POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

1.-POTENCIA INSTANTANEA Y POTENCIA PROMEDIO

1.1. POTENCIA INSTANTANEA

La potencia entregada a cualquier dispositivo esta dada por:

p = v * i

Si el elemento en cuestión es un resistor R, la potencia se puede expresar como:

Si es un elemento puramente inductivo:

En el caso de un capacitor:

donde se ha supuesto arbitrariamente que el valor es cero en t = - .

Si la fuente es senoidal:

la potencia instantánea entregada a todo el circuito en estado senoidal permanente o estable es:

1.2 .POTENCIA PROMEDIO

Cuando se habla del valor promedio de la potencia instantánea, debe especificarse el intervalo sobre el que se toma el promedio. Así:

 

 

El valor promedio se denota con la letra mayúscula P ya que no es una función del tiempo. Si p (t) es función periódica:

 

donde T es el periodo de la función.

 

Para estado senoidal permanente; v(t) = Vm Cos(wt+ ) e i(t) = Im Cos(wt+ ), la potencia instantánea es:

 

 

 

 

Se observa que el primer término es una constante, independiente del tiempo y el segundo término es una función coseno (periódica) y su periodo es ½ T.Por tanto la potencia promedio es:

 

Así la potencia promedio es igual a un medio del producto de la amplitud máxima del voltaje, por la amplitud máxima de la corriente y el coseno de la diferencia de los ángulos fase de la corriente y el voltaje; el sentido de la diferencia es intrascendente.

2. POTENCIA COMPLEJA 

Si expresamos la potencia como una cantidad compleja, podemos simplificar cálculos. La potencia

compleja se define en relación a un voltaje senoidal general existente entre dos

terminales y una corriente senoidal general que entra a una de las terminales. Entonces la potencia promedio P absorbida por la red de dos terminales es:

 

 

Mediante la notación compleja usando la formula de Euler:

 

La corriente fasorial es:

 

 

por lo que en la anterior expresión se debe usar la notación del conjugado:

 

Por lo tanto:

 

 

Definimos la potencia compleja S como:

 

(*)

 

La magnitud de S es la potencia aparente, el ángulo de S es el ángulo del factor de potencia.

En forma rectangular:

 

S = P+jQ

 

Donde P = Potencia promedio real, como antes, y la parte imaginaria se simboliza por Q y recibe el nombre de Potencia Reactiva, sus dimensiones son las mismas que las de la potencia real, para evitar confundirla la unidad de Q se define como el Var (Voltamperes reactivos).

De la ecuación (*) se observa que:

 

 

Q =

 

 

Si la carga es inductiva, es un ángulo entre 0 y 90 grados, el seno de este ángulo es positivo y la potencia reactiva es positiva. Una carga capacitiva se traduce en una potencia reactiva negativa.Un varmetro indica la potencia reactiva promedio Q absorbida por la carga, así como un wattmetro indica la potencia promedio real absorbida por una carga.

3.- FACTOR DE POTENCIA

Figura 1. Triángulo de potencias.

Se define factor de potencia, f.d.p., de un circuito de corriente alterna, como la relación entre la potencia activa, P, y la potencia aparente, S,[1] si las corrientes y tensiones son señales perfectamente sinusoidales.

Si las corrientes y tensiones son señales perfectamente sinusoidales, [2] el factor de potencia será igual a cos ϕ o como el coseno del ángulo que forman los fasores de la intensidad y el voltaje, designándose en este caso como cosφ, siendo φ el valor de dicho ángulo. De acuerdo con el triángulo de potencias de la figura 1:

(Si las corrientes y tensiones son señales perfectamente sinusoidales)

El dispositivo utilizado para medir el f.d.p. se denomina cosímetro.

Importancia del factor de potencia

Para comprender la importancia del factor de potencia se van a considerar dos receptores con la misma potencia, 1000 W, conectados a la misma tensión de 230 V, pero el primero

con un f.d.p. alto y el segundo con uno bajo .

Primer receptor

Segundo receptor

Cotejando ambos resultados, se obtienen las siguientes conclusiones:

Un f.d.p. bajo comparado con otro alto, origina, para una misma potencia, una mayor demanda de intensidad, lo que implica la necesidad de utilizar cables de mayor sección.

La potencia aparente es tanto mayor cuanto más bajo sea el f.d.p., lo que origina una mayor dimensión de los generadores.

Ambas conclusiones nos llevan a un mayor coste de la instalación alimentadora. Esto no resulta práctico para las compañías eléctricas, puesto que el gasto es mayor para un f.d.p. bajo. Es por ello que las compañías suministradoras penalizan la existencia de un f.d.p. bajo, obligando a su mejora o imponiendo costes adicionales.

Influencia del tipo de cargas [editar]

El valor del f.d.p. viene determinado por el tipo de cargas conectadas en una instalación. De acuerdo con su definición, el factor de potencia es adimensional y solamente puede tomar valores entre 0 y 1. En un circuito resistivo puro recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión están en fase (φ=0), esto es, cambian de polaridad en el mismo instante en cada ciclo, siendo por lo tanto el factor de potencia la unidad. Por otro lado, en un circuito reactivo puro, la intensidad y la tensión están en cuadratura (φ=90º) siendo el valor del f.d.p. igual a cero.

En realidad los circuitos no pueden ser puramente resistivos ni reactivos, observándose desfases, más o menos significativos, entre las formas de onda de la corriente y el voltaje. Así, si el f.d.p. está cercano a la unidad, se dirá que es un circuito fuertemente resistivo por lo que su f.d.p. es alto, mientras que si está cercano a cero que es fuertemente reactivo y su f.d.p. es bajo. Cuando el circuito sea de carácter inductivo, caso más común, se hablará de un f.d.p. en retraso, mientras que se dice en adelanto cuando lo es de carácter capacitivo.

Las cargas inductivas, tales como; transformadores, motores de inducción y, en general, cualquier tipo de inductancia (tal como las que acompañan a las lámparas fluorescentes) generan potencia inductiva con la intensidad retrasada respecto a la tensión.

Las cargas capacitivas, tales como bancos de condensadores o cables enterrados, generan potencia reactiva con la intensidad adelantada respecto a la tensión.

REGLA NEMOTÉCNICA Si se representa por la letra L a la inducción eléctrica, por la letra U a la tensión eléctrica y por la letra C a la capacidad eléctrica, se puede utilizar la siguiente regla para recordar fácilmente cuando la corriente (I) atrasa o adelanta a la tensión (U) según el tipo de circuito eléctrico que se tenga, inductivo (L) o capacitivo (C). LUIS, se

observa que la corriente (I) atrasa a la tensión (U) en un circuito inductivo (L). CIUDAD, se puede obsevar que la corriente (I) adelanta a la tensión (U) en un circuito capacitivo (C).

Mejora del factor de potencia [editar]

A menudo es posible ajustar el factor de potencia de un sistema a un valor muy próximo a la unidad.[1]

Esta práctica es conocida como mejora o corrección del factor de potencia y se realiza mediante la conexión a través de conmutadores, en general automáticos, de bancos de condensadores o de inductores. Por ejemplo, el efecto inductivo de las cargas de motores puede ser corregido localmente mediante la conexión de condensadores. En determinadas ocasiones pueden instalarse motores síncronos con los que se puede inyectar potencia capacitiva o reactiva con tan solo variar la corriente de excitación del motor.

Las pérdidas de energía en las líneas de transporte de energía eléctrica aumentan con el incremento de la intensidad. Como se ha comprobado, cuanto más bajo sea el f.d.p. de una carga, se requiere más corriente para conseguir la misma cantidad de energía útil. Por tanto, como ya se ha comentado, las compañías suministradoras de electricidad, para conseguir una mayor eficiencia de su red, requieren que los usuarios, especialmente aquellos que utilizan grandes potencias, mantengan los factores de potencia de sus respectivas cargas dentro de límites especificados, estando sujetos, de lo contrario, a pagos adicionales por energía reactiva.

La mejora del factor de potencia debe ser realizada de una forma cuidadosa con objeto de mantenerlo lo más alto posible. Es por ello que en los casos de grandes variaciones en la composición de la carga es preferible que la corrección se realice por medios automáticos.

Supongamos una instalación de tipo inductivo cuyas potencias P, Q y S forma el triángulo de la figura 1. Si se desea mejora el cosφ a otro mejor cosφ', sin variar la potencia activa P, se deberán conectar un banco de condensadores en paralelo a la entrada de la instalación para generar una potencia reactiva Qc de signo contrario al de Q, para así obtener una potencia reactiva final Qf. Analíticamente:

Por un lado

y análogamente

Por otro lado

donde ω es la pulsación y C la capacidad de la batería de condensadores que permitirá la mejora del f.d.p. al valor deseado. Sustituyendo en la primera igualdad,

de donde

4.-EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE POTENCIA

Este principio, que se aplica a redes lineales, tiene por objeto calcular la respuesta en un elemento de un circuito, cuando existen varias fuentes, y dice lo siguiente:La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes independientes de excitación actuando simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendrían cuando actuase cada una de ellas por separado.

La prueba de este Teorema puede establecerse directamente por un análisis de mallas, como vamos a ver analizando el circuito de la Fig. 1.

Figura 1 (Click para ampliar)

Ecuacion 1

de donde se deduce que, por ejemplo, la corriente i1 vale:

Ecuacion 2

donde Δ11 y Δ21 indican los menores adjuntos de la matriz de impedancias y Δz el determinante de la misma. Todas ellas son funciones de las impedancias de la red.En general, para una red de n mallas, la corriente en una malla genérica j valdrá:

Ecuacion 3

en consecuencia, ij puede considerarse como la suma lineal de n componentes de corriente

Ecuacion 4

debidas a cada generador de malla vgk, actuando independientemente de las otras fuentes.Debe hacerse notar que, para que deje de actuar un generador de tensión, debe anularse su tensión (vg = 0), es decir, se ha de cortocircuitar; mientras que para anular un generador de corriente (i = 0) se debe dejar abierto.

Debe tenerse en cuenta también que, al aplicar superposición, la potencia disipada en una resistencia no puede calcularse sumando las potencias debidas a las componentes individuales de corriente, sino que debe calcularse previamente la corriente total y, después, proceder al cálculo de potencia (P = I2·R).Esto es así porque, como sabemos, la relación entre la potencia y la intensidad no es lineal sino cuadrática.En general, la resolución de un circuito eléctrico por el principio de superposición es un procedimiento pesimista, ya que es bastante lento, comparado con el análisis de mallas o nudos. Sin embargo, cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias, constituye el único procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito.Cuando se tienen fuentes dependientes en la red, éstas deben mantenerse intactas, debiendo figurar en cada uno de los circuitos en los que se desdobla la red. La razón de ello es que las fuentes dependientes, por su propia naturaleza, dependen de la tensión o corriente de alguna parte del circuito.Veamos el ejemplo de la Fig. 2, donde nos piden obtener la potencia disipada por la resistencia de 3Ω.

Figura 2 (Click para ampliar)

Analizaremos los dos circuitos de la Fig. 3, en los cuales siempre se considera la fuente dependiente y, únicamente, un generador independiente.

Figura 3 (Click para ampliar)

Para la Fig. 3a se tiene: 12 - 2i1 = (3+1)i1 → i1 = 2APara la Fig. 2b se tiene: -2i2 = 1·i2 + 3(i2 + 6) → i2 = -3A

La corriente que circula por la resistencia de 3Ω será:

i(3Ω) = i1 + (i2 + 6) = 2 + (-3 + 6) = 5A → P = 3·i2 = 75 w

5.-TEOREMA DE TRANSFERENCIA MAXIMA DE POTENCIA.

Las fuentes de voltaje reales tienen el siguiente circuito equivalente:

donde V = I x Ri + VL

Si el valor de Ri (resistencia interna en las fuentes de alimentación) es alto, en la carga aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que hay en la resistencia interna de la fuente.

Si la caída en la resistencia interna es pequeña (el caso de la fuentes de tensión nuevas con Ri pequeña) casi todo el voltaje aparece en la carga.

¿Cuál es la potencia que se entrega a la carga?

Si en el circuito anterior Ri = 8 Ohmios, RL = 8 Ohmios y V = 24 Voltios

I = V / Ri + RL  = 24 / 16 = 1.5 amperios.

Esto significa que la tensión en RL es: VRL = I x R = 1.5 x 8 = 12 Voltios.

Este dato nos dice que cuando la resistencia interna y RL son iguales solo la mitad de la tensión original aparece el la carga (RL).

La potencia en RL será: P = I2 x RL  = 1.52 x 8 = 18 Watts (vatios), lo que significa que en la resistencia interna se pierde la misma potencia.

Si ahora se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga y se realizan los mismos cálculos anteriores para averiguar la potencia entregada a la carga se puede ver que esta siempre es menor a los 18 Watts que se obtienen cuando RL = Ri  (recordar que Ri siempre es igual a 8 ohmios).

- Si RL = 4 ohmios I = V / Ri + RL = 24 / 12 = 2 amperiosP = I2 x RL = 22 x 4 = 16 Watts

- Si RL = 12 ohmios I = V / Ri + RL = 24 / 20 = 1.2 amperiosP = I2 x RL = 1.22 x 12 = 17.28 Watts

Así se se concluye que el teorema de máxima entrega de potencia dice:

"La potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia de carga RL sea iguala la resistencia interna de la fuente Ri"

Nota: Cuando es importante obtener la máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia interna de la fuente de voltaje.