Metodospararesolverintegrales
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE INTEGRALES 1. RESOLUCIÓN DE INTEGRALES POR INTEGRACIÓN INMEDIATA: Como su nombre lo indica, el mencionado método consiste en la aplicación inmediata de una o varias reglas de integración ya establecidas y que son de fácil aplicación, aunque – en algunos casos- será necesario el desarrollo de operaciones algebraicas básicas. Ejemplo1. Resolver la siguiente integral: ∫ dx x 5 • Método a emplear: Integración inmediata de funciones potenciales. • Regla de integración: . 1 ; 1 1 1 R n y n con c x n dx x n n ∈ ≠ + + = + ∫ • Determinar el valor de n. Para ello se debe comparar la integral dada, con la regla de integración. Al realizar dicha comparación, se obtiene que: n=5. • Siguiendo la regla de integración, se debe realizar la siguiente operación: n+1 • Como n=5, se tendrá el siguiente resultado: n+1=5+1=6 • La regla de integración que se está aplicando, para resolver este ejercicio, indica que éste resultado debe colocarse tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma. Así se obtiene: 6 6 1 x • Ahora, si a ésta expresión se le agrega la constante de integración c, se tendrá que: c x + 6 6 1 • Concluyéndose que: ∫ dx x 5 = c x + 6 6 1 • Verificación: Si se deriva el resultado c x + 6 6 1 , se obtiene 5 x , que constituye la función primitiva u original; poniéndose de manifiesto que la diferenciación y la integración son procesos inversos. Ejemplo 2. Resolver la siguiente integral: ∫ + + + du u e u u 2 2 3 3 1 2 2 Método a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integración inmediata de funciones potenciales. Al aplicar la Ecuación correspondiente y las propiedades de los radicales, se obtiene: = ∫ ∫ ∫ ∫ + + + du u du e du u du u 2 1 1 2 3 1 3 1 2 2 Ahora se tienen cuatro integrales por resolver. La primera se puede resolver aplicando la Ecuación . Tanto la segunda como la cuarta integral ya han sido resueltas en los ejemplos anteriores. Para resolver la tercera integral, se debe sacar e 2 de la integral por tratarse de una constante, ya que no depende de la variable u, y aplicar el factor. Así, se concluye que: c u u e u u Ln du u e u u + + + - = + + + ∫ 3 2 2 2 6 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 Ejemplo 3. Resolver la siguiente integral: ∫ + - dx x e x x 10 5 3 7 Método a emplear: Integral de la sumatoria de funciones e Integración inmediata de funciones exponenciales y potenciales. Desarrollo: Al aplicar la regla correspondiente y propiedades de los radicales , se obtiene: ∫ + - dx x e x x 10 5 3 7 = 7 dx x e dx x dx x ∫ + ∫ ∫ - 10 5 3 Ahora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de ecuaciones ya fue resuelto anteriormente (Trabajar con exponentes fraccionarios y aplicar las Ecuaciones). Así, se obtiene que: PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. CALCULO INTEGRAL c x e x x + + - 10 3 5 3 2 4 4 7
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Resolver de manera facil integrales
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICAMEacuteTODOS DE RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES
1 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR INTEGRACIOacuteN INMEDIATA
Como su nombre lo indica el mencionado meacutetodo consiste en la aplicacioacuten inmediata de una o varias reglas de integracioacuten ya establecidas y que son de faacutecil aplicacioacuten aunque ndash en algunos casos- seraacute necesario el desarrollo de operaciones algebraicas baacutesicas
Ejemplo1 Resolver la siguiente integral int dxx5
bull Meacutetodo a emplear Integracioacuten inmediata de funciones potenciales
bull Regla de integracioacuten
11
1 1 Rnynconcxn
dxx nn isinne++
= +int
bull Determinar el valor de n Para ello se debe comparar la integral dada con la regla de integracioacuten Al realizar dicha comparacioacuten se obtiene que n=5
bull Siguiendo la regla de integracioacuten se debe realizar la siguiente operacioacuten n+1
bull Como n=5 se tendraacute el siguiente resultado
n+1=5+1=6
bull La regla de integracioacuten que se estaacute aplicando para resolver este ejercicio indica que eacuteste resultado debe colocarse tanto en el exponente de la antiderivada como en el denominador de la misma Asiacute
se obtiene 6
61 x
bull Ahora si a eacutesta expresioacuten se le agrega la constante de integracioacuten c se tendraacute que
cx +661
bull Concluyeacutendose que int dxx5
=cx +6
61
bull Verificacioacuten Si se deriva el resultadocx +6
61
se obtiene 5x que constituye la funcioacuten primitiva u original ponieacutendose de manifiesto que la diferenciacioacuten y la integracioacuten son procesos inversos
Ejemplo 2 Resolver la siguiente integral
int
+++ duue
uu 223
31 2
2
Meacutetodo a emplear Integral de la sumatoria de funciones e Integracioacuten inmediata de funciones potenciales Al aplicar la Ecuacioacuten correspondiente y las
propiedades de los radicales se obtiene
=
int intintint +++ duudueduu
duu 2
11231
31 2
2
Ahora se tienen cuatro integrales por resolver La primera se puede resolver aplicando la Ecuacioacuten Tanto la segunda como la cuarta integral ya han sido resueltas en los ejemplos anteriores Para resolver la tercera integral se debe sacar e2
de la integral por tratarse de una constante ya que no depende de la variable u y aplicar el factor Asiacute se concluye que
cuueu
uLnduueuu
+++minus=
+++int 322
2 62
23
31
223
31
Ejemplo 3 Resolver la siguiente integral
int
+minus dxxexx 10537
Meacutetodo a emplear Integral de la sumatoria de funciones e Integracioacuten inmediata de funciones exponenciales y potenciales Desarrollo Al aplicar la regla correspondiente y
propiedades de los radicales se obtiene
int
+minus dxxexx 10537
=
7
dxxedxxdxx int+int intminus 1053
Ahora se tienen tres integrales por resolver y este tipo de ecuaciones ya fue resuelto anteriormente (Trabajar con exponentes fraccionarios y aplicar las Ecuaciones) Asiacute se obtiene que
PROF SONIA MARITZA MENDOZA LCALCULO INTEGRAL
cxexx ++minus 10353244
7
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA2 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE (INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN)
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable por ejemplo u llamada variable auxiliar Luego de esto se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias para que ni en el integrando ni en el diferencial aparezca alguna expresioacuten en teacuterminos de la variable original A esto se le denomina cambio de variable (sustitucioacuten)
Luego de hacer efectivo la sustitucioacuten por lo general se obtienen integrales maacutes sencillas que la original las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el meacutetodo anterior
Es importante sentildealar que el resultado de la integracioacuten debe estar en funcioacuten de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el teacutermino ldquodevolviendo el cambio de variablerdquo para resentildear el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva
Ejemplo 4 Resolver la siguiente integral
( ) dxx5
62int +
Desarrollo En atencioacuten a la teoriacutea expuesta construir la
siguiente igualdadu= 2x+6 (1)
Debido a (1) la integral original se transforma momentaacuteneamente en
( ) dxx5
62int +=
dxu5int (2)
Como la integral a resolver no debe quedar en funcioacuten de la variable original se debe expresar a dx en funcioacuten de du y para ello se
bull Deriva ambos miembros de (1) para obtener du=2dx
bull Divide la expresioacuten anterior entre 2
obtenieacutendose dxdu =
2 (3) Si en (2) se reemplaza a dx por la expresioacuten
obtenida en (3) y ademaacutes se aplica las propiedades y se obtiene
( ) dxx5
62int +=
dxu5int=
duuint 5
21
Efectuado la sustitucioacuten se obtiene una integral inmediata Para su solucioacuten basta con aplicar las Ecuaciones Asiacute
duuint 5
21
= cu +6
121
Devolviendo la sustitucioacuten u=2x+6 se obtiene la respuesta final Por tanto
( ) ( ) cxdxx ++=+int 6562
12162
EjerciciosEn muchas ocasiones cuando la integracioacuten directa no es tan obvia es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado este procedimiento se conoce como integracioacuten por sustitucioacutenEn los siguientes ejercicios realice la integral que se indica
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA3 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR PARTES
De la foacutermula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene el meacutetodo de integracioacuten por partes Si f y g son funciones diferenciables entonces
[ ] [ ] )acute()()()()acute()()acute()()acute()()()( xfxgxgxfDxxgxfxfxgxgxfxgxfDx minus=hArr+=
Ahora si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuacioacuten se tiene que
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )int int intminus= dxxfxgdxxgxfDxdxxgxf
Integrando lo que es posible integrar se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int intminus= dxxfxgxgxfdxxgxf
La Ecuacioacuten () se llama foacutermula para integracioacuten por partes Frecuentemente se utiliza una expresioacuten equivalente a () la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable
( )xfu = y
( )xgv =
Al hacer las derivadas de u y v respectivamente se obtiene ( )dxxfdu =
y ( )dxxgdv =
Asiacute que la ecuacioacuten () se transforma en
int intminus= vduuvudv (Ecuacioacuten 1)
La Ecuacioacuten 1 expresa la integral int udv
en teacuterminos de otra integral int vdu
la cual por lo general se resuelve maacutes faacutecilmente que la integral original Para aplicar la integracioacuten por partes es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u Es importante resaltar que una vez hecha la eleccioacuten de u todo lo que queda dentro la integral es dv Para efectos de hacer la mencionada eleccioacuten es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes
1 la parte que se iguala a dv debe ser faacutecilmente integrable
2vduint
no debe ser maacutes complicada que udvint
En la praacutectica el proceso de elegir una expresioacuten para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una teacutecnica general para efectuar dicho proceso Sin embargo en el desarrollo de la presente obra se haraacute uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de caraacutecter NO GENERAL denominada ILATE para hacer la mencionada eleccioacuten La uacutenica deficiencia de ILATE es que - en algunos casos - al hacer la eleccioacuten de u indicada por la mencionada regla el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito que no permite obtener la solucioacuten correspondiente Si esto ocurre se debe detener el proceso y hacer una eleccioacuten contraria a la hecha originalmente
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICALas siglas de ILATE significan lo siguiente
I = Funciones Inversas
L = Funciones Logariacutetmicas
A = Funciones Algebraicas
T = Funciones Trigonomeacutetricas
E = Funciones Exponenciales
La regla ILATE se utiliza uacutenica y exclusivamente para realizar la mencionada eleccioacuten teniendo que recurrir a la ecuacioacuten 1 y los meacutetodos ya expuestos para resolver cualquier ejercicio relativo al presente toacutepico
Para ilustrar como se usa ILATE se presenta la siguiente situacioacuten
Supoacutengase que piden resolver la siguiente integral dxex xint minus
Obseacutervese que el integrando estaacute compuesto por dos funciones una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x) Se buscan las iniciales A y E en la palabra ILATE Como en ella leyendo de izquierda a derecha aparece primero la letra A se elige como u la funcioacuten Algebraica es
decir u = x Por lo tanto lo que queda dentro de la integral es dv Asiacute dxxedv minus=
Ejemplo 5 Resolver la siguiente integral ( ) dxex xint minusminus 23
Solucioacuten Conviene hacer las siguientes elecciones
xu 23 minus= (1) y dxedv xminus= (2) bull Derivar ambos miembros de (1) para
obtener du=-2dxbull Aplicar integrales a ambos miembros de
(2) para obtener dxedv xintint minus=
(3)bull Usando el meacutetodo de sustitucioacuten integrar
ambos miembros de (3) para obtener xev minusminus= (4)
Reemplazar en la Ecuacioacuten 1 cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1) (2) y (4) para obtener
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) dxeex xx int minusminusminusminus 223 (5)
Para resolver la uacuteltima integral se efectuacutea una sustitucioacuten y se obtiene una integral
inmediata Asiacute dxe xint minus2
= ce x +minus minus2
(6)
Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorizacioacuten Asiacute
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) ( ) ( ) cxexxexcxexex +minus+minus=minus++minus=+minus+minusminusminus 21223223
Por tanto se concluye que
( ) ( ) cexdxex xx +minus=minus minusminusint 1223
EJERCICIOSEn los ejercicios siguientes efectuacutee la integral indefinida
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA4 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRANDOS TRIGONOMEacuteTRICOS
Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonomeacutetricas siendo los exponentes pares enteros no negativos es decir funciones con alguna de las siguientes formas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomeacutetricasIdentidades trigonomeacutetricas
Por lo regular una vez concluimos con las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando queda expedito para aplicar la integracioacuten por sustitucioacuten En otros casos debemos recurrir a la integracioacuten por partesEjerciciosEn los siguientes ejercicios evaluacutee la integral indefinida
3 Solucioacuten
13 Solucioacuten
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5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA2 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE (INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN)
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable por ejemplo u llamada variable auxiliar Luego de esto se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias para que ni en el integrando ni en el diferencial aparezca alguna expresioacuten en teacuterminos de la variable original A esto se le denomina cambio de variable (sustitucioacuten)
Luego de hacer efectivo la sustitucioacuten por lo general se obtienen integrales maacutes sencillas que la original las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el meacutetodo anterior
Es importante sentildealar que el resultado de la integracioacuten debe estar en funcioacuten de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el teacutermino ldquodevolviendo el cambio de variablerdquo para resentildear el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva
Ejemplo 4 Resolver la siguiente integral
( ) dxx5
62int +
Desarrollo En atencioacuten a la teoriacutea expuesta construir la
siguiente igualdadu= 2x+6 (1)
Debido a (1) la integral original se transforma momentaacuteneamente en
( ) dxx5
62int +=
dxu5int (2)
Como la integral a resolver no debe quedar en funcioacuten de la variable original se debe expresar a dx en funcioacuten de du y para ello se
bull Deriva ambos miembros de (1) para obtener du=2dx
bull Divide la expresioacuten anterior entre 2
obtenieacutendose dxdu =
2 (3) Si en (2) se reemplaza a dx por la expresioacuten
obtenida en (3) y ademaacutes se aplica las propiedades y se obtiene
( ) dxx5
62int +=
dxu5int=
duuint 5
21
Efectuado la sustitucioacuten se obtiene una integral inmediata Para su solucioacuten basta con aplicar las Ecuaciones Asiacute
duuint 5
21
= cu +6
121
Devolviendo la sustitucioacuten u=2x+6 se obtiene la respuesta final Por tanto
( ) ( ) cxdxx ++=+int 6562
12162
EjerciciosEn muchas ocasiones cuando la integracioacuten directa no es tan obvia es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado este procedimiento se conoce como integracioacuten por sustitucioacutenEn los siguientes ejercicios realice la integral que se indica
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA3 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR PARTES
De la foacutermula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene el meacutetodo de integracioacuten por partes Si f y g son funciones diferenciables entonces
[ ] [ ] )acute()()()()acute()()acute()()acute()()()( xfxgxgxfDxxgxfxfxgxgxfxgxfDx minus=hArr+=
Ahora si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuacioacuten se tiene que
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )int int intminus= dxxfxgdxxgxfDxdxxgxf
Integrando lo que es posible integrar se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int intminus= dxxfxgxgxfdxxgxf
La Ecuacioacuten () se llama foacutermula para integracioacuten por partes Frecuentemente se utiliza una expresioacuten equivalente a () la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable
( )xfu = y
( )xgv =
Al hacer las derivadas de u y v respectivamente se obtiene ( )dxxfdu =
y ( )dxxgdv =
Asiacute que la ecuacioacuten () se transforma en
int intminus= vduuvudv (Ecuacioacuten 1)
La Ecuacioacuten 1 expresa la integral int udv
en teacuterminos de otra integral int vdu
la cual por lo general se resuelve maacutes faacutecilmente que la integral original Para aplicar la integracioacuten por partes es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u Es importante resaltar que una vez hecha la eleccioacuten de u todo lo que queda dentro la integral es dv Para efectos de hacer la mencionada eleccioacuten es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes
1 la parte que se iguala a dv debe ser faacutecilmente integrable
2vduint
no debe ser maacutes complicada que udvint
En la praacutectica el proceso de elegir una expresioacuten para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una teacutecnica general para efectuar dicho proceso Sin embargo en el desarrollo de la presente obra se haraacute uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de caraacutecter NO GENERAL denominada ILATE para hacer la mencionada eleccioacuten La uacutenica deficiencia de ILATE es que - en algunos casos - al hacer la eleccioacuten de u indicada por la mencionada regla el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito que no permite obtener la solucioacuten correspondiente Si esto ocurre se debe detener el proceso y hacer una eleccioacuten contraria a la hecha originalmente
PROF SONIA MARITZA MENDOZA LCALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICALas siglas de ILATE significan lo siguiente
I = Funciones Inversas
L = Funciones Logariacutetmicas
A = Funciones Algebraicas
T = Funciones Trigonomeacutetricas
E = Funciones Exponenciales
La regla ILATE se utiliza uacutenica y exclusivamente para realizar la mencionada eleccioacuten teniendo que recurrir a la ecuacioacuten 1 y los meacutetodos ya expuestos para resolver cualquier ejercicio relativo al presente toacutepico
Para ilustrar como se usa ILATE se presenta la siguiente situacioacuten
Supoacutengase que piden resolver la siguiente integral dxex xint minus
Obseacutervese que el integrando estaacute compuesto por dos funciones una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x) Se buscan las iniciales A y E en la palabra ILATE Como en ella leyendo de izquierda a derecha aparece primero la letra A se elige como u la funcioacuten Algebraica es
decir u = x Por lo tanto lo que queda dentro de la integral es dv Asiacute dxxedv minus=
Ejemplo 5 Resolver la siguiente integral ( ) dxex xint minusminus 23
Solucioacuten Conviene hacer las siguientes elecciones
xu 23 minus= (1) y dxedv xminus= (2) bull Derivar ambos miembros de (1) para
obtener du=-2dxbull Aplicar integrales a ambos miembros de
(2) para obtener dxedv xintint minus=
(3)bull Usando el meacutetodo de sustitucioacuten integrar
ambos miembros de (3) para obtener xev minusminus= (4)
Reemplazar en la Ecuacioacuten 1 cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1) (2) y (4) para obtener
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) dxeex xx int minusminusminusminus 223 (5)
Para resolver la uacuteltima integral se efectuacutea una sustitucioacuten y se obtiene una integral
inmediata Asiacute dxe xint minus2
= ce x +minus minus2
(6)
Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorizacioacuten Asiacute
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) ( ) ( ) cxexxexcxexex +minus+minus=minus++minus=+minus+minusminusminus 21223223
Por tanto se concluye que
( ) ( ) cexdxex xx +minus=minus minusminusint 1223
EJERCICIOSEn los ejercicios siguientes efectuacutee la integral indefinida
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA4 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRANDOS TRIGONOMEacuteTRICOS
Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonomeacutetricas siendo los exponentes pares enteros no negativos es decir funciones con alguna de las siguientes formas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomeacutetricasIdentidades trigonomeacutetricas
Por lo regular una vez concluimos con las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando queda expedito para aplicar la integracioacuten por sustitucioacuten En otros casos debemos recurrir a la integracioacuten por partesEjerciciosEn los siguientes ejercicios evaluacutee la integral indefinida
3 Solucioacuten
13 Solucioacuten
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA3 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR PARTES
De la foacutermula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene el meacutetodo de integracioacuten por partes Si f y g son funciones diferenciables entonces
[ ] [ ] )acute()()()()acute()()acute()()acute()()()( xfxgxgxfDxxgxfxfxgxgxfxgxfDx minus=hArr+=
Ahora si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuacioacuten se tiene que
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )int int intminus= dxxfxgdxxgxfDxdxxgxf
Integrando lo que es posible integrar se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )int intminus= dxxfxgxgxfdxxgxf
La Ecuacioacuten () se llama foacutermula para integracioacuten por partes Frecuentemente se utiliza una expresioacuten equivalente a () la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable
( )xfu = y
( )xgv =
Al hacer las derivadas de u y v respectivamente se obtiene ( )dxxfdu =
y ( )dxxgdv =
Asiacute que la ecuacioacuten () se transforma en
int intminus= vduuvudv (Ecuacioacuten 1)
La Ecuacioacuten 1 expresa la integral int udv
en teacuterminos de otra integral int vdu
la cual por lo general se resuelve maacutes faacutecilmente que la integral original Para aplicar la integracioacuten por partes es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u Es importante resaltar que una vez hecha la eleccioacuten de u todo lo que queda dentro la integral es dv Para efectos de hacer la mencionada eleccioacuten es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes
1 la parte que se iguala a dv debe ser faacutecilmente integrable
2vduint
no debe ser maacutes complicada que udvint
En la praacutectica el proceso de elegir una expresioacuten para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una teacutecnica general para efectuar dicho proceso Sin embargo en el desarrollo de la presente obra se haraacute uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de caraacutecter NO GENERAL denominada ILATE para hacer la mencionada eleccioacuten La uacutenica deficiencia de ILATE es que - en algunos casos - al hacer la eleccioacuten de u indicada por la mencionada regla el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito que no permite obtener la solucioacuten correspondiente Si esto ocurre se debe detener el proceso y hacer una eleccioacuten contraria a la hecha originalmente
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICALas siglas de ILATE significan lo siguiente
I = Funciones Inversas
L = Funciones Logariacutetmicas
A = Funciones Algebraicas
T = Funciones Trigonomeacutetricas
E = Funciones Exponenciales
La regla ILATE se utiliza uacutenica y exclusivamente para realizar la mencionada eleccioacuten teniendo que recurrir a la ecuacioacuten 1 y los meacutetodos ya expuestos para resolver cualquier ejercicio relativo al presente toacutepico
Para ilustrar como se usa ILATE se presenta la siguiente situacioacuten
Supoacutengase que piden resolver la siguiente integral dxex xint minus
Obseacutervese que el integrando estaacute compuesto por dos funciones una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x) Se buscan las iniciales A y E en la palabra ILATE Como en ella leyendo de izquierda a derecha aparece primero la letra A se elige como u la funcioacuten Algebraica es
decir u = x Por lo tanto lo que queda dentro de la integral es dv Asiacute dxxedv minus=
Ejemplo 5 Resolver la siguiente integral ( ) dxex xint minusminus 23
Solucioacuten Conviene hacer las siguientes elecciones
xu 23 minus= (1) y dxedv xminus= (2) bull Derivar ambos miembros de (1) para
obtener du=-2dxbull Aplicar integrales a ambos miembros de
(2) para obtener dxedv xintint minus=
(3)bull Usando el meacutetodo de sustitucioacuten integrar
ambos miembros de (3) para obtener xev minusminus= (4)
Reemplazar en la Ecuacioacuten 1 cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1) (2) y (4) para obtener
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) dxeex xx int minusminusminusminus 223 (5)
Para resolver la uacuteltima integral se efectuacutea una sustitucioacuten y se obtiene una integral
inmediata Asiacute dxe xint minus2
= ce x +minus minus2
(6)
Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorizacioacuten Asiacute
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) ( ) ( ) cxexxexcxexex +minus+minus=minus++minus=+minus+minusminusminus 21223223
Por tanto se concluye que
( ) ( ) cexdxex xx +minus=minus minusminusint 1223
EJERCICIOSEn los ejercicios siguientes efectuacutee la integral indefinida
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Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonomeacutetricas siendo los exponentes pares enteros no negativos es decir funciones con alguna de las siguientes formas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomeacutetricasIdentidades trigonomeacutetricas
Por lo regular una vez concluimos con las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando queda expedito para aplicar la integracioacuten por sustitucioacuten En otros casos debemos recurrir a la integracioacuten por partesEjerciciosEn los siguientes ejercicios evaluacutee la integral indefinida
3 Solucioacuten
13 Solucioacuten
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5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
PROF SONIA MARITZA MENDOZA LCALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICALas siglas de ILATE significan lo siguiente
I = Funciones Inversas
L = Funciones Logariacutetmicas
A = Funciones Algebraicas
T = Funciones Trigonomeacutetricas
E = Funciones Exponenciales
La regla ILATE se utiliza uacutenica y exclusivamente para realizar la mencionada eleccioacuten teniendo que recurrir a la ecuacioacuten 1 y los meacutetodos ya expuestos para resolver cualquier ejercicio relativo al presente toacutepico
Para ilustrar como se usa ILATE se presenta la siguiente situacioacuten
Supoacutengase que piden resolver la siguiente integral dxex xint minus
Obseacutervese que el integrando estaacute compuesto por dos funciones una Algebraica (x) y otra Exponencial (e-x) Se buscan las iniciales A y E en la palabra ILATE Como en ella leyendo de izquierda a derecha aparece primero la letra A se elige como u la funcioacuten Algebraica es
decir u = x Por lo tanto lo que queda dentro de la integral es dv Asiacute dxxedv minus=
Ejemplo 5 Resolver la siguiente integral ( ) dxex xint minusminus 23
Solucioacuten Conviene hacer las siguientes elecciones
xu 23 minus= (1) y dxedv xminus= (2) bull Derivar ambos miembros de (1) para
obtener du=-2dxbull Aplicar integrales a ambos miembros de
(2) para obtener dxedv xintint minus=
(3)bull Usando el meacutetodo de sustitucioacuten integrar
ambos miembros de (3) para obtener xev minusminus= (4)
Reemplazar en la Ecuacioacuten 1 cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1) (2) y (4) para obtener
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) dxeex xx int minusminusminusminus 223 (5)
Para resolver la uacuteltima integral se efectuacutea una sustitucioacuten y se obtiene una integral
inmediata Asiacute dxe xint minus2
= ce x +minus minus2
(6)
Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorizacioacuten Asiacute
( ) dxex xint minusminus 23=
( ) ( ) ( ) cxexxexcxexex +minus+minus=minus++minus=+minus+minusminusminus 21223223
Por tanto se concluye que
( ) ( ) cexdxex xx +minus=minus minusminusint 1223
EJERCICIOSEn los ejercicios siguientes efectuacutee la integral indefinida
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA4 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRANDOS TRIGONOMEacuteTRICOS
Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonomeacutetricas siendo los exponentes pares enteros no negativos es decir funciones con alguna de las siguientes formas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomeacutetricasIdentidades trigonomeacutetricas
Por lo regular una vez concluimos con las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando queda expedito para aplicar la integracioacuten por sustitucioacuten En otros casos debemos recurrir a la integracioacuten por partesEjerciciosEn los siguientes ejercicios evaluacutee la integral indefinida
3 Solucioacuten
13 Solucioacuten
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5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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Teniendo en cuenta los tipos para cuando se integran funciones trigonomeacutetricas siendo los exponentes pares enteros no negativos es decir funciones con alguna de las siguientes formas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomeacutetricasIdentidades trigonomeacutetricas
Por lo regular una vez concluimos con las transformaciones trigonomeacutetricas adecuadas el integrando queda expedito para aplicar la integracioacuten por sustitucioacuten En otros casos debemos recurrir a la integracioacuten por partesEjerciciosEn los siguientes ejercicios evaluacutee la integral indefinida
3 Solucioacuten
13 Solucioacuten
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5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
5 RESOLUCIOacuteN POR SUSTITUCION TRIGONOMEacuteTRICA
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcioacuten cuando el integrando presenta expresiones de la forma
Se elimina el radical haciendo la sustitucioacuten trigonomeacutetrica pertinente el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomeacutetricas cuya integracioacuten nos es familiar En la siguiente tabla se muestra cuaacutel debe ser la sustitucioacuten
Expresioacuten en el integrando Sustitucioacuten trigonomeacutetrica
Ejercicios En los siguientes ejercicios obtenga la integral indefinida
Solucioacuten
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICASustituyendo estos valores en (1) se obtiene
(Fig1)
Sustituyendo estos valores en (1) se obtiene
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
PROF SONIA MARITZA MENDOZA LCALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
6 RESOLUCIOacuteN DE INTEGRALES POR FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES
Este meacutetodo permite descomponer una integral de la forma
( )( )dxxqxpint
En integrales cuyo integrando estaacute constituido por expresiones fraccionarias que por lo general son de faacutecil solucioacuten
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales es importante tener en cuenta los siguientes criterios
Criterio1 Si el numerador de la integral dada es de menor grado que el denominador se debe ndashsi es posible- aplicar el proceso de factorizacioacuten
Criterio2 Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se debe resolver primero la divisioacuten de polinomios
Para aplicar el Criterio2 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
En una divisioacuten se relacionan el Dividendo (D) el divisor (d) el cociente (c) y el resto (r) mediante la
siguiente expresioacuten rcdD +=
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre ldquodrdquo se obtiene
drc
dr
dcd
dD +=+=
Ahora bien esta uacuteltima expresioacuten se puede particularizar para polinomios asiacute
Si p(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto entonces
( )( ) ( ) ( )
( )xqxrxc
xqxp +=
Aplicando el siacutembolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales se obtiene
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxqxrdxxcdx
xqxrxc
xqxp
intintint +=
+=
Ecuacioacuten 2
Ahora para poder aplicar el Criterio1 es necesario recordar la siguiente informacioacuten
Una fraccioacuten simple es cualquier fraccioacuten propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador) cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n oacute (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raiacuteces reales y n es un nuacutemero natural
( ) 123
325
43 32 simplesnessonfraccio
xx
xxx
xAsiacute
+minus
++minus
+
Cuando se deba aplicar el Criterio1 se debe proceder del siguiente modo
1 Descomponer factorialmente el polinomio q(x) es decir se hallan las raiacuteces de la ecuacioacuten q(x) = 0 Es importante saber que al realizar la mencionada descomposicioacuten es posible encontrar resultados distintos y eacutestos se pueden clasificar en cuatro casos
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICACaso 1 Factores en el denominador lineales distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) +
++
+= intintint dcx
Bbax
Axqxp
Caso 2 Factores en el denominador lineales repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Constantes (A B C etc) en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint +
+++
++
= nbaxz
baxB
baxA
xqxp 2
Caso 3 Factores en el denominador cuadraacuteticos distintos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) 22 +
++++
+++= intintint edxcx
DCxcbxax
BAxxqxp
Caso 4 Factores en el denominador cuadraacuteticos repetidos La integral dada debe escribirse en funcioacuten de un cociente compuesto por Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador como se muestra a continuacioacuten
( )( ) ( ) ( ) ( )intintintint ++
+++++
++++
+= ncbxaxZWx
cbxaxDCx
cbxaxBAx
xqxp
2222
2 Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador Algunos de los meacutetodos para determinar las constantes son Sustitucioacuten eliminacioacuten igualacioacuten Coeficientes indeterminados meacutetodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan)
Nota Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este meacutetodo estriba en el caacutelculo de las mencionadas constantes El estudiante debe dominar por lo menos una teacutecnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes
3 Se integran los sumandos que resulten Una vez determinadas las mencionadas constantes se obtienen integrales que - por lo general ndash se resuelven aplicando los meacutetodos ya expuestos
Ejemplo 1 dx
xx
xint
minusminus
+
8225
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( )dxxxxdx
xxx
intint minus++=
minusminus+
425
825
2
(1)
Por el caso 1 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minus++
42425
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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( )( ) ( ) ( )42425
minus+
+=
minus++
xB
xA
xxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( ) ( )
( )( )4224
425
minus+++minus=
minus++
xxxBxA
xxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( )245 ++minus=+ xBxAx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
23
21 =minus= ByA
Reemplazando A y B en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xdx
xBdx
xAdx
xxx
intintintintint minus+
+
minus=
minus+
+=
minus++
423
221
42425
Este tipo de integral ya fue resuelta Asiacute se concluye que
( )( ) ( ) cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int 342ln
21
425
Ejemplo 2int
minusminus
+minusminus
8225152432
xx
xxx
De acuerdo al Criterio2 se debe efectuar la divisioacuten de polinomios y aplicar la Ecuacioacuten 17se obtiene que
dxxx
xxdxdxxx
xxxx
xxxintintintint minusminus
++=
minusminus++=
minusminus+minusminus
8252
8252
8251542
222
23
(1)
La primera integral es inmediata al resolverla se obtiene122 cxxdx +=int
(2)
Para resolver la segunda integral se aplica el Criterio1 es decir se debe factorizar y aplicar el caso 1 Asiacute se obtiene que
( ) ( )dxxBdx
xAdx
xxx
intintint minus+
+=
minusminus+
42825
2
Estas dos integrales ya fueron resueltas en el ejercicio anterior De alliacute que ahora se pueda escribir
directamente que ( )( ) ( ) 2
42ln
21
425
3 cxxdx
xxx +
minus+minus=
minus++
int (3)
Reemplazando en (1) las expresiones (2) y (3) se tiene que
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( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA Y ESTADISTICA
( ) 242ln
211
8251542
32
2
23
cxxcx
xxxxx +
minus+minus+=
minusminus+minusminus
int
Haciendo c = c1+ c2 se concluye que
( ) cxxx
xxxxx +
minus+minus=
minusminus+minusminusint 3
22
23
42ln
21
8251542
Ejemplo 3( )( )dxxxx
xxint +minus
minusminus4
84222
3
De acuerdo al Criterio1 se debe factorizar asiacute se obtiene que
( )( ) ( )( ) dxxxxxxdx
xxxxx
intint +minusminusminus=
+minusminusminus
41842
4842
2
3
22
3
(1)
Aplicando los caso 1 y 3 la expresioacuten (1) se puede escribir asiacute
( )( ) ( ) ( )dxxDCxdx
xBdx
xAdx
xxxxxx
intintintint +++
minus+=
+minusminusminus
414842
22
3
(2)
Ahora se deben calcular las constantes A B C y D que aparecen en (2) para ello
bull Se escribe la expresioacuten (2) sin tomar en cuenta el siacutembolo integral Asiacute
( )( ) ( ) ( )414842
22
3
+++
minus+=
+minusminusminus
int xDCx
xB
xAdx
xxxxxx
(3)
bull Se resuelve la adicioacuten planteada en el miembro de la derecha de (3) Asiacute
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )411441
41842
2
22
2
3
+minusminus+++++minus=
+minusminusminus
xxxxxDCxxBxxxA
xxxxx
(4)
bull En (4) se simplifican los denominadores obtenieacutendose
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1441842 223 minus+++++minus=minusminus xxDCxxBxxxAxx (5)
bull La expresioacuten (5) constituye un sistema de ecuaciones Al resolverlo da
54
514
5142 ==== DyCBA
Reemplazando A B C y D en (2) se obtiene
( )( ) ( ) ( ) ( )dxxdx
xxdx
xdxx
dxxxxxx
intintintintint ++
++
minus+=
+minusminusminus
41
54
4514
11
5142
41842
222
3
Asiacute se concluye que ( )( )
+++minus+=
+minusminusminus minusint 2
tan524ln
571ln
514ln2
41842 12
2
3 xxxxdxxxxxx
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