1

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción

Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción

· 2

DefiniciónDefinición

� Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial en la que interviene una incógnita (que es una función de varias variables) y sus derivadas. Además, para que el problema esté bien planteado es necesario imponer condiciones de contorno y/o iniciales.

� Permiten modelar diferentes procesos físicos, como por ejemplo la transmisión del calor o el sonido, la mecánica de sólidos, la dinámica de fluidos …

2

EjemplosEjemplos

� Evolución de la temperatura en una barra

Queremos determinar la temperatura en una barra delgada completamente aislada. Inicialmente la temperatura es de 10ºC en toda la barra y en un extremo la reducimos a 0ºC.

· 3

k: conductividad térmica

ρ: densidad

c: calor específico

EjemplosEjemplos

� Solución: temperatura en diferentes instantes de tiempo

· 4

Temperatura en una barra

3

EjemplosEjemplos

� Recarga de una isla

· 5

EjemplosEjemplos

� Objetivo: calcular la recarga R a partir de hp

� Considerando la simetría:

· 6

Recarga de una isla

T: transmisividad

R: recarga

4

EjemploEjemplo

� Solución con ∆x = ∆y = 0.1

· 7

Recarga de una isla

EjemplosEjemplos

� Resultados con l=3658 m, T=930 m2/día, hp=6.1 m

· 8

∆∆∆∆x=∆∆∆∆y H(0,0) R=T hp/(H(0,0) L2)

0.1 0.454099 9.3363 10-4

0.05 0.455141 9.3149 10-4

0.025 0.455401 9.3090 10-4

0.0125 0.455466 9.3083 10-4

Recarga de una isla

R= 9.31 10-4 m/día

5

EjemplosEjemplos

� Tráfico

Idea (desarrollada por ingenieros de General Motors y del laboratorio de Los Álamos (USA)):

utilizar la teoría de mecánica de fluidos para modelizar el tráfico en un tramo de autopista con un solo carril donde no pueden entrar ni salir coches

ρ: densidad de coches (ρ≤ρmax: densidad de atasco)v: velocidad de los coches (depende de ρ)

· 9

(conservación de masa)

EjemploEjemplo

� Modelo lineal:

� Modelo logarítmico: se ajustó a datos de túnel de Lincoln (Manhattan-New Jersey)

· 10

Tráfico

6

EjemploEjemplo

� Resultados con

· 11

Tráfico

Solución hasta t=8 min

EjemplosEjemplos

� Desplazamientos de un muro de contención de tierras

Queremos calcular los desplazamientos sufridos por un muro de contención de tierras por efecto del empuje del terreno.

· 12

7

EjemplosEjemplos

Los desplazamientos horizontales w(y) del muro satisfacen la siguiente ecuación (flexión de vigas)

donde H es la altura del muro, D es un parámetro de rigidez a flexión y p(y) es la distribución de empujes.

Como condiciones de contorno se considera que� El muro está empotrado en su cimentación� La coronación del muro es un borde libre

· 13

Muro de contención

EjemplosEjemplos

Resultados: problema adimensional

· 14

Muro de contención

8

EjemplosEjemplos

� Deformada de un cable

Cable flexible con extremos fijos en apoyos situados al mismo nivel y sometido a la acción de una distribución de cargas (pequeños desplazamientos).

· 15

EjemplosEjemplos

La geometría del cable queda descrita por:

donde L es la distancia horizontal entre los extremos del cable, T es la tensión (constante) y w(x) es la distribución de cargas aplicada.Imponiendo simetría:

· 16

Deformada de un cable

9

EjemplosEjemplos

� Resultados con

· 17

Deformada de un cable

EjemplosEjemplos� Transporte de contaminante

· 18

Avance del frente de HC contaminantes

Movimientodel vapor

10

EjemplosEjemplos

� Navier-Stokes

Flujo de agua alrededor de un cilindro en un canal.

· 19

· 20

� Equilibrio mecánico

� Navier-Stokes

¿Puede existir parte del contorno sin condiciones?

EjemplosEjemplos

11

· 21

� Ecuación del calor estacionaria

� Flujo en medio poroso

¿Existen condiciones de contorno de mixtas en la práctica?

Clasificación físicaClasificación física

1. Problemas de equilibrio

� Problemes estacionarios, definidos en dominios finitos.

� Ejemplo: ecuación del calor

· 22

Equilibrio de flujo Ley de Fourier

Ecuación del calor estacionaria, en un medio no isótropo, no homogéneo y no lineal

12

2. Problemas de valores propios

� Problemas estacionarios (también de ondas) para los que la solución existe sólo en determinadas condiciones (para ciertos valores de algunos parámetros). Definidos en dominios cerrados.

� Ejemplo: desplazamientos de la membrana de un tambor

· 23

Figuras de wikipedia: Vibrations of a circular drum

1

11

2

12

3

13

· 24

13

3. Problemas de evolución

� Definidos en dominios infinitos (tiempo)

� Ejemplos:

• problemas de difusión → ecuación del calor transitoria

• problemas de ondas → desplazamientos de una cuerda que vibra

• problemas de transporte

· 25

ecuación de convección

ecuación de convección - difusión

· 26

En general, una EDP de segundo orden definida sobre dos variables independientes x e y, lineal y no homogénea, se puede expresar como

Por similitud con la clasificación de cónicas, las EDP’s de segundo orden se clasifican como:

Clasificación matemáticaClasificación matemática

Discriminante Clasificación Soluciones

B2 – 4AC < 0

B2 – 4AC = 0

B2 – 4AC > 0

Elíptica

Parabólica

Hiperbólica

2 complejas

2 reales (repetidas)

2 reales (diferentes)

14

· 27

Considérese un punto P del dominio de solución � Dominio de dependencia: es la zona del dominio de la

cual depende la solución en el punto P� Rango de influencia: es la zona del dominio de solución

cuya solución está influenciada por la solución en el punto P

Figuras extraídas de: “Numerical methods for engineers and Scientists” J.D. Hoffman. Mc Graw-Hill. 1993.

Elíptica Parabólica Hiperbólica

· 28

Tabla resumenTabla resumen

La siguiente tabla muestra las características principales de los diferentes tipos de EDP’s

OJO: sólo en contornos de entrada de información

15

· 29

Condiciones de contornoCondiciones de contorno

� Condiciones de contorno de Dirichlet

� Condiciones de contorno de Neumann

� Condiciones de contorno mixtas