y ceros.

En circuitos de filtros complicados, las características de fase (<■> abscisa, 20 ordenada) son determinadas a menudo por el método gráfico (o con ayuda de una computación electrónica) pues pueden hacerse muy difíciles de manejar las expresiones analíticas.


21. Dos motores monofásicos están conectados en paralelo, a través de una fuente de suministro de 110 voltios y 60 ciclos. El motor 1 es del tipo de inducción, de fase dividida, que toma una corriente retrasada y el motor 2 es del tipo de condensador, que toma una corriente adelantada. Utilizando los datos siguientes, determine la potencia total, la corriente combinada de la línea y el factor de potencia resultante de los dos motores, operando en paralelo.

Salida en Eficiencia Factor de poten-Motor caballos por unidad cia por unidad

1 V s 0.60 0.70 (retrasado)2 V 2 0.75 0.95 (adelantado)

22. Un circuito en serie, en el cual se imprimen 100 voltios, consta de una resistencia de 10 ohmios, un condensador de 5 ohmios, una resistencia R en que se pierden 50 vatios y una reactancia X que toma 100 vares inductivos. Calcule todos los valores de R y X que satisfagan las condiciones indicadas, y las corrientes correspondientes, para cada una de las combinaciones.

23. Un tostador trabaja a 115 voltios, 60 ciclos y 10 amperios, y absorbe en sus terminales 1 150 vatios. Un reactor debe ser devanado, con una razón X¿ a R de 5, de manera que, si se coloca en serie con el tostador en una línea de 230 voltios y 60 ciclos, el tostador tenga 115 voltios entre sus terminales.

(a) ¿Cuál es la impedancia que debe tener el reactor? Exprese Z en forma compleja rectangular y polar.

(b) Dibuje el diagrama vectorial, utilizando a Vt08tad0r como eje de referencia.

(c) ¿Cuál es el factor de potencia de la combinación en serie de tostador y reactor?

24. Encuentre la inductancia o capacitancia que debe ser insertada en el circuito de la Fig. 65, para poner todo el circuito en resonancia. Frecuencia: 60 ciclos.

25. (a) Si el voltaje impreso en un circuito en serie que contiene 5 ohmios de resistencia, 100 ohmios de reactancia inductiva a 60 ciclos y una capacitancia variable, es de 100 voltios, encuentre la caída máxima a través de la capacitancia, y el valor de la capacitancia, para estas condiciones.

(b) Repita los cálculos, si, en vez de la resistencia de 5 ohmios, se usa una de 100 ohmios. Compare los resultados en ambos casos.

26. Un circuito en serie disipa 800 vatios y también requiere 1D00 voltamperios, cuando el voltaje impreso es de 100 voltios. Encuentre la resistencia en serie equivalente y las posibles reactancias de este circuito.

27. La escala de frecuencias de la banda de paso definida anteriormente en este capitulo para un circuito RLC es de 100 ciclos, cuando se usa una bobina que tiene una Q de 50. Se supone que está en la bobina toda la resistencia del circuito.


(a) Encuentre los límites de irecuencia superior e inferior de la banda de paso.

(b) Si se usa una bobina con una Q de 200, a la misma frecuencia resonante que en (a), ¿cuál será la escala de frecuencia de la banda de paso?

28. Dado el circuito en serie RLC mostrado en la Fig. 66(a) Determine la frecuencia resonante del circuito en serie.(b) Encuentre la O del circuito en serie, a la frecuencia resonante.

(c) ¿A qué velocidades angulares se dan los puntos de media potencia?

(d) Suponiendo que se varía a L para obtener resonancia, ¿a qué valor de L sería máximo VL? Supóngase que en este caso la frecuencia es constante a 159 kc.

t------V\A/------- vJLfiib-------1(-----T 1000/3 100 mh 10 ¿mí

V***100 voltiosi-----------Fig. 66. Véase el Problema 28

29. Dado el circuito mostrado en la Fig. 67.(a) ¿Cuáles son los valores de que producen resonancia?(b) Encuentre la magnitud de la impedancia máxima obtenible

con este circuito. Supóngase que se mantiene fija la frecuencia.

V * 100 voltios40 SI

Fig. 67. Véase el Problema 20

(c) Si R¿ se cambia a 30 ohmios (quedando igual Rc) y a L y C se dan, respectivamente, los valores 9 milihenrios y 10 ¿¿í, ¿cuál es la impedancia vista desde las terminales del circuito a 100 ciclos por segundo y a 10 000 ciclos por segundo?

(d) ¿A qué frecuencia estará en resonancia el circuito, con los datos del párrafo (c)?

30. En los siguientes ejercicios se supone que una bobina que tiene L henrios de inductancia y Rs ohmios de resistencia en serie, es colocada en resonancia con un condensador en serie C, de manera que = 1/VLC.

(a) Demuestre que Qa = ^ L/Rs es

factor reactivo (de la bobina)Q* = --------------------------------------------

factor de potencia (de la bobina)

i

Capítulo V II

Circuitos acopladosTerminología. En las exposiciones sobre ingeniería eléc

trica se usa el término "circuito" con variedad de acepciones. A veces se emplea para designar una sola rama de una red eléctrica; otras veces se usa como sinónimo del término "red", para significar una combinación de dos o más ramas que están interrelacionadas eléctrica o magnéticamente, o en ambas formas. En el presente capítulo se le da el significado de "cualquier camino cerrado eléctrico alrededor del cual pueda ser formulada la ley de Kirchhoff de la fem". jt Dos circuitos se dice que están acoplados, cuando pueden ocurrir entre ellos intercambios de energía. Más específicamente, esto quiere decir que aparece una diferencia de potencial en cualquiera de los dos circuitos acoplados siempre que el otro esté energizado y sólo cuando lo esté. Los circuitos involucrados pueden estar acoplados conductiva, electromagnética o electrostáticamente. Pueden existir entre los drcuitos varias combinaciones de estas diversas clases de Kcoplamiento. Sin embargo, en la práctica, la gran mayoría de los circuitos están acoplados conductiva o electromagnéticamente.\ Los circuitos acoplados actúan mutuamente el uno sobre el otro y, en general, el movimiento de la electricidad en ¡cualquier circuito en particular está regido, no sólo por los parámetros de ese circuito, sino, hasta cierto punto, por los parámetros de todos los circuitos a que el circuito en cuestión está acoplado.

Circuitos Acoplados Conductivamente. En la Fig. 1 se muestran dos circuitos acoplados conductivamente. En una [configuración de circuito de este tipo, el circuito 1 puede ser considerado como el de mando o primario y el circuito 2 como el receptor o secundario. Zx2, la impedancia de la rama común a ambos circuitos, es llamada la impedancia mutua


entre los circuitos 1 y 2. La impedancia mutuapuede consistir, teóricamente, en una resistencia pura, una inductancia pura, una capacitancia pura o alguna combinación de estos elementos de cir-

Fig. 1. Circuitos a c o p la d o s CUltO.conductivamente. Si se dan el voltaje de excita

ción y los parámetros del circuito de la Fig. 1, es posible determinar, mediante el simple análisis del circuito, los valores de las corrientes, voltajes componentes y potencias componentes. En general, el método de solución llamado “corriente de malla" 1 es particularmente apropiado para la solución de circuitos acoplados. Si se emplea este método, Ii e I2 se consideran como las corrientes que fluyen circularmente en cada uno de los caminos cerrados que constituyen el circuito 1 y el circuito 2, respectivamente. Los sentidos positivos de circuito asignados a It e I2 son, por supuesto, arbitrarios. Si se asignan a Ii e I2 sentidos positivos de circuito, como se muestra en la Fig. 1, la corriente, de hecho, en la rama Z12 en el sentido + Ii, es Ii — I». Se dan a continuación los detalles del método de solución llamado "corriente de malla", tal como se aplica a la Fig. 1. Por definición

Zu = Z, 4- Z12 (Impedancía del circuito 1 a U)

Z22 = Z2 + Z21 (Impedancia del circuito 2 a I2)

Si los parámetros de circuito son constantes,

Zi2 = Z2i (Impedancia mutua entre los circuitos 1 y 2).

La aplicación de la ley de Kirchhoff a los circuitos 1 y 2 de la Fig. 1 resulta en

Z n h ~ Z12I2 = Ei (1)—Z21I 1 -f- Z22I2 = 0 (2)

Empleando determinantes elementales, las expresiones paraIi e I2 toman la forma:

1 En el análisis general de circuitos es posible evitar muchos detalles engorrosos mediante el uso de este método. Algunas veces se le llama método de M axwell "de comente cíclica". Véase "A Treatise on Electricity and Magnetism", por Maxwell, Vol. 1, 3* edición.

C I R C U I T O S A C O P L A D O S 333

Ej — Z 12

Z11—Z21

'22 »1^22ElZ; (3)

Zn EiT —Z2i 0 *2 — ---- ™-----------=Zll — Zi2

—Z21 Z22Z11Z22 — Zi22

EiZ.(4)

El método anterior es generalmente aplicable y puede ser empleado, hasta incluir cualquier número de circuitos acoplados.

Ejemplo 1. Supóngase que, en la Fig. 1: E. ' — 100/0° voltios, Z1— 3 4- j4 ohmios, y Z12 = 10 + jO ohmios y Z2 = 4 — j8 ohmios. Se considera que la impedancia del generador es despreciable o, si se quiere, que está incluida en Zt.

Zn = (3 + jé) + (10 jQ) = 13 -f- jé = 13.6/17.1° ohmios

Z22 = (4 - jü) + (10 + j0 ) = 14 - j8 = 16.1/-29.7° ohmios

Z11Z22 = 219/-12.6° = 214 - J47.8

Z11Z22 — Zis2 = 114 -j47.8 = 123.7/-22.7°

(100/0°)(16.1 / —20.7°)11 12377-227°----- = 1 3 . 0 amperios

(100/0°) (10/0°)12 --------- 7--------- = 8.08/22.7° amperios

123.7/-227° L------

La corriente en la rama Z12, en el sentido de I, es I12 = (Ij —

I12 = 13.0 (0.992 - jO. 122) - 8.08 (0.922 + j0.386)= (12,9 — jl.59) - (7.45 + j'3.12)= 5.45 - j4.71 = 7.21/-40.8°amperios

La potencia total generada por el generador Et es:

La potencia total absorbida por la red es:

h 2R i + h 2R i + h -?R u = 13.02 X 3 + 8.082 X 4 + 7.212 X 10 = 1288 vatios (aproximadamente)

-E,Pgen = E 1I 1 eos 0 = 100 X 13.0eos (-7 ° )

_Ii= 1290 vatios (aproximadamente)


Problema 1. Despeje a Ir I2 e I12 en el anterior ejemplo ilustrativo, reduciendo primero los circuitos acoplados "a una impedancia en serie equivalente. Dibuje el diagrama vectorial de Ej, Ix, I2, I12, V12, mostrando vectorialmente que V12 = Ex —

Respuesta: Dada en el ejemplo anterior.

Impedancia Mutua. Antes de pasar a tipos especiales de circuitos acoplados, enunciaremos algunas definiciones generales que serán útiles posteriormente en este mismo capítulo y también en cursos de radio, donde el coeficiente de acoplamiento juega un papel más importante que en un primer curso.

La impedancia mutua entre, digamos, los circuitos 1 y 2 de una red general, se define como la razón del voltaje desarrollado en el circuito 2, a la corriente del circuito 1, cuando todos los circuitos, excepto el 1, están abiertos. Esta impedancia mutua ha sido ya empleada en la sección anterior, como Z2i. Si se emplean en el acoplamiento de los dos circuitos, elementos de circuito lineales y bilaterales, está claro que Z12’ razón del voltaje, desarrollado en el circuito 1 a la corriente del circuito 2, con todos los circuitos abiertos, excepto el 2, es igual a Z2i.

La definición dada anteriormente para la impedancia mutua entre dos circuitos puede ser generalizada para aplicarse a los dos pares de teFfflineries IT y 22', coma §é muestra

i, .t i 2«__Circuito

1$V,1

í,

Circuito 2

Fig. 2. Circuito 1 acoplado al circuito 2 mediante una red arbitraria que no se

muestra.

Fig. 3. Circuito 1 acoplado al circuito2 mediante un conjunto ^ de resisten

cias.

en la Fig. 2, donde la red de la caja puede ser cualquier configuración de impedancias. Si, por ejemplo, las terminales IT y 22' son seleccionadas, encontraríamos al medir que

V" &11 bV o Vi. /fi. -t- í t .

Z *iVa

I i

V6

Ii

lie R J t bVg(^a ¡Ib + He) Ha + Hb + Re

R u {R b + R e)


donde V& es el voltaje desarrollado a través de R¡, (terminales 22') y Vtt es la caída de voltaje a través de R«. Se habría obtenido el mismo resultado si el conjunto v de resistencias (Re — R¡, — Rc) hubiera sido transformado en un conjunto equivalente Y de resistores.

En muchas redes, particularmente en el campo del radio, las corrientes directas deben ser confinadas dentro de caminos determinados y la energía de c-a es transferida de

I.t e

~ ) C i r c u i t o '

1

Fi*. 4. Circuitos acoplqdos mediante la red R.-C-Rv

Fígr S. Circyit95 qcoplgd9s mediante la red C.-C.-C,

1 ü i

un circuito a otro mediante la intervención de un campo Ert leí Píg. 4, póf ejemplo, let energía de c-á pué-

de ser transferida del circuito 1 al circuito 2 por medio del campo eléctrico existente entre las placas del condensador de acoplamiento, C.

En lá Fig. 5 se muestra una forma particular de acoplamiento capacitivo. Sí la reactancia de acoplamiento entre el circuito 1 y el circuito 2 se define como el voltaje desarrollado en el circuito 2, a saber, el voltaje a través de C2/unidad de corriente en el circuito 1, esta reactancia de acoplamiento es

X Xo + Xg x2acoplamiento

X 1X 2

^ 1 (^ 1 + + A 3) X i + X2 + X 3

X, (X2 + X3)

donde Vi es el voltaje a través de C x y las X son las reactancias capacitivas de los respectivos condensadores. La capacitancia de acoplamiento entre el circuito 1 y el circuito2 (o viceversa) es

1 1^acoplamiento jX acoplamiento U /oAK i/üA)

(1 /toCj) -(- (1 ¡u>C2) + (X¡uCz)

C,C 2= C l + C2 +

c.


Problema 2. Demuestre que el voltaje desarrollado a través del condensador Cj, pot unidad de corriente que fluye en el circuito 2 de la Fig. 5, es

X Av ; 7^ ¡ 77” A acoplam iento A i r ^ I T -A3

donde X i — 1/wCi, X 2 = l/«C2t Y A'3 = 1 juiC$.

Problema 3. Supóngase que Ra, R¡, y Xc de la Fig. 4 son un dispositivo de acoplamiento entre el circuito 1 y el 2. Demuestre que la impedancia de acoplamiento entre los dos circuitos es

v {Itn-Rb + RaRb2) + jRaRbXcacopi ‘ D ,lento i R T + R t f T x ?

NOTA:

Z _ Vbacoplamiento — “II

donde es el voltaje desarrollado por It a través de Rs, o

2 V„a c o p la m ie n t o = —

Isdonde VB es el voltaje desarrollado por I¡¡ a través de Ra

Coeficientes de Acoplamiento. Se dan dos pares de terminales, 11' y 22', como se muestra en la Fig. 2. El coeficiente de acoplamiento entre el circuito 11' y el 22', se define como

_ Z12 Z21

y/Z1JÍZ22' V z n /Z22/ donde Z12 es la impedancia mutua entre los circuitos 2 y 1.

Z21 — Zij.

Z11' es la impedancia vista mirando hacia las terminales 11', con el circuito de las terminales 22' abierto.

Z-22' es la impedancia vista mirando hacia las terminales 22', con el circuito de las terminales 11' abierto.

Ejemplo 2. Sean las terminales 11' y 22' de la Fig.* 3. Supóngase que se desee determinar el coeficiente de acoplamiento entre los cii- cuitos 1 y 2.

Se ha demostrado que

RaRb

Z11' =

R a + R b + Re

R-a{Rb " r Re)Ra "I- Rb "i" Re


_ ( R b ( R a + R e )

R a + R b + R e

t ___________ R„Rh_________V R a ( R b + R c ) R b ( R a + R e )

Si, por ejemplo, Rc = 0, el coeficiente de acoplamiento es igual a la unidad. Es de advertirse que, con la definición general de coeficiente de acoplamiento que ha sido dada, k puede ser compleja o mayor que la unidad. En la mayor parte de los casos, sin embargo, el coeficiente de acoplamiento es real y menor que la unidad, como en este ejemplo.

Fig. 6. Ilustración de los cuatro flujos componentes <¿u , <£12, >:2, y , j en que se descompone el campo resultante magnético para fines de

análisis.

Acoplamiento Magnético. Si una parte del flujo magnético establecido por un circuito se concatena con un segundo circuito, los dos circuitos están acoplados magnéticamente y la energía puede ser transferida del uno al otro, por medio del campo magnético común a ambos circuitos. El funcionamiento práctico de muchos dispositivos depende de esta clase de acoplamiento.

Descomposición del Flujo Magnético en Componentes Convencionales. En la Fig. 6 se muestra el acoplamiento magnético entre dos circuitos individuales. Para fines de análisis, el flujo total establecido por il( a saber, <¿>i, se divide en dos componentes. Una componente de <£i es la parte que enlaza con el circuito 1, pero no con el circuito 2, a saber £n. La segunda componente de <¡>i es <¿>t2, la parte que enlaza con ambos circuitos, 2 y 1. De manera semejante, el flujo establecido por i2 es descompuesto en dos componentes, para propósitos de análisis detallado.

Por definición

01 = 011 + 012 (5)


Y

<t>2 = $22 “t" 4>21 (6) I

Los cuatro flujos componentes se muestran en la Fig. 6 y a continuación se da una recapitulación de sus definiciones:

<¡>X1 la fracción de <¡>i que enlaza solamente con las vueltas del circuito 1. Este es el flujo de dispersión del circuito 1, con respecto del circuito 2.

<l>i2 la fracción de </>i que enlaza con las vueltas del circuito 2. Este es el flujo mutuo producido por el circuito 1.

<¡>22 la fracción de <¡>2 que enlaza solamente con las vueltas del circuito 2. Este es el flujo de dispersión del circuito 2, con respecto del circuito 1.

<f>2i la fracción de <£2 que enlaza con las vueltas del circuito 1. Éste es el flujo mutuo producido por el circuito 2.

Debe reconocerse que el flujo real establecido por i] o ia no se conforma a las sencillas configuraciones mostradas en la Fig. 6. Por ejemplo, parte de <¡>u enlaza solamente con una fracción de las vueltas del circuito 1, y de modo semejante, una parte de <¿>iZ, abraza sólo una fracción de las vueltas del circuito 2. ¡fin es un flujo supuesto, que al abrazar todas las vueltas Ni produce concatenaciones totales de flujo iguales a las concatenaciones reales del flujo en cuestión. Conceptos similares son válidos para los otros flujos componentes y, cuando se usan cuantitativamente de esta manera, representan exactamente el verdadero estado de cosas, por lo que respecta a los voltajes inducidos.

Inductancia Mutua. A fin de describir la interacción magnética entre circuitos o entre partes del mismo circuito, se introduce el parámetro M. Se llama el coeficiente de inductancia mutua, o simplemente inductancia mutua y es dimensionalmente equivalente al coeficiente de autoinductancia, L. Esta semejanza entre el concepto de inductancia mutua de (o entre) dos circuitos y el concepto de autoinductancia, puede ser demostrada de la manera siguiente. Véase la Fig. 6. Para el fin que se persigue, se definirá la autoinductancia del circuito 1, como


N\<t>i

i iconcatenaciones de flujo del circuito-] 1 /unidad de corriente en el circuito 1J (7)

Sobre la misma base de cómputo, la inductancia mutua del circuito 1, con respecto del circuito 2, es

M n =H

concatenaciones de flujo del circuito! 1/unidad de corriente en el circuito 2 i (8)

También la inductancia mutua del circuito 2, con respecto del circuito 1 es

jV2<í>i2 Tconcatenaciones de flujo del circuito-]^ 12 ~ [_2/unidad de corriente en el circuito 1J

Si las características 0 /i de las ecuaciones (7), (8) y (9)no son líneas rectas, entonces Lr M21 y M12 son parámetros variables de circuito y, para ciertos tipos de análisis, pueden mejor formularse como sigue

(7a)di j

M n = iVi (8a)di 2

M u = N% Oa)d ii

Sin embargo, si el flujo es proporcional a la corriente (esto es, permeabilidad constante), tanto la autoinductancia como la inductancia mutua en las ecuaciones (7), (8) y (9) son constantes y, como tales, parámetros de circuito muy útiles en la teoría clásica del circuito.

En condiciones de permeabilidad constante, la reluctancia del camino de flujo mutuo (J^2i o es una cantidad fija, y (¿ f in — ¿/?i2).

M 21 = (10)*2 (R2i

= f f a f r a = (11)¿1 (Ri2

donde K es una constante, cuyo valor depende de las unidades empleadas para determinar el valor de <f> = KNi/¿/?.

34 0 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Por tanto, si la permeabilidad del paso o camino de flujo mutuo es constante, M2i y M12 son constantes, y M2i = Mi2 = = M. Este hecho puede también ser probado en función de la energía almacenada en el campo magnético, cuando ambos circuitos están energizados.

Si no es constante la permeabilidad del camino de flujo mutuo, ni M21 ni M12 serán constantes, y el método de representar voltajes mutuamente inducidos en función de M pierde mucha de su eficacia. A menos que se indique otra cosa, se supondrá la ausencia de material ferromagnético y, en ese caso, M21 = Mi2 = M.

Las unidades en que se expresa la inductancia mutua son idénticas a las unidades en que se expresa la autoinductancia, generalmente, el henrio o el milihenrio. Si las concatenaciones de flujo de las ecuaciones (8) y (9) se expresan en vueltas weber (108 vueltas Maxwell) y la corriente en amperios, entonces M está dada en henrios.

Problema 4. Véase la Fig. 6, Pág. 337, y supóngase que la bobina L, consiste de 50 vueltas y la L2 de 500.

(a) ¿Cuál es la inductancia mutua entre los dos circuitos (en milihenrios), si 5 amperios en el circuito 1 establecen un flujo total equivalente [(jtj) de 30 000 maxwells, 27 500 de los cuales enlazan con las vueltas de la bobina L2?

(b) ¿Cuál es la autoinductancia de la bobina Lj?Respuesta, (a) M12 = 27.5 milihenrios; (b) Lt = 3 milihenrios.

Reactancia Mutua, X¡¡. Es evidente que cualquier cambio en i2 de la Fig. 6, causará un cambio correspondiente en

De acuerdo con la ley de Lenz, cualquier velocidad decambi? de §? manifestará en @1 sífsuüq 1 @n íerms deun voltaje generado o inducido, cuyo valor es

d<¡> 21 ' d<¡>21 .ei2 = —N i —r— o t>i2 — N i . (12)dt dt

donde e12 es considerado como una elevación de voltaje o voltaje generado y v ]2 es considerado como una ccáda de voltaje.

De modo semejante, cualquier cambio en it se manifestará en el circuito 2 como

A T C * 12 \T C >12e21 — ~ — O V 21 = Í V 2 —dt dt (13)


Por intermedio de estos dos voltajes mutuamente inducidos, el fenómeno conocido como inductancia mutua puede ser computado en el análisis de circuitos.

Las ecuaciones básicas de voltaje para los dos circuitos mostrados en la Fig. 6 son

¿Mr + N i ^ + .N i = «i (14)dt dty

RtH + N ^ + N t í g - e , (15)dt dt

Si se supone constante la permeabilidad de los caminos o pasos del flujo, las ecuaciones anteriores pueden formularse en formas más cómodas, puesto que:

Ni<t>\ = L\i\ « ■ fdi}

~ L l T t (16)

N \(¡)2 i — M 21 ¿2 •.. d<t>2\

' 1 i r- MZ M il dt

(17)

N 2<2 == *•. N ; — dtdi2

= u H(18)

to «- ii ■ N , ^ ‘ dtXI

- T t(19)

Las ecuaciones (14) y (15) pueden, por tanto, ser escritas en la siguiente forma

R\i\ + ¡j \ -f M2¡ —2 = ei (14a)dt dt

R 2 Í2 + L-2 ~ r + M 1 2 - jf - = e2 ( 15a )dt dt

Se observará que los efectos de la inductancia mutua figuran en las ecuaciones de voltaje como caídas de voltaje (+M di/dt). Si, por ejemplo, ij = Imisen o>t, la caída de voltaje en el circuito 2, debida a la inductancia mutua es

di%- w 1 2 = u M iz I m , e o s a)t = X M n Im x C O S Ut ( 20)


En general, a>M == XM. Se llama la reactancia mutua y es una función de la impedancia que expresa la razón del voltaje de la inductancia mutua a la corriente excitante. Se notará que el voltaje de la inductancia mutua se adelanta en 90° a la corriente excitante. De aquí que la expresión vectorial para la reactancia mutua sea

X A/ = j u M = c o M / 9 0 ° (21>

Serán estudiadas en breve, las configuraciones de circuito en que M pueda poseer un signo positivo o negativo.

Problema 5. Una bobina inductiva tiene una resistencia de 10 ohmios, una autoinductancia de 1/37.7 henrios y una inductancia mutua de 0.02 henrios con respecto a una bobina adjunta. (M12 = M21). Un voltaje de 50 sen 377t voltios se imprime a través de las terminales de la bobina primaria. Encuéntrese el valor òhmico de la reactancia mutua y el valor eficaz del voltaje, a través de las terminales del circuito abierto de la bobina adyacente.

Respuesta: = 7.54 ohmios, V2 = 18.85 voltios.

Problema 6. Supóngase que los valores rms del voltaje primario y la corriente del Problema 5 se conocen Vx e IJf y dibújese un diagrama vectorial que muestre a Vlt I1# R1I1, jX^Ij y E21 (Considerado como un voltaje generado, E21 está 180° fuera de fase con jX Ij, puesto que esta última es una caída componente de voltaje del circuito 2, en el mismo sentido que R^ y jXL1I1 son caídas componentes de voltaje del circuito 1).

50Respuesta: ~ /0o voltios, It = 2.5 /—45° amperios, E21 =

y z — --------= 18.85 / —135° voltios.

ftfffflfflt? de Acoplamiento Magnético, ¡¡W W fì & <fj,

p ? fnlQZQ (?gn Ns, jf Ifl fé fa, fnlgzi? conNi, ( >21/^2) i son índices del grado de acoplamiento que existe entre los dos devanados. Cuando los devanados están ampliamente separados o de tal manera situados en el espacio que estas fracciones son pequeñas, el acomplamiento se llama flojo. Mediante una proximidad más estrecha y una adecuada colocación de los devanados, <¡>i2/< j> i y $ 2 1/< ¡> 2 tienden a la unidad, como un límite superior teórico.

El coeficiente de acoplamiento entre los dos devanados que individualmente poseen Li y L2 unidades de autoinductancia, se definen como


K, - I f _ ¡ (Mull /N2) (M21Í2 /N 1) _ l /M 12Ñ / M2AV U i A t e / V ( L \ i \ 0 i ) (L2i 2/N2) ~ \ \ L y ) \ L 2 )

(22)Bajo condición de permeabilidad constante, Mi2 — M21

= M. Por tanto, si la permeabilidad es constante,

Asi, kjr es el medio geométrico de las fracciones (^21/^1) y

i f nf f i ] ° ^ las fracciones (M/%) J (M/Lo)i ÍÍHfflélISMte,el coeficiente de acoplamiento en instalaciones prácticas puede variar de aproximadamente 0.01 entre ciertos tipos de circuitos de radio, hasta tanto como 0.98 o 0.99 entre devanados de transformadores con núcleo de hierro.

Ejemplo 3. Supóngase que el número de vueltas de los dos devanados mostrados en la Fig. 6 son Nj = 50 y N2 = 500. Se supondrá que 6000 maxwells enlazan con las vueltas Na del circuito 1, por amperio de corriente excitante i1> de los cuales 5 500 también enlazan con N2. En el supuesto de que se tengan devanados concentrados similares y de permeabilidad constante, de los caminos del flujo, 60 000 maxwells enlazarán con las vueltas N2 del circuito 2, por amperio de corriente excitante i2 y 55 000 de estas lineas de flujo enlazarán también con Nr El propósito de este ejemplo numérico consiste en determinar el coeficiente de acoplamiento en función de las fracciones (<¡>12/ fa) y (^21/^2) Y también en función de las fracciones (M12/L-) y (M21/L2). Para 1 amperio de corriente excitante primaria y para un amperio de corriente secundaria:

(23)

= 6 000 maxwells <j)12 = 5 500 maxwells

>2 = 60 000 maxwells fh2i — 55 000 maxwells

= 0.917

Ari</>i 50 X 6000X 10 8 = 0.003 henrio

1

A i 12#2012 500 X 5500

X 10 8 = 0.0275 henrio1

At2</>2 500 X 60,000X 10“ 8 = 0.30 henrio


N if a l 50 X 55,000X 10 8 = 0.0275 henrio

ku =V h i U V 0.003 X 0.30

M 0.02750.917

Problema 7. Las autoinductancias individuales de los devanados son 0.094 henrios y 0.0108 henrios. El coeficiente de acoplamiento entre los devanados es 0.805. Encuentre la inductancia mutua de los dos devanados.

Problema 8. Un devanado de 1 000 vueltas tiene una característica (A j/ij) de 9400 maxwells por amperio y está acoplado magnéticamente a un segundo devanado de 338 vueltas. Suponiendo permeabilidad constante de los caminos del flujo y devanados concentrados similares, determine Lr L 2 y M en henrios, si el coeficiente de acoplamiento es de 0.805.Respuesta: = 0.094 henrios, L2 = 0.0108 henrios, M = 0.0256 henrios.

Sentidos de Circuito y el Signo de M. Si solamente un circuito de una red de c-a incluye un dispositivo generador, los sentidos positivos de las corrientes pueden ser fijados convencionalmente, si se entiende que el sentido positivo de circuito dado a la corriente a través del generador, define convencionalmente el sentido positivo de circuito del voltaje generado. Cuando en una red eléctrica existe más de un dispositivo generador, las polaridades relativas y las fases de tiempo de los dispositivos generadores deben ser tomadas en cuenta, al fijar los sentidos positivos de circuito de las corrientes, en los circuitos acoplados.

En un sireuito dado 9 en parte dei mism?, el yeltaj? dela M t t iü mu» Ili i/ iii p i sp&ff u epem al vsllsii át su M u e im t ii/ t §i está involrato mfide un circuito,- primero se da a las corrientes sus sentidos pe-sitivos de circuito. Cuando los sentidos positivos de circuito de las corrientes han sido determinados mediante las polaridades relativas de los diversos dispositivos generadores (si existe más de un generador), o cuando los sentidos positivos de circuito de las corrientes, para un solo generador, han sido convencionalmente fijados, el signo de M se considera positivo si en un devanado el voltaje inducido de la inductancia mutua actúa en el mismo sentido que el voltaje inducido de autoinductancia. Si el voltaje inducido de inductancia mutua

Respuesta: 0.0256 henrios.

C I R C U I T O S A C O P L A D O S 34 5

se opone al voltaje inducido de autoinductancia en un devanado dado, M es considerada como una cantidad negativa.

Al determinar el signo de M, cada caso particular debe ser analizado en cuanto a los sentidos relativos positivos de circuito de las corrientes, los modos de devanado de las bobinas involucradas, y la colocación física de un devanado con respecto de otro. Se demostrará más tarde que el signo de M entre circuitos que no están eléctricamente conectados y que están energizados con un generador único en uno de los circuitos, depende totalmente de los sentidos de circuito positivos que convencionalmente se asignen a las corrientes en los circuitos separados.

Fig. 7. Muestra un caso particular en que el voltaje de inductancia mutua actúa en oposición de circuito al voltaje de autoinductancia en

una bobina dada.

Ejemplo 4. Considere el arreglo supuesto de dos circuitos mostrados en la Fig. 7. Si el sentido a reloj alrededor del circuito 1 se toma como la dirección positiva del circuito de ij, la fem del generador posee un sentido positivo de circuito de b a a, a través del generador. Este último sentido determina el sentido positivo del circuito de i2, como contra reloj alrededor del circuito 2.

Por la ley de Lenz, el voltaje de autoinductancia en la bobina Lr considerado como un voltaje inducido, actúa en un sentido contra reloj alrededor del circuito 1, cuando dij/dt es positiva. Si se toman en cuenta el sentido positivo del circuito de i2 y los modos de devanado de las bobinas, está claro que el voltaje que se induce en la bobina L, por la variación de <£2l, es un sentido a reloj alrededor del circuito 1, cuando di2/dt o d^,21/dt es positiva.

Puesto que M di2/dt en oposición a Lx dij/dt en el circuito 1, M debe ser considerada negativa, si L t se considera positiva. La ecuación general del equilibrio del voltaje en el circuito 1 es

34 6 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Riii + L i ^ + = e hadi di ¡

Otro modo de determinar el signo de M es llamar positiva a M, si las fmm causadas por las dos corrientes se combinan para aumentar el flujo total. Si las fmm se oponen, el signo de M es negativo.

Problema 9. Demuestre, por medio de un análisis detallado e independiente, que la ecuación general del equilibrio del voltaje en el circuito 2 de la Fig. 7 es

ai dt

En vez de mostrear los modos del devanado, a menudo se usa, para obtener la misma información, un método conven

cional que emplea una terminal marcada con un punto. Esta práctica ha sido seguida, por muchos años, en el marcado de transformadores de instrumentos, con núcleo de hierro, donde los puntos son conocidos como marcas de polaridad. Los puntos se colocan de manera que la corriente que entre a una terminal marcada con un punto, produzca una fuerza magnetomotriz y un flujo correspon

diente en el mismo sentido alrededor del circuito magnético. Así, en la Fig. 8, una corriente que entra a la terminal marcada con un punto, causa un flujo contra reloj en el circuito magnético, y una corriente que entra por la terminal marcada

Fig. 8. Marcas con puntos usadas para definir las polaridades relativas de dos

bobinas.

1 2 1 2

Fig. 9. Las marcas con puntos in

dican — M.

Fig. 10. El modo de devanar y la colocación f í s i c a indican

- M .

Fig. U. Las marcas con puntos in

dican + M.

con un punto de la bobina 2, también causa un flujo contra reloj en el mismo circuito magnético. De aquí que los puntos solos, sean suficientes para indicar los modos de devanado. El uso de esta convención, se ilustra en la Fig. 9. Si se supone que una corriente que entra por la terminal marcada con un punto de la bobina 1, produce un flujo de izquierda a dere-


cha a través de las bobinas, esta misma corriente, al salir por la terminal marcada con punto de la bobina 2, causarla un flujo de derecha a izquierda a través de las bobinas. Por tanto, para el propósito de establecer una ecuación de caídas de voltaje, M debe ser considerada negativa. De aquí que los modos relativos de devanado deban ser como se muestra en la Fig. 10. Si las bobinas de la Fig. 9 se marcaran como se muestra en la Fig. 11, una corriente que entre a la terminal marcada con punto de la bobina 1, también entrará a la terminal marcada con punto de la bobina 2, las ímm de las dos bobinas serían aditivas y el signo de M sería positivo.

Inductancia Mutua Entre Partes del Mismo Circuito. La inductancia mutua puede ser un factor de importancia en el régimen del flujo de electricidad en un circuito único en serie, en el cual dos o más partes del circuito están magnéticamente acopladas. Un ejemplo particular se muestra en la Fig. 12. El arreglo consiste en dos bobinas inductivas acopladas magnéticamente y conectadas en serie eléctrica. Individualmente, las bobinas tienen L„ y L¡> unidades de autoinductancia, juntamente con Ra y fi» unidades de resistencia, respectivamente.

Si las bobinas están devanadas de la manera que se muestra en la Fig. 12, está claro que, en la bobina a, el voltaje

.. di (Í<¡)badi = ~ ~dT

actúa en el mismo sentido de circuito que el voltaje —La di/dt. De manera semejante, el voltaje

HJ — — m l^ ub "" dt ~ 6 di

actúa en el mismo sentido de circuito que — Lj di/dt. De aquí que M sea positiva.

Considerados como caídas de voltaje, los voltajes componentes de que se hace mención, tienen sentidos de circuito que concuerdan con el del voltaje aplicado v. Considerados como elevaciones de voltaje, los voltajes inducidos están, por supuesto, en oposición de circuito al voltaje aplicado v.

Los hechos involucrados pueden ser enunciados en forma de ecuación, como sigue


, d i , , d i w . d i rft72«í + /-»„ —~ + -W + />)>— + — == e (24)

«/ <w «/ v rf/

Fig. 12. Dos bobinas de inductaricia conectadas en serie aditiva.

Si el camino mutuo de flujo es de permeabilidad constante, la anterior ecuación se reducé a

(Ra + Rb) i + (¿a 4~ l>b + 2M ) — — v (25)di

Si v varía sinusoidalmente cxrn el tiempo, y si todos los parámetros de circuito son constantes, la ecuación (25) puede ser formulada en función de valores rms, como sigue

+ Rb) I + ju{Lu + £* + 2J/)I = V (2fi)

Se advertirá que M entra en la ecuación de voltaje exactamente en la misma manera que L. De aquí que sea una reactancia mutua. La impedancia equivalente del circuito en serie mostrado en la Fig. 12 se sigue directamente de la ecuación (26).

Ze = — = ^ [ R a + Ri>\~ ■+• [«(Z'o + Lb + 2A/)]2

/ u ( L a + Lb +. 2M )/ tan ------—— -—— -----

¡ ___________ (Ra ~f~ Rb)

La ecuación (27) puede también escribirse

Z, = (R„ 4- Ri¡) + M U , Lb + 2M ) — Z„ + Z/j + 2Zji/ (27a)

dondeZ„ = Ra + joiL,,, Zi, = Rh + jwLb Y Z m = 0 + j<jiM

C I R C U I T O S A C O P L A D O S 3 4 9

Si las dos bobinas estuvieran conectadas una a otra en el sentido opuesto, esto es, con una polaridad opuesta a la mostrada en la Fig. 12, los signos de los términos con M de las ecuaciones serían cambiados.

Ejemplo 5. La observación de las ecuaciones (25), (26) y (27) mostrará que la inductancia equivalente de las dos bobinas conectadas en serie aditiva es

El valor de M puede, por tanto, ser determinado experimentalmente mediante medición de Le(4dulra) y L ,(gub, tr«ctiv»)' utilizando las reía- dones anteriores

Ejemplo 6. Supóngase que se desea determinar el coeficiente de acoplamiento, la impedancia equivalente de circuito en serie y la magnitud de la corriente en una disposición de circuito similar a la mostrada en la Fig. 12, si

^e(aditiva) -f- Lj -f” 2M

Si las dos bobinas están conectadas en serie substractiva

M4

Ra = 1.0 ohmiosLa = 4.0 milihenriosRb = 6.0 ohmiosL¿ = 9.0 milihenrios

M = -f- 3 milihenrios= 1 000 radianes por segundo

V = 40.5 voltios, el voltaje apli-cado

(a) El coeficiente de acoplamiento es

LaU V4 X 9

(b) La impedancia equivalente de circuito en serie es

Zc - (/?'«, + Hb) + M L a + U + 2.1/ )= (1 + 0) +./(1000)(0.004 + 0.009 -f 0.006) = 7 +¿19 = 20.25/69.8° ohmios

(c) La corriente en serie es

Un diagrama vectorial de V, I. Va y V6 sé muestra en la Fig. 13, juntamente con los voltajes componentes de Va y V6

20.25= 2.0 amperios

Problema 10. Encuentre laFig. 13. Diagrama vectorial del ejem

plo 6.

3 5 0 C IR C U ITO S DE CO RR IE NTE ALTERNA

magnitud de la corriente del ejemplo anterior, si las dos bobinas están conectadas en serie substractiva, esto es, M = — 3 milihenrios. Dibuje un diagrama vectorial que muestre las posiciones vectoriales de V, I, Va, Vb y los diversos voltajes componentes RI y XI.

Respuesta: I = 4.09 amperios.

Inductancia Mutua Entre Ramas Paralelas. La observación de la Fig. 14 mostrará que, en la bobina 1, M2i di2/dt

Fig. 14. Arreglo en paralelo de dos bobinas de inductancia que están acopladas magnéticamente. Para los procedimientos de devanado que se muestran y los sentidos positivos que se suponen en las co

rrientes, como se indica, M es negativa.

actúa en oposición de circuito a Lidii/dt. De modo semejante, en la bobina 2, M12 dii/dt actúa en oposición de circuito a L2di2/dt. En forma de ecuación

_ . _ di i __ di2 IR \ i \ + L \ —-— — M 2i - j - = v (28)

_ . . „ dio di\R <f l 2 + ^2 ~T. M 12 ~~¡7 ** v (29)

di at

Se notará que en las anteriores ecuaciones han sido utilizadas las corrientes individuales de rama.

Si los parámetros de circuito son constantes y se supone una variación sinusoidal de v, las ecuaciones anteriores pueden ser formuladas en función de valores rms, como sigue

( R i H" )I j — jcoAllo = V (30)

(R2 + jo>L2) I2 - jaM Ix = V (31)Sea /on.

(ff, +ju>Lt ) = Z, (32)

( 7?2 “ h J c o / ^ 2) = = Z 2 ( 33)

0 -j- jo>AÍ == Z\i (34)


Con las anteriores abreviaciones las ecuaciones (30) y (31) se reducen a

Z,I, - Z v/Ij = V

Zjfli + Z2I2 = v(35)

(36)

Las corrientes individuales de rama Ii e I2 pueden ser determinadas mediante la solución simultánea de las ecuaciones (35) y (36).

(37)

V ~ Z mV Z-2 V(Z2 + Z M )Zj ~ Z m Z\Z-¿ — ZjVf2

“ Zjf z2

Z. V- Z M V V (Z¡ + Z jif)

Zi — Z M Z¡Z2 — Z\j~~ Zjif Z2

T- _1_ T. V(Z, + Z2 + 2Z m )

(38)

(39)Z XZ 2 - Z M\

La impedancia equivalente de las dos ramas paralelas mostradas en la Fig. 14, para el caso de M negativa, es

Z\Z<¿ — Zz " ~ J Z] + Z2 -f- 2 Z m

(40)

Ejemplo 7. En la configuración de circuito mostrada en la Fig. 14 se supondrá que:

= 3.3 ohmios Lj ais 0.094 henrios

R„ = 0.775 ohmios

L2 = 0.0108 henrios M = — 0.0256 henrios

w = 377 radianes por segundo

50 /0° voltios

Supóngase que se desea determinar I. It; I„ y la potencia total disipada en las dos ramas paralelas.

Zt (individualmente) = 3.3 + j35.4 = 35.5 /84.7° ohmios

Z2 (individualmente) = 0.775 + j4.07 — 4.17 /79.25o ohmios

Zjf = 0 + jmM = 0 + j9.65 = 9.65 /90° ohmios

Nota: ZM es considerado aquí como esencialmente positivo, pues ya en las ecuaciones (30) y (31) han sido introducidos los signos negativos adecuados.


ZiZ, - Z „ 2 63.6/140°Zc = ~z— — — " = —— —r— r = 1.078/54° ohmios

Z\ -f Z'2 2Zm 59»0 /86

V 50/0°I = — = ------- ; = 46.4/ —54o amperios

Z e l.078 /5£ L

V (Z2 + Z m ) (50/0°) (13.73/86.8°)

1 “ Z,Zo - Z.\r “ 63.fi/l4(r

Ii = 10.8/— 53.2“ amperios

V(Z! + Zjtf) (50/0°) (45.1/85.8°)

2 _ Z1Z2 - Z.U2 “ B3.fi/140°

!•> = 35.4/—54.2° amperios

' I -P = V / eos 0 I = 50 X 46.4 X eos 54° = 1365 vatios

Comprobación:

I = l i + 12 = 10.8/-53 .2o + 35.4/-54 .2°

I = (6.46 - j8.65) + (20.8 - j'28.8) = 27.26 - fS7.45

I = 46.4 / —54" amperios

l J = I { 2H i - f /o2/¿2 = 385 -f 973 = 1358 vatios

Problema 11. Supóngase que las bobinas inductivas del anterior ejemplo ilustrativo están conectadas en paralelo, como se muestra en la Fig. 14, con la excepción de que las terminales de una bobina están al revés de como se muestra en la figura. Demuestre que, en estas condiciones

Zf = :s.0ti5 A)V4(V ghmios

I = 16.16/ — 61.40° amperios (V como eje de referencia)

I I = 4.43 / —222.10 amperios

lo — 20.4/ —57.30° amperios

TP — V I eos 0 I = 386 vatios

Dibuje el diagrama vectorial de V, I, e I2, y represente la forma en que los tres voltajes componentes de cada rama se combinan vectorialmente, para dar el voltaje aplicado, V.

El Transformador de Núcleo de Aire. En la disposición convencional para un transformador mostrada en la Fig. 15, los circuitos individuales no están conectados eléctricamente. El


circuito 1, energizado por medio de una diferencia de potencial alterna, se llama el primario. El circuito 2, se llama el secundario. Como resultado del acoplamiento magnético entre los circuitos, el circuito 2 tiene un voltaje inducido que es igual a

La magnitud del voltaje inducido en el circuito 2 es proporcional al número de vueltas del secundario, N¡¡, y depende del grado de acoplamiento entre los dos devanados.

Fig. 15. Arreglo convencional para un transformador de núcleo de aire.

El signo de, M, en la disposición o arreglo convencional para transformador, depende de la selección arbitraria del sentido positivo del circuito de i2. La mayoría de los tratadistas prefieren utilizar el sentido positivo del circuito de is, que les permite emplear el signo positivo de M. Para los modos relativos de devanado mostrados en la Fig. 15, el sentido positivo a reloj de i2 requiere el uso de + M, pues en estas condiciones M„ di2/dt actúa en el mismo sentido de circuito que Lidii/dt en el devanado primario. Si el sentido contra reloj en el circuito 2, se toma como el sentido positivo del circuito de i2, entonces, por supuesto, M debe ser considerada negativa. Las soluciones resultantes serán idénticas en ambos casos, con excepción de que todos los voltajes y corrientes secundarios tendrán el signo cambiado. La práctica con soluciones detalladas convencerá al lector de que los dos distintos métodos darán idénticos resultados físicos.

Si se utilizan los sentidos positivos de circuito, como se indica en la Fig. 15, el análisis matemático del transformador común de núcleo de aire puede ser efectuado como sigue

(41)

<>

r. • , x *1 , i r *2Rjii + ' L i —— + M 21 — = Vi

cu, dt (42)


di-i f io dt dii-37 + — + Mis ~ = 0 (43)dt C o , dt

Si se supone que Vi tiene forma de onda sinusoidal y que todos los parámetros del circuito son constantes, las anteriores ecuaciones pueden ser formuladas en función de valores eficaces, como sigue

(Jii j í = Vj(/¿2 "f~ juTj2)12 "1“ ¡i -f-

(44)

I 2 juM I] = 0 (45)

En obsequio de una formulación sencilla, se adoptan las siguientes abreviaturas

Zi = {J¿i + j u L i ) (Impedancia del devanado primario) (46)Zo = (/¿2 + ju¡L-> ) (Impedancia del devanado secundario) (47)

= (0 + jwM ) (Impedancia mutua, suponiendo que no hay pérdida en el núcleo) (48)

Z = [ i j í ü)I* (Expresión general para la mqj impedancia de carga)

Las ecuaciones (44) y (45) toman la forma

Z d i + Z3/I2 = V, (44M50)

+ (Z2 + Z )I2 = 0 (45)-(51)

La determinación de I, e I2 en las anteriores ecuaciones simultáneas da

Ii =

I9 =

Vx Z;Vf0 (Z2 + Z) v , (¿ 2 + Z)Zi z H Z ,(Z 2 + Z) — Z a/“Zji/ (Z2 + Z)Zi V!z , , 0

N > i:.j

I 1

Z, z M Z ,(Z 2 + Z) z * 2z .,/ (Z2 + Z)

(52)

(53)

Si se ha determinado el valor de Ii, puede, en ciertos casos, ser más conveniente despejar a I2 directamente en la ecuación (51).

i = (54) (Za + Z)

El voltaje terminal del secundario, o sea, el voltaje que aparece a través de la impedancia de la carga, es

V2 = Z I 2 = - Z j t f l j - Z2I 2 (55)También

(56)


-ViZMZI Z i ( Z 2 Z) — Z aí*flI

Las anteriores relaciones se deducen directamente de las ecuaciones (51) y (53). La ecuación (55) demuestra que puede hacerse la interpretación de que el circuito secundario experimenta un voltaje inducido igual — Z^I i, del cual debe substraerse la caída de la impedancia interna del secundario, a fin de obtener el voltaje terminal del secundario, V2.

Impedancia Equivalente. La impedancia equivalente de la disposición del transformador mostrada en la Fig. 15, referida al lado primario, se define como la razón del voltaje aplicado a la corriente primaria. Así,

i| „ V, Z ,(Z 2 + Z ) - Z m 2

¿ci — r- — r~=~■ I i (Z2 + Z)

Una forma más conveniente de la ecuación anterior es7 - 7 Z A/2 M*A/2

,;1 1 (Z2 + Z ) z 2 + z (58)

Las ecuaciones (57) y (58) demuestran que el transformador de núcleo de aire, con respeto a sus terminales primarias, es reducible a un circuito en serie equivalente.

Ejemplo 8 (para Z = 0). Se supondrá que, en la Fig. 16a.:

R i = 3.3 ohmios M = 0.0256 henrio

L\ = 0.094 henrio Z = 0

R 2 = 0.775 ohmio w = 377 radianes/segundo

1j2 = 0.OIOS henrio Vi — 50/0° voltios

Zi — 3.3 + j'35.4 = 35.5/84.7 ohmios

Z2 = 0.775 +./4.07 = 4.14/79.25° ohmios

Z.u = 0 + J9.65 = 9.65/90° ohmios

93.1/0°Z,-i = Z i ---¡j----(3.3 + ,/35.4) + ------

Z-i 4.14/79.25°


Z e\ = (3.3 + ¿35.4:) + (4.20 -¿22.1) = 7.50 +¿13.3 = 15.27/60.55o ohmios

Vl 50/0°— = 3.28 / —60.55° amperios

Z ei 15.27/60.55(

_ i xz M (3.28/119.45°) (9.65/90°)

Z2 4.14/79.25(

I 2 = 7.66/130.2° amperios

La potencia total disipada en los dos circuitos es “ Vi

P = F 1 / 1 eos 0 = 50 X 3.28 X eos ( —60.55°) = 80.8 vatios - iio

P = I \ 2R\ + — 3.282 X 3.3 + 7.662 X 0.775 = 81.0 vatios

El diagrama vectorial de V v l v I2 y —Z^ se muestra en la Fig. 16b En el caso particular mostrado en la Fig. 16b, el voltaje inducido en el circuito 2, o sea —ZMl v está balanceado enteramente por la caída interna de la impedancia del secundario, a saber Z2I2. Si se hubiera tomado como sentido positivo de circuito la dirección contra reloj del circuito 2, I2 y ZMl x aparecerían en el diagrama vectorial a 180° de las posiciones mostradas en la,Fig. 16b.

de aire, cuyo secundario está en corto circuito. Note la forma en que XJrílI1, R1I1 y Zifr2 se combinan vectorialmente para balancear el voltaje

aplicado V 1


El oscilograma 1 ilustra las variaciones instantáneas de v x. i 1 e i2 para el caso numérico anterior. Se muestran claramente las características salientes de la solución numérica. La corriente primaria se retrasa con respecto del voltaje aplicado en aproximadamente 60° y la corriente secundaria se retrasa con respecto de la corriente primaria en aproximadamente 170°. Dentro de los límites de la precisión osci- lográfica, las magnitudes máximas de ij e i2 concuerdan con los resultados del anterior ejemplo numérico.

Ejemplo 9 (para Z = 14.5 + j21.2 ohmios). Se supondrá que, en la Fig. 17a.:

R i — 3.8 ohmios M = 0.0256 henrio

L \ — 0.094 henrio Z = 14.5 +¿21.2 ohmios

R 2 *■ 0.775 ohmio a> = 377 radianes/segundo

L'¿ = 0.0108 henrio Vi = 50 /0° voltios

Z\ = 3.3 +¿35.4 = 35.5/84.7o ohmios

Z»2 = 0.775 +¿4.07 = 4.14/79.25° ohmios

Z m = 0 + ¿9.65 = 9.65 /90° ohmios

OSCILOGRAMA 1. Ilustra las relaciones de fase de tiempo de las corrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo de aire, con respecto de la onda del voltaje aplicado. (Para un secundario

en corto circuito. Véase la Fig. 16a.) v 1 M 70.7 sen 377t voltios.


Z2 + Z L------- 15.28 + ¿25.3

Z„i = (3.3 +¿35.4) + (1.63 -¿2.7) = 4.93 +¿32.7

Za = 33.0/81.4° ohmios

V, 50 /0°

1 1 = ZH = =

- h Z t f (1.515 /98.6°) (9.65 /90°)

2 = (Z2 + Z) 29.6/58.9°

12 = 0.494/129.7° amperios

V2 (voltaje terminal) = I2Z

V2 = (0.494/129.7o) (25.7 /55.6°) = 12.7/185.3° voltios

La potencia de entrada a las terminales del primario es

Vi= 50 X 1.515 X eos 81.4'

Ii^entrada ^1^1

= 50 x 1.515 X 0.1495 = 11.3 vatios

La potencia entregada a la carga es:

7 *•¿I*¿ ros 0JPcarga = V‘¿/-2<*os0 | = 12.7 X 0.494 eos 55.0°

= 12.7 X 0.494 X 0.505 ~ 3.55 vatios

La eficiencia de este transformador de núcleo de aire, trabajando en las condiciones indicadas arriba, es de 3.55/11.3 o 31.4 por ciento.

I 2= 0.494 /129.7o amperios

T T V2 \ __^ Mliy -7- » ^ J=±Í2 --------------- > V ,

R|< <R 2f < R= 14.5 ohmios X1

¡ Li L2 ¡2 § XL= 21.2 ohmios1 1 1 r ©^60^ I i = 1*515 /-81.4° amperios

(a) (b)

Fig. 17. Relaciones entre voltaje y corriente, en un transformador de núcleo de aire, cuyo secundario está cargado como se muestra en (a).

La Fig. 17b es un diagrama de V1, Ilt —ZArI1, I2 y V2. El oscilograma2 muestra las variaciones de vr ix e i0, para el caso particular que se discute. Las posiciones de fase de las corrientes del primario y


OSCILOGRAMA 2. Representa las relaciones de fase de tiempo de las corrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo de hierro, con respecto de la onda del voltaje aplicado. (Para una carga de tipo inductivo, colocada a través de las terminales del secundario del transformador. Véase la Fig. 17a.)

v v representa la onda de voltaje aplicado (valor eficaz = 50 voltios)

i1 representó la onda de corriente del primario (valor eficaz == 1.5 amperios).

i2 representa lq onda de corriente del secundario (valor eficaz == 0.5 amperios).

del secundario con respecto del voltaje aplicado se muestran mediante coordenadas rectangulares y concuerdan con los valores calculados de estas cantidades. Son igualmente perceptibles, la forma de la onda y los valores máximos de las ondas de voltaje y corriente.

Problema 12. Supóngase que se reemplaza la impedancia de la carga del ejemplo anterior por una impedancia cuyo valor es de 28.15/0° ohmios.

(a) Demuestre que, en estas condiciones de operación,

Z vX — .‘$5.5 /79.5° ohmios

Ij = 1.400/ —79.5° amperios (V1 como eje de referencia)

I2 == 0.405/182.4° amperios


OSCILOGRAMA 3. Representa las relaciones de fase de tiempo de las corrientes del primario y del secundario de un transformador de núcleo de aire, con respecto a la onda del voltaje aplicado. (Para una carga resistiva colocada a través de las terminales del secundario del trans

formador. Véase el Problema 12).

(b) Encuentre la entrada de potencia, la salida de potencia y la eficiencia de operación.

Respuesta: Pent = 12.8 vatios, P8ft|ida = 6.08 vatios, Eficiencia = = 47.5%.

(c) Dibuje un diagrama vectorial de Vj* l lt — ¡2* 2 2* ¡2 (jü>L2) y V2.

(d) Compare los resultados obtenidos, con los mostrados en el oscilograma 3. El oscilograma 3 es una fotografía de las variaciones de vr i x e i2 en la configuración del transformador de núcleo de aire considerado en este problema.

Impedancia Transferida. Una de las consideraciones principales en los circuitos de comunicación es la de transferir la máxima potencia de un dispositivo generador de baja potencia, a un receptor. Se ha demostrado en el Capítulo V que se transfiere la potencia máxima (para un voltaje fijo de generador) cuando la impedancia del receptor (en forma compleja) es la conjugada de la impedancia del generador y líneas asociadas de transmisión. Esto es, si Zgen = R + jX, entonces


Zreo debería ser igual a R — jX, para la transferencia máxima de potencia. Para equilibrios de impedancia que impidan pérdidas por reflexión, Zgen = Zrec (véanse los Capítulos X y XI).

En audiofrecuencias, los transformadores de núcleo de hierro pueden ser usados con buen éxito para transformar magnitudes de voltaje y para equilibrar impedancias, pero en radiofrecuencias se usan generalmente transformadores de núcleo de aire. En transformadores de núcleo de hierro, donde el coeficiente de acoplamiento es relativamente alto y donde (<oL2)2 R2'2' una resistencia R, colocada a través de un secundario de N2 vueltas, puede aparecer en las terminales de un primario de Nt vueltas, como (Ní/N2)2R, aproximadamente. Se usa la expresión "puede aparecer", porque varias condiciones deben ser satisfechas simultáneamente, antes de que pueda usarse con buen éxito el factor (N i/^ )2, como se demostrará en seguida.

Se usarán métodos clásicos para demostrar cómo una impedancia colocada a través de las terminales del secundario de un transformador de núcleo de aire, aparece en forma modificada en las terminales del primario.2

La observación de la ecuación (58) mostrará que la impedancia equivalente de un transformador de núcleo de aire, referida al lado primario, es

Z«i = Zj — '~ ¿ fr — (ffi + j X i) + r <59>"2 U¿2 J A 2 )

donde Z'2 = (Z2 + Z), la impedancia total del secundario.Puesto que Zj,2 = — a>2M2- y Z2' = R2 + j<oL2' (para un cir

cuito predominantemente inductivo), se sigue que

Zei = (/¿i + ju L i ) + ( — / (60)\«2 + JOlL2 /

Transformando la ecuación (60), se tiene

w2M 2Lo'( ¿ M R /^ n /2 2 T ' 2 t í 2 "r & *J2 -

Li -R-i2 + co 2L o 2_

(61)Z.i = [

2 Debe tenerse presente que sólo son aplicables los métodos clásicos cuando M21 = Mx, = constante. Cuando intervienen transformadores de núcleo de hierro, el factor (Nj/N2)2 se usa a menudo como una aproximación, pero como los análisis detallados de transformado-


Se observará que R2' aparece en las terminales del primario en forma modificada, a saber, como

Si R2' es muy pequeño comparado con <o2L2'. si L2' = N2 </>2/i2' esto es, si todo L2' está concentrado en el devanado secundario y si M = V L iL2,'. entonces R2' aparece en las terminales del primario como

Así, si un alto valor de R2' ha de aparecer en las terminales del primario a un valor aparentemente reducido, debe darse a N,/N2 un valor adecuado, menor que la unidad. El anterior factor de transferencia, (Nj/Nü)2. puede ser teóricamente aproximado sólo en el caso de un transformador ideal, cuyo coeficiente de acoplamiento sea la unidad. Aun con acoplamiento unidad, R2' no es efectivamente transferido en razón directa del cuadrado de la razón de las vueltas, Ni/N2- como se supone algunas veces. En el transformador de núcleo de hierro, las condiciones requeridas para hacer de (Ni/N2)“ el factor correcto de transferencia se cumple hasta un grado tal, que hace que, cuando este factor se aplica, los cálculos queden dentro del límite de precisión demandada por la ingeniería. Como resultado, es costumbre usar este factor en el trabajo con transformadores de núcleo de hierro.

La ecuación (61) revela otro hecho interesante, a saber, que la inductancia efectiva en las terminales del primario de un trans'ormador cargado, se acerca a cero solamente cuando R2'~ es despreciable comparado con y cuandoL2' está enteramente concentrada en el devanado secundario. En estas condiciones, y si el coeficiente de acoplamiento es igual a la unidad,

res de núcleo de hierro se tratan generalmente en los cursos de maquinaria de c-a, no se discutirán aquí.

Tiz aproximadamente


Ejemplo 10. Se da un transformador de núcleo de aire (o de permeabilidad constante), en el cual Nj = 500 y N2 = 5 000. Para la configuración en particular de que se trata:

Se notará que Z.,' = (100 + j5 000) ohmios, aparece en las terminales del primario como (0.84 — j42) ohmios. Este resultado pone de manifiesto la amplia discrepancia que puede existir entre el funcionamiento ideal de un transformador y el obtenido de hecho en un transformador de núcleo de aire, cuyo coeficiente de acoplamiento es de 0.917.

En condiciones ideales, la impedancia de la carga/ Z = 90/0° aparecería en las terminales del primario como

Las condiciones ideales aludidas son: (1) acoplamiento perfecto y (2) resistencia cero en los devanados del transformador.

El término reactivo en Z el puede, por supuesto, ser neutralizado con un condensador en serie en el circuito primario, si se desea una baja impedancia resistiva en las terminales de este circuito.

Problema 13. Un generador que desarrolla 10 voltios (eficaces) a 265.5 ciclos y que tiene una impedancia interna de 2¿0£ ohmios, se usa para energizar la resistencia de 90 ohmios de la carga del ejemplo anterior, en las dos formas siguientes:

(a) Directamente. Esto es, con las terminales del generador directamente a través de las terminales de la carga de 90 ohmios.

(b) A través del transformador del ejemplo anterior y un condensador en serie del primario, cuya reactancia capacitiva es de 8 ohmios.

Encuentre la potencia entregada a la carga de 90 ohmios en (a) y en (b).

lt\ — 10 ohmio

L \ — 0.03 henrio

/í« — 10 ohmios

L * = 3.0 henrios

M — 0.275 henrio

Z = 90/0° ohmios

A 265.5 ciclos/segundo, = 1 667 radianes/segundo y

X m = «A i = i(i()7 X 0.275 = 458.4 ohmios

A V 2 = 458.42 210,000

Z% = (10 + ¿5000) 4- (90 + ¿0) = 100 +¿5000 ohmios

z c l = (1 + ¿ 50 ) + 100 + j5 0 0 0210,000

Zci = (1 + ¿ 5 0 ) + (0.S4 - ¿ 4 2 ) = 1.84 + ¿ 8 .0 = 8 .2/7T ohmios

- X 90 = 0.90 ohmios

Respuesta: (a) 1.063 vatios; (b) 5.13 vatios.


Resonancia de Factor de Potencia Unidad en el Primario. La reactancia inductiva de ZeV causada por la 'introducción de un transformador puede ser neutralizada de varias formas diferentes. Si, después de haber sido determinado su valor en un caso particular, Zel tiene una componente reactivo-inductiva, en cualesquiera de los circuitos primario o secundario, pueden colocarse capacitores neutralizantes de valor adecuado y estos capacitores pueden ser dispuestos en serie o en paralelo con los devanados del transformador. Para fines de análisis, se da a Zel la forma de la ecuación (61).

Zei — R i +U2M 2IÍ2 '

R 2'2 + ü>2L 2' 2.

o H r - i JR 2 2 + a r L 2 ' J

(61)

R2' es la resistencia total del circuito secundario. L¡¡' es la autoinductancia total del circuito secundario.

Zej = Reí j X e 1

donde

X e l =

< J M 2L 2 ' 1 X M 2X 2 '

1 R 2 ' 2 + a r L 2 /2J L 1 R 2 2 + X 2 ' 2 .

(62)

(63)

Condensador en Serie con el Primario. Es posible obtener un factor de potencia igual a la unidad en el primario, introduciendo un condensador en serie con el primario, que tenga una reactancia capacitiva de magnitud igual a la de la reactancia inductiva representada en la ecuación (63).

»■C1 (en serie )X m 2X 2

r2¿ + x (64)

Condensador en Paralelo con el Primario. Para producir un factor de potencia igual a la unidad en el primario, puede utilizarse un condensador, colocado en paralelo con las terminales del primario. Sólo es necesario igualar la magnitud de la susceptancia (bc) del condensador en paralelo con la magnitud de la susceptancia (bt ) de Ycr donde

Yel =R e I xel

R e í + j X e l R e i “ + X e 2 R e 2 + X e \(65)

La susceptancia inductiva del transformador no compensado, vista desde las terminales ‘del primario, es dada por la


componente j de la ecuación anterior. Por tanto, la susceptancia capacitiva del condensador en paralelo con el primario debe ser igual a

X el3(71 (en parale lo )

Reí2 + X ei2( 66)

Condensadores del Secundario. Dentro de las suposiciones que se han hecho con respecto de las ecuaciones (61), (62) y (63), X2' es una reactancia inductiva. La introducción de un condensador en serie con el circuito secundario o la introducción de un condensador en parálelo con las terminales de la carga del secundario, tenderá a neutralizar la reactancia inductiva original y hará menor en magnitud a la reactancia neta inductiva X2'. Si R2'2 no es demasiado grande, el menor valor de X2' aumenta la magnitud del término substractivo de la ecuación (63), a saber

X m 2X 2'_R ¡T + X 2 2.

Con tal que R2'2 sea suficientemente pequeña en comparación con X2'2 para permitir el aumento requerido en la expresión anterior, X el puede recibir el valor cero, mediante un ajuste adecuado de la capacitancia del secundario. No es difícil de determinar el valor correcto que debe darse a la capacitancia del secundario, en un caso dado. Sin embargo, la expresión general algebraica de los valores de los condensadores, tiene una forma algebraica un tanto incómoda. En los circuitos en que se emplea este tipo de sintonización, el efecto deseado se obtiene, a menudo, por medio de un condensador variable, que puede ajustarse experimentalmente a la capacitancia adecuada.

Ajuste de M. Supóngase que Xi o X2' de la ecuación (63) tienen una componente de reactancia capacitiva que es, cuando menos, suficientemente grande para hacer

X m2X 2'R-2 + JE*

= 0 (67)

cuando los dos devanados están en la posición de más estrecho acoplamiento. Si ahora se disminuye el coeficiente de acoplamiento para hacer más pequeña a X3r XC1 tomará valores positivos, indicando así una reactancia inductiva resul-

3 6 6 C IR C U ITO S DE C O R R IE N TE A LT E R N A

tante. En general, el elemento inductivo utilizado debe ser ajustado, hasta hacer a Xei ligeramente capacitiva para la condición de máxima. Podría hacerse así que la corriente primaria se adelantara o se retrasara con respecto del voltaje primario, ajustando el grado de acoplamiento entre los dos devanados de los transformadores.

Ejemplo 11. Supóngase que se desea encontrar el condensador de valor adecuado que debe colocarse en paralelo con las terminales del primario de la Fig. 17a, para producir factor de potencia igual a la unidad en el devanado primario. Los parámetros de circuito, etc., se dan en la Pág. 356. Para el caso de que se trata: Z r = 3.3 -j- j35.4, Zhí = 0 -f- j9.65, y Z2' = (Z2 + Z) = 15.28 + j25.27 ohmios a 60 ciclos Sin el condensador:

Zel — 4.93 + J32.7 ohmios

4.93 ;32.7Yel = m i ~ f e = (a,XM5 “ m h 0

Despreciando la resistencia del condensador que ha de utilizarse

^ c l ( e n p a r a l e l o ) “ “ — 2 7 r / O

Aci0 0299

(7 = —----- = 79.3 X 10~6 faradios = 79.3 ni377

Problema 14. Determine la capacitancia en serie con el primario que ha de usarse en el ejemplo anterior para producir en el primario un factor de potencia igual a la unidad.

Respuesta: 81.1j¿f.

Problema 15. Despeje en la ecuación (63) el valor de X„' que hace X„, = 0.

Respuesta: A'*/ * áz2X, AÍ4X,2

R 2'2.

Problema 16. ¿Puede emplearse en el ejemplo 11 una capacitancia en serie con el secundario, para producir en el primario un factor de potencia igual a la unidad?

Respuesta: No; R.,' es demasiado grande para los valores dados de X, y X„.

Resonancia Parcial. Los dos principales problemas en los circuitos acoplados del tipo mostrado en la Fig. 18 son generalmente: (a) valor máximo de I2 (y de Vc2) para un valor dado de V,; (b) cresta de L claramente definida, para X2- X^ o o» variables.

Al considerar las características distintivas de estos circuitos acoplados sintonizados, se hace conveniente un liae-


ro cambio en la notación. Hasta ahora, hemos distinguido entre la impedancia (ZJ del devanado primario, la impedancia (Z2) del devanado secundario y la impedancia (Z) de la carga. Se ve claramente, en el precedente desarrollo de las ecuaciones (52) y (53), Pág. 354 que no se han impuesto restricciones a la naturaleza de Zt. Z, es simplemente la impedancia de circuito en serie, equivalente a la del circuito primario. De modo semejante, Z2 + Z es la impedancia de circuito en serie, equivalente a la del circuito secundario. Las ecuaciones del resto de este capítulo serán más fáciles de formular y de com-

Fig. 18. Una disposición de circuito doblemente sintonizado.

prender, si se entiende que Z, se estima como la impedancia total en serie del circuito primario y se comprende que Z-< es la impedancia total en serie del circuito secundario. Así

La ecuación para la corriente I2 del secundario [como se da en la ecuación (53), Pág. 352], toma la forma

\\\\\\

/

vW\

Z, = R\ + j(X rA — X c i ) = R\ +|2f|

2*2 = R¿ 4" j ( X /42 — X c s ) = /?2 ~\~ j x 2

Z.¡v/ = ¿ K m — JéM (como antes)

(68)

(69)

(70)

o

-V ,X . í/[(.\:,/f2 + X 3R i ) + J | 8 A - M i X * + A'm2)]la — ........... - ■ ■ — i b v/4/(A ’ , / í 2 + X o / í i ) 2 + ( R i R o - X i X - , + X M 2)2

Para simplificar la notación, sean

a = X tl{ , + X . R i y b = RiR-i - X ,X 2 + Xm 2


Entonces

12 ~ a2 + b2—Vi A m (a + jb)

(73)

La magnitud de I2 es

/2 =

o

Para determinar el valor numérico de I2 es a menudo más conveniente usar la ecuación (71) que la (75). Esto es particularmente cierto cuando Xt o X2 es igual a cero. La ecuación (75), sin embargo, es útil para determinar los valores máximos de I2 que pueden obtenerse variando cualquiera de los parámetros. La resonancia parcial en los circuitos acoplados se obtiene cuando un parámetro es variado en tal forma que causa una máxima corriente eficaz en el secundario, I2- en condiciones de voltaje aplicado constante, Vi.

Según la ecuación (75), es evidente que puede obtenerse resonancia parcial, ajustando cualquiera de los cinco parámetros: Ri> R2> Xi» X2, o Xjf. (Para valores fijos de Ri> Li. Cr M. R2. L2, y C2 la resonancia parcial puede obtenerse mediante ajuste de la frecuencia.) Obviamente, la resonancia parcial se producirá mediante el ajuste a cero de cualquier parámetro que aparezca solamente en los términos positivos del denominador de la ecuación (75). De aquí que, teóricamente se da la resonancia parcial cuando Rr o R2- es igual a cero. En la práctica, ni Rt ni R2 pueden ser iguales a cero y, como se demostrará en seguida, el valor de R,R= determinará el valor óptimo de I2 que es posible obtener.

Los valores de Xi> X2 o XM que producen resonancia parcial pueden, en general, encontrarse diferenciando la expresión de I2 [tal como se da en la ecuación (75)] con respecto de la propia X y haciendo dI2/dX igual a cero. Por ejemplo, el valor de X! que producirá resonancia parcial puede


ser determinado estableciendo la ecuación dI2/dXi = 0, y despejando a Xj en función de les otros parámetros. Así

0 = + X 22) - 2 X 2X m2] (76)d X i

La única relación útil que puede ser deducida de la anterior ecuación es

X i (R 22 + x 22) = X a X tt2 (77)

El valor de X! que producirá resonancia parcial es, por tanto:

X 2X M2 X 2X m2-Al(res) — „ 2 2 — 2 (78)

l í 2 T A 2 ¿2

La observación de la ecuación (63), Pág. 364 mostrará que el anterior valor de Xt es también el valor de Xi correspondiente a la resonancia de factor de potencia unidad. Al hacerse esta comparación debe tenerse en cuenta que R2 y X3 de la ecuación (78), simbolizan lo mismo que R2' y X2' de la ecuación (63), a consecuencia del cambio en la notación, que se hizo al comienzo de esta sección. De modo semejante puede demostrarse que el valor de X2 para la resonancia parcial es

v _ X íX m 2 X ,A V 2(res) 72]2 + Ári 2 Z t2 (79)

La ecuación anterior se interpreta en el sentido de que X2 debe tener el valor indicado, para producir I2 máxima. Si Xi = 0, entonces X2 debe ser sintonizada a cero para producir I2 máxima, para un valor fijo de X u. Si el circuito primario no está sintonizado a X L1 — X01 = 0, entonces el secundario debe ser desintonizado al valor X1Xlf2/Z12. Cuando la agudeza de sintonización del secundario es de mayor importancia que un valor óptimo de I2- el primario es a menudo desintonizado, para producir una cresta aguda, en la gráfica en que I2 es la ordenada y Xp2 es la abscisa (véase el Problema 17. Pág.373)-

Si Xi y X2 son ambas iguales a cero (en virtud de que Xti — Xai = 0 y Xí.2 — XC2 = 0), la ecuación (75) se reduce a

t - V l X m (80)' • M R iR 2 + X m 2


Si, ahora se hace variar a X*» cambiando el coeficiente de acoplamiento entre las bobinas, el valor óptimo de I2 se obtiene cuando

d i 2 (max) _ ri(/f|/¿2 + ^A/2) ~ 2Y\X” ( « i « 2 + Xjí/2)2

o cuando

X M = coA/ = db \/R\R2 (llamado acoplamiento crítico) (82)

En estas condiciones_ 7i VlUR, = F,

2(opt) R xI i 2 + RxR-2 2 V l h R ¡ m

Las relaciones establecidas en las ecuaciones (78), (79), (82) y (83) son de considerable importancia en la amplificación de voltajes en los circuitos de radio. Algunas de las características esenciales involucradas, se ilustran numéricamente en los siguientes ejemplos y, en forma gráfica, en las Figs. 19 y 20. Para valores fijos de los otros parámetros, hay un valor de XM o un coeficiente de -acoplamiento que producirá una I2 máxima, como se muestra en las gráficas de la Fig. 19. Las respuestas de frecuencia de circuitos acoplados, para valores fijos de Ri> Li> Ci> M, R2» L2 y C2» se muestran en la Fig. 20. Se dejan al estudiante las gráficas en que I2 y Vc2 son la ordenada, con XC2 como abscisa.

Ejemplo 12. (a) Sean los circuitos acoplados que se muestran en la Fig. 19, en las siguientes condiciones:

Zj = 1 -f- jlO ohmios, Z2 = 4 -f- j (40 — 40) ohmios, X3/ variable. En este caso, el primario no está sintonizado y el secundario lo está, esto es, XC2 sz X L2 = 40 ohmios, a la frecuencia del voltaje impreso, V1.

Las raíces de la ecuación (71), para V 1 = 10 voltios, y para varios valores de X^, mostrarán la manera en que I2 varía con el grado de acoplamiento entre las bobinas. En la curva inferior de la Fig. 19, se muestran los resultados de una serie de esos cálculos. Se observará que, para = 1 -f- jlO ohmios, I2 alcanza un valor máximo a X^ igual a 6.5 ohmios y a un coeficiente de acoplamiento de 0.325. Un acoplamiento más estrecho o más flojo de 0.325, resulta en menores valores de I2 y, en consecuencia, de VC2 = I2XC2.

Los cálculos demostrarán que, en este caso

V c 2(max) = 1.063 X 40 = 42.52 voltios

en am

peri

os


Reactancia mutua en ohmios 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

Coeficiente de acoplamiento

Fig. 19. Variación de corriente del secundario, con coeficiente de acoplamiento para diferentes valores de la impedancia del primario. Véase

e l ejemplo 12.

4 ohmios

ohmiosriiohmios

Los valores óhmicos se dan cuandoo vale 1

La curva 1 es para X y — 1 ohmio, cuando <*> vale 1La curva 2 es para — 2 ohmios, cuando tú vale 1La curva 3 es para — 3 ohmios, cuando ü> vale 1

% Velocidad angular /unidad (co)

Fig. 20. Respuestas de frecuencia de circuitos doblemente sintonizados.


(b) En la parte media de la gráfica de la Fig. 19, se muestra la respuesta de I2 a la variable, cuando el primario está parcialmente sintonizado. En este caso, en el circuito primario se emplean 6 ohmios de reactancia capacitiva, y

= 1 + j4 ohmios Z2 = 4 + jO ohmios variable

I2 alcanza un valor máximo de 1.565 amperios, a X^ = 4.3 ohmios. El valor máximo del voltaje del condensador del secundario es

Vc,2(maX) = 1 -565 X 40 = 62. 6 voltios

(c) La gráfica superior de la Fig. 19 muestra la respuesta de I2 a una X^ variable, cuando tanto el primario como el secundario están sintonizados.

Zt = 1 -f- jO ohmios Z2 = 4 + jO ohmios, X M variable

De acuerdo con las ecuaciones (82) y (83), I„ alcanza su valor óptimo de V 1/2 V R 1R 2 en X m = V R\R<¿.

V i 10 o c

2(°Pt) 2 V ñ J h 2 X 2 ’ amPen° S

Vcnopt) —■ ^2(opt)-^C2 = 2.5 X 40 = 100 voltios

La Q (o g>L/R) de las bobinas en este caso es igual a 10, y se observará que VC2(opt) es igual al voltaje de mando (10 voltios), por la Q de las bobinas. Esto es VC2 (opt) = V jQ = 10 X 10 = 100 voltios. Este hecho es generalmente cierto cuando XL2 = 4XL1, siempre que, tanto el circuito primario como el secundario, estén sintonizados a resonancia y con tal que la reactancia de acoplamiento esté ajustada a su valor crítico, a saber, "W RiR2- En estas condiciones

- X li X l2 p p X liX li

y R l E 2 ~ q 2

Y i ViQ V iQüCopt) - 2 V 4 Z í ,iX l 2

V ( 7 2 ( o p t ) = ^ 2 ( o p t ) %C2 — ^ 2 ( o p t ) X l 2 = VlQ

Así, se verá que el voltaje desarrollado a través del condensador del secundario de los circuitos acoplados, que se muestran en la Fig. 18, puede ser igual a Q por el voltaje aplicado. Si. por ejemplo, la Q de las bobinas es 50, puede obtenerse una amplificación de voltaje de 50, simplemente con la ayuda de los circuitos acoplados sintonizados. Como se indica en la Fig. 18, el voltaje desarrollado a través del condensador del secundario puede ser aplicado entre la rejilla de control y el cátodo de un bulbo al vacío, a fin de obtener mayor amplificación de voltaje.

I<

Ejemplo 13. En la Fig. 20, se muestra la respuesta de un circuito acoplado a un voltaje de mando constante, de frecuencia variable, pa

C I R C U I T O S A C O P L A D O S 3 7 3

ra tres diferentes valores de X M. Puesto que el acoplamiento crítico, a una velocidad angular igual a la unidad, es de dos ohmios, las gráficas mostradas en la Fig. 20 representan acoplamientos que son menores que, iguales a, y mayores que el acoplamiento crítico. En estas gráficas, la velocidad angular igual a la unidad es llamada la velocidad angular a la cual XLl — XC1 = 0 y a la cual XL2 — X C2 = 0. A la velocidad angular igual a la unidad

Z i = 1 + ¿ (Í0 — 10), Z2 = 4 + i(40 — 40) X m = 1, 2, o 3 ohmios

A otros valores de <*>, las X L y las X^ varían en razón directa de y las X c en razón inversa de <0.

Para un acoplamiento menor que el crítico, el valor máximo de la corriente del secundario es menor que para el acoplamiento crítico y, para acoplamientos mayores que el crítico, la respuesta de corriente es generalmente similar a la curva de doble cresta mostrada en la Fig. 20.

Si se desea una sola cresta pronunciada de I2, con como abscisa, el acoplamiento no debe ser mayor que el crítico y la Q de las bobinas debe ser tan alta como sea posible en la práctica. Si la Q de las bobinas se hace superior a la usada en la Fig. 20, las crestas de las curvas serán más agudas y más claramente definidas. La precisión de la sintonización es particularmente importante en circuitos de radiorreceptores.

Problema 17. En los circuitos acoplados mostrados en la Fig. 18, Pág. 367.

R i = 1.0 ohmio R ¿ — 4.0 ohmios

X l i — 10 ohmios X L 2 =40 ohmios

X c 1 = 10 ohmios X c 2 variableX m — 2 ohmios V\ = 10 voltios

Dibuje la curva de I2 y VC2, con X C2 como abscisa, entre los límites XC2 = 20 ohmios y X C2 = 60 ohmios.

Respuesta: I2(max) = 2.5 amperios a XC2 = 40 ohmios.Ventar) = 102 voltios a XC2 = 41.7 ohmios,

aproximadamente.

Nota: El hecho de que circuitos de esta naturaleza sintonicen más agudamente, pero a menores valores de cresta, cuando un miembro está parcialmente desintonizado, puede demostrarse repitiendo el problema anterior, y usando Z1 = 1 -f- j4 ohmios, en vez de Zx = 1 + jO.

Análisis y Dibujo, en Función de f/f0 — f0/f. de Circuitos Doblemente Sintonizados. El circuito doblemente sintonizado que se muestra en la Fig. 21a, se usa extensamente en la

3 7 4 CIRCUITOS DE CORRIENTE A LTE R N A

práctica de la ingeniería de radio y en esta sección se tiene el propósito de establecer ecuaciones para hacer gráficas que determinen las Q de los circuitos y el coeficiente de acoplamiento, en función de la anchura de banda y el grado de irregularidad que puede ser tolerado en la característica de respuesta. El generador de corriente (g„,E5), en paralelo con Rp, es la representación del circuito de placa de un bulbo

i - ( j- ai(>j i 0,6 / al vacio. I dib = — dea H-----dc¡\ de„ deb Ultimo

Pág.251 y 252

h . ) (Véase

Fig. 21. El circuito real doblemente sintonizado mostrado en (a ) se transforma rápidamente en el mostrado en (b).

Dondequiera que \ las reactancias inductiva y capacitiva se combinan como se muestra en la Fig. 22, el análisis se simplifica considerablemente haciendo

l _ ufu f

(0

C0()

«0Cú

= F (84)

donde <o0 = 1/ VLuCu = 1 / V L 22C22 en el supuesto de que los circuitos primario y secundario se sintonizaran a la misma frecuencia.

Se notará que F, como se define anteriormente, es la diferencia entre dos cantidades sin dimensiones (f/ e2 fo y f0/f) que individualmente caracterizan las variaciones de las reactan-

_Anchura de_.1banda ^

Fig. 22. Fig. 23. Curva de respuesta de un circuito doblemente sintonizado. f0 = — y / 1^2 es el centro de la frecuencia

cías inductiva y capacitiva referentes a variaciones en la frecuencia.

Como se muestra en la Fig. 23, fx — f2 será llamada la anchura de banda y se supondrá que ii — f2 es pequeña, comparada con f0. Para respuestas de banda estrecha de esta clase, E2 tiene un valor de Emin dentro de la banda de paso, a

/o = 'V^/1/2

donde ft y f2 son las frecuencias (distintas de f0), a las cuales la respuesta E2 tiene valoíes de Emi„. Véase la Fig. 23. En este particular, se notará que, si Fmin simboliza el valor de F en que E2 = Emin’ digamos a f = fr entonces

F . = h _ k = í± (85 ) r min f e f t VOv);

J o J 1 Jo Jo

puesto que f0 = V fif2. Si se da el ancho de banda, Fmln esconocido. ______

Si hacemos a — 1/Qi- b = 1/Q2 y k = M/VLnL22:

Ztl (en la Fig. 21b) = R « + j (u>Lu — — - J =

= o>oiL], (a + jFu) (86)

Z22 = «o,L„(b + jF22) ___ (87)

Z12 = Z2i — j<oM = jíok \/LijL22 (88)

Suponemos que Cu y C22 serán ajustados de tal modo que1 1

C0()1 = . — = W02 = / , — “ oV L UC\ 1 V L22C22


donde

u02 =V 1 j ] , I \ , 022

El problema es esencialmente el de expresar a, b y k en función de Fmin Y (E m&x Emin)*

Utilizando el método de análisis de corriente de malla en la Fig. 21b y tratando a g^Ep como un valor conocido de corriente, digamos It’ que circula en la malla que está a mano izquierda, tenemos

<7 t i 7 T * ^Z n I i + Z 12I2 - j — - j — (8g)

22,1, + Z22l2 = 0


El voltaje de salida es

E2 = ~ j —,— *2 —

E2 = -----------«o í'iiJEa

(~¿ (~j falot VI^ )Í0C22 * too2LiiZ/22[(®fr — í 12) -f- j(a + 6)F] + to2fc2LjiL22

(90)

—j/<fc V' L 11L 22

(¿C11C 22__________________ (gj)

^ f c 2 - F 2) «o /

ab H---- 3 k2 — F2 ) + ¿(a + ó)/'’

Puesto que estamos particularmente interesados en la región mostrada en la Fig. 23, donde cualquier <0 está cercana a «>o si la anchura de banda/unidad es pequeña, podemos hacer (i)2/<a02 5= 1 en la ecuación (91) y obtener

E2 = ________________ z ilA ________________w VcnC22[(k2 + a b - V2) + j {a + b )F ] (92)

A o» = o>o la frecuencia angular F del centro es igual a 0 y

E2o = Eü = ---- . ; (93)coo y /C 11C22 (k ab)

Considérese ahora la razón de las magnitudes de E2 y E„ y de nuevo estímese como igual a la unidad, la razón «/“ o- En estas condiciones

E2\2 1

EoJ j F4 + (a2 + b2 - 2 k2)F 2{k2 + ab)2

E .

/ + F* + (a2 + b2 - 2k2)F 2

(94)

(95)

(k2 + ab)2

Según la ecuación (95), está claro que la forma de la curva E2 (medida en valores/unidad, siendo la unidad E0) estará determinada por las magnitudes relativas de a2 + b= y 2k2. Si a2 + b2 > 2k2, entonces se obtiene una curva de una sola cresta, puesto que, al tomar F valores mayores de 0 (f diferente de f0), la curva E2/E0 disminuirá continuamente a


partir de su valor máximo de unidad, el valor de E2/E0’ cuando F = 0, o cuando f = í0.

Si, en cambio, a2 + b2 < 2k2, el denominador de la ecuación (95) toma un valor mínimo, o E2/E0 toma un valor máximo, en el cual f(F2) = F4 + (a2 + b2 — 2k2)F2, es mínimo.

Este mínimo puede determinarse mediante

= 2 ( F 2 ) - ( 2 k2 - a 2 - b 2) = 0

o sea en la cual„ Q 27c2 - a2 - b 2

F2 = F max = ------------------------- (9 6 )

Cuando se hace una gráfica tomando como abscisa la frecuencia real, la respuesta toma la forma mostrada en la Fig. 23, o, cuando se toma a F como abscisa, la forma mostrada en la Fig. 24.

Utilizando las ecuaciones (95) y (96), se puede formular una expresión para (E2/E0)max = Emax y, puesto que Emjn se toma como unidad, podemos escribir

E 2 1x-/max

£ m i» 2 . (2 k2 - a 2 - b2)2(9 7 )

4 (fe + ab)Sea

2 _ i g « » » i 2 = (2/v2 - a 2 - b2)2 = F min4 ( g g )

£ max2 4 (A;2 + ab)2 4 (k2 + ab)2

en la cual Fmin2 = (2k2 — a2 — b2). [Véase la Fig. 24 y la ecuación (95)]. Se deduce que

a =F r o t n 2 (99)

2 (le + ab)

Eo(100)

Fo 4 a2F2(F2 - Fmin2) Fm ¡n4

3 Estos resultados se deben al Dr. T. C. G. Wagner, de la Universi-aad de Maryland, quien ha - desarrollado fórmulas para gráficas de circuitos doble, triple y cuádruplemente sintonizados.


Finin — V2k2 — a2 — b2 «=* (fj — í2)/f0 es el valor de F al borde de la banda, donde E2/E0 = 1 = Emin.

Fig. 24. Una curva de respuesta E2/E0 con la variable F como abscisa, para a2 -f- b2 < 2k2. (F = f/f0 — ftf/f)-

La ecuación (100) es una cómoda ecuación de trabajo, pues incluye a a, medida de la irregularidad de la respuesta que puede ser tolerada dentro de la banda (ft — U y a Fmiu, medida de la anchura de banda (ft — f2). Desde el punto de vista de la gráfica, a y Fmin normalmente serían dadas (cuando menos indirectamente) y k, a y b se escogerían de tal modo, que en la gráfica final se obtuvieran los valores dados de a y fí — í2. Para aplicaciones, véanse el Problema 45, Pág. 370 y el ejem plo 14.

Ejemplo 14. Supóngase que se desea hacer la gráfica de un circuito doblemente sintonizado que tendrá una anchura de banda/unidad [ ( f t — f2)/f0] de 0.05 y una razón de Emax a Emin igual a 1.25.

Si hacemos a -- b (Qj ' — Q.2), podemos rápidamente demostrar que

— Fmin* V2k - a 2- b0

.» . « ^min 0 a ) r = b = ---------- ;----------- y

yu*2 _ ^mln2(l 4~ <*)

P m i n= 0.052 = 0.0025 [véase la ecuación (85)3

or = 11625

o « = 0.6

Así,

a2 = ti0.0025(0.4)

2.4= 0.000417 y Q i = Q2 = 49

0 0.0025(1.6)fr = ------ 7 --- -

2.4= 0.00167 y A* = 0.041


Flujos y Voltajes Componentes en el Transformador de Núcleo de Aire. La Fig. 25a muestra en forma de diagrama las componentes del flujo en un transformador de núcleo de aire. La corriente L. del secundario produce una fuerza magnetomotriz (fmm) que puede estimarse como dando origen a dos flujos componentes: uno, el flujo de dispersión, que sólo enlaza las vueltas del devanado 2 y <¡>n, que enlaza los dos devanados, 2 y 1. A la presente discusión se aplican las mismas condiciones relativas a los acoplamientos inductivos, que se explican en la Pág. 3 3 7 para la Fig. 6, a saber, que es un componente supuesto o convencional que, cuando enlaza con todas las vueltas del devanado 2, produce las mismas concatenaciones totales de flujo que se obtiene de las concatenaciones reales de flujoencuestión.La corriente L da origen a dos flujos componentes <¡h í, que enlaza con ambos devanados, y f i, que enlaza únicamente con el devanado 1. La lectura del ejemplo 9, en la Pág. 357, y la aplicación de la ley de Lenz, revelarán, de un modo general, la razón del ángulo de fase existente entre I, e L en el diagrama vectorial (Fig. 25b). También se muestran los flujos componentes producidos por I, e L. En la Fig. 25a se ve claramente que el flujo mutuo resultante es <l>¡i ~ <¡>v¿ + 4>-n- El flujo total a través del devanado 2 es £oS *s = <¡>M + m (¡>-. + También el flujo total a través del devanado 1 es = <¡>m + 0ii = </>]+ Todas estas combinaciones se muestran en el diagrama vectorial. Se supone un número igual de vueltas en los devanados I y 2.

Puesto que e = — N(d<¿>/dt), el voltaje inducido producido por un flujo, se retrasa con respecto del flujo en 90 grados. Así, en el diagrama vectorial, E2K es producido por E:/.j por cp.v, y E 2 por </>22. La fem resultante, inducida en el devanado 2, es por tanto E3ff. Tal como se muestra, a causa de la resistencia R.j del de venado 2, el voltaje terminal debe ser EJ/f menos el valor de la caída Il.Rl>. De aquí que V: es el voltaje terminal del secundario. Se ve que se adelanta a L por el ángulo del factor de potencia de la carga del secundario.

La caída de voltaje impresa en el devanado 1, debe ser igual a la suma de todas las caídas a través del devanado 1. Así, una componente de la caída total debe ser la caída —E,;/, que es igual y opuesta al voltaje inducido E,R (que no se muestra) en el devanado 1, producido por todo el flujo que enlaza con ese devanado. La caída componente restante es la I,Ri. De


aquí que = IjRi + ( —Elñ). Las componentes de — Elñ son las caídas de voltaje —En y — Ein , que superan a los voltajes inducidos, debido a la dispersión del primario, y a los flujos mutuos, respectivamente.

El flujo de dispersión <£22 es (aun para todos los propósitos prácticos en transformadores de núcleo de hierro) proporcional a la corriente I2. E22 es una elevación de voltaje inducida y es directamente proporcional a I2. El voltaje — E22 es opuesto a E22 y, por tanto, se adelanta a la corriente en 90 grados. Está, pues, en el sentido de una caída de reactancia y, como es proporcional a la corriente, una reactancia constante puede ser multiplicada por la corriente I2 para representar correctamente la caída — E22. Una reactancia que pueda utilizarse para reemplazar el efecto del flujo de dispersión, puede ser llamada reactancia de dispersión y la caída correspondiente, una caída de reactancia de dispersión. En la Fig. 26, se muestra el diagrama vectorial que se usa comúnmente. En la Fig. 25, solamente se muestra el flujo 4>m Y las caídas — E22 y —En se reemplazan por sus correspondientes caídas de reactancia de dispersión, I2X2 e 1,X;, respectivamente.

Reactancia de Dispersión. La reactancia de dispersión puede ser definida como 2-rrl por la inductancia de disper-


Fig. 26. Diagrama vectorial comúnmente usado para el transformador de núcleo de aire mostrado en la Fig. 25.

sión. Esto puede demostrarse como sigue. Según la Fig. 25a, la inductancia de dispersión

T N 2022 ,r d<t> 22 L S 2 = — ;— o N 2

1 o

622 = — N i

(H2

dcf> 22

dt

(101)

(102)Dividiendo la ecuación (102) entre la (101), se tiene

di2^22 = ~L*S2 "77

dt

Para ondas sinusoidales

2 = -^m2senw¿

e 22 = — í 'S 2 * r/i2W eos Oít

(103)

(104)De aquí que,

También

/’jl m w r -j TJ 22 = T- J S2 = ' oO}J^S2

v 2


La magnitud de la caída de la reactancia de dispersión ha sido definida como igual a E — I2X2. En consecuencia

*:> - io l.s i (105)

Puesto que e22 de la ecuación (104), es una elevación de voltaje, la caída es — eM = Ls,üiI™, eos «t. Como esta caída de

voltaje está 90 grados adelante de la corriente (ecuación 103), la expresión compleja para la reactancia de dispersión debe ser

X2 = + joLs» (106)

El Autoiransíormador de Núcleo de Aire. Dos bobinas inductivas, dispuestas como se muestra en la Fig. 27, se llaman un autotransformador. Si el voltaje de mando se aplica a las terminales ab y se conecta la carga a través de la3 terminales

ac, el autotransformador funciona como un dispositivo elevador de voltaje, mientras que si se aplica el voltaje de mando a las terminales ac y se conecta la carga a las terminales abo be, funciona como un dispositivo reductor de voltaje. El análisis matemático del autotransformador de núcleo de aire se reserva para ejercicios del estudiante. (Véanse los Problemas 37, 38 y 39, al fin de este capítulo).

R = 5 / l R = 10/A

-AAAA/------1------ W W

J @ R—20 íl @ |

-'ITüfflP----1---- 'Tftüü''-X¡=Z0_</ X, = 4Qj¿

Fig. 27. Autotransformador de núcleo de aire, conectado como dis

positivo de elevación de voltaje.



PROBLEMAS

18. En la Fig. 28, E, = 100 70° voltios, y Eo = 100 /4- 120° voltios. El significado físico del anterior enunciado es que el generador E2 desarrolla una fem generada máxima (\/^ X 100 voltios) en su dirección positiva, V 3 de ciclo o 120° antes de que el generador Et desarrolle su fem generada máxima, en su sentido positivo. Suponiendo que las resistencias y reactancias dadas en la Fig. 28 incluyen las impedancias del generador, encuentre I,. I,, e I12.

19. En la Fig. 2, Pág. 334, se encuentra experimentalmente que I, = = 1/90° amperios y V22, = 4/0° voltios (con las terminales 22' en circuito abierto), cuando Et (el voltaje aplicado a las terminales 11') es 6¿Qo voltios. Cuando un voltaje de 6/0° voltios se aplica a las terminales 22' (con las terminales 11' en circuito abierto), I., = 1.5/90° amperios y Vji* = 6/0° voltios.

(a) Encuentre Z21 y Z12 para los datos anteriores.(b) Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre los dos circuitos.(c) Dibuje una configuración de circuito dentro de la caja 11'2'2,

que pueda realmente existir y que sea consistente con los datos.

20. Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre los circuitos 1 y 2 de la Fig. 29. Sugestión: Transforme la delta abe, a una Y equivalente y determine a continuación Z}., o Z21 del circuito equivalente.

21. Demuestre que el coeficiente de acoplamiento entre los circuitos 1 y 2 de la Fig. 30 es igual a cero, si 0> = 1/"\/ R,R.,ClC... R(J = = Rb. R2 = 2R, y Ct = 2C,.

384 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTE R N A

22. Las Figs. 31a, 31b y 31c son los circuitos equivalentes aproximados que se usan algunas veces para hacer los cálculos de amplificación de voltaje en amplificadores de audiofrecuencia, acoplados resistivamente. Demuestre que, para cada una de las tres configuraciones, son correctas las expresiones dadas de E2, en función de /¿E .

23. Dos bobinas inductivas de núcleo de aire tienen, cada una, 60 y 30 milihenrios de autoinductancia, respectivamente. Las mediciones muestran que, si las dos bobinas están conectadas en serie aditiva, como se muestra en la Fig. 12, Pág. 348, la autoinductancia equivalente de la combinación es de 120 milihenrios.

E0Ó +

Rp■\AAAA

Cb• l ( -

(a)

TE2 =

-/I EgRbR cR pRb+ R bRe+ R p R c- ¡ £ í ± 5 b .

¿ ü>Cb

Rp vAAAA

(6)

Rc> E2=- « IRb+Rc

+ 1

Rp----s/WVA

+

* « ü Cn e./iCg

— j U) Cg Rp+ 1

(C)

Fig. 31. Circuitos equivalentes aproximados de amplificadores acoplados resistiva y capacitivamente. Véase el Problema 22. (a ) es para la gama de baja frecuencia; (b) para la gama de frecuencia intermedia; y (c) para la gama de alta frecuencia; en este caso es despre

ciable Ja impedancia del condensador de bloqueo, Ch.

(a) Si las bobinas están conectadas en serie substractiva, encuentre la autoinductancia equivalente de la combinación.

(b) Encuentre el coeficiente de acoplamiento entre las bobinas.24. Dos bobinas inductivas están conectadas en serie aditiva. En

el caso de 100 voltios impresos en la combinación, la corriente es de


5 amperios y la potencia consumida es de 200 vatios. Cuando las bobinas se reconectan en serie substractiva y se imprimen 100 voltios, fluyen 8 amperios. Calcule la inductancia mutua, si la frecuencia para las mediciones anteriores es de 69.5 ciclos.

25. Si las dos bobinas del Problema 24 tienen resistencias iguales y si la caída de voltaje a través de la bobina 1 es de 36.05 voltios para la conexión en serie aditiva del Problema 24, (a) calcule Lj y L2 y la caída para esta condición, a través de la bobina 2; (b) calcule también el coeficiente de acoplamiento.

26. Las autoinductancias de cada uno de los dos devanados mostrados en la Fig. 6, Pág. 337, son 0.100 y 0.050 henrios, respectivamente. El coeficiente de acoplamiento entre los devanados es de 0.56. Si la corriente en el devanado de 0.100 henrios es una variación sinusoidal de 60 ciclos, cuya magnitud máxima es de 10 amperios, encuentre el valor eficaz del voltaje inducido en el devanado de 0.050 henrios, como resultado de la variación de corriente en el devanado de 0.100 henrios. También encuentre la magnitud del voltaje inducido rms, en el devanado de0.1 henrios.

27. En la Fig. 32, e&a = 141.4 sen 1 131t voltios y ec¿ = 70.7 sen (1 1311 — 90°) voltios.

(a) Encuentre I6a e \cd, suponiendo que la Fig. 32 representa correctamente los modos de devanado, así como la colocación física de las dos bobinas inductivas. Puede suponerse que son despreciables las impedancias internas de los generadores.

(b) Encuentre la potencia generada por cada generador.(c) Dibuje el diagrama vectorial de E^, I6a, IjJRj, IteXL1> EC(i, Icd, IC(iR2,

^ c d ^ L 2 > ^ c d ^ U e ^ b a ^ M '

28. La rama 1 de dos ramas paralelas consiste en una resistencia de dos ohmios, en serie con una reactancia inductiva de 3 ohmios. La rama 2 consiste en una resistencia de 5 ohmios, en serie con una reactancia inductiva de 12 ohmios. El coeficiente de acoplamiento entre las dos inductancias es de 0.8 y las inductancias están devanadas de modo que sean aditivas las fmm debidas a Ix e I2, tomadas en el mismo sentido, a partir del nudo. Si se imprimen 100 voltios en las dos

Fig. 32. Véase el Problema 37. Fig. 33. Véase el Problema 29.

0.070henrios

0.05G'henrios

ramas paralelas, determínense Ir I2. la potencia suministrada conductivamente a la rama 2, la potencia suministrada electromagnéticamente a la rama 2 y la caída de voltaje a través de sólo la inductan-


cia de la rama 2. ¿Cuál es el ángulo de fase entre esta última caída y la corriente de la rama 2?

29. El coeficiente de acoplamiento de las bobinas de la Fig. 33 es 0.5. Encuentre la corriente de la resistencia.30. Calcúlese la fase y magnitud de la caída de voltaje V^e con respecto de la caída total de a a c en la Fig. 34. X L1 = 5í2; X L2 = 5í2; X M = 412.

Fig. 34. Véase el Prob. 30

31. En los circuitos acoplados que se muestran en la Fig. 18, Pág. 367.

R i = 4.0 ohmios

A" l i = 40 ohmios

X c i = 40 ohmios

X m = 50 ohmios

It 2 = 10 ohmios

X lo — 100 ohmios

X c*2 = 120 ohmios

V i = 100 voltios

Determine I2 y V C2.32. En los circuitos acoplados mostrados en la Fig. 18, Pág. 367.

R\ = 4 ohmios l i 2 = 10 ohmios

X l i = 40 ohmios X L 2 = 100 ohmios

X c i = 4 0 ohmios X c 2 = 120 ohmios

X m = 50 ohmios V \ = 100 voltios

Encuentre la impedancia primaria equivalente, ZeV de los circuitos acoplados y el valor óhmico de la impedancia del circuito secundario, referida a las terminales del primario. ¿Cuántos ohmios de reactancia refleja el secundario en el primario? ¿Es inductiva o capacitiva?

33. Supóngase que una capacitancia de 83-uf es puesta en serie con el primario de la Fig. 17a. Exceptuada la inserción de la capacitancia de 83-^f, los parámetros son como aparecen en la Pág. 356. Encuentre el valor de M que producirá resonancia de factor de potencia igual a la unidad.

34. Demuestre que la resonancia parcial X2, que puede obtenerse mediante ajuste en la reactancia del secundario (en circuitos acoplados del tipo mostrado en la Fig. 18, Pág. 367), se da cuando X2 = X1XJf2/Z12. (Véase la ecuación 79, Pág. 369).


^T'*C22 É2

Fig. 35. Véanse los Problemas 35, 41, 42, 43, 44, y 45.

35. En la Fig. 35, Ru = 10, Ln = 0.01 henrios, L22 = 0.05 henrios, M = 0.02 henrios, R22 = 4012, C22 = 20.0/if, y « = 1 000 radianes/segundo,(a ) Encuentre el valor de Cn que hará de todo el circuito, mirando hacia las líneas que conectan a la fuente, una pura resistencia, (b) Encuentre el valor de la resistencia.

36. Los circuitos 1 y 2 están acoplados inductivamente. El circuito1 consiste en una resistencia de 2 ohmios, en serie con una bobina de 16 ohmios de reactancia y de resistencia despreciable. El circuito 2 consiste en una resistencia de 10 ohmios, en serie con una bobina inductiva de 100 ohmios de reactancia y un condensador de 100 ohmios.

(a) Si el coeficiente de acoplamiento es de 0.05, ¿cuál es la caída a través del condensador, cuando se aplican 10 voltios al circuito 1?

(b) Si se coloca un condensador en serie con el circuito 1# de manera que se sintonice el circuito 1 a resonancia (a ^ = l/ajCj), ¿cuál será la caída de voltaje a través del condensador del circuito 2, para el mismo coeficiente de acoplamiento anterior?

(c) Si en el párrafo (b) puede ajustarse el acoplamiento, ¿cuál será la máxima caída de voltaje a través del condensador del secundario?

37. Formule las ecuaciones diferenciales generales del equilibrio de voltaje, en los dos circuitos mostrados en la Fig. 27, Pág. 382, en función de Ra6, La&, R6c, L6c, M, R y L y las corrientes i t> i2 de las ramas. Note que, en esencia, dos ramas paralelas están acopladas.

38. Suponiendo que v, varía sinusoidalmente, formule las ecuaciones generales de voltaje, para la Fig. 27, Pág. 382, en función de valores eficaces, Ix e I2 de las corrientes de las ramas. En las ecuaciones así establecidas, despeje a ^ e I2. ¿Qué circuito visto anteriormente en este capítulo tiene ecuaciones semejantes para Ia e I2?

39. Supóngase que, en la Fig. 27, Pág. 382,

Si V] = 100 70° voltios, encuentre Ix, I2 e Ix + I2. También calcule

la potencia total suministrada y la disipada en cada uno de los circuitos 1 y 2. Etfbuje el diagrama vectorial completo de los voltajes y corrientes.

Rab = 4.0 ohmios

L (lb = 0.07 henrio

Rbc = 0.5 ohmios

Lbc = 0.01 henrio

M = 0.02 henrio

R = 10 ohmios

L = 0.00 henrio

w = 3 7 7 radianes/segundo


1 2

gW\A-i

Rii

(a)1* 2'

(fi)


40. Dada la configuración de circuito mostrada en la Fig. 36a, donde el generador de corriente gmEg, en paralelo con Rp es el circuito equivalente de c-a de un pentodo que tiene en su rejilla de control Ain voltaje aplicado de voltios.

(a) Si Rp = 750 000 ohmios, RL = 12 ohmios, LX1 = 382 microhenrios y Cn está ajustado para poner en resonancia, a 500 kc, las ramas paralelas L11C11> determine Ru del circuito equivalente mostrado en la Fig. 36b.

(b) ¿Cuál es la Q de la bobina, a saber <I)mL11/RL, a 500 kc?(c) ¿Cuál es la Q de la combinación en paralelo C21 — RnLu» de

la Fig. 36b, a 500 kc?(d) ¿Puede Ix de la Fig. 36b, ser evaluado, partiendo de la relación

í i A = — (I0) * en la cual Zn = Rlx + j ( ü)L1x — ?

41. En el Problema 40 se ha demostrado que los generadores de corriente de las Figs. 36b y 35 pueden ser reemplazados por generado-

Demuestre que la impedancia equivalente del primario, que ve el generador equivalente de voltaje de la Fig. 35, es

res equivalentes de voltaje que tienen voltajes de — (I0)

. lo7 3 wCn - Z 4-Znea = — 7------ L n + —--- * WmlZ'll (O + +

Z22 (b + j F 22)

1


Mk = — = =

V L 11L 22

42. En los siguientes ejercicios, se emplean los resultados del Problema 41.

(a) Demuestre que un voltímetro colocado a través de Ln de la Fig. 35 leerá un valor máximo cuando Cn esté ajustado a 1/Llltó2, si el circuito 2 está abierto, y que este voltaje será

Vi* Lnmax — T

donde K = [ — (Io/wC^)] ULu ).

(b) Con Cn en el valor determinado anteriormente (1/Lna>mi2)# demuestre que el voltímetro (que está a través de la bobina Lai) leerá un valor mínimo de

KV Lumln — “ “

K )

cuando C22 es ajustado a 1/L22<«>mi2-(c) Demuestre que, si se sigue el procedimiento experimental de

lineado en (a) y (b), el coeficiente de acoplamiento entre las dos bobinas es

k = x lab |Iíü=“_ iLumin

43. En la Fig. 35: Lia> = L22 = 500 microhenrios; C1;t = C22 = m. 2 000 fifxf; M = 8.66 microhenrios; a = = b = R22/ / =:

(a) Encuentre la magnitud del voltaje impreso a través del condensador C22/miliamperio de I0, a a> == a>TO = 1 / V ^ iA i radianes/segundo.

(b) ¿Será el voltaje determinado en el párrafo (a) el valor máximo de E2, si la frecuencia es variada ligeramente alrededor del valor

especificado anteriormente?EC22

44. (a) Haga un bosquejo de ------------- como ordenada, con FUC 22(cú=wm;

como abscisa, para el circuito mostrado en la Fig. 35, empleando los parámetros de circuito dados en el Problema 43. Calcule puntos para este diagrama en

w = 1.0KW o F = 2 X 10~2

a, = 1.00707«™ o F = V 2 X 10“ 2

x « = 1.005wm o F = 10~2

03 — a ° F — 0


usando la ecuación (95), a saberE c n 1

E C22((a=*um) I F4 + (a2 + b2 — 2fc2)F2V 1 + (fc2 + a b f

(b) Haga una gráfica de EC22/miliamperio de I0, usando ü>/<ow como abscisa, empleando para hacer la gráfica los resultados del párrafo (a). Puede suponerse que la curva de respuesta es simétrica con respecto del centro de frecuencia

45. Diseñe un circuito alimentado con corriente y doblemente sintonizado, como el mostrado en la Fig. 35, que tiene una anchura de banda/unidad de 0.02, centrada en o)m = 106 radianes/segundo. Use LX1 = L22 = 500 microhenrios. La variación permisible en la curva de respuesta a través de la pasabanda, es de 1.2516 decibeles, contados a partir de Em¡n como línea de referencia. (<* = 0.5)

Nota: Cuando Qx = Q2, un esquema de esta naturaleza se reduce simplemente a determinar algunos valores adecuados para las Q de las bobinas y calcular, en seguida, el coeficiente de acoplamiento que debe usarse entre estas bobinas, para satisfacer las condiciones impuestas. En este caso Fmin2/tf = 0.0004/0.5 = 2(k2 -h ab) — 2(k2 + + a2). En un caso más general, una de las Q debe escogerse casi arbitrariamente. Entonces k y la otra Q pueden ser despejadas simultáneamente en Fmin2/a = 2(k2 + ab) y Fmin2 = (2k2 — a2 — b2), de modo que satisfagan los valores dados de Fmin y a ■

Capítulo V III

Circuitos polifásicos balanceados

Generación de Voltajes Polifásicos. Los voltajes polifásicos son generados en la misma forma que los monofásicos. Un sistema polifásico está formado simplemente por varios sistemas monofásicos, desplazados en fase de tiempo uno con respecto de otro. Los sistemas monofásicos que forman los polifásicos están generalmente interconectados en alguna forma.

En la Fig. 1 se muestra una bobina única aa', en la armadura de una máquina bipolar. Cuando los polos están en la posición mostrada, es máxima la fem del conductor a de la bobina aa', y su sentido es alejándose del lector. Si se co-

Fig. 1. Generador trifásico elemental.

loca un conductor en la posición b, a 120° de a, se daría en el mismo una fem máxima, en un sentido que se aleja del lector, cuando el eje del polo norte estuviera en b, o sea 120° después de que estuviera en a. De manera semejante, para un conductor c, la fem máxima, en un sentido que se aleja del lector, ocurriría 120° después que en b, y 240° después que en a. En la Fig. 2 se muestra la colocación de esos conductores y las bobinas de que forman parte. Así, los conductores aa', bb' y cc' tendrían fems que están 120° fuera de


fase de tiempo, como se ilustra en la Fig. 3. Este sistema es llamado trifásico, porque hay tres ondas de diferente fase de tiempo. En la práctica, el espacio sobre la armadura está completamente cubierto con bobinas (excepto en el sistema monofásico). Por ejemplo, el conductor de otra bobina podría colocarse en la ranura que está a la derecha del conductor a, en la Fig. 2, y otro a la izquierda. El de la derecha tendría una fem que se retrasaría con respecto de la existente en a, por el mismo ángulo que se adelantaría la de la izquierda. La suma de las tres fems daría una fem resultante, de la misma fase que la de a. Los conductores para la fase a cubrirían la periferia de d a e y de d' a e'. La distancia de d a e se llama un cinturón de fase. La fem de todas las bobinas en serie para la fase entera, tendrían la misma relación de fase que la fem del conductor del centro del cinturón de fase. Por esta razón, solamente se tendrán en cuenta los conductores del centro de los cinturones de fase. Es evidente que podría obtenerse un número cualquiera de fases, espaciando adecuadamente las bobinas en el estator.

En general, el desplazamiento eléctrico entre fases, para un sistema balanceado de n fases, es de 360/n grados eléctricos. Los sistemas trifásicos son los más comunes, aunque para ciertas aplicaciones especiales se usa un número mayor de fases. Por ejemplo, prácticamente todos los rectificadores de arco de mercurio, para ñnes de potencia, son de seis o doce fases. La mayor parte de los convertidores rotatorios son de seis fases. Prácticamente todos los generadores modernos son trifásicos. La triple fase (el sistema trifásico) se usa tam

CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS 393

bién, invariablemente, para transmitir grandes valores de potencia. En general, un aparato trifásico es más eficiente, usa menos material para una capacidad dada y cuesta menos que un aparato monofásico. Se demostrará posteriormente, que la triple fase es más económica que cualquier otro número de fases, en lo que respecta al cobre requerido, para transmitir un valor fijo de potencia, a una distancia determinada, con una pérdida conocida de línea.

En el desarrollo de los voltajes trifásicos de la Fig. 3, se supuso una rotación a reloj de la estructura de campo del alternador de la Fig. 2. Esta suposición hizo que la fem de fase b se retrasara 120° con respecto a la de a. La fem de fase c también se retrasó en 120° con respecto a la de b. En otras palabras, abe fue el orden en que las fems a, b y c llegaron a sus correspondientes valores máximos. Esto se llamó el orden de fase a la secuencia abe. Si en la Fig. 2 se invierte la rotación de la estructura de campo, se invertiría el orden en que las fases llegaran a sus correspondientes voltajes máximos. La secuencia de las fases sería acb. Esto significa que la fem de fase c se retrasaría con respecto a la de fase a en 120°, en vez de 240°, como en el primer caso. En general, la secuencia de fase de los voltajes aplicados a una carga es determinada por el orden en que las líneas trifásicas están conectadas. El intercambio de cualquier par de líneas, invierte la secuencia de fase. Para motores trifásicos de inducción, la inversión de la secuencia tiene como efecto invertir la dirección de rotación. Para cargas trifásicas no balanceadas, el efecto es, en general, causar un conjunto de valores completamente diferente, de las corrientes de línea; de aquí que, al calcular esos sistemas, es fundamental que se indique la secuencia de fase, o de otro modo puede crearse confusión.

E

E

(a)

Fig. 4. Bobinas con fems inducidas; estas fems se muestran en laparte (b).


Diagramas Vectoriales y Notación Mediante Doble índice (Subíndice). Al dibujar diagramas vectoriales de circuitos polifásicos, es imprescindible que se tomen en cuenta y se hagan constar los sentidos en que se traza el circuito. Por ejemplo, supongamos que en las dos bobinas mostradas en la Fig. 4a, hay voltajes inducidos o fems que están 60° fuera de fase y que las bobinas han de ser conectadas en serie aditiva, esto es, en tal forma que las fems se sumen a un

(a)

Fig. 5. En (b) se muestra la fem resultante de la conexión de las bobinas mostradas en (a).

ángulo de 60°. Mediante los datos sería imposible saber si la terminal a debe ser conectada a la terminal c o a la terminal d. Pero si se indica que la fem de a a b está 60° fuera de fase con la de c a d, como se muestra en la Fig. 4b, el modo de conectar las bobinas queda determinado. En tales condiciones, es muy conveniente una notación mediante doble subíndice.

El orden en que se escriben los subíndices indica la dirección en que está siendo trazado el circuito. Así, la fem de a a b (Fig. 4a), puede ser simbolizada como Ea¡,. y la de c a d como E cd (véase la Fig. 4b). Si d se conecta a a, como se muestra en la Fig. 5a, la fem de c a b se determina sumando todas las fems, en los sentidos encontrados a medida que se traza el circuito de c a b. De aquí que Ec¡, = E c<¡ + Ea&> cómo se muestra en la Fig. 5b. Este principio será ulteriormente ilustrado, en párrafos subsecuentes.

Problema 1. En la Fig. 4a, conecte la terminal b a la c y compare el voltaje resultante Eoá con el voltaje Ec¡) de la Fig. 5b.

Respuesta: Ead = Eci

Problema 2. (a) Conecte la terminal d a la terminal b en la Fig. 4a y encuentre el voltaje Eca, si E = 120 voltios. Eab y Ecd tienen la misma relación vectorial que se muestra en la Fig. 4b.

Respuesta: Eca = 120 / — 60° voltios.


(b) Con la terminal d conectada a la terminal b, como antes, encuentre Eac.

Respuesta: Eoc = 120 / 120° voltios.

Un diagrama vectorial es simplemente un medio de representar ciertas cantidades eléctricas que están relacionadas mediante un circuito. En consecuencia, un diagrama vectorial debe ser siempre dibujado en relación con un circuito. A veces es posible representarse mentalmente los circuitos, en vez de dibujarlos; en cambio, sin un concepto definido del circuito representado, el diagrama vectorial no representa nada y no puede ser inteligentemente dibujado. Debe, sin embargo, tenerse claramente en cuenta que un diagrama vectorial de circuito, de voltajes y corrientes, representa relaciones cronofásicas y no relaciones espaciales del circuito. Esto significa que la configuración espacial de un diagrama de circuito no indica, en manera alguna, las relaciones cronofásicas de los voltajes o corrientes.

a c


Problema 3. Determine la magnitud y posición vectorial del voltaje Ew en la Fig. 6a, si Ea6 y ECI¡ están desplazadas una con respecto de otra, en fase de tiempo, en 30°, como se muestra en la Fig. 6b.

Respuesta: Eca = 51.76 7105° voltios.

Sistemas Bifásicos y Tetrafásicos. Un sistema bifásico es un sistema eléctrico en que los voltajes de las fases están 90° fuera de fase de tiempo. Un sistema bifásico es ilustrado mediante los devanados de tambor y Gramme o anular, en las Figs. 7 y 8. Por la posición de las bobinas en la armadura de la Fig. 8, puede verse que las fems de las cuatro bobinas están relacionadas en fase de tiempo como se muestra en la Fig. 9. Si se conectan las terminales cero de las bobinas aO y cO, la fem a a c es Ea0 + E0c- Esta operación se muestra en


Fig. 7. Generador bifásico elemental del tipo de tambor.

Fig. 8. Generador bifásico elemental del tipo de Gramme o

anular.

la Fig. 10. Asimismo, cuando se conectan los ceros de las bobinas bO y dO Ej,d — E&0 + E0d. Esto se muestra también en la Fig. 10. Las fems E„c y E¡,<¡ están defasadas en 90° y el sistema mostrado en la Fig. 8, constituye un sistema bifásico. Un sistema bifásico es equivalente a dos sistemas monofásicos, que están saparados 90° en fase de tiempo.

■t.

Fig. 9. Fems de bobinas del generador de la Fig. 8.

E„

Fig. 10. Fems resultantes de dos bobinas, en serie, conectadas co

mo se muestra en la Fig. 8.

Un sistema tetrafásico y uno bifásico difieren solamente en las conexiones internas. Así, pues, si la conexión se hace entre los dos devanados en n y n', el sistema sería llamado tetrafásico. El diagrama vectorial de los voltajes de las faseso bobinas se muestra en la Fig. 9. Puesto que existe ahora una conexión eléctrica entre los dos grupos de bobinas que constituían el sistema bifásico, existirán fems entre las terminales d y a y también entre b y c, como puede verse estudiando la representación diagramática de las bobinas mostradas en la Fig. 11. Esta conexión es llamada una estrella de cuatro fases. Los voltajes E^ Eaj. E&c y EC(j son llamados

CIRCUITOS POLIFASICOS BALANCEADOS 3 9 7

los voltajes de línea, mientras que los voltajes Eoa. E0&> Eoc y E0(i son llamados los voltajes de fase o voltajes a neutral. Del circuito resulta evidente que Edo = E<i0 + E0o- En la Fig. 12 se muestra esta combinación y otras similares, para todos los voltajes de línea. Otro método de mostrar lo mismo, se

Fig. 11. Representación diagra- mática de la Fig. 8, cuando n y n' están conectadas para formar

el punto 0.

Fig. 12. Voltajes de la estrella de cuatro fases mostrada en la

Fig. 11.

ilustra en la Fig. 13. Así, en la estrella de cuatro fases, el voltaje de línea es y/2 por el voltaje de fase y está 45° o 135° fuera de fase con el voltaje de fase, lo que depende de cuáles sean los voltajes considerados.

Eod

-1/-c'

Fig. 13. Otra representación de la Fig. 12.

Fig. 14. Malla de cuatro fases.

Puesto que Eoa + E0& 4- Eoc + E0<¡ = 0, sería posible conectar las cuatro bobinas mostradas en las Figs. 8 y 11, de manera que sus voltajes se sumaran de este modo y no fluyera corriente en el circuito en serie de las bobinas. Esta conexión, mostrada en la Fig. 14, se llama una conexión de malla y, en este casoN sería conocida como una malla de cuatro fases. Las conexiones de línea se hacen en los puntos a, b,


c y d. El diagrama vectorial de las fems de este sistema, se muestra en la Fig. 15. Como se muestra en la Fíg. 16, para cargas balanceadas, las corrientes de las fases adyacentes están 90° fuera de fase. La corriente de la línea aa' es Iaa' = = Ida + Iba’ como se muestra en la Fig. 16. Así, la corriente de línea de una malla balanceada de cuatro fases es V 2 por la corriente de fase, y está 45° o 135° fuera de fase con las corrientes de fase, con relación a las cuales está siendo considerada. Note que lo que fue cierto con respecto de los voltajes de fase y de línea en la estrella, es cierto con respecto de las corrientes de fase y de línea en la malla. La observación del sistema en estrella muestra que las corrientes de fase y de línea deben ser idénticas y que la misma cosa es cierta respecto de los voltajes de fase y de línea de la malla.

od cd

Eoc"~Ebc*Eoa“E da

E.ob“ Eab

Fig. 15. Diagrama vectorial de Fig. 16. Diagrama vectorial de las fems de la malla de cuatro fa- las corrientes de la malla de cua-

ses mostrada en la Fig. 14. tro fases mostrada en la Fig. 14,en condiciones de carga balan

ceada.

Algunas veces se usa un sistema bifásico con sólo tres alambres. Cuando se hace esto, un alambre es común a ambas fases.

En la Fig. 17 se muestra el diagrama de circuito de la Fig. 8, cuando se conecta para un uso como el indicado, y el dia-

Fig. 17. Sistema bifásico de tres alambres.

Fig. 18. Diagrama vectorial de voltajes, para la Fig. 17


grama vectorial se muestra en la Fig. 18. Se observará que éste es, esencialmente, la mitad del sistema de cuatro fases mostrado en la Fig. 11, cuando los alambres de la línea están conectados a los puntos 0, d y c.

Sistemas Trifásicos Cuatrifilares de Fems Generadas. La generación de tres fases fue explicada al principio de este capítulo. Si se conectaran seis alambres a las terminales a, a', b, b', c y c' de la Fig. 2, el sistema podría ser llamado un sistema trifásico, de seis hilos. Un generador como ése, podría ser cargado con tres cargas monofásicas independientes. Aunque un sistema así no está en uso, puede derivarse del mismo uno que se usa ampliamente, haciendo una conexión entre las terminales a', b' y c'. Entonces solamente serían necesarios cuatro alambres, tres para las terminales a, b y c y uno para la conexión común a'b'c'. Un sistema tal,

llamado sistema trifásico cuatrifilar se muestra diagramá- ticamente en la Fig. 19. Este sistema se usa ahora extensamente para redes de c-a y en el centro de las grandes ciudades está rápidamente desplazando a las redes de c-c, muy usadas anteriormente. El alambre común que conecta a n es llamado el neutral. Las cargas de iluminación son colocadas de la línea al neutral; las motrices y otras cargas de potencia trifásica se conectan entre las tres líneas a, b y c. En la Fig. 3 se muestran las ondas de voltaje generado de este sistema, y el diagrama vectorial que representa lo mismo, se muestra en la Fig. 20. Los tres voltajes mostrados se llaman los voltajes' de fase o los voltajes de línea a neutral. Son al-

li

<

Fig. 19. Sistema trifá s ico de cuatro

alambres.

Fig. 20. Voltajes de línea a neutral de

la Fig. 19.

Fig. 21. El voltaje de línea es igual al voltaje de fase por

en la conexiónen Y.


gunas veces llamados los voltajes en Y 1 del sistema y la conexión de la Fig. 19 es llamada una conexión en "Y". Los voltajes entre las terminales, a, b y c se llaman los voltajes terminales o de línea. En condiciones balanceadas, están de-finidamente relacionados con

Fig. 22. Vc'tajes de línea y de fase de la conexión en estrella.

los voltajes de fase, como muestra lo siguiente

E&a = I En(t

Esta combinación se muestra en la Fig. 21 donde se su-

Fig. 23. Otra representación de la Fig. 22.

pone que E es la magnitud del voltaje de fase. De aquí que el voltaje de línea, en la conexión trifásica en estrella o "Y", es igual a V ”3"Por el voltaje de fase, y hace un ángulo de 30° o de 150° con los voltajes de fase componentes, lo que depende de cuáles se consideren. En la Fig. 22 se da el diagrama vectorial completo, que muestra todos los voltajes de línea. La Fig. 23 muestra el mismo sistema, en función de un diagrama vectorial polar de los voltajes de fase, y un diagrama funicular de los voltajes de línea. El oscilograma 1 muestra estas relaciones, tal como se obtienen de una carga real.

Cuando el sistema está balanceado, las corrientes en las tres fases son todas de igual magnitud y difieren solamente por 120° en fase de tiempo, como se muestra en la Fig. 24. En cualquier caso particular, la fase de las corrientes, con respecto de los voltajes en "Y", es definida por los parámetros de circuito. La observación de la Fig. 19, pone de manifiesto que las corrientes de línea y de fase son idénticas. La corriente del alambre neutral se obtiene mediante la aplica-

1 La conexión en "Y" es una especie del género de conexión en estrella. Ver adelante el apartado que lleva el subtítulo "La Conexión en Delta". (N. del T.).


OSCILOGRAMA 1. Ilustra el desplazamiento angular de 30° entre los voltajes de fase y los voltajes de línea a línea, sistemáticamente marcados, en una carga trifásica, balanceada y conectada en "Y". El valor eficaz de cada voltaje de linea a linea es de 100 voltios.

ción de la ley de Kirchhoff referente a la corriente.Así,

Xnn*n 'n = ^na "i" *n6 "I” Inc

Si el sistema está balanceado, I^ l nb» e Inc son de igual magnitud y están desplazadas una de otra en fase de tiem- por, por 120°, como se muestra en la Fig.24. En estas condiciones, es evidente que la corriente del neutral es cero, puesto que I„a + I * + I„c = 0. Fi9- 24- Corrientes en

un sistema balancea- Problema 4. (a) Dibuje un diagrama vectorial do en “Y",

polar (o de origen único) que represente losmismos voltajes de fase y de linea que los mostrados en el oscilograma1, usando V6n como eje de referencia. Determine la magnitud eficaz de los voltajes dte fase, la secuencia de los voltajes de fase y la secuencia de los voltajes de línea.


Respuesta: V/íase = 5.7 voltios.Secuencia de los voltajes de' fase: an-bn-cn.Secuencia del voltaje de línea: ab-bc-ca.

(b) Dibuje un diagrama vectorial polar (o de origen único) que represente los mismos voltajes de fase que se muestran en el oscilograma 1, a saber Von, V¡,n y Vcn, juntamente con los voltajes de línea Vba■ Vcb Y Vac, usando a VCM como eje de referencia. Determine la secuencia de estos voltajes.

Respuesta: Secuencia del voltaje de línea: ba-cb-ac.

Sistemas Trifásicos de Tres Hilos (Trifilares). El sistema usual trifásico consta sólo de tres hilos. En este caso, no se colocan cargas entre las líneas y el neutral y, en consecuencia, no existe el alambre neutral. Las relaciones balanceadas que se discutieron en el apartado anterior no se afectan, como está claro, por la omisión del alambre neutral y, por lo tanto, se aplican al sistema trifásico de tres hilos.

La Conexión en Delta. Si solamente se usan tres hilos, el sistema trifásico puede ser conectado en malla, similar al sistema tetrafásico estudiado anteriormente. Puesto que

Ena + E„i, + E nc = 0

para el sistema trifásico, las tres bobinas mostradas en la Fig. 19 pueden ser conectadas como se muestra en la Fig. 25 y no fluirá ninguna corriente de frecuencia fundamental en

c'

Fig. 25. Conexión en delta de las Fig. 26. Corrientes de fase para bobinas mostradas en la Fig. 19. la delta balanceada de la Fig. 25.

el circuito en serie de las tres bobinas. Esta conexión trifásica de malla es llamada conexión en delta. Se notará que estrella y malla son términos generales aplicables a cualquier número de fases, pero "Y " y delta son casos especiales de la estrella y la malla, cuando se trata de tres fases. La ob-


servación de la Fig. 25, muestra que los voltajes de fase y de línea son idénticos, pero que las corrientes de línea y de fase son diferentes. En la Fig. 26 se muestra el diagrama vectorial de las corrientes de fase, para una carga balanceada. Las corrientes de línea se determinan mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff referente a la corriente, así pues,

l a a * ha ! l e a

Esta operación es efectuada en la Fig. 27. Para un sistema balanceado, la corriente de línea tiene una magnitud igual a VU por la corriente de fase y está fuera de fase con las corrientes componentes de fase por 30° o 150°, lo que de-

Ice' t

Fig. 27. La combinación de las corrientes de fase da la corriente

de línea para la Fig. 25.

Fig. 28. En la Fig. 25 demuestra un diagrama vectorial de corrientes, para una delta balanceada.

pende de cuáles se tomen en cuenta. El diagrama vectorial completo de las corrientes para la conexión en delta trifásica balanceada, se muestra en la Fig. 28. El oscilograma 2, muestra las relaciones discutidas anteriormente, tal como se obtienen de una carga real, marcada, como se indica en el diagrama de circuito adjunto.

Debe tenerse presente, que todos los vectores de un diagrama vectorial, como el mostrado en la Fig. 28, pueden ser invertidos, es decir, hechos girar cada uno un ángulo de 180° y, si este cambio se acompaña de una inversión en el orden de los subíndices, el diagrama vectorial resultante representará lo mismo que el de la Fig. 28. En cuanto se aplica al circuito mostrado en el oscilograma 2, por ejemplo, es indi-


OSCILOGRAMA 2. Estudio oscilográfico de una carga de factor de potencia igual a la unidad, conectada en delta y balanceada. Se representan los voltajes de línea a línea (o voltajes de fase), juntamente con las

corrientes de fase y de línea.

ferente suponer que Ia& fluye en el sentido de V<*&, o que 1^ fluye en el sentido de V^. Los que prefieran considerar los voltajes de línea ab, ca y be, en vez de los voltajes de línea ba, ac y cb, marcarán un diagrama de circuito en la forma mostrada en el oscilograma 2, mientras que los que prefieran considerar los voltajes de línea ba, ac y cb, utilizarán a Iba, Iac e Ic&, como las corrientes de fase delta.

Problema 5. Véase el oscilograma 2. Dibújese un diagrama vectorial completo de Vat, V bc, Vca, Iab, l bc, lca, Ia,a, l b.b e Ic,c. utilizando a Vftc como eje de referencia. Mediante las ordenadas a escala dadas en el oscilograma 2, determine los valores rms del voltaje de línea (o de fase) de la corriente de fase y de la corriente de línea.

Respuesta: V == 100 voltios; lp = 3.5 amperios; = 6 amperios.

La Malla y Estrella de n Fases. En las Figs. 29 y 30 se muestran, respectivamente, el circuito y el diagrama vecto-

X ..Fig. 30. Voltajes de línea a neutral de fases adyacentes de una

estrella de n fases (Fig. 29).

Fig. 29. Dos fases adyacentes de una estrella de n fases.


rictl de dos fases adyacentes de un sistema en estrella, de n fases. El voltaje de línea Ea¡> es Ean + E„&. Recordando que el ángulo de diferencia de fase entre voltajes de fases adyacentes es 360°/n, y llamando E„ a la magnitud del voltaje de fase, el cálculo general del v o lta je de línea puede ser comprendido a la luz de las relaciones vectoriales mostradas en la Fig. 31.

" De aquí que el voltaje de línea sea

•—!L = F . s e n - 2 P

^nl)Fig. 31. Combinación de dos voltajes de línea a neutral para dar voltajes de línea a linea, en una estrella de n fases.

El = 2Ep sen180°

(1)Según el circuito de la Fig. 29, es evidente que las corrien

tes de línea y de fase son idénticas. De aquí que

I I = h

La aplicación de principios previamente establecidos y la observación del circuito y los diagramas vectoriales mostrados en la Fig. 32 demuestran que

E l — E p

180° (2)y I L = 2/pSen-----

n

I«b bb,== ab "Hcb

Fig. 32. Diagrama de circuito de fases adyacentes y correspondientes diagramas vectoriales, para una malla de n fases.


Ejemplo 1. Las corrientes de línea que parten de un generador conectado en malla, de cuatro fases balanceadas (como el mostrado en la Fig. 14, Pág. 350) tienen una magnitud conocida de 70.7 amperios. Se desea determinar la magnitud de las corrientes de fase, empleando la relación general establecida en la ecuación (2).

70.7 70.7 70.7I n -------------- = ---------- = ------ = 50 amperios.v 180° 2 sen 45° 1.414

2 sen----4

Problema 6. Encuentre la magnitud de las corrientes de línea que parten de un generador conectado en malla, de seis fases balanceadas, si se sabe que las corrientes de fase tienen una magnitud de 100 amperios. Ilustre la solución por medio de un diagrama vectorial.

Respuesta: = Ip = 100 amperios.

Problema 7. Encuentre el voltaje entre líneas adyacentes de un sistema conectado en estrella, de doce fases balanceadas, si los voltajes de fase tienen una magnitud de 50 voltios. Ilustre la solución por medio de un diagrama vectorial.

Respuesta: 25.88 voltios.

Problema 8. Encuentre el voltaje entre líneas alternas de un sistema en estrella de seis fases balanceadas, si los voltajes de fase tienen una magnitud de 132.8 voltios.

Respuesta: 230 voltios.

Cargas en "Y " Balanceadas. Cuando se conectan a un punto común n tres impedancias idénticas constituyen una carga en "Y '', balanceada. Si en esa carga se imprimen voltajes trifásicos balanceados, parecería que a través de todas las impedancias deberían existir iguales caídas de voltaje y que la razón y la fase de los voltajes de línea y de fase deberían ser iguales a los discutidos para los generadores conectados en "Y ". La aplicación de la ley de Kirchhoff, tal como se discute en el capítulo siguiente, demuestra que esto es verdadero De aquí que la caída de voltaje V p a través de cada impedancia, en función del voltaje de línea, sea

La corriente, potencia, etc., pueden determinarse entonces, de acuerdo con el análisis del circuito monofásico. Por regla general, todos los circuitos trifásicos balanceados se calculan sobre la base de por fase exactamente en la misma forma como


se hacen los cálculos correspondientes para cualquier circuito monofásico.Si se sigue este procedimiento, es importante que los valores por fase de V y de I no se confundan con voltajes y corrientes de línea aun cuando las corrientes de línea en una conexión en "Y " sean iguales a las corrientes de fase, y los voltajes de línea, en una conexión en delta, sean iguales a los voltajes de fase.Por regla general, todos los circuitos trifásicos balanceados se calculan por fase, exactamente como se hicieron los cálculos para los circuitos monofásicos.

Ejemplo 2. Se dan los voltajes de línea VL de la Fig. 33 como trifásicos balanceados de 220 voltios y R y X de cada fase como de 6 ohmios de resistencia y 8 ohmios de reactancia inductiva. Encuentre la corriente de línea, potencia/fase y potencia total.

VL 220Vv = -—¡=- = —7= = 127 voltios

V 3 V 3127 127

IL — Ip — —/ = ---- = 12.7 amperiosV 6 2 + 82 10

Potencia/fase = I P2RP = 12.72 X 6 = 968 vatios Potencia total = 3 X 968 = 2904 vatios

El ejemplo dado pudo haber sido resuelto por medio de números complejos. Como no eran necesarias las expresiones vectoriales de voltajes y corrientes, fue más sencillo usar sólo magnitudes. Cuando es necesario combinar la corriente de línea debida a alguna carga en particular, con la de otra carga, se necesitan las expresiones vectoriales o sus equivalentes. Para ilustrar el método vectorial de tratar el ejemplo anterior, supóngase la secuencia de fase "Via’ Vc&- Vac. Esto significa que Vc¡, se retrasa con respecto de V&a en 120°. Sería posible usar como eje de referencia, cualquier voltaje de línea o de fase. En la Fig. 22 se muestra el diagrama vectorial de un grupo de voltajes, similar a los que aquí se requieren; en el diagrama se usa E en lugar de V. Se to

Fig. 33. Carga en "Y" balanceada.


ma como eje de referencia el voltaje de fase na [llamada algunas veces la fase normal (estándar)]. Así,

VBa = 127 + jO voltios

Vn6 = 127 / — 120o = 127 (eos 120° - j sen 120°) = —63.5 - j l lO voltios

V„c = 127/120° = -63.5 + jl 10 voltios

Si se desean las expresiones vectoriales de los voltajes de línea, pueden obtenerse mediante el siguiente procedimiento

Vfca = + Vno = 63.5 + j l 10 + 127 + jO = 190.5 + jfl 10 voltios, etc.

Vna 127 + j'O _Ino = - ^ = 0 , I = 7.62 - ./10.16 = 12.7 / —53.13° amperios

Z n a 6 “p JoV„6 -63.5 - ¿110 127 /-120°

u m Ú — > + * - ' 1 5 3 H F -y 127 /l20°

In, — -------- = 12.7 /66.87° amperiosZ„c 10 /53.13 1---------

P na = vi + v i ' = 127 X 7.62 = 968 vatioso

P„6 = 127 X 12.7 eos (120° — 173.13°) = 968 vatios

En la Fig. 34 se muestra el diagrama vectorial de los voltajes y corrientes para esta carga, dibujado conforme a la solución vectorial.

11 V*

Fig. 34. Diagrama vectorial de la carga del ejemplo 2.

Cargas en Delta Balanceadas. Tres impedancias idénticas, conectadas como se muestra en la Fig. 35, constituyen una carga en delta balanceada. Cuando se da el voltaje de línea, se conoce la caída de voltaje a través de cada impedancia. De aquí que las corrientes de fase puedan ser determinadas directamente como Vp/Zp. Las magnitudes de las


c o r r i e n t e s d e l í n e a s o n s i m p l e m e n t e c o r r i e n t e s d e f a s e m u l t i

p l i c a d a s p o r V"3.

Ejemplo 3. Reconecte en delta las impedancias dadas en el ejemplo 2, y calcule la corriente de fase, la corriente de línea, la potencia de fase y la potencia total. (R = 6 ohmios y X = 8 ohmios/fase).

V L = = 220 voltios220

= 22 amperiosV 6 2 + 82I I — ^ 3 X 22 = 38.1 amperios

Potencia por fase= 222 X 6 = 2904 vatios Potencia total = 2904 X 3 = 8712 vatiosSolución vectorial alterna, usando la secuencia V6a, Vr6. V ac. Use V bn

como el voltaje de referencia.

V6o = 220 /_0_° voltios Vc6 = 220 / -1 2 0 °voltios

Voc = 220 /120° voltios

220 /0°I ha = ---- 7~= = ~ = 22 /-53.13o = 13.2 — j 17.6 amperios60 10 /53.13o L-----------

220 / - 1 2 0 o22/ — 173.13o = —21.85 — ¿2.63 amperiosleb = 10 /53.13o

2 2 0 / 1 2 0 ;Iac = ---- = 22 /66.87o = 8.65 + ¿20.2 amperios ac 10 /53.13o 1

P ba = 220 X 22 eos 53.13° = 2904 vatios

Fig. 35. Carga en delta balanceada.

Fig. 36. Diagrama vectorial para la carga del ejemplo 3.

Potencia total = 3 X 2904 = 8712 vatiosIc'c = 1*6 + lea = -30.5 - ¿22.8 - 38.1 /-143.13o amperios Ib'b = I&C + Ifea = +35.05 - j i s - 38.1 /-23.13o amperios la 'a - lab + Iac = -4.55 -f¿37.8 = 38.1 / 96.87° amperios

4 1 0 C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A L T E R N A

El diagrama vectorial de esta carga en delta, ha sido dibujado de acuerdo con la solución vectorial que se muestra en la Fig. 36.

Diagrama Vectorial de Triple Origen, de un Sistema Trifásico Balanceado. La Fig. 37 muestra un diagrama vectorial polar, de una carga en "Y ", trifásica, balanceada, de fac-

Fig. 37. Diagrama vectorial polar de una carga conectada en "Y", balanceada, de factor de potencia igual a la unidad.

tor de potencia igual a la unidad. Una comparación de estos diagramas mostrará que la relación de fase entre corrientes de línea y voltajes de línea, son idénticas para ambas car-

Fig. 38. Diagrama polar vectorial, de una carga conectada en delta, balanceada, de factor de potencia igual a la unidad.

gas. Por tanto, puede usarse un diagrama vectorial único para representar las relaciones entre corrientes y voltajes de línea, para una carga trifásica balanceada, ya sea que ésta esté conectada en delta o en "Y ". En otras palabras, no es ne


cesario saber qué conexión se usa, a fin de representar adecuadamente las relaciones de fase de las corrientes y voltajes de línea. Este hecho hace conveniente en muchos casos el uso de un diagrama vectorial de triple origen, que se explica como sigue.

Si se recuerda que un vector puede ser trasladado sin cambiar su valor, los voltajes de línea para las cargas anteriores pueden ser arreglados de modo que formen un triángulo cerrado, como se muestra en la Fig. 39. También las corrientes de línea pueden ser trazadas de¡sde los vértices del triángulo formado como se indica. Los tres vértices comprenden los tres orígenes; de aquí el nombre del diagrama. Se observará que, para un factor de potencia igual a la unidad, la corriente de línea Iatt, bisecta el ánqulo cuyo vértice está en el origen a que hacen en ese punto los voltajes de línea. Se da una situación semejante para las otras corrientes de línea. Las bisectrices de estos ángulos pueden, en consecuencia, ser llamadas las posiciones de factor de potencia unidad de las corrientes de línea, para una carga trifásica balanceada, sin importar que se trate de una conexión en “Y" o en delta. Si ha de ser representada una carga que tiene un ángulo 9 de factor de potencia, solamente es necesario desplazar a las tres corrientes de línea, en un ángulo 6, de sus posiciones de factor de potencia unidad. Que esto es cierto, se pone en evidencia mediante un estudio de los cambios que ocurren en las Figs. 37 y 38, cuando se representa una carga que tiene un ángulo 0 de factor de potencia. Debe tenerse en cuenta que el diagrama de triple origen es, en esencia, el diagrama en Y equivalente cuando los voltajes de línea se trazan entre los extremos de los voltajes en Y, a neutral, y estos últimos voltajes, si se muestran, se trazarían de los vértices del triángulo al neutral geométrico. La inspección de los diagramas, —Figs. 40b y c— muestran que el ángulo del factor de potencia es, de hecho, el ángulo entre la corriente de línea y el voltaje en Y equivalente o voltaje a neutral. Estudie el siguiente ejem-

Iaa'

Fig. 39. Diagrama vectorial de triple origen de voltajes (cb-ac- ba) y comentes ( lbb„ lcc„ Iaa,).


pío, para advertir cómo puede usarse el diagrama vectorial de triple origen para representar una carga trifásica.

Fig. 40. Diagrama vectorial de triple origen, para ambas secuencias yvoltajes de línea.

Ejemplo 4. Una carga trifásica balanceada, de factor de potencia retrasado de 0.6, toma 10 kva a 200 voltios. Muestre el diagrama vectorial de los voltajes y corrientes de línea.

La carga está representada por el círculo y las líneas están marcadas a, b y c, como se muestra en la Fig. 40. Tómese a V&c como eje de referencia y complétese el triángulo de voltajes de línea como se muestra en (b) o (c), de acuerdo con la secuencia deseada. Las bisectrices de los ángulos aparecen punteadas y son las posiciones de factor de potencia unidad de las respectivas corrientes que parten de los puntos a, b y c. El ángulo de factor de potencia para la carga es eos—10.6 = 53.1° y, en consecuencia, las corrientes se dibujan retrasadas por este ángulo, como se ve, con respecto de sus posiciones de factor de potencia unidad. Si la carga hubiese funcionado a un factor de potencia adelantado, las corrientes se hubieran desplazado 53.1° adelante de sus posiciones de factor de potencia unidad.

El tipo anterior de diagrama se presta a una sencilla interpretación visual de los voltajes y corrientes de línea, para una carga trifásica balanceada y contribuye a una fácil comprensión de las condiciones de operación de los transformadores, para algunos tipos de conexiones, cuando alimentan cargas balanceadas. También pueden usarse para llevar a efecto la adecuada combinación de corriente de línea, de varias cargas trifásicas balanceadas, independientemente de que las cargas estén conectadas en “Y" o en delta. Debe reconocerse, mediante esta discusión, que, en cuanto atañe a las relaciones de fase entre corrientes de línea y voltajes de línea, se está en libertad de suponer una carga conectada en “Y” o en delta, aun cuando el tipo jeal de conexión sea conocido o desconocido. También, si resulta con


veniente, pueden invertirse los sentidos de las corrientes mostradas en la Fig. 40 y marcarse en consecuencia.

Cálculos de Potencia en Sistemas Balanceados. La determinación de la potencia en sistemas polifásicos balanceados se basa en cálculos/fase. Si el voltaje/fase es Vp,2 la corriente de fase Ip y el ángulo entre los mismos 0 P9 la potencia /fase es

P p = VvI p cosflp (3 )

La potencia para todas las fases de un sistema de n fases es

P t = n P p - nVpI v c o s d p (4)

La universalidad de las tres fases garantiza que el desarrollo de la ecuación (4) da potencia en función de la corriente de línea \L y del voltaje de línea V¿. Considérese la conexión en “Y". Entonces

Pt = eos 0 P = 3 / l eos 6 p V3

= V 3 Vjjl l eos 6p (5)

Para la conexión en deltaI IP t = ZVpIpUOsdp = SV l -^= eos dp

= ^ 3 ViJ i. cose,, (6)

Las ecuaciones de potencia, en función de voltajes de línea y corrientes de línea, para cargas trifásicas balanceadas, estén conectadas en delta o en "Y '', son idénticas, e iguales a \A3Vl Il eos 6 V. En esta expresión, L eos 0P9 para potencia trifásica balanceada, debe recordarse que 0 P es el ángulo entre voltaje de fase y corriente de fase y no entre voltaje de línea y corriente de línea.

Problema 9. Se imprimen voltajes de linea trifásicos de 2 300 voltios de magnitud en una carga conectada en “Y", balanceada, que consta de 100 ohmios de resistencia/fase, en serie con 173.2 ohmios de reactancia inductiva/fase. Encuentre la corriente de línea y la p r >ncia total tomada por la carga trifásica. Calcule Pt como 3L2Rj, orno 3Vplp eos 0P Y como \/3VLIL eos 6P

Respuesta: \L — Ip = 6.64 amperios, Pf = 13.22 W .

2 Se ha considerado conveniente dejar la radical p (fase) por la razón de que en el original en inglés aparece phase. (N. del T.).


Problema 10. Repita el problema 9, suponiendo que las tres impedancias están conectadas en delta (y no en "Y"), a través de los mismos voltajes de línea.

Respuesta: = 19.92 amperios, P¡ = 39.66 kw.

Voltamperios. Los voltamperios de un sistema trifásico balanceado se definen como la suma de los voltamperios de las fases separadas, o tres veces el número de voltamperios/fase. De aquí que

vat = 3vctp = 3VpIpEn función de voltaje de línea y corriente de línea, los volt

amperios son

Para delta ■¿y/ J - L _ V z V / I lv 3

Para "Y" 3 ^ 1 , = V z V J l (8)V3

Para un sistema de n fases, en condiciones balanceadas, los voltamperios totales son n veces los voltamperios/fase.

Voltamperios Reactivos. Los voltamperios reactivos, para un sistema trifásico balanceado, se definen como la suma de los voltamperios reactivos para cada fase, o tres veces los voltamperios reactivos/fase. En función de voltaje de línea y corriente de línea los voltamperios reactivos o potencia reactiva son

Vi,Para "Y" P* = 3VPIP sen 8P = 3 — l L sen 0P

= V^V^Ií, sen 0P (9)

Para delta P* = 3VPIP sen 0V = 3VL —jw sen 0fV «

= VTV,I, sen 9„ (10)

Resumiendo para cada delta o "Y" balanceadas, los totales para los sistemas son

P = V^V/Jz, eos 0V

va = V3VJ*.

Pj- = V3VLlL sen 6V

(11)(12)

(13)


El seno del ángulo entre el voltaje de fase y la corriente de fase (sen 0 P) es llamado el factor reactivo de un sistema balanceado.

Problema 11. Se imprimen voltajes trifásicos de línea de 440 voltios, en una carga en delta, balanceada/ que consta de 8 ohmios de resistencia en serie, con 6 ohmios de reactancia inductiva/fase.

(a) Encuentre los voltamperios/fase, los voltamperios reactivos/fase y el factor reactivo de cada fase.

(b) Encuentre los voltamperios totales del sistema, los voltamperios reactivos totales y el factor reactivo del mismo.

Respuesta: v a t = 58 080, var¿ = 34 848, f.r. = 0.6.

Factor de Potencia. El factor de potencia de un sistema trifásico balanceado, cuando son sinusoidales las formas de las ondas de voltaje y de corriente, se define como el coseno del ángulo entre el voltaje de fase y la corriente de fase, independientemente de que la conexión sea en delta o en "Y ". Debe advertirse que los voltamperios de la ecuación (12) son iguales a V P 2 + P*2- Así

Respuesta: vap = 19 360, varp = 11 616, f.r. == 0.6.

= V eos2 0 P + sen2 0 P m

Según la ecuación (11),

(14)

(15)

Según la ecuación (13),

(16)

Según las ecuaciones (15) y (14),

\/P2 + Pa:2(17)

Según las ecuaciones (16) y (14),

(18)V P 2 + P ?

Ejemplo 5. Un motor trifásico de 5 caballos y 220 voltios, tiene una eficiencia de 85/100 y funciona a un factor de potencia de 86/100. Encuentre la corriente de línea.


_ 0 X, /4DEntrada de potencia = V 3V .I, f.p. = ----------- = 4 390 vatios

0.854 390

h = V ^ 2 0 X 0.86 = 13 4 amPerÍ° SCargas Trifásicas Balanceadas en Paralelo. La combina

ción de varias cargas balanceadas en paralelo puede ser efectuada mediante la transformación de todas las cargas en cargas en delta equivalentes y combinando, a continuación, las impedancias de las fases correspondientes, de acuerdo con la ley que rige a los circuitos en paralelo. Todas las cargas pueden ser también cambiadas a cargas equivalentes en "Y " y puestas en paralelo las impedancias de las fases correspondientes. Además de estos métodos, la potencia de las diversas cargas puede ser sumada aritméticamente, y algebraicamente los voltamperios reactivos. Los voltamperios totales pueden obtenerse entonces mediante V P 2 + Px2-

Ejemplo 6. Un motor trifásico toma 10 kva a 0.6 de factor de potencia retrasado, de una fuente de 220 voltios. Está en paralelo con una carga en delta balanceada que tiene 16 ohmios de resistencia y 12 ohmios de reactancia capacitiva en serie, en cada fase. Encuentre el total de voltamperios, potencia, corriente de línea y factor de potencia de la combinación.

Solución a. Supóngase que el motor está conectado en “Y "

10 000Corriente de línea del motor as corriente de fase = — = ----- =

- /3 220= 26.25 amperios.

220Impedancia equivalente/fase de motor = — —-------- = 4.84 ohmios

* / 3 26.25

R — 4.84 eos 0 — 4.84 X 0-6 = 2.904 ohmios

X = 4.84 sen 0 — 4.84 X 0-8 = 3.872 ohmios

16 — j 12 r ."Y " equivalente a la carga en delta — ---- ------ = 5.33 — j4 ohmios

(5.33 — j4) (2.904 + ¡3.872)Z„ = --------------- ---------------------- = 3.91 /17.17o ohmios

5.33 — j4 + 2.904 + j3.872

220In as — — ----- = 32.5 amperios0 v 73-91

va = y/T 220 X 32.5 fas 12 370 voltamperios

f.p.0 = eos 17! 170= 0.955

P = 12 370 X 0.955 = 11 810 vatios


Solución b. Puede suponerse que el motor está conectado en delta y las impedancias de lase en delta, combinadas, mediante las cuales pueden determinarse las corrientes de fase en delta y las corrientes de línea. El procedimiento restante es semejante al de la solución a.

Solución c. Las corrientes de linea para cada carga se determinan y muestran en un diagrama del tipo mostrado en la Fig. 39, donde el voltaje equivalente al neutral se traza sobre la horizontal, como

c

Fio. 41.

se muestra en la Fig. 41. A continuación se combinan las corrientes en la forma indicada en la Fig. 41.

10 000Corriente de la línea del motor = -------------- 26.25 amperios

V3220

Corriente de la línea de la carga en

220 —

delta = ---------------- y 3 = 19.05 amperios

V162 + 122

I < = 26.25 / — 53.1° = 15.75 — j21*aa motor /

I ' o = 19.05 = /36.9o = 15.24 + j 11.43aa carga en d e lta /_______ 1 1T t ___ t / i t > —xaa aa motor * laa carga en delta

30.99 — j9.57 = 32.5 y — 17.17° amperios

va = \/3 22Q X 32.5 = 12 370 volt-amperios { p0 = eos 17.17° = 0.955

P = 12 370 X 0.995 = 11 810 vatios

Solución d. Para la carga delta, la corriente de fase es

220 \/162 4- 122 = 11 amperios.

P = l l 2 X 16 X 3 = 5810 vatios para todas las fases

P * ^ = l l 2 X 12 X 3 = 4 350 vares para todas las fases (capacitivos)


Para el motor

P = 10 x 0.6 = 6 Iw

P . = 10 X 0.8 = 8 kilovares (inductivos)

Suma de potencia = 5.81 + 6 = 11.81 kw

Suma de kilovares = 8 — 4.35 = 3.65 kilovares

kva0 = a/ 11-812 + 3652 = 1237

12 370L = — —----- = 32.5 amperios0 v 5220

11.81f.p.. = -------- = 0.955

12.37

De las cuatro, soluciones, debe emplearse la que resulte más conveniente para las cantidades dadas.

Potencia Monofásica y Potencia Trifásica Balanceada. Una comparación de la variación con respecto al tiempo de las potencias instantáneas monofásica y trifásica, pone de manifiesto ciertas diferencias fundamentales. Como se demuestra en el Cap. II, la potencia monofásica sigue una ley sinusoidal con respecto al tiempo, de doble frecuencia más una constante. La potencia instantánea para cada una de las tres fases, cuando las corrientes y voltajes son ondas sinusoidales, de un sistema trifásico balanceado, es dada por las siguientes ecuaciones generales:

Va — Fm/msen <at sen (ut — 6)Pb = V mI m sen (ut — 120°) sen (ait — 120° — 6)Vc = VmI m sen (ut - 240°) sen (oot — 240° — 0)

La potencia trifásica total es

p3 = Pa + P& +<■ = VmIm [sen <ot sen (<ot — 9)+ sen (*>t — 120°) sen (a>t — 120° — 9)

+ sen (<at — 240°) sen (<ot — 240° — 9)]

p3 = 1.5VmIm eos 9 (19)

Para una sola fase, digamos la fase a,

Pi = V mI m sen cd sen (coi — 9)VmIm . VmI m

= —-— eos d ----- -— eos (2coí — 8)2 2 ( 2 0 )


La ecuación (19) demuestra que el valor instantáneo de la potencia trifásica es independiente del tiempo. En otras palabras, la potencia trifásica balanceada, en condiciones estacionarias, es constante de instante a instante. En contraste, la ecuación (20) de la potencia monofásica demuestra que ésta sigue una vpriación de doble frecuencia con respecto del tiempo. Esta comparación se ilustra gráficamente en la Fig. 42.

Fig. 42. Comparación de variaciones de potencia monofásica y trifásica balanceada.

Mediciones de Potencia en Sistemas Balanceados. Un vatímetro da una lectura proporcional al producto de la corriente que fluye por su bobina de corriente, por el voltaje a través de su bobina de potencial y por el coseno del ángulo entre el voltaje Y la corriente. Puesto que la potencia total en un circuito trifásico es la suma de la potencia de las fases separadas, la potencia puede medirse colocando un

Fig. 43. Puede usarse un vatímetro en cada fase para medir la potencia trifásica.


vatímetro en cada fase, como se muestra en la Fig. 43. Generalmente, no es posible llegar a las fases de una carga conectada en delta. En consecuencia, no es aplicable el método mostrado en la parte (a) de la Fig. 43. Para la carga en "Y " que se muestra en la parte (b) es necesario conectar al punto neutral.

\

Este punto no es siempre accesible. De aquí que, para hacer mediciones de potencia trifásica, se emplee generalmente otro método, que hace uso de dos vatímetros solamente. Esta conexión se muestra en la Fig. 44. A fin de demostrar que pueden usarse dos vatímetros para medir potencia, se esta-

Fig. 44. Conexión de dos vatímetros, para medir potencia trifásica.

blecerán las lecturas de cada uno, y su suma se comparará con la ecuación (11), que se ha demostrado que es correcta para potencia trifásica balanceada. Es importante tomar un sentido del voltaje a través del circuito igual al que se toma para la corriente, al establecer las lecturas de los vatímetros. Así, si se considera que la bobina de corriente de W„, (Fig. 44), lleva la corriente Ian, el potencial a través de la bobina de voltaje debe tomarse desde a, a través del circuito, que en este caso particular es Vfl(.. La Fig. 45 muestra el diagrama vectorial de voltajes y corrientes, para un sistema balanceado como el de la Fig. 44. Según esta figura, la potencia representada por las corrientes y voltajes de cada vatímetro es

W a = Vacian COS (0 - 30°) (21)

Wb = Vbchn eos (8 + 30°) (22)

En las ecuaciones (21) y (22), los subíndices sirven solamente como indicación de los voltajes y corrientes que se usa-


ron. Puesto que la carga está balanceada, V ae — V¡,c, l„n =— hn y solamente hay magnitudes de por medio. La supresión de los subíndices da

Wa + W b m V I eos (8 - 30°) + V I eos (8 + 30°)= V I [eos 8 eos 30° + sen í?sen30° + eos 6 eos 30° —sen 6 sen30°]

De aquí que W„ + W¡, midan correctamente la potencia en un sistema trifásico balanceado de cualquier factor de potencia. Como se demostrará después, la suma algebraica de las lecturas de los dos vatímetros dará el valor correcto de la potencia, bajo cualesquiera condiciones de disbalance,3 forma de onda o factor de potencia.

Para cada valor de 6, (esto es, para cada factor de potencia), hay una razón definida de W „ / W S i se toma siempre la razón de la lectura menor a la mayor y se representa como la "Y " de una gráfica, en que la "X" es el correspondiente eos 6 (esto es, el factor de potencia), resulta una curva llamada la curva de la razón de los vatios. Esta curva se 'muestra en la Fig. 46. La observación del diagrama vectorial de la Fig. 45 y de la curva de la Fig. 46, muestra que a un factor de potencia de 0.5, un vatímetro lee cero. Para el caso que se discute, el factor de potencia retrasado de 0.5 hace que W& lea cero, mientras que un factor de potencia adelantado de 0.5 hace que W„ lea cero. Cuando el factor de potencia es cero, cada vatímetro tiene la misma desviación, pero las lecturas son de signos opuestos. Los hechos anteriores son fácilmente deducibles del diagrama vectorial mostrado en la Fig. 45, y también se deducen de las ecuaciones (23) y (24). En el método de dos vatímetros es esencial que se dé el signo adecuado a las lecturaá y- tjue la suma se tome algebraicamente.

Hay varios métodos para determinar si una lectura de vatímetro debe tomarse positiva o negativamente. Sigue a continuación uno de los mejores métodos. Véase la Fig. 44.

3 Hemos traducido la palabra inglesa "umbalance" como "disbalance" y no como “desequilibrio", porque el concepto de equilibrio se aplica específicamente al caso de equilibrio de impedancias. Véase Cap. V, apartado'que lleva el subtítulo “Equilibrio de Impedancia y Transferencia Máxima de Potencia". (N. del T.).

W „ = V I eos (e - 30°) Wb = V I eos (e + 30°)

(23)(24)

= V S V I eos 6 (25)

422 CIRCUITOS DE CORRIENTE A LTE R N A

be"

(b)Fig. 45. Modos optativos de dibujar diagramas vectoriales, para un án

gulo 0 de factor de potencia, del sistema mostrado en la Fig. 44.


razón de los vatios

Fig. 46. Curva de là razón de los vatios para el método de dos vatímetros, de medición de la potencia. (Aplicable sólo a cargas balanceadas).

Ábrase la línea a. Entonces, toda la potencia debe transferirse a la carga por las líneas b y c. Si se conecta el vatímetro b de modo que lea "ascendiendo en la escala", entonces se sabrá que tiene esta desviación cuando la potencia que lee va hacia la carga. Reconecte a continuación la línea a y abra la b. Conecte entonces Wtt de manera que lea ascendiendo en la escala. Cierre ahora la línea b. Si en cualquier momento después de esto, el indicador del vatímetro marcha de reversa, hacia la posición de parada de la escala inferior, está siendo transferida potencia al generador a través de este canal vatimétrico y esta potencia debe ser de signo opuesto a la registrada por el otro. La bobina de potencial o la de corriente debe ser invertida, para obtener una lectura ascendente. La prueba anterior es aplicable bajo cualesquiera condiciones de carga, aunque puede no ser siempre factible, a causa de la necesidad de abrir las líneas.

Una segunda prueba, aplicable únicamente cuando la carga está prácticamente balanceada, consiste en desconectar del punto c de potencial común de la Fig. 44, la bobina de potencial del vatímetro que dé la lectura menor y conectarla a la línea que contiene la bobina de corriente del otro vatímetro. Si la aguja marcha escala abajo hacia la posición de parada, la lectura del vatímetro es negativa. Lo anterior se explica mejor mediante el estudio dèi—diagrama de circuito de la Fig. 44 y el correspondiente diagrama vectorial de la Fig. 45. Como se mostró anteriormente, Wa lee la potencia representada por Vac e Ia„, mientras que W6 lee la debida a V&c e Ib„. Puesto que el ángulo (6 + 30°) entre V¡,c e Ijn es mayor que el ángulo (6 — 30°) entre Vuc e Ia», para la carga representada por la Fig. 45, el vatímetro W& tendrá


la desviación menor. Si la bobina de potencial de W& se retira ahora d^-lc^ línea c de la Fig. 44 y se colecta a la línea a# el indicpdor se moverá, a causa del potencial Vba y de la corriente I&TO. Se ve que el ángulo entre V&a e I&n es (0 — 30°), o igual al existente entre el voltaje y la corriente, para el vatímetro W a. Y ahora W a y W & darán entonces la misma lectura. Además, como W& estaba conectado para leer escala arriba, cuando el ángulo entre’ su voltaje y corriente era menor de 90°, continuará leyendo en ascenso cuando reciba el potencial V&a. Si, en cambio, el factor de potencia estuviera debajo de 0.5, el ángulo (0 + 30°) de la Fig. 45 sería mayor de 90°. Si el vatímetro W& fuera hecho leer en ascenso en esas condiciones, invertiría su desviación cuando el potencial V&a se diera como se indica anteriormente, pues, entonces, estaría sujeto a un voltaje y corriente de (0 — 30°), que es menos de 90° fuera de fase. Cuando se mueve de la línea c a la a la conexión de la bobina de potencia de W&, (Fig. 44), este vatímetro recibe un potencial de V&a, mientras que el potencial para W a (tomado igualmente de la línea que contiene la bobina de corriente) es Vac. Estos potenciales están en el mismo orden o sentido alrededor del diagrama. De aquí que se diga que las bobinas de potencial están conectadas en el mismo orden cíclico alrededor del circuito y en estas condiciones es de esperarse que ambos vatímetros muestren la misma desviación. En el anterior análisis se encontró que esto es cierto.

Ejemplo 7. En un circuito como el mostrado en la Fig. 44 Wa da una lectura de 800 y W6 da una lectura de 400 vatios. Cuando la bobina de potencial de Wb se desconecta en c y se conecta en a, la aguja marcha hacia la posición fh¿w¿l, en sentido descendente.

Solución. La prueba indica que W6 está leyendo —400 vatios.De aquí que

p = w a + Wb = 800 + (-400) = 400 vatios

z , . Wb -400razón de los vatios = — = ------ = —0.5Wa 800

Mediante una curva de la razón de los vatios, como la mostrada en la Pág. 423 el factor de potencia puede ser determinado directamente como 0.19.

Mediante la solución del sistema de ecuaciones simultáneas (23) y (24) podría también haberse calculado el factor de potencia eos 0,

Esta relación se hace evidente en el siguiente apartado.


Voltamperios Reactivos. En un circuito trifásico balanceado, los voltamperios reactivos pueden ser expresados mediante

P x = V I (W„ - Wb) (26)

Esto puede demostrarse como sigue

v/§ (Wa — Wb) = V s [ V I eos (6 — 30°) — V I eos (0 + 30°)]= V3 V I [cos0 eos 30° + sen0sen3O° — cos0 eos 30° + sen 0 sen 30 o]

= s/üVIsenO

Esta ecuación es igual a la ecuación (13) de la potencia reactiva, dada en la Pág. 346. Puesto que la razón de los voltamperios reactivos, VUV¿I¿ sen 6, a la potencia, V"3"V,\L eos 9, es tan 9, se sigue de las ecuaciones (25) y (26) que

V 3 (Wa - Wb)t a n 6 = ----------u r Z u r ----------- ' 2 7 )Wa + Wb

donde 9 es el ángulo de factor de potencia.

Ejemplo 8. El factor de potencia del ejemplo anterior podría haber sido fácilmente calculado por medio de la relación establecida en la ecuación (26). Así

P x = \/3 {\Va - Wh) = VÜ [800 - (-400)] = 2078 vares (P = Wa + Wb = 800 - 400 - 400 vatios)

va = y/P'¿ + P x 3 = y/4002 + 20782 = 2114 voltamperiosP 400

f p. = — = ---- = 0.19F va 2114

Sistemas Trifásicos de Cuatro Hilos (Cuatrifilares). Si está balanceado un sistema trifásico de cuatro hilos, el cuarto hilo o neutral no llevarájzorriente. El sistema es el mismo como cuando se omite el neutral, caso en que es igual a un sistema balanceado trifásico trifilar. Puede, en consecuencia, ser medido en la forma que se mostró para el sistema trifásico. En cualesquiera otras condiciones son necesarios tres medidores o sus equivalentes. Los sistemas no balanceados, se estudian en el capítulo siguiente.


Sistemas en Delta. La medición de potencia en un sistema trifásico, se discutió con referencia a un diagrama de circuito en "Y " y su correspondiente diagrama vectorial. Recordando que un sistema en delta puede ser siempre reemplazado por un sistema equivalente en "Y", se ve que la discusión anterior se aplica al sistema en delta. Además, en la discusión del método de dos vatímetros para la medición de la potencia, solamente estuvieron involucrados voltajes de línea y corriente de línea, y no hay diferencia entre estas cantidades para los sistemas en delta o en "Y".

Pueden ser provechosamente estudiados los oscilogramas3 y 4, que se obtuvieron de un sistema en delta, igual al que se muestra y se marca en la Fig. 47.

Fig. 47. Configuración de circuito, para la cual fueron tomados los oscilogramas 3 y 4.

Problema 12. Véase el oscilograma 3. (a ) Si los voltajes de linea a línea tienen valores máximos instantáneos de 155.5 voltios, y las corrientes de línea en delta tienen valores máximos instantáneos de 14.14 amperios, encuentre las lecturas de potencia média de los vatímetros Woft.a,a y W ej.c>c

(b) Dibuje un diagrama vectorial que indique todas las corrientes y voltajes mostrados en el oscilograma 3. Use Vaj como eje de referencia, e incluya las corrientes de fase delta I0j, I&c e Ica que no se muestran en el oscilograma, pero que se combinan. para formar las comentes de línea delta I0,0 e Ic,c.

Respuesta: (a ) W a6_a,a = W cj_c,c = 952.6 vatios(b ) ab-bc-ca secuencia de los voltajes de linea a línea; Ia¡, en fase de tiempo con Vat; la.a se retrasa 30° con respecto de Va&; I, 'c se adelanta 30° con respecto deVc6.


OSCILOGRAMA 3. Representación oscilográfica de todos los voltajes y corrientes involucrados en el método de dos vatímetros para medir potencia trifásica balanceada de factor de potencia igual a la unidad. En (a) se muestra la secuencia de los voltajes de línea a línea. v ca es el voltaje que no se usa. En (b )# wa6_yí/a es una gráfica del par motor instantáneo de marcha del elemento del vatímetro accionado por vaí> e ia,a. En (c), w ci)-c'c es -.Vina gráfica del par motor de marcha instantáneo del

elem.ento del vatímetro operado por v c1) e i c,c.


OSCILOGRAMA 4. Representación oscilográfica de todos los voltajes y corrientes involucrados en el método de dos vatímetros, para medir potencia trifásica balanceada, a un f.p. de 0.5 retrasado, condición en que uno de los vatímetros lee cero. En el oscilograma superior se muestra la secuencia de los voltajes de linea a línea. El voltaje vca es el voltaje que no se usa, en este caso, en el método de dos vatímetros. En el oscilograma del centro, wa6_a,<1 es una gráfica del par motor de marcha instantáneo del elemento del vatímetro accionado por va6 e ia,a. En el oscilograma inferior, wc6_c,c es una gráfica del par motor de marcha instan

táneo del elemento del vatímetro accionado por vc6 e ic c

llllll

fe


Sistema General Balanceado de n Hilos. La potencia total tomada por un sistema balanceado de n fases es n veces la potencia/fase. Para obtener la potencia de un sistema balanceado de n fases, puede usarse vatímetro único, conectado para medir el producto de la corriente por el potencial y por el coseno del ángulo entre la corriente y el potencial. La lectura del vatímetro se multiplica por n. Si no es posible llegar a una fase de una carga conectada en malla, u obtener el neutral de una conectada en estrella, la potencia puede aun ser medida con un vatímetro único. Para un sistema de n fases, pueden ser conectadas en estrella n resistencias iguales a continuación de las líneas. Se establece así un neutral y la potencia se mide como si se tuviera a mano el neutral de un sistema en estrella.

El método se muestra en la Fig. 48. Si el número de fases es par, como por ejemplo en la Fig. 48, sólo es necesaria una resistencia única, con tal que la bobina de potencial del vatímetro pueda ser conectada al punto medio de esta re-

Fig. 48. Un método para medir potencia en una carga balanceada de n fases (no se muestra la carga).

sistencia. La^fesistencia debe ser conectada entre dos líneas que tengan/la máxima diferencia de potencial. La lectura del vatímetro debe ser multiplicada por n, el número de fases, para obtener la potencia total. Si el número de fases es par, la bobina de potencial puede ser conectada de la línea que contiene la bobina de corriente, a la línea que da la más alta diferencia de potencial. La potencia total es entonces la indicación del vatímetro, multiplicada por n/2. Estas conexiones pueden usarse solamente para sistemas balanceados.

Cobre Requerido para Transmitir Potencia Bajo Condiciones Fijas. Todos los sistemas serán comparados sobre la ba-

4 3 0 CIRCU ITO S DE CORRIENTE ALTERNA

se de una cantidad fija de potencia transmitida a una distancia fija, con la misma cantidad de pérdida y al mismo voltaje máximo entre conductores. En todos los casos, el peso total del cobre será igual al número de j hilos, pues la distancia es fija, e inversamente proporcional a la resistencia de cada hilo. Primero, el sistema trifásico será comparado con el monofásico. Puesto que se suponen el mismo voltaje y factor de potencia, bastarán los mismos símbolos respectivos de estas cantidades, para una y para tres fases.

P i = V I i eos 6

P 3 = V Ü V h eos B

Puesto que

P l = P 3

V I\ eos 6 = V 3 F/3 COS0

I \ “ V/373

También I i 2R i X 2 = Ia 2Ra X 3

/Zi = 3V = 3 Z32 = 1 R 3 21 i 2 3/.,2 X 2 2

Cobre, tres fases NQ de hilos, tres fases Rx 3 1 3

Cobre, una fase N° de hilos, una fase R- 2 2 4

Lo anterior demuestra que la misma cantidad de potencia puede ser transmitida a una distancia fija, con una pérdida de línea fija, con sólo las tres cuartas partes de la cantidad de cobre que se requeriría para una fase o, dicho de otro modo, para una fase se necesitaría un tercio más de cobre que el necesario para tres fases.

Comparación de Tres Fases con Cuatro Fases.

Pa — V 3 F/3 eos 6

P 4 = 4 — I 4 eos 6


(Nota: V es el voltaje más alto entre cualquier par de hilos).Por tanto JSmrT „ V r

V 3 V Í 3 eos 6 = 4 — /4 eos 6 Át

V 3 I3 = p 4

k = J Lh V3

3I32R3 = 4I42R4

Rj _ 3/ 32 _ 3 4 _4 .Z42 4 3

Cobre, tres fases 3 1 3______ 1_________ — _ ys _ = _Cobre cuatro fases 4 1 4

Es la misma relación que la demostrada para una fase. Si se comparan de este modo otros sistemas con el trifásico, se encontrará que el trifásico es más económico en el uso del cobre que cualquier otro número de fases.

Cuando se transmite una cantidad fija de potencia a una distancia fija, con una pérdida fija para el mismo voltaje a neutral, no hay diferencia entre cualesquiera de los sistemas. Considérense el sistema trifásico y el monofásico. El voltaje a neutral monofásico es la mitad del voltaje entre líneas. Este punto es llamado el neutral, pues el potencial para cualquier línea es el mismo.

P 3 = i\3V nIa eos d = 2V nI\ eos 6

h _ 2

h ~ 3 3 Ia2R,i m 2 í l2R l

R i _ 3// 3 4 2 7Ü¡ “ 21 i2 ~ 2 9 “ 3

Cobre, tres fases 3 2__________________-s — X — — * (para el mismo voltaje a neutral)Cobre, una fase 2 3

Comparación de tres fases con n fases, para el mismo voltaje a neutral.

P3 = P»


3 VJ% eos 6 = nVuI n eos 9I n

Tn = 3S h 2R3 = ni n2Rn

Rn _ 3 I-¿2 3 n2 n

Rz n In2 n 32 3Cobre, tres fases 3 n---------------------- = ------- s= 1 (para el mismo voltaje a neutral)

Cobre, n fases n 3

N o h a y d i f e r e n c i a e n t r e l a c a n t i d a d d e c o b r e r e q u e r i d a e n

tre c u a l e s q u i e r a d e los s i s t e m a s , si el v o l t a j e a n e u t r a l e s fijo,

y si l a m i s m a c a n t i d a d d e p o t e n c i a e s t r a n s m i t i d a a u n a d i s

t a n c i a fija y a u n a p é r d i d a d e l í n e a fija.

L a t r a n s m i s i ó n d e d o s f a s e s n o s e c o n s i d e r ó e n la s a n t e

r i o r e s c o m p a r a c i o n e s . C u a n d o s e r e c o n o c e q u e d o s f a s e s e s

lo m i s m o q u e d o s s i s t e m a s m o n o f á s i c o s i n d e p e n d i e n t e s , la

t r a n s m i s i ó n bifásica, d e c u a t r o hilos, r e q u i e r e , e v i d e n t e m e n

te, l a m i s m a c a n t i d a d d e c o b r e q u e u n a s o l a fase. H a y el

d o b l e d e a l a m b r e s , p e r o c a d a u n o t i e n e s o l a m e n t e l a m i t a d

d e l a s e c c i ó n d e los n e c e s a r i o s p a r a u n a fase.

r21 y/2I2 i J i J l

r'2 1 - H|I V" r1

I2 R2 ! V2: L 112=== 13---- -

(a) Sistema bifásico

P 3

P 3


Problema 13. Véase la Fig. 49. Encuentre la razón del cobre requerido para transmisión bifásica trifilar al requerido para transmisión trifásica trifilar, ;en las siguientes condiciones, todas impuestas simultáneamente.

(a) Una cantidad fija de potencia transmitida.(b) La misma distancia.(c) Con la misma pérdida de línea total.(d) Con el mismo voltaje máximo de línea entre cualquier par de

líneas en los dos sistemas.(e) Con la misma densidad de corriente en los tres conductores

bifásicos.


Sugestión:

Según condición (a): P2t = 2Fp2/ 2 cosfl = P3t = 3Vp¡h COS6

7 V3Según condición (d): 'z = ——13

Según condición (c): 2I-?R2 + ( V 2/2)2/?2' ~ 3 /32ñ3

Según condición (e): Area del alambre R2, = -y/2" X área de alambre R2,

Según condición (b ): 7£2< = — —

Respuesta: 1.94

Armónicas en el Sistema en "Y". Una fem generada en un conducto será sinusoidal únicamente cuando el flujo que corta al conductor varía de conformidad con una ley sinusoidal. En generadores de c-a es un tanto difícil, si no que enteramente imposible, obtener una exacta onda sinusoidal de distribución del flujo de campo. Las ranuras y dientes cambian la reluctancia del camino del flujo y causan perturbaciones en la onda de flujo. Aun cuando la distribución del flujo de campo fuera sinusoidal de vacío, la distribución se alteraría al entrar la carga, debido al efecto de la reacción de armadura, de la corriente de la armadura. El resultado es inducir en cada fase una onda de fem que sufre una distorsión que hace que su forma difiera un tanto de la de una verdadera onda sinusoidal. En las máquinas modernas, esta distorsión es relativamente pequeña. Mediante ciertos arreglos de los inductores de la armadura y mediante ciertos modos de conectarlos, se reducen algunas de las armónicas de la onda,o se cancelan por completo. Cuando los transformadores se conectan en "Y " o, para el caso, en cualquiera otra forma, la corriente de excitación no puede ser sinusoidal, aun cuando el voltaje impreso sea una onda sinusoidal perfecta.Esto se debe a la reluctancia variable del circuito magnético, con la consecuente exigencia de más amperio-vueltas, para producir un cambio dado en el flujo, cuando el núcleo funciona a las más altas densidades de flujo. Resulta, en consecuencia, de > alguna importancia, considerar los efectos de un sistema trifásico en cuanto afectan al voltaje de línea del

Fig. SO. Esquema de un generador c o n e c t ado

en Y.


sistema. Supóngase que la fem inducida en la fase a de un generador conectado en “Y", mostrada diagramáticamente en la Fig. 50, es

ena = Emi sen wt + E m3 sen (3co£ + a3) + E m5 sen (5oo¿ + a5)+ E m7 sen (7u t + a?) _2gj

Será usada la secuencia eM, e„t, enc. De aquí que la fundamental de la fem de la fase nb, se retrasará en 120° con respecto a la fundamental de la fase na, mientras que la de la fase nc se retrasará en 240° con respecto a la de la fase na. Como de costumbre, un cambio de un grado en la fundamental significará un cambio de n grados para la enésima armónica. Entonces

e„b = Emisenfal — 120°) + Em:t sen (3a>l + a3 — 360°)+ EmS sen (5wt + a5 — 600°) + E ml sen (Ju>t + a7 — 840°)= E mi sen (hit — 120°) + E m-¿ sen (3co¿ + a3)+ E m5 sen(5wt + a5 — 240°) + E ml sen(7ojt + a7 — 120°) (29)

®nc = E mi sen (wí 240°) + E m3 sen (3cot -(-0:3)+ E mb sin (5wt + a6 - 120°) + E ml sen(7ut + a7 - 240°) (30)

Las ecuaciones de los voltajes de fase muestran que todas las terceras armónicas están en fase. También la secuencia de fase de la quinta armónica está invertida con respecto a la de la fundamental. La secuencia de la séptima es la misma que la de la fundamental. Se encontrará, en general, que tie-

TABLA 1

Desplazamiento Entre Varías Armónicas de las Fases de la Fig. 49

Desplazamiento en grados eléctricos

Armónica 1 3 5 7 9 11 13

Fase A 0 0 0 0 0 0 0

Fase B 120 0 240 120 0 240 120

Fase C 240 0 120 240 0 120 240

nen la misma secuencia la fundamental y todas las armónicas obtenidas mediante la adición de un múltiplo de 6 a la misma. Éstas son la primera, séptima, décimatercera, déci-

C IR C U ITO S P O L IFA SIC O S BALAN CEADOS 4 3 5

monona, vigésimaprimera, y así sucesivamente. De modo semejante, la quinta, undécima, décimaséptima, vigésimaterce- ra, etc., tendrán secuencias semejantes, pero opuestas a la de las fundamentales. Tam bién se encontrará que están en fase la tercera, novena y todos los múltiplos de la tercera. Estos resultados se encuentran e tabulados en la tabla 1. En la Fig. 51, se muestra la relación entre las fundamentales y terceras armónicas en cada fase, para a3 =0, en las ecuaciones (28), (29) y (30). Fig. 51. Voltajes de la fundamen

tal y la tercera armónica.El voltaje de línea de la "Y "

puede encontrarse sumando los potenciales encontrados, al recorrer el circuito, entre las terminales de línea en cuestión. Con referencia a la Fig. 50,

e&a &na

Cada armónica debe ser tratada separadamente. Por medio de diagramas vectoriales, se muestra en la Fig. 52 la combinación de e¡,„ y e na. Para la fundamental, e¡,0 está 30° adelante de ena. Puesto que eMi * Emi sen <ot, e¡,al = \/3Eml sen (<ot + 30°). Para la tercera armónica, e&as = 0. Para la quinta,

Fig. 52. Los »voltajes de línea de la Fig. 50 se encuentran separadamente para cada armónica.


e&c5 se retrasa 30° con respecto de eM5. De aquí que e6o5 = = V3Em5 sen (5<ot + a5 — 30°). El diagrama vectorial de la séptima armónica es semejante al de la fundamental. La ecuación completa del voltaje de línea e&a es:

eba — sen (ut + 30°) + \ ?>Em5sen (5coi + « 5 — 30°)

"I- y/3Em7 sen (7wt -f- 0:7 -l- 30°) (31)

De modo semejante,

eac = V 3 E mlsen(ut + 150°) + V 3 E m5 sen(5a>t + a¡¡ — 150°)+ V/3 £ lm7sen (7ict + a7 + 150°) (32)

ecb = V 3 E ml sen (coi - 90°) + V z E m5 sen(5coí + a5 + 90°)

+ V/3J5m7 sen(7cúí + a7 — 90°) (3 3 )

El diagrama vectorial de los voltajes de la tercera armónica muestra que las terceras armónicas de las dos fases entre cualquier par de terminales son opuestas y se cancelan

mutuamente. Las terceras armónicas no pueden contribuir nada en el voltaje de línea, aunque contribuyen al voltaje total entre una terminal y el neutral. La magnitud rms del voltaje a neutral, en el ejemplo que se acaba de considerar, es

E m .12 + E m 32 + E m 5 2 + E m j 4

E m I2 + E m g2 E m 72

La magnitud rms del voltaje entre terminales es

E b a = V 3 -

La relación entre voltaje de línea y de fase de una conexión en ''Y", puede ser \/3 solamente cuando no hay una tercera armónica o sus múltiplos en la onda de voltaje de fase.

Considérense a continuación las armónicas de las ondas de corriente para la "Y". La ley de la corriente de Kirchhoff, aplicada a la conexión en "Y", sin hilo neutral conectado, establece que

Í71 a "1“ in b "1“ í « c “ 0


En condiciones balanceadas, esta ecuación puede ser satisfecha solamente cuando las tres corrientes son iguales en magnitud y están 120° aparte en tiempo de fase, o cuando las magnitudes de cada corriente son iguales a cero. Puesto que las terceras armónicas y sus múltiplos son las únicas que no están 120° aparte, cada una de ellas debe ser igual a cero, para satisfacer las condiciones impuestas por la ley de la corriente de Kirchhoff. Los diagramas vectoriales para las armónicas de corriente, son exactamente como los de los voltajes de fase de la Fig. 52. Si, en cada fase, e es reemplazada por i, los diagramas representarán corrientes. Si existen las terceras armónicas de corriente, debe haber una conexión neutral. Este neutral o cuarto hilo, suministra el camino de retorno para las terceras armónicas de cada fase. Puesto que todas las terceras armónicas, de acuerdo con el diagrama de la Fig. 52 , deberían estar en fase, su suma aritmética fluiría en el neutral. En cada fase puede existir una presión o voltaje de tercera armónica, pero, a menos que se suministre un paso por el neutral, las tres presiones no tienen un circuito cerrado sobre el cual puedan actuar y, en consecuencia, no puede fluir corriente de tercera armónica. En un circuito balanceado, conectado en "Y ", sin conexión neutral, pueden, en consecuencia, existir todas las armónicas, excepto la tercera y sus múltiplos. En un circuito trifásico de cuatro hilos (alambre neutral conectado), pueden existir todas las armónicas en la onda de corriente.

Armónicas en el Sistema en Delta. _ rSi se conectan en delta tres bobinas que tienen voltajes inducidos, tal como los dan e««, e„¡, y en<; del apartado anterior, los voltajes que no den una suma de cero alrededor del circuito, harán que fluya una corriente circulante. En cualesquiera circunstancias, en la delta de la Fig. 53, la suma de los tres voltajes terminales, Fig. 53. Bobinas de la Rg tomados en el mismo sentido aire- .50 reconectadas en delta, dedor de la delta, debe ser cero. Expresado algebraicamente,

Vea + Vab + Vbc = 0 ( 3 4 )

A causa de que la suma de las fems generadas, e*, + + e„5 -1- eMC, es igual a cero para todos los voltajes, excepto


los de triple frecuencia y sus múltiplos, no puede existir ninguna corriente circulatoria que no sea de triple frecuencia y sus múltiplos. De aquí que, de vacío, no habrá caídas de impedancia y los voltajes generados aparecerán a través de las terminales, para todas, excepto la tercera armónica y sus múltiplos. Para las terceras armónicas y sus múltiplos, la situación es diferente. Puesto que se demostró que eran iguales y estaban en fase los voltajes generados de tercera armónica, de todas las fases de un sistema trifásico,

ena 3 + e„6, + eBC3 = 3 j&’m3 sen (3a>Z + £*3 )

harán que una corriente circule en la delta. Esta corriente, multiplicada por la impedancia del circuito, será igual al voltaje resultante de tercera armónica, 3Em3 sen (3<at + a3). Puesto que la tensión en las terminales es igual al voltaje generado menos la caída interna, no habrá voltaje de tercera armónica entre las terminales de la delta si las impedancias y fems de fase están balanceadas. En esta forma se satisface la ecuación (34) para los voltajes de la tercera armónica.

No hay tercera armónica en el voltaje terminal de la "Y " ni está sujeta la conexión en “Y " a una corriente circulante de la tercera armónica. En la "Y ", no aparecen entre las terminales los voltajes de la tercera armónica, como resultado de estar en oposición entre dos terminales, y neutralizándose. En la delta, el voltaje de la tercera drmónica no aparece en el voltaje terminal, porque está puesto en corto circuito por la conexión en malla y: es consumido en forma de caída de impedancia interna. Lüs ecuaciones de los voltajes terminales del generador o transformador en delta, de vacío, son los mismos que los voltajes generados de cada fase, con el voltaje de la tercera armónica y sus múltiplos omitidos. Así, i>ca = E mX sen coi + E m f¡ sen (5coí + a 5 ) + E m7 sen (7<oí + a 7 ) (35)

vab = E m 1 sen(toí - 120°) + E m ñ sen (5wí + a 5 - 240°)

+ E m7 sen (7 ut + a7 — 120°) (36)

Vbc = E m 1 sen (toí — 240°) + E m5 sen (5coí + as — 120°)

+ E m7 sen(7coí + a7 — 240°) (3 7 )

Compárense las ecuaciones (35), (36) y (37) con las ecuaciones (28), (29) y (30).

Todas las armónicas de corriente son posibles en las fases de la delta, puesto que simplemente es un circuito cerra-


do en serie. Así, para la fase ca (Fig. 53), podemos tener ica ^ Im\ sen o)t + / m3 sen (3cot + « 3) + /mssen(5w¿ « 5)

+ I m 7 sen (7cot + a 7) (38)

Si la secuencia es tal que la fase ab se retrasa en 120° con respecto de ca, las corrientes de las otras fases se encuentran desplazando las fundamentales, en los 120° usuales y la enésima armónica n veces ese ángulo. Así,

¿a& = /mi sen (o)t 120°) + /m3 sen(3a>¿ + 0:3 — 360°)

+ /m5sen(5a>¿ + a 5 — 600°) + I m 7 sen(7co¿ + a 7 — 840°)

= Im i sen (wt 120°) 4" /m3 sen(3w¿ -f- « 3)

+ I m 5 sen (5cot + a 5 - 240°) + I m 7sen (7a t + a 7 - 120°) (39)

ibc = Im\ sen (o)t 240°) -|- I m3 sen (3a)t ocg)

+ Im5 sen(5cot + a 5 - 120°) + I m7 sen (7cot + a 7 - 240°) (40)

Las corrientes de línea se obtienen en función de la corriente de fase, como se indica a continuación

l'a'a = *oc.+

íb'b íba “{“ ¿be

Ic'c = lea “1“ leb

Estas operaciones se ejecutan de modo semejante a las ilustradas en los diagramas vectoriales de la Fig. 52, para los voltajes. Los resultados son

ia'a = VÜ/tfii sen (cot — 150°) + V 3 / W5 sen(5co¿ + #5 4" 150°)

+ y/ZInfl sen (7c*>¿ + a 7 — 150°) (41)

ih'b = sen (coi -\- 90°) y/SIm 5 sen(5cot -|- oca — 90°)

+ V 3 fm7s e n (7cot + a 7 + 90°) (42)

ir je = V3/Wl sen (cot — 30°) “f- V^3 / W5 sen (5co¿ -}- ^5 "í- 30°)

+ V3/m7 sen(7ü>¿ + a 7 - 30°) (43)

Las ecuaciones (41), (42) y (43) demuestran que no pueden existir corrientes de la tercera armónica en las líneas de una delta. La corriente de la tercera armónica, en una fase que llega 'a una conexión de línea, es exactamente igual a la corriente de la tercera armónica, en la otra fase que parte


del nudo. Esto no permite que en la conexión de línea fluya corriente de la tercera armónica.

La magnitud de la corriente de fase es

fp ~ yj~mi2 + Im32 + Imh + Imi2

La magnitud de la corriente de línea es

hr L = y¡-(V3/ml)2 + (V37m5)2 + ( V 3 I m7)‘¿

Im i2 + Im 2 + Im72= v %

La relación de la corriente de línea a la corriente de fase puede ser la V T solamente cuando no existen corrientes de la tercera armónica.

Ejemplo 9. Se supone que en los voltajes de una conexión en "Y", como la mostrada en la Fig. 50. existen solamente fundamentales y terceras armónicas. Se obtienen lecturas de voltímetro como sigue:

= 150, V „ = 220. Calcule la magnitud del voltaje de la tercera armónica.

Solución: Puesto que Vta contiene^ sólo voltaje fundamental, el fundamental a neutral es 220/ y3 * = 127.

Vna = V v T T v ? o Fü = V 1502 - 1272 = 79.9

La posibilidad de una corriente circulante de la tercera armónica en una delta, hace que esta conexión para generadores de c-a sea menos deseable que la "Y ", aunque hay muchos otros factores más importantes que hacen que predomine la conexión en "Y". Aunque la corriente de la tercera armónica no es aconsejable en el generador en delta, sí lo es en los transformadores, pues allí actúa como una componente de la corriente magnetizante del núcleo, que es esencial, si ha de obtenerse una onda sinusoidal de flujo y de voltqje inducido. Algunos transformadores de alto voltaje, que están conectados en "Y " en el primario y en el secundario, tienen un tercer devanado que está conectado en delta, para permitir que fluya una corriente circulante de la tercera armónica, suministrando así a los transformadores la componente necesaria de triple frecuencia de corriente magnetizante. Un devanado de esta clase, conectado en delta, se llama devanado terciario.


PROBLEMAS

14. ¿Cuál es el voltaje de fase y también el voltaje entre líneas adyacentes de una conexión en estrella de seis fases, si el mayor voltaje entre cualquier par de líneas es de 156 voltios?

15. El voltaje entre líneas adyacentes de una estrella de doce fases es de 100 voltios. Encuentre el voltaje a neutral, el voltaje entre líneas alternas y el mayor voltaje entre cualquier par de líneas.

16. Encuéntrese la corriente de fase en una malla de seis fases si la corriente de línea es de diez amperios; también para una malla de doce fases, para la misma corriente de línea.

17. Se dan seis bobinas, cada una de las cuales tiene un voltaje inducido de 63.5 voltios. Los voltajes adyacentes de las bobinas están 60° aparte. ¿De cuántos modos puéden conectarse estas bobinas, para formar un sistema balanceado de voltajes trifásicos en "Y", si para cada sistema deben ser usadas todas las bobinas, y si debe ser diferente la magnitud de los voltajes de línea de cada sistema? ¿Cuáles son los voltajes de línea para cada sistema en "Y"?

18. Un generador tiene seis bobinas, estando desplazadas en 30 grados eléctricos las bobinas adyacentes. Si el voltaje de cada bobina es de 114 voltios, muéstrese cómo conectarlas y calcúlese el voltaje de línea o terminal para una estrella de tres fases. Repítase para la malla trifásica. Repita para la bifásica, cuando el voltaje de línea se toma como voltaje ,de fase.

19. Un generador tiene seis bobinas, estando las bobinas adyacentes desplazadas en 30 grados eléctricos. Si se usan todas las bobinas para formar una malla trifásica, ¿cuál debe ser la fem de cada bobina, para dar voltajes trifásicos balanceados, de 230 voltios cada uno? Si todas las bobinas están conectadas en estrella trifásica, ¿cuál debe ser la fem de cada bobina para dar una fem entre líneas de 230 voltios?

20. Dibuje diagramas vectoriales que representen las corrientes y voltajes mostrados en los oscilogramas 3 y 4, Págs. 427 y 428 y márque- los de acuerdo con las marcas del oscilograma.

21. En una carga en "Y " balanceada, que tiene 16 ohmios de resistencia y 12 ohmios de reactancia en serie en cada fase, hay impresos voltajes de línea trifásicos de 230 voltios. Encuéntrese la corriente de linea y la potencia total. Si se reconectan en delta las tres impedancias y se colocan a través de los mismos voltajes de línea, ¿cuáles son las corrientes de línea y de fase y la potencia total?

22. Una corriente de 10 amperios fluye en las líneas de una carga conectada en malla, de doce fases, que tiene 5 ohmios de resistencia y 8 ohmios de reactancia capacitiva en serie, en cada fase. ¿Cuál es el voltaje entre líneas alternas en la carga? Dibuje el diagrama vectorial de las corrientes y voltajes de fase de dos fases adyacentes y también muestre la corriente de línea que sale del nudo de estas dos fases.

23. Una carga balanceada en “Y " consiste en 3 ohmios de resistencia y 4 ohmios de reactancia capacitiva en serie/fase. A través de las líneas, en la carga, hay impresos voltajes trifásicos balanceados de 100 voltios cada uno. Si la carga está conectada a un generador, median


te tres líneas de igual impedancia y cada línea contiene una resistencia de un ohmio y una reactancia inductiva de 4 ohmios, encuentre el voltaje impreso en las terminales del generador.

24. Una carga en "Y" balanceada, que tiene 8 ohmios de resistencia y 6 ohmios de reactancia inductiva en serie, en cada fase, es alimentada mediante líneas que tienen cada una 1 ohmio de resistencia y 2 ohmios de reactancia inductiva. Si el voltaje del extremo emisor entre líneas es de 250 voltios, ¿cuál será el voltaje entre líneas en la carga?

25. Una carga en delta balanceada, contiene una resistencia de12 ohmios y una reactancia capacitiva de 16 ohmios en serie, en cada fase. Si los voltajes de línea balanceados impresos en la carga son de 115 voltios cada uno, calcule las corrientes de línea y de fase.

26. Una carga balanceada en delta que tiene 18 ohmios de resistencia y 24 ohmios de reactancia capacitiva en serie en cada fase, es alimentada mediante líneas que tienen 1 ohmio de resistencia y 2 ohmios de reactancia inductiva. Si en el extremo emisor el voltaje de1 línea a línea es de 250 voltios, encuentre el voltaje de línea en las terminales de la carga. También encuentre la potencia total consumida por la carga.

27. Una carga inductiva en “Y" balanceada, toma 5.4 kw, a 0.6 de factor de potencia, a un voltaje de línea de 200 voltios. Está en paralelo con una carga en “Y" balanceada, puramente resistiva, que toma5 kw. Encuentre la corriente de línea resultante suministrada en la combinación.

28. La potencia total suministrada a dos cargas trifásicas balanceadas en paralelo es de 12 kw, a un factor de potencia retrasado de 0.8. Una de las cargas toma 10 kva a 0.8 de factor de potencia adelantado. La segunda carga, es una carga balanceada conectada en delta. Encuentre la resistencia y la reactancia/fase de la carga en delta, si el voltaje de línea es de 230 voltios. Si la carga desconocida estuviera conectada en "Y”, ¿cuál sería la resistencia y la reactancia/fase?

29. Cada fase de una carga en delta tiene 6 ohmios de resistencia y 9 ohmios de reactancia capacitiva en serie. Cada fase de una carga en "Y" tiene 8 ohmios de resistencia y 6 ohmios de reactancia inductiva en serie. Las dos cargas están conectadas en paralelo, a través de voltajes de línea trifásicos de 100 voltios. Calcule la corriente de línea resultante, la potencia total consumida, y el factor de potencia de la combinación.

30. Un motor trifásico de inducción, de 5 caballos de fuerza y 220 voltios (carga balanceada), tiene una eficiencia de 86/ciento y funciona a 86.6/ciento de factor de potencia retrasado. Está en paralelo con un horno de resistencia trifásica, consistente en tres resistencias de 36 ohmios, conectadas en delta. Encuentre los kilovoltamperios exigidos por la combinación, el factor de potencia, y la corriente de línea.

31. Un generador trifásico suministra voltajes balanceados de 230 voltios cada uno en sus terminales, cuando lleva una carga que requiere 10 amperios. Si el factor de potencia en las terminales del generador es de 0.8, adelantado, calcule el voltaje en la carga, si ésta


está conectada mediante líneas que tengan cada una 1 ohmio de resistencia y 5 ohmios de reactancia inductiva.

32. Una carga trifásica balanceada requiere 10 kva a 0.5 de factor de potencia retrasado. Encuentre la dimensión en kilovoltamperios de un bloque de condensadores que pueden ser puestos en paralelo con la carga, para traer el factor de potencia de la combinación a 0.866 retrasado y también a 0.866 adelantado.

33. Si el voltaje de línea del Problema 32 es de 230 voltios y la frecuencia de 60 ciclos, encuentre la capacitancia en microfaradios de los condensadores requeridos en cada fase del bloque de condensadores, si están conectados en delta. ¿Qué capacitancia se requiere si están conectados en "Y"?

34. Tres impedancias de carga, de 15 /60° ohmios, están conectadas en delta y alimentadas por líneas que contiénen cada una 1 ohmio de resistencia y 1 ohmio de reactancia inductiva. Encuentre el voltaje impreso a través de las impedancias de la carga, si los voltajes de línea, del lado de suministro de las impedancias de la línea, son trifásicos balanceados, de 115 voltios cada uno. También calcule la pérdida de potencia en las líneas de suministro y la potencia disipada por la carga misma.

35. Si es de 20 amperios la corriente que fluye por cada una de %las impedancias de la carga del Problema 34, encuentre el voltaje requerido en el lado de suministro de las impedancias de la línea.

36. Una línea trifásica tiene tres codensadores: cada uno con una reactancia de 300 ohmios, conectados en delta a través de las líneas, en la fuente. Tres condensadores iguales están conectados en la misma forma entre las líneas, en la carga. Entre estos dos juegos de condensadores cada línea tiene una reactancia inductiva en serie de 10 ohmios. Si una carga trifásica balanceada de 100 kva, con un retraso de factor de potencia de 0.6, requiere 2 300 voltios entre líneas, ¿qué voltaje entre líneas se requerirá en la fuente?

37. El piotor M de la Fig. 54, tiene impresos en sus terminales voltajes trifásicos balanceados de 2 300 voltios y toma 120 kva, a 0.6 de factor de potencia adelantado. Calcule los voltajes de línea, entrada de potencia y el factor de potencia en a, b y c.

38. Si el motor de la Fig. 54 se retira del circuito y se imprimen en a, b y c voltajes trifásicos balanceados de 2 300 voltios cada uno, ¿cuántos voltios aparecerán entre líneas en el extremo de la línea correspondiente al motor?

a o

íooo n

b o—

C o-


0.5+j 2 /2

1000/2.

0 .5+ j 2 n ■V V V W -

íooo n

0.5+J 2 /1

250 n250 n 1000/2

0 .5+ ¡2 /2250/2


39. Una conexión trifásica resonante en paralelo está conectada a líneas trifásicas de 2 300 voltios, para suministrar una impedancia baja, para una frecuencia determinada, de manera que reduzca la interferencia inductiva con una línea telefónica. La conexión en paralelo consiste en tres condensadores conectados en delta, de 10 kva, 60 ciclos y 2 300 voltios. Una inductancia de 2.5 milihenrios está en serie con cada terminal de las líneas que parten de la delta. ¿A qué frecuencia resuena, esto es, ofrece la impedancia mínima esta combinación trifásica? Suponga que son despreciables las resistencias de condensadores y las inductancias.

40. ( a) Tres bobinas que tienen cada una 36 ohmios de resistencia y 100 milihenrios de inductancia están conectadas en delta. Encuentre la capacitancia en microfaradios de cada condensador, que pueda ser colocado en cada una de las tres líneas que parten de la delta, para producir resonancia (factor de potencia igual a la unidad) del sistema, como un todo, para una frecuencia de 800 ciclos. Esto es, un tipo de conexión resonante en paralelo que algunas veces se conecta a las líneas de potencia para reducir la interferencia inductiva con los circuitos de teléfonos.

(b) Supóngase que se retiran y conectan en delta los condensadores calculados para cada línea en (a). Encuentre cuántos henrios de inductancia se necesitarían en cada línea de esta delta, para hacer que el factor de potencia de la combinación resulte igual a la unidad, a una frecuencia de 800 ciclos.

41. Encuentre las lecturas de Wa y W6 en la Fig. 55, para la secuencia y ^ Vnc, Vn&. Encuentre la potencia disipada en cada fase.

42. Una carga trifásica balanceada toma 5 kw y 20 kva reactivos. Encuentre la lectura de dos vatímetros, adecuadamente conectados para medir la potencia total.

43. Encuentre la lectura de en la Fig. 55. Calcule también los voltamperios totales reactivos tomados por la carga. ¿Cuál es la razón de los voltamperios reactivos totales tomados a la lectura de W^?

44. Pruebe que la razón de la lectura de de la Fig. 55 a los voltamperios reactivos totales obtenidos en el Problema 43, valdrá para todas las cargas balanceadas, cuando los voltajes impresos son trifásicos, balanceados y sinusoidales.

45. (a) Calcule analíticamente el ángulo de factor de potencia para un circuito trifásico balanceado, en el cual leen 1000 y + 800 vatios, respectivamente, dos v a t í m e tros, adecuadamente conectados para medir potencia trifásica.Fig. 55. Véanse los Problemas 41,43 y 44.


(b) También c a lc u le el ángulo si los medidores miden 1 000 y — 800 vatios, respectivamente.

46. Dos vatímetros que miden la potencia en una carga trifásica balanceada, leen 1 200 y — 400 vatios, respectivamente. ¿Cuántos voltamperios toma la carga? ¿A qué factor de potencia?

47. La potencia entregada a una carga de factor de potencia adelantado es medida por los vatímetros. El vatímetro que tiene la bobina de la corriente en la línea A y la bobina de potencial de la línea A a la línea C indica + 1 000 vatios. El otro vatímétro, con su bobina de corriente en la línea B y su bobina de potencial de la línea B a la línea C, indica + 400 vatios. ¿Cuál es la secuencia del voltaje? ¿Cuál es el factor de potencia de la carga?

48. Cada fase de una carga balanceada conectada en estrella, de doce fases, consta de 3 ohmios de resistencia y 4 ohmios de reactancia inductiva en serie. Se aplican a la carga voltajes balanceados entre líneas adyacentes de 12 fases y de 51.76 voltios. Calcule la corriente de línea, el factor de potencia y la potencia total consumida por la carga.

49. El voltaje inducido en la fase na de un generador trifásico conectado en "Y", es

ena = 127 sen oot + 50 sen (3cot — 30 °) + 30 sen (5a>¿ + 40 °)

Si la secuencia es e ^ , en0, ewc, encuentre la ecuación con respecto al tiempo de la línea de voltaje ea&. Nota: Los voltajes de fase de los generadores polifásicos difieren solamente en ángulo de fase.

50. Si las fases del generador del Problema49 se reconectan en delta, ¿cuál será la ecuación respecto al tiempo del voltaje de línea impreso a través de la fase na?

51- Un generador conectado en "Y " tiene un voltaje generado/fase que contiene sólo la fundamental, tercera, quinta y séptima armónicas.El voltaje de línea, tal como lo mide un voltímetro, es de 230 voltios; el voltaje a neutral es de 160 voltios. Calcule la magnitud de la tercera armónica en el voltaje generado.

52. La fem inducida de un generador en delta, con un vértice de la delta abierto, como se muestra en la Fig. 56, contiene sólo armónicas impares, hasta la séptima. Un voltímetro colocado a través de ac da una lectura de 2 500 voltios y, a través de bb', cuando fluye una corriente despreciable, de 1 800 voltios. Encuentre la lectura de un voltímetro colocado de a a b'.

53. El voltaje .de fase inducido de un generador en deltg^coñ un vértice abierto, como se muestra en la Fig. 56, contiene armónicas impares, hasta la séptima. Un voltímetro, conectado de a a b', da una lectura' de 2 500 voltios, y de a a c, de 2 200 voltios, cuando fluye una corriente despreciable. ¿Qué lectura daría de- b a b'?



54. La Fig. 57 muestra un generador conectado a una carga balanceada, puramente resistiva. Un amperímetro en el neutral da una lectura de 15 amperios y el vatímetro mostrado da una lectura de 600 vatios. Un voltímetro muestra un voltaje de línea balanceado de 230 voltios. Encuéntrense las corrientes de línea a la carga y el voltaje de línea a neutral en la carga, suponiendo que el voltaje generado contiene solamente las componentes fundamental y tercera armónica.

Capítulo IX

Circuitos polifásicos no balanceados

Cargas no Balanceadas. En el capítulo anterior se desarrolló el método para calcular las corrientes en las distintas ramas de cargas polifásicas balanceadas, cuando se conocen las impedancias y los voltajes impresos. En el presente capítulo se desarrollarán métodos para calcular las; corrientes de las diversas ramas, cuando se imprimen voltajes conocidos en cargas no balanceadas. Cualquier carga polifásica en que la impedancia de una o más fases difiere de las de otras fases, se dice que es no balanceada. Aun cuando las impedancias de las cargas de las diversas fases sean idénticas, si los voltajes impresos en la carga son desiguales y difieren en fase por ángulos que no son iguales, debe emplearse uno de los métodos de cálculo de cargas no balanceadas. Primeramente se estudiarán algunos de los tipos más sencillos de cargas no balanceadas, que se pueden resolver por métodos directos, un tanto simplificados.

Cargas en Delta no Balanceadas. Si son fijos los voltajes de línea trifásicos a través de las terminales de una carga en delta no balanceada, es conocida la caída de voltaje a través de cada impedancia de fase. Pueden entonces ser determinadas directamente las corrientes de cada fase. Las corrientes de línea pueden determinarse sumando vectorialmente las dos corrientes componentes que llegan a la terminal de la línea de que se trate o que parten de la misma, como se hizo en el análisis del circuito en serie paralelo. El ejemplo siguiente ilustrará el procedí- Fig. 1. Carga en delta no ba- miento. lanceada. Véase el ejemplo 1.


Ejemplo 1. Se da la carga en delta no balanceada que se muestra en la Fig. 1. Calcúlense todas las corrientes para los voltajes trifásicos balanceados que se muestran en la figura, si la secuencia del voltaje es ab-ca-bc.

Puesto que se supone que los voltajes mostrados se mantienen en las terminales a, b y c, pueden establecerse las expresiones complejas para los voltajes de fase. Tómese como eje de referencia un voltaje de fase, digamos Va6 para este ejemplo. Por tanto,

Va* m 100 + ¿0

Vbc - 100 /ISO0 = -50 + ¿86.6

a — 100 / — 120° = —50 — ¿86.6 voltios Entonces

t _ _ 100 + j0 _06 Zab ~6+¿8

Vbc —50 -f ¿86.6 bc~ Z b c~ 4 - ¿ 3

j Vco —50 — ¿86.6c a = = z 7 a 2 0 + ¿ 0

Las corrientes de línea son

Ja'a = lab + I«c = 6 - ¿8 + 2.5 +¿4.33 = 8.5 - ¿3.67 = 9.26 / —23.4° amperios

Ifc'6 = Iba + Ibe = -6 +¿8 - 18.39 +¿7.856 = —24.39 +¿15.856 = 29 /146.9o amperios

Ic'c *= lea + leb = -2.5 - ¿4.33 + 18.39 - ¿7.856 = 15.89 -¿12.186 = 20 /-37.3° amperios

Cargas en "Y " no Balanceadas. Si se puede suponer que permanecen constantes en sus valores dados los voltajes de la carga en las terminales a, b y c de una carga en "Y" no balanceada, como la mostrada en la Fig. 2, entonces pueden ser encontrados directamente, como se muestra en el ejemplo 1, las corrientes de fase de una delta equivalente que reemplace a la "Y". Las corrientes de línea de esta delta equivalente son, obviamente, las corrientes de las fases de la carga en %%Y".

Ejemplo 2. Un grupo balanceado de voltajes trifásicos se conecta a un grupo de impedancias no balanceadas, conectadas en “Y", como se muestra en la Fig. 2. Se supone que son conocidos los siguientes valores:

— ¿8 = 10 / —53.1° amperios

= -18.39 + ¿7.856 = 20 /l56.9° amperios

= —2.5 — ¿4.33 = 5 / — 120° amperios

Va6 = 212 /90° voltios

Vbc = 212 / —150° voltios

Vea = 212 j — 30° voltios

Zan = 10 + ¿0 ohmios

Zbn = 10 + ¿10 ohmios

Z cn = 0 — ¿20 ohmios


Fig. 2. Conversión de una carga conectada en "Y", en una carga equivalente conectada en delta.

Se han de determinar las corrientes de línea la,a> e Ic,c por el método de conversión de “Y" a delta. (Véase el Cap. V, Pág. 259, para la teoría general que se aplica a las conversiones de "Y" a delta).

En la Fig. 2 las impedancias en delta equivalentes pueden ser expresadas en función de las impedancias en "Y ” como sigue

(Z an Z&n + Z bnZ cn + Z cnZ an) SZab — Znc Zn

S S Z&c ” 7 Y Z ca — „**an « 6 n

Numéricamente, las impedancias en delta equivalentes son

Zab = ~ — r!r“ = (15 -f ¿15) = 21.2 /45o ohmios0 - ¿20 J L---------

__ — (3o _ j*30) = 42.4 / —45° ohmios 10 - jO L------

Z ca = 300 = (0 - ?'30) = 30.0 /-90o ohmios 10 + ¿10 v 4 9 '-------

Las corrientes de la carga en la delta equivalente son

Va!, 212/90°u = ^ = ñ J / i P = 10^ amperios

Vbe 212/-150°*bc — „ — ------ ------- = 5.0 / — 105° amperios

bc 424 / ~ 45 L--------V 212/-30o , „

t = _____ ' : - = 7.07 /60° amperiosZea 30 /—90° -----

Las corrientes de linea y de la carga son

\ la'a ~ Iafc Ico= 10 /45° - 7.07 /60° = 3.66 /l5° amperios


Ib 'b — I&c Ia6 i= 5 /-105° - 10 /45° = 14.56 /-125.1° amperios

Ic'c — lea I&e= 7.07 /60° - 5 /-105° = 11.98 /66.2° amperios

Como comprobación de los valores anteriores, compárese el valor calculado de [Ia,aZan — con valor dado de Va6, que fue de212 /90° voltios.

B * * . - = (35.4 + ,'9.48) - (35.35 - ¿202.6) (Comprobación)= (0.05 + ¿212.1) voltios

La conversión de la "Y" a su delta equivalente, juntamente con la solución de la delta, tal como se ilustra en el ejemplo anterior, requiere una cantidad igual o mayor de trabajo que la solución directa de la "Y", empleando dos ecuaciones simultáneas, obtenidas mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff.

En la Fig. 3 se dan los diagramas vectoriales de los voltajes y corrientes involucrados en el ejemplo anterior.

Fig. 3. Diagramas vectoriales para el ejemplo 2.

Problema I. Determine los valores de Von, V6n y Vcn en el ejemplo 2. Respuesta: VaM = 36.6 /15°; Vbn = 205.6 / -8 0 .1 °; VCB = 239.6

/ — 23.8° voltios.

Problema 2. Determine la potencia disipada en cada una de las tres fases (an, bn y en) del ejemplo 2.

Respuesta: POB = 134; P6n = 2 120; Pcn = 0 vatios.


Problema 3. Encuentre las magnitudes de la,a, lb,b e l c,c de la Fig.2, si Va6 = 212 /90°; Vbc = 212 / -3 0 ° y Vco = 212 / -150° voltios. Como en el ejemplo 2, Zan = (10 + j0); Zbn = (10 + jlO) y Zcn == (0 — j20) ohmios.

Respuesta: Ia,a = 13.65; I¡,,¡, = 620; lc,c = 7.54 amperios.

Cargas Combinadas en Delta y en *'Y". Algunas veces, cargas conectadas en delta se hacen funcionar conjuntamente con cargas conectadas en "Y", como se muestra en la Fig. 4.Si los voltajes trifásicos de línea a línea Vja, Vjc y V^, permanecen sensiblemente constantes, independientemente de las condiciones de la carga, puede llevarse a efecto una solución relativamente sencilla, convirtiendo primero la carga en "Y " en una carga en delta equivalente. Las dos deltas en paralelo pueden entonces combinarse para formar una carga única equivalente, conectada en delta y ser calculadas directamente las corrientes en delta equivalentes, como

Va& T _ Vfec T _ V e a Iab (eq ) — ñ *&e(eq) y 1 ca(eq) 7

Z a 6(eq) be (eq) ^ co (eq )

Las anteriores corrientes pueden ser combinadas en la forma usual, para encontrar las corrientes de línea Ia’a, I»'» e Ic-c. Los detalles se reservan para que los analice el estudiante (véase el Problema 15, Pág. 481).

Soluciones de la Red. Las soluciones de los circuitos polifásicos no balanceados son simplemente aplicaciones de las leyes de Kir- chhoff. En el siguiente ejemplo, desarrollado gráficamente en la Fig. c -i . _ i 1 1 1 Fig. 4. Cargas en delta y en5, se ilustran algunos de los de- „ * , . . , ,

Y , e n el m i s m o sistema aetalles. voltajes.

Ejemplo 3. Los voltajes generados y las impedancias se dan como sigue para la Fig. 5:

E„„ = 1000 + jO = 1000/0°

E„6 = - 5 0 0 - ¿866 = 1000/ -120°

E„,; = - 5 0 0 + ¿ 8 6 6 = 1000/-240°

Z„„ = 2 +¿8, Z„a> = 1 + ¿2, Zn’n‘ = 19 +¿18 = 26.2/43.45°, Znb = 2 + ¿8

Zhi/ = 1 +¿2, Zb.„. = 49 - ¿2 = 49.04/-2.34°, Z„c = 2 +¿8, Zcc. = 1 + ¿2

y Zr-„- = 2!) + ¿50 = 57.8 /59.9°.

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

--------------------------- w w v ^ w ---------------------------Fig. 5

En circuitos polifásicos no balanceados es importante la especificación de la secuencia utilizada, porque de dos posibles secuencias de voltaje resultan soluciones diferentes. Para este ejemplo se supone la secuencia abe. Esto significa que el voltaje de fase b se retrasa en 120° con respecto del voltaje de fase a. Todas las inpedancias en serie son aditivas. Por tanto, la impedancia de naa'n' es Za = 2 + j8 + 1 + j2 + 19 + ji8 = 22 + j28 = 35.6 /51.8o ohmios. De modo se

mejante, Zh = 52 + j8 = 52.6/8.8o y Zc = 32 + j60 = 68.0/61.90°. Pue

de ilustrarse primeramente la solución de corriente de malla, y en la Fig. 5 se muestra cómo se marcan las corrientes de malla. Las ecuaciones son:

( Z a H" Z b ) Ii — Z/ ,1‘2 = Ena + E&n = Ena — En& (1)

(Zb + Zc) I2 — Zfeli = E vb + E cn = Enb — Enc (2)

La sustitución de los valores numéricos en las dos ecuaciones anteriores da

(74 +¿36)Ii - (52 + ¿8)I2 = 1500 + ¿866 (3)

~ (52 + ¿8 )Ii + (84 + ¿68)I2 = -¿1732 (4)

Ii -

(1500 + ¿866) -(52 +¿ 8)

-¿1732 (84 +¿ 68)(74 +¿36) -(52 +¿ 8)

-(52 +¿ 8) (84 +¿08)

16.0/—34.9° amperios = laa'


I* =

(74 + j36 ) (1500 + j‘866)

(52 +¿8) —¿1732(74 + ¿36) -(52 + j 8 )

(52 + j S ) (84 + j68 )

= 20.7/ — 109.2o amperios = Ic c

I» ' = - I i + I2 = -1 6 /-34.9° + 20.7/-109.2o = 22.5/-152.5o amperios

Las caídas de vahaje en la carga pueden ahora precisarse como

Va'n' = Iaa'Za'n' « 16/-34.9° 26.2/43.45° m 419/8.55° voltios

Vw = lbb'Zh'n' = 22.5/-152.5° 49.04/-2.34° = 1105/-154.84° voltios

V*y! = W Z c v = 20.7/-109.2° 57.8/59.9° = 1197/-49.3° voltios

Los voltajes de línea a línea en la carga se obtienen sumando los voltajes que se van encontrando, al desarrollar un trazo, a través del circuito de la carga, de una línea a otra, como sigue:

V„-6' = Va'n' + Vn'v = V„<„< - W - 419/8.55° - 1105/ —154.84°= 1512/20.6° voltios

VVc, = V6,n, + \ H,C, = 1835/166.2° voltios

Vc'a' = Vc-„- + V„<„« = 1039/-69.3° voltios

Los voltajes de línea anteriores pudieron haber sido calculados mediante el voltaje generado y las caídas de la línea. Así, la aplicación de la ley de Kirchhoff relava al voltaje da

+ £ n a — I a a f ( Z n a + Z a a ' ) + V a '6 ' + I&'fe ( Z b b ' + Z n b )

O

Va'6' = (J&bn -j- Eno) laa' (Zna + Zaa') Ife'6( 66' “1“ Z nb)= 1500 + ¿?66 - 16.0/-34.9° (3 +¿10) + 22.5/-152.5° (3 +¿10)= 1413.2 +¿531.6 = 1512/20 i ?0 voltios (Comprobación)

VEste cálculo indica que las caídas \del generador y de la línea pueden restarse de los voltajes generados,A para obtener los voltajes de la carga, pero el cálculo debe hacerse teniendo debidamente en cuenta la fase correspondiente de cada cantidad. La potencia en cada rama se obtiene en la forma usual, en función del voltaje y de la corriente de cada rama en particular.

Pueden desarrollarse los diagramas fasoriales de todos los voltajes y corrientes, trazando las cantidades complejas calculadas para este ejemplo.


I,ao

da+Ib)----------------------- yAAAAA-nn T1-----------------------

Fig. 6.Otro método para resolver este problema consiste en mar

car el circuito en la forma mostrada en la Fig. 6 y establecer las ecuaciones siguientes:

Las corrientes pueden ser despejadas en las Ecs. (5) y (6a).

S§í§ método @g equivalente al método d i corriente d§ espira,demostrado anteriormente. Por supuesto, si la corriente Iaa' de la Fig. 6 estuviera marcada con It la corriente IC’C con I2 y la Ift-6 con (I, — I2), resultarían ecuaciones idénticas a las(1) y (2), si se utilizaran las mismas espiras.

Sentidos Positivos del Circuito. Existe en las mentes de muchos estudiantes una cantidad de confusión innecesaria con respecto de los correctos sentidos positivos de circuito de las cantidades involucradas en el análisis de circuitos polifásicos. En anteriores capítulos ha sido presentado el principio básico relativo al sentido del circuito (véanse págs- 123,-124, 344 345 Y 392). Estos principios son,por supuesto, enteramente aplicables tanto a los circuitos polifásicos como a los monofásicos.

En general, todas las fems generadas en los sistemas polifásicos tienen polaridades relativas y posiciones angulares

o(«)

(fi«)

(5)


conocidas, unas con respecto de otras. Estos datos deben ser conocidos directa o indirectamente, si ha de llevarse a efecto la investigación. Por ejemplo, si un alternador trifásico está conectado en "Y", puede suponerse que cada fase está conectada substractivamente a un nudo común, como se muestra en la Fig. 7. Sólo por medio de polaridades substractivas

Ia'a

Dirección del t ra zoN para la ecuación (20) j

l c fc <

---------------- ------------------------------Fig. 7. Una red trifásica trifilar. (Véanse las Págs. 455 y 457).

puede dar voltajes de línea a línea balanceados una máquina trifásica conectada en "Y". A menos que se indique otra cosa, puede suponerse que cada fem generada de fase de una máquina trifásica está 120° aparte en fase de tiempo. Los hechos anteriores bastan para determinar los sentidos positivos de circuito en la red mostrada en la Fig. 7.

A cualquier fem generada puede asignársele, convencionalmente un sentido positivo de circuito. Por ejemplo, si se considera la fem generada de fase a de la Fig. 7, E„-a- o Ea-n- puede ser tomada como positiva. Habiendo sido elegida una de éstas como positiva, los sentidos positivos del circuito de las otras fems sistemáticamente marcadas, quedan fijados, a causa de las polaridades relativamente fijas que las fems generadas comportan una con respecto de otra. Si E„-a■ se toma como positivo, entonces E„-6- y En-C- se toman también como sentidos positivos del circuito, porque sólo cuando todos los voltajes de fase se consideran como alejándose del neutral,o cuando se consideran todos como orientados hacia el neutral, existe el usual ángulo de fase de 120° entre voltajes de fase adyacentes de un sistema trifásico. Así, al analizar la red mostrada en la Fig. 7, puede usarse cualquiera de los dos sistemas siguientes de voltajes generados

(1) E nrcr


O

(2) j Ecfnf

Con las ecuaciones del voltaje generado establecidas, la solución se efectúa aplicando los mismos métodos usados para resolver cualquier red, dos de los cuales fueron ilustrados en el Ej. 3.

El Sistema en "Y-Y", con Conexión a Neutral. Algunas veces se emplean en la transmisión y distribución de energía eléctrica, sistemas trifásicos de cuatro hilos, semejantes al mostrado en la Fig. 8. La conexión del punto n' del generador conectado en "Y" (o banco de transformadores) al punto n de la carga conectada en "Y", distingue a la Fig. 8 de los sistemas trifásicos trifilares mostrados en las Figs. 7 y 8.

En general, el proceso de despejar a Ia-a, Ic-c e Inn- de la Fig. 8, es semejante al que se hubiera seguido para el sistema en “Y-Y" sin conexión a neutral. Si se hubiese resuelto directamente por determinantes el sistema en ”Y-Y" de la Fig. 8 , se hubieran encontrado matrices de tres líneas y tres columnas, y, en un caso perfectamente general, habría sido preciso desarrollar una enorme cantidad de trabajo, para obtener una solución completa. Sin embargo, debido a la simetría inherente a las ecuaciones básicas de voltaje, pueden hacerse varias simplificaciones. Si, por ejemplo, se aplica la ley de Kirchhof referente a la fem a los circuitos n'a'ann', n'b'bnn' y n'c'cnn', está claro que

cb' Z b

--c P. ■ ■ VNAr“/TftRfO> --Fig. 8 • Un sistema trifásico cuatrifilar.

•c* c (Zg + Z¡ -f- Z cn)

CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS 4 5 7

(7)

(8)

donde, para simplificar la expresión,Zg + + Zan = Za Zg + Zi + Zbn = Zfc Zp + Zi + Zcn = zc

(9)

(10)

(11)Los detalles restantes se dejan al análisis del estudiante.

(Véase el Problema 4 que sigue y el Problema 16 al fin del capítulo).

Problema 4. Despeje explícitamente a Inn> en la ecuación (8) y exprese con palabras (no con símbolos), después de haber determinado el valor de Iwn,, cómo se determina el valor de Ia,a, lb,b e Ic,c.

NOTA: Si el numerador y el denominador del resultado anterior se dividen entre ZaZbZc, se multiplican ambos miembros de la ecuación por Zn, y se formulan en función de las admitancias todas las impedancias del segundo miembro/ se tiene como resultado una fórmula sencilla del voltaje entre puntos neutrales. Si se despeja inicialmente este voltaje y se lleva el valor obtenido a las tres ecuaciones sin número de la Pág. 456, se obtendrán directamente las corrientes de las corrientes de línea.

El Sistema en "Y " Delta. En la Fig. 9 se muestra un generador trifásico en “Y", conectado a una carga en delta. La determinación de las corrientes en todas las ramas puede efectuarse mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff, lo que requeriría el establecimiento de tres ecuaciones de fem y de tres ecuaciones de corriente. Otro método consistiría

Respuesta lnn. E n/g/ZjZc + E n/b'ZcZg + E nrcrZgZb

Z aZ b Z c -f- Z n ( Z b Z c -f- ZcZa -f- Z a Z b )

Ibc

c

---------------------- -------------------------------Fig. 9 . Una configuración de circuito en Y-delta.


en convertir la delta en un sistema de carga conectada en "Y" y resolver a continuación, utilizando dos ecuaciones. Sin embargo, se encontraría la línea de menor esfuerzo si se aplica directamente al circuito original el método de corriente de malla, o el equivalente de la ley de Kirchhoff, utilizando tres corrientes desconocidas.

Efectos de la Secuencia de Fase. El sentido de rotación de los motores de inducción polifásicos depende de la secuencia de fase de los voltajes aplicados. También los dos vatímetros, en el método de medición de la potencia trifásica mediante dos vatímetros, intercambian sus lecturas cuando son sometidos a una inversión de la secuencia de fase, aun cuando el sistema esté balanceado. Pero las magnitudes de las diversas corrientes y voltajes componentes de un sistema balanceado, no se afectan por una inversión de la secuencia de fase.

En un sistema polifásico no balanceado, una inversión de la secuencia de fase del voltaje hará que cambie la magnitud, así como la posición de fase de tiempo de ciertas corrientes de las ramas, aunque permanezcan iguales los vatios y los vares generados (véase el ejemplo siguiente).

A menos que se indique otra cosa, la expresión "secuencia de fase" se refiere a secuencia de fase del voltaje. Debe tenerse en cuenta que, en sistemas no balanceados, las corrientes de línea y las corrientes de fase tienen su propia secuencia de fase, que puede ser o no, igual a la secuencia del voltaje.

Ejemplo 4. Los efectos que la inversión de la secuencia del voltaje tiene sobre las magnitudes de las corrientes de la carga conectada en “Y" de la Fig. 2, se ilustran mediante los resultados del ejemplo 2 y del Problema 3.

Para la secuencia del voltaje ab-ca-bc del ejemplo 2, Pág. 448

I0,a = 3.66. = 14.56 e Ic,c = 11.98 amperios

Para la secuencia del voltaje ab-bc-ca del Problema 3, Pág. 451

I0,0 = 13.65, Ij,6 = 6.20 e Ic,c = 7.54 amperios

Métodos para Comprobar la Secuencia de Fase del Voltaje. Algunas veces resulta en la práctica conveniente y hasta necesario conocer la secuencia de fase de un determinado sistema polifásico. Hay dos métodos generales para comprobar la secuencia de fase del voltaje: uno está basado en el


sentido de rotación de los motores de inducción; el otro, en los fenómenos de los circuitos polifásicos no balanceados.

Primer Método. Para comprobar la secuencia de fase de un sistema dado, pueden utilizarse pequeños motores polifásicos de inducción, que hayan sido previamente confrontados con una secuencia de fase conocida. En los sistemas bifásicos y trifásicos, únicamente son posibles dos secuencias de fase diferentes y, en consecuencia, el sentido en, que gira el motor puede ser usado como un indicador de la secuencia de fase. El principio de operación se relaciona con la teoría del campo magnético rotatorio que pertenece al dominio de la maquinaria de c-a.

Segundo Método. En general, cualquier grupo de impedancias de carga no balanceadas puede usarse como indicador de la secuencia de fase. Los diferentes efectos producidos por cambios en la secuencia de fase pueden ser determinados teóricamente y, cuando al hacer la instalación se note un efecto propio de una secuencia, ese efecto puede usarse para fijar la secuencia de fase del sistema.

Uno de los procedimientos más comunes para determinar la secuencia de fase en los sistemas trifásicos, es la configuración de circuito no balanceada mostrada en la Fig. 10. Los tres hilos de la línea, cuya secuencia de fase se va a deter-

paras para investigar la secuen- minar, están arbitrariamente cia de fase en los sistemas tri- , * 1 1 / 1fásicos. La lámpara 'a ' es más marcados. A la linea marcadabrillante para la secuencia ab-bc- a, se conecta el extremo libre ca; la lámpara 'a' es más brillante j , , T , , ,

para la secuencia ab-ca-bc. de una lampara. La otra lámpara se conecta a la línea c y

la bobina inductiva se conecta a la línea b, como se muestra en la Fig. 10. Si la lámpara 'a' es más brillante que la lámpara 'c', la secuencia de fase de los voltajes de línea a línea es ab-bc-ca. Si la lámpara ’c' es más brillante que la lámpara 'a', la secuencia de fase es ab-ca-bc.

Los anteriores enunciados se basan en los resultados de análisis teóricos, cuyos pormenores se desarrollan a continuación. Suponiendo que las lámparas sean iguales, su brillantez dependerá de los voltajes/?,,„/„„y Z CI,/C„. Estos voltajes


pueden ser determinados por el método de la ecuación de Kirchhoff, como se muestra en seguida.

lan + I bn + Icn = 0 (12)

Zanlan %bnXbn = Va& (13)

ZbnXbn Zcnlcn ~ V&c (14)

Eliminando a Icw de la ecuación (14), resulta

+ (Zím + %cn)Ibn - y bc (15)

Puede ahora despejarse a Ian en las ecuaciones (13) y (15) y el resultado multiplicarse por Zan. El voltaje a través de la lámpara a es

j _ 7 f ^abi^bn + Zcn) + V6cZ6w"|■ " an l Zan(Zbn + Z(¡n) + ZcnZ bnJ (16)

El voltaje a través de la lámpara c es

Zcnlcn = Vca + ZonI on (17)

Ejemplo 5. A fin de ilustrar el efecto que la inversión de la secuencia de fase tiene sobre las magnitudes de ZanIan y de ZcnIcn se considerará un caso numérico. Se supondrá que son resistencias puras, de 100 ohmios de magnitud cada una, las lámparas Zan y Zcn de la Fig. 10. Se supondrá que Z6n es igual a 100 /90° ohmios, esto es, una inductancia pura, por hipótesis. La magnitud de los voltajes de linea a linea se tomará como de 100 voltios cada una y se le asignarán primero las siguientes posiciones vectoriales:

Va6 = 100 /0° voltios

V*c = 100 /-120o voltios

Vea = 100 7-240° voltios

En estas condiciones

r(100 /0°) (141.4 /45°) + (100 / —120°) (100 /90o)") Zonlan = 100 /0_ 22,380 /63.45° J

= 86.4 /-48.45o voltios (18)

Zcnlcn = (100 7-240°) + (86.3 7-48.45°)

= 23.2 /71.55° voltios (19)

La lámpara a es, por tanto, más brillante que la c para la secuencia de fase ab-bc-ca.


Asígnense ahora a los voltajes de línea a línea posiciones que representen una inversión de las secuencias de fase, a saber,

Vat = 100/0° voltios

Vftc = 100 / —240° voltios

Vca = 100 /—120o voltios

Para la secuencia de fase ab-ca-bc

I” (100 /0o) (141.1 /45o) + (100 /-240o) (100 /90°)1Zonlan = 100 / 0 ° -------- = ---------------= -------- . ‘ .......... — ------------ =

— L 22,380 /63.45o J

= 23.2 /ll.55° voltios 20)

Zcnlcn = 100 /-120o + 23.2 /11.55oo /------- -------- (21)= 86.4 /-108.45o voltio?

La lámpara c es, por tanto, más brillante que la a para la secuencia de fase ab-ca-bc. Los resultados numéricos anteriores serían un tanto diferentes si se hubiera tomado en cuenta la resistencia de la bobina inductiva. Sin embargo, si la razón (XL/R) de la bobina es relativamente alta, la diferencia entre los voltajes de las lámparas es claramente discernible.

Fig. 11. Un método de voltímetro, para determinar la secuencia de fase en sistemas trifásicos. Véanse el ejemplo 6 y los Problemas 5 y 6.

Secuencia del voltajeab—be—ca

Ejemplo 6. Otra forma conveniente de determinar la secuencia del voltaje se muestra en la Fig. 16a. Consiste en un condensador (X0), un resistor (R) y un voltímetro (Vw). El voltímetro (cuyo consumo de corriente es despreciable, comparada con la que pasa a través de Xc y R), se conecta entre la línea marcada b y el nudo entre y R. Xc y R se conectan en serie a través del voltaje Vac (o Vca), con el condensador conectado a la línea a y el resistor a la línea c. Si Xc = 100 ohmios, R = 100 ohmios y Va6 = V6c = Vca = 141.4 voltios:


_ 141.4 / 60 ^ . í para la secuencia ab-bc-ca,°c 141.4 / —45o ------ amperios| como se muesfra en la Fig. 11b

V6c = Vm + IacR or Vm = V&c — l acR

Vm = (141.4 / — 120°) - (1 / —15°) (100 /0°)

= -167.3 — ¿96.6 = 193 /-150° voltios

El resultado anterior demuestra que el voltímetro (Vm) lee arriba del voltaje de línea (en la razón de 193 a 141, en este caso), para la secuencia de voltaje ab-bc-ca. El mismo resultado general se obtiene con cualquier combinación de X c y R, con tal que X c sea aproximadamente igual en valor óhmico a R, o mayor que R en valor óhmico.

Problema 5 . Demuestre, por medio de un diagrama vectorial cualitativo, que el voltímetro (Vm) de la Fig. l ia lee abajo del voltaje de línea, para la secuencia de voltaje ab-ca-bc.

Problema 6. ¿Cuál es la magnitud de la lectura del voltímetro en la Fig. l ia si X c = 100 ohmios, R = 100 ohmios y Va6 = V6c = = Vca = 141.4 voltios, si la secuencia del voltaje es ab-ca-bc?

Respuesta: 51.8 voltios.

El Método de Tres Vatímetros, Para Medición de la Poten-da Trifásica. La potencie total entregaste s una sarga triíá-sica conectada en "Y ", con conexión a neutral, puede medirse.

Fig. 12. El método de tres vatímetros para medición de la potencia trifásica cuatrifilar.

como es obvio, con tres vatímetros conectados como se muestra en la Fig. 12. W a mide la potencia de la fase an, W& mide la potencia de la fase bn y W c mide la potencia de la fase en. La suma de las tres lecturas es, en consecuencia , igual a la p o te n c ia total consumida por la carga. Está claro que si cada fase individual de la carga conectada en delta es de carácter disipativo, todos:los vatímetros mostrados en la Fig. 12 indicarán potencia positiva.


La potencia total absorbida por una carga conectada en delta, no balanceada, puede ser medida con ayuda de tres vatíme-

Fig. 13. El método de tres vatímetros, para medir potencias individuales de fase, en una carga co

nectada en delta.tros, como se muestra en la Fig. 13. Las potencias individuales de fase son medidas por los vatímetros. Generalmente, no debe usarse este método de medir potencia, a menos que se desee conocer las potencias individuales de fase.

El Método de dos Vatímetros, Para la Medición de la Potencia Trifásica Trifilar. Excepto por lo que hace a pérdidas y errores intrínsecos, los tres vatímetros conectados en la forma que muestra la Fig. 14 medirán con precisión la potencia consumida por la carga trifásica abe. Se dará una prueba general de este aserto y se basarán en el mismo ciertas importantes deducciones.

Fig. 14. Un método de tres vatímetros, para medir la potencia trifásica, que esx independiente del potencial y, por tanto, de la posición física

del punto 0.


La potencia media total entregada a la carga trifásica mostrada en la Fig. 14, durante un intervalo de tiempo T, es

1 r T ,2? J [Vanìa1 a “I” Vbnib'b ^cn^c'c) dt (22)

La potencia media total medida por los tres vatímetros mostrados en la Fig. 14, es

1 r T Pvatlmetros = I (Vatí^a'a "t- VbO¿b'b "f" ^cO^c'c) d t (23 )

T «o

Bajo cualesquiera condiciones está claro que

aO — Van 0n

60 = Vbn Vq n

(24 )

(25 )

VcO ' en v0n (26)La ecuación (23) puede, en consecuencia, escribirse

1 r T“Vatímetros = — I (vanÍa'a + VbJb'b + VcnÍcrc) dt 1 Jo

i r T~ / V()n (ia'a + W b + ie’e ) dt1 « o

r (27 )

Puesto que (ia-a + i6-6 + ic-c) — 0, se sigue que

Pvatlm etro. = I (v ania,a + VbnÍb' b + Vcntc,e) dt (2 8 )

Se demuestra así que los tres vatímetros de la Fig. 14 miden la potencia de la carga, independientemente del equilibrio de la corriente o el voltaje, de la forma de onda y del potencial del punto o. Este último hecho es altamente significativo. Indica que las bobinas de potencial del vatímetro no necesitan tener resistencias iguales cuando se emplean como se muestra en la Fig. 14. También indica que el punto o puede ser colocado en cualquiera de las tres líneas, reduciendo con ello a cero la lectura de uno de los vatímetros. Aunque la prueba estuvo basada en una carga conectada en "Y", la prueba total es igualmente válida para cargas conectadas en delta. Una forma sencilla de extender la prueba, para que comprenda las cargas en delta, es tener en cuenta el hecho de que cualquier carga en delta puede ser reducida a una car


ga equivalente en "Y " (véase él Cap. V, Págs. 255 a 258).La importancia práctica de colocar el punto o en cual

quiera de las tres líneas estriba en que así solamente se necesitan dos vatímetros para medir la potencia trifásica total. Este expediente se utiliza ampliamente para medir potencia trifásica trifilar, porque no implica ninguna limitación en cuanto a equilibrio o forma de onda.

Los dos vatímetros utilizados para medir potencia trifásica pueden ser colocados en el circuito como se muestra en la Fig. 15 a, b o c. Las tres combinaciones se obtienen colocando el punto o de la Fig. 14 en las líneas a, b y c, respectivamente.

Para las polaridades relativas de las bobinas de los vatímetros mostrados en las Figs. 14 y 15, los instrumentos leerán escala arriba, si se mide potencia positiva. Bajo la condición de una forma de onda sinusoidal de corriente y de voltaje, hay indicación de potencia positiva si la corriente que pasa por la bobina de corriente en el sentido ± está menos de 90°

o* à i+ b

c' W c « ^ c

(a)

a' + a

b,b

c' WC ± c

" (& )

a' + aW rwH-b-

»c- «fcEE* c

(e)

nv&aWb indica VbaJb'b eos 0 IJIb'b

Wc indica Vcalc'c coa 0 I ^

Wa indica Vabla'a COS

Wc indica Vcblc’c eos I

Wa indica Vacia'a COS

Wb indica Vulb’b eos

,7 “Jlo'á"IV,*

Jlc'í

>E, ] v“Jlrt

Fig. 15. Diferentes posiciones de circuito que pueden tomar los dos vatímetros utilizados para medir la potencia trifásica.

fuera de fase con el voltaje impreso a través del circuito de potencial en el sentido ± . Si uno de los aparatos medidores lee escala abajo cuando se conecta como se muestra en la Fig. 15, se cambia la polaridad relativa de las bobinas, a fin


de obtener una lectura escala arriba y esta lectura se considera como potencia negativa, al hacer la suma algebraica de las lecturas de los vatímetros.

Ejemplo 7. En la Fig. 16, abe representa un sistema de voltajes trifásico balanceado. La magnitud de cada voltaje es de 200 voltios, y

»»i , la secuencia de fase es ab-ca-bc. A tra-Wab-afa aves de abe se conecta una carga balanceada consistente en un motor de inducción de 6 kw y 0.8 de factor de potencia y a través de ab, una carga de 4 kw y de factor de potencia igual a la unidad.

Se quiere determinar las lecturas in- WCb—c'c c dividuales de los vatímetros, Wab_a,a y

ie TT . . • W .h que están conectados para me-Fzg. 16. Una carga trifásica no , cb-c'c ^ rv i , dir la potencia de la carga total. Losbalanceada. ¿ ,

subíndices designan el voltaje y la corriente que actúan en un medidor dado para producir desviación positiva en sentido ascendente (escala arriba). Es obvio que el medidor leerá en sentido descendente (escala abajo), indicando así potencia negativa, si el voltaje y la corriente actuantes están separados en fase de tiempo por más de 90°.

Sea Va6 el eje de referencia escogido. Entonces

Va¡> = 200 [0% Vbc = 200 /-240o, y Vca = 200/-120° voltios

La corriente en cada fase del motor de inducción es

r 2000** = 200 X 0.8 = 12 5 amperÍ°S

y estas corrientes de fase se retrasan con respecto de las corrientes de fase aplicadas, un ángulo igual a eos—1 0.8 o 36.9°. La corriente de la carga de factor de potencia unidad está, por supuesto, en fase con V„». Por tanto

Iab

I be

ca= ( — 11.5 — ¿4.90) amperios

= /Oo 12.5 /-36.9°200 - — L ---------------------

= (20 + jO) + (10 - ¿7.5)= (30 — j’7.5) amperios = 12.5 /-240° - 36.9° = 12.5 /83.1o

= (1.5 + jl2 .4 ) amperios = 12.5 /—120° - 36.9° = 12.5/-156.9°

Las corrientes de linea sonIa'a = (30 - ¿7.5) - (-11.5 -¿4.90)

= 41.5 — 7*2.60 = 41.6 / —3.58° amperios


h'b r d-5 + ¿12.4) - (30 - ¿ 7.5)= —28.5 + ¿19.9 = 34.7 /145° amperios

Ic'c = (-11.5 -¿4.90) - (1.5 +¿12.4)= —13.0 —¿17.3 = 21.7 /—127° amperios

En la Fig. 17 se muestra un diagrama vectorial de los voltajes y corrientes. Puesto que son conocidas las magnitudes y posiciones relativas de fase de tiempo de los voltajes de línea a linea, pueden ser determinadas las lecturas de los vatímetros.

Is'a

Fig. 17. Diagrama vectorial de voltajes y corrientes en un circuito trifásico determinado. (Véase la Fig. 16).

IVobW a b -a 'a ~~ oib^oJa COS 0

_ Iara= 200 X 41.6 eos 3.58° = 8300 vatios

“I VcbW c b - c 'c = V c b lc 'c COS 0

.Ic'c= 200 x 21.7 eos 67° = 1700 vatios

Las otras combinaciones de los vatímetros que medirán correctamente la potencia trifásica son

(1) junto con Wlc. b,h,(2) junto con Wco_c,c

En el presente ejemplo

ac—a'a — Vaciaba COS IIV a c

Jla'a

= 200 x 41.6 x eos 63.58° = 3705 vatios1 Vftc

Wbc-b'b = Vbch'b COS~\Vbc9Jlt'6

= 200 X 34.7 X eos 25° = 6295 vatios

Problema 7. Calcule las lecturas de W6a_6,6 y de Wca-c,c, en el ejemplo anterior y compare las sumas de las lecturas así determinadas de los vatímetros con la carga total conectada.

Respuesta: W = 5 685, WM.C,C = 4 315 vatios.


El uso de n-1 Vatímetros. Para Medir Potencia de n Hilos. En general, pueden utilizarse n-1 elementos vatimétricos, para medir potencia de n-1 hilos. Los elementos vatimétricos pueden tomar la forma de vatímetros individuales y en ese caso la potencia total es igual a la suma algebraica de las lecturas de los vatímetros; o todas las piezas movibles pueden conectarse a una flecha común y en ese caso la potencia total es indicada directamente en una escala. Este último tipo de instrumento se llama vatímetro polifásico.

Voltamperios Reactivos en Sistemas Trifásicos no Balanceados de Cuatro Hilos. Los voltamperios reactivos de cada fase individual de la carga mostrada en la Fig. 18 pueden me-

Fig. 18. Medición de voltamperios reactivos totales, en un sistema trifásico de cuatro alambres, con tres medidores de voltamperios reactivos.

dirse con tres medidores de voltamperios reactivos.Se suponen formas de onda sinusoidal de voltajes y corrientes,

pues el término "voltamperios reactivos", así como cualesquiera mediciones de esa cantidad son ambiguos, cuando se trata de formas de ondas distintas de la sinusoidal.

M e d i d o r d e V a r f Oftt)'—hnnr-i -'wN—

En la Fig. 18:”IVan

El medidor a da la lectura VanIon sen 8 ” vares

y.

El medidor b da la lectura V¡,„Ijn sen 8 vares

El medidor c da la lectura VcnIcn sen 8 vares

La suma algebraica de las lecturas anteriores es de importancia práctica. Supóngase que el ángulo de fase es positivo si la corriente se retrasa con respecto del voltaje y nega


tivo si la corriente se adelanta al voltaje. Estas convenciones son meramente cuestión de definición (véase la Pág. 124). Un medidor adecuadamente conectado para dar lecturas escala arriba para voltamperips reactivos de corriente retrasada leerá escala abajo cuando reciba voltamperios reactivos de corriente adelantada. Si entonces, en un caso particular, un medidor lee escala abajo, las polaridades relativas de los circuitos de corrientes y de potencial están cambiadas. La lectura escala arriba resultante es considera como de voltamperios reactivos negativos, al determinar los voltamperios reactivos totales del sistema. Definidos así los voltamperios recativos negativos, los vares totales de un sistema pueden, por supuesto, ser negativos.

Ejemplo 8. Sean, en la Fig. 18

Van = 100 /0_° Voltios

V6n = 100 /-120° voltios

Ven = 100 7 - 240° voltios

Zan = 25 /45° ohmios

Zbn — 50 /0° ohmios

Zcn = 20 /—60o ohmios

Se trata de detei minar las lecturas individuales de los tres medidores de voltamperios reactivos y la suma algebraica de las lecturas.

100 /0°Ian = — 7—r = 4.0 / —45° amperios

¿ o / 4 o -------------

100 / — 120°I b n = — ,nn— = 2.0 / — 120° amperios

Ir« =

50 /0°

100 /-240°

20 /-60o= 5.0 /180° amperios

En la Fig. 19 se muestran las posiciones vectoriales relativas de los voltajes y corrientes de fase que accionan los medidores. El medidor a de voltamperios reactivos da una lectura de(100 X 4 X 0.707) = 283 vares

El medidor b de voltamperios reactivos da una lectura de

(100 X 2 X 0*0) = Ovares El medidor c de voltampe

rios reactivos da una lectura de

(100 X 5 X -0.866) == —433 vares

Fig. 19. Diagrama vectorial de los voltajes y corrientes de fase de la carga trifásica cuatrifilar mostrada en la Fig.18, para un determinado grupo de im-

pedancias de carga.


La suma algebraica de las lecturas de los medidores, o el número "total" de vares es de — 150.

Si se usan vatímetros en lugar de los medidores de voltamperios reactivos de la Fig. 18 sus lecturas serian las siguientes

» a = 100 X 4 X 0.707 = 283 vatios Wb = 100 X 2 X 1.000 = 200 vatios W c = 100 X 5 X 0.500 = 250 vatios

El número total de vatios es de 733.

Factor de Potencia en Sistemas Trifásicos no Balanceados. El factor de potencia tiene una definida significación física en un sistema monofásico o en un sistema polifásico balanceado. Es la relación de los vatios de fase a los voltamperios de fase. En condiciones de forma de onda sinusoidal, el factor de potencia es equivalente al coseno del desplazamiento angular de fase de tiempo entre el voltaje de fase y la corriente de fase.

En un sistema polifásico no balanceado, cada fase tiene su propio factor de potencia. El resultado es que la expresión "factor de potencia", en cuanto se aplica al sistema polifásico no balanceado, combinado, puede tener solamente el significado que se le dio por definición. El promedio de los factores de potencia de fase individuales es una buena indicación general de la relación de los vatios totales a los voltamperios totales, en ciertos casos en que las cargas de fase son todas inductivas o todas capacitivas. Donde hay a la vez cargas de fase inductivas y capacitivas, el efecto compensador de los voltamperios reactivos capacitivos y de los voltamperios reactivos inductivos no es tomado en cuenta. Otra seria limitación del concepto de factor de potencia "medio" consiste en que, en muchas instalaciones prácticas, no se determinan fácilmente los factores individuales de potencia de fase. Cuando se da el factor de potencia de un sistema polifásico no balanceado, generalmente no se trata del factor de potencia "medio".

Una definición aceptada, llamada factor vectorial de potencia de un sistema polifásico balanceado, es _ . , T 1 V I eos 0F. p. vectorial = — — ;........... - = = (29)

V (H F I sen 0)2 + & V I eos 0)

£ F I eos 0 = VaIa eos 6a + VbIb eos 0& + VCI C eos 0C + • • • (30)

22 V/ sen 0 = Val a senda + VbIb sen06 + VCI C sen0c - f ■ • • (31)


Los subíndices empleados en las ecuaciones anteriores se refieren a los valores de fase individuales. Por ejemplo 0a es el desplazamiento angular entre el voltaje de fase y la corriente de fase en la fase a del sistema. 2VI eos 0 es la potencia total consumida por la carga polifásica cuyo factor de potencia se investiga. 2VI sen 6 es la suma algebraica de los voltamperios reactivos de fase individuales. Al dar un valor, en cualquier caso particular, a 2VI sen 0 debe tenerse debidamente en cuenta el signo de cada componente.

Es evidente que al denominador de la ecuación (29) puede dársele el valor correspondiente a la magnitud de un vector resultante, cuyas componentes están en ángulo recto y son (2VI eos 0) y (2VI sen 0). Este hecho se muestra gráficamente en la Fig. 20, para el sistema trifásico que se discu-

Fig. 20. Representa el concepto de factor de potencia vectorial, para un caso particular.

tió en las págs. 468-470. Considerando a los vatios y los vares como los componentes en ángulo recto que forman los "voltamperios vectoriales", está claro que

El factor de potencia, tal como lo define la ecuación (29), puede ahora formularse en varias formas diferentes.

-433vares

O

£V I = V ( 2 ¡ F / seno)2 + (T .V I eos 6)2 ¡ j ) (3 2 )

£V I - V J a / ja + VJb/jt, + VCI C ¿0c (33)(33)

F. p. vectorial = eos tan 1 (34)o

eos 6 (35 )F. p. vectorial = magnitud de£VI


Ejemplo 9 . Se trata de comparar el factor de potencia "medio" de

tencia definido por las ecuaciones (29), (34) o (35) La configuración del circuito se muestra en la Fig. 18 y se indican a continuación los valores previamente determinados.

El medio aritmético de los anteriores factores de potencia de fase es

El factor de potencia de la carga no balanceada, tal como lo define la ecuación (29) es

Por cuanto la última determinación del factor de potencia toma en cuenta el efecto compensador de los voltamperios reactivos "adelantados" y "retrasados", es algo más significativo que el factor de potencia "medio".

Medición de 2VI sen 6 en un Circuito Trifásico Trifilar. Los factores de potencia de los sistemas trifásicos trifilares se miden a menudo en función de 2VI eos 9 y 2VI sen 9. 2VI eos 6 puede ser medido con la ayuda de dos o tres vatímetros, como se mostró en párrafos anteriores. Puede también demostrarse que 2VI sen 9 puede medirse también, en un sistema trifásico trifilar, con dos o tres medidores de voltamperios reactivos. Sólo se estudiará el método de medición de 2VI sen 9 con dos medidores.

la carga balanceada descrita en las Págs. 468*470 conv el factor de po-

Van = 100 /0° voltios

V&n = 100 / —120° voltios

Vcn = 100 / —240° voltios

Ian = 4.0 / —45° amperios

Ibn = 2.0 /-120° amperios

Icn = 5.0 /l80° amperios

vares de la fase a = 283 vares de la fase b = 000 vares de la fase c = —433 2VI sen 9 = — 150 vares

vatios de la fase a = 283 vatios de la fase b = 200 vatios de la fase c = 250 2VI sen 0 = 733 vatios

Los factores de potencia de fase individuales son

P.f.o = 0.707 (resultado de corriente retrasada) P.f.b = 1.000 (resultado de corriente en fase) P.f.c = 0.500 (resultado de corriente adelantada)

2.2073

= 0.736

F.p. vectorial =733 733

V (-15 0 )2 + (733)2 748


Se supone que los dos aparatos de medición mostrados en la Fig. 21 son medidores de voltamperios reactivos, capa-

ces de leer a VI sen 0

Medidor a de Var

Fig. 21. Método de dos medidores de voltamperios para medir 2 VI sen

0, en un sistema trifásico trifilar.

Los medidores están conectados al circuito en una forma que es exactamente igual a la de los dos vatímetros en el método de m edición de la potencia trifásica con dos vatímetros. Se demostrará en seguida que, cuando se conectan de este modo, la suma algebraica de las lecturas de los dos medidores de voltamperios reactivos es igual a 2VI sen 0 del circuito trifásico. En la ecuación (31) del presente capítulo ha sido definido 2VI sen 0 de un sistema polifásico.

Conectados como se muestra en la Fig. 21

El medidor a de voltamperios reactivos lee \ y ,/ , seng

El medidor c de voltamperios reactivos lee Y cblc,'c sen 0

v-ii j

ML i

Para fines de análisis, las lecturas anteriores se expresarán temporalmente en función de los componentes complejos de los voltajes y corrientes. En el Cap. IV se demostró que, en condiciones de forma de onda sinusoidal

donde V I sen o

V = v + j v r y I = / + J f

(36)

La observación de la Fig. 21 mostrará que la-« — y que Ic' c Ln■ También Va& Van V n y VC6 Ven V6n.

Fab/a'a sen 0,V ab

— J ablan sen 6V„6

la»


( P ab^an V a b í a n ) -

= ( P a n ^ a n V b n ìa n V a n i a n “f” V b n í a n )

(P a r ica n Vani an) -|- ( p b n í a n V b n ^ a n ) (37)

Vcblc'c seneI Vcb

= V cbIcn sen e |Vcblcn sen e

Se notará que (v6ni'an — venían) de la ecuación (37) y (v6»i'c» — v'a„icn) de la ecuación (38) pueden ser sumados de modo que den

Por tanto, la suma de las ecuaciones (37) y (38)se reduce a

que a su vez fácilmente se reconoce como los voltamperios reactivos totales de la carga trifásica, o 2VI sen 6.

En la deducción anterior no se han impuesto restricciones en cuanto a balance de voltaje o corriente. En consecuencia, dos medidores de voltamperios reactivos conectados a un circuito trifásico trifilar, como se muestra en la Fig. 21, miden a 2VI sen 0, sin importar la condición de balance. Aunque es un tanto difícil incorporar el caso general a la deducción, la suma algebraica de las lecturas será igual a 2VI sen 0, siempre que los voltamperios reactivos queden restringidos a los casos en que sean sinusoidales las formas de las ondas de voltaje y corriente, con tal que los medidores de voltamperios reactivos estén conectados a la línea trifásica trifilar de manera semejante a los vatímetros mostrados en la Fig. 15a, b o c.

14.14/45°-n

141.4 voltios I

Fig. 22. Una carga trifásica balanceada.


Ejemplo 10. En la Fig. 22, abe representa un sistema trifásico no balanceado de voltajes, cuya secuencia de fase es ab-bc-ca. En magnitud

Vab = 200, Vbc = 141.4 y V ca = 141.4 voltios

Si se supone que V af, ocupa la posición de eje de referencia, enton-

Vab = 200 /0 , Vbc = 141.4/-135°, Vco = 141.4 /-225° voltios.

Se supondrá que las impedancias de la carga tienen los valores mostrados en el diagrama de circuito, a saber

Zdb = 10 /—60° ohmios

Zbc — 14.14 /45° ohmios

Z ca = 14.14 /45° ohmios

Suponiendo que los valores de línea a línea quedan fijos en los valores dados anteriormente, las corrientes de fase de la delta son

< 200 /0°lab = ----7—=—— = 20 /60° amperios

10 / —60 L----

141.4/-135°

* * = 14.14/45°'" = 10 amPeri° S

1 4 1 . 4 = l /9n. amper.os

14.14/45^

De donde

la'a = lab - ha = 10 +¿7.32 = 12.4 /36.2° amperios

Ib'b = Ibc — lab = —20 — ¿17.32 = 26.45 / — 139.1o amperios

Ic'c = lea - Ibc = 10 +¿10 = 14.14 /45° amperios

Los voltajes y corrientes se representan gráficamente en la Fig. 23. Se supone que los medidores mostrados en la Fig. 22 son medidores de voltamperios reactivos y el presente ejemplo se ocupa en la predeterminación de sus lecturas.

El medidor a de voltamperios reactivos lee

IVnrV acIa'aSenO = 141.4 X 12.4 Xsen81.2° = 1732 vares

I«'«

El medidor b de voltamperios reactivos lee

Vbch'bsend = 141.4 X 26.45 sen 4.1 = 268 varesl¿>'t>


Fig. 23. Voltajes y corrientes vectoriales del circuito trifásico mostradoen la Fig. 22

La suma algebraica de las lecturas de los medidores es

—1782 + 2<>8 = —1404 vares.

El valor numérico de 2 VI sen Q determinado por las corrientes y voltajes de fase individuales, es

2VI sen 0 = — (200 X 20 X 0.866) + (141.4 X 10 X 0.707) + 4- (141.4 X 10 X 0.707) = — 1 464 vares

Problema 8. Si los medidores de voltamperios reactivos mostrados en la Fig. 22 se colocan de manera que las bobinas de corriente llevan e Ic,c ¿cuáles serán las lecturas de cada medidor en vares? Se supone que los circuitos de potencial de los medidores están conectados de modo que la suma algebraica de las lecturas sea igual a 2VI sen Q.

Respuesta: El medidor a mide + 1 464 vares; el medidor c lee cero.

Problema 9. ¿Cuál es el factor de potencia de la carga no balanceada mostrada en la Fig. 22 determinado mediante 2VI sen 0 Y 2VI eos 0?

Respuesta: 0.939.

Ecuaciones Fasoriales, Establecidas en Función de M agnitudes de Corriente y de Voltaje Experimentalmente Determinadas. Los diagram as• fasoriales de los voltajes de cargas polifásicas pueden construirse utilizando mediciones de los voltajes, de manera que formen un polígono cerrado los voltajes de línea que, de conformidad con la ley de Kirchhoff, dan una suma igual a cero, cuando, desde una línea, se sigue un trazo en sentido constante, a cada línea adyacente, en secuencia, hasta alcanzar el punto de partida. Pueden entonces, en una conexión en estrella, inscribirse en el polígono los voltajes de línea a neutral, de modo que se combinen de


acuerdo con las leyes de Kirchhoff, para formar los voltajes de línea. El principio de dualidad indica que puede seguirse un procedimiento similar para establecer diagramas fasoriales de las corrientes de línea y de fase en una conexión en malla. Pueden entonces establecerse las ecuaciones de fase resolviendo analítica o gráficamente los diagramas, y pueden adaptarse las soluciones a cualquier secuencia de- seadaXVéanse los Probs. 31 y 32)

ta a

Ejemplo 11. Supóngase que se desea determinar las corrientes de rama L-. I»,« e de la Fiq 24, mediante el método de corriente deÍ1717 071 i. 71circuito, si

E = 57.7/ —30°, E/t/// = 57.7/ -150°, y E,lV' = 57.7/90° voltios

Como sólo se necesita que dos corrientes de circuito atraviesen toda la rama, (96) se reduce a

Zn li — Z12I 2 = Ei = Eb'n' “1“ En/a' = 100 /0° voltios

- Z 21I 1 + Z22I2 = = Ec'n' + E„/6' = 100 /-120° voltios

donde los signos menos se refieren a los sentidos opuestos de Ix e I2 a través de Zn>^bn Si se desprecian las impedancias del generador de la Fig. 24,

Z11 = 1 0 0 /0^ 4- 100 /90° = 141.4 /45° ohmios

z 22 = 100 /90° + 100/0° = 141.4 /45° ohmios

Sin tener en cuenta el signo, que ha sido eliminado en las anteriores ecuaciones de voltaje

Z12 = Z21 = 100 /90° ohmios


Ij e I2 pueden despejarse directamente en las ecuaciones de voltaje, como se muestra a continuación

I2 “ J-nc —

Ir.n ™ " I*i/> ”

100 /o° -100 /90°100 / —120° 141.4 /45° 19320 /15°

141.4 /45° -100 /90° 22380 /63.45-100 /90° 141.4 /45^

141.4 /45° 100 /0°-100/90° 100 / — 120° 5185 / —45°

22380 /63.45° 22380 /63.45

0.232 /71.55o, e Ibn = I 2 - Ii

= 0.864 /-48.45o amperios

= 0.232 /-108.45o amperios

Ejemplo 12. En lp Fig. 25 se muestran tres impedancias de la carga zan' z 6n Y Zcn que están energizadas por Vab, V6c, (y, por supuesto, por Vca ). Se supone que la bobina an está magnéticamente acoplada a la en y, como se muestra en la Fig. 25 se supone que el coeficiente de

Fig. 25. Véase el ejemplo 12.

acoplamiento entre las bobinas es de \/3/6. Si se analiza la red por el método de corriente de circuito, empleando e I2 en los sentidos mostrados

ùìAf ac — 0)1*1 caV i

\/'wLan X w/>cn = — - V i X 3 = 0.5 ohmios- V i

6Se usa el signe positivo de M porque las bobinas se magnetizan

a lo largo de ur. eje común, en el mismo sentido, si se devanan en la forma que se muestra y si están presentes valores positivos de e I2 (Véase Pág. 342). Suponga Va6 = 100 /0° voltios y Vftc = 100 / — 12Q° voltios.

Para la red mostrada en la Fig. 25, las ecuaciones básicas de voltaje toman la forma

Z n h + Z12I 2 =Va6 = 100 /0_° voltios Zsili + Z22I2 = V6c = 100 / —120° voltios

Zu = (2 + j l ) , Z22 = (2 + j3 ), y Zu = Z21 = ( - 2 +¿0.5) ohmios

Nota: El signo menos en Z12 se refiere al hecho de que I2 fluye a través de Z bn en oposición a It y - f jO.S en Zl2 se refiere al hecho de que la caída de voltaje (ja)MI2) actúa en el circuito 1 en el mismo sentido que la caída de voltaje (jü>LIi)-

n K= V3/6


II -

(100+¿0) ( - 2 +¿0.5)(-50 '-¿86 .6 ) (2 + ¿3 ) 56.7 + ¿152(2 + ¿ l ) (-2 + ¿ 0 .5 ) -2.75 +¿10(-2 + ¿ 0 .5 ) (2 + ¿3 )

(2 + ¿ l ) (-2 + ¿ 0 .5 )

(100 +¿0 ) 50 - ¿86.6)

(-2.75 +¿10)

12.68 — ¿9.15

= 15.6 /—35.8° amperios

186.6 - ¿273 = -2.75 +¿10 = “ 301S ~ J'10-36 = 31.8 / —161° amperios

Las corrientes de las ramas fluyen directamente de Ij a I2, como se muestra en el ejemplo 11.

Ejemplo 13. La red mostrada en la Fig. 26 representa dos genera

dores que funcionan en paralelo. Se supone que existe una tierra accidental, que sale de la terminal c, como se muestra y el problema consiste en determinar la comente del corto circuito lngc* o la corriente de circuito I3 de la Fig. 26-

Un estudio de la Fig. 26 mostrará que las autoimpedancias de los circuitos 1, 2 y 3 son, respectivamente

Zn = (7.28 +¿18) = 19.4 /68° ohmios Z22 = (7.28 +¿18) = 19.4 /68° ohmios Z33 = (4.04 +¿7.0) = 8.08 /60° ohmios

A continuación, se obtendrán las impedancias mutuas, mediante la observación de la Fig. 26 y se colocarán signos menos a las impedancias mutuas que lleven corrientes de circuito de sentidos opuestos.

Z12 = Z21 = —(3.64 +¿9.0) = —9.7 /68° ohmios

Z2$ = Z32 = —(0.50 +¿3.0) = —3.04 /80.5° ohmios

Z13 = Z31 = 0 (Puesto que no tienen un trayecto comúnlos circuitos 1 y 3).


Para el caso particular que se investiga, se supondrá que cada voltaje de fase de los generadores tienen los siguientes valores

En'a' = Ena = 4000 /0o voltios

En/*/ = En& = 4000 /—120° voltios

En/C/ = Enc = 4000 / —240° voltios

Los voltajes resultantes impresos en los circuitos de la Fig. 26 son

El — Én/a/ Ena -j- Enb — En/&/ — 0

E2 = Enrbf En6 -f- Enc En'c7 == 0

E3 = “ Ene

= -4000 /-240° = 4000 / -60° voltios

Las ecuaciones del equilibrio del voltaje en los tres circuitos de la Fig. 26 son

(19.4 /68°)Ii - (9.7 /68°)I2 + 0 = 0

-(9 .7 /68°)Ii + (19.4 /68°)I2 - (3.04 /80.5°) I3 = 0

0 - (3.04 /80.5°) I2 + (8.08 /60°)I3 = 4000 /-60°

Se puede despejar a Ij. I2 e I3 en las anteriores ecuaciones simultáneas, con ayuda de la teoría de los determinantes. El denominador común de cada solución es

(19.4 /68°) -(9.7/G5T) 0D = -(9.7/68°) (19.4/08°) -(3 .04/80.5")

0 - (3.04/80.5°) (8.08/00°)

D = [-2920 - J837] - [( — 117.8 - J135.4) + (-733 - j210)]- (-2008 - Í492) = 2122/193.4° ohmios*

La corriente que se busca en el presente caso es l non o Ingc

(19.4/68°) - (9.7/68°) . 0-.(9.7/68°) (19.4/68°) 0

0 -(3 .04/80.5°) (4000/ -60 °)

2122/193.4°

1,131,000/76°I3 = ----— :---------= 533 / — 117.4° amperios

2122/193.4° L----------

Problema 10. Encuentre las magnitudes de la,a, I6,6 e Ic,c de la Fig.26, utilizando los cálculos del ejemplo 13, en cuanto puedan ser útiles.

Respuesta: Ia,a = 55.6, I6,6 = 55.6 e Ie, 11.2 amperios.

CIRCUITOS POLIFASICOS NO BALANCEADOS 48 1

PROBLEMAS

11. Un sistema en delta no balanceado, marcado abe en los vértices, consta de Zab = 10 / — 60°, Z6c = 5 /0° y Zca = 10 /60° ohmios.Si Vc& = 100 /0° y la secuencia de voltaje es de cb-ba-ac, encuentre las expresiones vectoriales para las corrientes que entran en las terminales a, b y c. Los voltajes trifásicos de suministro están balanceados. También resuelva el caso de la secuencia opuesta.

12. Una carga no balanceada, marcada abe en los vértices, con-siste de Za& = 5 /40°, Zbc = 10 / — 30°, y Zca = 8 /45° ohmios. Seimprimen voltajes trifásicos balanceados de 115 voltios cada uno. Si la secuencia es cb-ac-ba, calcule las expresiones complejas para las corrientes que parten de las terminales a, b y c, para Vc6 = 115 / 0 o

voltios.13. Véase la Fig. 37. VAB y V CB representan un sistema bifásico

balanceado de caídas de voltaje, siendo de 115 voltios la magnitud de cada una. La secuencia de fase del voltaje es AB-CB. Se toma a VAB como eje de referencia. Determínense \AB, lCB e lBB, y dibújese un diagrama vectorial de los voltajes y corrientes.

14. Un conjunto de impedancias conectadas en “Y" consiste en Zan = = 5 /0°, Zbn = 5 /60° y Zcn = 5 / — 60° ohmios. Encuentre las impedancias equivalentes conectadas en delta, Zab, Zbc y Zca que pueden

15. Véase la Fig. 28. Las terminales a'b'c' representan un sistema trifásico balanceado de voltajes, cuya secuencia es b'c'-a'b'-c'a'. La

A

Fig. 27. Véase el Problema 13,

utilizarse para reemplazar el juego de impedancias conectadas en “Y".

a a

A A A A 3 ü 4 n

Cb' b

c'Fig. 28. Véase el Problema 15.


magnitud de cada voltaje de línea a linea es de 230 voltios. Encuentre las lecturas de los amperímetros colocados en las líneas a'a, b'b y c'c.

16. En la Fig. 7, Pág. 455, se supondrá que los voltajes generados son

En'n' = 100/0 , = 100/-120°, E„/r/ = 100/-240° voltios y que

Z,¡mo„ = (2 - j \ ) ohmios.

= (i - f¿) ohmios.

Zn'r'n, = (:* + M) ohmios.

Encuentre las corrientes de linea, la,a, lb,b e Ir,c Dibuje un diagrama vectorial de los voltajes de línea a linea y de las corrientes de línea.

17. Véase la Fig. 8, Pág. 456. Supóngase que se conocen las siguientes cantidades

En'«' = 1000 + jO = 1000 /0 ° voltios£»'6' = -500 — jf*8()6 = 1000/-120° voltiosMn’e* = -500 -f ./8()() = 1000/120° voltios Z«n = 20 — ,/20 = 28.28/—45° ohmios Z6/* - 50 + jO = 50.0/0° ohmios Z rn = 30 + ,/52 = 00,0/60° ohmios Za = 2 +¿8 = 8.25 /7(>° ohmios Z/ = 1 +./1 = 1.41 /45° ohmios Zn = 2.5 + j l = 2.70 /21.8° ohmios

Formule las expresiones de I^,, Ibft, e l cc„ utilizando determinantes, y los valores numéricos dados para las E y las Z. Use las corrientes de circuito Ix = la,a, I2 = I6,$ e I3 = Ic,c# las cuales regresan todas a través de la linea nn. (Los resultados pueden dejarse en la forma de la relación de dos matrices).

18. Un juego de impedancias conectadas en delta, consiste en Zab = 5 /O?, Z$c = 5 /60° y Zca = 5 / — 60° ohmios. Encuentre las impedancias: equivalentes conectadas en "Y", Zan, Zbn y Zrn que pueden ser utilizadas para reemplazar las anteriores impedancias conectadas en delta.

19. Véase la Fig. 9, Pág. 457. Supóngase que el generador es capaz de sostener un sistema trifásico balanceado de voltajes E a,b„ Ea,c„ cuya secuencia es b'a'-a'c'-c'b'. La magnitud de cada voltaje de línea es de 100 voltios. Za,a = Zb>6 = Zc,c = 0.5 -f- j0.5 ohmios. Zab = 10 /0°, Zbc = 10 760° y Z^ = 10 7 — 60° ohmios. Encuentre Ia,a,1 , Iftc e 1 , con respecto de Va,$, como eje de referencia.

20* Explique, por medio de diagramas vectoriales cualitativos, el funcionamiento de un indicador de secuencia trifásica, que emplea una bobina inductiva, en lugar del condensador mostrado en la Fig. l ia , Pág. 461- Para la secuencia ab-ca-bc, ¿lee el voltímetro arriba o abajo del voltaje de linea?

21. Proyecte un procedimiento para compulsar la secuencia de fase de voltajes bifásicos.


22. Encuentre la lectura de un vctimetro que tiene la bobina de corriente en la linea A'A y la bobina de potencial a través del voltaje VAC del Problema 13 y Fig. 27.

23. Véase la Fig. 13, Pág. 463. Vab = 200, V bc = 141.4 y V w = 141.4 voltios. La secuencia es ab-bc-ca. Zab = Zbc = Zca = (8 — j6) ohmios. Encuentre la lectura de cada vatímetro. Encuentre la lectura de un vatímetro, con la bobina de corriente en la línea a y la de potencial de a a b; también uno con la bobina de corriente en la linea c y la de potencia de c a b.

24. (a) Si un vatímetro Wa tiene la bobina de corriente en la linea a y la de potencial de la linea a a la c, Fig. 1, Pág. 447, ¿qué lectura dará para una secuencia Va» -Vca-V6c? Si otro vatímetro W6 tiene la bobina de corriente en la linea b, y la bobina de potencial conectada de la linea b a la c, ¿qué lectura dará?

(b) ¿Si Wa y Wj son vármetros, que lectura darán?25. (a) Encuentre las lecturas de los vatímetros Wa y Wb, con las bo

binas de corriente en las lineas a y b, respectivamente, que alimentan la carga del Problema 11, si las bobinas de potencial están adecuadamente conectadas, de modo que la suma de las lecturas dé la potencia total consumida por la carga.

(b) Encuentre las lecturas si Wa y W j son vármetros.26. Véase la Fig. 29. Va,6„ V6,c, y Vc,a„ representan un sistema tri

fásico balanceado de caídas de voltaje, siendo la magnitud de cada uno de 200 voltios. La secuencia del voltaje es a'b'-b'c'-c'a'. Dos cargas trifásicas balanceadas, indicadas por los círculos, están conectadas a las terminales abe, como se muestra en la Fig. 29. Además de las dos cargas balanceadas, a través de las terminales be, como se indica, ha sido colocada una carga monofásica, de factor de potencia igual a la unidad y de 4 kw.

(a) Encuentre la lectura dey wc,c_c5.

(b) Si en lugar de We,a_a6 y de WC,C_C5 se colocan medidores de voltamperios reactivos, encuentre sus respectivas lecturas.

(c) Encuentre el factor de potencia vectorial combinado de la carga compuesta.

27. En la Fig. 21, Pág. 473, se supone que Va,6„ V6,c, y Vc,a, representan un sistema trifásico balanceado de voltajes, cuya secuencia es a'b'-ca-b'c. Zan = 10 /0f>, Zbn = 10 / -6 0 ° y Zcn = 10 790° ohmios. Supóngase un voltaje de linea a línea de 100 voltios.

(a) Determínense las lecturas de los dos medidores de voltamperios reactivos mostrados en la Fig. 21.

(b) Determínense las lecturas de los vatímetros colocados en posiciones semejantes en el circuito, a saber, en las posiciones a'a-ab y c'c-cb.

Fig. 29, Véase el Problema 26.


(c) Encuentre el factor vectorial de potencia reconocido por la A.I.E.E. (Instituto Americano de Ingenieros Electricistas) para la carga no balanceada.

28. En la Fig. 30, Va6, V6c, V^, son voltajes trifásicos balanceados, que tienen cada uno una magnitud de 200 voltios y una secuencia de fase de ab-bc-ca. Determine las lecturas de los dos vatímetros mostrados en la figura.

29. En la Fig. 31, En,a,, En,6>, Ew,c, son voltajes trifásicos balanceados, con magnitudes de 115.4 voltios y una secuencia de fase de n'a'- n'b'-n'c'. Determine los siguientes valores y exprese todas las cantidades complejas tomando a Va6 como eje de referencia.

(a) Va l, V lc , V M,(b) ljfC* 1^(c) Ic'C.(d) La suma de las lecturas de los vatímetros Wa, W6 y Wc. cuando

se conectan como se muestra.(e) Las lecturas individuales de los vatímetros Wa, W6 y Wtf. si el

punto común 1 está conectado a la linea b'b.30. Los voltajes de linea a línea de un sistema trifásico son Va¿ =

= 200, V6c = 150 y Vca = 120 voltios. Formule las expresiones polares de Va6, V bc y Vca, con respecto de Va6 como eje de referencia, para ambas secuencias de fase.

31. Véase la Fig. 30a, Pág. 427. En cierto caso particular, se supone que Va* = 140, V6c = 120, Vca = 150, Vfln = 200, V6n = 80 y Vcn = = 104.2 voltios.

Dibuje el diagrama fasorial cualitativo de los voltajes, para la secuencia abe, y determine analíticamente las expresiones complejas para cada uno de los voltajes, con respecto de Vab como referencia.

32. Véase la Fig. 1 en un caso particular las mediciones dan \¿a = 20, I6,6 = 14, lc,c = 15, Ifl6 = 12, Ilc = 2 e Iflc = 15 amperios. Resuelva analíticamente el diagrama fasorial cualitativo para la secuencia a'a-c'c-b'b y determine las expresiones complejas para cad x una de las corrientes, con respecto de Iall como referencia.

33. Calcule las corrientes de línea del problema 16, por el método de corriente de malla.



34. Véase el ejemplo 13, Págs. 479-"480 inclusive la Fig. 26. Despeje a L* lo e I3 por el método de corriente de circuito, despreciando las componentes resistivas de todas las impedancias de las ramas, para una secuencia de voltaje E^-E^-E^. (Los a> a resultados pueden ser dejados en la forma de la relación de dos matrices).

35. En la Fig. 32, L ab = L cb === 0.01 henrios, y el coeficiente de acoplamiento es de 0.5. No se supongan más resistencias o inductancias que las indicadas en la figura. La secuencia de los voltajes de mandó balanceados es n'a'-n'b'-n'c' y


= 57.7 /90° voltios. Para 1 000 radianes/segundo, calcule lascorrientes de fase y de línea de la carga. Use el método de Maxwell de corriente cíclica.

36. Establezca el determinante para despejar a 1^, en el Problema35, si en cada línea que va a la carga se insertan 3 ohmios de resistencia pura y se utilizan la misma secuencia y eje de referencia dados en el Problema 35. Para una comprobación uniforme de los resultados, use corrientes cíclicas como sigue: Corriente cíclica = L

Corriente cíclica I, ccbb' Corriente cíclica ain'b'ba

37. Despeje la.n, l h>b, e Ic,c, en la Fig. 33, si En,a, = 1 350 - f jO voltios, En,ft, = — 675 — jl 170 voltios y En,c, = — 675 4“ jl 170 voltios.

Fig. 33. Véase el problema 37.

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y C IR C U IT O S DE C O R R IE N T E A LTER N AEste libro ha sido escrito en forma de texto, para los cursos sobre

circuitos de comente alterna, tal como se imparten, en la mayoría de las escuelas de ingeniería, a los alumnos que comienzan el ¿estudio de la Ingeniería Eléctrica. Se supone que el alumno ha terminado los cursos regulares de cálculo diferencial e integral o que, cuando menos, tiene cierto conocimiento de la derivación y la integración. Se ha hecho un intento por arreglar el material en un orden lógico, de manera que conduzca al estudiante, en forma gradual, de los más simples a los más complejos análisis de circuitos de corriente alterna.

El método de exposición es un resultado de la experiencia docente que los autores han tenido en diversas instituciones educativas y, ai mismo tiempo, se ha hecho un esfuerzo por hacer la edición de una obra de fácil transmisión en la cátedra. En la ejecución de estos propósitos se ha hecho un amplio uso de ejemplos ilustrativos y dibujos lineales. También se han incluido oscilogramas, que ilustran el trabajo real de los circuitos. A fin de que estos oscilogramas sirvan de base para estudios ulteriores, se han acompañado de extensas explicaciones.

En muchos lugares del texto, situados inmediatamente después de la presentación de ciertos principios, se han incluido problemas con sus correspondientes respuestas. La idea es que estos problemas sirvan como prueba de medición, para que el estudiante determine por sí mismo si tiene un conocimiento operante de los principios involucrados. El orden de sucesión de los problemas colocados al fin de los capítulos, corresponde al orden en que han sido presentidos los temas. Estos problemas constituyen, en consecuencia, una base adecuada para asignar tareas.

Con excepción de los fundamentos de las componentes simétricas — Cap. XIV— , que son necesarios para comprender el Cap. XV, puede omitirse en parte o íntegramente cualquier capítulo posterior al X, sin afectar la preparación del estudiante para el estudio de los capítulos siguientes. Comenzando con el Cap. XI, el resto del texto está, en su mayor parte, hecho de extensiones y aplicaciones de los principios estudiados en los primeros diez capítulos. En consecuencia, pueden estudiarse partes seleccionadas de los últimos seis capítulos, en cuanto lo permita el tiempo disponible. También se encontrará que el Cap. VlII contiene un desarrollo un tanto amplio de temas que son de interés para el estudiante y deseables para muchos maestros, pero que pueden ser omitidos, sin afectar la preparación del lector para la comprensión de los capítulos subsecuentes.

Reconocemos la deuda en que estamos con los autores que nos han precedido en este campo y con los numerosos colegas que nos han ayudado y animado a escribir este libro. En particular, deseamos expresar nuestros agradecimientos al Sr. J. L. Potter, por su consejo y ayuda.

R. M. K. & G. F. C.

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