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Índice

Unidad 4 Series.

Introducción ______________________________________________________ 2

4.1 Definición de Series ____________________________________________ 34.1.1 Finita. ______________________________________________________ 4

4.1.2 Infinita. _____________________________________________________ 4

4.2 Serie numérica y convergencia rue!a de "a ra#ón $criterio de D%&"em!ert' y

rue!a de "a ra(# $criterio de )auc*y'. _________________________________ +

4.3 Serie de ,otencias. _____________________________________________ -

4.4 adio de convergencia. __________________________________________ -

4.+ Serie de /ay"or. ________________________________________________ 0

4.- e,resentación de funciones mediante "a serie de /ay"or. _______________ 0

4.0 )"cu"o de Integra"es de funciones e,resadas como serie de /ay"or. ______

)onc"usión ______________________________________________________ 12

i!"iograf(a ______________________________________________________ 13

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Introducción

5n esta investigación se encontrara todo "o necesario6 ,ara 7ue se tenga una idea

ms concreta de "o 7ue son "as series6 con su res,ectiva definición y e8em,"os6

,ara "ograr un me8or entendimiento y sa!er de me8or manera como ,oder a,"icar 

"as series9 dado a 7ue eisten diferentes conce,tos ,ero en esta investigación6

,odr encontrar "o 7ue en rea"idad de!e sa!er de" tema a tratar.

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4.1 Definición de serie

Una serie es "a suma indicada de "os términos de una sucesión. &s(6 de "as sucesiones anteriores o!tenemos "as series

1:4::1-:2+

)uando e" n;mero de términos es "imitado6 se dice 7ue "a sucesión o serie esfinita. )uando e" n;mero de términos es i"imitado6 "a sucesión o serie se ""ama unasucesión infinita o una serie infinita.

5" término genera" o término enésimo es una e,resión 7ue indica "a "ey de "aformación de "os términos

58em,"o<

5n "a ,rimera sucesión anterior6 e" término genera" o término enésimo es n2. 5",rimer término se o!tiene *aciendo n=16 e" décimo termino *aciendo n=1>

5n matemticas6 una serie es "a genera"i#ación de "a noción de suma a "ostérminos de una sucesión infinita. Informa"mente6 es e" resu"tado de sumar "os

términos< a1 : a2 : a3 : ? ? "o cua" sue"e escri!irse en forma ms com,acta con e"s(m!o"o de sumatorio<

.

5" estudio de "as series consiste en "a eva"uación de "a suma de un n;merofinito n de términos sucesivos6 y mediante un ,asa8e a" "(mite identificar e"com,ortamiento de "a serie a medida 7ue n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena finita6 tiene un ,rimer y ;"timo término !ien definidos9 encam!io en una serie infinita6 cada uno de "os términos sue"e o!tenerse a ,artir de

una determinada reg"a o fórmu"a6 o ,or a"g;n a"goritmo. &" tener infinitos términos6esta noción sue"e e,resarse como serie infinita6 ,ero a diferencia de "as sumasfinitas6 "as series infinitas re7uieren de *erramientas de" an"isis matemtico ,araser de!idamente com,rendidas y mani,u"adas.

5iste una gran cantidad de métodos ,ara determinar "a natura"e#a deconvergencia o no@convergencia de "as series matemticas6 sin rea"i#ar e,"(citamente "os c"cu"os.

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4.1.1 Finita.

Una serie numérica es un con8unto es,ecia" de n;meros 7ue se formaordenadamente siguiendo determinada "ey o condición6 as( ,or e8em,"o.

26 46 -6 A6 1>6 126 1426 46 A6 1-6 326 -46....16 1B26 1B36 1B46 1B+36 -6 1>6 126 146 2>

)uando "a sucesión tiene un ;"timo término se dice 7ue "a sucesión es finita.

 x i  = > ,ara todo i  C n y y i  = > ,ara todo i  C m. 5n este caso e" ,roducto de

)auc*y de

or "o tanto6 ,ara series finitas $7ue son sumas finitas'6 "a mu"ti,"icación de )auc*yes directamente "a mu"ti,"icación de "as series.

i = > ,ara todo i C n y yi = > ,ara todo i C m.

5n este caso e" ,roducto de )auc*y de y se verifica es

.

or "o tanto6 ,ara series finitas $7ue son sumas finitas'6 "a mu"ti,"icación de )auc*yes directamente "a mu"ti,"icación de "as series.

4.1.2 Infinita.

5s un arreg"o ordenado de numeros rea"es6 uno ,ara cada entero ,ositivo. asforma" mente una sucesión infinita es una funcion cuyo dominio es e" con8unto deenteros ,ositivos y cuyo rango es un con8unto de numeros rea"es. odemosindicar una sucesion mediante a1 6a2 6a36....6 sim,"emete ,or Ean

Se ,uede es,ecificar una sucesion dando suficientes terminos inicia"es ,araesta!"ecer un ,atron como en

16 46 06 1>6 136 ....

mediante una formu"a e,"icita ,ara e" n@énesimo termino6 como en

an = 3n@26 n G 1

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ara a"guna 6 sea y . 5ntonces

or definición y "a fórmu"a !inomia". Dado 7ue6 forma"mente6

y 6 se *a demostrado 7ue . )omo e"

"(mite de" ,roducto de )auc*y de dos series a!so"utamente convergentes es igua"

a" ,roducto de "os "(mites de esas series6 se *a demostrado ,or "o tanto "a

fórmu"a e,$a : b' = e,$a'e,$b' ,ara todo .

4.2 Serie numérica y convergencia rue!a de "a ra#ón $criterio de D%&"em!ert' y rue!a de "a ra(# $criterio de )auc*y'.

)arcter de una serie.

)onvergente< )uando "a suma es un n;mero rea".

Divergente< )uando "a suma da : o @ infinito.

Hsci"ante< )uando no es ninguna de "as anteriores.

)onvergencia de series con so"o términos ,ositivos

/eorema 1< /oda serie de términos ,ositivos es convergente o divergente6 ,eronunca osci"ante.

/eorema 2< &"terando ar!itrariamente e" orden de "os términos6 descom,oniendoar!itrariamente cada uno de "os sumandos6 no se a"tera e" carcter de "a serie6 nivar(a su suma.

)riterio de )auc*y o de "a a(#. )a"cu"amos<Si J 1 "a serie converge $Fin'

Si C 1 "a serie diverge $Fin'

Si = 1 no sa!emos $)ontinuar'

Funciona con< $ 'n6 $ ',$n'

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)riterio de DK&"em!ert o de" cociente. )a"cu"amos<Si J 1 "a serie converge $Fin'

Si C 1 "a serie diverge $Fin'Si = 1 no sa!emos $)ontinuar'

Funciona con< n 6 n L 6 Semifactoria"es $ 1?3?+ ? ? ? ? ? $2n:1''

4.3 Serie de ,otencias

Una serie de ,otencias a"rededor de => es una serie de "a forma<

Una serie de ,otencias a"rededor de =c es una serie de "a forma<

5n e" cua" e" centro es c6 y "os coeficientes son "os términos de una sucesión.

Memos visto anteriormente "os criterios de convergencia ,ara series de n;merosrea"es ,ositivos o a"ternados. Uti"i#ando toda esta ri7ue#a ana"(tica vamos a

ocu,arnos de investigar e" com,ortamiento de una serie de funciones6 en,articu"ar6 de ,otencias6 cuya convergencia va a de,ender de" va"or de "a varia!"e. 5s as( como ,odremos introducir e" conce,to de radio de convergencia .Dentro de" interva"o $@6 ' "a serie ser convergente6 fuera6 divergente6 y en "os,untos de frontera6 es decir6 en =@ e y=6 de!eremos estudiar "as seriesnuméricas asociadas a estos dos ,untos ,ara determinar "a convergencia odivergencia de "a serie de ,otencias en e""os.

4.4 adio de convergencia

5" radio de convergencia de una serie de "a forma 6 con6 viene dado ,or "a e,resión<

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Si nos "imitamos a" con8unto de "os n;meros rea"es6 una serie de "a

forma 6 con 6 reci!e e" nom!re de serie de

,otencias centrada en . Na serie converge a!so"utamente ,ara un con8unto deva"ores de 7ue verifica 7ue 6 donde r  es un n;mero rea" ""amadoradio de convergencia de "a serie. 5sta converge6 ,ues6 a" menos6 ,ara "os va"ores

de ,ertenecientes a" interva"o 6 ya 7ue "a convergencia ,ara "osetremos de este *a de estudiarse a,arte6 ,or "o 7ue e" interva"o rea" deconvergencia ,uede ser tam!ién semia!ierto o cerrado. Si "a serie converge so"o,ara 6 . Si "o *ace ,ara cua"7uier va"or de 6

4.+ Serie de /ay"or 

5n matemticas6 una serie de /ay"or de una función f(x)  infinitamente deriva!"e$rea" o com,"e8a' definida en un interva"o a!ierto $a-r, a+r ' se define como "asiguiente suma<

 

 &7u(6 n!  es e" factoria" de n y f  $n'$a' indica "a n@ésima derivada de f  en e" ,unto a.Si esta serie converge ,ara todo x  ,erteneciente a" interva"o $a-r, a+r ' y "a suma esigua" a f $ x '6 entonces "a función f $ x ' se ""ama ana"(tica. ara com,ro!ar si "a serie

converge a f $ x '6 se sue"e uti"i#ar una estimación de" resto de" teorema de /ay"or.Una función es ana"(tica si y so"o si se ,uede re,resentar con una serie de,otencias9 "os coeficientes de esa serie son necesariamente "os determinados en"a fórmu"a de "a serie de /ay"or.Si a = >6 a "a serie se "e ""ama serie de cNaurin.5sta re,resentación tiene tres venta8as im,ortantes<Na derivación e integración de una de estas series se ,uede rea"i#ar término atérmino6 7ue resu"tan o,eraciones trivia"es.

Se ,uede uti"i#ar ,ara ca"cu"ar va"ores a,roimados de "a función.

5s ,osi!"e demostrar 7ue6 si es via!"e "a transformación de una función a unaserie de /ay"or6 es "a ó,tima a,roimación ,osi!"e.

 &"gunas funciones no se ,ueden escri!ir como serie de /ay"or ,or7ue tienena"guna singu"aridad. 5n estos casos norma"mente se ,uede conseguir undesarro""o en serie uti"i#ando ,otencias negativas de x  $véase Serie de Naurent.or e8em,"o f $ x ' = e,$O1B x P' se ,uede desarro""ar como serie de Naurent

4.- e,resentación de funciones mediante "a serie de /ay"or 

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5n matemticas6 una serie de /ay"or de una función f$' infinitamente deriva!"e$rea" o com,"e8a' definida en un interva"o a!ierto $a@r6 a:r' se define como "asiguiente suma<

 &7u(6 nL es e" factoria" de n y f $n'$a' indica "a n@ésima derivada de f en e" ,unto a.

Si esta serie converge ,ara todo ,erteneciente a" interva"o $a@r6 a:r' y "a suma esigua" a f$'6 entonces "a función f$' se ""ama ana"(tica. ara com,ro!ar si "a serieconverge a f$'6 se sue"e uti"i#ar una estimación de" resto de" teorema de /ay"or.Una función es ana"(tica si y so"o si se ,uede re,resentar con una serie de,otencias9 "os coeficientes de esa serie son necesariamente "os determinados en"a fórmu"a de "a serie de /ay"or.

Si a = >6 a "a serie se "e ""ama serie de ac"aurin

5sta re,resentación tiene tres venta8as im,ortantes<

Na derivación e integración de una de estas series se ,uede rea"i#ar término atérmino6 7ue resu"tan o,eraciones trivia"es.

Se ,uede uti"i#ar ,ara ca"cu"ar va"ores a,roimados de "a función.

5s ,osi!"e demostrar 7ue6 si es via!"e "a transformación de una función a unaserie de /ay"or6 es "a ó,tima a,roimación ,osi!"e.

 &"gunas funciones no se ,ueden escri!ir como serie de /ay"or ,or7ue tienena"guna singu"aridad. 5n estos casos norma"mente se ,uede conseguir undesarro""o en serie uti"i#ando ,otencias negativas de $véase Serie de Naurent.or e8em,"o f$' = e,$O1BP' se ,uede desarro""ar como serie de Naurent. Na seriede /ay"or de una función f de n;meros rea"es o com,"e8os 7ue es infinitamentediferencia!"e en un entorno de n;meros rea"es o com,"e8os a6 es "a serie de,otencias<

7ue ,uede ser escrito de una manera ms com,acta como

Donde nL es e" factoria" de n y f $n'$a' denota "a n@ésima derivada de f en e" ,untoa9 "a derivada cero de f es definida como "a ,ro,ia f y $ O a'> y >L son am!os

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definidos como uno.

4.0 )"cu"o de Integra"es de funciones e,resadas como serie de/ay"or 

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5ste teorema ,ermite o!tener a,roimaciones ,o"inómicas de una función en unentorno de cierto ,unto en 7ue "a función sea diferencia!"e. &dems e" teorema,ermite acotar e" error o!tenido mediante dic*a estimación.

Na serie de /ay"or de una función f de n;meros rea"es o com,"e8os 7ue esinfinitamente diferencia!"e en un entorno de n;meros rea"es o com,"e8os6 es "aserie de ,otencias<

H en forma com,acta<

Que ,uede ser escrito de una manera ms com,acta como donde nL es e" factoria"de n yf$n'$a' denota "a n@ésima derivada de f en e" ,unto a9 "a derivada cero de f esdefinida como "a ,ro,ia fy$O a'> y >L son am!os definidos como uno.

)&SH D5 UR& &I&N55ste teorema ,ermite a,roimar una función deriva!"e en e" entorno reducidoa"rededor de un ,unto a< 5 $a6 d' mediante un ,o"inomio cuyos coeficientesde,enden de "as derivadas de "a función en ese ,unto. s forma"mente6 si n G >

es un entero y una función 7ue es deriva!"e n veces en e" interva"o cerrado Ta6 y n :1 veces en e" interva"o a!ierto $a6 '.

Donde denota e" factoria" de 6 y es e" resto6 término 7ue de,ende de

VV y es ,e7ueWo si est ,róimo a" ,unto . 5isten dos e,resiones ,ara7ue se mencionan a continuación<

Donde y VV6 ,ertenecen a "os n;meros rea"es6VnV a "os enteros y es un

n;mero rea" entre y VV<

Si es e,resado de "a ,rimera forma6 se "o denomina /érminocom,"ementario de Nagrange6 dado 7ue e" /eorema de /ay"or se e,one comouna genera"i#ación de" /eorema de" va"or medio o /eorema de Nagrange6 mientras

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7ue "a segunda e,resión de muestra a" teorema como una genera"i#ación de"/eorema fundamenta" de" c"cu"o integra".

ara a"gunas funciones 6 se ,uede ,ro!ar 7ue e" resto6 6 sea,roima a cero cuando se acerca a" X9 dic*as funciones ,ueden ser e,resadas

como series de /ay"or en un entorno reducido a"rededor de un ,unto VaV y sondenominadas funciones ana"(ticas.

5" teorema de /ay"or con e,resado de "a segunda forma es tam!ién

v"ido si "a función tiene n;meros com,"e8os o va"ores vectoria"es. &demseiste una variación de" teorema de /ay"or ,ara funciones con m;"ti,"es varia!"es.

)&SH D5 &I&S &I&N5S

5" teorema de /ay"or anterior ,uede genera"i#arse a" caso de varias varia!"es

como se e,"ica a continuación. Sea una !o"a en R centrada en e" ,unto a6 y f una función rea" definida so!re "a c"ausura cuyas derivadas ,arcia"es de ordenn:1 son todas continuas en cada ,unto de "a !o"a. 5" teorema de /ay"or esta!"ece

7ue ,ara cua"7uier<

Donde "a suma se etiende so!re "os mu"ti@(ndices Y $esta fórmu"a usa "a notaciónmu"ti@(ndice'. 5" resto satisface "a desigua"dad<

ara todo Y con ZYZ=n:1. /a" como sucede en e" caso de una varia!"e6 e" resto,uede e,resarse e,"(citamente en términos de derivadas su,eriores

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)onc"usión

5n !ase a "a investigación 7ue se rea"i#ó ,ara ,oder reco,i"ar esta información se

sustra8eron datos de diferentes "i!ros de autores muy reconocidos de c"cu"o ya

7ue estos ,ersona8es tuvieron "a ca,acidad de ,"asmar su investigación ,ara 7ue

se "ograra entender ms concretamente "o 7ue son "as series y sus diferentes

com,"ementos 7ue contiene6 dado 7ue este ,uede entender de diferente manera

,ero en "o 7ue es ca"cu"o tiene una definición ,ro,ia.

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i!"iograf(a

)a"cu"o diferencia" $matemticas 1' Narson Mostet"er 5d[ards

Diferencial e integral (granville