Cap 4 Corriente Resistencia y FEM

Captulo 4

Corriente, resistencia y fuerza electromotriz (FEM) 4.1 Introduccin Se ha estudiado anteriormente las cargas en estado de reposo, las cuales definan campos elctricos. Ahora se estudiarn las cargas en movimiento que adems de campos elctricos definirn campos magnticos. En un proceso de polarizacin o de distribucin de carga, se produce un flujo de cargas momentneo. Ahora se estar interesado en el flujo continuo de cargas elctricas. Si se tiene un cuerpo neutro conductor entre dos cargas de signos opuestos, se verificar un movimiento de cargas hasta que la diferencia de potencial entre sus extremos se anule. Para lograr mantener esa diferencia de potencial y por lo tanto mantener las cargas en movimiento, se deber conectar entre sus extremos un elemento que mantenga la diferencia de potencial. Este elemento viene a ser una batera. En general, cuando el movimiento de cargas elctricas se realiza dentro de una trayectoria conductora que forma un circuito cerrado, a la trayectoria conductora se le denomina circuito elctrico. Estos circuitos elctricos son medios de transporte de energa de un punto mediante la transferencia de energa potencial elctrica desde una fuente (batera o generador) hacia elementos que la almacenen o la conviertan en otras formas de energa. 4.2 La corriente Definicin de corriente Una corriente es cualquier movimiento de cargas de una regin a otra. Se define como el flujo de cargas elctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un rea transversal. Para un conductor que tiene una diferencia de potencial entre sus extremos, la carga positiva se mover del potencial mayor al potencial menor. A travs de una seccin transversal del conductor en un instante dt fluye una carga neta dq establecindose una corriente elctrica i

dtdqi =

La unidad SI de la corriente elctrica viene a ser una unidad fundamental denominada Amperio que se define como carga por unidad de tiempo:

sCA 11 =

Captulo 4: Corriente, resistencia y fuerza electromotriz

Velocidad de Arrastre y corriente convencional Si no hay campo elctrico dentro de un material conductor, las partculas cargadas se mueven al azar dentro de material. Un electrn libre cualquiera se desplazar siguiendo una trayectoria aleatoria de tal modo que pasar de un punto P1 a otro P2 en un tiempo t. Como el movimiento de los otros electrones tambin es aleatorio, no existir flujo neto de carga en ninguna direccin. Si ahora se le somete a un campo elctrico E

(como

consecuencia de la diferencia de potencial aplicada) la fuerza elctrica EF

q= provocar un pequeo arrastre en el movimiento aleatorio de modo que se puede pensar que el punto P2 final en la trayectoria del electrn ahora se ubica en P2 situado a una distancia vt en la direccin de la fuerza elctrica como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Movimiento de un electrn sin campo elctrico (trayectoria P1P2) y con campo elctrico (trayectoria P1P2). En un medio conductor debido a la gran cantidad de electrones libres alrededor de los ncleos de los tomos, los electrones avanzan con cierta dificultad al rebotar con cada tomo, por lo cual se puede considerar que la velocidad de movimiento es constante. A dicha velocidad v se le denomina velocidad de arrastre. Como se sabe, en realidad son los electrones los que fluyen. Pero como el movimiento de una carga positiva a travs de la seccin de un conductor es equivalente desde el punto de vista de balance de carga al movimiento de una carga negativa en direccin contraria a travs de dicha seccin, se tomar por convencin que el flujo de cargas es de cargas positivas. Esto origina la corriente convencional, la cual es de las cargas positivas como se ve en la figura 4.2. De aqu en adelante se le llamar corriente a la corriente convencional.

Figura 4.2 (a) La corriente real es de cargas negativas mientras que (b) la corriente convencional es de cargas positivas.

vt

E

P1

P2 P2

v v

v v

v v

E

E

E

E

v v

v v

v v

(a) (b)

2


Densidad de corriente Ahora, si se considera un conductor con n cargas libres por unidad de volumen y que en un volumen determinado V de carga pasa por una seccin del conductor en un determinado tiempo t como se ve en la figura 4.3.

Figura 4.3 Corriente elctrica a travs de un conductor

las carga neta que pasa por la seccin S de rea A del conductor ser:

nVeQ =

Donde e es la carga de un protn. Se tiene entonces que la corriente i es:

nAevdtdlnAe

dtnAled

dtnVed

dtdQi ===== )()(

Donde v es la velocidad de arrastre y es igual a tl

dtdlv == con lo cual:

La densidad de corriente j

es un vector cuya magnitud representa cuanta corriente por

unidad de rea est pasando en ese momento en un punto dentro de un conductor. Vectorialmente se tiene que el vector densidad de corriente se puede representar por:

en vj =

A nivel diferencial se tiene: Aj

ddi =

nAvei =

nveAij ==

= Aj

di

3


Si se tiene un cuerpo con seccin transversal variable (representada en la figura 4.3 por reas diferentes A1, A2 y A3), la corriente i no vara porque la cantidad de carga por unidad de tiempo que fluye ser la misma ya que en un conductor no hay concentracin de carga. As mismo, se muestra un corte longitudinal de un conductor de seccin variable. En realidad pueden existir fugas de corriente por las paredes del conductor que se disminuyen si se le rodea con un medio dielctrico.

Figura 4.4 Cuerpo atravesado por una corriente constante. Se puede ver que la densidad de corriente es distinta

para diferentes puntos del cuerpo. 4.3 La resistencia 4.3.1 La resistividad La resistividad es una propiedad de un material que indica el grado de dificultad que encuentran los electrones en sus desplazamientos. Esta propiedad se cumple slo para materiales isotrpicos, es decir, para aquellos cuyas propiedades elctricas son las mismas en todas direcciones. Se designa por la letra griega rho minscula () y se mide en ohms por metro (m, a veces tambin en mm/m).La conversin de m a mm/m resulta de multiplicar la unidad inicial por 1x10-6. Su valor describe el comportamiento de un material frente al paso de corriente elctrica, por lo que da una idea de lo buen o mal conductor que es. Un valor alto de resistividad indica que el material es mal conductor mientras que uno bajo indicar que es un buen conductor.

Definicin la resistividad en funcin del campo elctrico y la densidad de corriente

La densidad de corriente j

depende del campo elctrico E

y de las caractersticas del material. A una determinada temperatura, es casi directamente proporcional al campo elctrico E

y el cociente de las magnitudes E y j es una constante.

La resistividad de un material es el cociente de las magnitudes del campo elctrico y la densidad de corriente que es generada por dicho campo.

i i i A1 A2 A3

jE

=

4


Los buenos conductores poseen valores de resistividad muy pequeos lo que significa que necesitan un campo muy pequeo para producir grandes valores de densidad de corriente, es decir, tienen una mayor facilidad para que los electrones fluyan. Por el contrario los aislantes tienen valores de resistividad muy pequeos. Un material conductor perfecto (superconductor) tendra una resistividad de cero y un aislante perfecto tendra una resistividad de valor infinito. El recproco de la resistividad es la conductividad que tiene unidades SI de ( ) 1 m

Algunos valores de resistividad se pueden ver en la tabla 4.1.

Tabla 4.1 Algunos valores de resistividad de diferentes materiales a 20oC.

Material Resistividad (m) Plata 1,55 x 10-8 Cobre 1,70 x 10-8 Oro 2,22 x 10-8

Aluminio 2,82 x 10-8 Wolframio 5,65 x 10-8

Nquel 6,40 x 10-8 Hierro 8,90 x 10-8 Platino 10,60 x 10-8 Estao 11,50 x 10-8

Acero inoxidable 72,00 x 10-8 Grafito 60,00 x 10-8

Variacin de la resistividad dependiendo de la temperatura La resistividad depende de la temperatura. Esta resistividad variar tan solo si es un material conductor. Se estudiar cuatro casos de materiales conductores: cuando es metlico, cuando es no metlico, cuando es superconductor y cuando es una aleacin Un material metlico La resistividad de un conductor metlico casi siempre aumenta al aumentar la temperatura. Al aumentar la temperatura, los iones de un conductor vibran con mayor amplitud, lo que hace ms probable que un electrn choque con un ion lo que impide el arrastre de los electrones por el conductor y por lo tanto la corriente. Generalmente la resistividad de los metales aumenta con la temperatura, mientras que la resistividad de los semiconductores disminuye ante el aumento de la temperatura. La forma como vara la resistividad conforme a la temperatura se puede ver en la figura 4.5 a). Sin embargo, esta caracterstica puede aproximarse a una variacin lineal que cumple:

( ) ( )[ ]00 1 TTT +=

5


Se lleva la curva cuadrtica a una recta aproximada a la temperatura T0, la cual es 20oC. As mismo, el valor de 0 es la resistividad del material a 20

oC. Esto ayuda en el caso que se trabaja a temperaturas parecidas a la temperatura ambiente. En casos extremos esta aproximacin no es vlida. A se le conoce como coeficiente de temperatura de la resistividad, siendo positivo para el caso de un material metlico, tal como se ve en la figura 4.5 a). Un material no metlico Para el caso de un no metal (por ejemplo del grafito) la resistividad disminuye al aumentar la temperatura pues a mayor temperatura, mayor cantidad de electrones son arrancados de sus tomos, por esto sera negativo. Un material superconductor

Algunos materiales presentan un fenmeno conocido como superconductividad. Cuando disminuye la temperatura, la resistividad disminuye suavemente hasta llegar a cierta temperatura crtica Tc, donde se produce una transicin de fase y la resistividad cae a cero sbitamente tal como como se muestra en la figura 4.5 b). Por lo tanto una vez establecida la corriente, sta se mantendr sin necesidad de que exista una fuente que mantenga el campo elctrico. La superconductividad ocurre en una gran variedad de materiales, incluyendo elementos simples como el estao y el aluminio, diversas aleaciones metlicas y algunos semiconductores fuertemente dopados. La superconductividad no ocurre en metales nobles como el oro y la plata, ni en la mayora de los metales ferromagnticos.

Hasta ahora no se conoce ningn caso de superconductor cuya temperatura crtica sea superior a los 185K, unos -88oC, a presin ambiente.

Figura 4.5 Caracterstica de la resistividad en funcin de la temperatura para un material conductor y un superconductor.

En las aleaciones La resistividad de las aleaciones es prcticamente independiente de la temperatura.

T0 T

0

(T) Aprox. Lineal Pendiente =0

a) Metlico

Tc T

(T)

(b) Superconductor

6


4.3.2 La resistencia La resistencia es la oposicin que presenta un cuerpo al paso de corriente, la cual depende del material y de la geometra del cuerpo.

El diferencial de resistencia es definido por: dlA

dR =

De manera que la resistencia total est definida por:

La unidad SI para la resistencia es el ohm que se representa por la letra griega . La representacin grfica de un elemento con una determinada resistencia se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6 Representacin simblica de la resistencia

4.3.3 La ley de Ohm Cuando las cargas elctricas se desplazan a velocidad constante, son llevadas por un campo elctrico E

, desde un potencial positivo a un potencial negativo o en general de un punto de

mayor potencial a otro de menor potencial, por lo cual pierden energa potencial elctrica como se esquematiza en la figura 4.7.

Figura 4.7 Variacin del potencial de una carga en su recorrido a travs de un conductor

= dlAR

V

A

dl

dl E 1 2

V

+ -

R

7


El trabajo de la fuerza elctrica por unidad de cargas ser igual a la prdida de energa potencial por unidad de carga:

dVdqdW == lE

Integrando se tiene:

( ) VV-VVVdW 2112 ==== 2

1

lE

Conociendo que jE = y Aij = se tiene:

( ) ===2

1

2

1

2

1

dlAidljdlEV

La corriente i no vara en el conductor, y A pueden variar en funcin de la longitud del conductor, por lo tanto:

=2

1

dlA

iV

Se ha visto que = dlAR , llegando de esta manera a la siguiente expresin:

iRV =

La cual representa la Ley de Ohm. Esta expresin puede ser reescrita de la siguiente manera:

RVi =

De esta manera se llega a la siguiente interpretacin: La intensidad de la corriente elctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo:

De la Ley de Ohm, se obtiene la siguiente equivalencia:

AV11 =

Esto significa que para cualquier punto la relacin entre la diferencia de potencial aplicado y la corriente establecida es una constante. Se ve que a mayor resistencia del conductor, para una misma diferencia de potencial, se establecer una corriente pequea y viceversa. Por ejemplo en el filamento muy fino de en una bombilla elctrica tiene una resistencia de 140 por lo que al establecerse una diferencia de potencial, se desarrolla una pequea corriente que calienta al filamento al rojo vivo y la energa proporcionada se convierte en luz y en calor. Un alambre conductor para una instalacin domstica (calibre 12 y 100 m de longitud) tiene por ejemplo una resistencia de 0.5 . Se emplean entonces conductores de baja resistividad y seccin transversal grande para minimizar la generacin de calor y aumentar la cantidad de corriente conducida.

8


Se haba visto que la resistividad de un material variaba con la temperatura, luego, la resistencia de un conductor especfico tambin lo hace y se puede aproximar (tal como se hizo para la resistividad) la variacin a una tendencia lineal:

Un material que depende de la ley de Ohm se conoce como conductor hmico o lineal donde es constante e independiente del valor de E. Por el contrario aquellos materiales cuyo comportamiento se aleja de la ley de Ohm se conocen como no hmicos o no lineales La unidad SI para la resistividad ser:

[ ] [ ][ ]

==

AmV

mAmV

2

De la ley de Ohm, se obtiene que:

AV11 = Con lo cual, la unidad SI de la resistividad ser m (ohm-metro). Si una resistencia es parte de un circuito elctrico, un campo elctrico E

producir un flujo

de carga. Sin embargo se ha visto que las cargas se mueven a una velocidad v constante (la velocidad de arrastre), por lo tanto debe existir una fuerza f

, como se muestra en la figura

4.8) que anule al campo elctrico. Esta fuerza f

tiene carcter de fuerza de rozamiento, de ah la generacin de calor en una resistencia.

Figura 4.8 Resistencia sometida a una diferencia de potencial elctrico. En un elemento resistivo entonces V=IR representa el calor generado por unidad de carga.

( ) ( )[ ]00 1 TTRTR +=

A B

+ -

E

f

v

9


4.4 La fuerza electromotriz (FEM) Viendo la figura 4.9. En un conductor aislado con una resistividad , la accin de un campo elctrico E

producir flujo de cargas con densidad de corriente Ej

= (a). Se acumular

carga en los extremos del conductor produciendo un campo contrario 'E

que crece a medida que se acumula la carga y disminuye el campo resultante (b). Cuando el campo contrario 'E

llega a ser igual al campo E

, entonces la densidad de corriente ser cero y la corriente dejar de fluir.

Figura 4.9 Conductor sometido a un campo elctrico.

Si se desea que por un conductor exista una corriente estacionaria en el tiempo, el conductor debe formar parte de una trayectoria cerrada o circuito elctrico completo, en el cual se necesitar de un dispositivo que mantenga la diferencia de potencial entre los extremos del conductor. Normalmente las cargas en el circuito se mueven del potencial mayor al potencial menor. El dispositivo toma cargas con bajo potencial y las lleva a un potencial mayor para lo cual suministra la diferencia de potencial requerida gastando una energa interna. A este dispositivo se le llama fuente o generador y se representan en un circuito como se muestra en la figura 4.10. El signo + indica el extremo a mayor potencial y el signo el de menor potencial.

Figura 4.10 Representacin de una fuente de tensin o potencial constante.

Definicin

La fuerza electromotriz es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente elctrica en un circuito cerrado. Es una caracterstica de cada generador elctrico.

Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga positiva del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Coulombs de dicha carga. Esto se justifica en el hecho de que cuando circula esta unidad de carga por el circuito exterior al generador, desde el polo positivo al negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de energa (mecnica, qumica, etc.) para transportarla por el interior desde un punto de menor potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo por el cual sale).

E j

(a)

E j E

(b)

10


Representacin de una fuente de tensin constante.

Las propiedades puramente elctricas de una fuente de tensin constante se modelan en su forma ms sencilla por una fuente de tensin ideal (sin prdida alguna). Esto se puede ver en la figura 4.11 (a). Sin embargo, en la realidad hay una disminucin de energa por unidad de carga debido a las consecuencias elctricas de las complejas reacciones qumicas que existes cuando circula carga por dentro de la fuente. Para representar esto, se utiliza una fuente de tensin constante real, la se modela mediante una fuente de tensin constante ideal en serie con una resistencia, la cual es llamada resistencia interna. Esto se puede ver en la figura 4.11 (b).

Figura 4.11 Representacin de una fuente de tensin o potencial constante ideal (a) y real (b).

Conforme la fuente se va gastando, su resistencia interna va aumentando, lo que hace que la tensin disponible sobre la carga vaya disminuyendo, hasta que resulte insuficiente para los fines deseados, momento en el que es necesario reemplazarla. Para dar una idea, una pila nueva de las ordinarias de 1,5 V tiene una resistencia interna de unos 0,35 , mientras que una vez agotada puede tener varios. Esta es la razn de que la mera medicin de la tensin con un voltmetro no sirva para indicar el estado de una pila, en circuito abierto incluso una pila gastada puede indicar 1,4 V, dada la carga insignificante que representa la resistencia de entrada del voltmetro, pero, si la medicin se hace con la carga que habitualmente soporte, la lectura bajar a 1,0 V o menos, momento en que esa pila ha dejado de tener utilidad. Las actuales pilas alcalinas tienen una curva de descarga ms suave que las previas de carbn; su resistencia interna aumenta proporcionalmente ms despacio.

Se puede analizar el trabajo por unidad de carga en la fuente al trasladarse una carga desde le terminal con menor potencial al terminal de la siguiente manera: : energa no elctrica por unidad de carga generada por la fuente o generador

: fuerza electromotriz (fem):

MNV : energa elctrica por unidad de carga : diferencia de potencial entre terminales

rI : energa calorfica generada en el interior de la fuente

: cada de potencial en la resistencia interna de la fuente r. Luego como la energa se conserva, se deber cumplir en el interior de la fuente:

a) b)

IrVMN +=

11


Por lo tanto, cuando una fuente est en vaco, es decir, no tiene conectado ningn utilizador, la corriente I ser nula por lo tanto:

Para una fuente ideal, r sera cero con lo cual la relacin anterior se cumplira. En la realidad existe un valor de r, como se ve en la figura 4.12, y es necesario hacerla lo ms pequea posible para disminuir al mximo la generacin de calor y por tanto tener una VMN ms cercana a . Por lo tanto desde que se establece una corriente en el circuito y por lo tanto a travs de la fuente, la diferencia de potencial entre terminales disminuye

Figura 4.12 Generador ideal vs. Generador real. De la expresin hallada para una fuente conectada a un circuito se despeja el valor de la diferencia de potencial entre terminales de la batera, la ecuacin caracterstica V I de la fuente ser:

Tipos de acoplamientos:

Conexin en serie: La conexin de varias fuentes en serie permite multiplicar la tensin en los bornes externos del conjunto cuanto se quiera.

Conexin en paralelo: Cuando se necesita una corriente mayor que la que puede suministrar un elemento nico, siendo su tensin en cambio la adecuada, se pueden aadir otros elementos en la conexin llamada en paralelo, es decir, uniendo los polos positivos de todos ellos, por un lado, y los negativos, por otro. Este tipo de conexin tiene el inconveniente de que si un elemento falla antes que sus compaeros, o se cortocircuita, arrastra irremisiblemente en su cada a todos los dems.

Capacidad total

La capacidad total de una pila se mide en amperios x hora (Ah), siendo esta magnitud el nmero mximo de amperios que el elemento puede suministrar en una hora. Indica la cantidad de carga que una fuente puede movilizar.

Cuando se extrae una gran corriente de manera continuada, la pila entrega menos carga total que si la carga es ms suave.

MNV=

Generador ideal

M

I

N r

Generador real

M N

I

IrVMN =

12


4.5 Las leyes de Kircchoff Antes de entrar a estudiar las leyes, se definir lo qu es un nodo y una malla. Nodo: Es un punto donde se encuentran tres o ms elementos. Rama: Es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. En la figura 4.13 a, b, c y d seran nodos, e y f no. Algunas mallas seran acdefa, abcdefa,

abdefa.

Figura 4.13 Circuito elctrico Las leyes de Kircchoff son dos: Ley de Nodos y Ley de Mallas. Ley de los nodos de Kircchoff Esta ley dice lo siguiente: La suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es cero. Esto debido a que la carga no puede acumularse en un nodo, por lo tanto la carga total que entra en un nodo por unidad de tiempo debe ser igual a la que sale:

0= I Se puede definir un sentido convencional para la corriente positiva, por ejemplo, la corriente que sale de un nodo se la toma como positiva y la que entra al nodo como negativa. Ntese que esta convencin es arbitraria, se podra asumir el caso inverso y no alterara la regla. Ley de las mallas de Kircchoff Esta ley dice lo siguiente: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier trayectoria cerrada es cero. Esta regla indica que la fuerza electrosttica es conservativa.

0=V

a

b c

d e

f

V

R1 R2

R4 R3

R5

R6

R7

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Fuente: Proporciona una tensin constante entre sus terminales y entrega energa elctrica

Resistencia: Disipa energa en un circuito

Conductor: Permite el transporte de carga elctrica y es considerado como equipotencial

Interruptor: Tambin llamado switch. Permite alterar la continuidad del circuito al abrirse o cerrarse.

Cuando se pasa a travs de un elemento utilizador de energa (resistencias, condensadores), se pasa de potencial mayor a potencial menor y por lo tanto la diferencia de potencial ser negativa. Si por el contrario se pasa de menor potencial a mayor potencial (fuentes, fem), la diferencia de potencial ser positiva. Se puede seguir una convencin de signos cuando ser recorre una trayectoria cerrada en un circuito utilizando las Reglas de Kircchoff como se muestra en la figura 4.14

Figura 4.14 Convencin de signos. Tambin se puede utilizar una regla mas general que diga lo siguiente: la variacin de potencial es aquella que se tendr cuando se sigue el camino que recorre la corriente. Como repaso veremos que para disposiciones discretas de elementos elctricos vistos hasta el momento en la tabla 4.2.

Figura 4.2 Dispositivos utilizados en los circuitos elctricos.

Cabe indicar que se considera al Conductor como un cable equipotencial debido a que su resistencia es muy pequea y prcticamente despreciable respecto al resto de resistencias. Esto trae consigo que cualquier corriente que circule por l ocasionar una cada de potencial prcticamente nula.

Recorrido

+ -

I

+IR

Recorrido

+ -

I

- IR

Recorrido

+ - -

Recorrido

+ - +

14


4.6 Arreglo de resistencias: la resistencia equivalente El considerar diferentes resistencias puede tener sus propias complejidades. A continuacin se expondr la metodologa para llevar todo un conjunto de resistencias a una resistencia equivalente. 4.6.1 Resistencias en serie Suponiendo que se tiene un conductor en forma de un paraleleppedo cuya resistividad vara a lo largo de su longitud. Entre sus extremos se va a establecer una diferencia de potencial segn lo mostrado a continuacin: Si la resistividad es variable como se muestra en la figura 4.15 a), se puede coger diferenciales de volumen dlA donde la resistividad es constante. Entre los extremos de este elemento diferencial habr una diferencia de potencial dV por lo cual se puede decir que el elemento diferencial mostrado en la figura 4.15 b) tendr una resistencia igual a:

IdVdR =

Figura 4.15 Modelo empleado para la deducir la resistencia equivalente en serie

Entonces:

===B

A

B

A

B

AAB dRIdRIdVV

Se puede hallar una resistencia equivalente serie que cumpla: serieAB RIV =

Por lo tanto, la resistencia equivalente serie ser:

l s

s A

B dl

A (+)

B (-)

a

b

a)

dl

j A

b

c

dV

(+) (-)

b)

I

=B

Aserie dRR

15


Para un sistema discreto de n resistencias en serie como se muestra en la figura 4.16 se tiene que por todas las resistencias pasa la misma corriente I, y la diferencia de potencial V se distribuye en los n elementos. De esto se llega a lo siguiente: El partidor de tensin Si se tiene un circuito como el mostrado en la figura 4.16, se aprecia que todas las resistencias son atravesadas por la misma corriente.

Figura 4.16 Resistencia dispuestas en serie. Debido a esto, se llega a lo siguiente:

==+++=+++=n

ieqnRnRRTOTAL RIRIIRIRIRVVVV1

2121 *......

Si se quiere halla la tensin en una resistencia n, osea RnV ,

sabiendo que

= niR

VI

1

, se obtiene que nni

nRn RR

VIRV *

1

==

De esto se llega al enunciado del partidor de tensin, el cual se expresa de la siguiente manera:

nn

i

TOTALRn R

R

VV *

1

=

=n

iserie RR1

R1

R2 Rn

V

I

16


4.6.2 Resistencias en paralelo Para deducir el valor de la resistencia equivalente en paralelo se toma el mismo paraleleppedo con resistividad variable. Ahora la diferencia de potencial se ha aplicado entre la parte superior e inferior del conductor como se muestra en la figura 4.17 a). Tomando un elemento diferencial de material de tal forma que en l se mantenga constante la resistividad como se muestra en la figura 4.17 b). La corriente I se va a distribuir en cada elemento diferencial sobre el cual se aplica VMN de manera que por cada uno pase una corriente dI:

dRVdI MN=

Figura 4.17 Modelo utilizado para deducir el valor de la resistencia equivalente en paralelo

Entonces la corriente total ser: ==B

A

MNB

A dRVdII

=B

AMN dRVI 1

Para cumplir la ley de ohm se tiene: 1

1

=

B

A

MN

dRIV

Con esto, la resistencia equivalente cuando la conexin es en paralelo ser:

l s

s A

B

a) b)

dl

j

b

c

(+)

(-)

VMN dl

M (+)

N (-)

a

b

I

A B

11

= dRRparalelo

17


Si se tiene un sistema de n resistencias en paralelo como se muestra en la figura 4.14, todas las resistencias tienen la misma diferencia de potencial V y la corriente I se reparte entre todas las n resistencias:

El partidor de tensin y el partidor de corriente son dos leyes que ayudan como herramientas para resolver circuitos elctricos. El partidor de corriente Si se tiene un circuito como el mostrado en la figura 4.18, se aprecia que todas las resistencias estn sometidas a la misma diferencia de potencial.

Figura 4.18 Resistencias dispuestas en paralelo.

Debido a esto, se llega a lo siguiente:

==+++=+++= n

i

eqnRnRRTOTAL

R

VRV

RV

RV

RVIIII

1

12121

)1(......

Si se quiere halla la corriente que pasa en una resistencia n, osea RnI ,

sabiendo que RnIR

IRIV Rnn

iTOTALeqTOTAL *)

1(**1

1 === , se llega al enunciado del partidor de corriente, el cual se expresa de la siguiente manera:obtiene que

RnRII

n

iTOTALRn

= 1

1)1(*

1

1

1

=

n

iparalelo R

R

R1 R2 Rn V

I

18


4.7 La resistencia del terreno La aplicacin de una diferencia de potencial en los extremos de un conductor mediante dos electrodos crear un campo elctrico y un movimiento de cargas del potencial mayor al potencial menor. El campo elctrico representado a travs de sus lneas de campo tendr una cierta forma dependiendo de la configuracin del conductor como se muestra en la figura 4.19.

Figura 4.19 Formacin de campo elctrico en un medio al cual se le aplica una diferencia de potencial. Se tiene una corriente producida por una fuente ubicada muy lejos que es inyectada al terreno mediante un dispositivo denominado dispersor, un elemento conductor para nuestro caso en forma de un conductor semiesfrico, tal como se muestra en la figura 4.20. Si se tiene que el potencial del punto 1 donde se inyecta la corriente es V entonces este potencial ser el de todos los puntos sobre el dispersor pues por se conductor ser equipotencial. El campo elctrico E

sobre la superficie del dispersor deber ser perpendicular a la superficie y

saliendo del dispersor. El campo elctrico radial provocar movimiento de carga en sentido radial y se definirn vectores de densidad de corriente j

tambin radiales. El efecto del

dispersor entonces ser de distribuir la corriente en el terreno de forma radial.

Figura 4.20 Inyeccin de corriente al terreno a travs de un dispersor hemisfrico Si se desea hallar la resistencia que presenta el terreno a la inyeccin de corriente, se deber conocer la resistencia del terreno en el punto donde se produce la inyeccin. Para eso se define elementos diferenciales de resistencia en forma de cascarones semiesfricos de ancho diferencial:

)()(sAdssdR =

Se asume una resistividad uniforme, en este caso se tiene un ancho dr de modo que:

1

I

E

a Terreno

E

A (+)

B (-)

19


22 rdrdR

=

Como es una misma corriente I al que atraviesa a todos los dR entonces se tiene elementos diferenciales de resistencia dispuestos en serie, la resistencia total ser:

=

=

==r

ar rdrdRR 22

Desarrollando la integral se obtiene:

Es la resistencia del terreno desde le punto donde se inyecta la corriente I. La tensin de paso y tensin de contacto La distribucin radial del campo elctrico E

en el terreno definir superficies equipotenciales

de forma de cascarones semiesfricos, tal como se ve en la figura 4.21. Por lo tanto sobre la superficie del terreno se definirn puntos con diferencias de potencial.

Figura 4.21 Forma de las superficies equipotenciales ante la inyeccin de corriente.

El paso de corriente a travs del terreno define potenciales en distintos puntos de ste. As por ejemplo se puede hallar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B:

===B

A

B

A

lE drEdVVV BAAB

Adems se sabe que jE = y que 22 rIj = (densidad de corriente uniforme a travs del elemento diferencial), por lo tanto llamando rA y rB a las distancias desde el punto de inyeccin de corriente a los puntos A y B respectivamente se obtiene:

=B

A

r

rAB r

drIV 22

aR

2=

=

BA

ABAB rr

rrIV2

jE

, a

1

r dr

I

Terreno

20


Si una persona est en contacto con el terreno en los puntos A y B al momento de inyectar corriente al terreno, la diferencia de potencial VAB entre sus pies se denominar tensin de paso. En trminos de seguridad para la persona, sta no debe pasar los 50 V. Ver figura 4.22. La funcin del dispersor ser distribuir la corriente en el terreno con una resistencia pequea, evitando valores de tensin de paso inadmisibles.

Figura 4.22 Esquema de la tensin de paso. La tensin de contacto La tensin de contacto es la tensin que hay entre una parte metlica unida al dispersor y un punto cualquiera del terreno. La tensin mxima que se puede tener de tensin de contacto es

igual a tierramax R*IVcontacto = y es la tensin que se presenta en el dispersor. Si se tuviese un terreno de resistividad 250 ohm-m (arena arcilloso), y un dispersor tipo semiesfrico de 0.25m. de radio e ingresa una corriente de 1A se tendro la grfica que se muestra en la figura 4.23. En ste se puede ver cmo vara la tensin conforme vara el radio. Se aprecia que si alguien se para en R=5m y en R=11m estar sometida a una tensin de paso de 1736.23V. As mismo, si toca una parte metlica unida al dispersor, tendr una tensin de contacto de 14 468.63V. Ver figura 4.23.

r dr

a

Terreno A B

VA VB F

E , j

21


Figura 4.23 Evolucin de la tensin a lo largo del radio cuando se tiene un dispersor semiesfrico de 0.25m dentro de un terreno y se inyecta 10A.

4.8 Elementos generadores y utilizadores Elemento utilizador: Se dice que un elemento es utilizador cuando la corriente va de un potencial mayor a uno menor. Este elemento consume energa elctrica Elemento generador: Se dice que un elemento es utilizador cuando la corriente va de un potencial menor a uno mayor. Este elemento consume energa elctrica Un esquema de un elemento utilizador y de un elemento generador se puede ver en la figura 4.24.

Figura 4.24 Representacin esquemtica de (a) un generador y (b) de un utilizador.

CONTACTOV

PASOV

I I

(a) (b)

22


4.9 Curvas V-I de la resistencia y de la fuente 4.9.1 Caracterstica V-I de la resistencia La resistencia de un cuerpo no slo depender de las caractersticas del material sino tambin de la forma cmo se aplique la diferencia de potencial. En la grfica a continuacin se muestra la caracterstica V-I de una resistencia que es una recta con pendiente R y con puntos en el cuadrante I y III, tal como se muestra en la figura 4.25. Se ve en el cuadrante I que al aplicar una diferencia de potencial positiva, la corriente fluir del extremo de mayor potencial al de menor potencia y la relacin entre los valores de potencial y corriente es constante e igual al valor de R. Si se cambia el signo de la diferencia de potencial (se intercambian los extremos de mayor y menor potencial del conductor), la corriente invertir su direccin

Figura 4.25 Caracterstica V-I de una resistencia.

Puntos sobre el eje I de la caracterstica indicarn una R=0 que significa que existir corriente por un conductor an si no hay diferencia de potencial entre sus extremos. Puntos sobre el eje V indicarn un valor de resistencia infinita que significa que no habr corriente por el conductor ante cualquier diferencia de potencial. Segn la diferencia de potencial aplicada la corriente se establecer del punto de mayor potencial (+) al de menor potencial (-) como se muestra en la figura 4.26.

Figura 4.26 Direccin de la corriente segn la aplicacin de la diferencia de potencial

(a) I cuadrante (b) III cuadrante

I

V

O

III

I

R

R

V

I

+ -

V

R - +

I

(a) (b)

23


4.9.2 Curva V-I de un generador La caracterstica V-I consiste en la recta que sigue la ecuacin de la fuente:

IrVMN = Se ve en la figura 4.27, que se puede obtener puntos de funcionamiento en los cuadrantes I, II y IV.

Figura 4.27 Caracterstica V-I de una fuente I Cuadrante Corresponde al funcionamiento de la fuente como generador de energa. En general esta energa generada por la fuente es aprovechada por un utilizador y una pequea parte se convierte en calor al interior de la fuente. A medida que la corriente aumenta se ve que la diferencia de potencial entre terminales va a disminuir. Se puede resaltar los siguientes puntos de funcionamiento: a) Fuente en vaco: Se dice que el generador se encuentra en vaco cuando no tiene carga alguna conectada, esto implica que I=0 y que VMN = . b) Fuente alimentando a utilizador: Esto se realiza cuando se conectar una carga al generador. En este caso se tiene: IrVMN = c) Fuente en cortocircuito: Una situacin de cortocircuito se presenta cuando la diferencia de potencial entre los terminales de un elemento elctrico se anula. En el caso de la fuente puede obtenerse esto uniendo los terminales mediante un cable equipotencial con lo cual:

NM VV = , 0=MNV Reemplazando en la ecuacin caracterstica y despejando la corriente, se obtiene el valor de la corriente de cortocircuito Icc de la fuente:

Icc = /r

I

Generacin de energa

II

Consumo de energa: Fuente en recarga

IV Ms de una fuente generando

VMN

I

Icc=/r

VMN = - Ir

Fuente en vaco

Fuente en cortocircuito

24


Como el valor de la resistencia interna de la fuente r es pequeo, el valor de Icc resulta muy grande. Durante la situacin de cortocircuito una corriente muy grande a travs de la resistencia interna producir una gran generacin de calor, lo que llevara a la destruccin de la fuente. En la fuente, las cargas se mueven debido al la fuerza no elctrica, pero como el movimiento es a velocidad constante y no hay presencia de campo elctrico (VMN es cero), entonces la fuerza de rozamiento en el interior de la fuente se equipara en valor a la fuerza no elctrica. Luego, toda la energa de la fuente se convierte en calor. II Cuadrante En el segundo cuadrante se ve que el sentido de la corriente cambi y se mantiene el sentido de la diferencia de potencial, eso quiere decir que la fuente se est comportando como un utilizador. ste es el caso de las fuentes recargables. La disposicin para cargar la fuente ser con otra fuente cuya FEM sea mayor a la FEM de la fuente a cargar, osea >2 .

Representndolos en un circuito como se muestra en la figura 4.28.

Figura 4.28 Representacin circuital de una fuente recargando a otra. Utilizando la Ley de Mallas de Kircchoff se tiene:

- - Ir Ir2 + 2=0 2 - = I(r + r2)

Como el segundo trmino de la igualdad es positivo, entonces el primer trmino debe serlo, por lo tanto 2 - > 0, de lo que se deduce que se deber cumplir que:

En el segundo cuadrante se ve que el sentido de la corriente cambi y se mantiene el sentido de la diferencia de potencial, eso quiere decir que la fuente se est comportando como un utilizador. ste es el caso de las fuentes recargables.

M

I

r

2 r2

+ +

+

+

_ _

_ _

N

2 >

25


IV Cuadrante Para puntos en el IV cuadrante, se ve que la diferencia de potencial entre terminales es ahora negativa, eso quiere decir que se invirti la polaridad de la fuente. Ahora se ve que en la ecuacin de la fuente se tiene:

- VMN = - Ir I = ( + VMN )/ r

Por lo tanto en esta situacin se genera una corriente mayor que la de cortocircuito y por lo tanto ms calor que en condicin de cortocircuito. Esta es una situacin no deseada que conlleva a la destruccin de la fuente. Representando las fuentes como un circuito como se ve en la figura 4.29.

Figura 4.29 Representacin circuital de la fuente en el IV cuadrante. De acuerdo a la Ley de Mallas de Kircchoff se tiene que si se parte de M y se regresa al mismo punto los incrementos de potencial sern iguales a cero.

- Ir2 + 2 - Ir + =0 2 + = I (r + r2)

La ecuacin anterior indica que hay ms de una fuente generando energa. Para que se produzca este efecto, ya se ha visto que I > /r pero adems:

(2 + ) / (r + r2) = I (2 + ) / (r + r2) > /r

2 / r2 > /r

Por lo tanto, para que una fuente se encuentre en el cuarto cuadrantes, la corriente de cortocircuito de la segunda fuente debe ser mayor a la corriente de cortocircuito de nuestra fuente.

M

I

+ _

r + _

2 +

_ r2

+ _

Icc2 > Icc

26


4.9.3 Intercepcin de la curva caracterstica de un generador con el de una resistencia

Si se tiene una fuente que se conecta a un utilizador (representado por su resistencia R) la diferencia de potencial entre los terminales de la fuente se aplica en los extremos de la resistencia, cerrndose as el circuito y establecindose una corriente I. Se muestra esto como un circuito en la figura 4.30.

Figura 4.30 Representacin de una fuente y de un utilizador en un circuito. Para conocer el valor de la corriente I se puede remitir a las caractersticas V-I de la resistencia y de la fuente. El punto en que las dos caractersticas V-I se intersequen ser el punto de funcionamiento del circuito (punto P) y proporcionar el valor de la corriente I y de la diferencia de potencial V en la resistencia como se muestra en la figura 4.31.

Figura 4.31 Representacin grfica de la ecuacin de circuito. Hallando los incrementos de potencial:

- IR + - Ir = 0 Otra forma es expresando matemticamente las caractersticas de la fuente y de la resistencia e igualando en ambos casos la diferencia de potencial V:

I R = - Ir I = / (R + r)

Se ve que la corriente que se establezca depender de la fem total del circuito y de la resistencia total del circuito.

M

I

+ _

r +

_

R + _

N

VMN

I

P

V

i

V = i R

V = - i r

27


4.10 Potencia en los circuitos elctricos Cuando una carga pasa a travs de un elemento de circuito, el trabajo total realizado sobre la carga ser el producto del valor de la carga q por la diferencia de potencial entre sus terminales. Si la corriente que fluye a travs de dicho elemento es I entonces en un tiempo diferencial dt fluir una carga dtIdq = con lo cual:

IdtVdQVdW == La transferencia de energa (trabajo) por unidad de tiempo se conoce como potencia y se representa por la letra P ser:

La unidad SI de la potencia es el watt o vatio:

sJW 11 =

4.10.1 Potencia consumida en un elemento utilizador Si se asume que la corriente I es positiva para un sentido arbitrario a travs de un elemento utilizador como se muestra en la figura 4.32, la potencia ser positiva si la corriente fluye de un punto de mayor potencial a otro de menor potencial y la diferencia de potencial ser positiva (VAB > 0).

Figura 4.32 Representacin esquemtica de un utilizador. En este caso se habla de un utilizador de energa elctrica y la energa elctrica se trasfiere hacia dentro del elemento. - Si se tiene entre Ay B un motor, la energa aparece en gran parte como trabajo mecnico

realizado por el motor. - Si se tiene entre A y B una resistencia, entonces la energa elctrica absorbida se aumenta

la energa interna o aumenta la temperatura de la resistencia o ambos manifestndose como calor.

Conociendo que por la ley de Ohm RIV = , se puede despejar V o I en la expresin de la potencia disipada en un elemento utilizador de la siguiente manera:

IVdt

dWP ==

A B

I

VAB

RVRIVIP

22 ===

28


- Si entre A y B hay una fuente que se encuentra en proceso de recarga, entonces la energa elctrica absorbida aumenta la energa qumica de la fuente y una parte se disipa como calor por efecto de la resistencia interna. Conociendo que la ecuacin caracterstica de la fuente es V = - I r , pero como la corriente fluye en sentido contrario realmente se tiene V = + I r , reemplazando en la expresin de la potencia de entrada de la fuente se tiene:

4.10.2 El Efecto Joule Si en un conductor circula corriente elctrica, parte de la energa cintica de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los tomos del material conductor por el que circulan, elevando la temperatura del mismo. Este efecto es conocido como "Efecto Joule"

Este efecto fue definido de la siguiente manera: "La cantidad de energa calorfica producida por una corriente elctrica, depende directamente del cuadrado de la intensidad de la corriente, del tiempo que sta circula por el conductor y de la resistencia que opone el mismo al paso de la corriente". Toda la energa que se entrega a la resistencia se convierte en calor.

4.10.3 Potencia entregada por un elemento generador

Si por el contrario, para el mismo sentido de corriente, sta fluye de un potencial menor a un potencial mayor, como se ve en la figura 4.33, la diferencia de potencial ser negativa (VAB < 0, - VAB = VBA). Por lo tanto la potencia ser negativa, es decir la energa elctrica ser transferida hacia fuera del circuito y el elemento es un generador de energa elctrica.

Figura 4.33 Representacin esquemtica de un generador Para el caso de una fuente actuando como generador de energa elctrica, la energa de la fuente (generalmente energa de carcter qumico) se convierte en energa elctrica, una parte de la cual sale de la fuente y otra parte se disipa en forma de calor por la resistencia interna. La ecuacin caracterstica ser: V = - I r con lo cual reemplazando en la expresin de la potencia de salida de la fuente queda:

A B I

VBA

P = VI = I - I2 r

P = VI = I + I2 r

29


4.10.4 Rendimiento de un circuito elctrico

Si bien se tiene que la energa entregada es igual a la energa consumida, no toda la energa consumida es igual a la energa utilizada ya que dentro de todo sistema se producen mermas de energa debido a prdidas. Tenindose as que:

Energa consumida = Energa utilizada + prdidas Debido a esto, siempre se tendr que la energa utilizada es menor a la energa entregada. Para poder saber cunto de la energa entregada llega a ser utilizada se define el concepto de rendimiento, el cual es representado por la siguiente expresin:

entregadaEnergautilizadaEnerga

=

30

Captulo 4Corriente, resistencia y fuerza electromotriz (FEM)4.1 Introduccin4.2 La corriente4.3 La resistencia4.3.1 La resistividadEn las aleacionesLa resistividad de las aleaciones es prcticamente independiente de la temperatura.4.3.2 La resistencia

vvvvvvvvvvvvEP1P2P2

-+V21EdldlAV4.4 La fuerza electromotriz (FEM)Capacidad total4.5 Las leyes de Kircchoff4.6 Arreglo de resistencias: la resistencia equivalenteEl considerar diferentes resistencias puede tener sus propias complejidades. A continuacin se expondr la metodologa para llevar todo un conjunto de resistencias a una resistencia equivalente.4.6.1 Resistencias en seriea) Fuente en vaco: Se dice que el generador se encuentra en vaco cuando no tiene carga alguna conectada, esto implica que I=0 y que VMN = (.

EjEjEII+(- (- IRI+IRIaEIVBBA

IIIIIV = i RV = ( - i r

BABA

Cap 4 Corriente Resistencia y FEM

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