Modelado de Sistemas Fluidicos

Modelado de Sistemas Modelado de Sistemas FluFluíídicosdicos

Sistemas Fluídicos

Hidráulicos

Neumáticos

Principio de modelado Ley de conservación de la masaTermodinámica

El fluido es incompresible. Su densidad se mantiene aproximadamente constante sobre un rango de presión

El fluido es compresible.

En la vida real, la mayoría de los fluidos son compresibles, luego la suposición de comprensibilidad es una aproximación

FluidosCompresibles

Incompresibles

La densidad de la masa cambia con la presión

La densidad de la masa permanece constante

Modelado de Sistemas Modelado de Sistemas FluFluíídicosdicos

La conservación de la masa

Para fluidos incompresibles, la conservación de la masa es equivalente a la conservación del volumen, debida a que la densidad se considera constante.

La tasa de flujo de volumen qv se relaciona con la tasa de flujo de masa qm, a través de la densidad de la masa ρ, según la ecuación (1):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

smq

mkg

skgq vm

3

3ρ (1)

Es la densidad del agua a presión atmosférica y temperatura estándar⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 31000mkgρ

La densidad del pesoTambién llamado peso específico, en el peso por unidad de volumen. Luego:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

233 smg

mkg

mN ργ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∗= 3

3108,9mNγ Es el peso específico del agua

(2)

Modelado de Sistemas Modelado de Sistemas FluFluíídicosdicosDensidad y presión

La presión P [Pa=N/m2] es la Fuerza por unidad de Área que es ejercida por el fluido. La presión atmosférica a nivel del mar es pa=1.0133x105 Pa

La presión hidrostática es la presión de un fluido en reposo y es causada por el peso del fluido.

[ ][ ] [ ]PamN

AFP ⇒= 2

Cuando la presión de un fluido es medida con un manómetro, se obtiene la presión medida respecto a la presión atmosférica. Por tanto:

abs 100133.1 ca)(Manométri 0 5 PaPa ∗=

Pabsoluta-Patmoférica=Pmedida (manométrica)

Ejemplo:

(3)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== 223 m

Nmsm

mKgghP ρ

La presión absoluta en el fondo del tanque considera la presión atmósferica!!. Entonces:

apghP += ρ

(4)


momi qqm −=& (5)

La Ley de Pascal establece que para un fluido en reposo es un sistema cerrado, el cambio de presión en un punto en el sistema será transmitido a través de todo el sistema. Si el movimiento de un fluido es suficientemente pequeño, la Ley de Pascal puede aplicarse.

La Ley de conservación de la masa

Para un contenedor que contiene un fluido de masa m, la tasa de cambio dm/dt será igual al flujo de masa total entrante menos el flujo de masa total saliente:

La masa del fluido m se relaciona con el volumen del contenedor V: Vm ρ= (6)

Para un fluido incompresible, siendo ρ constante: Vm && ρ= (7)


vovi qqV ρρρ −=&

Entonces, usando (6) y sustituyendo en (5):

La ecuación (8) establece la conservación del volumen y en consecuencia la conservación de la masa para fluidos incompresibles !!!

Según la ecuación (1):

vimi qq ρ= vomo qq ρ=

vovi qqV −=& (8)

donde qvi es el flujo de volumen entrante m3/s qvo es el flujo de volumen saliente. m3/s

Modelado de Sistemas Modelado de Sistemas FluidicosFluidicos usando le ley de la usando le ley de la conservaciconservacióón de la masan de la masa

momi qqm −=&

Considérese un tanque proveedor de agua:

Vm ρ=

(1)

Se requiere un modelo que permita conocer el nivel de líquido h(t) en el interior del tanque. A es el área de la sección transversal (m2)

Se tiene información del flujo de masa, luego:

)(tAhV =Sabemos que: )(tAhm ρ=

Entonces, sustituyendo en (1): ( )momimomi qqAdt

dhqqdtdhA −=⇒−=

ρρ 1

(2)


vovi qqV −=&

Considérese un tanque proveedor de agua:

(3)

Se requiere un modelo que permita conocer el nivel de líquido h(t) en el interior del tanque. A es el área de la sección transversal (m2)

En términos del flujo de volumen, entonces:)(tAhV =Sabemos que: Entonces, sustituyendo en (3):

( )vovivovi qqAdt

dhqqdtdhA −=⇒−=

1 (4)

Para completar el modelo es necesario expresar qmo ó qvo en términos de la altura h(t), en (2) ó (4) !!


momi qqm −=&

Considérese ahora un proceso de mezclado:

(1)

Observemos que si y so son densidades!!. Luego:

Sabemos que: Entonces, sustituyendo en (2):

(2)

Para completar el modelo es necesario expresar qvo en términos de la concentración so en (3) !!

Se requiere conocer la dinámica de la concentración de sal so en el flujo de salida qvo. Se considera que la mezcla en el interior del tanque mantienes un volumen constante de 600 m3

,.),( 00 issfsdtd

= ???

VsVm o== ρ

De la ley de la conservación de la masa:

Entonces, sustituyendo en (1):momio qqVs

dtd

−=

vm qq ρ=vooivooviio qssqsqsVs

dtd

−=−= 2 (3)


0=−=−= vowviwmomi qqqqm ρρ&

Considérese ahora un proceso de mezclado:

(4)Entonces:

Entonces sustituyendo en (4): Entonces, sustituyendo en (3):(5)

La ecuación (6) es el modelo del sistema !!

Observemos que existe otra concentración que no cambia en el tiempo que es la de la masa de agua!!! Entonces:

Considerando que:

smqvo

3

7=

( )oio ssV

sdtd 721

−= (6)

vovi qq −=0

sm

smqvi

33

52 +=

Ley de la continuidad y compatibilidad de los sistemas Ley de la continuidad y compatibilidad de los sistemas fluidicosfluidicos

Son leyes análogas a las leyes de Kirchoff en sistemas eléctricos.

Ley de la continuidad Establece la conservación de la masa (análoga a la LCK)

213 mmm qqq +=

0)()()( 133221 =−+−+− pppppp

Ley de la compatibilidad Establece la conservación de la energía (análoga a la LVK)

Fuentes de flujo

ps

p1 p2

ps =p2 - p1

Fuentes de presión

Capacitancia Capacitancia FluidicaFluidica

La Capacitancia Fluidica es la relación entre el cambio de la masa de flujo almacenada y el cambiode la presión causada por dicha masa.

CpmdpdmC

Pp

=⇒==

Vm ρ=

Dado que:

Dado que:

mqdtdm

=dtdpCqm = Análogo a la relación corriente

voltaje en un capacitor eléctrico

Esta relación es general tanto para sistemas hidráulicos como neumáticos. Sin embargo, para sistemas hidráulicos, se define la capacitancia fluidica como:

gACCC

pVCCpV ff ρρρ

ρ ==⇒==⇒=

(1)

Entonces, sustituyendo en la ecuación (1):

vff qpCpVC =⇒= & (2)

(3)

Capacitancia Capacitancia FluidicaFluidica

Otras referencias definen la capacitancia fluidica en términos del cambio en la altura y el cambio del volumen. Luego, a partir de la ecuación (2):

Con este definición, la capacitancia fluídica coincide con el área de la sección transversal del tanque !!!

VghgAVghCVpC

pVC fff =⇒=⇒=⇒= ρ

ρρ

ACVhC ff =⇒=

Análogo a la relación corriente voltaje en un capacitor eléctrico

(4)

vf qhC =&

DeterminaciDeterminacióón de la capacitancia n de la capacitancia fluidicafluidica en tanques de en tanques de almacenamientoalmacenamiento

Los tanques de almacenamiento fluidico son considerados como capacitores fluidicos. La determinación de su capacitancia dependerá de las características geométricas del tanque.

Tanques con paredes verticales:

DeterminaciDeterminacióón de la capacitancia n de la capacitancia fluidicafluidica en tanques con en tanques con paredes verticalesparedes verticales

AhVm ρρ ==La masa almacenada en el tanque, sea cilíndrico o rectangular es: (1)

La presión en la parte inferior del tanque es: ghp ρ= (2)

hAm ρ=De la ecuación (1):

gApmg

Amp =⇒=Sustituyendo en la ecuación (1): (3)

De la ecuación (3) y usando la definición de capacitancia:gA

pmC == (4)

De la definición de capacitancia y de la ley de la conservación de la masa:

momi qqdtdpC

dtdm

pmC −==⇒= )(1

momi qqCdt

dp−=

Modelado de sistemas hidrModelado de sistemas hidrááulicos con tanques de paredes ulicos con tanques de paredes verticalesverticales

)(1momi qq

Cdtdp

−=

( )momi qqAdt

dh−=

ρ1 ( )vovi qq

Adtdh

−=1

)( vovi qqCdt

dp−=

ρ


Los tanques de almacenamiento fluidico son considerados como capacitores fluidicos. La determinación de su capacitancia dependerá de las características geométricas del tanque.

Tanques con paredes no verticales:

En este caso, el área A (no constante) depende de la altura h

dxxAVmh

)(0∫== ρρ )(hA

dhdm ρ=y derivando:

)(hAdhdV

=ó también:

(1) (2)

(3)


ghAC

ghAC )(1)( =⇒=

ρρ

De la definición de Capacitancia:dpdh

dhdm

dpdmC ==

gdpdhghp

ρρ 1

=⇒=Dado que:

(3)

Entonces sustituyendo en (1) y usando (2):

(4)

Luego: gAC =

ghAC )(

=ó No depende de la propiedades del fluido!!


gLhD

ghAC )()(

==

Considérese un fluido almacenado en un tanque triangular. Encuentre un modelo para la presión en el fondo del tanque.

(3)

Sabemos que: (1))(1

momi qqCdt

dp−= Entonces, hay que determinar la capacitancia.!!!

)(22 θθ tghDh

Dtg =⇒=

Sabiendo que: ghp ρ=

(2)

Sustituyendo en (3): gptgDρ

θ )(2=

Observemos que: (3)

y sustituyendo en (2):

gL

gptgCρ

θ )(2= Finalmente sustituyendo en (1) considerando qmo=0: miq

tgLg

pdtdp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)(21 2

θρ

EDO no lineal!!(4)


LtghLhDhA )(2)()( θ==

Un modelo para la altura sería: (5)

Considerando:

(6)

Entonces, sustituyendo en (5):

EDO no lineal!!

miqhAdt

dh)(

1ρ

=

miqhtgLdt

dh 1)(2

1θρ

=

Resistencia Resistencia FluidicaFluidica

La Resistencia Fluidica es la relación entre el cambio de la presión y el cambio del flujo de masa.

)( mQqm

qfpdqdpR

m

=⇒==

En casos limitados, la relación (1) es lineal:

El fluído hace resistencia cuando pasa a través de una tubería, una válvula, un orificio. Para cada caso, existe un modelo para la resistencia.

mRqp =

(1)

En otros casos, la relación no lineal:Rpqm =

Si se quiere obtener un modelo lineal, entonces se definen las variables de desviación:

Ppp −=δ Qqq mm −=δy

(2)

(4)

(5) (6)

Resistencia Resistencia FluidicaFluidica

y de la definición de resistencia, aplicándola a (8):

mr qRp δδ = (7) donde Rr es la resistencia linealizadaalrededor del punto (P,Q)

Rpqm =2 (8)

(4)

Y se define la relación entre las variables perturbadas como:

En el caso de la ecuación (4) se tiene que:

RQdqdpR

Qqmr

m

2===

Siendo que en el punto de operación:RPQ = Entonces:

mmmr qRPRqRQqRp δδδδ 22 ===

mqRPp δδ 2= (9) Es la aproximación lineal de (4) !!!

Flujo Laminar y Flujo TurbulentoFlujo Laminar y Flujo Turbulento

La velocidad promedio de las partículas es menor a la velocidad actual

Laminar

(1)

Fluido en movimiento

La velocidad promedio de las partículas es aproximadamente igual a la velocidad actual

Para el flujo laminar, la relación lineal entre el flujo de masa y la presión se cumple !!

Para el flujo laminar, la resistencia para una tubería de diámetro D y longitud L es dada por la fórmula de Hagen Poiseuille:

4

128D

LRπρ

μ=

pR

q m1

=

(3)

Turbulento

(2)

Sustituyendo (2) en (1):p

DLq m =4

128πρ

μ

donde μ es la viscosidad del fluído

Flujo Laminar y Flujo TurbulentoFlujo Laminar y Flujo Turbulento

Siendo que

(4)RgD

Lg

RghD

Lq fv11281128

44 ==⇒=πρ

μρπρ

μρ

vm qq ρ= ghp ρ=y Entonces, manipulando la ecuación (3):

44

128128D

LRpD

Lq fv πμ

πρμρ =⇒=

hRq fv =

pRq fv = (5)

Las ecuaciones (4) y (5) constituyen otras definiciones para la resistencia fluídica, en el caso del fluido laminar !!!

El nEl núúmero de Reynoldsmero de Reynolds

μρvDNe =

[ ]2

3

ms

m

Aq

smv v

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

4

22 DrA ππ ==

Para determinar la existencia de flujo laminar, se usa como referencia el número de Reynolds Ne:

(1)

donde v es la velocidad promedio del fluido y D es el diámetro del tubo.

Considerando que:

donde A es el área de la sección transversal del tubo y siendo que:

(2)

(3)

Entonces, sustituyendo (3) en (2):2

4Dqv v

π= Permite estimar la velocidad promedio,

para el cálculo del número de Reynolds

Si Ne>2300

Si Ne<2300 Laminar

Turbulento

El Principio de TorricelliEl Principio de Torricelli

Según Torricelli: La tasa de flujo a través de un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de presión

Considerando que Ep=Ec, entonces (1)

donde v es la velocidad de la masa del fluido a nivel del orificio

ghvmvmgh 22

2

=⇒=

Dado que la caída de presión a través del orificio es: ghp ρ=

entonces, sustituyendo en (1):ρpv 2= (3)


A partir de la Ley de la Conservación de la Masa y de las ecuaciones de continuidad para fluidos, se establece que:

(4)

El flujo real debe ser menor, considerando los efectos de fricción, entonces, introduciendo un coeficiente de descaraga Cd en la ecuación (5) se tiene que el flujo a través del orificio es:

vAqAvq mv ρ=⇔=

donde A es el área de la sección transversal de la tubería y v es la velocidad del fluido

En base a la ecuación (4), la tasa de flujo de masa máximo a través del orificio será:

vAq om ρ=max pApAq oom ρρ

ρ 22max == (5)

ghACqpACq odvodm 22 =⇔= ρ

vm qq ρ=

(6)


Observemos de la ecuación (6) que:

omodm R

pqpACq =⇒= ρ2 (7)

Donde la resistencia del orificio Ro es:ρ2

122od

o ACR =

Nótese que la ecuación (7) muestra una relación no lineal entre el flujo de masa, la presión a y la resistencia Ro !!!

Ejemplos de Sistemas HidrEjemplos de Sistemas Hidrááulicosulicos

Sistema de nivel de líquido con orificio

Según la Lay de la Conservación de la Masa:

( )vovi qqAdt

dh−=

1

( )hgACqAdt

dhodvi 21

−=

viqA

hRAdt

dh 11+−=

),( uxfdtdx

=

EDO No lineal!!


Sistema de nivel de líquido con resistencia


( )momi qqAdt

dh−=

ρ1

RPap

q fmo

−=

EDO lineal!!

Presión absoluta de fondo

Paghp f += ρ

De la definición de resistencia:

Rgh

RPaPaghqmo

ρρ=

−+=

Considerando la presión en el fondo del tanque:

Finalmente:

Entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

fvi

fvimi R

hqCR

ghqAdt

dhRghq

Adtdh 111 ρρ

ρρ

ρ


Sistema de nivel de líquido con resistencias


( )momi qqAdt

dh−=

ρ1

1

1

Rpp

q fmi

−=

EDO lineal!!

P1 Paghp f += ρ


11 Rghp

RPaghpPaq ss

miρρ −

=−−+

=

Considerando que:

Entonces, sustituyendo en (2) y (3):

Finalmente, sustituyendo (4) y (5) en (1):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

21

1Rgh

Rghp

Adtdh s ρρ

ρ

Presión de fondo

2Rpp

q afmi

−=(2) (3)

(1)

sa pPp +=1

22 Rgh

RPaPaghqmo

ρρ=

−+=(4) (5)


Sistema de distribución de agua


( )momi qqAdt

dh−=

ρ1

1

21

Rppqmi

−=

EDO lineal!!

PaLhgp ++= )(2 ρ


RLhgp

RPaLhgpPaq ss

mi)()( +−

=−+−+

=ρρ

Considerando que:

Entonces, sustituyendo en (3) y (4) en (2):

Finalmente, sustituyendo (5) en (1):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−= mo

s qR

LhgpAdt

dh )(1 ρρ

(1)

(2)

sa pPp +=1

(5)

P1P2

Pa

(3) (4)

InertanciaInertancia FluidicaFluidica

La Inertancia Fuidica se define como la razón de la presión necesaria para generar un cambio en la tasa de flujo de masa, esto es:

mqdtd

pI =

Cálculo de la Inertancia

La inertancia, en general, puede despreciarse cuando el flujo es pequeño o cuando el movimiento del flujo es a tasa constante. En algunos conductos muy largos o con secciones de área transversal pequeña, la inertancia puede ser significativa. Considerando que:

Consideremos el movimiento de una partícula en una tubería. La partícula tiene longitud L, velocidad v., p1 y p2 son presiones, A es la sección de área transversal de la tubería.

ALVm ρρ ==

(1)

(2)

La masa de la partícula es:

La fuerza neta actuante sobre la partícula es:

AppF )( 12 −=

Entonces, aplicando la 2da. Ley de Newton usando (2) y (3): AppdtdvAL )( 12 −=ρ

(2)

(3)

(4)

InertanciaInertancia FluidicaFluidica

Por otro lado: dtdvA

dtdqAvq m

m ρρ =⇒= (5) Sustituyendo (5) en (4):

)( 12 ppAqA

ALm −=&

ρρ

)( 12 ppqAL

m −=& Iq

ppAL

m

=−

=&

)( 12

En algunas referencias se define la inertancia en términos de la tasa de flujo de volumen y la diferencia de altura, luego de la ecuación (6):

(6)

Iq

hhAgL

qhhg

AL

vv

=−

=⇒−

=&&

)()( 1212

ρρ

En otras referencias se define la inertancia en términos de la tasa de flujo de volumen y la presión, luego de la ecuación (6):

Iq

ppA

Lq

ppAL

vv

=−

=⇒−

=&&

)()( 1212 ρρ

Modelado de Sistemas Fluidicos

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